（应用数学专业论文）几类常微分方程非局部问题可解性的研究.pdf

摘要 摘要 常微分方程边值问题在经典力学和电学中有着极为丰富的源泉，它是常微分方 程的重要组成部分，是现代科学技术分析问题和解决问题的一个强有力工具。它在 几何、力学、物理、电子技术、自动控制、航天、生命科学、经济等领域都有着广 泛的应用。微分方程为研究诸如上述现实问题的发展过程提供了一个非常合适的数 学模型，成为一个极为活跃的研究方向，然而在实际应用中，很多问题往往都要归 结到常微分方程边值问题的求解。 常微分方程两点边值问题已被广泛深入地研究，并取得了系统而深刻的结果。 这些两点边值问题的定解条件只是在区间的两个端点上给出，因而其定解条件是局 部的。实际背景下获得的常微分方程边值问题，其定解条件往往还依赖于解在区间 内部某些点上的值，我们把这类问题称为常微分方程非局部问题。尽管理论和应用 中许多问题均可归结为常微分方程非局部问题，但由于其自身固有的难度，人们对 非局部问题的研究起步较晚。因此，研究常微分方程非局部边值问题具有重要的理 论意义和实际价值。 本文主要研究无穷区间上二阶多点微分方程边值问题解的存在性，以及系数可 变号的高阶微分方程多点边值问题正解的存在性。全文共分为四章，主要内容如下： 第一章，介绍常微分方程边值问题的历史背景及其发展，阐述本文研究的目的 和意义及其国内外研究的现状。 第二章，研究了一类无穷区间上二阶微分方程多点边值问题解的存在性。在非 线性项厂满足一定的增长条件下，利用l e r a y s c h a u d e r 延拓定理建立解的存在性定 理。 第三章，本章运用锥上的a v e r y p e t e r s o n 不动点定理讨论了一类无穷区间上带有 p - l a p l a c e 算子的二阶微分方程边值问题正解的存在性，给出了在赋予非线性项合适 的增长条件下这类边值问题至少有三个正解的存在性定理，并给出了具体实例。 第四章，本章通过运用l e r a y s c h a u d e r 度理论，考虑了一类系数可变号的n 阶m 点非线性边值问题正解的存在性。对目前研究成果尚少的高阶微分方程边值问题做 了研究，得到了一些结果，并给出了具体实例。 关键词边值问题；正解；锥；不动点定理；g r e e n 函数 a b s t r a c t b o u n d a r vv a l u ep r o b l e m s f o ro r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t l o n sw e r e o r i g i n a t e df r o mc l a s s i cm e c h a n i c sa n de l e c t r i c i t y i t s o n ei m p o r t a n tp a f to l o r d i n a r vd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n di s ap o w e r f u li n s t r u m e n tt oa n a l y z ea n d s 0 1 v ep r o b l e m si nt h em o d e r ns c i e n c ea n dt e c h n o l o g y i tp l a y sa n 姗p o r t a n t r 0 1 ei nt h ef i e l do fg e o m e t r y ， m e c h a n i c s ，p h y s i c s ， e l e e t r o n i et e c h n o l o g y ， a u t o m a t i cc o n t r o l ， a s t r o n a v i g a t i o n ，l i f es c i e n c e ，e c o n o m i c a n ds oo i l 1h e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v ep r o v i d e da ne x t r e m e l ya p p r o p r i a t e m a t h e m a t l c a l m o d e lf o rt h er e s e a r c hs u c ha sr e a l i s t i cq u e s t i o n sd e v e l o p i n gp r o c e s s ，b e c o m e a ne x t r e m e i y a c t i v er e s e a r c hd i r e c t i o n i np r a c t i c a la p p l i c a t l o n s ， m a n y q u e s t i o n sh a v et oc o m ed o w n t ot h es o l v a b i l i t yf o rt h ed i f f e r e n t i a le q u a t l o n s t w o p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o ro r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t l o n s h a v eb e e ne x t e n s i v e l ya n dp r o f o u n d l ys t u d i e da n dg o t t e nl o t s o fs y s t e m 8 t l c a n dp r o f o u n dc o n c l u s i o n s t h ef i x e ds o l u t i o nc o n d i t i o n so ft h e s et w o 。