（应用数学专业论文）具有约束的半线性抛物方程的能控性.pdf

摘要 迄今为止，无约束的半线性抛物系统的能控性的研究结果已经相当丰富，但是在 实际工程问题中，控制能力是有限的，因此研究具有约束的控制问题具有重要的 应用价值然而关于有约束的分布参数系统的控制理论还很不完善，特别是能控 性方面的理论研究工作很少本文研究具有己2 有界约束的半线性抛物系统的零 能控性我们的研究方法综合了能观不等式，抛物方程的能量估计，成本估计和 对偶理论 关键词：零能控；约束；能观不等式；成本估计；对偶理论 i i i a b s t r a c t u pt on o w ，t h e r ea r em a n yp a p e r sd e a lw i t ht h ec o n t r o l l a b i l i t yo ft h e s e m i l i n e a rp a r a b o l i cs y s t e mw i t h o u ta n yc o n s t r a i n to nt h ec o n t r o l l e r t h i s p a p e ri sc o n c e r n e dw i t ht h en u l lc o n t r o l l a b i l i t yo fas e m i l i n e a rp a r a b o l i c s y s t e mu n d e rb o u n d e dl 2 - c o n s t r a i n t t h em e t h o d sw eu s ec o n l b i n eo b 8 e r v a b i l i t yi n e q u a l i t i e s ，e n e r g ye s t i m a t e sf o rp a r a b o l i ce q u a t i o n sa n dt h ed u a l t h e o r y k e yw o r d s ：n u l lc o n t r o l l a b i l i t y ；c o n s t r a i n t ；o b s e r v a b i l i t yi n e q u a l i t y ； c o s to ft h ec o n t r o l l a b i l i t y ；d u a lt h e o r y ；r e a c h a b l es e t i v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获 得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意 学位论文作者签名： 蕊良啉珥童! ! 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的 规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论 文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 日期： 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名：? 弛， 电话； 邮编； 眦芈 东北师范大学硕士学位论文 1引言 随着科学技术的飞速发展，分布参数系统的理论在材料科学，航天 技术，机器人设计，交通运输以及工程实际中应用越来越广泛而深刻 在分布参数系统的控制理论研究中，最优控制，能控性和能稳性是三类 基本重要问题，受到国内外该领域学者的高度关注本文就由抛物方程 支配系统的能控性问题开展研究 抛物方程是一类重要的偏微分方程，它可以用来描述自然界中广泛 存在的扩散现象，比如热扩散，种群迁移，化学反应，相变理论，图象 处理以及高炉炼钢等工程实际问题等迄今为止，无约束的半线性抛物 系统的能控性的研究结果已经相当丰富，但是在实际工程问题中，人们 对系统所施加的控制能力是有限的，从数学角度看，也就是控制函数应 该是有约束的，因此研究具有约束的控制问题具有重要的应用价值然 而关于有约束的分布参数系统的控制理论还很不完善，特别是能控性方 面的理论研究工作很少本文研究具有l 2 有界约束的半线性抛物系统 的零能控性 设q 是兄中的有界区域，边界a q 属于c 1 考虑如下半线性抛物 系统 iy t 一可+ ，( 秒) = x 。