（应用数学专业论文）几类种群生态学模型正周期解的存在性及全局吸引性.pdf

硕士学位论文 摘要 本文运用重合度理论中的m a w h i n 延拓定理或系统的持久性结果得到了几类 种群生态学模型正周期解的存在性条件；并通过构造l y a p u n o v 泛函( 或r a z u m l k h l n 函数) 研究了某些模型正周期解的全局吸引性( 或全局渐近稳定性) 。全文 内容分为五章： 第一章主要介绍了研究工作的意义、背景及本文主要工作和文中所要用到的 一些引理。 在第二章，我们运用独立子系统方法考虑了一类具有生理阶段结构的竞争捕 食一被捕食系统正周期解的存在性及其全局吸引性。我们采用了分式的若干变换 技巧以完成解的优先估计及v 函数沿解的右上导数的计算。 在第三章，借助比较定理，我们得到了一类具有时滞与扩散的捕食一被捕食 系统的一致持久性；然后，用m a w l ，i n 延拓定理证明了：在保证系统一致持久的 条件下，系统必存在正周期解；最后，通过构造r a z u m i k h i n 函数获得了正周期解 全局渐进稳定的充分条件。 在第四章，我们研究了一类具有投放或收获的变滞量单种群模型。运用m a w h i n 延拓定理得到了模型正周期解的存在性结果；此外，通过构造l y a p u n o v 泛函得 到了该模型存在全局吸引正周期解的充分条件。 在最后一章，利用重合度方法，我们考虑了一类具有功能反应的离散种群动 力系统正周期解的存在性。在解的优先估计过程之中，运用了分析的方法，从而 使得条件的验证更具可行性。同时，还分别考虑了两种情形( 功能反应函数单调 可微和非单调不可微) 下算子度的计算方法。 本文深入到算子度的计算方法尤其是抽象算子同伦映射的构造，并为抽象算 子同伦映射的构造提供了普遍适用的操作方法，即一步到位构造一个多项式( 列) 函数作为抽象算子的同伦映射( 见第三至第五章) 。我们在第一章给出了此方法的 合理性。 关键词：种群生态学模型；正周期解；m a w h i n 延拓定理；一致持久；全局吸目 性；全局渐近稳定性；l y a p u n o v 泛函；r a z u m l k h l n 函数 i i 硕士学位论文 a b s t r a c t i t h i sp a p e r ，b yt h er e s u l t so fp e r s i s t e n c eo rm a m r h i n sc o n t i n u a t i o nt h e o r e m o ft h ec o i n c i d e n c e 【l e g r e et h e o r y w eo b t a i nt h ee x i s t e n c er e s u l t so fp o s i t i v ep e r i o d i c s o l u t i o n sf 6 rs e v e r a lp o p u l a t i o nm o d e l si ne c 0 1 0 9 y i na d d i t i o n ，b yc o n s t r u c t i n ga l y a p u n o vf u n c t i o n a l ( o rar a z u m i k h i nf u n c t i o n ) ，w es t u d yt h eg l o b “a t t r a c t i v i t y ( o ra s s y m p t o t i c a ls t a b i l i t y ) o fap o s i t i v ep e r i o d i cs o l l l t i o i lf o rs o i n em o d e l s t h e p a p e rc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s i i lc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h es i g n i f i c a n c e ，b a c k g r o u n da n dt h ei n a i l lw o r ko f o u rs t u d ya sw e l la ss o m e1 e m m 躺a n ( 1o u rm a i nr e s u l t si nt h i sp a p e r ec o n s i d e rac o m p e t i t i v ea n dp r e y p r e d a t o rm o d e lw i t hs t a g e s t r u c t u r ei