（应用数学专业论文）几类微分方程的正解.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文( 几类微分方程的正解，是本人在导 师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果 论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果对本文的研究工作 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注明本声明的法律结果 将完全由本人承担 作者签名。王颖 日期：v y p 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 几类微分方程的正解系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位期间，在导师 指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本论文的 研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使 用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本， 允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段 保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 作者签名：王颖日期：_ k 岁、箩 聊鹤2 弓( 琵嗍一b k 曲阜师范大学硕士学位论文 几类微分方程的正解 摘要 随着科学技术、近代物理学和应用数学的不断发展，各种各样的非线性问题 日益涌现这些非线性问题日益引起了人们的广泛重视，极大的促进了非线性泛 函分析问题向着更成熟的方向发展半正问题和奇异性是近几年来研究的热点问 题，许多作者已做过广泛和深入的研究本文利用锥理论、不动点理论、不动点 指数理论，研究了几类非线性微分方程边值问题的正解 本文共分为三章： 在第一章中，我们运用锥理论和锥拉伸压缩不动点定理讨论了b a n a c h 空间 中二阶三点边值问题 l ( t ) + p 2 z ( 亡) = 入九( t ) ，( t ，z ) ，0 t 0 为参数，危( ) 在t = 0 ，1 奇异 在第二章中，通过对参数a 的讨论，利用锥拉伸压缩不动点定理讨论了四阶 半正边值问题 iz ( 4 ( t ) + p z ( t ) 一a x ( t ) = 入 ) ， ，z ) ，0 t 0 为参数，h ( t ) 在t = 0 ，1 奇异 在第三章中，我们利用锥上的不动点定理讨论了如下三阶三点边值问题 iu m ( t ) + a ( t ) f ( t ，u ( t ) ) = 0 ，0 t 1 ， i 扎( o ) = ( o ) = o ，札( 1 ) = 伽锄) ， 正解的存在性，其中0 ，7 1 ，1 a 石1 ，允许o ( t ) 在t = 0 ，1 奇异 关键词：三点边值问题；奇异；格林函数；锥；不动点指数定理；非线性边值 问题；正解 a b s t r a c t a 1 0 n gw i t ht h ed e v e l o p m e n to fs c i e n t i f i ct e c h n o l o g y 、m o d e m p h y s i c sa n d a p p l i e dm a t h m a t i c s , m a n yk i n do fn o n - h n e a rp r o b l e m sh a v e e m e r g e d t h o s ep r o b l l e 瑚h a v ei n c r e a s i n g l ya r o u s e dp e o p l e sw i d e s p r e a da t t e n t i o n s ，w h i c hg r e a t l y u r g e t h en o n 一1 i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i st ob eb e t t e ri m p r o v e d t h es e m i - p o s i t o n ep r o b l e 脚a n ds i n 叫盯b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa r et h et o p i cp o i n t s m a n ya u t h o 瑙 h a v es t u d i e di ne v e 眄a s p e r t s i nt h i sp a p e ru s i n gc o n et h e o r e m ，f i x e dt h e o r e m a sw e l la sf b 【e dp o i n tt h e o r e m ，w ed i s c u s ss e v e r a lc l a s s e so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n b 0 1 m d 哪v a l u ep r o b l e m sa n dt a l ka b o u tt h e i re x i s t e n c e so fp o s t i v e s o l u t i o n s i nc h a p t e r1 。