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几种奇异期权的保险精算定价研究 摘要 所谓期权，就是在购买者支付一定的权利金以后赋予购买者在预先约定的 时间以预先约定的价格买入或卖出某项原生资产的权利期权理论研究的重点 之一就是如何确定日趋复杂的期权的价值在期权定价研究方面，8 0 年代以前 的研究一般都假定市场是完善的，这是比较理想化的假设条件近十多年来， 期权定价理论在研究不完善市场条件下如何确定期权价值问题方面得到了很大 发展，其中保险精算方法是一种重要的方法 保险精算方法将期权定价问题转化为等价的公平保费确定问题，由于无任 何经济假设，所以它不仅对无套利、均衡、完备的市场有效，且对有套利、非 均衡、不完备的市场也有效。其基本思想是：无风险资产( 确定的) 按无风险 利率折现，风险资产( 随机的) 按期望收益率折现，欧式期权的价值等于在期 权被执行时股票期末价值按期望收益率折现的现值与执行价( 无风险的) 按无 风险利率折现的现值之差在股票价格实际概率测度下的数学期望。 奇异期权比标准期权更复杂，对其定价，传统的方法是用b l a c k s c h o l e s 所 建立的偏微分方程方法求解，或用二叉树模型近似地模拟计算。但是这些工作 很烦琐且困难本文利用随机分析和概率论知识对后定选择权、复合期权和交 换期权这几种重要的奇异期权定价问题进行了探讨，主要有以下工作：第一， 利用公平保费原则和价格过程的实际概率测度一保险精算方法给出了后定选择 权、复合期权和交换期权的一般定价公式；第二，在标的资产价格服从几何布 朗运动模型假设下，求出了精确的表达式 关键词：期权定价；后定选择权；复合期权；交换期权；精算方法；几何b r o w n 运动 a s t u d y o ns o m ee x o t i co p t i o n sp r i c i n g u s i n g a l la c t u a r i a la p p r o a c h a b s t r a c t a no p t i o ni sac o n t r a c tt h a tg i v e st h eh o l d e rt h er i g h tt ob u yo rs e l la l l u n d e r l y i n ga s s e tb yac e r t a i nt i m ef o rap r e d e t e r m i n e dp r i c ea f t e rp a y i n go f ft h e o p t i o np r e m i u m o n ei m p o r t a n ta s p e c to ft h er e s e a r c ho no p t i o np r i c i n gt h e o r yi s f o c u s e do nh o wt op r i c et h em o r ea n dm o r ec o m p l i c a t e do p t i o n s b e f o r e1 9 8 0 s ， t h e r ei sa ni d e a la s s u m p t i o no no p t i o np r i c i n gr e s e a r c h ，w h i c hi st h em a r k e ti s p e r f e c t i nt h e s et e ny e a r s ，w em a d eg r e a tp r o g r e s so nh o wt op r i c eo p t i o n su n d e r i m p e r f e c tm a r k e t ，o n eo fi m p o r t a n tm e t h o d si sa c t u a r i a la p p r o a c h a c t u a r i a la p p r o a c ht u r n st h e o p t i o np r i c i n gp r o b l e m i n t oa n e q u i v a l e n t i n s u r a n c eo raf a i rp r e m i u md e t e r m i n a t i o n t h e r ea r en oe c o n o m i c a lc o n s i d e r a t i o n s i n v o l v e d ，a n do u ra p p r o a c hi sv a l i de v e nw h e nt h em a r k e ti sa r b i t r a g e ， n o n - e q u i l i b r i u ma n di n c o m p l e t e n e s