n c h a p t e r2 b yi n ( 1 e p e n d e n t s u b s y s t e mm e t h o d ，t h er e s u l t so fe x i s t e n c ea n dg l o b a l a 土t r a c t i v i t yo fap o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o na r eo b t a i n e d i no r d e rt om a k et h ep r i o r e s t i m a t eo fs o l 【l t i o na n dc a l c u l a t et h eu p p e rr i g h td e r i v a t i v eo fv ( t ) a i o n gt h e s o l u t i o n ，w ee m p l o ys o m et r a n s f o r m a t i o nt e c h n i ( 1 u e so i lf r a c t i o n i nc h a p t e r3 ，b ym e a n so fc o i n p a r i s o nt h e o r e m ，w ei i l v e s t i g a t et h ep e r s i s t e n c e o fap r e y p r e d a t o rs y s t e mw i t hd i f f u s i o na n dd e l a y s f u r t h e r ，w ep r o v et h a tt h e s y s t e mh a sa tl e a s to n ep 0 8 i t i v ep e r i o d i cs o l l l t i o nu n ( 1 e rt h ec o n d i t i o n st h a te n s u r ei ti sp e r s i s t e n t f i n a l l y ，b yc o n s t r u c t i n gar a z u m i k h i nf u n c t i o n ，w eg e tt h e s u m c i e n tc o n d i t i o n st h a te n s u r et h ep o s i t i v ep e r i o d i 乎s o l l l t i o ni s9 1 0 b a u ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l e i nc h a p t e r4 ，w e8 t l l d yt h ee x i s t e n c eo fa 、r a r i a b a l d e l a y e ds i n g l e s p e c i e sn l o d e l w i t hs t o c k i n go rh a r v e s t i n g b ye m p l o y i n gm a w h i n sc o n t i n u a t i o nt h e o r e m ，t h e e x i s t e n c er e s u l t so fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sa r eo b a i n e d f l l r t h e r m o r e ，b ym e a n s o fc o n s t r u c “n gal y a p u n o vf u n c t i o n a l ，w ea t t a i nt ot h es u m c i e l l tc o i l d i t i o i l sf o rt h e g l o b a la t t r a c t i v i t yo fap o s i t i v ep e r i o d i c8 0 1 u t i o no ft h i sm o d e l i n 上h el a s tc h a p t e r ，b ym e a n so fc o i n c i ( 1 e n c ed e g r e et h e o r h w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o nf o rag e n e r a l i z e dd i s c r e t ep r e y p r e d a t o r8 y s t