p o i n t b o u n d a r vv a l u ep r o b l e m sa r ej u s tg i v e na tt h ee n d p o i n t so f t h ei n t e r v a l ，s oi t s n x e ds o l u t i o nc o n d i t i o n sa r e l o c a l b u tt h ef i x e ds o l u t i o nc o n d l t l o n so f b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o ro r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa c q u l r e df r o m p r a c t i c a b l eb a c k g r o u n da l w a y sd e p e n d o nv a l u e st h a ts o l u t i o n sa r ea ts o m e p o i n t s i nt h ei n t e r v a l w ec a l l e d t h ep r o b l e m s a so r d i n a r yd l f f e r e n t l a l e q u a t i o n sn o r i 1 0 c a lp r o b l e m s a l t h o u g hm a n yp r o b l e m s o ft h e o r ya n d a p p l i c a t i o nc a nb ec a m ed o w nt ot h eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sn o n - l o c a l p r o b l e m s i tw a st o ol a t et o s t a r tt os t u d yn o n l o c a lp r o b l e m sf o r 1 t si n h e r e n t d i f f i c u i t v t h e r e f o r e ，t os t u d yo r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sn o n - l o c a l b o u n d a r vv a l u ep r o b l e m sh a v et h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n d a c t u a lv a l u e t h ed i s s e r t a t i o n d i s c u s s e sm a i n l y t h ee x i s t e n c eo f s o l u t i o n sf o r s e c o n d - o r d e rm u l t i p o i n t sb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so na h a i r l i n ea n dp o s l t l v e s o l u t i o n sf o rh i g h e r o r d e rm u l t i - p o i n tb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s w l t n c o e f f i c i e n tt h a tc h a r g es i g n t h ep a p e r i sd i v i d e di n t of o u rp a r t s m a l n c o n t e n t sa r ea sf o l l o w ： i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c et h eh i s t o r yb a c k g r o u n da n dd e v e l o p m e n to f b o u n d a r vv a l u ep r o b l e m sf o ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n d s e tf o r t ht h e i i a b s t r a c t p u r p o s ea n dm e a n i n go ft h i sp a p e ra n dt h ec u r r e n ts i t u a t i o