（应用数学专业论文）几类微分方程的概周期解.pdf

；：j一 j a n u a r y , 2 0 1 0 ililli。l 承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下， 独立进行研究工作所取得的成果尽我所知，除文中已经注明 引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任何他人享有著 作权的内容对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人 和集体，均已在文中以明确方式标明 本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复印 件，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制 手段保存论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本承诺书) 作者签名：趣玉监 日 期：垒鱼：墨：丝 南京航空航天大学硕士学位论文 摘要 时滞微分方程理论研究的一个重要问题是研究解的定性性质，如解的稳定性、周期解、概 周期解等概周期解问题一直是微分方程理论的一个重要分支，在理论和实际应用中有着非常 重要的意义本文研究两类多种群对数人口模型的概周期解的存在性和稳定性及一类具有不同 时间尺度的竞争神经网络的概周期解的存在性和指数稳定性 全文有五章组成 第一章介绍了微分动力系统的概周期解的研究状况、多种群对数人口模型和具有不同时间 尺度的竞争神经网络的概周期解的研究现状及意义，同时介绍了本文的主要研究内容和创新点 第二章基于b a n a c h 不动点定理和微分不等式技巧，研究了一类具有反馈控制的多种群对数 人口模型，给出了其概周期解的存在性、唯一性和全局吸引性的新判据去掉了相关文献中要 求时滞可微和相关参数的积分有界的限制 第三章讨论了中立型多种群对数人口模型，利用b a n a c h 不动点定理、指数二分性理论和微 分不等式技巧，给出了其概周期解的存在性、唯一性和全局指数稳定性的新的充分性判据文 中去掉了时滞必须为常数和中立项的系数可微的限制，所得结论改进了已有文献中的结论本 章方法还可应用于不含中立项的多种群对数人口模型 第四章提出了一类具有不同时间尺度的中立型竞争神经网络模型，在不要求激活函数满足 全局l i p s c h i t z 条件的情况下，基于b a n a c h 不动点定理、微分不等式技巧，给出了其概周期解 的存在性、唯一性和全局指数稳定性的新判据所得结论包含或改进了已有文献中的结果 第五章总结了全文工作，并展望了未来的研究方向 关键词：多种群，对数人口模型，概周期解，全局吸引，中立型，不同时间尺度，竞争神 经网络，指数稳定，微分不等式 几类微分方程的概周期解 a b s t r a c t o n eo fi m p o r t a n tq u e s t i o no fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si st os t u d yt h eq u a l i t a t i v ep r o p e r t yo ft h e s o l u t i o n , s u c ha ss t a b i l i t y 、p e r i o d i cs o l u t i o n 、a l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o na n ds oo n a l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n h a sa l w a y sb e e na ni m p o r t a n tb r a n c ho ft h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dh a sav e r yi m p o r t a n ts i g n i f i c a n c ei n t h e o r ya n dp r a c t i c a la p p l i c a t i o n t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e st h ee x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo ft h ea l m o s t s o l u t i o n sf o rt w ok i n d so fm u l t i s p e c i e sl o g a r i t h m i cp o p u l