（应用数学专业论文）几类非线性发展方程解的长时间性态.pdf

国防科学技术大学研究生院博士学位论文 摘要 本文研究几类与( 时滞) 偏微分方程有关的非线性发展方程的周期解或概周期 解的存在性和稳定性，同时也研究其中一些方程整体吸引子，惯性流形以及近似惯 性流形的存在性全文主要结果由三部分组成 第部分主要考虑带时滞和阻尼的s i n e - g o r d o n 方程以及多时滞抛物发展方程 的时间( 概) 周期解的存在性，稳定性问题我们采用的方法是构造合适的l y a p u n o v 型函数，对所有可能的周期解给出先验估计。再利用s c h a e f e r 不动点定理得到周期 解的存在性，然后，获得周期解的稳定性与以往的耗散理论相比。这种技巧的好 处在于仅要求所有可能的周期解一致有界。并不像般耗散理论那样要求所有解一 致有界及一致最终有界 第二部分研究了几类偏微分方程惯性流形和近似惯性流形的存在性首先，研 究了类非自伴算子情形下的半线性时滞抛物方程解的长时问性态，在适当小的时 滞和谱间隙条件下，利用l y a p u n o v - p e r r o n 方法证明了惯性流形的存在性其次，研 究具有拟周期外力作用的时滞抛物方程和波方程解的长时问性态。利用斜积半流方 法，在扩展相空间中将非自治系统提升成自治系统，利用算子半群理论和i o 阳p l m a v - p e r r o n 方法，在适当的谱间隙条件和适当小的时滞假设下，证明了这两类非自治时 滞发展方程惯性流形的存在性最后，就一类具有拟周期外力的非自治发展方程， 证明了相应的自治系统的时滞惯性流形的存在性，并在时滞惯性流形的基础上构造 了非自治发展方程的近似惯性流形 第三部分研究了类时滞反应扩散方程的时问离散化模型，证明了连续模型离 散后整体吸引子的存在性，并在一定条件下证明了离散整体吸引子的上半连续性 在将连续模型离散化过程中，克服了由于时滞因素带来的困难 第1 页 ：墼墼丝垒篁堕些型丝坠垒一 关键调发展方程，周期解，概周期解，拟周期，穗定性，l y a p u n o v 函数， 整体吸引子，惯性流形，近似惯性流形 第1 顶 星堕苎兰垫挞兰要塞皇堕堂垒丝塞 a b s t r a c t i nt h i st h e s i sw ed e a lw i t ht h ee x i b t e n c ea n ds t a b i l i t yo fp e r i o d i co ra l m o s t p e r i o d i cs o l u t i o n sf o rs o m ec l a s s e so fn o n l i n e a re v o h l ：t i o ne q u a t i o n sr e l a t e dt op d e w i t hd e l a yo rn o t m e a n w h i l e ，w ec o n s i d e rt h ee x x b t e l l c eo fg l o b a la t t r a c t o r s ，i n e r t i a l m a n i f o l d sa n da p p r o x i m a t ei n e r t i a lm a n i f o l d sf o rs o m ee q u a t i o n sa m o n gt h e m t h e m a i nr e s u l t si nt h i st h e s i sc o n s i 8 to ft h r e ep a r t s i nt h ef i r s tp a r tw ec o n s i d e rm a i n l yt h ep r o b l e m sa b o u tt h ee x i f f 6 e u c ea n ds t a - b i l i t yo ft i m e - p e r i o d i co ra l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n sf o rt h ed a m p e ds i n e - g o r d e n e q u a t i o n sw i t hd e l a y 眦dp a r a b o l i ce v o l u t i o n a r ye q u a t i o n sw i t hs o m ed e l a y s t h e k ys t e p si nt h ep r o o f8 c o n s t r u c t i n gs o