（应用数学专业论文）几类reinhardt域的性质及bloch空间上的复合算子.pdf

电子科技大学硕士学位论文 中文摘要 本文主要研究了几类特殊的 r e i n h a r d t 域的性质和用多重次调和函数描 述其边界及b l o c h空间上的复合算子和加权复合算子的性质。 全文共分为两 章。 第 一 章 主 要 讨 论了r e i n h a r d t 域鳄和几的 几 点 性 质， 得 到b 二 和马是 有 界 域 、 圆 型 域 、 凸 域， 并 得 到 关 于鳄和马的 两 个 重 要 定 理 定 理1 . 1 . 5 和 定 理1 . 3 . 4 ， 由 这 两 个定 理 得 到鳄和几是 全纯 域 ， 并 讨 论了 调 和 函 数 和次 调 和 函数及多重调和函数和多重次调和函数的性质， 得到可用多重次调和函数描 述 了 鳄和几的 边 界的 两 个 重 要 结 论 定 理1 . 2 . 1 8 和 定 理1 . 4 . 3 . 第二章主要是讨论了单位圆盘上b l o c h 空间中复合算子和加权复合算子 的 性质， 定理2 . 2 . 2 和定理2 .2 . 3 得到了b 和b a 中复合算子的紧性及b “ 中加 权复合算子的有界性。 关 键 词: r e i n h a r d t 域，多重次调和函数，b l o c h 空间，复合算子 电子科技大学硕士学位论文 ab s t r ac t t h i s p a p e r i n v e s t i g a t e s s o m e s p e c i a l r e i n h a r d t d o ma i n s , a n d d e s c r i b e s t h e i r b o u n d a r i e s b y u s i n g p l u r i s u p e r h a r m o n i c f u c t i o n , a n d d i s c u s s e s t h e b o u n d e d n e s s a n d c o m p a c t o f c o m p o s i t i o n a n d w e i g h t e d c o mp o s i t i o n o p e r a t o r s o n b l o c h s p a c e . t h e t h e s i s c o n s i s t s o f t w o c h a p t e r s . c h a p t e r 1 c o n t r i b u t e s t o b p ， 几 a n d p lu r i s u p e r h a r m o n i c f a c t i o n , s o m e p r o p e r t i e s o f t h e m a r e o b t a i n e d , a n d d e s c r ib e s b o u n d a r i e s o f b 二 a n d 马 b y u s i n g p l u r i s u p e r h a r m o n i c f a c t i o n . i n c h a p t e r 2 , w e d i s c u s s t h e b o u n d e d n e s s a n d c o m p a c t o f c o m p o s i t i o n a n d w e i g h t e d c o m p o s i t i o n o p e r a t o r s o n b l o c h s p a c e . wo r ds : s p a c e , c o m p o s i t i o n r e i n h a r d t d o m a i n , p l u r i s u p e r h a r m o n i c f a c t i o n , b l o c h o p e r a t o r i i 独 创 性 声 明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。 据我所知， 除了文中特别加以标注和致谢的地 方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签 名 :/ its 钊。 