a t i o nm o d e l sa n dak i n do fc o m p e t i t i v e n e u r a ln e t w o r k sw i t hd i f f e r e n tt i m es c a l e s t i l i sp a p e rh a sf i v ec h a p t e r s c h a p t e rli n t r o d u c e st h ep r e s e n ts i t u a t i o no fa l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n sf o rd i f f e r e n t i a b l ed y n a m i c a l s y s t e m ，t h ec u r r e n ts t a t u sa n dm e a n i n go fa l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n sf o rm u l t i s p e c i e sl o g a r i t h m i c p o p u l a t i o nm o d e la n dc o m p e t i t i v en e u r a ln e t w o r k s 、i t i ld i f f e r e n tt i m es c a l e s ，w h i l ei n t r o d u c i n gt h e m a i nc o n t e n t sa n do r i g i n a l i t i e so ft h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，b a s e so nb a n a c hf i x e d - p o i n tt h e o r ya n dt h et e c h n i q u eo fd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t y , t h e e s s a ye x p l o r e sac l a s so fm u l t i s p e c i e sl o g a r i t h m i cp o p u l a t i o nm o d e l 谢mf e e d b a c kc o n t r o l 。a n d e s t a b l i s h e st h en o v e lc r i t e r i ao nt h ee x i s t e n c e 、u n i q u e n e s sa n dg l o b a la t t r a c t i v i t yo fa l m o s tp e r i o d i c s o l u t i o n t h eo u t c o m e so ft h ec h a p t e rr e l a xt h ec o n s t r a i n t so nt h ed e l a y sa l ed i f f e r e n t i a b l ea n dt h e b o u n d e d n e s so ft h ei n t e g r a lo fi n t e r r e l a t e dp a r a m e t e ri nt h er e l a t e dl i t e r a t u r e c h a p t e r3d i s c u s s e san e u t r a lm u l t i s p e c i e sl o g a r i t h m i cp o p u l a t i o nm o d e l ，b ye m p l o y i n gb a n a c h f i x e d - p o i n tt h e o r y 、e x p o n e n t i a ld i c h o t o m yt h e o r ya n dt h et e c h n i q u eo fd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t y , t h e n o v e ls u f f i c i e n tc r i t e r i aa l ee s t a b l i s h e do nt h ee x i s t e n c e 、u n i q u e n e s sa n dg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo f a l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n