u ，于q t ， y = 0 ， 于t ，( 1 1 ) i 耖( z ，0 ) = y o ( z ) ， 于q ， 其中a t = q ( o ，t ) ，e t = t o n ( 0 ，t ) ，舶表示区域u 上的特征函数， 即舶= 1 当z u ，x u = 0 当z 聋u ，ucq 是控制函数作用的区域 记 “= 札：u l 2 ( q t ) 且l i 钍i i l 2 p ( o ，t ) ) 1 ) 为控制集合 1 东北师范大学硕士学位论文 定义1 如果函数u 属于控制集合“，则称珏是容许控制记容许控 制集合为己缸，则 “矗= u ：牡( z ，t ) “ ( 1 2 ) 显然，我们考虑的容许控制集合具有约束，是l 2 ( q t ) 中的有界集 合正如上面提到的，从合理性和可行性的角度看，这样的容许控制集 合更加合理，更加自然也更容易可实现 需要指出的是，我们要求l l z ( q ? ) 1 只是为了书写方便一般 地，可以改写成存在常数m 0 ，使得l l u l i l ：( q r ) m ，m 的大小反应 了我们所施加的控制能力的强弱对于给定的常数m ，结论的推导和 m = 1 完全类似特别的，如果m = + o o ，则控制系统变成无约束情形 我们称系统( 1 1 ) 在t 时刻是整体零能控的，如果对任意的初始状 态y o l o 。( q ) ，存在一个控制函数u 己缸，使得系统( 1 1 ) 的解满足 ( ，t ；) = 0 a e 于q ( 1 3 ) 众所周知，线性抛物方程和一类相当广泛的半线性抛物方程支配系 统在无约束分布控制作用下是整体零能控和近似能控的，可以参见文献 f z l ，【f i ，【i m ，i t ，【z h ， z 】以及其中开列的相关文献在上述文献中， 通常容许控制集合是2 ( q t ) 空间，p 1 ，o o 由于控制函数可以在整 个护( n t ) 中选取，实际上对控制能力或者说控制成本没有任何限制， 控制的成本可以是无限昂贵的正是由于这个原因，控制作用的能力也 是无限的例如，在文献 d f g z ，作者们证明如下半线性抛物系统的 零能控性和近似能控性； 饥一a y + i ( y ，v y ) = v x u 于q t ， 其中非线性源项f ( s ，p ) 关于s ，p 是局部l i p s c h i t z 连续的，对此非线性 项，系统的解在不施加控制作用时可以在有限时间爆破 文献【d h r 】研究了控制函数非负这样的约束下一类半线性抛物方 程的能控性，但是仅仅要求控制函数非负这种约束本质上和无约束情形 没有太多差别，控制能力依然是无限的在文献 p j 中，作者们讨论了 2 东北师范大学硕士学位论文 如下线性发展方程的时间最优控制问题 iy t a y + a ( z ，) 彰= ) o ，铭，( z ，t ) q ( o ，o o ) ， y = 0 ， ( z ，t ) a q ( 0 ，o o ) ， ( 1 4 ) l 剪( z ，0 ) = g 0 ( z ) ， z q 即问题 ( p )r a i n t ；( t ；y o ，让) = 0 ，i l u lj l o ( 1 t + ；l 2 0 1 ) ) p ) ， 和问题 ( p 7 ) m i n t ；暑( t ；y o ，u ) = 0 ，0 乱i i l 一( r + ；工* ( z ) ) p ) ， 其中p 0 为常数。y o l 2 ( u ) 如所熟知，系统( 1 1 ) 的线性化系统是整体零能控的( 参见文献【f z l ) ， 但是在我们所考虑的控制有约束情形，即姚d 时，整体零能控是做不 到的下面来说明这件事情 考虑如下线性抛物系统 i 玑一秽一b y = ) ( ，u ，于q t ， y = 0 ， 于r ，( 1 5 ) i 耖( z ，0 ) = 弘妒， 于q ， 其中b r ，妒是特征值问题 一9 = a 妒于q ，妒= o 于魂 相应于第一特征值a 的特征函数，满足i 妒h l 2 ( 1 i a = 1 ，t 4 , d ，l 为参 数 令z = e ( a _ 6 ) 。