期 :.) j -* / 月 、 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了 解电子科技大学有关保留、 使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘， 允许论文被查阅和借阅。 本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、 缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签 名 二 .师 签 “: 专 退 东 日期: 夕 户护 岁 丁年 / 月/ 日 电子科技大学硕士学位论文 引 言 1 .选题背景 1 . 1域的分类及性质 单复变函数理论， 源远流长， 有着极为丰富的内容和广泛的影响， 而多复 变函数理论的研究如同单复变函数理论研究那样， 早在单复变函数理论的 r i e m a n n 和w e i e r t r a s s 时代就已零散的开始了， 由于二十世纪开始前后， 多复 变函数理论的p o i n c a r e 定理和l l a r t o g s 定理的发现， 揭开了多复变函数理论 的崭新的一页。二十世纪三十年代， 多复变函数理论迎来了初步繁荣， 1 9 3 6 年开始， o k a 等学者对c o u s i n 问题. l e v i 问题和函数逼近等多复变函数理论 的中心问题进行了长期系统的研究， 终于在二十世纪五六十年代给出了答 案。 但是仍有些难题尚未解决， 如域的分类。所谓域的分类就是将n 个复变 数空间中的域按是否全纯同胚分成等价类， 在每一个等价类中找出一个形式 最简单的的标准域。由于域的分类问题尚未解决， 所以就给多复变函数理论 的研究带来了极大的不变。 所以对某一类型域的研究也就成为多复变函数理 论 研究的一个重要分支。如e . c a r t a n 证明了 对称域都是可递域， e .c a r t a n 又 证明了有界对称域， 除了n = 1 6 及n = 2 7 维复空间外， 可分成四大类， 华罗庚 把它们用矩阵的形式表示出来， 这就是著名的四类典型域 7 1 8 3 。在c ” 空 间的一个域。 上如果存在一全纯函数f ( z ) ， 它以。的边界为自 然边界， 若不 能再开拓出去， 则称q为全纯域。 如有界可递域就是全纯域。 在单复变情形， 每个域都是全纯域， 多复变数和单复变数有本质的不同，c . 空间的域并不 都是全纯域， 所以 研究哪些域是全纯域成为一个重要问题。 1 .2 b l o e h空间上的复合算子 如何确定 b l o c h常数精确值是经典单复分析尚未解决的著名问题之一， 而对多复变函数理论中b l o c h 常数的研究起源于b o c h n e r ， 之后有不少进展， 如伍鸿熙， 陈省身， h a r r i s等人做了很多重要工作 2 - 5 1 , 巧 ， 它的研究与 b l o c h函数有着密切的关系， 而b l o c h函数全体构成b l o c h空间， 对于b l o c h 空间的研究成为多复变函数理论的一个新的研究分支。1 9 9 5年， 第 1页 共 3 6页 电子科技大学硕士学位论文 m a d i g a n , k . el i 研究了。为单位球的b l o c h 空间中和小b l o c h 空间中复合算子 的 性 质， 并 得到 在b l o c h 空间中 复 合 算子总 是 有界的，吼在b , 上有 界的 当 且 仅 当 (p e b . ， 他 们 还 给 出 了 吼在b 和b , 上 是 紧 的 充 分 必 要 条 件 这 样b l o c h 空间上的算子问题成为了一个重要的研究方向。 z .本文主要工作 本 文 主 要 工 作 分 为 两 部 分 ， 首 先 选 择了 两 类比 较 特 殊 的r e i n h a r d t 域弓 和马进 行 了 研 究 ， 讨 论了 这 两 类r e in h a r d t 域那和d ， 自 身 的 一 些 性 质 ， 比 较 了它们和全纯域的关系， 并讨论了多重次调和函数与这两类特殊的 r e i n h r a r d t 域边界的关系; 然后讨论了b l o c h 空间中复合算子与加权复合算子 的有界性与紧性。 