n so fd o m e s t i ca n d f o r e i g ni n v e s t i g a t i o n s i nc h a p t e rt w o ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rc l a s ss e c o n d o r d e r m u l t i p o i n t sb o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s o na h a l f - l i n e b yu s i n g t h e l e r a y - s c h a u d e rc o n t i n u a t i o nt h e o r e ma n du n d e rt h en o n l i n e a rt e r mf s a t i s f i e d s u i t a b l ec o n d i t i o n s ，w ec o n s t r u c tt h et h e o r e mo fe x i s t e n c eo fs o l u t i o n s i nc h a p t e rt h r e e ，b yu s i n ga v e r y p e t e r s o nf i x e dp o i n tt h e o r e mo nc o n e ， w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v e s o l u t i o n sf o rc l a s ss e c o n d - o r d e r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i t hp l a p l a c eo p e r a t o ro na h a l f - l i n ea n ds h o wt h ee x i s t e n c et h e o r e mt h a tt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s h a v ea tl e a s tt h r e ep o s i t i v es o l u t i o n su n d e rt h en o n l i n e a rt e r mfs a t i s f i e d s u i t a b l ec o n d i t i o n s ，t h e ng i v ea ne x a m p l et oi l l u s t r a t eo u rr e s u l t s i nc h a p t e rf o u r ，b yu s i n gt h el e r a y s c h a u d e rd e g r e et h e o r y ，w ec o n s i d e r t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rac l a s so fn o n li n e a rn t h - - o r d e rm - p o i n t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s w i t hc o e f f i c i e n tt h a tc h a n g e ss i g n w em a k e r e s e a r c hb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rh i g h e ro r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w h o s ec o n c l u s i o n sh a v eb e e nl i t t l es of a r ，t h e ng i v ea ne x a m p l et o i l l u s t r a t e o u rr e s u l t s k e yw o r d sb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；p o s i t i v es o l u t i o n ；c o n e ；f i x e dp o i n t t h e o r e m ；g r e e n sf u n c t i o n i i i 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 常微分方程边值问题的背景和发展 给定常微分方程 “) = f ( t ，毛x ，x ( n - d ) ，( 1 - 1 ) 其中厂：l x r ”哼r ，当需要寻求满足特定条件 u ( 功= 0( 1 2 ) 的解时，就称为常微分方程的定解问题，( 1 2 ) 称为定解条件，其中u ：c ”1 ( ，) 专r 与 x 及x 的直到，一1 阶导数在f 的某些给定点上的取值有关。当条件( 1 - 2 ) 对解x 及相关 导数在自变量，的至少两个点处的值有关时，就称为边值问题，其中的定解条件称为 边界条件。 