（应用数学专业论文）几类差分方程的振动性研究.pdf

i e 方工韭大学硕士学位论文 摘要 差分方程的振动性研究是差分方程定性理论研究的一个重要组成部分在实际生 活中，如生物数学、经济学等学科中提出的模型大量的应用了差分方程作为数学模型 来描述 本文分别研究了具有多时滞偏差变元的二阶中立型差分方程以及方程的差分算 子、二阶中立型差分方程，二阶中立型变时滞差分方程的振动性，所得结果推广、丰 富了已有文献中的相关结论 首先，介绍了差分方程及其振动理论的历史背景、研究现状及其发展趋势和有关 振动的基本概念，以及本文主要研究内容和本文的结构 其次，研究了具有多时滞偏差变元的二阶中立型差分方程的振动性质，是对单时 滞差分方程振动性的推广，得到了该类方程振动的两个定理，其结论包含了已有文献 的结果 并次，研究了一类具有多时滞差分方程的差分算子的振动性质，得到了该类差分 算子振动的充分条件，推广包含了已有文献的结论。 另外，研究了一类非线性二阶中立型差分方程的振动性质，扩大了系数的范围， 给出了方程的三个振动性定理以及对应的实例所得结果是当系数扩大后，关于二阶 中立型差分方程振动性的全新结论 最后，研究了二阶中立型变时滞差分方程的振动性问题，扩大了系数的范围，得 到了该类方程全部非平凡解振动的三个定理，所得结果将二阶中立型差分方程已有的 振动性的相应结论推广到了中立型变时滞差分方程 关键词：中立型，变时滞，非线性，差分算子，振动性 北方t 业大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h eo s c i l l a t i o no fd i f f e r e n c ee q u a t i o ni sa l li m p o r t a n tc o m p o n e n to ft h eq u a l i t a t i v e t h e o r yo fd i f f e r e n c ee q u a t i o n i nr e a ll i f e , s u c ha sb i o l o g i c a lm a t h e m a t i c s ，e c o n o m i c sa n d o t h e rs u b j e c t s ，al a r g en u m b e ro ft h em o d e l s h a v eb e e na p p l i e dt od i f f e r e n c ee q u a t i o n sa s m a t h e m a t i c a lm o d e lt od e s c r i b e t h i sp a p e rs t u d i e st h eo s c i l l a t i o no fal ( i n do fs e c o n do r d e rn e u t r a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n s w i mm u l t i d e l a yd e v i a t i o nv a r i a b l e ，a sw e l la se q u a t i o no p e r a t o r , s e c o n d - o r d e rn e u t r a l d i f f e r e n c ee q u a t i o n ，s e c o n d - o r d e rn e u t r a lv a r i a b l ed e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n ，t h er i c hi nt h e l i t e r a t u r eh a v ec o n c l u d e d f i r s t l y , w ei n t r o d u c et h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n do fd i f f e r e n c ee q u a t i o na n di t so s c i l l a t i o n t h e o r y , r e s e a r c hs t a t u sa n dd e v e l o p m e n tt r e n d sa n dt h eb a s i cc o n c e p to ft h eo s c i l l a t i o n ，a