第 2页 共 3 6页 电子科技大学硕士学位论文 第 一 章 b p 和 d y 的 几 点 性 质 1 . 1弓的 几点性质 r e i n h a r d l 域是多复变函数论中研究较多而且具有许多特殊性质的一类 域， 本节主要讨论了一类特殊的r e i n h a r d t 域 (l.1n ，、 ) c :(全 1， )rc , :(e izjip )p _ 1 zl， -一 艺 !、t - 形 为c ” 中的p 一 范 数， 这 里: - l z l , z z , - - , z ) e c 0 o 1一物|厂了 z 自间 2厂lesee、 - z 称 当p = 2 时 , b ; 是 单 位 多 圆 球 1 当p -+ 时 ， 弓是 单 位 多 圆 柱 ， 并 且 验 证 这 类 特 殊 的r e i n h a r d t 域那的 有 界 性 、 凸 性 ， 然 后 根 据引 理1 . 1 . 1 证明 了 b p 是 全 纯 域 ， 并 根 据 全 纯 域的 等 价 条 件 可 知b p 是 拟 凸 域 、 全 纯 凸 域 下 面 先列出几个定义: 定义 1 设。是c ” 中的域，如果对任意: 。 。 及实数称二 ， b rt ，均有 ( 八， ，严 幼“ s 2 , 则 称 。 是 r e in h a r d 域 定义 2设 0 c c ” 是 r e i n h a r d t域 ，称 0为完全 的 ，如 果 z , 0 门 c ”p c 。 定义 3设s 2 c c 0 是r e i n h a r d t 域，o e s 2 。令b c r 是集合 ” = 1 ( x ，一 动。 : 少 ， ，户 ) 。 叫 称s z 是对数凸的，如果b 在r 中是凸的。 引理 1 . 1 . 1 p 是对数凸和完全的 引理 1 . 1 . 2 3 3 1 一个包含原点的r e i n h a r d t 域是全纯域的充要条件是它 阂可夫斯基 ( mi n k o w s k i )不等式设 e j ily - , e ln rly 一11 p、沙 jzesesll 第 3页 共 3 6页 电子科技大学硕士学位论文 性 质1 . 5 . 3 r e i n h a r d t 域黑是 有 界 域 证明:因为 : 二一 z a.一 。 口 :刚i p pc clrizli _一 显 然 可 得 iz i i 1 ， ， = i ,-. ., n 。 任取 所以 : ， 一 ( 对 ， ,z r ,z 2 = ，一 x e b , “ 卜 ，引 1 iz 一 z j i i2 1* iz j i 2 d is t( z ,z 2 ) = z 一 z i 一 (y ( z 一 z 2 ) (z 一 = z ) ) 0 ， 则 d is t ( z , z ) m ， 故 那 是 有 界 域 。 定义 4 设92是c ， 中的域，如果对任意z e d及实数8 ，均有尹e s 2 , 就称s 2 是圆型域。 显然，球和多圆柱都是圆型域，r e i n h a r d t 域也是圆型域，但圆型域不 一 定 是 r e in h a r d t 域 。 如 : 一 ( z , ，一 ， z . ) e c : iz i + 十 引 i 是 圆 型 域 ， 但 不 是 r e in h a r d t 域 由 那定 义 和圆 型 域 定 义 显 然 可 得 下 面 结 论 性 质5 . 1 . 4 r e i n h a r d t 域弓是 圆 型 域 本 节 针 对r e i n h a r d t 域那是 否 为 全 纯 域 进 行了 讨 论， 并 得到 了 下 面 重 要 结论: 定 理1 . 1 . 5 r e in h a r d t 域那是 全 纯 域 第 4页 共 3 d页 电子科技大学硕士学位论文 证明 1 ) 先 证鳄是 完 全的r e i n h a r d t 域 因为 l 尸 1 , p七1 、111|1了 p 2 产|leeee| 一 ( z i ， . . . ， z j 。 c ” 显 然 可 得 一z j l 1 ， 任取 j =1 , 一 ， n。 z i 。 b 二 n c 0 ， 可得 1， 故 p , 任 取: e p， 可 得 = : = ( z . 二 ， z ) e c 二 z i l i -lj = 1 , .,n lz i 卜 一引 ， j = 1 , . , n 且尸 ? 