w eu s et h ec o n et h e o r ya n dc o n ee x p a n s i o na n dc o m p r e s s l o n t h e o r e mt os t u d yt h ee x i s t e n c eo fp o s t i v es o l u t i o n sf o rs e c o n d - o r d e rt h r e e - p o i n t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi nb a n a z hs p a c e fz ，( t ) + 卢2 z ( t ) = a h ( t ) f ( t ，z ) ，0 0 ，w eu s et h e c o n e e ) ( p ：a n s i o na n dc o m p r e s s i o nt h e o r e mt os t u d yt h ep o s t i v es o l u t i o n so ff o r t h o r d e r s e m i - p o s i t o n eb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m fz ( 4 ) + 卢z 0 ) 一a z ( t ) = a h ( t ) ( t ，z ) ，0 t 0i sp a r a m e t e ra n dh ( t ) i sa l l o w e dt ob es i n g u l a ra tt = 0 ，1 i nc h a p t e r3 ，w eu s et h ec o n et h e o r ya n df i x e dp o i n tt h e o r e m t oi n v e s t i g a t e t h ep o s t 沁es o l u t i o 璐o ft h r e e - o r d e rt h r e e - p o i n tb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m i ( t ) + a ( t ) f ( t ，u ( 亡) ) = 0 ，0 t 1 ， lu ( o ) = 让，( 0 ) = 0 ，乱”) = a 乱锄) ， w h e r e0 叼 1 ，1 q 昙a n d8 ( t ) i ss i n g u l a ra tt = o ，1 k e y w o r d s ：t h r e ep o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；s i n 刚a r ；g r e e nf u n c t i o n ； l 曲阜师范大学硕士学位论文 c o n e ；f i x e dp o i n ti n d e xt h e o r e m ；n o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；p o s t i v e s o l u t i o n s n 曲阜师范大学硕士学位论文 目录 第一章二阶三点边值问题的正解1 1 1 引言1 1 2 预备知识2 1 3 主要结果4 第二章四阶半正边值问题的正解7 2 1 引言7 2 2 预备知识8 2 3 主要结果1 1 第三章非线性三点边值问题的正解1 6 3 1 引言1 6 5 3 2 预备知识1 7 3 3 主要结果1 9 在校期间完成的论文2 8 致谢2 9 一 第一章二阶三点边值问题的正解 1 1 引言 本章通过对参数入的讨论，运用锥拉伸和压缩不动点定理讨论了二阶三点边 值问题 z ( t ) + 2 z ) = a ( 芒) ，( t ，z ) ，o 0 文【8 】x i a d l i n gh a j l 在线性算子的第一特征值条件下利用锥上的不动点指数 定理研究了二阶三点边值问题 i ( ) + 卢2 x ( t ) = h ( t ) f ( t ，z ) ，0 t 1 ， lz ，( 0 ) = 0 ，x ( 1 ) = z ( 叩) ， 的正解 