9 容易验证，z 满足 f z c + a z + 娩= 0 ，i ng t t ， 名= 0 ， o i l t ，( 1 6 ) 1 名( z ，0 ) = 妒， i nq 对给定的t 0 ，如果系统( 1 5 ) 在t 时刻零能控，在( 1 5 ) 的第一个方 程两端同乘名，在q t 上分布积分并利用( 1 6 ) ，有 0 = 可( z ，r ) 名( 茁，t ) d x = x “，u z d x d t + p 妒( z ) z ( z ，o ) d x ，2 t- ，2 2 以b 洳懈d x d t + p 3 东北师范大学硕士学位论文 由c a u c h y 不等式可得 捌i 弘( i b ) 这里我们记i q t l 为集合q t 的测度 另一方面，( 1 6 ) 的第一个方程方程两端同乘名，在q 上积分，有 三磊d 互2 如一上i v 印d z + 上b z 2 ( x , t ) d x = o 从而 象( e - 2 ( a - b ) t 互拖) 独 对上式两端在( t ，t ) 上积分，注意到z ( x ，t ) = e ( h t 仍我们有 z 2 ( z ，t ) d x e - 2 ( a - b ) ( t - 0 z 2 ( z ，t ) d x e 2 ( a - b ) 。 一1 2，1 2 由此可得 以以x , t ) a x a t 0 ，如果p 、括南，则当系统( 1 5 ) 中初始状态是形如肛妒的 函数时，容许控制集合中的任何函数作为控制，都不可能把t 时刻的 状态变为零换言之，当控制函数限制在玩d 中时，系统( 1 5 ) 不可能 整体零能控 在无约束情形，抛物系统的能控性可以利用著名的h u m 方法， 把能控性问题转化成一个泛函的最优控制问题，而寻求最优控制问题 的最优解时可以利用变分方法，关键是验证该泛函满足强制性条件， 这件事情又可以转化成原抛物方程的对偶方程解的唯一沿拓性( u n i q u e c o n t i n u a t i o n ) 关于唯一沿拓性问题一方面在偏微分方程理论中已有现 成的结论，另一方面，著名的c a r l e m a n 不等式直接蕴含了这一重要性 质但是对于控制函数有约束的情形，还是按照上述做法研究能控性时 会发现在数学上有本质困难，因为这时考虑的泛函的最优控制问题同样 是一个有约束的泛函极值问题! 本文的目的是在有约束的限制条件下，研究半线性抛物系统( 1 1 ) 的局部零能控性，我们的方法是利用c a r l e m a n 估计先得到能观不等式， 进而再结合能量估计得到如果能控时的最小成本，一旦使系统达到零状 东北师范大学硕士学位论文 态的控制函数的成本满足我们的约束条件时，就证明了原来具有约束的 系统( 1 1 ) 的能控性由于( 1 1 ) 是一个半线性抛物系统，直接对它不等 建立c a r l e m a n 估计，因此我们首先在半线性项的位置线性化，讨论有 约束的线性化系统的能控性，利用得到的成本估计，在结合不动点定理 最终完成证明 对( 0 ，卅，记 r ( t ) = 妇( ，t ) ly = y ( x ，t ；让) 是系统( 1 1 ) 的解牡) 称r ( t ) 为系统( 1 1 ) 在t 时刻的能达集( r e a c h a b l es e t ) 我们需要刻画在 时刻t ，系统的能达集r ( t ) 的性质 注记1 本文中我们讨论的控制函数是施加在内部区域上的分布控 制，我们的研究方法完全可以平行的推广到具有约束的边界控制问题 的能控性，完全可以得到类似的结果值得指出的是，带有边界约束的 边界控制问题相比内部控制问题更有实际应用价值，因为在装置系统的 边界上更容易实施控制，更具可操作性但是这类问题的研究基本属于 空白，我们在后续文章中将研究这方面相关问题包括两类边界控制问 题，即系统 ly t 一可+ ，( ! ，) = g ，于q t ， y = x e o u ， 于r ， l 矽( z ，0 ) = 珈( z ) ， 于q ， 和系统 ly t 一矽+ ，( 秒) = x u 缸，于q t ， 品= 硒u ， 于t ， ly ( x ，0 ) = 珈( z ) ， 于q ， 其中y , oca q 是测度大于零的部分边界，控制函数通过o 作用到控制 系统 5 东北师范大学硕士学位论文 2 预备知识 首先我们介绍本文多次用到的几个初等不等式 y o u n g 不等式设n 0 ，b 0 ，p 1 ，q 1 ，且石1 + i 1 = 1 则有 。b 一a p + 一b q pq 特备地，当p = q = 2 时，上述不等式也称为c a u c h y 不等式 带e 的y o u n g 不等式设8 0 ，b 0 ，s 0 ，p 1 ，q 1 ，且 ；+ 百1 = 1 则有 n 6 曼里+ e - q p b q e n p + e 一口p b q pq 特备地，当p = q = 2 时，它变为 口6 三“去6 2 称为带的c a u c h y 不等式。 