由于常微分方程边值问题是微分方程理论研究中的一个基本问题，因此相关的 理论可以追溯到牛顿和莱布尼茨建立微积分学的最初阶段。 虽然牛顿在1 6 6 6 年1 0 月就将他在微积分研究领域中取得的成果写成了一篇总 结性论文【1 1 ，但只在同事中传阅，没有正式发表。莱布尼茨分别在1 6 8 4 年和1 6 8 6 年发表了他的第一篇微分学论文 2 1 和第一篇积分学论文1 3 1 。其后，牛顿在他16 8 7 年 出版的力学名著自然哲学的数学原理( p h i l o s o p h i a en u t u r a l i sp r i n c i p i a m a t h e m a t i c a ) 中公开了他的研究工作。就在微积分学创建和发展的日子里，瑞士数 学家雅克伯努；币l j ( j a c o bb e r n o u l l i ) 在1 6 9 0 年提出了著名的悬链线问题：一根柔软但 不能伸长的绳子自由悬挂于两定点a ( a ，口) ，b ( b ，) ，求绳子在重力作用下形成的曲 线。第二年，莱布尼茨等给出了问题的解答。通过对绳子上各点受力情况的分析， 建立了常微分方程 磐： 撕了芦( 2 与绳长有关) ， “x 定解条件是 y ( 口) = 口，j ，( 6 ) = ， 这是一个二阶微分方程的两点边值问题。 常微分方程边值问题的另一个早期例子是最速降线问题，设质点由a ( a ，口) 下降 到b ( b ，) ，夕 0 变换后的方程所应满足的边界条件写成一般形式 ( 口) - o e x ( a ) = ，( 6 ) + p x ( b ) = 0 ，口，0 现称为斯图姆一刘维尔边界条件，他们的研究得到了关于特征值的一系列结果，形 成斯图姆一刘维尔理论。 2 0 世纪以来，泛函分析逐渐成为研究常微分方程边值问题的重要理论基础。事 实上，常微分运算和积分运算的共同特征是，它们作用到一个函数后都得出新的函 数，可以将这些运算统一抽象为算子。泛函分析正是在算子概念的基础上发展起来 的。3 0 年代中期，法国数学家勒雷( j l e r a y ) 和绍德尔( j s c h a u d e r ) 建立了 l e r a y s c h a u d e r 度理论。他们的方法用于研究线性微分、积分、泛函方程时，取得了 巨大成功。尤其是这种理论对常微分方程边值问题的应用，形成了常微分方程拓扑 方法或泛函方法。其核心是各类不动点定理的建立和应用。 在泛函分析理论以及实际问题的推动下，常微分方程边值问题的研究在近半个 世纪里发展十分迅速。除了传统的二阶常微分方程两点边值问题之外，开始研究高 阶微分方程的边值问题，并且随着新问题的出现，形成了许多新的研究方向。 首先是奇异边值问题。 2 第1 章绪论 1 9 2 7 年托马斯( l h t h o m a s ) 和费米( e f e r m i ) 为确定原子中的电动势独立导出了 二阶常微分方程的奇性边值问题 r 一! 三 j ，一r2 x 2 = 0 ， 【z ( o ) = 1 ，z ( = o ， 这里所说的奇性，是指l i m x ( f ) = l i m t2 x 2 = o d 。之后对这类边值问题的研究形成了 ，0 7f _ o 有其独特方法的研究方向，即奇异边值问题p , 6 1 。 其次是无穷区间上的边值问题。 最早的例子由基德( r e k i d e r ) 给出。设半无穷多孔介质在起始时刻f = 0 时充满 压力为蜀的气体，此时在流出面上的压力突然由r 减到最且以后一直保持只压力， 这样气体就在介质中产生非稳态流。对于从x = 0 延伸至x = o o 的一维介质，压力与 位置及时间的关系为 瓦( 9 ( 尸寻o p = 彳筹，叙、苏7甜7 其中彳是由介质性质确定的常数，压力应满足的初边值条件为 f e ( x ，o ) = e o ，0 x c o ， 【p ( o ，) = 墨，0 f 1 ) 称为p - 拉普拉斯算子( p - l a p l a c i a n0 p e r a t o r ) 或拟线性算子 ( q u a s i l i n e a ro p e r a t o r ) 。智利数学家较早地研究了此类边值问题，并很快引起数学界的 重视，取得了一系列研究成果 8 , 9 1 ，成为一个经久不衰的研究热点。 经典的二阶常微分方程边值问题，无论是周期边界条件还是s t u r m l i o u v i l l e 边 界条件，定解条件都是在给定区间的两端加以限制。从2 0 世纪8 0 年代中期开始研 究二阶常微分方程的多点边值问题，也就是所给的两个定解条件涉及端点间其他点 上的函数值，例如 i “”+ ( f ，甜，甜) = 0 ， 【“( o ) = 材( 1 ) - a u ( 4 ) = 0 就是一个二阶常微分方程的三点边值问题。以此类推就有四点边值问题，力点边值问 题。常微分方程多点边值问题也常成为常微分方程非局部边值问题( 1 0 1 。 与此同时，常微分方程脉冲边值问题、时滞边值问题、边界条件为相关点上函 数的非线性约束情况等都有一系列的研究工作，参见 1 1 ，1 2 。 1 2 研究的目的与意义 众所周知，许多物理、力学、工程上的实际问题，都可以归结为常微分方程边 值问题。基于丰富的实际应用背景，非线性微分方程边值问题正解的存在性问题， 在整个微分方程研究领域显得尤为重要，对于经典的边值问题( 例如：d i r i c h l e t 型两 点边值问题、r o b i n 型两点边值问题、s t u r m l i o u v i l l e 边值问题等) ，近3 0 年来，已 经取得了深入而系统的结果，相比之下对常微分方程非局部问题的研究起步较晚， 所获得结果及其应用比较零散。