e m w i t hd e l a ya n df l l n c t i o i l a j r e s p o n 8 e s t h em e a n so fa n a l y s i si 8e m p i o y e dd u r i n g t h ep r i o re s t i m a t i o nf o rt h es o l u t i o l l s ，t h u st h ev e r i f i c a t i o no ft h ec o n d i t i o n si sm o r e p r a c t i c a l m o r e o v e r ，w ec o n s i d e rt h et e c h n i q u e si nc a l c u l a t i n gt h en l a p sd e g r e er e 一 8 p e c t i v e l yi nt t o c a s c st l l a tt l l ef u n c t i o n a lr e s p o n s e sf u n c t i o ni sm o n o t o n ea n d d i f f b r e n t i a b l eo ri sn o n m o n o t o n i ca n du n d i 行b r e n t i a b l e i nt h i sp a p e r ，w eg od e e pi n t ot h ec o m p u t a t i o l lo ft h ei n a p sd e g r e ee 8 p e c i a l l y i i i 硕士学位论文 i n t oh o wt oc o n s t r u c tah o m o t o p i cm a p p i n gf o rag e n e r a l i z e do p e r a t o r w 色p r o v i d eau n i v e r s a lm e h o do fc o n s t r u c t i n gah o m o t o p i cm a p p i n gf o rag e n e r a l i z e d o p e r a t o r i no t h e rw o r d s ，w ec a ns t r a i g h t l yc o n s t r u c tap o l y n o m i a l ( a r r a y ) f u n c t i o n a sah o m o t o p i cm a p p i n gf o rag e n e r a l i z e do p e r a t o r ( 8 e ef r o i nc h a p t e r3t oc h a p t o r 5 ) t h ev a l l d i t yo ft h a tm e t h o dw i l lb ep r e s e t e di nc h a p t e r1 k e yw b r d s ：p o p u l a t i o nm o d e li ne c o l o g y ；p o s i t i v ep e r i o d i cs 0 1 u t i o n ；m a 胛h i n 8 c o n t i n u a t i o nt h e o r e m ；u n i f o r m l yp e r s i s t e n t ；g l o b a la t t r a c t i v i t y ；g l o b a l l ya s y m p t o t i c a l8 t a b i l i t y ；l y a p u n o vf u i l c t i o n a l ；r a z u r n i k l l i i lf u n c t i o n 硕士学位论文 符号表 右端是左端的定义 自然数集 。i z o ，z r ) 。= ( z l ，z 2 ，z n ) i 。t r + ) g ( 一_ r ，o 】，r + ) g ( 卜r ，o ，酽) g ( 一7 _ ，o 】，磷) o ) u o ，1 ，u 1 ) ，其中u ( 对任一连续的正u 周期函数，( t ) ，其中u 为某一固定的正实数) 蹦巾) 。卿】坤) f ，( t ) 出 ( 对任一正u 周期数列，【n ) ，其中u 为粟一崮足的正整数) 罢簦 m ) ) 哦 伽) ) ，( n ) v i 肘碑伊芝)啤矿l 广， 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明；所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名： 山个己 日期：k 弓年，月拓日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密圈。