s t h eb a s i ci d e ai st h ef o l l o w i n g ：d i s c o u n tr i s k f r e e ( d e t e r m i n i s t i c ) f u t u r ep r i c e sa c c o r d i n gt ot h er i s k f r e e i n t e r e s tr a t ea n d s t o c h a s t i cp r i c e sa c c o r d i n gt ot h e i re x p e c t e dr a t eo fr e t u r n w i t ht h e s ed i s c o u n t e d p r i c e sw ec a nc a l c u l a t et h ep r i c eo fac e l lo p t i o na st h ee x p e c t e dv a l u eo ft h e d i f f e r e n c eb e t w e e nt h ea c t u a lp r i c ea n dt h es t r i k ep r i c e ( i np r e s e n tv a l u e s ) w h e n e x e r c i s i n g e x o t i co p t i o n sa r em o r ec o m p l e xt h a nv a n i l l ao p t i o n s p a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o na n dt h eb i n o m i a lt r e ep r i c i n gm o d e la r em a i nm e t h o d st ov a l u ee x o t i c o p t i o n s ，b u tt h et a s ki sd i f f i c u l ta n dt e d i o u s c h o o s eo p t i o n s ，c o m p o u n do p t i o n sa n d o p t i o n st oe x c h a n g eo n ea s s e tt oa n o t h e ra r es o m ei m p o r t a n te x o t i co p t i o n s ，t h i s p a p e rm o s t l ys t u d i e sp r i c i n gp r o b l e m so nt h e s eo p t i o n sb yu s i n gt h es t o c h a s t i c a n a l y s i sa n dp r o b a b i l i t yt h e o r y t h em a i nw o r ki st h ef o l l o w i n g ：f i r s t l y ，w ed e a l w i t hg e n e r a lp r i c i n gf o r m u l a so fc h o o s eo p t i o n s ，c o m p o u n do p t i o n s ，o p t i o n st o e x c h a n g eo n ea s s e tt oa n o t h e ru s i n gp h y s i c a lp r o b a b i l i t ym e a s u r eo fp r i c ep r o c e s s a n dt h ep r i n c i p l eo ff a i r p r e m i u m - a na c t u a r i a la p p r o a c h ；s e c o n d l y , u n d e rt h e h y p o t h e s i so fu n d e r l y i n ga s s e tp r i c es u b m i t t i n gt og e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o n ，w e o b t a i nt h ea c c u r a t ep r i c i n gf o r m u l a s k e yw o r d s ：o p t i o np r i c i n g ：c h o o s eo p t i o n s ：c o m p o u n do p t i o n s ：o p t i o n st oe x c h a n g e o n ea s s e tt oa n o t h e r ；a c t u a r i a la p p r o a c h ：g e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果据我所 知。