设qcr n 是可测集合下面是矿空间中几个常用的不等式 h s l d e r 不等式设p l ，q 1 ，且；1 卞i 1 = 1 若，l p ( u ) ，g l q ( q ) ， 则，g l 1 ( q ) ，且 厶i ，( z ) 9 ( z ) i 如z ) 怯( 2 ) - l i g ( x ) 1 l q ( 1 2 ) ，n 特备地，当p = q = 2 时，它变为 上i ，( 咖( 圳如i i ( 圳帆圹1 1 9 ( 划帆驴 称为s c h w a r z 不等式 6 壅j ! ! 雯蔓丕堂婴主堂垡堡塞 m i n k o w s k i 不等式设1 p + o o ，g 2 ( a ) ，则，+ g l p ( a ) ， 且 l i ，+ g l l l , ( n ) l i 刘l ，( n ) + l i g l l l a ( n ) g r o n w a l l 不等式设( t ) 于【0 ，刀上绝对连续，掣( 0 ) = 0 ，且满足 象c ( t ) ( t ) + f ( ) a e 。于f 0 ，卅， 其中c ( t ) 20 ，f ( t ) 在1 0 ，明上可积则 卵) e x p ( f o t c 打) 伽丁溉 d y 班一 a 1 ，则当 l y o1 以2 ) 瓦鼋再高菰i 菰 时，存在控制函数u 己缸，使得系统( 3 1 ) 的在? 时刻达到零 为证明定理3 1 ，我们需要建立无约束情形系统零能控的最小l 2 成 本估计对任意0 0 ，当1 1 0 i i a 1 时，有 m ，o ) h i 2 ( 庐再丽每羔。m t ) 当i a l o o a 1 时有， i l 妒( ，0 ) i i z ( 哟4 ( 当+ 2 0 n o o - 2 a - ) l l 妒i | 至。( 。玢) 其中a l 是算子一在础( q ) 空间的第一特征，i j o j i o o = 删i 肛( n r ) 证明：( 3 5 ) 式两端同乘以妒+ ( 其中h + = m a x ( h ，o 】- ) ，在q ( s ，t ) 上 积分，0 1 ，a 1 0 a 2 0 时有如- f 初等不等式 ( a ；+ 口；) ( a l + a 2 ) 。2 q ( o ；+ o ! ) 利用上面得到的估计式以及此初等不等式，立刻得到命题3 1 3 3 最小成本估计 给定g 0 和目标函数名l 2 ( q ) ，l l z i k ：( 2 ) ，仳l 2 ( q t ) ，我们引 入如下成本泛函 撕，= 孤m 2 如班+ ， 尝j 簖；) 叫慨删n ( 3 1 2 ) 其它情形 7 对t o o l 2 ( q ) ，我们再引入一个新的泛函 磊( 矿；名) = 五1 乜ti 妒1 2 如班+ 刮妒。忆z ( 5 2 ) 一z 矿2 如， ( 3 1 3 ) 其中妒问题( 3 5 ) 相应于妒( ，t ) = 扩的解 利用f e n c h e l r o c k a f e l l a r 对偶理论，我们有下面的结论 1 1 壅j ! 塑整盔堂亟主堂垡堡塞 命题3 2 设珈= 0 对给定的z l 2 ( q ) ，1 1 名l l l z ( s 2 ) 5 和任意e 0 ， 存在唯一的控制函数l 2 ( q t ) 是泛函五( ；z ) 的极小元，使得相应的 ( 3 1 ) 的解雏满足 l i 骓( ，丁；) 一z i l l i o n ) e 此外，泛函名( ；z ) 存在唯一的极小元馔使得 五( 锃；名) = 一磊( 镤；z ) ，t 塘= 够e s g n c p e a e i ng t t ， 其中妒。是问题( 3 5 ) 相应于仇( ，t ) 一镤的解，并且 b 圹弼沪( 成t i 甜id x d t ) v 2 证明；由文献 f p z ，系统( 3 1 ) 在空间三2 ( q ) 中是近似能控的，这 蕴含了 i n i 、以( u ；z ) 0 ，使得 l i m 忆。i 嘶n f 产糕独 ( 3 1 4 ) 我们用反证法假设存在l 2 ( q r ) 中的函数序列 牡n h ， | i i i l 2 ( b ) _ o o ， 使得 n m i n f 刈筹酷2 一o a 埘 记= l l l u n i i l 2 ( 1 2 t ) 由于0 i l l z ( 2 丁) = l ，我们可以抽取一个子列，仍 记成本身，它在l 2 c a t ) 中弱收敛到函数t 1 利用l 2 范数的弱下半 连续性，由( 3 。1 5 ) 可得 删乏z ( 吣) l i 唑驯础2 ( t 2 t ) - - l i m i n f 2 j e ( 吼u n ；：z t ) i 2 。 因此，磊= 0a e 。于q 7 1 2 东北师范大学硕士学位论文 注意到l l z l l l 。( z ) 5 由y o = 0 ，我们可得 即以( 面；z ) = + 。