（应用数学专业论文）几类二阶时滞微分方程的振动性研究.pdf

北方工业大学硕士学位论文 摘要 本文共分四孽 第一章主要介绍时滞微分方程振动理论的历史背景、研究动态及其发展趋势和有关 振动的基本概念，另外还简单介绍了主要研究内容和本文的结构 在第二章中，首先给出类具不变符号振动因子的二阶非线性中立型时滞微分方程 ，( f ) 【y ( f ) + p ( t ) y ( t - 0 “4 ”) + q ( t ) f ( y ( t 一盯) ) = 0 ( f t o ) ( 1 ) 同时研究了该方程的振动性其中： m 为非负整数，( f ) c ( t o ，o o ) ，( o ) ) ，仃，f 为非 负常裁p ( f ) ，g ( f ) c ( ，o o ) ，【o ，+ o o ) ) ，p ( t ) 0 似o ) ， 得到该方程振动的三个充分条件 然后，又给出更为一般的具不变符号振动因子的二阶非线性中立型时滞微分方程 【y ( f ) + p ( t ) y ( t f ) 】“ + q ( t ) f ( y ( t 一盯) ) = 0 ( t t o ) ( 2 ) 并研究了该方程的振动性其中：m ，胛为非负整数，且五：型是既约分数， 2 m + l p ( f ) ，q ( t ) ：【t o ，o o ) - - 【o , 0 0 ) ，p ( t ) 0 o ) ，并得到了该方程振动的三个充分条件本章中所研究的方程包含了 刘开恩中所研究的方程，所得结论推广了其相应结果 在第三章中，考虑具变符号振动因子的二阶非线性时滞微分方程 x 。o ) + p ( f ) ，( 】以一r ) ) = 0( f 2 to ) ( 3 ) 研究了该方程的振动性其中：p ( f ) c ( t o ，+ _ o 。) ，r ) ，f ( t ) e c ( r ，r ) ，u f ) 0 国o ) 得 到了该方程振动的五个充分条件本章中所得部分结果推广了傅希林，俞元洪“4 1 、 刘开恩嗍、王其鲡2 7 中的相应定理f、 在第四章中，进一步研究了具变符号振动因子的二阶非线性变时滞微分方程 ，o ) + p ( f ) ，( j ( g ( f ) ) ) = 0o t o ) ( 4 ) 的振动性其中：p ( f ) ，g ( t ) c ( ，+ ) ，月) ，f ( t ) c ( r ，r ) ，矿 ) 0 o ) 得到该方 程振动的五个充分条件 关键词：非线性，时滞，中立型微分方程，变符号系数，振动性 北方_ t 业大学硕士学位论文 r e s e a r c h e sa b o u tt h eo s c i l l a t i o l l so fs e v e r a lc l a s s e so f s e c o n d o r d e rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h ec o n t e n to f t h i sp a p e ri sc o m p o s e do f f o u rc h a p t e r s i n t h e f i r s t p a r t o f t h i s p a p e r , w e m a i n l y i n t r o d u c e t h e b a c k g r o u n d , t h e s t a t u s o f r e c e n t r e s e a r c h e sa n dt h et e n d e n c yo f d e v e l o p m e n to f o s c i l l a t i o nt h e o r yf o r d e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w e a l s o i n t r o d u c es o m e b a s i c n o t i o n s o n o s c i l l a t i o n i n a d d i t i o n , w e b r i e f l y i n t r o d u c e t h e r e s e a r c hc o n t e n t , t h es t r u c t u r eo f t h i sp a p e ra n dt h er e s e a r c hc o n c l u s i o n i nt h es e c o n dp a r to f t h i sp a p e r , w ef i