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名 导师签名 日期：溉6 年r 月切日 口期：三6 口年f 月扫日 硕士学位论文 1 1 问题研究意义 第1 章绪论 2 0 世纪2 0 3 0 年代，生物学的发展促进了数学向生物学的进一步渗透，数学 在生物学中的应用不再局限于静止地、孤立地描述生命现象，开始分析生命现象 复杂的过程，并探索其规律性。人们应用各种数学工具，建立各种各样的数学模 型模拟相应的生命过程【“。其时，数学物理方法把微分方程模型带进了生态学 领域，从而使种群生态学发展到了一个黄金时代。在这一领域，出现了l o t l 【a 、 v o l t e r r a 、k o l m o g o n o v 等大师及以他们名字命名的模型和系统。l o t k a _ v o l t e r r a 系统和k o l m 0 9 0 n o v 系统不仅是经典的微分方程形式，也是众多应用科学( 包括 物理、化学、生物、经济、军事等) 的基本而重要的系统之一。著名的英国数学 家、哲学家w h i t e h e a d 曾在数学与善一书中就数学的本质下了如下的定义： 数学的本质特征是在对模式化的个体作抽象化的过程中对模式进行研究 2 】而 将最新的抽象结论应用于具有实质意义的模型进而得到具有指导意义的结果又是 现代应用数学的一大特征。因此，对种群生态学模型的研究不仅是对泛函方程进 行研究的理论要求，也是生态学领域进一步发展的现实需要。 对种群生态学模型的研究在我国已处于一个全面发展与壮大的时期。近年来， 对这方面的研究主要集中在两个方面；一是系统的动力学性质即种群随时间的演 变规律，如种群的持久生存或绝灭【3 _ 1 “、系统平衡点的性态 1 2 _ 引、正周期解或 极限环的性态 1 9 “1 】；二是如何实现人工干预对种群进行保护、开发或控制，如 渔业中的经济捕获【5 2 一硎、传染病的控制叫、i p m 综合害虫管理【5 5 】。 在研究种群随时间的演变规律时，人们要问：种群的规模是否具有一个或多 个平衡状态? 这种平衡态是静平衡态还是动平衡态? 从数学的观点来说，静平衡 态就是系统的平衡点，动平衡态就是系统的正周期解或极限环m ；还有，这种平 衡态是否随着时问的推移而发生变化? 也就是说，平衡点或周期解是否全局吸引 或稳定? 可见，研究种群生态学模型正周期解的存在性及其全局吸引性或渐近稳 定性对于系统的预测与控制有着非常重要的意义。 1 2 本文主要工作及研究背景 本文研究了几类种群生态学模型正周期解的存在性及其全局吸引性或渐近稳 定性，其中涉及到经典的l o t k a v o l t e r r a 系统和k o l m o g o n o v 系统。我们知道，任 一物种都是生活在一个非常复杂的相互作用的生态环境中。生物群落除了与其无 机环境之间存在着物质与能量的交换关系外，种群之间还存在着捕食一被捕食、 一1 几类种群生态学模型正周期解的存在性及全局吸引性 竞争、互惠合作等种问关系，而种群内部也存在着种内竞争等关系。为了求得对现 实情况更为精细的模拟。在研究种群动力学模型时，我们既要考虑时间因素对种 群动力学行为的影响【3 1 _ 3 引，也要考虑其它如扩散 5 7 5 9 】、比率依赖关系 1 2 - 1 “、 生理阶段结构、功能反应【6 l 】以及世代交替特征等诸多因素对系统性质的影 响。本文所研究的几类模型分别包含了上述部分或全部要素。 生态环境( 如季节、食物来源、生理特点) 总是呈现出周期性的变换，这使得 系统参数是关于时间t 的周期函数成为可能。因此，我们假定所研究的系统均为 周期系统。 对于周期系统正周期解的研究，就我们所知，现阶段最常用的方法大致有三 大类： 第一类是运用h o r n 不动点定理( 具时滞的周期系统域通过构造一个p o i n c a r e 位移映射再运用b r o w e r 不动点定理( 无时滞周期系统) ，由系统的持久性得到系 统正周期解的存在性 1 9 】。其中，腾志东、陈兰荪利用h o m 不动点定理证明了： 周期系统的致持久性保证了系统正周期解的存在性【2 0 l 。 第二类方法是运用各种锥上的不动点定理如范数形式的锥拉伸与锥压缩不动 点定理【2 卜划、k 砌m o s e l s k n 锥上不动点指数理论f 2 3 l 以及其它形式的不动点定 理阻_ 2 ”，通过考虑积分方程周期解的存在性从而得到相应微分方程周期解的存 在性。 