k i g u r a d z e 和l o m t a t i d z e ( 19 8 4 ) ，1 1 i n 和m o i s e e v ( 19 8 7 ) 开始讨论二阶线性常微分方程多点边值问题。1 9 9 2 年，g u p t a 开始研究二阶非线性 常微分方程三点边值问题解的存在性。此后十多年间，关于常微分方程非局部问题 的研究取得了重要进展。一方面，对非局部非共振问题和非局部共振问题，建立了 许多重要的存在性结果；另一方面，在多点边值问题正解存在性问题中，找到了定 解参数所应满足的最优条件。但是由于非局部问题所对应的常微分算子一般是非对 称的，这类微分算子目前还没有完整的“谱理论 ，因此对非局部问题的研究面临着 4 第1 章绪论 巨大的困难和挑战。 目前，对边值问题的研究已经覆盖了常微分方程、泛函微分方程、脉冲微分方 程、差分方程和带有拉普拉斯算子的微分方程，尽管人们对于边值问题的研究取得 了一系列成果，但是许多问题的理论研究尚不完善，尤其是对非局部问题正解存在 性的研究更是有待于进一步的深入，对于这些问题进一步的研究，无论是在理论上 还是在实际应用中都有很重要的意义。 1 3 国内外研究现状 非线性常微分方程非局部问题是微分方程领域中的个重要的研究课题，在非 线性扩散、气体动力学、流体力学等学科中有着重要的应用，对此已有许多的研究 结果。而目前关于无穷区间上的多点边值问题及高阶微分方程多点边值问题的研究 结果较少。 1 3 1 有限区间上的非局部边值问题 常微分方程多点边值问题( 即非局部问题) 的研究起步比较晚，尤其是对正解 的存在性的研究更是有待于迸一步的深入。 e r b e 和w a n g 在文献 1 3 】中首先利用锥上的k r a s n o s e l s k i i 不动点定理【1 4 1 研究 了方程“”+ 口( ，) 厂( “) = o 正解的存在性，其中口( ，) 在【o ，l 】上是连续的，并且 ) 在 0 ，佃) 上是连续的。自那以后，k r a s n o s e l s k i i 不动点定理被广泛的利用来讨论边值 问题正解的存在性。 在文献 1 5 1 中，马利用锥上的k r a s n o s e l s k i i 不动点定理证明了二阶三点边值问题 j “”( ，) + 口( f ) g ( f ) = o ， o 7 o ，7 - ( o ，1 ) ，a r 0 ，玎( 0 ，1 ) ，口，7 1 ，并且厂：【o ，1 】 o ，o o ) xr 一 0 ，o o ) 是连续的。 这篇文章是允许非线性项厂依赖于x 的一阶导数所获得正解的少量工作之一。 在文献 1 7 】中，马研究了二阶三点边值问题 5 河北科技大学硕士学位论文 ”) = 以( f ) 厂( “) ，o ， o ，r ( o ，1 ) ，a t l ，利用s c h a u d e r 不动点定理和一个积分算 子表达式，证明了在某些条件下，存在b ，当0 o ( i = 1 ，2 ，m - 2 ) ，0 点 磊 厶一2 1 ，允许口( ，) 在端点f = o 和 ，= l 具有奇性，证明了在某些条件下，存在b ，当0 o ( i = 1 ，2 ，m - 2 ) ，0 = 磊 磊 色 厶一2 厶一l = 1 ，0 毛当 1 ，并且：【o ，l 】【o ，) 专 o ，o 。) 是连续的。首先，给出( 1 8 ) 相关的g r e e n 函数， 然后利用l e g g e t t - w i l l i a m s 不动点定理，赋予厂一定的增长条件得到了二阶m 点边值 问题( 1 。8 ) 至少存在三个正解。此结果推广和改进了文献 1 5 1 的结果。 关于高阶微分方程多点边值问题正解的存在性的研究已经引起了越来越多的人 们的关注和探讨，并且取得了一定的研究成果。 在文献 2 0 1 中，d a v i s 利用l e g g e r w i l l i a m s 不动点定理，对于2 门阶l i d s t o n e 边 值问题 y ：i ( f ) ：= ( y ( ，) ，j ，”( ，) ，j ，2 ”一1 ( ，) ) ，o f o ( 扣o ，1 ，刀一1 ，= 1 ，2 ，m 一2 ) ，o = 磊 点 受 厶一2 厶一l = l ，并且 o o ( i = o ，l ，刀一1 ，j = l ，2 ， ，m 一2 ) ，0 = 磊 磊 磊 厶一2 磊一l = 1 。 在文献 2 4 】中，高利用五个泛函的不动点定理，讨论了二阶拟线性微分方程组边 值问题 f ( 矽p ( x ) ) 7 ( f ) + a ( t ) f ( t ，x ( f ) ，y ( f ) ) = 0 ，0 f l ， ( ( y ) ) 7 ( f ) + 她x ( f ) ，y ( ) ) = o ，0 l ，g 是非负连续的函 数。赋予厂和g 一些增长条件保证二阶拟线性微分方程组边值问题( 1 一1 2 ) 至少存在三 个对称正解。 1 3 2 无穷区间上的非局部边值问题 无穷区间上的边值问题经常出现在各种应用数学和物理学的分支中，现在人们 越来越关注无穷区间上边值问题解的存在性。