m es u i t a b l el y a p u n o vf i m c t i o n a l s ，e e t a b - l i 8 h i n gt h ep r i o r ib o u n df o ra l lp o s s i b l ep e r i o d i cs o l u t i o n sa n dl a s t l yp r o v i n gt h e e x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n sb ys ( h l 疵r 8f i x e dp o i n tt h e o r e m t 抵a p p r o a c hh a s 锄a d v a n t a g et h a to n l ya l lp o s s i b l ep e r i o d i cs o l u t i o n sa r ea s s u m e dt ob e - n i f o r m l y b o u n d e di n s t e a do fa l ls o l u t i o n si nt h et r a d i t i o n a ld i s s i p a t i v et h e o r y i nt h es e c o n dp a r tw ei n v e s t i g a t et h e 印血出靴o fi n e r t i a la n da 】理唧碍i m a t e i n e r t i a lm a n i f o l d sf o rs o m ec l a s 8 o fp d e s f i r s t l y w ed e a lw i t ht h el o n gt i m e b e h a v i o ro fs e m i - l i n e a rp a r a b o l i ce q t m t i o n sw i t hd e l a yi nt h en o n - s e l fa d j o i n tc a s e u n d e rs o m ea s s u m p t i o n so fd e l a ya n dt h es p e c t r a lg a pc o n d i t i o n ，t h ee x i s l 6 e u c eo f i n e r t i a lm a n i f o l d sj 8p r o v i d e db yl y a p u n o v - p e r r o nm e t h o d s e c o n d l y , w ec o n s i d e r t h e l o n g - t i m e b e h a v i o r o f d e l a y e d s e m i - l i n e a r p a r a b o l i c e q u a t i o n s w i t h q u a s i - p e r i o d i c t e r m s b e i | 1 9u s e ds k e w - p r o d u c tm e t h o d ，t h en o n - a u t o n o m o u s ”j , f l t e l n sa x et i f t e di n t o t h ea u t o n o m o u ss y s t e m si nt h ee x t e n d e dp h a s es p a c ea n dt h ee x i s t e u c eo fi n e r t i a l m a n i f o l d si 8p r e s e n t e du n d e rs o m ea s s u m p t i o n sa b o u td e l a ya n dt h es p e c t r a lg a p c o n d i t i o n l a s t 堍w ed e a lw i t hac l a s so fn o n a u t o n o m o n se v o l u t i o n a r ye q u a t i o n s a n dp r o v et h ee x i s t e n c eo fi n e r t i a lm a n i f o l d sw i t hd e l a yf o rt h er e l e v a n ta u t o n o m o u s s y s t e m s f u