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得 金罡王些太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名翠忍慧 签字日期：司年f 月3 。日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盒目b 王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权金a b 王些太堂可 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作撇；率辱、萋 签字日期：1 ，刁年r 月；o 日 学位论文作者毕业后去向； 工作单位； 通讯地址： 导师签名：摊 签字日期：2 ，7 年j _ 月夕珀 电话； 邮编： 致谢 首先由衷地感谢我敬爱的导师杜雪樵教授，把我最真挚的敬意献给他! 本人 在两年半的研究生生活中，得到了杜老师多方面的关心，支持和帮助。无论从课 程学习，论文选题，还是到收集资料，论文成稿，尤其是关于论文的修改，杜老师都 花费了大量的时间和精力，倾注了大量的心血! 杜老师高尚的道德情操，渊博的学 识，严谨的治学态度，对教育事业的敬业精神深深地感染了我，可以说，这将是一 笔我终身受用的宝贵财富! 值得一提的是，在此期间，理学院的许多老师和同学也给予了我无限的关心 和鼓励，在此一并表示感谢! 最后，我还要感谢我的家人和亲人们，是他们给予了我前进的动力! 作者：毕学慧 2 0 0 7 年5 月6 日 第一章绪论 1 1 金融衍生工具概述 1 1 1 金融衍生工具的基本概念 金融衍生工具( d e r i v a t i v ei n s t r u m e n t s ，以下简称衍生工具) 又称为金融衍生 品( d e r i v a t i v e s ) 或金融衍生证券( d e r i v a t i v es e c u r i t i e s ) ，是一种新型的风险管理的 工具，它的价值依赖于其它更基本的原生资产( 或称标的资产) ( u n d e r l y i n ga s s e t s ) 的价格变化。 在金融市场、商品市场有很多形式的金融衍生工具，如远期合约( f o r w a r d c o n t r a c t s ) 、期货( f u t u r e s ) 、期权( o p t i o n s ) 、金融互换( s w a p s ) 、可转换债券 ( c o n v e r t i b l es e c u r i t i e s ) 、资产抵押债券( a s s e t - b a c k e ds e c u r i t i e s ) 等，但前三种衍生 工具是最基本的金融衍生工具，其它衍生工具可以看成这三种衍生工具及债券、 股票等基础金融工具不同组合的产物。 下面我们对这三种衍生工具进行简要的描述。 远期合约 所谓远期合约，即指在未来确定时间，以确定价格购( 销) 一定数量和质量的 某原生资产的协议。它是一张用确定性来代替风险的协议。合约的购入方称为 多头( 1 0 n gp o s i t i o n ，即买方) ，销售方称为空头( s h o r tp o s i t i o n ，即卖方) ，合约中标明 的确定价格和确定时间称为交割价( d e l i v e r yp r i c e ，即远期价格) 和交割日 ( m a t u r i t y ，又称到期日) 。 在远期合同的交割日，合同的空头方按交割数量将标的资产交给合同的多 头方，而合同的多头方则需要按交割价格向空头方支付现金。需要指出的是，对 于远期合同来说，在交割日进行标的资产实际交割之前，合同双方均不发生任何 的现金支付。它一般都在场外交易。 若记交割日标的资产市场价格为s ，远期合同的交割价格为足，交割数量为 q ，则远期合同的价值v 可表示为矿= 岱一x ) q ，如果s k ，则远期合同的价值为 正：反之，如果s 1 9 6 2 年，aj a m e sb o n e s s 在芝加哥大学，在著名经济学家劳伦斯费雪 ( l a w r e n c ef i s h e r ) 的指导下。