r s t l yc o n s i d e rt h es e c o n d - o r d e rn o n l i n e a rn e u t r a l d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hi n v a r i a b l es i g no s c i l l a t i o nf a c t o r r ( f ) y ( f ) 十p ( t ) y ( t - r ) l ”“) 7 + q ( t ) f y ( t - a ) 】= 0 ( t t o ) ( 1 ) w h e r emi s n o n n e g a t i v e i n t e g e r , ，( f ) c ( t 0 ，) ，( o ，。o ) ) ，p ( f ) ，g ( f ) c ( t o ，o o ) ，【o ，+ ”， p ( r ) 0 o ) 盯a n dfa r e n o n n e g a t i v e c o n s t a n t a n d w e s t u d yt h eo s c i l l a t i o no f t h i se q u a t i o na n do b t a i nt h r e ns u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h i se q u a t i o n n e x t w e g i v ea n o t h e r c l a s s o f s e c o n d - o r d e r n o n l i n e a r n e u t r a l d e l a y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n w i t hi n v a r i a b l es i g no s c i l l a t i o nf a c t o r y ( f ) 十p ( t ) y ( t f ) 】，。) + g ( f ) i y o c r ) 】= 0 ( f t o )( 2 ) w h e r e 肼a n d a x e n o n n e g a t i v e i n t e g e r a n d 名= 筹i s a r e d u c e d f r a c t i o n , ，( f ) ： “，o o ) ( o ，0 0 ) ，p ( f ) ，g ( f ) ：【t o ，o o ) o 。o ) ，p ( f ) 0 ( “0 ) c rm a dfa r e n o n n e g a t i v e e n i i s t a l l l ht h es a l n et i m e , w es t u d yt h eo s c i l l a t i o no f t h i se q u a t i o na n do b t a i nt h r e es u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rt h eo s c i l l a t i o no f t h i se q u a t i o n t h ee q u a t i o ni nt h i sc h a p t e ri n c l u d i n gt h e e q u a t i o ni nl i u k a i e n sp a p e r f l 6 ja n d t h er e s u l t so b t a i n e di nt h i sc h a p t e rg e n e r a l i z et h et h e o r i e s i nl i u k a i e n 7sp a p e r 0 6 1 i nt h et h i r d p a r to f t h i sp a p e r , w es t u d y ad a s so f s e c o n d - o r d e rn o n l i n e a rd e l a yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o nw i t hv a r i a b l es i g no s c i l l a t i o nf a c t o r x 。