s w e l la sm a j o rr e s e a r c hc o n t e n ta n dt h es t r u c t u r eo ft h i sp a p e r s e c o n d l y , w ee x p l o r et h eo s c i l l a t i o nf o rak i n do fs e c o n do r d e rn e u t r a ld i f f e r e n c e e q u a t i o n sw i t hm u l t i - d e l a yd e v i a t i o nv a r i a b l e ，t w os u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eo s c i l l a t i o n o ft h i sk i n do fe q u a t i o na r eo b t a i n e d ，w h i c he x t e n dt h er e s u l t so ft h ee q u a t i o n sw i t h s i n 酉e d e l a ya n dc o n t a i nt h ep r o p o s e dr e s u l t s t h i r d l y , w ec o n s i d e rt h eo s c i l l a t i o n f o rd i f f e r e n c ee q u a t i o nw i t hm u l t i d e l a y , a s u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h eo s c i l l a t i o no fd i f f e r e n c eo p e r a t o ri so b t a i n e d ，w h i c hc o n t a i n s t h ep r o p o s e dr e s u l t t h eo s c i l l a t i o nf o ra n o t h e rc l a s so fs e c o n d o r d e rn o n l i n e a rn e u t r a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n s i ss t u d i e d ，t h es c o p eo ft h ec o e f f i c i e n ti se x p a n d e d ，t h r e eo s c i l l a t i o nt h e o r e m sa n dt h e c o r r e s p o n d i n ge x a m p l ea r eo b t a i n e d t h er e s u l t sa r en e ww h e nt h es c o p eo ft h ec o e f f i c i e n t i se x p a n d e d f i n a l l y ，w es t u d yt h eo s c i l l a t i o nf o rs e c o n do r d e rn e u t r a lv a r i a b l ed e l a yd i f f e r e n c e e q u a t i o n ，t h es c o p eo ft h ec o e f f i c i e n ti se x p a n d e d t h r e es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e o s c i l l a t i o no fa l ln o n t r i v i a ls o l u t i o n so ft h ee q u a t i o na l eo b t a i n e d o u rr e s u l t sg e n e r a l i z e s o m ek n o w nc o n c l u s i o n so fs e c o n d - o r d e rd i f f e r e n c ee q u a t i o n k e y w o r d s ：n e u t r a lv a r i a b l ed e l a y , n o n l i n e a r , d i f f e r e n c eo p e r a t o r ，o s c i l l a t i o n 2 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得j 壁友王 些太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北立工业太学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论 文被查阅和借阅。