r t h e r m o r e , t h ea p p r o x i m a t ei n e r t i a lm a n i f o l di sc o n s t r u c t e df o rt h e n o n a u t o n o m o u se q u a t i o nb a s e do ni n e r t i a lm a n i f o l dw i t hd e l a y i nt h el a s tp a r tw ei n v e s t i g a t et h ee i d 8 t e n o eo fg l o b a la t t r a c t o r sf o rt h et i m e d i s c r e t i z a t i o nm o d e lf r o m8c l a s so fr e a c t i o n - d i f f u d i o ne q u a t i o n sw i t hd e l a y , a n d t h eu p p e rs e m i c o n t i n u i t yo ft h eg l o b a la t t r a c t o r si so b t a i n e du n d e rs o m es u f f i c i e n t c o n d i t i o n s i d i 毋c u l 钾c a l l 丑e db yt h ed e l a yi nt h ec o n t i n u o u ss y s t e mi so v e r c o m e s u c c e s s f u l l yd u r i n gt h ed i s c r e t i z a t i o np r o c e s s 第1 i 顶 国防科学技术大学研究生院博士学位论文 k e yw o r d s e v o l u t i o ne q u a t i o n ，p e r i o d i cs o l u t i o n ，a l m o s tp e r i o d i cs o - l u t i o n ，q u a s i - p e r i o d i c i t y , s t a b l i t y , l y a p t m o vf u n c t i o n ，g l o b a la t t r a c t o r ，i n e r t i a l m a n i f o l d ，a a p p r o x i m a t ei n e r t i a lm a n i f o l d 第页 国防科学技术大学研究生院博士学位论文 主要符号表 0 j p 中的区域 x ，日线性赋范空间 i i x ，日x ，日中的范数 c 铲( q )q 上具有紧支集的无穷次可微函数空间 z p ( n )n 上直到七阶弱导数舻可积的函数空问 皤( o ) c 矿( 在h ( 固中的闭包 4 无界线性算子 口( 由算子a 的谱 s ( t ) t o ， t ( ) t 邳半群或半动力系统 d ( a 。)分数幂算子a 4 的定义域 v ( t ) l y a p u n o v 函数 c i 口连续函数空间g ( 【_ r ，0 】，d ( q ) ) ，r 0 ，口20 i i 空间c ：中的范数，且1 4 l c o s u p 一，曼口9 | i a 4 妒( a 算子a 的特征值 m a 复数a 的实部 ，q j l r空间x 中的投影算子 g ( r ，日)冗一日上的有界函数全体 c ”( 矿，【0 ，1 1 ) j p 一【o 1 】的无穷次可微连续函数的全体 a 整体吸引子 d i s t ( a ，功集合a ，b 的距离 第顶 国防科学技术大学研究生院博士学位论文 第一章绪论 1 1 概述 非线性发展方程是与时间相关的非线性常微分方程、偏微分方程及泛函微j 方 程等方程的总称，应用数学领域( 包括物理学生物学、经济学以及航空与航天，自动 控制，信号处理等学科 的许多理论和数值的研究重点关注这些方程的长期行为。对 它们解的长时同性态研究是动力系统的核一l - 内容目前，动力系统理论成为现代数 学的重要分支。