( f ) + p ( t ) f ( x ( t f ) ) = 0(fto)(3) 2 北方工业火学硕士学位论文 w h e r ep ( f ) c ( t o ，o o ) ，r ) ，f c ( r ，胄) ，u s ( “) 0 ( “o ) ，f i s n o n n e g a t i v e c o n s t a n t t h e nw eo b t a i nf i v es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eo s c i l l a t i o no f t h i se q u a t i o r lt h er e s u l t s o b t a i n e di nt h i sc h a p t e rg e n c l a l i z et h et h e o r i e si nf u x i l i na n dy u y u a n h o n g s p a l m 1 1 4 】。 l i u k a i e n s p a p e r f l 纠a n dw a n g q i m s p a p e r i ” i n t h e f o r t h p a r t o f t h i s p a p e r , w e d e e p l y s t u d y t h e m o r e g e n e r a ls e c o n d - o r d e r n o n l i n e a r v a r i a b l ed e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hv a r i a b l es i g no s c i l l a t i o nf a c t o r ，o ) + p o ) ，( j ( g ( f ) ) ) = o ( f t o ) ( 4 ) 履l e r cp ( f ) ，g ( f ) e c ( t o ，o o ) r ) ，f c ( r ，彤，u f ( h ) 0 ( 甜o ) a n d w o a c q u i r e f i v e s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r t h e o s c i l l a t i o n o f t h i s e q u a t i o n k e yw o r d s ：n o n l i n e a r , d e l a y ，n e u t r a ld i f f e r e n t i a le c l u a t i o n ，c o e f f i c i e n tw i t h v a r i a b l es i 翻m ，o s c i l l a t i o n 一3 一 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得j e 友互些太堂或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：耘壤签字日期：2 c 研年月弓日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解j e 友王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权韭友王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名；辛拓滚 签字日期：2 刁年f 月；日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 签字日期；堋 电话： 邮编： 北方工业大学硕士学位论文 1 引言 作为本文的开篇部分，本章主要介绍了课题“几类二阶时滞微分方程的振动性研 究”的历史背景、研究动态及其发展趋势和主要研究内容，然后介绍了本文的组织结构 1 1 课题的历史背景、研究动态及其发展趋势 微分方程，包括常微分方程和偏微分方程，由于其在实际中的坚实背景，多样而深 刻的理论以及与其它数学的紧密关系，已经发展成一个壮大的数学分支，得到极广泛的 应用常微分方程在历史上，它的出现甚至比微积分的发明还要早纳泊尔发明对数、 伽利略研究自由落体运动、笛卡尔在光学问题中由切线性质定出镜面的形状等，实际上 都需要建立和求解微分方程然而，实际上人们能够用初等函数的积分表达解的微分方 程是很少的，大量的微分方程是无法用初等积分法求解的在十九世纪早期，柯西给微 积分注入了严格性的要素，同时也为微分方程的理论奠定了一个基石解的存在性和 