第三类是通过构造严格集压缩场或全连续场上的拓扑度，根据拓扑度的性质 ( 可解性、同伦不变性【6 2 】) 来考虑正周期解的存在性【2 6 “”现行用得最多的一 个定理就是重合度理论中的m a w h i n 延拓定理及其不同版本。相比于其它各种不 动点定理，此定理在处理时滞、高维的周期系统方面有着独特的优势。事实上， 很多著名的不动点定理( 如s c h a u d e r 、r 0 乇h e 不动点定理) 都是在拓扑度理论的 基础上建立起来的。 任何理论的创建、完善与应用都包含了无数科学工作者点点滴滴的辛勤耕耘， 我们现今沿用的重合度理论中的延拓定理较早记载于 6 3 】，是由g a i n e s 和m a w h i n 提出来的而对于重合度的各种构造及其应用还有很多中外学者( 如e r b e 、h e t z e r 、h “ej k 、g o p a l 8 a n l y 、w 以t m a n 、吴建宏、z h a n g b i g a o 、k u a n g 1 嗡n g 都做了一些原创性的工作。尔后，拓扑度方法的应用相继得到了各大门 派的发扬光大。现今对此较有特色的研究者主要有李永昆( 重合度方法在抽象方 程中的应用【2 7 以9 】) 、张正球和王志成( 重合度方法在高次方程中的应用与同伦不 变映射的构造【3 0 _ 3 2 】) 、葛渭高( 严格集压缩场上拓扑度的应用【3 9 4 0 】) 、王克和 范猛( 离散动力系统中的应用f 4 卜4 司) 等。 本文结构组织原则如下：由具体到抽象，由连续到离散。第二章考虑的是一个 具体模型，后三章均为抽象模型；前三章为微分系统，后一章为离散系统。相比于 2 硕士学位论文 其它文献资料，本文在抽象方程解的优先估计和度的计算方面有着独到之处。在 以往文献资料中，大多是利用初等不等式或积分不等式变换技巧对解进行估计；而 对抽象算子度的计算大致分为三类：一是引入参数a 消掉较复杂的项或抽象项； 二是增设算子有界的条件；三是分步构造同伦映射引入参数a 的方法在某些情 况下是行不通的( 见第四章) ，分步构造又较繁琐，算子有界的条件有时也难以判 断。也就是说，对抽象算子同伦映射的构造至今还没有一般的方法可循，大多停 留在感性认识阶段。本文( 如后三章) 将分析的方法引入解的估计过程之中，这 在某种程度上使得条件的检验更容易或更具可行性。在抽象算子度的计算方面， 我们力求一步到位构造适当的多项式同伦映射来进行算子度的计算，这在一定程 度上为同伦映射的构造提供了一种普遍适用的操作方法并上升到理性认识阶段， 即：对任一有限维连续算子，：q - + 舻( q 为舻中有界开集) ，若当u a q 时，( u ) 0 ，则总可以用一多项式列函数g ：舻叶r ”来作为它的同伦映射 ( 即g 满足；当u a q 时，日( t ，) = ( 1 一t ) ，( 乱) + 幻( 钍) 0 0 【o ，1 】) ，且 d e g ( ，q ，o ) = d e 9 ( 9 ，n ，0 ) ) 在1 4 节我们将对这一方法的合理性加以证明 此外，在第二至第四章我们还通过构造适当的l y a p u n o v 泛函或r a z u m i k h i n 函数得到了相应系统正周期解全局吸引或渐近稳定( 唯一) 的充分条件 1 3 理论基础 为了使读者对本文研究工作有个大致的了解，先介绍有关的概念与定理( 我 们将定理以引理形式给出) 定义1 3 1 ( 一致持久性) 对某一系统，如果存在一个紧域d 使系统每一个具 有正初值的解最终进入并停留在d 中，则此系统是一致持久的 定义1 3 2 设x ，z 是实b a n a c h 空间，三：d o m lcx _ z 是一个线性映 射，：x _ z 为连续映射若( a ) j m l 是z 的闭子空间；( b ) d i m e r 工= d t m ( z m 工) = c o d i m j m l 0 时，u ( s ) 0 ， ( s ) 0 若存在连续函数矿：r j p _ + r 满足 ( i )札( 1 。i ) y ( ，z ) “zi ) ，r ，茁兄“； ( i i )v 0 ，妒( o ) ) s 一叫( 1 咖( o ) 1 ) ，当矿 + 口，l j 5 ( 日) ) y 0 ，( o ) ，p 一7 _ ，o 】， 则r f d e 圣= ，( t ，她) 的零解一致稳定 若当s 0 时，叫( s ) o 如果存在一连续非减函数满足当s 0 时， p ( s ) s ，且上述条件( i i ) 加强为 ( i i )矿( t ，妒( o ) ) 一叫( i 庐( o ) 1 ) ，当y o + 日，毋( p ) ) 5p ( v 0 ，咖( o ) ) ，口【一下，o 】， 那么圣= ，( t ，鼠) 的零解一致渐近稳定若当s - 。