并且有了更深更广的数学内涵和更加广阔的应用参阅【8 2 0 ，1 0 1 l 等 动力系统的数学理论基于p o i n c a r e 刨立的常微分方程的定性理论 1 9 世纪末 到2 0 世纪初，p o i n c a r e 等从经典力学和微分方程定性理论的研究中，提出了动力系 统的概念由于大多数微分方程的解不能用已知函数的积分来表示其通解，这样导 致微分方程定性理论的研究微分方程定性理论研究只通过微分方程本身就可以回 答关于稳定性等问题的方法，使动力系统研究向更大范围发展参阅阳，8 ，5 1 ，9 9 】 等 近2 0 年来，动力系统理论的研究得到迅速的发展和深化，成为研究非线性科 学的重要研究内容动力系统之所以引起人们广泛的研究兴趣，方面是混 屯藕分 形现象的发现，人们认识到动力系统的长时间性态存在更复杂的现象一混沌和分形 现象，这些现象普遍存在于自然界的很多领域，对这类现象的认识和研究导致了动 力系统理论的迅速发展例如，【| 2 】采用惯性流形理论研究混沌系统，证明了两个 不相同的系统能实现广义同步化另一方面是无穷维动力系统理论研究的兴起，由 于反映客观世界变化规律的模型在很多情形下，都归结为无穷维动力系统的问题， 自然无穷维动力系统成为动力系统研究的主要对象和课题【硒u 訇 近年来。对j 线性发展偏微分方程鳃的定性研究越来越引起人们的兴趣这些 方程大多出现在实际过程的数学模型。例如k d v 方程，非线性s c h r o d i n g e r 方程。 z a k h a r o v 方程，s i n e - g o r d o n 方程等【o ，1 。在定的耗散作用下，从孤立子状态演 化为混沌现象这些无穷维动力系统是有限维动力系统研究的必然发展和深入。而 有限维动力系统可以看成无穷动力系统的一个近似虽然研究无穷维动力系统的方 法思想和概念来源于有限维的情形。但需要对原有的方 去= 进行藿新评价和改造 1 2 ，2 匀 由于偏微分方程理论和算子半群理论的应用。有限维的结果被进步推广到无 穷维的情况，并反过来促进了偏微分方程理论的发展借助于算子半群理论，将偏 第1 页 国防科学技术大学研究生院博士学位论文 微分方程和泛函微分方程写成抽象的常微分方程的形式，并给出方程温和解的表达 式。这种表达式在形式上类似于常微分方程的情形，然后再研究温和解成为经典解 的条件这样可以用研究常微分方程的概念与思想来研究偏微分方程和泛函微分方 程，算子半群成为研究戛广泛的类发展方程的重要工具，参阅陋，1 0 1 ，1 0 5 ，1 1 5 j 等 除了半群的方法以外，斜积( 半) 流方法是解决非自治周期、概周期系统周期 解概周期解的存在性的个重要的手段，也是研究耗散动力系统长时间性态的一 个重要工具与常微分方程积分方程，时潜方程相联系的斜积流，已经被m i l l e r 和 s e n 在膨l 中广泛地研究过，d a f e r m o s 1 4 1 和l a f l a j l e l 考虑了过程的斜积流 1 9 8 8 年，h a l ec 3 3 】把这种方法应用到了的非自治周期过程，获得了一些很好的结 果此后，这种方法被广泛的用来处理非自治的周期、概周期系统，尤其是非自治 的概周期系统。而且也被认为是研究抽象的概周期微分系统的有力工具1 9 9 8 年 s h e n 和y i 的专著f 8 2 】和m n 0 等人的专著【4 0 l 是对斜积流方法在处理b 孤a c h 空 间中概周期系统的个很好的总结- 近年来，关于无穷维动力系统理论的研究，特别是解的长对闯性态的研究取得了 很大的进展，巳建立了整体吸引子存在性、h a u s d o r f f 分形维数估计等重要理论特 别围绕吸引子结构和方程解的长时问动力学性态研究，人们相继发现了惯性流形 指数吸引子、以及近似惯性流形等等所有这些结果。对逐步揭示由非线性发展方 程所劾划的非线性现象发生机理和内在规律有重要意义由于吸引子的结构非常复 杂，f o i a sc ，s e l lg r 和t e m a mr 于1 9 8 5 年提出了惯性流形的概念【1 8 】惯 性流形为至少l i p s c h i t z 连续的有限维流形。在相空问是正不变的，指数地逼近轨 线，且含有整体吸弓l 子从惯性流形的描述性定义可以看出，当吸引子与惯性流形 同时存在时，吸引子的维数不高于惯性流形的维数，这就可以避免对于吸引子维数 估计的复杂过程而得到吸引子的维数上界更重要的是它可以将无穷维系统约化为 有限维系统，从而有可能更方便地研究无穷维动力系统的长时间性态 对于抽象的非线性发展方程的初值问题 笼竺他l 的惯性流形研究进展，可参考郭柏灵的专著仁翻抽象理论可应用于许多的具体方 程。