受以上文献的启发，本章研究了二阶三点边值问题( 1 1 1 ) 的正解与原来的 文章相比微分方程的边值条件较弱，允许h ( t ) 在t = 0 ，1 奇异通过对参数a 的 讨论不仅研究了解的存在性还研究了解的不存在性，推广了原来的结果 1 第一章二阶三点边值问题的正解 1 2 预备知识 令e = c o ，1 】为b a n a c h 空间，其范数l i x l i = m a x o _ _ _ t ll x ( t ) l ， p = z c o ，1 】：x ( t ) 0 ，t 【0 ，l 】) ， 耳= z c o ，1 】：l i x l l r ) 如果z c o ，1 】nc 2 ( o ，1 ) 并且满足边值问题( 1 1 1 ) ，则称x 为边值问题( 1 1 1 ) 的正解 为了方便起见，我们作如下假设： ( h i ) 0 考 ( h 2 ) h ：( 0 ，1 ) 一【0 ，+ o 。) 连续，h ( t ) 不恒为零，詹h ( t ) d t + 。 ( h 3 ) f ：【0 ，1 】 0 ，+ o o ) _ 【o ，+ o 。) 连续 引理1 2 1问题( 1 1 1 ) 在c 2 ( o ，1 ) 中的解等价于h a m m e r s t e i n 方程 ，1 1 x ( t ) = a k ( t ，s ) h ( s ) f ( s ，x ( s ) ) d s ，t ( 0 ，1 ) ， ，0 在e 中的解，其中k ( t ，s ) 为如下的格林函数 k ( t ，8 ) = 砉s沁p(亡一s)+竺兰笔筹fl(1+v-2s)，s 5t ，s 刀， 丢s 洫p ( 亡一s ) + 茜丢鲁渊，叩s 亡， c o s 优c o s 鲤掣堕 磊孺袤一一 8 g ， c o s 优s i n 口( 1 一s 1 丽詈鬲丽，叩s , t & 可以证明，k ( t ，s ) 在【0 ，1 】【o ，1 】连续，k ( t ，s ) 0 ，0 t ，s 1 ， 定义算子a ：p p ，1 1 凡( ) = 入k ( t ，s ) h ( s ) f ( s ，x ( s ) ) d s ，t ( 0 ，1 ) ， ，0 显然算子a a 在p 中的非零不动点为边值问题( 1 1 1 ) 的正解 引理1 2 2 ( 锥拉伸压缩不动点定理) e 为b a n a c h 空间， kce 是一个 锥，q 1 ，q 2 是e 中的开集且满足p q 1 ，两cq 2 ，a ：kn ( 面q 1 ) _ k 是全 连续算子且满足下列条件之一： ( 1 ) l i a u l i l l u l l ，u k n o f t l ；i i a t , i l i i t , 1 1 ，u k n 锄2 2 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 2 ) l i a u l j | f 让i l ，让k n 钿2 ；f i a u l i | i 训l ，孔k n 施1 则a 在kn ( 匾q 1 ) 中至少有一个不动点 引理1 2 3 【8 】存在一个连续的函数西：【0 ，1 】_ 【o ，_ o o ) 和常数c ( 0 ，1 】 满足 c 垂( s ) k ( t ，8 ) 垂( s ) 引理1 2 4 假设( h 1 ) - ( h a ) 成立，则a ：p p 全连续 证明下面我们证明a 是全连续的对钆2 ，定义h n ( 亡) 如下 啡，= 臣 川轨 ! 亡 佗 ，一 1 ，h 【1 一一 r t 对任意n 2 ，我们定义a n ：p p ， ，1 1 a z ) = 入k ( t ，s ) h 他( s ) ，( s ，x ( s ) ) d s ，0 t 1 ，t p 由a s c o l i a r z e l a 定理知，对任意佗22 ，a n ( z ( t ) ) 在锥p 上是全连续的定义 b r = z p ：忙i | 0 和z b r ，由( h 3 ) 知 l a n 。( ) 一a a z ) l = i a k ( t ，s ) 限( s ) 一h n ( s ) 】，( s ，x ( s ) d s i z ”西( s ) l 九( s ) 一 n ( s ) i ，( s ，z ( s ) ) d s + 一丢圣( s ) l 九( s ) ，；，工 一h n x ( s ) f ( x ，x ( s ) ) d s 小s ) l 吣m ( s ) 附s + 仁丢酬) 一h n x ( s ) m o d s o ( n _ o o 、 其中m o = m a x f ( s ，z ( s ) ) ，s 【0 ，1 】，z b r 这里我们用到k ( t ，s ) 圣( s ) ，0 t ，8 1 ，因此a n 一致收敛a a ( n _ o 。) ，故a 全连续 定义k = 【z p ：x ( t ) c l l x l l ) ，很容易证明a a ( k ) ck 由p 的定义很 容易证明a ( p ) cp ，故a a ：( k ) _ k 全连续 3 1 上 一 0 满足f ( t ，z ) ( f o + e o ) x ， 我们有 a ：l l2 0 t m a x 1 z ( ) = m a x 0 0 使( 昂+ e o ) 入b 1 由岛的定 0 0 充分小，满足( 厶一1 ) 入a c l ，由厶的定 义知，存在r 2 r 1 0 ，当z r 2 时，我们有f ( t ，z ) ( 氏一e 1 ) x 若z k 4 且l i x l i = r 2 ，那么 a a x l l 。