o 从而 可( ，t ；面) 一z 怯( 2 ) ， 热忒2 患= 慨 f l _ + o o ， 一i l 一 这与假设矛盾 我们引入泛函 f ( 札) = 三脱t 川2 如班对任意u 6 l 2 ( q t ) 从上面的论证，由于f 是严格凸泛函且 三呸r ) 以( 螂) + o o ，二2 ( n r ) 泛函以( ；名) 存在唯一的极小元，记之为，即 以( ；名) = 。弘i n ( f 2 t ) 以( u ；z ) 记 ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 倪“钉，= 宰o 。，粪甚口一2 1 k 2 ( 国岛 对任意u l 2 c q l c 3 1 8 ， 为书写简单起见，我们在下文中记g ( ) = g 印( u ) 定义算子 l ：l 2 ( q r ) _ l 2 ( q ) ，l u = 可( ，t ；乱) ， ( 3 1 9 ) 其中y 系统( 3 1 ) 相应于控制函数u 的解易见l 是从l 2 ( q t ) 到l 2 ( n ) 的线性连续算子 应用f e n c h e l - r o c k a f e u a x 对偶理论( 参见文献【r 1 ) ，我们有 i n f f ( u ) + g ( l u ) ；钍l 2 ( q t ) 】i ( 3 2 0 ) = 一i n f f ( 三妒o ) 十g ( 一矿) ；妒o l 2 ( q ) ) ， 1 3 东北师范大学硕士学位论文 其中上产表示算子工的共轭算子，l + 妒o = 妒，妒是问题( 3 5 ) 的解， f ( 妒) = s u p ( ( i o ，钍) 一f ( 让) ；t 正l 2 ( q t ) f ( 3 2 1 ) 类似的可定义g + 现在我们分别计算( 3 2 0 ) 式右端的f + ( 口妒o ) 和g + ( 一妒o ) 由( 3 2 1 ) 式给出的定义， f + ( l + 扩) = 8 u p ( 妒，t ) 一f ( t 正) ；让l 2 ( q t ) ) 一p 脱r 妒u d x d t 一互1 脱ri 钍 2 d x 蚋甜( 叫) ( 3 2 2 ) = 互1 饩，m 2 如此 而 g + ( 一妒) = s u p ( 一妒o ，口) 一g ( t ，) ；口l 2 ( q ) ) = 8 u p 脱矿口如；口职q ) w i t hl l v - z l tl 2 ( s 2 ) s ) ( 3 2 3 ) = e 帆旷丘妒。z 如 另一方面，泛函五( ；名) 显然是严格凸的连续的此外，我们可以 证明及( ；z ) 也是强制的( 也可参见文献 f z 】) 从而及( ；名) 有唯一的极 小元，记之为镤 由( 3 2 2 ) 和( 3 2 3 ) ，我们有 磊( 程；z ) = i n f f + ( 三妒o ) + g ( 一妒o ) ；妒o 三2 ( q ) ( 3 2 4 ) 联合( 3 2 0 ) 和( 3 2 4 ) 式并应用( 3 1 7 ) ，可以得到 以( 他；z ) = 一磊( 妒。0 z ) ( 3 2 5 ) 本节的剩余部分我们来分析极小元a n d 程之间的关系记忱是 问题( 3 5 ) 相应于初值艘的解 再次利用f e n c h e l - r o c k a f e l l a r 理论，有 0 o f ( u e ) 一l + ( 妒? ) ， 1 4 东北师范大学硕士学位论文 其中o f ( ) 是泛函f 的次微分也就是， 去t ( u ：一u 2 一硝u s 叫) 如砒。 ( 3 2 6 ) 对任意的t l 2 ( n r ) 成立显然，上面的不等式蕴含 = 妒e s g n i p ea e 于q t 因此我们有 c e 舭= ( 成t 恻2 d x d t ) v 2 命题3 2 证毕 注记2 假设y o = 0 ，l l 2 ( n ) e 我们有 l l y e ( ，t ；) 一2 i l l 2 ( q ) 这时只有取控制函数t l 。= 0 即可，并且c ( y o ，z ；) = 0 3 4 定理3 1 的证明 有了上面两个命题做准备，我们往下来证明线性约束系统( 3 1 ) 的 零能控性 定理3 1 的证明设可是下面系统的解 f 仇一曲+ a v = 0 ，i n t ，= 0 ， o n t ，( 3 2 7 ) l 。( z ，0 ) = s 0 ( z ) ， i nq 在( 3 2 7 ) 式两端同乘以妒( 其中妒是问题( 3 5 ) 的解) 并在q t 上积分， 可得 zt ，( 2 ，印妒如= 上加( z ) 妒( z ，o ) 出 ( 3 2 8 ) 对任意妒o l 2 ( q ) ，考虑泛函 五“习一妒。) = 互1 饯，酬2 如现+ 刮扩忆2 ( 1 磅+ 互口( 。