a g a r w a l ，0 r e g a n 等人对半无穷区间 问题：y ”+ g ( ，) 厂( ，少) = 0 ，0 ， o ，f ( 0 ，) ； ( i - 1 2 ) j c o m j ) a s 锄，j c o 去r p ( 啪o ) a x d s 锄； ( 马) 厂： 0 ，) ( o ，o o ) - - - 9 , 【o ，o o ) 是连续函数，且f ( t ，0 ) 0 。 在文献 2 6 中廉等研究了半无穷区间上的二阶三点边值问题 接富二a 八x l 0 7 x ) l i m 2 苫0 0 “ 佃 ( 1 - 4 ) lx ( o ) = ，( f ) = r 一7 的可解性条件。其中，口r ，口1 且刀( 0 ，佃) 。 在文献 2 7 】中倪和葛利用l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理研究了半无穷区间二阶 微分方程边值问题 j ，+ p ( f ) 厂( f ，x ，x 7 ) = o ，o 7 o o( i 1 5 ) 【z ( o ) = 0 ，( o o ) = 0 多个正解的存在性。 在文献 2 8 中廉和葛利用锥上的k r a s n o s e l s k i i 不动点定理研究了半线性 s t u r m - l i o u v i l l e 边值问题 ( p ( t ) x ( f ) ) - i - a q 6 ( t ) f ( t ，x ( f ) ) = 0 ，0 ， 佃 x ( o ) 一届l i m + p ( t ) x 7 ( f ) = 0 ， ( 卜1 6 ) f u 口2l i r ax ( ，) + 屐l i mp ( t ) x ( ，) = 0 - - + - t - a of + 正解的存在性。 在文献 2 9 中廉等利用a v e r y p e t e r s o n 不动点定理研究了半线性二阶非线性微 分方程边值问题 ( 绵( ( ，) ) ) ，+ 巾，蛾x = o ，o 0 ，0 ，x ( o d ) = l i m 工，( ，) 。 f _ + 1 4 本文研究的主要内容 本文主要研究无穷区间上二阶多点微分方程边值问题解的存在性，以及系数可 变号的高阶微分方程多点边值问题正解的存在性，全文共分为四章。 第l 章，绪论。介绍常微分方程边值问题的历史背景及其发展和相关研究现状。 第2 章，研究了一类无穷区间上二阶微分方程多点边值问题解的存在性。在非 线性项厂满足一定的增长条件下，利用l e r a y s c h a u d e r 延拓定理建立其解的存在性 定理。本章研究的边值问题为： i x ”o ) + 厂o ，x o ) ，l j f ) ) = o ，0 r + 。d ， j聊一2 弦) = 嘭x ( 仍) ，熙( f ) = o m - 2 其中q 尼i = 1 ，2 ，m - 2 ，lko r h 耽 一2 佃。 i = l 第3 章，本章运用锥上的a v e r y p e t e r s o n 不动点定理，讨论了一类无穷区间上带 有p l a p l a c e 算子的m 点边值问题 f ( 绵( x ( d ) ) + l j f ) 厂o ，x o ) ，o ”= 0 ，0 0 ，0 ，x ) = l i mx o ) 。 ，- - - + o o 第4 章，本章通过运用l e r a y s c h a u d e r 度理论，考虑了一类系数可变号的胛阶m 点非线性边值问题 i 甜o ) + 允d o ) 厂( “o ) ) = 0 ，f ( o ，1 ) ， j所一2 l “( o ) = o ，材7 ( o ) = = z f 加2 ( o ) = o ，甜( 1 ) = 向甜( 毒) l，霉l 正解的存在性，其中，7 2 ，向 o ( f = l ，2 ，m 一2 ) ，0 = 彘 卣 岛 0 。 9 河北科技大学硕士学位论文 第2 章无穷区间上二阶m 点边值问题解的存在性 2 1 预备知识 有限区间上二阶微分方程多点边值问题( b v p s ) 已被广泛地研究，通过使用 l e r a y s c h a u d e r 延拓定理，g u o k r a s n o s e l s k i i 不动点定理等获得了解、正解及多解的 存在性结论，可参看 1 6 ，3 0 3 2 及相关参考文献。 近几年来，随着无限区间上边值问题的广泛应用，无限区间上的边值问题受到 了更多的重视，见【5 ，7 】。由于无限区间不是紧的，因此关于半线性边值问题的讨论 将更加复杂，见【5 ，7 ，3 3 3 7 】及相关参考文献。近来，l i a n 等人在【2 6 】中研究了下面的 三点边值问题： ，f x 。( ，) + o ，z ( ，) ，一( ，”= o ，0 ， + 。o ， i x ( o ) = a x ( u ) ，j i m ，( f ) = 0 ， 其中，口r ，口1 且刁( o ，佃) 。本文将在此边值问题的基础上，研究多点边值问题： f x ”( f ) + 厂( ，x ( ，) ，x 7 ( r ) ) = o ，0 f + o o ， z ( o ) ：m - 2 嘭x ( 研) ，l i mx ，( ，) ：o ，( 2 - 1 ) i z ( o ) = 嘭x ( 研) ，熙x 7 ( ，) = o ， 7 li = 1 其中，嘶r ，i = 1 ，2 ，m - 2 ，1i 习0 r , 7 7 2 o ，使得m a x 删m ，n 有l f ( t ，甜，v ) l 孵( ，) ，口e t e 0 ，佃) 。 