本人授权北方工业大堂可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：饺肇红 签字日期：加舴f 月药日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师虢驰- a 签字日期：2 孵t 月拥 电话： 邮编： l 毫方工照大学硕圭学位论文 1 引言 近年来，由于电子计算机的迅速发展，信息科学、工程控制、医学、生物数学、 现代物理化学、社会经济学等自然科学和边缘学科所研究的很多重要问题，例如：高 速运行的计算祝中无损传输线路的规律、种群数量的变化规律、物质反应速度以及投 入产出的变化规律等等都是由微分方程和差分方程来描述的数学模型，因此，对于微 分方程和差分方程的研究就成为研究中的热点本章首先介绍了本课题的历史背景、 国内外研究现状及其发展趋势，然恁介绍了本文主要研究内容，最爱介绍了本文的组 织结构 1 1 课题的历史背景、研究现状及其发展趋势 微分方程是数学分折的继续和发展，是微积分在数学物理研究领域最重要的应用 之一1 6 7 6 年，莱布尼茨致牛顿的信中，首次提出了“微分方程 这个名称经过几个 世纪众多数学家和广大数学工作者的不懈努力，逐步形成为数学科学的中心学科它 历史悠久的内容就数学意义下的难度翻精彩程度露畜，也是足够弓| 人入胜的；嚣时， 它作为十分重要的数学工具，在其它许多学科中有着广泛的应溺然而，找到给定方 程的解析解并不是一件容易的事情，而且可以求解析解的常微分方程类型很少因此， 在找不到方程的解析解的时候，由方程本身出发，对其进行定性研究也不失为一种可 行的方法丽在定性理论的研究中，振动理论是研究的热点之一 振动理论是微分方程定性理论的一个重要分支，也是近十几年来定性理论研究中 十分活跃的一个方向，在科学技术领域中有着非常广泛的应用众所周知，由g s t u r m 建立的齐次二阶线性微分方程解的零点分布的比较理论和分离理论为微分方程振动 理论的研究奠定了基础 微分方程的振动问题最初是1 8 3 6 年，由s t u r m 研究热传导方程时导出二阶线性常 微分方程x 一( ) + 露 0 ，它的每个解都是单调增长的，但与其相应的差分方程 d t 宜 哦= a x ( 1 一k ) 有可能出现混沌解并没有相廒的单调的性质。这就有了本质性的区 别诸如此类的差异不胜枚举差分方程与其相应的微分方程之间的差异，以及差分方 程本身所有的内涵，都表明差分方程值得进一步的探讨和分析，这也决定了差分方程 在自然科学研究中应有的一席之地 然而，对子差分方程理论的研究还不是缀成熟，因为差分方程理论研究的历史菲 常短，真正开始在9 0 年代初期在近十多年的时间里发展的较为迅速，在些文献中 出现了大批的研究成果其中比较有影响的代表性著作有r p ag a r w a l 在1 9 9 2 年出版 的专著瓢筋，至。g y o r i 和g l a d a s 在9 圭年出舨的文嘲等其中文嘲在介绍差分方程基本理 论、总结已有结果和方法的基础上，提出了许多研究问题，尤其是在书中专门有一部 分就研究过程中遇到的不能解决的问题以“公开问题 的形式提出来，供研究者去 探讨这些褥题弓| 起了很多研究者的强烈兴趣，对推动差分方程的理论研究起到了较 大的促进作用 1 9 9 5 年国际差分方程期刊( j o u r n a lo fd i f f e r e n c ee q u a t i o n sa p p l i c a t i o n s 的创立为差分方程研究的交流与合作提供了一个舞台，更加推动了差分方程理论研究 的发展尤其是该杂志编辑g l a d a s 教授把各国学者在研究中新遇到的不麓解决的问 题，以“公开问题与猜想 的形式在杂志专栏上提出，激起了人们的研究兴趣，从而 大大促进了差分方程理论研究的发展 通过上露豹叙述，我们知道差分方程可以强有力地解决许多实际阉题，大量的自 然现象和科学技术，常常可以用常差分方程作为数学模型来描述，对于这种情形，实 际上已经假定了事物发展的趋向仅有其当前的状态决定而不明显的依赖于其过去或 未来的状态，但是，大量的事实告诉我们，许多事物的发展变化规律并不仅仅依赖于 当前的状态，还可能依赖予过去的或者未来的状态，甚至是与两者都有关系用一般 的差分方程作为数学模型己不能完全的描述这类现象，这时只能用时滞差分方程、或 中立型差分方程、或偏差分方程等等 通常称瓴+ 魏矗= o , k n 为阶时滞差分方程，这一说法主要来源予泛亟微 。 