o m t 0 充分小，满足c ( f o 一钿) 入a 1 由f o 的定义知，存在r 1 0 满足当0 z r 1 时，f ( t ，z ) ( f o 一钿) z 若z k 且i i x l i = r 1 ，我们有 i i a a x l l2 o m ( 。a x 。i a , z ( t ) l ，1 1 = m a x ，a k ( t ，s ) h ( s ) f ( s ，x ( s ) ) d s o 1 j o 入砸( s ) ( s ) ，( s ，x ( s ) ) d s - ，0 ，1 入西( s ) 危( s ) ( ，0 一e o ) x d s j 0 ，1 ( f o 一) c 删c 圣( s ) h ( s ) d s ，0 = a ( 而一e o ) c l l x l l a l i x l l ， 则对于任意z kn0 q 1 ，有l 如z i l 蚓1 5 第一章二阶三点边值问题的正解 由同样的方法我们可证，若x k ，i i x l i = r 2 ，对于任意x kn 勰2 ，有 i i a a x l i i i x l l 由锥拉伸压缩不动点定理知，a 在k 中有不动点，故边值问题 ( 1 1 1 ) 至少有一个正解 定理1 3 3 若( h 1 ) 一( h 3 ) 成立且入b s ( t ，z ) z ，vx ( 0 ，o 。) ，t 【0 ，1 】，则 边值问题( 1 1 1 ) 没有解 证明若边值问题( 1 1 1 ) 存在正解z ( 亡) ，则 z 1 1 ：。m 垡a x 。入z 1 酢s ) ) m ，小) ) 幽 去z 1 蝴( s ) 汹 去1 郾咖( s ) d s 忑上棚( s ) 危( s 冲 一cllxll4cz 1 邮) 吣) d s ，n = l i x l l ， 故假设不成立 6 第二章四阶半正边值问题的正解 2 1引言 本章通过对参数a 的讨论，利用锥拉伸压缩不动点定理讨论了四阶半正边值 问题 z ( 亡) + p z ( ) 一q z ) = 入九 ) ，( 厶z ) o 0 文 1 7 】讨论了 i 札( ) + a ( t ) u 7 ) + 入，( t ，u ) ) = 0 ，o t l ， iu 7 ( o ) = 0 ，乱( 1 ) = q u ( ，7 ) ， ， 解的存在性，满足 ( 1 ) a 0 ，0 o z 0 是参数，； p q 1 是常数，：( 0 ，1 ) 0 ，+ o o ) _ r ，e ：( 0 ，1 ) _ r ，u ：【q ，1 】_ 0 ，+ o 。) 是连续的，e l ( o ，1 ) 文 2 1 】研究了四阶奇异边值问题 z h ( t ) + p z ( 亡) = 入 ( t ) ， ，z ) o 0 为参数，( t ，x ) c ( ( o ，1 ) ( 0 ，+ o 。) ，( 0 ，+ ) ) ，p 7 r 2 受以上文献启发，本章研究了四阶半正边值问题( 2 1 1 ) 的正解与原来的文 章相比，本章研究的范围较广，推广了原来的结果 1 2 2 预备知识 令e = c o ，1 】为b a n a c h 空间，其范数忙1 l = m a x o t tl x ( t ) l ，定义b ，= 1 z c o ，1 】：忙| i r ) 如果x c 3 【o ，1 】nc 4 ( o ，1 ) 并且满足边值问题( 2 1 1 ) ， 则称z ( t ) 为边值问题( 2 1 1 ) 的正解 为了方便起见，我们作如下假设： ( h 1 ) q ，p r ，p 2 7 r 2 , q 一譬，暑+ 各 o ， 毗s i n h 姚 。一。一。一1r 2 v ( 1 一s ) ，0 t s 1 ，p t = 0 ， s ( 1 一t ) ，0 s t 1 ，弘i = 0 ， s i n w i t _ s i n - w _ i ( _ 1 - 一s ) ， ostss 1 ，一丌2 p i o ， u ts i nu i s i n w i s s _ i n _ w _ i _ ( 1 - 一t ) ， o s t 1 ，一7 r 2 p t 0 ，( t ，s ) ( 0 ，1 ) ( 2 ) 7 1 e ( t ) e ( s ) a ( t ，s ) 仇e ( t ) e ( s ) ，t ，s 0 ，1 】，其中e ( t ) = t ( 1 一亡) 引理2 2 3 假设( h 4 ) 成立，则边值问题 ( 2 2 3 ) 。