定理2 1 ( 见 5 】) 设mcq 【o ，佃) = x c o ，) ，j i mx ( ，) 存在：，则m 在x 上是相 il j 对紧集若满足如下条件： ( 1 ) m 在q o ，佃) 上是一致有界的； ( 2 ) m 中的函数在【o ，佃) 上是等度连续的； ( 3 ) m 中的函数是等度收敛的，即对任意的s 0 ，存在t = 丁( g ) o 使得 对任意的，t ，f m ，椭- i f ( t ) 一厂( 佃) l 占成立。 2 2 主要结论 引理2 1 设l ，若v 1 ，( f ) z 【o ，佃) r t v ( t ) e 班o ，佃) ，则边值问题 fx ”( f ) + v ( ，) = o ，0 f 佃， 1 邶) ：m - 2 哆x ( 址x ，( ，) ：o ( 2 - 2 l i m ) lx ( o ) = 哆x ( 仍) ，佃x ( ，) = o 7 l i f f i l 有惟一的解，且这个惟一解可如下表示x ( ，) = r g ( ，j ) v o ) a s ，其中 g ( t ，s ) ：_ 1 a m - 2 0 6 s + a s ， j = l m - 2 c 6 s + a t ， f = l a r l k + a k s + a s ， 七盅lk = “1 im - 2 吼仇+ c q s + a t ， m - 2 c t i r k + a s ， i f f i l m - 2 e q q l 七心， ，= i s 7 7 1 ，s f j 仍，s 0 仍s 仉+ l ，s f ，i = l ，2 ，m 一3 0 研s 仍+ l ，t j ，i = 1 ，2 ，m 一3 s r m 一2 ，j f s r m 一2 ，t s ( 2 - 3 ) 河北科技大学硕士学位论文 m - 2 这里，记人= 1 - 则有 证明对微分方程两边同时进行从t 到栩的积分，注意到v ( f ) ，t v ( t ) 叠【0 ，佃) ， x ( ，) = x ( o ) + “。1 ，( f 沙d s n l 一2 因为x ( o ) = x ( 仇) ，由( 2 - 4 ) 可得， l = l x q ) = m 一2 l - i = l m 一2 t z 口。r i q 。2 1 f v o 渺+ 薯r 叭j ) 出】+ r r 哪v ( s ) 出+ f 州s 冲 若o t 仇，( 2 2 ) 1 钓i 惟一解可表示为2 x ( r ) = f ( + m - 2 s i = l 埘一2 1 一y 瓯 一 i - i 册一2 m 一2 q j i = l 所一2 l 一 i = l + t ) v ( s ) d s i = l 若仍，钆i ，1 i m - 3 ，( 2 - 2 ) 的惟一解可表示为： x ( r ) = r ( + + 肼一2 q s i = l m - 2 1 - q k = l i - i 砷凼嚆 m - 2 1 一y 瓯 _ 一 l j = l m - 2 m - 2 a , r l ， i = l m - 2 1 一q 1 = 1 y 口 j + 心 z _ 一 七= j + i v ( s ) d s + m - 2 y 口- j + a t 一 k = j + i 肼一2 1 一y o r , j ，一r i = l m - 2 1 一y 睨 一 i = l m - 2 + t ) v ( s ) d s v ( s ) d s r l k + c t k s + a t 七害l七= f + 若一2 t 佃，( 2 2 ) 的惟一解可表示为： 1 2 肘一2 l 一q i = i m - 2 仍 ，= l m - 2 1 一y 必 - 一 ，暑l v ( s ) d s + t ) v ( s ) d s ( 2 - 4 ) e 鹏鲥 + 仇 ，脚 心+s 吒 脯m + 仇 + 仇 ，榭 m m 一2 m ，= r 蕊e a 。s 懒胁善- 3 r + l m - 2 仍 f = l 加一2 1 一y 瓯 一 m 一2 i = i 此时，记人= i - 够 i = l 1 g ( t ，s ) = _ j i , a m - 2 ， 册一2 仇+ a k s + a s + j ) v ( s ) 凼+ 厂 则 a t s + 心， a t s + a t ， m - 2 协+ a k s + a s ， k f f i i + l m - 2 吼仇+ a k s + a t ， k = i + l a i 七心， 伐n l j r ， 1 一q m - 2 弼仍 i = 1 埘一2 l 一 i = l t = l + t ) v ( s ) d s s 玩，s ， s 仇，t s 0 编j 仇+ l ，s ，i = 1 ，2 ，m 一3 0 砩ss 仍+ l ，t j ，i = 1 ，2 ，m 一3 s 一2 ，s f s r m 一2 ，s 因此，( 2 - 2 ) 的惟一解可表示为x ( f ) = f g ( t ，j ) v o ) a s ，证毕。 注：g ( t ，s ) 满足g r e e n 函数的性质，因此称g ( f ，s ) 为边值问题( 2 - 2 ) 的g r e e n 函数。 引理2 2 对所有，j o ，佃) ，有 g ( t ，s ) l j ， 肘一2m 一2 呸s 噶一： f = li = l