f u r t h e r m o r e ，t h eo u t c o m e si nt h i sc h a p t e rr e m o v et h er e s t r i c t i o no nt h e d e l a y sa l ec o n s t a n t sa n dt h ec o e f f i c i e n t so fn e u t r a lt e r ma l ed i f f e r e n t i a b l e ，t h ec o n c l u s i o n so ft h e c h a p t e ri m p r o v et h ec o n c l u s i o n sd r a w nf r o mt h ee x i s t i n gl i t e r a t m e s t h i sm e t h o dc a nb ea l s oa p p l i e d t ot h em u l t i - s p e c i e sl o g a r i t h m i cp o p u l a t i o nm o d e lw i t h o u tn e u t r a lt e r m s c h a p t e r4p r o p o s e sak i n do fn e u t r a lc o m p e t i t i v en e u r a ln e t w o r k sw i md i f f e r e n tt i m es c a l e s ，b y e m p l o y i n gb a n a c hf i x e d - p o i n tt h e o r ya n dt h et e c h n i q u eo fd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t y , t h en o v e ls u f f i c i e n t c r i t e r i aa l ee s t a b l i s h e do i lt h ee x i s t e n c e 、u n i q u e n e s sa n dg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo f a l m o s tp e r i o d i c s o l u t i o nw i t h o u tr e q u i r i n gt h ea c t i v a t i o nf u n c t i o nt os a t i s f yg l o b a ll i p s c h i t zc o n d i t i o n n e c o n c l u s i o n so ft h ec h a p t e ri n c l u d eo ri m p r o v et h ec o n c l u s i o n sd r a w nf r o mt h ee x i s t i n gl i t e r a t u r e s c h a p t e r5c o n c l u d e st h er e s e a r c hw o r ko ft h i sp a p e r , a n dl o o k sf o r w a r dt ot h ef u t u r er e s e a r c h d i r e c t i o n s k e yw o r d s ：m u l t i - s p e c i e s ，l o g a r i t h m i cp o p u l a t i o nm o d e l ，a l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n ，g l o b a l a t t r a c t i v i t y , n e u t r a l ，d i f f e r e n tt i m e - s c a l e ，c o m p e t i t i v en e u r a ln e t w o r k s ，e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y , d i f f e r e n t i a li n e q u a l i t y 卜 南京航空航天大学硕士学位论文 目录 第一章绪论1 1 1 微分方程概周期解的研究概述1 1 2 微分方程的概周期解的研究现状及意义。