分方程人们总是把它看成是一阶时滞微分方程竿+ p ( t ) x ( t r ) = 0 的离散形式类似 d f 地，方程搠+ 霰藏一女= o ，是n 称为m 阶时滞差分方程。 对于时滞差分方程振动理论这一课题的研究只有不到二十年的历史，因为微分方 麓方王业大学硕士学位论文 程与相应的差分方程的解的性质有些是不同的，因此进一步研究是很有必要的例如 文融澜介绍了近年来国内外学者在时滞差分方程振动理论方面新的研究成采，雷前时 滞差分方程的定性理论的研究已经获得了长足的发展，至今这领域的发展还是相当 活跃的，已有许多新的研究成果在时滞差分方程的定性理论的研究中，振动性问题 是其中一个重要课题，这是因为很多方程在带有时滞和不带时滞时酶振动性与非振动 性有明显的差异，所以我们要关心的是时滞对方程解的振动性的影响，以及具有多时 滞时，对方程解的振动性的影响 我们通常称方程( 吒一致) + 蟊。= 0 为一阶中立型时滞差分方程，也删一阶 中立型差分方程之所以叫它为中立型差分方程，主要是因为在方程中的差分算子 下含有时滞k 事实上泛函微分方程【工( f ) 一p ( t ) x ( t - r ) 7 + g ( f 沁o 一仃) = 0 也叫做一阶中 立型时滞微分方程类似地，方程舻矗一魏苁一女) + 致。= o e p q 做掇阶中立型时滞差 分方程，有时也直羧霹q 傲娜阶中立型差分方程 对于中立型差分方程，它与时滞差分方程密切相关，而且在实际生活中有着广泛 的应用例如，在人豳理论、“c o b w e b 经济模型以及工程控制等领域有着理论意义 和应用价值。近些年来，人们对研究一阶连续变量的差分方程的振动性越来越感兴趣， 燕居让教授等人在文n 们“5 3 中，研究了具有连续变量的一阶差分方程的振动性，熊万明、 王志成教授在文n 印中，以及文n 力研究了方程 ( x 0 ) 一p x ( t f ) ) + g ( ) x 8 一c r ) = 0 的振动性，这是具有连续变量的一阶中立型差分方程，然而，对于二阶中立型差分方 程的振动性工作并不多见例如文n 町考虑的一类具有连续变量的二阶中立型差分方程 ；( x 8 ) + e ( # ) x 一f ) ) + p ( t ) x ( t 一盯) = 0 的振动性，得到了方程振动的一些充分条件。文瓢妨研究的是多时滞方程 三 y ( f ) 一y ( f f ) + b ( f ) y ( f q ( f ) ) = 0 i = 1 对于非线性的中立型差分方程的研究到嚣翁为止，相关文献很多，但是振动条件 要求很严格，因此考虑具有多时滞的差分方程、二阶非线性中立型差分方程是非常有 现实意义以及理论研究意义的 为了行文方便，现将本文用到的基本概念以及记号叙述如下： 是一个差分算子，定义为： a x = x n + i 一， 矗= 瓴+ l 一缸。， a ，x ( 手) = x ( t + f ) 一x o ) ， j 艺方工业大学硕士学位论文 a ；( x ( f ) ) = a ，( a ，( x ( f ) ) ) 定义1 如采数列纯 满足一个方程，则称数列 是这个方程的解对予方程 的解 ) ，如果存在，使得当n 芝n 时，有 0 ，则称 扎) 为此方程的最终正解 定义2 如果方程的解 毛) 既不是最终正解，也不是最终负解，则称方程的解 以) 是振动的如果方程的所有解振动，那么称该方程是振动的 定义3 如果对一个方程的任意解g ( f ) ，都有，g ( t ) 是振动的，那么我们称该方 程的差分算子，是振动的 就方工业大学硕士学位论文 1 2 本文研究内容 本文主要研究了三类差分方程及一类差分算子的振动性，推广和丰富了已有文 献中的相关结果 在第二章中研究了具有多时滞偏差变元的二阶中立型差分方程 ；( x ( f ) + c o ) x p r ) ) + b ) 地一q ) = o ，t t o ，刀为自然数 ( 1 1 ) i = 1 的振动性质其中：f 0 ，f 0 ，c ( f ) ，p i ( f ) 毯4 t o ，+ ) ，p ；( f ) 0 得到了该类方 程振动的两个定理。 