1 ，所 以 可 得 z i l0 14 ; l0 , 所以可得 1-p 故: e b p ， 由 : 得 任 意 性 ， 可 得p , c b o 。 所 以 b p 是 完 全 的 。 2 ) 再 证b d 是 对 数凸 的 。 先令 ， 一 ( x . ., x j e r ( e ，一 ，e 。 b p i 任取 二 = ( xl ， 二 x ) . y = ( y. 二 ， y ) e b 所以可得 第 5页 共 3 6页 电子科技大学硕士学位论文 .卜1矛了 y- ( y j ) p !、 吕丫 钾土 盈一p 、十声2 毛 刀艺卿 2!、 任取 o兄1 根据引理 1 . 1 .2 可知 i ax! + (1j=l 一 “)y1lp客 杯 pj=i 艺 ( 1 一 a .)y , p 了rt.，.1、 十 1-p 、.ijz 一 llp 1，j .一种|/ y(-j) +( 1 一 兄) 艺( y , ) 11卢 、1了 2百1 兄 一i + x 1 + ( 1 一 a . ) x 1 = 1 所以b 在r 中 是凸 的， 故b p 是 对 数凸 的 3 ) ， 由1 ) , 2 ) 及引 理1 . 1 . 1 可 知黑是 全 纯 域 性 质1 . 1 . 8当 p ? 1 时 ， 那是 凸 域 证 明 : 任 意: ， w e b , , 。 兄 1 ， 则 、孙卜1声 玛 自月 产!. 1孺flz 毛 自问 沪!t、 而根据阂 可夫斯基 ( m i n k o w s k i ) (3 3 不等式 1一卜|，j 2口11胜1、 + 1下|夕 夕 毛 兄 .艺问 厂1胜吐、 - 1猛r少 1-l“ 一 1一 “)w ,lp i l(1 - a ) - j l 1孺|尹 玛 公月 /了ilse吸、 + ( 1 一几) 公月 尹了.、 几 一l .z x l + ( 1 一. 1 ) x 1 = 1 故b ,- 为凸 域 引 理1 . 1 . 7 1 1 设s 2 cc 是一个区域， 则下列命题等价: 1 ) n是拟凸的; 第 6页 共 3 6页 电子科技大学硕士学位论文 2 ) s 2 是一个全纯区域; 3 ) s 2 是全纯凸的。 由 定 理1 . 1 . 5 及引 理1 . 1 . 7 我 们可 得关 于黑的 下 面 推论: 推 论1 . 1 . 8 1 ) 弓是 拟凸 域。 2 ) b n 是 全 纯凸 域。 3 ) b p 是 强拟凸 域。 1 . 2 b p 边 界 的 表 示 特 征 在单复 变函 数里描述一个 域的 边界多 从次 调和函 数的 角度出 发， 而b p 是多 维复空间中的 域， 所以 本节 在 考虑b p 的 边界 是从多 次调 和函 数出 发， 得 到 了 一 个 描 述b o 的 边 界 的 等 价 条 件。 在 讨 论 用 多 次 调 和 函 数 描 述b p 的 边 界之前， 先介绍了调和函数和次调和函数， 对于调和函数和次调和函数的性 质进行了讨论， 并得到了关于次调和函数的一些等价条件， 并探讨了多重调 和函数和多重次调和函数的一些性质。 2 . 1 调和函数 定义5 设u ( x , y ) 是定义在区域。 上的实值( 或复值) 函数， 若u ( x , y ) 在 。 内 有 连 续 的 二 阶 偏 导 数 且 满 足 l ap lac 方 程 a u 一 令 即x 0 ， 则称u ( x , y ) 是区域s 2 内的调和函数。 性 质1 . 2 . 1如果 函 数。 ( z ) 在 圆 周咭 - z o l r 内 是 一 个 调 和函 数， 在闭 圆 1 一 : , 1 _ r 连 续， 则 u ( z o )一 牛c r u ( z o + r e )d rp 即u ( z ) 在圆心的值等于它在 圆周上值的平均数 ( 也称平均值性质) 第 7页 共 3 6页 电子科技大学硕士学位论文 性质1 . 2 . 2 3 a 如果函 数u ( z ) : 0 - + ll8 是连续函数， 且具有平均值性质 则u ( 目为0内的调和函数。 性质1 . 2 . 3非常数的调和函数不可能在定义域内达到最大值。 1 . 2 . 2次调和函数 定 义6 如 果 : 二 s 2 : u ( z ) r ) 是。 的 开 子 集， 则 称。 