h ( ) + p z ( 亡) 一a z = m 九( t ) ，o 亡 0 满足 ) 0 ，使得片亡( 1 一t ) h ( t ) d t 0 ，令v ( t ) = a 移( ) ，考虑如下的边值问题 z 似( ) + p z ( 亡) 一q z = a 危( 亡) 【，( ，i x 一口r ) + m 】o 0 ，t ( 0 ，1 】 证明显然可( ) c 4 ( o ，1 ) n c 3 【o ，1 】，y ( t ) 0 ，t ( 0 ，1 】且u ( t ) 满足边值条 件注意到 秒( 4 ( 亡) + z y ( 亡) 一a y = 0 4 ( ) 一移( 4 ( 亡) ) + p ( z ( 亡) 一口 ) ) 一q ( z ( t ) 一u ( 亡) ) = ( z ( 4 ( 亡) + p z ( ) 一q z ( 亡) ) 一( u ( 4 ( t ) + z v ( 亡) 一q u ( t ) ) = a h ( t ) f ( t ，z 一口) + m 】一a h ( t ) m = 入 ( t ) ，( t ，! ，) ， 边值问题条件y ( o ) = u ( 1 ) = 圹( o ) = 可( 1 ) = 0 成立 引理2 2 5 ( 锥拉伸压缩不动点定理) e 为b a n a c h 空间，kce 是e 中的 个锥q 1 ，q 2 是e 中的开集，满足口q 1 ，两cq 2 ，并且a ：k n ( e q 1 ) _ 是全连续算子并且满足下列条件之一： ( 1 ) l l a u l i l i , z l l ，札kn0 f h ；l t a u l l2i i , l l l ，i t kf i 勰2 ( 9 ) l l a u l i i i , , l l ， t t k1 - 10 f t 2 ；l i a u l i l i , , 1 1 ，u ki 10 f h 则a 在kn ( 蕊q 1 ) 至少有个不动点 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 2 3 主要结果 定理2 3 1 假设( h i ) 一( h 6 ) 成立，则存在x 0 ，使得入( o ，天) 时，边值 问题( 2 1 1 ) 至少有一个正解可( 亡) ，y ( t ) 0 ，t ( 0 ，1 】 证明由引理2 2 4 知，只要证明边值问题( 2 2 6 ) 有一个正解z ( ) ，满足 x ( t ) 口( ) ，t ( 0 ，1 】即可定义a ：k _ c o ，1 】， ，i t a z ( t ) = a g ( t ，s ) ( s ) ，( s ，p 一口】+ ) + m d s ( 2 3 1 ) ju 对任意z k 乃z o ) = a f 0 1g ( ，s ) ( s ) 【，( s ，陋一u + ) + m d s 入7 2 f o i 危( s ) e ( s ) ，( s ，囟一叫) + m d s ， 所以i i t ) , x ( t ) l l 垃4 片危( s ) e ( s ) 【，( s ，陋一口】。) + m i d s ，故入詹危( s ) e ( s ) 【，( s ，k 一 口】+ ) + 明d s 鼍掣 t a z ( t ) = a g ( 亡，s ) ( s ) ，( s ，i x u 】+ ) + m d s t l a 7 1 e ( t ) ( s ) e ( s ) ，( s ，i x 一口r ) + m d s _ 4 他7 - - - a e ( ) i i t a 删1 所以t a x ( t ) k ，死( k ) ck 下证乃：k _ k 全连续对n 之2 ，定义h n ( 亡) 如下 。臣 巩危( 扣。 三 t 1 一 一一 n 州1 一拟 对任意礼2 ，我们定义瓦：k k ， ，j t x ( t ) = a g ( 亡，s ) k ( 3 ) l 厂( s ，i x 一移) 】) + m d s ，0 t 1 ，t k j 0 1 一 一 1 一佗 l 一佗 一 一 亡 1 0 和z b r ，由( h 2 ) 知 i t x ( t ) 一乃z ( 亡) i = l a g ( t ，s ) 阶( s ) 一h n ( s ) 】【，( s ，p u ) r ) + m l d s ，u jt l一 7 2 e ( t ) e ( s ) l h ( s ) 一h n ( s ) i 厂( s ，i x 一口) r ) + m d s + 上一击3 2 e ( 帅) l h ( s ) “( s ) | ，( s ，卜u ) 卅卅如 jn y 2 e ( t ) e ( s ) l h ( s ) 一k ( s ) l m o d s ，0 + 上一击他e ( 蝴) 一i 幽 一0 一) ， 其中m o = m a x f ( s ，p 一口) 】+ ) + m ，s 【0 ，1 ，z b r 这里我们用到a ( t ，8 ) 他e ( 亡) e ( 5 ) ，0 t ，s51 ，因此瓦一致收敛a ( n _ o 。) ，故瓦全连续 令 。 