定理1 2 1 设存在某t 气，使得对任何t 滏l p i ( f + j r ) j 1 一c ( f + 弦一瑚= + c o j = li = 1 成立，且0 c ( f ) 0 ，使得对任何t t ， p i f + 歹爹) = + 0 0 ，搿lf = l 成立，且一c 。c ( t ) 0 时，则方程( 1 1 ) 的所有有界解是振动的 在第三章中研究了方程 磊；o + c o 冷o r ) ) + p i ( t ) x ( t - c r i ) = 0 ，t _ t o ，l 为自然数 ( 1 2 ) i = 1 的差分算子a ，x ( f ) 然x ( t + 丁) 一x ( f ) 的振动性质 其中：f 0 ， 0 ，) ，p a t ) c t o ，) ，p i ) 0 定理1 2 3 设存在某t t 。，使得对任何t t ，有 p i ( t + j r ) = + o o ( 江1 ，2 ，雄) j = l 成立，若c ( f ) 量c ，c 为正常数，则方程( 1 2 ) 中的差分算子，是振动的 在第四章中研究了一类二阶非线性中立型差分方程 a 2 ( x 。+ p x , 。) + g 。f ( x n + 女) = 0 ， ( 1 。3 ) 的振动性质其中：z o ，k n ，p - 1 为非零常数，糖。 最终非负且最终不恒 为零，f ：r 专r 为连续函数，且满足矿( x ) 0 ( x 0 ) 得到了该类方程振动的三个 定理 定理1 2 4 对于方程( 1 3 ) ，若p 一l ，存在常数l 0 ，使x ，( 力l ，量 靶方工韭大学硕士学位论文 z q 。篇时，则方程( 1 3 ) 是振动静。 定理1 2 5 设0 p 0 ，三 o x - 厂( x ) ，若存在正数序列 纸) ， 使得弘啪一罗蝎一警p 煲 l 方程 3 ) 是振动的 定理1 2 6 设p 一1 ，x f ( 0 ，f 是单调不减的函数，若存在数列白。) 使 吼= ，则方程( 1 3 ) 是振动的 在第五章中研究y - - 阶中立型变时滞差分方程 2 ( + p x 。一，) + g 。f ( x 叮( 。) ) = 0 ( 1 4 ) 解的振动性其中：l o ，p 为菲零常数，舻撵) 为实数数列，殛。，最终非负且 最终不恒为零，f ：r r 为连续函数，且满足妒( 力 0 霉0 ) 得到了该类方程解 的三个振动准则 定理1 2 7 对于方程( 1 4 ) ，著满足以下条件： 1 ) p - 1 ；仃( 嚣) 露，且万( 霸) 递增； 2 ) 存在常数三0 ，使x - 1 f ( x ) l ； 3 ) z q 。= 。成立， 则方程( 1 4 ) 是振动的 定理1 2 8 对于方程( 1 4 ) 若满足以下条件： 1 ) 0 p o ，x - 1 ，( 石) ； 3 ) 存在正数序列纸 ，使得荟o o 【吼( 1 一p ) 五一警】= 成立， 羹l j 方程( 1 。4 ) 是振动的 定理1 2 9 若方程( 1 4 ) 满足如下条件。 1 ) p - 1 ： 2 ) 是单调不减的丞数； 3 ) 若存在数列国。) 使g 。= 成立， 剥方稷( 1 。4 ) 是振动的 = l 艺方工韭大学硕士学位论文 1 3 本文结构安排 本论文共分六章： 第章引言本章首先简要地介绍了本课题的历史背景、国内外研究现状及其发 展趋势，以及本文所用到的相关定义，然后介绍了主要研究内容和本文结构安接 第二章其有多时滞偏差变元的二阶中立型差分方程的振动性本章研究了差分 方程( l1 ) 的振动性问题，给出了方程的两个振动性定理以及两个推论 第三章一类差分算子的振动性本章研究了方程( 1 2 ) 的差分算子的振动性质 得到了该类差分算予a ，x ( f ) = x ( t4 - f ) 一x ( ) 振动的充分条件以及推论。 第四章一类非线性二阶中立型差分方程的振动性本章研究了方程( 1 3 ) 的振 动性质给出了方程的三个振动性定理以及对应的实例 第五章二阶中立型变时滞差分方程解的振动性本章研究了方程( 董。