时，“( s ) _ o 。，那么零解是 全局吸引的 引理1 3 8 ( 多元的w e i s t r a s 8 定理【6 9 ) 定义在s 维欧氏空间中的紧致子集 a 上的连续函数，( 石- ，口2 ，石。) ，都可以借助z l ，z 2 ，z 。的多项式来逼近 1 4 主要结果 定理1 4 1 在引理1 3 1 或引理1 3 2 中，如果q 为r ”中的有界开集，若 j = j 且当“a q n k e r 工时，q ( 札) o ，那么我们总可以构造一个多项式 列函数g ( u ) = ( g ，( u ) ，g 。( u ) ) t 满足： ( i ) 当钉a n n e r l 时，g ( u ) o ； ( i i ) d e 9 ( j q ，n n k e r lo ) = d e g ( g ，q n 蜀e r l ，o ) ； 其中，g ( u ) 0 = 1 ，n ) 是关于u l 。，“。的多项式 证明t( i ) 令 q ( u ) = f 1 ( “l f 2 ( u l ，钍。) ，乱。) ，札n ) 因为q 是r “上的紧子集且q g ( 而) ，则由引理1 3 8 可知：对于任意给定的 ： o ，都存在可以借助钍，札。来表示的多项式皖( u ，u n ) “= 1 ，n ) 满足 g ( u 1 】川。) 一只( 1 ) t ：) i o ，都有 。i 卷。，。旧( u ) i | = 倒j 。，。愀u ) + q ( u ) 一g ( u ) 川 。一敝。儿帜乱) 忡删j 鼎。，。( 钍) 一g ( u ) 一 a n n k e r l “ 、a n 万耳e r l ”l - 、“7一、一7 9 “卢“；( i v ) 那么系统( 2 1 ，2 ) 至少有一个正u 一周期解 证明：考虑系统： 吐2 0 ) = n o 一7 _ ) e 印( 一正。7 ( s ) d s ) e ”。一7 ) 一”一卢( ) ( t ) e 0 ) h 1 ( t ) e “s ( + a 2 ( t ) e “t ( 。 危( ) e “：( 。) 十口( t ) 【q l ( t ) e “s ( 。) + a 2 ( t ) e 。t ( 。) 】， 吐3 0 ) = 7 l ( t ) 一6 l ( t ) e “3 ( 2 ) 一d 1 ( t ) e “t ( 。) ， e ( t ) o l ( t ) e u 。( ) ( 2 2 1 ) ( t ) e “。( 。) + g ( ) 口1 0 ) e “。( ) + 吐2 0 ) e “4 ( 。) 吐4 ( t ) = 蚀( t ) 一d 2 ( t ) e “s ( 。) 一6 2 ( t ) e “t ( 。) e ( t ) 0 2 ( t ) e “删) ( t ) e “。( ) + g ( t ) q 1 ( ) e “3 ( 。) + 0 2 ( t ) e “4 ( ) 】 一8 一 塑彬； 卜 吃 盟怠 镌序 硕士学位论文 显然，如果系统( 2 2 1 ) 有一个u 一周期解( 乱；( ) ，u ；( t ) ，札；( t ) ) f ，那么系统( 2 1 2 ) 就有一个正u 一周期解( e u ；( “，e 喵( ，一( ) t 为了应用引理1 3 2 ，我们定义 x = z = u ( t ) = ( u 2 ( t ) ，3 ( t ) ，蛳( t ) ) t e ( r ，r 3 ) ，u + u ) = 乱( ) ) 且对于札x 或u z ，令 训刮( 蜊，u s ( 味喇一i2 善黝m ) 凼此叉和么郡是具范效f 的b a n a d l 空同 对区间( o ，1 ) 上的某一a ，记 加) = 州t 叫e 印( 一( 。小) d s ) 严卜t m 球l 陀) k ( 班：( t ) b l ( ) e “a ( 2 ) + d 2 ( 妨e “t ( 。】 。 ( t ) e “。( ) + 9 ( t ) 【n 1 ( t ) e u 3 ( 。) + n 2 ( t ) e “4 ( 。) 】 ，2(=7-(一。(t)e“。一ad-(t)ev“。一a元巧再iii万j=_；誉i兰美豸等等：南， ，。(t)=：，忱(t)“z(t)e“4c，ad。(t)e”3c。