内u ( z ) 是上 半 连续 的，上半连续函数有一个等价条件 u ( a ) _ l i ms u p u ( z ) 一 * sup u (z 上半连续函数有许多好的性质， 在这里就不详细介绍了， 可参见文献 i i i 下面给出次调和函数的定义 定义7 设城 习是区域s 2 上的上半连续函数， 如果对于每个圆盘u ( a , 川 有不等式u ( a ) _ 0 ，则 7 , u ， 十 人 u 2 也是次 调和函 数。 证 明 : d u ( z o , p ) 一 z 巾 一 引 0 ) 有 1u、十 、 : 、 、 去 价 ,(a + p i? 、 十 、 六 价(a + p 仰， j 2x .1 ,u , ( a + p e ) 十 12 u 2 ( a + p e ) i d q, 故 u ， 十 a , u : 也是次 调和函 数。 性 质1 . 2 . 5如 果u u 2 是 区 域。 内 的 次 调 和函 数， 则。 = m a x u u s 也 是 如果。 , + u 2 是区 域0内 的次调 和函 数。 证 明: 瓶 e s 2 ， 则“ ( z , ) = u ; ( z . ) , j = 1 , 2 。 对 充 分小的p 有 第 8页 共 3 6页 电子科技大学硕士学位论文 、 卜 、 。) 0 , s .t . u ( z o , p ) c。 假定 3 刀 e u ( z o , p ) , s - ( /o ) # u ( a ) 即 u ( 灼 u ( a ) 设 f = z p 十 p ,e v, ， 其 中 p ,= 1z 。 十 川 , p e 0 , 2 g ， 由 u ( z ) 的 连 续 性 ， 存 在 区 间 i c 0 , 2 7r s .t .rp e i ， 且有 v ip g i ，: ( : 。 + 八 e ) u ( a ) = u ( z , ) ， 于是由定义可得 u (z o) 、 乡亡 。 (: 。 + p e 0 )d g o , “ . (a = o , p ) 二 12 , c 0 ， 作pa 数 v ( z ) 使其在u ( z . , p ) 内 调和， 而在其边界上。 ( z ) - v ( z ) - 0 ， 从而 u (z) o ， s .t . 卜 一 引 p a 包 含 子 q 内 ， 且 对 每 个 p l ，对右端的不等式使用h o l d e r 不等式得 t- 1一 if (zo)i 六 e ,z1f (一 p eo),p d rp .( 2 s r ) ， 其中 if (za p 、 会 f if (zo + p ? )d rp 故 if ( z o t 为 。 内 次 调 和 函 数 引 理 1 . 2 . 1 1若开 集。 二 c ， 对。 上 一 个单调 递 减函 数列二 。 是次 调和 函 数 ， 则 “ = lim n 也 是 。 上 的 次 调 和 函 数 定理1 . 2 . 1 2 若开集。c c ， 对其上一个上半连续函数u : 6 2 峥 、， 十 二 来说，以下条件等价: 1 ) , u ( z ) 是s 2 上的次调和函数 2 ) , u是9 2 的连通的开子集，且对u上任意调和函数h , u - h 在u中 满足最大值原理。 3 ) , k是0的紧子集， h 是k中某开邻域上的调和函数， 若对h z e a k, 有u ( z ) 5 入 ( 习则h z 任 k，b i z e 0 k. 4 ) , p是一个复多项式，对b z e 8 u ( a ; r ) 有。 ( z ) _ r e p ( z ) ，其中 u ( a ; r ) c 。 ， 则 对d 2 e u ( a ; r ) ， 有“ ( z ) _ r e p ( z ) 5 ) , p是一个复多项式，对h z e c3 u ( a ; r ) 有u ( z ) s r e p ( z ) ，其中 u ( a ; r ) c s 2 ，a i u ( a ) _ r e p ( a ) 。 6 ) 对 于 每 个 圆 盘 u (a , p ) c n ， 有 不 等 式 。 (a ) 2 )成立，由2 )到3 )是显然的，d )是 3 的特殊情况，而5 )是4 )的特殊情况，下面首先证明由s ) mil ) 第 1 1页 共 3 6页 电子科技大学硕士学位论文 根据定义 6 ，由题设知u ( z ) 是上半连续的，只要证明u ( z ) 满足均值性质 即 得试 习是次调和函数。