1 1 2 1 两类多种群对数人口模型的概周期解1 1 2 2 具有不同时间尺度的中立型竞争神经网络的概周期解2 1 3 本文的主要内容与创新点2 1 3 1 主要内容2 1 3 2 创新点4 第二章具有反馈控制的多种群对数人口模型的概周期解的存在性和稳定性5 2 1 模型与预备工作5 2 2 概周期解的存在性和唯一性6 2 3 概周期解的全局吸引性。9 2 4 例子与仿真一1 l 2 5 本章小结1 2 第三章中立型多种群对数人口模型的概周期解的存在性和稳定性1 3 3 1 模型与预备工作1 3 3 2 概周期解的存在性和唯一性1 5 3 3 概周期解的全局指数稳定性1 9 3 4 例子与仿真一2 3 3 5 本章小结2 7 第四章具有不同时间尺度的中立型竞争神经网络的概周期性2 8 4 1 模型与预备工作。2 8 4 2 概周期解的存在性和唯一性3 0 4 3 概周期解的全局指数稳定性3 6 4 4 例子与仿真4 5 4 5 本章小结4 8 几类微分方程的概周期解 第五章总结与展望4 9 5 i 总结4 9 5 2 展望4 9 参考文献5 0 致谢5 3 图2 1 ：例2 1 中 图3 1 ：例3 1 中 图3 2 ：例3 1 中 图3 3 ：例3 1 中 图3 4 ：例3 2 中 图3 5 ：例3 2 中 图3 6 ：例3 2 中 图4 1 ：例4 1 中 图4 2 ：例4 1 中 图4 3 ：例4 1 中 图4 4 ：例4 1 中 几类微分方程的概周期解 注释表 靠维e u c l i d e a n 空间； 函数z ( f ) 对t 的导数； 表示从拓扑空间x 到拓扑空间】，的一类连续的映射集； 表示从b a n a c h 空间x 到b a n a c h 空间】，的一类连续可微的映射集： 任取的； 对任意的连续尼( f ) ：r 专r ，k + = s u p l k ( t ) i ； f e 詹 对任意的连续尼( f ) ：r r ，k 一2 礤i k l ； 力一 引i，即 西一 1 即 = j ，：、 小 z ，l r l i 彤 川 q v 旷 旷 南京航空航天大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 微分方程概周期解的研究概述 时滞是客观世界中普遍存在的现象，要准确描述时滞现象就不可避免地考虑时滞问题，时 滞微分方程就是描述带有时滞现象的数学模型早在1 8 世纪中期，e u l e r 提出了一个古典的几 何学问题，由此引发了对时滞微分方程的讨论自2 0 世纪七十年代开始，时滞微分方程的理论 得到了快速发剧1 3 1 ，并在生态系统、神经网络和工程等领域中有了广泛的应用 在时滞微分方程中，中立型方程是一类形式相当广泛的时滞微分方程，其对应的数学模型 不仅要求变量的变化率依赖于现在的状态，而且要求变量的变化率也要依赖于过去的状态，对 其性质的研究不但有着理论意义，而且在实际生活中也有着很重要的现实意义如：中立型时 滞微分方程在信号传输网络、细胞反应动力学、遗传问题、自动控制、人口动态及生态模型等 应用领域中具有广泛的应用背景 中立型时滞微分方程研究的一个重要问题是研究系统解的动力学性质，如解的稳定性、有 界性、周期性、振动性等，其中周期性是十分重要的研究课题，多年来一直受到国内外学者的 高度重视，并取得了一系列的成果 4 - s 作为周期性理论的推广，概周期性理论的研究也得到了学者们的重视，因而迅速发展，自 1 9 2 4 1 9 2 6 年h b o h r 提出概周期函数的理论以来，就被广泛应用在常微分方程、时滞微分方程 9 - 1 0 1 、中立型微分方程 1 2 1 及偏微分方程等领域，丰富了概周期函数的理论另一方面，在自 然科学和社会科学中，与周期现象相比较，概周期现象为更普遍的一种现象，如天体运转、生 态环境、神经网络领域以及市场供需规律等等，考察其概周期现象有时比考察周期现象更切合 实际因此讨论时滞微分方程和中立型时滞微分方程的概周期的性质是一个在理论上有着十分 重要意义同时又在实际应用方面有着广阔前景的问题 1 2 微分方程的概周期解的研究现状及意义 1 2 1 两类多种群对数人口模型的概周期解 众所周知，在生物模型中出现了大量的时滞微分方程，其中的延滞包含对种群增长的各种 影响，如孵化周期、怀孕时间、食物更新的时间等目前，时滞微分方程已成功应用于多种群 对数人口模型，并取得了一些成果【”j 6 】在文献【1 6 1 中，作者研究了具有反馈控制的多种群对数 人口模型的周期解的存在性和全局渐进稳定性事实上，概周期解在实际生活中更容易见到， 它是以周期现象作为特例，比周期现象更广泛的现象但很少有作者研究具有反馈控制的多种 群对数人口模型的概周期解，在本文的第二章中我们将讨论具有时滞反馈控制的多种群对数人 1 几类微分方程的概周期解 口模型的概周期解的存在性和全局吸引性 中立型时滞微分方程在人口动态及生态模型等应用领域中具有广泛的应用背景，正如 g o p a l s a m y 在文献【1 7 1 中所指出的，在一些情况下，中立型时滞人e l 模型更符合实际，它已成为 研究的热点之一，并取得了一些有用的成梨1 8 。