完成了他的博士学位论文股票期权价值的理论和 度量他发展的定价理论构成相对b a c h e l i e r 的成果是一个重大的理论飞越， 并且是f i s c h e rb l a c k 和m y r o ns c h o l e s 定价理论的先兆 第二年，b o n e s s 将b a c h e l i e r 的论文翻译成英文，随后它出现在p a u lc o o t n e r 的现代著作股票市场价格的随机特性中，这引起了许多研究文章和论文 现在 现代期权定价的基础是1 9 7 3 年发展的布莱克一斯科尔斯期权定价模型，此 后简写为b s o p m 大量实证检验证明这个模型能够很好地表现真实情况 b s o p m 最大的变化在于布莱克一斯科尔斯证明了无风险利率是正确的贴现因 素，并且没有假设投资者的风险偏好尽管现在有其它一些定价模型在使用， 但大多数是布莱克一斯科尔斯的适当变换 为一个“购买另一个期权的期权”、一个障碍期权、一个回望期权，或任何 其它无数变种期权定价是比为普通类型看涨期权和看跌期权进行定价更为复杂 的工作，同时，这也推动了当前期权定价研究工作的发展。 6 第二章预备数学知识 2 1 随机过程 2 1 1 随机过程的基本特点及数学定义 首先我们来了解一下随机变量的定义通常将取值具有不确定性( 随机性) 的变量称为随机变量。随机过程是随机变量概念的推广在随机过程的定义中 引入空间的概念，即在空间中每个位置上它都呈现为一个随机变量。如果空间 取为时间域，那么它在每一个时刻都呈现为一个随机变量。下面我们所讨论的 空间均为时间域( 简称时域) 。如果从时间域上看，它是时间的一个函数。反映 了随时间t 的变化过程，随机过程的定义来源于此 从上述讨论中可以看出随机过程石( ，) 具有以下特点： ( 1 ) j ( f ) 在t = t o 时刻的单个样本值x ( f 0 ) 是一随机变量； ( 2 ) r ( f o ) 的数学期望e ( x ( t o ) ) = s ( t o ) 是确定的，其中e ( ) 表示统计平均运算； ( 3 ) e 皑( f ) ) = j ( r ) 是关于t 的函数，此时呈现了函数的特性，因此x ( o 可以看 作是一随机函数 因此，我们说随机过程具有二重性； ( 1 ) 随机性；对任何单个样本值x ( f o ) 而言，它是一随机变量； ( 2 ) 函数特性：在整个时域空间上，x ( f ) 是一随机函数 为了更加客观地描述随机过程，在此给出随机过程的数学定义 定义2 1 设( g f ，p ) 是一概率空间，其中q 是一个集合，f 是由q 的某些 子集所组成的一个盯代数，户是可测空间( q d 上定义的一个概率测度。r 是一 个指标集，若对每一个t e t ，x ( t ，出) 是一随机变量，则称x ( t ，) = 置( 国) 为该概 率空间上的随机过程，为方便起见，通常记为x ( f ) 。 2 1 2 一类特殊的随机过程b r o w n 运动 b r o w n 运动最初是由英国生物学家b r o w n 于1 8 2 7 年根据观察花粉颗粒在 液面上做“无规则运动”现象而提出的。b r o w n 首次对这一现象的物理规律给出 一种数学描述，使这一课题有了长足的发展在数学上的精确描述直到1 9 1 8 年才由w i e n e r 给出 b r o w n 运动作为具有连续参数和连续状态空间的一个随机过程，是一个最 基本、最简单同时又是最重要的随机过程，许多其它的随机过程都可以看作是 它的推广 随机移动与b r o w n 运动 考虑在一直线上的对称随机移动设质点每经过，时间，随机地以概率 p = 1 2 向右移动缸，以概率p = 1 2 向左移动缸，且每次移动相互独立，记z 表 示第f 次移动的方向，设向右移动记为正向移动，反之，记为负向移动，则 p 置= 1 = 尸 置= 一1 ) = 1 2 。若x ( f ) 表示t 时刻质点的位置，则有 x = 缸q 4 - x 1 4 - 4 - x o q o 其中，吖址】为不超过，出的最大整数 显然，e c x , ) = o ，d ( 五) = 以砰) = l ，因此 e ( z ( f ) ) = o ，d ( x ( f ) ) = ( 厶功2 【以 以上随机游动可作为微小粒子在直线上做不规则运动的近似由于粒子的 不规则运动是连续进行的，所以，应考虑其极限情况由实验观察得知，当& 越小时，每次移动缸也越小，通常有f 哼o , a x 一0 下面考虑极限情况 ( 1 ) 当- o , t 睇- o 时，l i m 盟；0 址 此时，d ( z ( f ) ) = 0 ，它表明系统总处于零点，这是一个特殊的情况，可以 看作静态情况研究 ( 2 ) 当r _ o ，缸_ o 时，l i m 竺生： 址 此时，。d 僻( 啪= ，它表明系统在极短的时间内变化的距离为无穷大在 一般的实验中，这种突变的情况无法观察 ( 3 ) 当& - o 缸_ o 时。h m 垡尘：c 2 ( c 为正常数) f 此时，当f 哼。时，以x ( f ) ) = o ，d c x ( o ) = c 2 f 这种情况是我们将要研究 的主要对象 下面从统计的角度观察此随机移动现象x ( o = 五十五+ + 五租1 ) 可看 作是独立同分布的随机变量之和。