4 ) 的解的 振动性，得到了该类方程解的三个振动准则 第六章结论部分总结了本文所做的研究工作，以及对未来的研究工作提出的设 想 北方工业大学硕士学位论文 2 舆有多时滞偏差变元的二阶中立型差分方程的振动性 2 1 引言 差分方程的定性研究在理论翻实际应震中都有十分重要的意义，面振动性是定性 理论的一个重要分支王联、王慕秋在所著书强3 1 中介绍了差分方程的基础理论，张广、 高英也在书口中介绍了差分方程振动理论的基本概念，并且总结了一些基本的差分方 程的振动性结论现阶段，关于具有离散变量的差分方程的研究比较多见，而对于具 有多时滞偏差变元的二阶中立型差分方程的研究并不多觅张玉珠、燕屠让在文珏4 研 究了具有连续变量的差分方程 y o ) 一y ( t 一彳) + p ( t ) y ( t o r ) = 0 ( 2 1 ) 戳及具有多个时滞的差分方程 y ( t ) - y ( t - r ) + p ，( t ) y ( t - t r i ) = 0 ( 2 2 ) i - - 1 的振动性，褥到了足个充分条件 熊万民、王志成在文n 司研究了对具有连续变量的一阶中立型差分方程 a t x ( t ) 一p x ( t - r ) 】+ q ( t ) x ( t 一仃) = 0 ( 2 3 ) 的振动性 支| j 召爽、吴淑慧在文班霹中对具有连续变量的阶中立型差分方程 ，( x ( f ) ( f _ ，) ) 十q j x ( t - t r f ) = 0 ( 2 4 ) l = l 的振动健进行了研究，褥出了此类方程振动的几令充分条件。 孙书荣、韩振来在文n 嬲中研究了一类具有连续变量的二阶中立型差分方程 ：( x ( f ) + c ( f ) x o r ) ) + p ( t ) x ( t o r ) = 0 ( 2 5 ) 的振动性，得到了方程解振动的几个充分条件。 本章正是在此基础上考虑了一类具有多时滞偏差交元的二阶中立型差分方程 ；( x o ) + c o ) x o f ) ) + p _ i ( t ) x ( t - t r i ) = 0 ，t _ t o ，l 为自然数 ( 2 6 ) i = 1 的振动性质。其孛：拶f 0 ，f 0 ，e ( ) ，只( ) 纛d 岛，。) ，p ( 爹) 0 。褥到了该方程 的几个振动定理，所得的结论改进、推广了文n 8 1 中的已有结论 就方工业大学硕士学位论文 2 2 主要定理及其证明 定理2 2 1 设存在某t - t o ，使得对任何t l p t ( f + j r ) j 1 一c f + 矗一萨f ) 】= + 0 0 i = 1i = l 成立，且0 c ( f ) 0 由方程( 2 6 ) 得 即 而 所以得出 a ；z ( t ) = - e p i ( t ) x ( t - o i ) ，瞰( o o ， i = 1 a ；z ( t ) o ， a 2 ，z ( t ) = a ，z ( t + f ) 一a ，三) ， a ，z ( t + f ) a ，z ( t ) 并且可以证明a ，z ( f ) 0 用反证法假设存在常数t l t o ，使，z ( f l 0 ， 由于 ，z ( f i + f ) a ，z ( 6 ) ， a ，z ( t l + 2 r ) a ，z ( t l + f ) ， a ，z ( t l + i r ) a ，z ( t l + ( f 一1 ) f ) ， 上述i 个式子相加可得： a ，z ( 6 + i t ) sa ，z ( t t ) 。 所以得出，当f l 时，a ，z ( 6 + i r ) a ，z ( t 1 ) 成立，即 红+ o + 1 ) f 卜z ( + f r ) a ，z ( ) ， 对上式两边i 从王到m 求和得 当f = 1 时，z ( + 2 r ) - z ( 6 + f ) 墨a ，z ( ) ； 当i = 2 时，z ( 6 + 3 r ) - z ( t i + 2 r ) a ，彳( ) ； j 艺方工业大学硕士学位论文 当z = 嬲时，如+ ( m + 1 ) r - z ( t l + 朋f ) ，z t o ，令f = 如+ 声，是自然数，将f 代入( 2 9 ) 式得 ；z ( 乏+ ，f ) + p , ( t 2 + j r ) z ( t z + 声一q ) 【l e ( 乏+ 声一吒) 】o ( 2 1 0 ) t = 1 由于z ( 乞q + 少) z 也一q ) ，( 2 1 0 ) 式可化为 i z 之声) + p ；( t 2 + j r ) z ( t z g ) 【l e ( 乏+ 声一) 】o 北方工业大学硕l ：学位论文 将上式两边对歹从l 到自然数m 求和得出 搬撵 厶，z 【如+ ( 蹦+ 1 ) r 卜，z ( 乞+ r ) + 舅( f 2 + 声) z ( 乞一g ) 【l c ( 乞+ 声一q ) 】o j = li = i 即： p i ( t 2 + j r ) z ( t 2 一吒) 【l e ( 乞+ j r g 】，z 如+ f ) 一，莲乞+ 劬+ 1 ) f 】 j l