唯性定理s t u r m 的工作提出了对解进行定性研究的最初思想p o i n c a r e 的著名论文 “微分方程所定义的曲线”( 共四篇) 和l i a p u n o v 的博士论文“运动稳定性的一般问 题”共同奠定了定性理论的研究基础微分方程的过去和现在都对力学、天文、物理、 化学、生物、各种技术科学( 如核能、火箭、人造卫星、自动控制、无线电学等) 及若 干社会科学( 如人口问题、经济预测、商业销售问题、运输调度问题等) 提供了有利的 工具 这些研究实际上都是假定事物的变化规律只与当时的状态有关，而与过去的历史无 关但是把微分方程应用到某些领域中去时，必须考虑到一个重要的现象时滞反馈 的影响因为事实告诉我们，许多事物的变化规律不仅依赖于当时的状态，还依赖于过 去的状态在这种情况下，微分方程就不能够精确地描述客观事物了，代之而起的是带 时间滞后的微分方程即时滞微分方程这类方程可以看作是含有导数的一类方程，也可 以看作是含有偏差变元的( 或更广义的) 微分方程，由于时滞微分方程能充分考虑到事 物的历史( 即时滞) 对现实状态变化的影响，与不具时滞的微分方程相比较，它能更深 刻地、更精确地反映事物的变化规律，揭示事物的本质而随着现代科技的发展，在自 然科学与社会科学的许多学科中都提出了大量的时滞动力学系统问题，如核物理学、电 路信号系统、生态系统、化工系统、遗传问题、流行病学、动物与植物的循环系统社 北方t 业大学硕七学位论文 会科学方面主要是各种经济现象时滞的描述，如财富分布理论、资本主义周期性危机、 工业生产管理等，促使人们对这种困难的课题开始认真地分析自1 9 5 9 年以来，无论 是一般的时滞微分方程还是较具体的时滞差分方程，其发展是相当迅速的，在解的基本 理论、稳定性理论、周期解理论、振动理论、解算子理论、分支理论等方面都出现了许 多重要的成果7 0 年代以来，每年都有数以万计的论文问世，专著也陆续出现，其中 j k j t a l e 在1 9 7 7 年出版的t h e yo ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ) ) 是最新的总结 自1 9 7 7 年以来，它们与有界滞量的时滞微分方程形成两大方向，发展非常迅速。 时滞微分方程的振动理论作为时滞微分方程定性理论的一部分，具有广泛的应用背 景众所周知，生物模型中出现大量的时滞微分方程k 上c o o k e 提出一个生物科学中 极为重要的方程【1 】，它与遗传现象密切相关 y 。( t ) + a y ( t h ( t ，y ( t ) ) ) = f ( t ) ，t t o ( 1 1 ) 在工业方面，电磁开关系统，其方程为嘲 矿( t ) + 2 u y ，( t ) + v 2 y ( t ) + t y ( t - a ) = 0 ( 1 2 ) 其中1 1 ，v ，t 为常数，滞量a = a ( t ，y ( t ) ) ，对t r 连续在经济学中价值法则的作 用，也是由于生产与消费之间的时滞形成的，如果时滞过长，经济也会出现振荡现象， 这也为社会生活所证实 从s t u r m ( 1 8 3 6 ) 研究热传导方程时二阶线性常微分方程 y 。( f ) + 口( f ) j ，( f ) = 0 ( 1 3 ) 的振动问题以来，常微分方程的振动理论已有很久的历史s w a n s o n t ”总结了线性常微 分方程振动理论的经典结果文献”中介绍了某些非线性微分方程振动性的研究结果 由于常微分方程对应于滞量，= 0 ，所以它不会出现振动性依赖于时滞的情形，而时滞 微分方程则不同，它的偏差变元的出现能够引起解的振动性和非振动性例如一阶线性 微分方程 y ( f ) + p ( t ) y ( t ) = 0 ，p ( f ) c ( t o ，佃) ，r + ) ( 1 4 ) 的一切非零解都是定号的，而一阶时滞微分方程 y ( f ) + y ( f 一姜_ ) = 0 ( 1 5 ) 一2 - 北方j r = 业大学硕士学位论文 具有振动解y = s i n f ，这个振动性完全是由滞量三引起的事实上，在满足初值问题解 的存在和唯一性的条件下，一阶微分方程y f ( t ，_ ) ，) ( 厂( f ，o ) = 0 ) 没有振动解正因为其 具有广泛的应用背景以及由滞量本身产生的振动，因此对滞微分方程解的振动性质的研 究构成时滞微分方程定性理论研究中最吸引人的篇章之一 在时滞微分方程振动理论上第一篇有影响的文献b 1 ，研究n 阶具有偏差变元的微分 方程 y “( f ) + p ( f ) ) ，( f ( f ) ) = 0 ， 一 h 0 ，则 ( i ) 当n 是奇数时，式( 1 6 ) 的每个解变号无穷多次； ( i i ) 当n 是偶数时，式( 1 6 ) 的每个解变号或者奇数次，或者无穷多次 第一本系统地叙述盼滞微分方程振动理论的著作是s h e v e l o l 6 1 ，其中包括参考文献 3 9 2 篇，他总结了直到1 9 7 7 年这一理论的发展1 9 8 7 年l a d d e h 、l a k s h m i k a n t h a m 、 张炳根合作出版了“具偏差变元微分方程的振动理论1 7 j ，它系统地总结了这领域国 际上直到1 9 8 4 年的成就，此书特别强调偏差变元的出现对微分方程解的振动性质的影 响此书的出版大大推动了这一领域研究工作的深入发展，它已经成为这一领域的经典 著作进入8 0 年代以来，开始出现大量的时滞微分方程振动理论的研究这是个比较 新的领域，每年的论文如雨后春笋般涌现，主要有以下几点： ( 1 ) 开创了中立型时滞微分方程解的振动性与非振动性的研究，并取得了丰富的研 究成果1 9 9 1 年出版了两本专著，b a i n o v 和m i s h e v ；c r y o r 和l a d a s ，总结了1 9 8 0 年 至1 9 9 0 年中立型微分方程振动理论的研究成果；1 3 9 4 年，1 9 9 5 年又出版了两本专著， 较全面系统地总结了这方面的最新进展 ( 2 ) 开创了时滞差分方程振动理论的研究e r b e 和张炳根1 9 8 8 年在美国o h i o 国 际微分方程会议上，第一次提出作为时滞微分方程的离散形式，时滞差分方程解的振动 性与非振动性的研究 ( 3 ) 开创了有时滞变元的偏微分方程的振动理论的发展t r a m o v ”，k r e i t h 和 上饿幻【l o 】，m i s h e v 和b a i n o v t “1 分别开始对具时滞的椭圆型、抛物型和双曲型偏微分方 程解的振动性进行了研究 3 北方工业大学硕士学位论文 ( 4 ) 开创了时滞脉冲微分方程的振动性的研究g o p a l s a m y 、张炳根首先研究了具 有脉冲的时滞微分方程解的振动性 ( 5 ) 时滞微分方程振动理论在生态模型上的应用，见文献【l ” 在以后的研究中，除了完善和发展已有的研究成果外，下面的几个问题尚未突破， 有待进一步研究： ( 1 ) 对振动解的零点分布、振幅变化和渐近性质的进一步研究，目前只有零星的工作 ( 2 ) 研究时滞引起的非振动性文献中往往强调时滞可以引起解的振动性质而时滞的 出现在一定条件下也能引起解的非振动性 ( 3 ) 二阶时滞微分方程解的振动性与相应的边值问题的联系尚待进一步研究，而相应 的问题在常微分方程中是完全清楚的 ( 4 ) 时滞微分方程解的振动性与非振动性的深入研究 ( 5 ) 时滞差分方程振动理论的进一步研宄这一课题的研究只有十年左右的历史，特 别是研究应用广泛的时滞偏差分方程的振动性仅有九年的历史 ( 6 ) 发展随机微分方程解的振动理论众所周知，随机微分方程定性研究已有很多的 工作，特别是在随机系统的稳定性方面，但对于随机系统解的振动性质的研究只有很少 的工作 ( 7 ) 研究振动解的性庶即零点分布规律和振幅变化规律 ( 8 ) 讨论与解的振动性质有关的解的其它性质，特别是解的吸引性、稳定性和有界性 ( 9 ) 振动理论的各种应用，特别是在生物模型和经济模型上的应用 定义1 若方程的非平凡解既不最终为正，也不最终为负，则称方程的非平凡解是 振动的 定义2 如果方程的任意一个非平凡解是振动的，则称方程是振动的 4 北方工业大学硕士学位论文 1 2 本文主要研究内容 本文研冤的主要内容是几类二阶时滞微分万程解的振动住， 在本文第二章中首先讨论了一类具不变符号振动因子的二阶非线性中立型时滞微分 方程 ，( f ) 【y ( f ) + p ( t ) y ( t f ) 】，2 ”“) + g ( f ) 九y ( f 一盯) 】= 0 ( t t o ) ( 1 7 ) 的振动性其中：m 为非负整数，心) c ( t o ，a 。) ，( 0 ，o o ) ) ，p ( f ) ，g ( f ) c ( t o ，) ，【o 斗m ) ， p 0 o ) ，口，r 为非负常数，得到了该方程振动的三个充 分条件，所得结果改进、推广并完善了文陋捌中的相关定理 定理1 2 1 若，似) o u o p 7 ( f ) 0 ，且以下条件成立： j ：音一； ( a 2 ) j ：= g ( f ) 出 。d ； ( a 3 ) f 南 0 ； 肿”k 【1 叩。