因此，x ( f ) 是独立增量过程，即x ( f ) 可看作 由许多微小的相互独立的随机变量z ) 一x ( “) 组成的 当，啼0 时，利用中- f i , 极限定理得：它的分布趋向标准正态分布，即对 v x a l t ，t 0 ，有 舰p 剖n(0t m ，上哞：一墨x ，1 ) ， c 2l ，。 即当址一o 时，z ( f ) n ( o ，c 2 t ) 。 b r o w n 运动的定义是上述物理过程的数学描述在通常情况下，可以仿照 上述随机移动模型对b r o w n 运动进行计算机仿真。 b r o w n 运动的概念 定义2 2 若一个随机过程 x ( f ) ，f 0 满足： o ) x o ) = o ，x ( 0 关于，是连续函数； ( 2 ) r ( f ) 是独立平稳增量过程； o ) w o , t o r ( f + d - x ( s ) n ( o ，c 2 ，) 则称x ( f ) 是b r o w n 运动或w i e n e r 过程。其中( ，) 表示二维正态分布。 当c = l 时，称x q ) 为标准b r o w n 运动。 从b r o w n 运动的定义可以看出：它是一个独立增量过程，即在互不相交的 时间间隔内相应的随机样本是相互独立的，即对o t 2 t 3 ，x ( t 2 ) - x ( t 1 ) 与 z 也) 一x ( t 2 ) 是独立的条件( 3 ) 表明在一时间间隔内随机过程的差值服从正态分 布，其方差与时间间隔成正比 b r o w n 运动的有限维联合概率密度 定理2 3 设 b ( r ) ，t 田为标准的b r o w n 运动，令而= o ，f o = o ，则当b ( o ) = 0 时，对v o t i ，2 矗 ，( m y d ，o - ，f j i ，f ，f ，有 ， b ( m + 七) = o ii 口( 肌) = ，丑u ) = 0 ，丑魄) = 屯，丑u ) = = p b ( 肼+ 七) = “i 曰( m ) = ( 2 ) 平移特性：对任意的j o ， e ( f ) = b ( t + s ) - b ( t ) ，t 0 ) 是标准的b r o w n 运 动 9 ( 3 ) 伸缩性；对任意的c o 抽，f o 是标准的b r o w n 运动 ( 4 ) 对称性： 一口( f ) ，t o ) 是标准的b r o w n 运动 ( 5 ) 正态过程： b ( d ，t o ) 是正态过程，即 a c t ) 。t g t 对任意e t ，i = l ，2 ，疗 有a c t , ) ，丑( f 2 ) ，盹) 的联合分布为拧维正态分布 ( 6 ) 时间可逆性：定义 莉= 旧署监0 则 雪( ，) ，t o 为标准的b r o w n 运动 ( 7 ) 反射性：对a 0 ，定义l = i n 雄：b = 以表示首次击中a 的时间定义 阶 2 裟舞毛 则 曰( f ) ，t 为标准的b r o w n 运动 几何b r o w n 运动 令矽( 0 ：e 8 ( i ) ，则称它为几何b r o w n 运动。取b ( r ) 的母函数妒( = e ( e 琊) ， 则 9 ( d = 矿去8 百出= p t ， 因此， e ( 形( f ) ) ；e 伽呻) = 9 ( 1 ) = p 啦， d ( 形( f ) ) = e ( 矽2 ( f ) ) 一【e ( f ) ) 1 2 = 烈2 ) 一一= 口甜- e b r o w n 运动的积分 令s ( f ) = 【a ( u ) a u ，则它的均值与协方差为： e ( s ( f ) ) = f e ( b ) ) 西= o ， c o h 跳) s ( f 2 ) ) = e ( f i b ( u ) s ( v ) d u d v ) = rf ( u v ) d u d v = i ( f u a u + f u a u ) d v = r 号+ 孵一v ) 弦= 譬( f 2 一争 2 2 随机分析 2 2 1 肋积分 t o 积分的定义 设b ( d 为b r o w n 运动，我们首先来观察一下它的相关函数 对任意的j o , t o 则相关函数r ( s ，r ) 为 尺o ，f ) = e ( 口0 ) 口( f ) ) = e ( 口( j ) ) ( 曰( f ) 一b o ) + 口( s ) ) = e ( b 2 0 ) ) + 联b ( s ) ( 曰( f ) 一b ( j ) ) ) = c 2 m i n ( 以r ) 为简单起见，以下假定c = 1 定义2 4 设 。r ( ，) ，r 【口加 是二阶矩过程，o s 4 6 b ( t ) 是b r o w n 运动， 满足r ( s ，t ) = n f m ( s ，t ) ，d ( 即) 一b ( 呦= i f 一爿，对【口b 】的一组分点 口= t o t z = 6 ，色= m 。a 。