取在a u ( a ; 日 上单调递减连续函数列儿， 使得对 d z e a i r (a ; r ) 有 悠天 = u ( z ) 。 由 于 在 a u ( a ; 。 上 f 可 以 被 三 角 多 项 式 一 致 逼 近，对于h u，有三角多项式 9 , (0 ) = y a ， e rz a if ( a + r e ) - q , (e ) 3 )= : 4 ) = : 5 )可得由1 ) = : 6 ) ，再由定义2 可知，由6 ) r = 6 ) . = u ( a ) 而由1 ) = * 2 ) = 1 ) ，故 1 ) 1 . 2 . 3 多重调和函数和多重次调和函数 上面讨论了一维复平面上调和函数和次调和函数的一些性质， 对于讨论 多维空间中调和函数和次调和函数有很大帮助， 许多学者将多复变函数论用 于代数几何，微分几何， 偏微分方程，调和分析，及函数代数等学科，而多 复变函数的一些结论对这些学科起到了重大的影响， 特别是多重调和函数和 多重次调和函数具有特别重要的作用， 下面就来探讨一下多重调和函数和多 重次调和函数的一些性质，在介绍他们之前先给出复线的概念: 定 义8令a , b cz c , n l ， 则 称 集合 a 十 b z : z e c ) 为c 中 的 复 线 定 义9 f 是。 c c 上 有二 阶 连 续 偏导 函 数 如 果 对 任 意 复 线1 = 十 b z l , 函 数: - f ( a + b z ) 在 集 合。 t - z e cc : a z + b e q 上 是 调 和函 数， 则 称f 在。 上 是多重调和的。 定 义1 0 f 是0 二 c ” 上上半连续实 值函 数， 如果对 任意复线r = ( a + b z ) , 函 数: 。f ( a 十 b z ) 在 集 合。 t 0 z e c : a z 十 b e 0 上 是 次 调 和函 数， 则 称厂 在。 上是多重次调和的。 多重调和函数及多重次调和函数和前面提到的调和函数及次调和函数 有 一 些类 似的 性 质s . k r a n t z i !和r . c .g u n n i n g ix $ i 等学 者 对多 重调 和函 数调 和函数和多重次调和函数进行了讨论， 并得到了的一些结论. 如r . c . g u n n i n g 得到在c ” 的开子集s 2 上的多重调和函数u 是调和函数， 故u 是c 的，。上一 个具有二阶连续偏导的实值。 是多重调和函数的充要条件是在0中总有 c3 a u = 0 ， 及c ” 的单联通开子集。上的多重调和函数“ 总是。中某个全纯函数 的实部 多重次调和函数的线性组合仍是多重次调和函数，多重次调和函数 第 1 3页 共 3 6页 电子科技大学硕士学位论文 满足最大植定理和多重次调和函数列还是多重次调和函数列。 针对单复变函 数论中次调和函数有上面提到的复合函数为次调和函数的性质， 对多复变函 数这种情况进行了考虑，并得到如下结论: 定理1 . 2 . 1 3如果。 e c , f : o - r 是多 重次调 和函数， 和rp : r - r 是 单 调 递增凸 函数， 则其复合函 数op 0 f 也是多重次 调和函 数。 证明: 1 ) 先证v o f 是上半连续函 数 由9 : r- - r 是单调递增凸函数， 令y = f ( a z + b ) ， 则存在k , 使得 v ( y ) 一 0(y,) k ( y 一 y o ) ， 即 tp ( y ) _ ( y ) 一 k ( y 一 y o ) ， 其中 y o = f ( a z 。 十 b ) ， 由f : n -*r是多重次调和函数，则: n f ( 二+ b ) 是次调和函数，有 z - + f ( a z + b ) 是上半连续的， 根据上半 连续函数定义及等价条件， 有 f ( a z o + b ) r 是多重次调和函 数， 则: - h f ( a z + b ) 是次调和函 数， 令 、 一 会 犷 f (a z + b + r e ) d $ ，则y . f ( 二+ b ) 第 1 4页 共 3 6页 电子科技大学硕士学位论文 女 r (f 二 + b ) + ree )d o : 。 饥 ) 十 、 映亡 f (二 十 。 + r e $ )d b - y 之 w ( y ) 二 1,(f(-+b) 故(o 0 f也是多重次调和函数。 1 . 2 . 4 用 多 次 调 和 函 数 描 述弓的 边 界 定义1 1 设。是(c 的域，z e n， 记d ( z ) = d is t ( z 力 。 ) ， 其中d is t 是r 欧 氏 距离。显然d ( 约是。中的正连续函数。 h a r t o g 。 在1 9 0 6 年证明了下述引理。 引 理1 . 2 . 1 砂e 7 d c c , r 是d 上的 正 实连续函 数， 令 0 = ( z . co ) s 口i z e d , i o ) j 一 7 (o 1 ， t e a o ， r (o ) 一 e - 7 (o) 考 虑 全纯映射 族:(d , : n - 4 0 : -4 ( r , tk e p=) ， 0 一 in d ( a , 0 , - - - , 0 ) ，r e a a r ，r e f ( 0 ) 二 一 in d ( 0 , . . . , 0 ) 存 在若 。 a n， 使d ( 0 ， . . . ， o ) 二 d i s t ( o , ) ， 据此作一族全纯映射 只: d r -q，r - a ( r , 0 , - . . , 0 ) + t e - f ( o 否 0 ，o t . - ) , ( i r ( z ( k ) ) i 有界这与 i r ( z (k ) ) i 无 界 矛 盾， 所 以 z (fl ) ig b p 故z (0 ) e 嘿 a 由上述定理可得下面定理: 定 理1 . 2 . 1 8在男上 存 在 一 个 多 次 调 和 函 数 r ( z ) 使 那的 边 界 可 由 : 。 ， i z (k ) 。 鳄, z (a ) 。z (0 ) , ( k - - o ) ， i r ( z (k ) ) ! 无 界 来 描 述。 1 . 3 d p 的 几 点 性 质 在 第 一 节 中 我 们 讨 论 了 由( 1 . i . 1 ) 定 义 的 一 类 特 殊 的r e i n h a r d t 域弓， 得 到了b p 的 一 些 很 好的 性 质， 并 证明 了b o 是 全 纯 域 这 个 重 要 结 论，由 此 我 们 在 第 二 节中 得 到b p 的 边 界 可由 多 重 次 调 和函 数 来 描 述， 本 节 我 们来 讨 论 一 类比 弓更 广 泛的r e in h a r d t 域马，马由 下 面 式 子 定 义 : d p = d pe,px 、 一 “ = (; ，一: ) 。 c :z, lm + iz ,ips + 二 + k ip _ i , i = 1 , 2 ， 二 ， 。 。 在探讨d p 性质之前，先来探讨一下d , , b p ，单位多圆球 二 二 : 。 。 :白 、 时 1) ， 单 位 多 圆 柱 u = z e 二 :目 1,j 二 1 2 .，.，n 及 单 j - 1 位圆盘d之间的关系。 第 1 7页 共 3 d页 电子科技大学硕士学位论文 马二 气.p a,-.p = 扣 二 怀a 2 , , 动e c “ 卜 、广 十 !寸 十 + 目p , 1 1 4 p r = p , 二二 p 那= : 二 ( z . . . . . z ) +* c (l .jlzjlp)p l,p l p = 2 /、p 3 。 二 一 z c c :( #z ti2) 2 1u 。 一 : 二 c : 1a , l z 2 ， 一 ， z ) e c 可得 lz 1 f 1 ， i 二 ， 一 ” 。 任取 z 1 = ( z tl ， 二 ， z . ) , - , = ( z. . . . z ) 。 d p ， 第 1 8页 共 3 6页 电子科技大学硕士学位论文 所以 iz i 卜 1,z , 卜 i-, 一 引 1z , 卜 z ; 卜 2 d is t( z ,z ) 一 iiz 一 : 一 -( 艺( z ， 一 z z ) ( z ， 一 = 2 ) )2 一 (i lz; 一 : s1i )a 0 ， 则 d is t ( z , z z ) m , 故 几是 有 界 域 。 由圆型域的定义及 ( 1 . 3 . 1 )定义可知 性 质1 . 3 . 2 r e i n h a r d t 域d ， 是圆 型 域。 