2 文献 1 8 , 1 9 1 利用k 集压缩定理讨论了中立型多 种群对数人口模型的周期解的存在性和吸引性文献【2 0 】基于b r o u w e r 度定理和重合度理论，分 析了中立型多种群对数人1 2 1 模型的正周期解的存在性文献【2 l 】在要求时滞为常数且中立项系数 可微的条件下，通过构造l y a p u n o v 函数和利用不等式技巧讨论了中立型多种群对数人口模型的 概周期解的存在性和全局吸引性然而，在实际应用中时滞通常是时交的，有时要受放大器转 换速度的限制和电子回路发生故障的影响，时滞甚至会随时间发生剧烈变化另外，很多函数 并不满足可微的条件因此，对变时滞的中立型对数人口模型的概周期解的研究更有意义而 有关变时滞的中立型对数人口模型的概周期解问题的研究还很少，因此，对这方面的研究很有 意义另外，指数稳定比渐进稳定有更快的收敛速度因此，本文第三章在文献【2 l 】的基础上研 究中立型多种群对数人口模型的概周期解的存在性和指数稳定性 1 2 2 具有不同时间尺度的中立型竞争神经网络的概周期解 竞争神经网络是一种无监督学习型神经网络，它模拟生物神经网络系统依靠神经元之间的 兴奋、协调与抑制、竞争的方式进行信息处理具有不同时间尺度的竞争神经网络是一种特殊 的竞争神经网络，它由m e y e r - b a s e 等在文献2 2 彩】中提出来的这类神经网络有两类神经元：一 类是短期记忆神经元，一类是长期记忆神经元在不同类型的神经元中有不同的时间尺度从 生物神经系统来看，入的大脑时刻处在周期和混沌状态，因此对竞争神经网络的概周期解的研 究十分有意义目前已有一些关于具有不同时间尺度的竞争神经网络的概周期解的存在性和稳 定性的结论【2 1 1 据调研，目前还没有含有中立项的具有不同时间尺度的竞争神经网络的相关 结果另外，在众多有关神经网络的稳定性的研究中，通常总要假设激活函数满足全局l i p s c h i t z 连续性d 2 3 3 1 ，而全局l i p s c h i t z 连续性条件对于大多数函数来说是比较苛刻的2 0 0 7 年刘在文献 3 4 1 中研究了一类细胞神经网络概周期解的稳定性，文中消弱了激活函数满足全局l i p s c h i t z 连续 性的条件受文献【3 4 】的启发，本文第四章利用不动点定理和微分不等式技巧研究有中立型时滞 微分方程描述的具有不同时间尺度的竞争神经网络模型的概周期解的存在性和指数稳定性 1 3 本文的主要内容与创新点 1 3 1 主要内容 本文主要研究了两类多种群对数人口模型的概周期的存在性和稳定性和一类具有不同时间 尺度的竞争神经网络的概周期解的存在性和指数稳定性 2 南京航空航天大学硕士学位论文 第一章介绍了微分方程概周期解的研究状况，多种群对数人口模型和具有不同时间尺度的 竞争神经网络的概周期解的研究现状及意义，同时介绍了本文的主要内容与创新点 第二章考虑了如下具有时滞反馈控制的多种群对数人口模型 川( f ) = m ( f ) ，；( f ) 一a 扩( f ) l i l m ( t ) - z b # ( t ) i n n j c t - z 0 ( t ) ) ，- l弘l 土- 一c i o ) l 岛。一s ) m ( s ) 出一d i ( t ) u ，o ) 一q o ) 吩( f q o ) ) 】， ( 1 1 ) j = l ”；o ) = - a i ( t ) u f ( f ) + 屈( t ) k n m o ) + 乃o ) l i l m ( t - s i ( t ) ) ，t 0 ， 川( 口) = 仍( 9 ) ，0 ( 咱，o ，u i ( p ) = ( 曰) ，0 【- - 0 ，o 】， 其中各参数意义详见第二章，利用b a n a c h 不动点定理和微分不等式技巧，给出了保证系统( 1 1 ) 的概周期解的存在性和全局吸引性的充分条件 第三章讨论了如下中立型多种群对数人口模型 川( f ) = m ( f ) ( f ) 一口i f ( t ) l n m ( f ) 一b v ( t ) l n m o 一勺( f ) ) j = l，= l 一勺o ) l ( 卜s ) h n j ( s ) a s 一如( f ) 吖( 卜嘞( f ) ) 】，f o ， ( 1 2 ) j = lj = l m ( f ) = 仍( f ) ，川( f ) = 谚( f ) ，t 0 ， 其中各参数意义详见第三章，应用b a n a c h 不动点定理、指数二分性定理和微分不等式技巧，给 出系统( 1 2 ) 的概周期解的存在性、唯一性和全局指数稳定性的充分判据 第四章提出了一类具有不同时间尺度的中立型竞争神经网络模型 ( f ) = 一q o ) 五l j f ) + 岛( t ) f y ( 巧。