，习妒妇 ( 3 。2 9 ) 1 5 东北师范大学硕士学位论文 由命题3 2 ，五( ，t ) ，。在镤l 2 ( q ) 处达到极小值，并且所选取的控 制让使得系统 1w t a w + a w2 魄，于q t ， w = 0 ， 于t ， i 伽( z ，0 ) = 0 ， 于q 的解满足 0 姚( ，t ) 十口( ，t ) i i l 2 ( u ) e 从而系统 ly t 一秒+ a y = 地于q r ， 掣= 0 于t ， i 可( z ，0 ) = 珈( z ) 于q 的解满足 l l 骓( ，t ) i i l 2 ( “) ( 3 3 0 ) 此外，由命题3 2 ，还有 c 2 ( y o , 0 ；) = 瓴t 训2 d x d t ( 3 3 1 ) 而在泛函厶( ，t ) ，。的极小元镤处，显然有 厶( ，印，。( 妒：) 以( ，丁) ，。( o ) = 0 由( 3 2 8 ) 和( 3 2 9 ) ，我们有 三脱t 榭d x d t 0 ，如果l i ，( 8 ) l l p ( r ，) , x l ，则当 硪哟正笙擘 时，那么存在 2 使得相应的( 1 。1 ) 的解谚满足谚( ，t ) = 0a e 于 q 1 7 东北师范大学硕士学位论文 如果i i s ( 8 ) l o o ( r f f i ) 入1 ，则当 i i 蜘怕( 2 ) 2 q l t + 2 i f ( 二s ) i i l 。( r , ) - - 一2 1 时，那么存在让使得相应的( 1 。1 ) 的解彰满足鳄( ，t ) = 0a 。e 。于 q 证明定理4 1 定义集合 k = z l 2 ( q t ) ；i i z i i l z ( 2 t ) p ) ， l y t a y + 夕o ) 可= 姐，( z ，) r t ， 秒= o ， ( z ，t ) 2 t ， ( 4 1 ) 【y ( x ，o ) = 珈( z ) ， z 仃， 郎，= 纛，竺 不失一般性，我们假设上面的极限存在否则，我们用一串光滑的珧逼 由定理3 1 ，如果i l l ，( s ) f i 驷( r - ) a l ，则当 以哟迎坠苎掣虹坐 时，对, f - y ：意的名k ，至少存在一个控制珏使得( 4 1 ) 相应于控制 乜的解鳄满足 如果l i f 7 ( s ) i i l 一( r - 1 入l ，则当 ”酬k 2 m 泽孑厅丽赢丽 时，对任意的彳k ，至少存在一个控制仳v o , d 使得( 4 1 ) 相应于控制 缸的解鳄满足( 4 1 ) 东北师范大学硕士学位论文 定义映射咖：k 一2 t , 2 ( b ) 西( 2 ) = 谚；彰( ，t ) = 0a e 于q ，牡】 由线性抛物方程的结果，我们有 0 a 1 ，则当 。酬口，孑丽菰南丽丽 时，那么存在l k 使得相应的( 1 1 ) 的解谚满足u y ( ，t ) = 0a e 于 q 因此，由定理3 1 ，我们完成了定理4 1 的证明即，在定理4 1 的 假设条件下，存在t 己锄使得( 1 1 ) 相应的解鳄满足鳄( ，t ) = 0a e 于q 东北师范大学硕士学位论文 参考文献 【d h r 】j d i a z ，j h e n r ya n da r a m o s ，o nt h ea p p r o x i m a t ec o n t r o l l a b i l i t y o fs o m es e m i l i n e a rp a r a b o l i cb o u n d a r yp r o b l e m s ，a p p l m a t h o p t i m 3 7 ( 1 9 9 8 ) ，7 1 9 7 d f c z 】a d o u b o v a ，e f e r n 矗n d e z - c a r a ，m g o n z 磊l e z - b u r g o sa n de z u a z u a ， o nt h ec o n t r o l l a b i l i t yo fp a r a b o l i cs y s t e m sw i t han o n l i n e a rt e r mi n v o l v i n g t h es t a t ea n dt h eg r a d i e n t ，s i a mj c o n t r o lo p t i m 4 1 ( 2 