例如，k s 方程，c a l mh i l i a r d 方程，可压缩气体动力学模型，维反应扩散 方程，g i n z b u r g l a n d a u 方程等所得结论般都是不带时滞的方程，对于偏泛 函徼分方程，l b o u t e t ，d em o n v e l 等在1 9 9 8 年利甩l y a p u n o v - p e r r o n 方法得研究 第2 页 国防科学技术大学研究生院博士学位论文 了类形如 象+ 胤= 酏) 的半线性抛物方程，在算子a 满足适当的谱间隙条件，并且时滞充分小时，方程存 在惯性流形2 0 0 2 午，a r e z o u n e n k o 7 1 】研究了类时滞半线性波方程解的长时 同性态，得到了惯性流形的存在性 当非线性项含时间t 时，系统的解不构成半群，此时就不能直接利用算子半群 理论去研究惯性流形的存在性，而当非线性项关于t 为周期，拟周期，概周期等情 形时，则可以将相空间扩展，利用斜积流理论去研究扩展系统的惯性流形存在性。 最后在相空问中投影即可得到原系统的惯性流形，相关结论可以参见f 1 0 2 1 等为 了给数值模拟提供更加精确的理论指导，可以将系统关于时间空问按照某种格式离 散，研究离散系统的上时间性态，1 9 9 1 年d e m e n g e lf 和g h i d a g l i aj m 在( 1 5 】 中考虑了类非线性发展方程对时间离散化后惯性流形的存在性和收敛性，相关结 果还有 6 1 1 0 6 3 】等 肝大量的耗散方程，由于谱间隙条件不能满足，因此惯性流形的存在性问题 一直未能解决，这样近似惯性流形( a i m ) 的存在性以及其构造问题就自然地被提 出来所谓近似惯性流形是指类非线性有限维且具有一定光滑性的充分逼近于整 体吸引子的流形它的研究对探讨耗散型方程解的长时间行为和吸引子的结构具有 重要意义 近似惯性流形的构造在不同耗散条件下有着不同的方法，它包括惯性流形存在 条件近似惯性流形的构造，平坦近似惯性流形解具有不同光滑性时近似惯性流形的 构造，非自治耗散方程近似惯性流形的构造等等，具体可参见【l a ，【1 5 l 等关于近 似惯性流形的研究，主要是怎样找到个更加精确有效的构i i f ：；y 法，从而使得构造 出的近似惯性流形能够更精确地逼近吸引予 值得提的是，可利用时滞惯性流形的概念构造类特殊的近似惯性流形自 然界中微分系统绝大多数是因果关系，历史的影响般来说会有一定的时间延迟， 基于这种考虑，d e b u , 砒ea 和t e m a m r 在【1 7 1 中又提出了时滞惯性流形的概 念r e z , o u n a k o 在【6 9 l 中研究了类半线性抛物型偏泛函微分方程，在证明其存在 时滞惯性流形的基础上构造了近似惯性流形，这个近似惯性流形包含以某个t 为 周期的所有周期解 除存在性外，关于惯性流形性质的研究还有完全渐近性连续不变叶片的存在 性，正则性等，这些都是当前研究的热点问题一般情况下。惯性流形的存在性需 要非常苛刻的谱间隙条件。许多系统都不能满足，因此寻找其他方法证明存在性从 而弱化谱间隙条件也是个非常有意义的课题对于更加般的非自治系统，随机 第3 页 国防科学技术大学研究生院博士学位论文 系统等方面的研究相对较少，从而也是今后研究的重点之一 1 2 整体吸引子与惯性流形 本节我们简要介绍动力系统，整体吸引子和惯性流形的概念和相关结果。相关 内容参阅 s l ， 1 2 1 ，【2 3 】等 1 2 1 动力系统与整体吸孽i 子 设x 为完备的度量空间，s ( t ) ( t 正) 为x 到自身的连续算子族，称( x ，s o ) ) 为动力系统。若s ( t ) 满足如t 半群- f t 质 s 0 + 力= s ( t ) o s o - ) 托r t o ，岛= i ( x 上的恒等算子) ， 其中正为非负实数集j 或非负整数集2 若正= 风，我们还假定y ( o = s ( o y 对任何! ，x 是t 的连续函数称x 为动力系统( x ，s ( ) ) 的相空间或状态空间， s ( o 称为发展算子，参数t 相当于时同当t t = 凡时，( x ，s ( t ) ) 称为连续动 力系统。此时也称其为度置空间x 上连续算子半群，一般将半群记为 s ( ) ) t 鄯 如果x 为线性度量空闯，当d i m x t 时有s ( t ) r c 岛； ( 2 ) 为渐近紧的，对于x 的有界序列 t ，i 及t i 0 0 ， s ) t ，i ) 在x 中为璜 紧的剜( x ，s ( t ) ) 存在x 中的整俸吸引子 对于b a n a e h 空间上的动力系统。其整体吸引子可以用甜极限集来刻画。即若 定理1 2 1 中的x 为b a n a c h 空间，则该动力系统的整体吸引子为 此时u ( 岛) 是x 的非空连通集 定理1 2 1 中的性质( 1 ) 是对系统耗散性的效学描述，从物理的观点来看，耗 散系统的能量是耗散酊。