i - - i 由于a ，z ( f 2 + f ) a ，z ( t 2 + ( 聊+ 1 ) f ) ， 所以当n 一捆时，可得： p i ( t 2 + j r ) z ( t 2 - o r ) 1 一c ( t 2 + j r q ) 】佃， 卢l i = l 又因为： m 埘i n z ( t 2 一q ) 篷z ( f 2 一吒) 孑( f 2 一吒+ 歹f ) ， 得出 p j f ( t 2 歹f ) 【l e ( | 2 + 歹f 一唾 t o ，q 0 ，使得对任何t r ， 只( f + ，r ) - f 0 0 ；li = 1 成立，且一c ，c ( f ) 0 时，则方程( 2 6 ) 的所有有界解是振动的 证明：反证法。假设方程存在有界的菲振动解，不妨设其最终为正 令z ( t ) 燃x ( f ) + c ( t ) x ( t f ) ，因为一q c ( f ) 0 ，所以z ( f ) 也是有界的 由1 1 - c ( t ) 1 + c l ，所以( 2 9 ) 可化为 硌( f ) + p i ( t ) z ( t - c r i ) - a 2 ，z ( t ) + 藏。弘。一o - 3 0 一c ( t 一媛) 】o ， ( 2 。1 1 ) i = lj = l 由方程( 2 6 ) 可得 ；z ( ) 揣一p l ( t ) x ( t - c r y ) t o ，使a ，z ( 6 ) 。 所以得出：当f 1 时，z ( t l + i t ) a ，z ( t 1 ) 成立， 即 z 【毛+ 9 l f 卜z ( 毫+ 拓) a ，z ( 鑫) ， 对上式两边i 从l 到m 求和得 当f = l 目寸，z ( + 2 r ) - z ( 6 + r ) ，z ( t 1 ) ； 当f = 2 时，z ( 毛+ 3 r ) - z ( 6 + 2 r ) a ，z 黛) ； 当f = m 时，z 6 + ( ，”+ 1 ) f 】一z ( f l + 删f ) a ，z ( ) 上述m 个式子相加褥 z 【 + ( m + 1 ) r 卜z ( + f ) g ，符，z ( 毛) 因此可以得出 l i r az 暖+ 锄+ 1 ) r 卜蝴 挪 + 0 这与z ( f ) 0 是矛盾的 即有： a ，z ( t + f ) a ，z ( ) ，a ，z ) 0 。 取充分大的 t o ，令t = 6 + 声，j 是自然数，将t = 岛+ 声代入( 2 1 1 ) 式得 a ；z ( 岛+ 歹f ) + p t ( t 3 + j r ) z ( t 3 + 声一q ) 蕊o f 赫l 由定理2 。2 。1 的证鞠知，z 也一g + 弦) z ( 岛一) ，所以得出 a ；z ( t 3 + j r ) + p i ( t 3 + j r ) z ( t 3 - o i ) - a 2 , z ( 6 + r ) + n ( 如+ j r ) z ( t 3 + j r - o f ) 0 i f f i li = 1 如定理2 2 堇所证，将上式两边对歹从1 到自然数m 求和褥如 = l 艺方工监大学硕士学位论文 ，z 魄枷+ 1 ) 母a ，z ( t 3 + f ) + p , ( t 3 + j r ) z ( t 3 - c r , ) t o ，栉为自然数 i = 1 的振动性是对文n 8 1 中所研究问题 蕾( x ) + c ( t ) x ( t f ) ) + p ( t ) x ( t - c r ) = 0 的扩展和补充将文n 鲫所研究的方程变为具有多时滞的二阶中立型差分方程，得到了 所研究方程的两个振动定理本章所研究的方程包含了n 4 。1 踟所研究的方程类型，推广 了疆 糟1 的部分结论 佃 力 + 0 辫 。瑚 珥脚 j 艺方工业大学硕士学位论文 3 一类差分算子的振动性 3 1 引言 在文潮中，作者研究了一类带有多个滞量的二阶中立型差分方程 ? ( p ( ，z ) 石( ，1 ) + g ( n ) x ( 刀一，孵) = ( n ) x ( n - k f ( ) ) ，咒以o ( 3 1 ) i = 1 的差分算予的振动性，得到了差分算子a x ( n ) 的振动定理 在文n 8 1 中，作者研究了一类具有连续变量的二阶中立型差分方程 ：( x 0 ) + c o ) 工o - r ) ) + p ( t ) x ( t 一拶) = 0 ( 3 2 ) 镌差分算子a ，x ( 手) 蒜x ( t + f ) 一菇( ) 的振动性 本章研究方程 ；( x ( f ) + “f ) 烈f f ) ) + p i ( t ) x ( t - o i ) = 0 ，t _ t o ，刀为自然数 ( 3 3 ) i = 1 的差分算子的振动往其中：1 7 f 0 ，f 0 ，c ( ) ，p i ( t ) c t o ，+ o 。) ，p f ( t ) 0 给出了该类方程差分算子振动的个充分条件以及推论，丰富了已有文献中的结论 3 ，2 主要定理及其证明 定理3 2 1 设存在某t t 。