性质 1 证明: 3. 3 任意 z r e in h a r d t 域 马是 凸 域 。 ，w d 0 ， 文 iz iii c l ， e iw ii0i 存 在9 ; 且 4 ; 为 满 足 之+ 卫 p i 9 = 1( i = 1 , 2 , , n )的实数， 则由h o l d e r 不等式可得 艺 l1 客 (命 御 4,(iz,l0, + iw ji0,)0,)0, - pj z i + w i 2 一 il 1 , (izil0+ iwil )2 = 告 客 (i-;l0; +i-i0,)“ 第 1 9页 共 3 6页 电子科技大学硕士学位论文 故a 土 w d , ， 所以 d 。 是 凸 域 。 z尸 定 理1 3 . 4 r e in h a r d t 域马是 全 纯 域 证明 :1 ) ， 先 证马是 完 全 的r e in h a r d t 域 因为 d d v d p i.p l 、二 二 一 ( z i , y 2 ， - ., z . ) e c a : k 1 t” 十 囚, 、fl z j 1 ) p i : i , i = 1 , 2 , - , . , n ， 显然 对任意一点: 二 ( 2 : ， 孙 ， 孔 ) 乞 c ” 可得 任取 lz j 卜 ， ， 一 、 一 ” z i 。 d , n c - 可得 ( iz 1 1 ) z j ， 而且可以 得到多圆柱 1 、 一 z = (z w - -, z . ) rz c , :同、 引 , j l,- ,n ) 任 取 : ; p , ， 可 得 : ， 卜 1引 ， 所以可得 ， = 1，二 ，。 ， 且 乃 : 1 ， 所 以 可 得 iy j 1p ly j lp, e iyjip f r izjipf x . ) ,e r 0 : ( e 0 ， 一 ， e x ) e d , 任取 x 二 ( x , - . x n ) , y = ( y , ， 二 ， y) e b , 所以可得 y ( x j ) 1 任 取。 a 1 ， 根 据引 理1 斑 2 可 知 ， y,( y j ) 0 o a ) 而 : “ ， 。: 。 ， 时 r ( z ) 二 一 in d ( z ) 二 一 in d is t ( z , 叽) 、二 所 以 r ( z lk ) 无 界 充 分 性3 z (, ) e 几， z m - z ), ( k - l 4 0 ) ， 所 以 : (。， 。 耳， 若 z (o) e 几! 因r ( z (k ) ) 在z (. 连续， 从而z m - - z (o ) , ( k - a - o ) , ( i r ( z t k r ) i 有界这与( i r ( z m ) i 无 界 矛 盾， 所以 z ( o ) # d , 故z (0 ) e a d , o 由上述定理可得下面定理: 定 理1 . 4 . 3在几上 存 在 一 个 多 次 调 和 函 数r ( z ) 使d ， 的 边 界 可 由 : 。 ， ! : “ ， 二 b p , z (k ) 。z(07, ( k - -* 。 ) ， i r ( z ( * ) ) !无 界 来描 述。 第 2 2页 共 9 6页 电子科技大学硕士学位论文 第二章 b l o c h空间上的复合算子 2 . 1 预备知识 2 . 1 . 1 s c h w a r z - p i c k弓 理 s c h w a r z 引理 1 3 1 是复变函数理论中最基本也是应用最广泛的定理之一。 引 理2 . 1 . 1 ( s c h w a r z ) 。 设 f 为 d 上 全 纯 函 数 ， 满 足f ( 0 ) = 0 , if ( z ) 卜 l a 则 有 if ( z ) k 0 ， 称 第 2 5页 共 3 6页 电子科技大学硕士学位论文 _(1 一 : !， 。 二 = l l k t , r ) = f z e u: 下下万 0 ， 并且对于r 0 有f ( b r ) c ， 如果f满足 气 , . 更 进一步 地 ， f 将a o ， 上 某一点 映 到a o ， 上当 且 仅当f 是d 上 保持1不 动 地自 共形 线 性变换. j u l i a 引理的这两种形式是等价的. 若设f= o n f-0-,， 其中 9 二