町) 】2 m 4 - i + r 一2 m + l ( s 叫| c x p 丘州) 抛一， r l 1 其中：，( f ) = ，2 一“( f 一仃) ，c = 2 m + 2 ， 则方程( 1 7 ) 振动 然后在第二章中又研究了更为一般的一类具不变符号振动因予的二阶非线性中立型 时滞微分方程 【y o ) + p ( t ) y ( t - v ) “) + g o ) 九y ( f 一盯) 】= 0( t t o ) ( 1 8 ) 的振动性其中：小，l 为非负整数，z ：罢! 出是既约分数，且： 2 m + 1 p ( f ) q ( t ) ：【t oo d ) _ o ，o o ) ，v ( t ) 0 0 ) 得到了方程振动的- - + 充分条件，定理内容如下： 定理1 2 a 若f ) o ，“o ，p ( f ) 0 ，且以下- - + 条件成立： ( a i o ) j ：g ( f ) 出 o o ； ( a 1 1 ) j ：赤 哆e2 n + 1 。，d 、y ，川2 m i 。 0 ， ( ”0 ) ； ( h 1 6 ) f p 丽g ( j ) 【口( s ) 】丽一1 e x p c ( s f 。) d s = o o ， 其中：口( f ) ：1 - p ( t 一力，c ：粤兰竽， z m 十i 则方程( 1 8 ) 振动 在本文第三章中研究了具变符号振动因子的二阶非线性时滞微分方程 工。( f ) + p ( t ) f ( x ( t f ) ) = 0o t o ) ( 1 9 ) 的振动性其中：p ( f ) c ( t o ，o o ) ，r ) ，厂( f ) c ( r ，1 0 ，u f ( u ) 0 o ) 得到了该方程 振动的五个充分条件 定理1 2 7 若方程( 1 9 ) 满足f 歹u 条件： 毋1 ) p - ( f ) - e 一。； 0 3 2 ) j h p + ( t ) d t 。； 0 3 3 ) 存在常数，如使：o - e 一； 毋3 ) 存在常数，2 使：o f ； 0 3 5 ) 厂7 ( 工) c 0 ； 0 3 6 ) 存在函数f ( t ) ：【t o ，0 0 ) r ，使得 o 咄( 卅三，2 ( 州e x p i i c f ( 懒) d s d s = 一， 则方襁1 9 ) 振动 定理1 2 9 若方程( 1 9 ) 满足下列条件： 0 3 1 ) p 一( f ) 呻1 ； f r o ) 存在常数，如使：o f ； 7 ) 存在函数f ( t ) ：【t o , o o ) jr 使得 昏一p + ( d + i 4 f 2 0 ) 】e x p i ：f ( s t ) 凼- 蠡= m ， 则方程( 1 9 ) 振动 定理1 2 1 0 若方程( 1 9 ) i 茼足下列条件： 仍1 ) p - ( f ) - e ； 0 3 3 ) 存在常数，乞使：o ，i f ； 仍8 ) f ( 功2 c 0 ； 毋9 ) 若存在可微函数矿( f ) ：【t o ，0 0 ) - - ( o ，o o ) 使得 e p 问如舻。和e 等凼= m 眦 则方程( 1 9 ) 振动 定理1 2 1 1 若7 y 程( 1 9 ) 满足下列条件： t b l ) p a t ) 呻一”： 3 ) 存在常数，如使：o f ； ( 1 3 1 0 ) 首先记：d o = ( f ，s ) k s t o ，d = c t ，s ) l t k s t o ，再设存在 h c ( d ，r ) ，h c ( d 0 ，r ) 以及k ，p c 7 ( ，r + ) 满足： i ) h ( t ，t ) = o ，t t o ；在d o - h ( t ，s ) 0 ； i i ) h ( t ，j ) 在d 0 上对s 有连续且非正的偏导数； i i i ) 一昙sc h ( ”顺妒即卿琊) 等毗s ) 厕以砂d o ，p s ， 若l i ：攀万南【，1 日( 柚) 琊) p ( s ) p + ( s ) 一三以s ) j j l 2 ( 邰) 协= 佃， 则方程( 1 9 ) 振动 在本文第四章中研究了具变符号振动因子的二阶变时滞微分方程 ，( f ) + p ( f ) ，( x ( g o ) ) ) = 0( f t o ) ( 1 1 0 ) 的振动性其中p ( f ) ，g ( f ) c ( 【f o ，o o ) ，r ) ，f c ( r ，r ) ，u f 似) 0 ( u 0 ) 所得到的两个引理内容如下： 引理1 2 1 若对于方程( 1 1 0 ) ，下列条件成立： 1 ) p ( f ) - e - ； 0 3 3 ) 存在常数，乞使：o 0 ( f t o ) ， 则，x ( t ) 为方程( 1 1 0 ) 的非振动最终正解时，存在常数a 1 ，k l 使得 x ( f ) + k i t + 1 2 e 一； 当工o ) 为方程( 1 1 0 ) 的非振动最终负解时，存在常数九：，也使得 板f ) 如+ k 2 t 一1 2 e 引理1 2 2 若方程( 1 1 嘴足下列条件： 毋1 ) p _ i f ) - e - 7 ； 9 北方j ：业大学硕士学位论文 ( b 3 ) 存在常数，使：o ，i - t o 存在b 口n ，当f 【口，b 】时，p 一( f ) = 0 ，目b - a f ， 则，当方程( 1 1 0 ) 有非振动解x ( f ) 时，y ( o = x ( f ) + f 出厂p 一( 毛) 厂( 并( g ( q ) ) ) 幽。和 y 7 ( f ) 最终均不变符号 五个定理内容如下： 定理1 2 1 2 若方程( 1 1 0 ) 满足下列条件： 毋1 ) 且( f ) 一e 1 ： 佃2 ) j b p + ( ) 出2 佃； 0 3 3 ) 存在常数，如使：o ，l 0 ( f t o ) ； ( c 2 ) 对于任意n t o 存在b a n ，当f ，b 】时，p 一( f ) ；o l b - a f ， 则方程( 1 1 0 ) 振动 定理1 2 1 3 若方程( 1 1 0 ) 满足下列条件： 1 ) 卫( f ) 一e 。广； ( b 2 ) f ( c 0 ； b 3 ) 存在常数，乏使：o 0 ( f t o ) ； ( c 2 ) 对于任意n t o 存在b 口n ，当t a , b 】时，v - ( 0 ；o r b 一口f ； ( c 3 ) 存在函数g ： t o ，+ o o ) 寸r ，使得 c 。【- p + 垡竽g 2 ( s ) e x p ：c g ) g “西= 瑚， 则方程( 1 1 0 ) 振动 定理1 2 1 4 若方程( 1 1 0 ) 满足下列条件： 1 0 北方工业大学硕士学位论文 1 ) 以( f ) 叩一； 3 ) 存在常数，乞使：o 厶 0 ( t 2 t o ) ： ( c 2 ) 对于任意n t o 存在b a n ，当f 【口，b 】时，p 一( f ) z 0 ，其中：b - a f ； ( c 柳存在函数g ( t ) ：【t o ，佃) 斗r ，使得 o - f l p + ( s ) + 去g ，( f ) g 2 ( 硼唧g ( ) g ( ) 凼- 凼= m ， 则方程( 1 1 0 ) 振动 定理1 2 1 5 若方程( 1 1 0 ) 满足下列条件： 1 ) p a t ) - e - ； 毋2 ) ，( 工) 2 c 0 ； 毋3 ) 存在常数，如使：o 0o t o ) ； ( c 2 ) 对予任意n t o 存在b a n ，当f 【口，b 】时，p - ( f ) i 0 ，其中6 4 f ； ( c 5 ) 首先记：d o = ( l s ) k s 2 t o ，d = ( f ，s ) | f s t o ，再设存日c ( d ，r ) ， h c ( d o ，r ) 以及k ，p c ( ，r ) 满足： i ) h ( t ，t ) = o ，t t o ；在d 0 上h ( t ，s ) 0 ； i i ) ( f ，s ) 在o o 上对s 有连续且非正的偏导数； i i i ) 一丢( 日琊万删柚瞰葶) 等啪力厕 ) 乏晚 p i 引 若l 鼍p 面南o ，l 她舭雕) 以 赤删脚，s ) 弦= 佃， 则方程( 1 1 0 ) 振动 定理1 2 1 6 若方程( 1 1 0 ) 满足下列条件： 1 ) p a t ) 一p ； 2 ) f o ) c 0 ； 北方工业大学硕士学位论文 0 3 3 ) 存在常数，如使：o 0 ( f - t 。) ； ( 晓) 对于任意t o 存在6 a n ，当f 口，6 】时，口o ) = o 且b - a f ； ( c 6 ) 若存在可微函数t p ( t ) ：【t o , 0 0 ) 专( 0 ， ) ，使得 n 帅肛o o 和。篇凼 t o ) ( 2 1 ) 给出了方程振动的若干充分条件 本文研究了更为一般的二阶非线性中立型时滞微分方程 ，o ) 【y ( f ) + p o ) y ( f r ) 】以辟“) + g ( f ) 月) ，o 一。