l ， ( 2 3 4 ) 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 其中a 1 = m i n t 【q 。a 1 鲁e ( 亡) 由( h 6 ) 知存在n 0 ，使得 f ( t ，z ) l x ，( t ，z ) 【q 1 ，p 1 】【n ，+ 。o ) ( 2 3 5 ) 取r 0 满足r m a x r ，2 a p ，署) ，定义q 2 = z c o ，1 】：忙| l 雄) 一却等) 邢) 一百a p ) 互1 蝌 也就是说， 冲m ，i n 吖邢) 一吣) ) 互1 。器” ) - - - 2 1 1 z i it 【m 啪i l l 】等e = 互1 a r n 因此对任意t 【q 1 ，p 1 】 t a x ( t ) = a g ( 芒，s ) 危( s ) ( ，( s ， z ( s ) 一u ( s ) 1 + m ) d s a g ( 亡，s ) 危( s ) ( ，( s ，p ( s ) 一u ( s ) + ) d s 入g ( 亡，s ) h ( s ) f ( s ，p ( s ) 一 ( s ) 】) d s r 母1 a g ( 亡，s ) h ( s ) f ( s ，( z ( s ) 一移( s ) ) ) 幽 j a l ( 2 3 6 ) 扣e 1 g s m 咖( s ) d s 拉秘川圳r m m 汕 三a l a l 忙i l ( 1 g 啪( s ) d s i i x l l ， 因此l i t z l l i i x l l ，z k n a q 2 由( 2 3 3 ) 和( 2 3 5 ) 和引理2 3 4 知死在kn ( 面q 1 ) 至少有一个不动点， z ) 鲁e ( t ) l l z l l 鲁e ( t ) o a p 鲁e ( 亡) 2a 矽( 亡) = 钞 ) ，t ( o ，1 】由引理2 2 2 存在天 0 ，使得a ( 0 ，天) 时，边值问题( 2 1 1 ) 至少有个正解 1 3 f ( t ，x ) b ，( t ，z ) 陋2 ，忍】( c ，+ 。) ( 2 3 7 ) 令入 玉：= 是，其中a 2 = m i n i q ：，圈鲁e ( t ) 定义q 3 = z c o ，1 】：忙l ls 2 a p ，则对任意t 陋2 ，倪】，x kn o f l 3 ，我们有 邢) 叫归雄) 叫鲁印川圳嘶鲁砸) = 2 入p i 4 7 1 ) 一却等印) 枷扣 因此由( 2 3 1 ) 和( 2 3 7 ) 知 乃z ) = a f 0 1g ( 亡，s ) ( s ) ( ，( s ，陋( s ) 一口( s ) r + 夕) d s 入z 0 1g ( t ，s ) ( s ) ( ，( s ，k ( s ) 一u ( s ) r ) d s r 8 2 a g ( 亡，s ) h ( s ) f ( s ，p ( s ) 一口( s ) 4 ) d s ，p 2 a b g ( 亡，s ) h ( s ) d s 2 a p = 恻| ， 也就是说 l l a z i l l i x l l ，z kna q 3 ( 2 3 8 ) 令f ( z ) = m a x t 【o ，1 】【，( 亡，x ) + m ，x 【0 ，+ 。) 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 1 ) f ( x ) 在【0 ，+ ) 上有界存在d 0 满足f ( x ) d ，z 【0 ，+ ) ，选取 r 1 a dm a x t 【0 ，1 】片a ( t ，s ) h ( s ) d s 对任意z k ，l l x l l = r l ， i i 乃z ( 驯i2 蚓m 0 l a x ji t a z ( 圳2 暑简aza ( t ，s ) 九( s ) ( 厂( s ，i x ( s ) 一u ( s ) 】。+ m ) 如 加m 【o a x 以g ( 亡，s ) 九( s ) 如s r 12 ilxllt61 i o ，l ，n ( 2 ) f ( x ) 在 0 ，+ ) 上无界选取7 7 0 足够小 蛔m a x o g ( t ，s ) d s 1 ( 2 3 9 ) 由( h 8 ) 知l i m z 掣= 0 ，则存在e 0 使得 f ( x ) m a x 2 a p ，r a ，e ) - 满足 f ( x ) f ( r 2 ) ，z 0 ，兄2 】( 2 3 1 1 ) 由x k ，i i z l | = r 2 知0 陋( 亡) 一钉( t ) 】4 x ( t ) r 2 由( 2 3 9 ) 一( 2 3 1 1 ) 慨z ) 1 12 蹦l 乃z ( 