一勺o ) ) ) j = l + i ，i l j + j = l 岛( f ) f ( 口) 毋( 屯( f 一目) ) d 秒+ 尽( f ) f ( 乡) 墨( f o ) d o o ) 弓o 一0 ) ) + a ( f ) ， 啪卜删+ j c o 堋塬邪帼瑚+ 芸舭啪一删( f ) ，f o ， x i ( t ) = 谚o ) ，( f ) = ( f ) ，岛( f ) = 仍o ) ，o ) = 科o ) ，t 0 ，i = 1 ，n ， ( 1 3 ) 其中各参数意义详见第四章，利用b a n a c h 不动点定理、指数二分性定理和微分不等式技巧，讨 论了系统( 1 3 ) 的概周期解的存在性、唯一性和全局指数稳定性 第五章总结了全文工作，并展望了未来的研究方向 3 几类微分方程的概周期解 1 3 2 创新点 ( 1 ) 在文献【1 6 1 中，作者在要求时滞可微和相关参数积分有界的条件下研究了具有反馈控 制的多种群对数人口模型的周期解的存在性和全局渐进稳定性而这些条件是不必要的，并且 与周期现象相比较，概周期现象为更普遍的一种现象，因此研究其概周期解的问题具有更普遍 的意义因此，本文第二章中利用不动点定理和微分不等式技巧给出一些充分条件保证其概周 期解的存在性和全局吸引性所得结论推广和改进了文献【16 】的结果 ( 2 ) 文献【2 1 】在要求时滞为常数，中立项系数可微的条件下给出了中立型多种群对数人口 模型的概周期解的存在性和全局渐进稳定性，而在实际应用中时滞通常是时变的另外，对中 立型系数可微的限制也并不令人满意，例如函数y = h ，y = s i n l x i 等都是不可微的，而这些 函数经常应用于工程问题中并且指数稳定包含了渐进稳定因此，本文第三章讨论了变时滞 的中立型多种群对数人口模型，并利用b a n a c h 不动点定理和微分不等式技巧给出了确保其概周 期解的存在性、唯一性和全局指数稳定性的充分判据最后举例说明即使条件时滞为常数，中 立项系数可微等条件成立仍然不能由文献【2 1 】中的条件得到其定理2 2 的结论另外，该模型包 含了不含中立项的多种群对数人口模型对于这类模型本章也给出了其概周期解存在性、唯一 性和全局指数稳定性的充分条件所得结论改进了文献0 3 , 2 1 】的结论 ( 3 ) 目前，在有关神经网络概周期解的文献中，多数作者讨论的模型要求激活函数满足全 局l i p s c h i t z 连续性陋铷，而全局l i p s c h i t z 连续性的条件是一个相对较强的条件，例如函数 y = x s i n x 就不满足另外，据调研，目前还没有具有不同时间尺度的中立型竞争神经网络的概 周期解的相关文章因此，在本文第四章首先提出更一般的具有不同时间尺度的中立型竞争神 经网络的模型其次，在不要求激活函数满足全局l i p s c h i t z 连续性的条件下讨论了其概周期解 的存在性、唯一性和全局指数稳定性所得结论改进了已有文献中的结论 4 南京航空航天大学硕士学位论文 第二章具有反馈控制的多种群对数人口模型的概周期解的存在性 和稳定性 2 1 模型与预备工作 众所周知，生物模型中出现了大量的时滞微分方程，其中的延滞包含对种群增长的各种影 响，如孵化周期、怀孕时间、食物更新的时间等目前，时滞微分方程已成功应用于多种群对 数人口模型，并取得了一些成果n 纠引在文献n 司中，作者研究了具有反馈控制的多种群对数人 口模型的周期解的存在性和全局渐进稳定性然而，在实际生活中，研究其概周期解更符合实 际但很少有作者研究具有反馈控制的多种群对数人口模型的概周期解 基于以上分析，本章研究具有反馈控制的多种群对数人口模型，利用b a n a c h 不动点定理和 微分不等式技巧给出其概周期解的存在性和全局吸引性的充分条件 考虑以下的时滞多种群对数人口模型 吖( f ) = m ( f ) o ) 一口萨( t ) l n m ( f ) 一b u ( t ) l n m ( f 一勺( f ) ) j - l- i 一主c 矗( f ) l 乃( f s ) l l l 以( j ) 出一喀( f ) 吩( f ) 一岛( f ) 吩( f q o ) ) 】， ( 2 1 ) j = i 材；( f ) = 一a i ( t ) u f ( f ) + 孱( t ) l n m o ) + 乃( f ) 1 1 1 m ( t - s i ( t ) ) ， m ( 口) = 仍( 口) ，0 ( o o ，o 】，u i ( o ) = v 6 ( o ) ，0 一仃，o 】， 其中i = 1 ，刀；吩( f ) 表示间接反馈控制变量，核函数如( f ) 为实值非负逐段连续的，7 ；( f ) ， 嘞( f ) ，b u ( t ) ，c o ( t ) ，q ( f ) ，f l i ( t ) ，所( f ) ，d i ( t ) ，e i ( t ) ，r u ( t ) ，q ( f ) ，4 0 ) 为r 上连 续的概周期函数并满足( f ) o ，c t i ( t ) o ，7 ；( f ) 0 ，嘞0 ( f _ ，) ，0 ，勺0 ， f l i ( t ) 0 ，以o ) 0 ，d i ( t ) 0 ，e i ( t ) 0 ，s u p 仍( 口) 0 ， f ，f ( p ) 0 ，0 一仃，0 】，( 0 ) 0 ，0 r u ( t ) r ，o c r y ( t ) 仃，o 4 ( t ) 万 v z ( f ) = ( 五( f ) ，毛( f ) ，o ) ，甜。