x ( t k 一，i - i ) ，作和式l = 善x 纯1 ) 【b 纯 一b ( “) 】，如果均 方极限躲厶存在，就称上述极限为x ( f ) 关于丑o ) 的肋积分，记为f x ( t ) d b ( t ) i t o 积分的性质 肋积分主要有以下三个性质： ( 1 ) 若肋积分r x ( f ) 四( ，) ，f 】，( ，) 扭( ，) 存在，则 口( a x ( t ) + f l y ( t ) ) d b ( t ) = 口x ( t ) d b ( t ) + py(t)db(t)(ax(t)+fly(t)db(t)x(t)db(t)+p y ( t ) d b ( t ) ： 口- q= 口_ ； 6 若a s c s 以贝u 有 r x ( f ) 瑚( r ) = f x ( t ) d b ( t ) + x ( t ) d b ( t ) ( 2 ) 若c x ( ) 船( f ) 存在，则 r ( ，) = ix ( s ) d b ( s ) ，a r s b 存在且关于，是均方连续的。 ( 3 ) 设置( ，) 是均方连续的二阶矩过程，且对任意的，- t k 。 t k 及 毛 屯s 气i ，( 五o d , 鼍( s d ，口也) 一丑“) ) 与b 以) - b ( t k - i ) 相互独立，如果关于t e r 一 致地有 l i m k ( ，) = z ( f ) 则x ( f ) 均方连续且也满足以上条件，而且 熙i 五q ) 如o ) 2i z o ) d b o ) ， 对t 丁一致地成立。 加微分法则 定理2 5 ( 肋公式)设f ( t ，曲是r 五上的连续函数，有连续的偏导数 z ，正，丘若x ( t ) 的随机微分是 d r ( f ) = a ( t ) d t + 6 ( f ) d 8 ( f ) ， 其中，口( f ) 为二阶矩过程，6 ( ，) 满足肋积分性质( 3 ) 的条件，则】，( f ) = f q ，z ( ，) ) 在 z 上也有随机微分且 d l ，( f ) = m o ，x o ) ) + 疋( f ，x ( f ) ) 口( f ) + 去z 。o ，x ( f ) ) 6 2 ( f ) 】出 + 正( f ，x c t ) ) b ( t ) d b ( t ) 。 下面介绍高维情形的肋公式。 定理2 6 设普通函数f ( t ，x ) s f q ，而，而，) 及其导数 届( f ，功z 昂( f ，为，屯，k ) = f ( f ，五，屯，靠) “ l i e ( r 功t e ( f ，五，是，) = h r ，毛，囊，) ，l s i s m ， q 一 目( f ，力昂o ，毛，屯，) 2 j 兹f ( r ，毛，黾，) ，i , j = 1 ，埘 都是连续函数。如果过程置( f ) 有随机微分 正( f ) = a s ( t ) d t + b l ( t ) d b ( t ) ，f = l - 69 m ， 则r ( f ) = f ( t ，r ( r ) ) z 砷，五( ，) 五( ，) ，以( f ) ) 有随机微分 d y ( t ) = v o ( t ，r ( f ) ) + e ( f ，r ( ，) ) q ( r ) + 乃( ，x ( t ) ) b s ( t ) b j ( t ) d t + 【e ( ，x ( ，) 地( ，) 】d 8 ( f ) 2 2 2 t o 随机微分方程及其在金融期权定价中的应用口l 设 口( f ) ，t 乃是b r o w n 运动过程，c = 1 。在肋积分和微分的基础上考虑下 面称为肋随机微分方程的随机方程： 揖( f ) = m 翟娑誓以那) ) 扭 ( 2 1 ) 【x ( f o ) = 五 如记口( f ) 的广义导数为| ( f ) ，则( f ) 为白噪声这时( 2 1 ) 式可形式地写为 lx ( f ) = ，( f ，x ( f ) ) + g ( f ，r ( f ) ) o ) ， 【x ( t o ) = 五 肋随机微分方程在数学科学、工程技术、自然科学、经济管理及金融工程 中都有广泛的应用，下面主要介绍其在金融期权定价中的应用。1 9 9 7 年诺贝尔 经济学奖授予r m o r t o n 和m s c h o l e s ，以奖励他们和f b l a c k 在确定衍生证券 价值方法方面的贡献，也就是关于欧式期权定价的著名的b l a c k s c h o l e s 公式的 导出我们以欧式期权为例详细说明 考虑一宗基础资产，例如股票，它在t 时刻的价格s ( f ) 满足肋方程 d s ( t ) = f ( t ，s ( t ) ) d t + g ( t ，s o ) ) 矗b o ) ， 我们研究f ( t ，s ( f ) ) = s ( ，) ，g ( t ，s ( f ) ) = a s ( t ) ，仃为常数的简单情况，即 嘏( f ) = 1 2 s ( t ) d t + o s ( t )