j；i；iiiiiiri；jji；i；：；ii；：丽 设 ( “，a ) = ( ( ) ，2 ( t ) ，3 ( t ) ) t ， ( o ，1 ) ； 一札，= 掣，一拼呻地u 置 q 一言上柳) 出，膳z ， 则k e r l = r 3 ，m l = z z ，片z ( t ) 出= o ) 是z 的闭子空间显然幽m k e r l = 3 = c o d i m j m 、p 、q 为两连续投影簋子并满足 ，m p = e r 三，k e r q = 佗三= ，m ( ，一q ) 因此，l 是一个指标为零的n e d h o l m 映射，而l 的广义逆 姊：，m l _ + k e r p n d 。m 工 为 碘卜小s 肛击z “z 出 9 一 几类种群生态学模氆正周期解的存在性及全局吸引性 这样 j 0 ( j q ) ( u ，柚= q 札，柚= 1 u 1 u 1 u ( s ) 如 ，2 ( s ) d s ，3 ( s ) 如 删t + ( ；一考) 础+ ( ；一言) 删t + ( ；一言) ，”，l ( s ) d s j 0 ，”矗( 。) d 。 ，o ，”，3 ( 。) d 。 o 显然，对任一有界开集qcx ，在q 上，q 和k p ( ，一q ) 连续 为了证明n 在q 上是l 紧的，只要证明q ( q ) 有界且p ( j q ) ：q - x 是紧的即可由于 ( u ，a ) = ( ，l ( t ) ，2 ( t ) ，南( t ) ) t ， a ( o ，1 ) 且( u ，a ) 中各系数均为非负连续的u 周期函数，所以必存在觚 o ( i = 1 ，2 ，3 ) 使得对任意的u q 都有署两 ( 曲l s 尬“= 1 ，2 ，3 ) ，从而 这样，1 1 q ( u ，a ) 1 i 慨，即q ( q ) 有界根据引理1 3 3 知t 要证t 硒( 一 q ) u l u q ) 是列紧集，只需证明 ( ，一q ) u l u q ) 一致有界且等度连续 即可显然，对于珏q ， ( ，一q ) ( u ，a ) i i = 毒黝 和彬s 一并从s 灿疵 2 善黝吆饰) d s 一言上上双s ) d 矧。 + ( ；一兰) 胁s 冲i 曼巷卜蚺卜如+ 城蝴曲 警，7 于是 玛( ，一q ) u i “q ) 一致有界 任取u q ，t 1 ，t 2 【o ，w 1 。不妨设t 1 t 2 显然，当 t 1 一t 2i d 时，总可 以找到西使得“( t 1 ) 一钍( t z ) l o ，存在 1 0 如 矗 z z zf l u 1一1一u 一 一 一 如 如 拈 知 k 沁 p 0 传 矗 厶 片露 = 峨 。 o ，当it 1 一t 2l o u a ( 岛) 1 n 筹= ：f 。 类似地，从( 2 2 5 ) ，我们又得到 u 4 ( 铀 1 n 等。1 4 ，q ( 2 ，2 3 ) 意味着 卢。euzce。)。“e一，rneu。(e。)+!：!：f!i：!：!；掣 即 ( p 2 一n “e 一7 1 q ) e u 2 ( 如) 一警一等， 啦州 啦一矽蜘) 一等 幔一筹一警 一1 2 掣拦 硕士学位论文 由定理2 2 1 中的条件( i ) 、( i l ) 知 吲咖n 壶( 1 一髻一爷) ， 眨。， 州咖n 去( 啸一筹一等) = ：m 协z m ， 由( 2 2 6 ) 得 e l h l ( 啦) e “a ( 啦) + 0 2 ( 啦) e “【”2 ) 1 舻 丽孤酉巧币而再面丙i 而网、 即 卢”g “e “。( 啦 ( e 一目“卢“) 陋i e “3 ( 舶+ 口! e “4 ( 啦 结合( 2 2 1 2 ) 一( 2 2 1 3 ) 和定理2 2 1 中的条件( i i i ) 可知 蜘卜- n 警隧( 小警一等) + 案( 镌一髻一等) = ：p 2 ( 2 2 1 4 ) 综上( 2 2 9 ) 一( 2 2 1 4 ) ，我们有：对任意的t 冗 | u 2 ( t ) i m n z i 户2 i ，l f 2 1 = ：， 1 3 ( t ) 1 m o z 旧3 1 ) = ：r 3 ， i 4 ( t ) i m o z l m 4 1 ) = ：风 很明显，兄( i = 2 ，3 ，4 ) 与a 无关记m = 昆+ 风；这里风是一个充分大的 数使得系统 卜+ 崭鞭糍潞= o ， 1 糍： 嚣 的解( 矿，矿，矿) r 满足i l ( z ，旷，z + ) t | m ，丽+ 是一个常数满足：当壮是一个使 得1 1 ( ；，u ；，乱：) 了= m 的常向量时， q 如，0 ) = 厅+ 鲨醴：些盟竺丝盟型 ”。 ( t + ) e “。+ g ( t + ) 陋1 ( t + ) e u a + a 2 ( t 4 ) e “】 彳i 一6 1 萨 彳2 6 2 e “4 取q = 仳= ( u 2 ( ) ，u 3 ( t ) ，u 4 ( t ) ) t x ；i i i l 0 ， d 2 z k 南( ( r ) e