( f ) ) r 尺孙，定义l i z ( f ) 0 。= i i x ( t ) l l + i l u ( t ) l l ，其中 i i x ( t ) l l - - 咧薯( f ) l ，i l u ( t ) l l = 咧“以) i v 缈( 伊) = ( 仍( 口) ，纯( 劝7 c 【( 咱，o 】，r “】， y ( 口) = 缈t ( 口) ，( 口) ) r c 【卜仃，o 】，r “】，定义m l _ 。s u 。鲫pm a x 。l 孕, , ( o ) l ， 5 几类微分方程的概周期解 i i l c , l = 一。s u 。口p 。m 。g a ；x 。 v r ( 口) l 一口s 口s 0 1 ：“) “ 定义2 1 【3 5 3 6 1 x ( t ) ：r r “连续，x ( f ) 称为r 上的概周期函数，如果对任给占 0 ， 存在实数，= ，p ) 0 ，使得在每个长度为z 的区间内至少有一个f = f g ) ，使 x ( t + v ) - x ( t ) i 占对一切f r 都成立 在本章中，我们总是假设系统( 2 1 ) 存在一个连续解，并假设以下的条件成立 ( q ) r o 冲= 1 ，f ，j = l ，以 ( g o 存在一组正常数啊，吃，满足m k 脚a x m , + m m a x 。 n i 全， 1 ，其中 m f ：as u p ( h i a 西( f ) ) 。1 h j a o ( t ) + 嗨( f ) + h j c o ( t ) + d i ( t ) + e i ( t ) ， t c r j = l ，耐j = l= l n ，全s u p h ，( a ，( f ) ) 一 屈o ) + 乃o ) 】) ，i = 1 ，甩 ，r 作交换n 如) = e x p h i x i ( t ) ，i = 1 ，刀，则系统( 2 1 ) 可化为以下形式 ( f ) = - a i i ( t ) x i ( t ) - h 7 , 1 h i d 驴( t ) x ( t ) - h 7 1 h j b # ( t ) x y ( t - r o ( t ) ) 产l ，耐j - i 一百1 2 h j c i j ( t ) f _ k # ( t s ) t o ) d s 一町1 d i ( t ) u i ( t ) ( 2 2 ) 一巧1 e i ( t ) u f ( f q ( f ”+ 巧1 ( f ) ， “；( f ) = - a , ( t ) u f o ) + 红屈o ) 薯( f ) + j l f 以o ) 而o 一磊( f ) ) ， 其初始函数为而( 秒) = ( 1 i l 仍( 秒) ) 鬼，0 ( - o o ，0 ，u i ( 口) = y f ( 秒) ，0 “一盯，0 】显然系统( 2 1 ) 的概周期解的存在性和全局吸引性等价于系统( 2 2 ) 的概周期解的存在性和全局吸引性 2 2 概周期解的存在性和唯一性 定理2 1 假设条件( q ) 和( ) 成立，则系统( 2 2 ) 在忙一磊0 i r 了中存在唯一的概周期 解，其中 6 ，= 懋盯1 烈州吣出n ，“。幽砒加 南京航空航天大学硕士学位论文 证明：令s = 三( f ) ：z ( f ) = ( 夏( f ) ，瓦o ) ，玩( f ) ，瓦( f ) ) r ，其中墨0 ) 和f f ( t ) 是定义在 r 上的连续的概周期函数，= 1 ，甩) 对任意的z ( f ) s ，定义诱导范数忙l i 。2 骤0 三( f ) 0 。- 显 然，( s ，| | | | 1 ) 是b a r 眦h 空间对任意的三( f ) s ，考虑以下系统 ( f ) = 一( t ) x i ( t ) - h f l h j a o ( t ) i j ( t ) - h t , 1 h j b o ( t ) i j ( t - r o ( t ) ) 卅喜( f 咀酗肛巧1 d i ( t ) f f i ( f ) ( 2 3 ) - h ；1 e i ( t ) u i ( t - c r i ( t ) ) + h 7 1 ，；o ) ， 讼；o ) = 一a i ( t ) u ，( f ) + 忍屈o ) 写o ) + 忽乃( f ) 葛o 一4 0 ) ) 由文献【3 5 。