0 0 2 ) ，7 9 8 - 8 1 9 f p z lc f a b r e ，j p p u e la n de z u a z u a ，a p p r o x i m a t ec o n t r o l l a b i l i t yo f t h es e m i l i n e a rh e a te q u a t i o n ，p r o c e e d i n go ft h er o y a ls o c i e t yo fe d i n b u r g h ， 1 2 5 a ，3 1 - 6 1 ，1 9 9 5 f f z l 】e f e r m l n d e z - c a r a ，e z u a z u a ，t h ec o s to fa p p r o x i m a t ec o n t r o l l a b i l i t y f o rh e a te q u a t i o n s ：t h el i n e a rc 8 u b e ，a d v d i f f e q s 5 ( 4 - 6 ) ( 2 0 0 0 ) ，4 6 5 - 5 1 4 【f z 】e f e r n g m d e z - c a r aa n de z u a z u a ，n u l la n da p p r o x i m a t ec o n t r o l l a b i l i t y f o rw e a k l yb l o w i n g - u ps e m i l i n e a rh e a te q u a t i o n s ，a n ni n s t h p o i n c a r da n a l n o nl i n e , i r e ，1 7 ( 2 0 0 0 ) ，5 8 3 - 6 1 6 旷i 】a v f u r s i k o v ，0 y u i m a n u v i l o v ，“c o n t r o l l a b i l i t yo fe v o l u t i o ne q u a - t i o n s ”，l e c t u r en o t e ss e r i e s ，v 0 1 3 4 ，s e o u ln a t i o n a lu n i v e r s i t y , k o r e a1 9 9 6 r eo y i m a n u v f l o va n dm y a m a m o t o ，c a r l e m a ni n e q u a l i t i e sf o rp a r a b o l i c e q u a t i o n si ns o b o l e vs p a c e so fn e g a t i v eo r d e ra n de x a c tc o n t r o l l a b i l i t yf o r s e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s ，p u b l r i m s ，k y o t ou n i v 3 9 ( 2 0 0 3 ) ，2 2 7 - 2 7 4 l s u o a l a d y z h e n s k a y a ，v a s o l o n n i k o va n dn n u r a l c e 、，a ，“l i n e a r a n dq u a s i l i n e a re q u a t i o n so fp a r a b o l i ct y p e ，t r a n s l m a t h m o n o 2 3 ， a m s ，p r o v i d e n c er i ，1 9 6 8 【p 】k d p h u n g ，g w a n ga n dx z h a n g ，o nt h ee x i s t e n c eo ft i m eo p t i m a l 2 1 东北师范大学硕士学位论文 c o n t r o lo fl i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ，( i ns u b m i s s i o n ) f r 】t r r o c k a f e l l a r ，d u a l i t ya n ds t a b i l i t yi ne x t r e m u mp r o b l e m si n v o l y i n g c o n v e xf