r ) 】= 0 ( f t o ) 和 【) ，( f ) + p o ) y o f ) 】“ + g o ) 以) ，o 一盯) 】= 0( t t o ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 的振动性其中：研，。为非负整数，且a 。：堕 是既约分数，r ( f ) c ( t o ，m ) ，( o ，) ) ， a m4 - l p ( f ) ，g ( f ) c ( t o ，嘞，【o + ) ) ，p ( f ) 0 o ) 仃，f 为非负常 数本章中所得结果改进、推广了文u 3 j 4 j 6 1 中的已有结果 2 2 主要足理及具证明 定理2 2 1 若，7 0 ) o 批o p ( o 0 ，且以下条件成立： ，j ：者一； ( d 2 ) j ：q ( t ) d t a o ； ，e 南 0 ，y ( t o r ) o , y ( t 一2 r 一仃) 0 ， 记：z ( f ) = y ( f ) + p ( t ) y ( t - r ) 0o t 1 ) ( 2 4 ) 由方程( 2 2 ) 可知： f r ( f ) z “( 吖= 一q ( t ) f y ( t - t y ) 1 - t l 时，z ( t ) o , z ( t - a r f ) 0 ，由 y ( f 一盯) = z ( t a ) - p ( t - a ) y ( t - o r - r ) 及y ( f o r f ) z ( t 一盯一f ) z ( t 一盯) ， 可得： y ( t 一盯) c t ( t ) z ( t 一力 其中：口( f ) = 1 一p o 一，定义： h o = 磊编，则有： 以f ) 。， 一1 4 北方工业大学硕士学位论文 w ，( f ) ：幽苎：坳：一塑兰：! g 攀迦竺型塑堕坐二型 、7 f c t ( t ) z ( t 一盯) 】f 2 【掰( f ) z ( f 一盯) 】 一! g 蔓竺二尘! ! ? 三j ；二：尘! 孚垒幽一g ( f ) o f 2 【口( f ) z ( f 一仃) 】 1 上式从t 到f 积分 聊s 灿一f g ( s 岫， 有 o 坤) 以f i ) 一j ：g o ) a s ， 一 可得 “f ) 厅o ) a s ， 考虑到( 2 5 ) 有 者揣f c t ( t ) z ( t 训f 如灿，k ( f ) z o 一仃) j一仃) j 从而 葡丽z ( t - a ) 【志胁心志刈币丽石司一，( f 一工叭 再从f 到f 积分有 f 【志胁出南也f 葡褊出 茎f 丽褊凼= 赤麟：南 上式当t 寸时，由条件( d 3 ) 可得 j ：南胁脚丽i 抓叭 t 1 5 北方工业大学硕士学位论文 这与条件( d 4 ) 矛盾所以方程( 2 2 ) 的非平凡解，( f ) 不能最终为正( 非平凡解不能最 终为负的情形可以类似证明) 即方程( 2 2 ) 振动 定理2 2 2 设p ( f ) 0 ； ，e 音一； ( d 7 ) j ：【g ( s ) 一七f ( s ) 】懿p e c f o ) 妇凼= m ， 其中：口( f ) ：1 一p ( t - - a ) ，f ( f ) ：生，c ：七( 2 埘+ 2 ) ， r 一2 m + l ( t 一们 则方程( 2 2 ) 是振动的 证明： 假设方程( 2 2 ) 是非振动的，则方程( 2 2 ) 至少存在一个最终正解或最 终负解不妨假设方程( 2 2 ) 存在一个最终正解y ( t ) ，则jt l t o ，当f t 时，有： y ( t ) o ，y ( t - r ) 0 ，j ，o - a ) o , y ( t - 2 r 一盯) 0 ， 记：z ( f ) 如定理2 2 1 ，则由定理2 2 1 的证明可知：存在f 2 f l ，使得当r f 2 时，有： z ( f f 一叻 o ，z ( f 一g - - c r ) o ，故：j ，( f 一盯) a ( t ) z ( t c r ) ， 记： 似f ) = r ( t ) z t 2 m + | ( t ) 9 2 ”“【口( f 弦o 一仃) 】，则w ( t ) 0 ，且： = 嵩焉篙 ( 2 m + 1 ) r ( t ) z “( f ) 口( f ) z ( f t r ) 9 2 ”【口o k o 一盯) k 【a ( f ) z ( f 一盯) 】 9 4 m + 2 c t ( t ) z ( t - _ c x ) 】 ( 2 m + 1 ) r ( t ) z 2 1 “( f ) 口o ) z o t r ) 9 2 “【a ( f ) z o c r ) 】g a ( t ) z (