，使得对任何f 疋有 易f + 歹f ) = 佃( f = l ，2 ，嚣) j = l 成立，若c ( t ) 兰c ，c 为讴常数，则方程( 3 3 ) 中的差分算子众，是振动的 证明：用反证法假设方程( 3 3 ) 中的差分算子赴非振动，则存在方程( 3 。3 ) 的一个解x ( t ) ，满足以下四种情形之一： 1 ) x ( f ) o , a ，x ( f p 0 ； 2 ) x ( f ) o ，a ，石( f ) 0 ； 3 ) ) 0 ； 4 ) x 0 ) o 成立，c ( t ) 兰c 0 。 则有 北方工业大学硕+ 学位论文 a ，z ( f ) = z + r ) - z ( t ) = a ，x ( t ) + c a ，x g f ) 0 令y ( f ) 然篇， 辫( f ) 加一诉) = 埘n 鼹。) 雄一吒) ) ， ( 1 0 ，n - i 得 啪一t 绅妒y = 鬻一 一a z ：( t ) x ( t - r q ) 一a ，z ( t ) x ( t r q ) x ( t o i ) x ( t f 一呸) t o ，令爹= 毫+ 声，歹是自然数，将江毫+ 声代入上式得 a ，y ( + j r ) 一，觋( + f ) ， 将上式中的歹从1 加到m 得 夕f + ( 搬+ 1 ) r 卜夕( + f ) 一耀a ( 毛+ 声) j = l 当m 斗佃时，得出 y ( 是+ 彻+ 1 ) f ) 0 是相互矛盾的所以假设不成立 2 ) 假设x ( t ) o , a ，x ( t ) 0 ， 厶，z ( f ) = a ，x ( f ) + c ( t ) a ，x ( t f ) a ，z ， a ，z ( t + 2 0 a ，z ( f + f ) ， a ，z ( t + j r ) a ，z ( t + ( j - 1 ) r ) ，其中歹力自然数。 北方工业大学硕士学位论文 上述歹个式子相加褥： a ，z ( t + j r ) s a ，z ( ) 取充分大的乞 t o ，则有 ，z ( 乞+ 歹f ) sa ，z ( t o 将主式的，放圭加到群得： 红如+ ( 行+ 1 ) f 卜z ( 乞+ f ) 蕊n a ，z ( 乞) 0 是相互矛盾的 故假设不成立。 3 ) 假设f 0 成立，则有： z ( f ) = x ( f ) + c ( t ) x ( t r ) 0 ， a ；z ( 磅= ，z ( t + r ) - a ，z ( o = - e p f ( t ) x ( t - c r y ) _ 0 ， t = l ，z ( t + r ) a ，z ( f ) ， a ，z ( t + f ) a ，z ( f ) ， a ，z ( t + 2 0 a ，z ( t + f ) ， 。 ，z ( t + 歹f ) a ，z ( t + ( 歹一o r ) ， 上述个式子相加，可以得出 ，z ( t + j r ) a ，z ( t ) ，其中歹为自然数， 取充分大的毛 t o ，则有 a ，z ( 如+ j r ) ，z ( 如) ， 并将歹从1 加到n 褥： z 【岛+ ( 嚣+ 1 ) 】一z ( t 3 + f ) n a ，z ( 岛) ， 当n 斗悯时，得 l i mz 【毛+ ( 刀+ 1 ) f 】= 4 0 0 _ 这与z ( ) 0 是相互矛盾的故假设不成立 乾方下业大学硕士学位论文 4 ) 假设x ( t ) o ，x ( t ) o 成立，则有： z ( f ) = x ( ) + c ( t ) x ( t - r ) 0 ， x u z o i ) 则有： 珊脚m m ，= 鬻一 ：垒；互g ! 兰垒二三二堡2 = 垒：兰! 1 2 三堡二! z 受! x ( t c r , ) x ( t f o 3 篇：一气ypk而(t)x(t厂-ok)一百npt(t)x(t-crl)x(t ：吲力 一q )“f q )瓤f q ) “ 其中：p t ( t ) x ( t - c r _ f ) = m i n p k ( t )