3 q 知，系统( 2 3 ) 有唯一的概周期解磊( f ) 并可表示为以下的形式 毛o ) ：( 工量一弘“町幽卜百t 窆乃q ，o ) 弓( j ) 一耳- x ”h , , ，o ) 弓。一，。) ) j = 2j = l 哳1 兰哆q ，o ) 毛，o 一“厩( 甜) 也一f 4 。) 砀( d ，= l 一百1 q ( s ) 写o q ( s ) ) + 百1 ，i ( s ) 凼， l p j ：( ) 出 一巧- n - i 吩( j ) 弓( j ) 一巧- 窆乃( s ) 弓。一( s ) ) ，- ij = l 一酊1 窆乃o ) p 一“) 弓( “) 如一巧1 吃o ) 瓦o ) j = l 一巧巳( j ) 瓦0 一吒( s ) ) + 酊1 ，：l o ) 】出， l 8 协舳 7 l i 层( 5 ) 墨( s ) + 红乃( s ) 夏( s 一磊( s ) ) 坶一， l p j ，”出 孱o ) 夏( j ) + 吸圪o ) 焉。一瓯o ) ) 凼) r 定义映射t ：s 专s 丁( 享) ( ，) = z - ( f ) ，对屹s 令召= 三i 牙s ，o 三一磊1 1 1 鲁) 显然，b + 为s 中的闭凸子集由s 中范数的定 7 几类微分方程的概周期解 义我们有 。晋懋盯唔p ”妒盟盯1 善) 吐 所以对任意的三b ，有 i i i i 三q 制i 。鲁+ ，= 击 首先我们证明t 为b _ 2 p b 的自映射事实上，对任意三b ，有 忪一矾 s 瑚u p m 段a ；x 。 一| r e - 如扣胁时未，卅喜w s 州闰h f g s ) + 绣- 1 西0 ) + 曩。岛o ) 】d 略 + 麟 l p 一胁) 幽 吩屈( j ) + 吩乃( s ) 协 i i 懋 鸠) + 嚣 m i i 鲁 因此，i i 万一瓦i l 。f r 了，可得( 行) ( f ) 矿，所以r 是矿j 的自映射最后证明r 是 b 专b 的压缩映射事实上，对比，三b + ，有 i i 压- r z l l ， s u p m a x 一 l e - j ：口 ( 1 。a 【吃，蠹，嘭( s ) + 町1 窆- i 乃( s ) 峨。1 喜乃勺( s ) + 吃。1 喀( s ) + 名- 1 岛0 ) 】出) + 瞵 p 脚幽【曩删+ 鸭俐协) 啦一z i i r l l 艺- z l l 。 8 因0 ， 1 ，因此丁为艿专是压缩映射由b a n a c h 不动点定理知系统( 2 3 ) 存在唯一 南京航空航天大学硕士学位论文 的不动点z b ，使得死= z 即系统( 2 2 ) 存在唯一的概周期解 2 3 概周期解的全局吸引性 设z ( f ) = ( x l ( f ) ，x 。( f ) ，u l ( f ) ，“。( f ) ) r 是系统( 2 2 ) 的一概周期解， z o ) = ( 五( f ) ，毛( f ) ，u 。( f ) ，“。( f ) ) r 是系统( 2 2 ) 的任一解记咒( f ) = 薯( f ) 一工，( f ) ， m o ) = u t ( t ) - - u ，o ) ，y o ) = ( m o ) ，0 ) ) r ，1 ，o ) = ( v l ( f ) ，( f ”r ， r o ( t ) = ( 乃( f ) ，见( f ) ，m ( f ) ，o ) ) r ，i = 1 ，z ，则系统( 2 2 ) 可化为 ( f ) = 一嘞o ) 咒( f ) 一吃。1 h j a e i ( t ) y ：( t ) - h i 。1 h j b i j ( t ) y j ( t - r o ( t ) ) 叫嘻w f ) l w 蛐坷1 4 ( 0 喇 ( 2 4 ) - h , 。1 白o ) m o q o ) ) ， 巧( f ) = 一( f ) v o ) + 鬼屈o ) 乃o ) + 吃所o ) 乃o 一4 0 ) ) ， 其初始函数为只( 口) = ，( 口) = ( 1 n 仍( p ) ) 红一z ，( 曰) ，口( m ，0 】， m ( 口) = 甲，( 口) = ( 9 ) 一“。，( p ) ，0e - - o ，0 】，( 口) = ( 。( p ) ，。( 口) ) r ， 甲( 9 ) = ( 甲。( 口) ，甲。( 口) ) r 定理2 2 假设条件( q ) 和( ) 成立，则对任意的( 口) q - o o ，o 】，r 4 】和 甲( 口) c 【卜仃，o ，r “】，存在正常数d ，使得当0 l d 和j m - - - 时，有i i y ( t ) i i 0 ，存在 0 ，满足 i i a o