与耗散系统相对应的为保守系统( 如i - i a m i t o n 系统) 具有 耗散性的动力系统表示个不可逆的过程，代表着非常重要且有着广泛应用的动力 系统，因此引起人们极大的研究兴趣下面给出耗散动力系统的个判定定理 定理1 2 = 1 1 2 设连续动力系统( 墨s ( t ) ) 的相空间x 为b a a a e h 空间，若 ( 1 ) 存在x 上的连续函数u ( z ) 使 仇( 1 l z l l ) u c = ) 仰( i ) ， 其中纷( 蚓1 ) ( i = 1 ，2 ) 为r + 上的连续函数，妒1 一， ( 2 ) 对于任何可墨u ( s ( t ) 们关于t 在i o ，+ ) 上可导，且存在正数口和p 使 杀u ( s ( t ) 们一口( i i s ( t ) 可) l i 力， 则动力系统( 五s ( t ) ) 为耗散的 般来说。吸引子具有非常复杂的结构( 混沌，分形等) ，通常通过估计吸引子 的h a u s d o r f f 维数或分形维数来描述或刻画吸引子的复杂性。希望尽可能精确地给 出维致上，下界的估计。对整体吸引子的维数估计是无穷维动力系统的重要内容之 一陶 1 2 2 惯性流形与近似惯性流形 吸引子的结构可能非常复杂，不具有光滑往，而且轨线到吸弓l 子的收敛速度一 般很慢为了弥补吸引子刻画动力系统渐近性态的缺蹈，对h i l b e r t 空间上的动力 系统，引进了惯性流形和近似惯性流形的概念 定义l 2 2 1 8 ，2 3 l 给定h i l b e r t 空间日上的连续动力系统 t t ，s ( t ) ) ，称目的 个子集m 为该半群的惯性流形，若满足 笫5 页 国防科学技术大学研究生院博士学位论文 ( 1 ) m 为有限维的l i p s c h i t z 流形i ( 2 ) s ( t ) m c m , v t o ； ( 3 ) 存在常数c l ，勿 0 ，使得对任何u o 日，有 d 缸( 双) 伽， c l e - 。t ( t t o ) 通常用构造性的方法证明耗散动力系统惯性流形的存在性，对不同的偏微分 方程( 发展方程) 生成的动力系统有不同的构造方法本文中采用的是l y a p u n u v - p e r r o n 方法，即p e r r o n 和l y a p u n 删丰鼋造中心流形的方法。为了对惯性流形有更 直观的认识。下面我们给出对如下发展方程构造惯性流形的一种方法在可分的 t t i l b e r t 空间日中考虑c a u c h y 塑问题 等+ t = 口，战t 5 ，让 缸，= t d ，s 蜀 ( 1 2 1 ) 其中 为具有离散谱的正算子，b ( ，) 为d ( 铲) r ( o a 0 ，使得当t t 时，所有轨道乱( t ) 都满足 d i s t ( t ( t ) ，厕町 对整体吸引子，惯性流形和近似惯性流形的研究，使我们发现相当多的带耗散 结构的偏微分方程解的长期性态，与有限维系统具有某种本质上的一致性 1 3 本文的主要结果 本文我们考虑几类与( 时猎) 偏微分方程有关的发展方程的周期解或概周期解 的存在性，稳定性以及整体吸引子、惯性流形和近似惯性流形的存在性，主要结果 分为如下三个部分 第部分主要考虑带时滞和阻尼的s i n e - g o r d o n 方程以及多时溉抛物发展方程 的时间( 棚周期解的存在性、稳定性问题我们采用的方法是构造合适的l y a p u n o v 型函数。对所有可能的周期解给出先验估计。再利用s c h a e f e r 不动点定理得到周期 解的存在性，然后，获得周期解的稳定性与以往的耗散理论相比，这种技巧的好 处在于仅要求所有可能的周期解致有界，并不像般耗散理论那样要求所有j 离 致有界且一致最终有界 首先，对于带时滞和阻尼的s i n e - g o r d o n 方程 嚣蜘) = 丢郇小a 鼽力一，e 劬一岳如枷 第顶 国防科学技术大学研究生院博士学位论文 + 卢血l 似( t ，动) + g ( t ，霉) ，0 o ， ( 1 3 1 ) 其中0 r + ，和d 为两正常数，9 关于t 和z 都是h b l d e t 连续，我们有如 下结论( 其中假设条件在后面各章中给出) ： 绮论1 3 1 假设( a 1 ) ，( a 2 ) 以及( 也) 成立则方程( i ，& d 存在非零b 周期 解 进步。