亡) l = m a x l 入f o ig ( 荆( m ，阶) 一口( s ) h m ) d s a 嚣躏1 g ( 亡，s ) f ( 忌) d s 入叩r 2 嚣筒1 g ( t ，s ) ( s ) d s 忌 i i x l l 由( 1 ) ( 2 ) 两种情况，取q 4 = _ z c o ，1 】：i i x l i a p 鲁e ) 入咖( ) = ) ，t ( o ，1 】 1 5 第三章非线性三点边值问题的正解 3 1 引言 本章研究了非线性奇异边值问题 d 扣 v 一 ”划0 “ ( 3 - 1 1 ) iu ( o ) = u ，( 0 ) = 0 ，u ”) = q u ，( 叩) ， 正解的存在性，其中0 7 1 ，1 q 石1 ，允许n ( 亡) 在t = 0 ，1 奇异 三阶边值问题起源于应用数学，物理学，控制论等各种学科中，如三层数射 线，电磁波，弹性梁形变或被驾驶的流程，在数论和应用上都有着非常重要的作 用近年来，随着科学研究的进展，三阶微分方程边值问题已经受到人们的广泛关 注，许多作者已做过一系列的研究，其主要技巧是用上下解方法，拓扑度方法， 锥理论和不动点指数方法，微分不等式和打靶法等 文 3 3 】利用g u oa n dk r a s n o s d l s k i ia n dl e g g e t t - w i l l i a m s 不动点指数定理研 究了三阶三点边值问题 iz 胛 ) = l ( t ，z ) ) ，t l t t a ， lx ( h ) = z 7 ( t 2 ) = 0 ，、x ( t 3 ) + 如( t 3 ) = 0 ， 正解的存在性 文 3 2 运用不动点指数定理研究了三阶三点边值问题 i u l ( t ) + n ( 亡) ，( u ( ) ) = 0 ，0 t 1 ， iu ( o ) = 让7 ( o ) = 0 ，u r ( 1 ) = o t u h ) ， 正解的存在性，其中0 叩 1 ，1 o t 丢 文【3 4 利用锥拉伸压缩不动点定理，在较弱的条件下研究了三阶奇异边值问 题 ix l ( t ) + a ( t ) f ( t ，z ) = 0 ，0 t 1 ， 【z ( o ) = ( o ) = x ( 1 ) = z ( 1 ) = 0 ， 正解的存在性 1 6 曲阜师范大学硕士学位论文 受以上文献的启发，本章考虑边值问题( 3 1 1 ) 正解的存在性与原来的文章 相比本章有自己的特色，不仅允许o ( ) 在亡= 0 ，1 奇异，增加了一个变元，通 过线性算子的第一特征值讨论了，为超线性或次线性时解的存在情况，改进了文 献 3 2 的结果 3 2 预备知识 令e = c o ，1 】为b a n a c h 空间，其范数i l u l i = m a xl 乱( ) i ，0 t 1 ， p = u c o ，1 】：u ( t ) 0 ，t 0 ，1 】， b r = d , c o ，1 】：ll u 1 r ) 问题( 3 1 1 ) 在c 3 ( 0 ，1 ) 中的解等价于h a m m e r s t e i n 积分方程 u ( t ) = g ( t ，s ) o ( s ) ，( s ，u ( s ) ) d s 在e 中的解，其中c ( t ，8 ) 为如下的格林函数 f ( 2 亡s s 2 ) ( 1 一q 叩) + 产s ( q 一1 ) ，s 冬m i n 7 7 ，亡) ， = 志嚣嵩：鬻纛倒， 【t 2 ( t s ) ，m a x 叩，亡 s ， 显然a ( t ，s ) 是 0 ，1 】x 【0 ，1 】上的连续函数 定义算子a ，t ：p _ p ( a u ) ( t ) = g ( 亡，s ) a ( 8 ) f ( s ，u ( s ) ) d s ，t 0 ，1 】， ( t u ) ( t ) = g ( t ，s ) a ( s ) u ( s ) d s ，t 0 ，1 】 引理3 2 1 ( 不动点指数定理) e 为b a n a c h 空间， 尸ce 是e 中的个 锥 n ( p ) 为p 中的一个有界开集，a ：q ( p ) _ p 全连续算子如果存在 u o p p ) 满足u a u # u o ，札a q ( p ) ，p 0 ，那么i ( a ，q ( p ) ，p ) = 0 1 7 第三章非线性三点边值问题的正解 引理3 2 2 ( 不动点指数定理) e 为b a n a c h 空间， 尸ce 是e 中的一个 锥f l ( p ) 为p 中的一个有界开集且0 a ( p ) 满足a ：f l ( p ) 一p 为全连续算 子如果a 乱p “，u 0 f f ( p ) ，p 1 ，那么i ( a ，q ( p ) ，p ) = 1 引理3 2 3 3 2 】当0 叼 1 ，1 q 石1 时，有0 a ( t ，s ) 9 ( s ) ，( 亡，s ) 0 ，1 】x 0 ，l 】 引理3 2 4 【3 2 】当