当r = 0 时，下面两个结论成立 结论1 3 2 假设( 也) 以及( 也) 成立则方程口，& 1 ) 存在唯一的一致渐近穗 定的b 周期解 结论1 3 3 设0 6 簪以及0 l 纠 m i n p 、( 2 一雩乒) ( 2 一器) ，；) 时， 方程以3 有唯一渐近稳定的概周期解 其次，对于具有多时滞的发展方程 f 袅t i ( t ，) = 乐u ( t ，+ 佣( f ，z ) + ，( t o n ，) ，t p 一，刁) + 9 ( t ，z ) ，0 0 我们在时嚣个数不多暖s3 ) 的情况下给出了上述发展方程存在唯渐近稳定 时同周期解的充分条件 绪论1 3 4 假设( 岛) 一( b i ) 成立则方程n 3 矽有唯一渐近穗定的2 乙周期解 第二部分我们和用算子半群理论和l y a p u n o v - p e r r o n 方法在适当的谱间昧条 件，研究了如下几类发展方程方程惯性流形和近似惯性流形的存在性t 塞+ 缸= 口冲= 撕。； f 静+ 2 e 裳= b ( 砘，t ) ，t 8 ， 【t 和+ 力= g ，譬l 细= 缸l ， 掌冗 i 甓+ a u = ，( 饥t ) - t - g ( t ) ， 【缸i ，= 坼e e 下见 对于系统( 1 3 3 ) 我们有如下惯性流形的存在性结果， ( 1 3 4 ) ( 1 3 5 ) 第8 页 国防科学技术大学研究生院博士学位论文 结论1 3 5 假定如下谱同隙条件 盯( 脚n d e g o l , s r e a 嘞= d ， 一唧 硝融嘲4 + 坞一嘲即 l 一夕) 成立。且r 足够小使得 6 - - n ( 0 1 ) 云m n ，r ) 1 6 j | l 矗成立，且r 足够小使得j 剑譬与a 1 - 。 m 雠俩型号等翌+ 2 0 l k m l 严c , 娲k ( 笙宅# + 2 矿c ) ， 划系统r i 3 印存在维近似惯性流形西+ 霍t 0 ，盯) ，缸力p e t k 印对于 任意小的町 0 ，使得l i p s c j a i t z 流形p 的刁邻域吸引过程簇 0 ( t ，订，t f r ，一2 咄) 的任意一条解轨线以( t ，下) 嘶，t lr r ，( 嘶，盯) e t h 其中 c 8 l n 2 为常数以及 治懈 警+ 4 胁( 妒+ 1 ) q 百5 k m l c t = 4 + 泓缈c 1 5 脑c 第三部分我们考摩了方程 j 鲁+ 胤= ( u ( t r ) ) ， it o = u ( o ) g ( 【_ no 】，d ( a 1 ) ) 的离散系统的整体吸引子的存在性和上半连续佳。 ft l p ( t ) = 庐，一r t 0 ， 【u ( t m + + 妒( t 嘲+ h ) = u p ( t m ) + ，( t 1 9 ( o 埘一r ) ) ( 1 3 6 ) ( 1 3 7 ) 结舱1 3 8 假设衄j 和但矽成立，系统仁a 刀生成的离散动力系统 ，”h 曲 在g ( 【- l0 1 ，d 似) ) 中存在整体吸引子a 结论1 3 9 假设衄) 和f e 矽成立。且，充分光滑，对应连续系统r i 3 动存 在吸引子a ，则系统口曼力的整体吸引子a 是上半连续静，即尝各殴，棚= 0 ， 其中饨；g ( 【_ r 0 1 ，d ( a ) ) 第l o 页 星堕壁兰垫燮兰堑壅皇曼苎主兰垡鲨塞 第二章带阻尼的s i n e - g o r d o n 方程的周期解与概周期解 在这章中，我们讨论了带时滞和阻尼的s i n e - g o r d o n 方程周期解和概周期解 的存在性和稳定性同题s i n e - g o r d o n 方程是个典型的非线性偏_ 泛函微分方程。 它在物理领域中有着广泛的应用背景，倒如两个超导体间结( 一种电子电路) 的传 播现象；系有弹性拉线的刚性钟摆的运动以及晶体中的位错( d i s c o l a t i o n s ) 运动等 等我们研究s i n e - g o r d o n 方程解的定性性质，所采用的关键步骤是构造合适的 l y a p 凹吖型函数，对所有可能的周期解给出先验估计，再利用s c h a e f e r 不动点定 理得到周期解的存在性，然后，获得周期解的稳定性与以往的耗散理论相比，这 种技巧的好处在于仅要求所有可能的周期解一致有界，并不像般耗散理论那样要 求所有解一致有界同时。我们对概周期解的存在性和稳定性也进行了相应讨论 2 1 引言 我们研究如下带时滞和阻尼的s l n e - g o r d o n 方程的时间周期解的存在住和稳定 伊，。、 否石“【，叫 丢心一皆0 动一，e 廿砷丽0 u 帕 + 卢s i n ( t ( f ，z ) ) + g ( t ，曲，0 0 其中0 0n t s z 。a ( o ，1 ) 令口( f ，动= 袅“o ，卫) ，戎 们定义线性( 无界) 算子a 如下- a ( ：) ；( 毒如) ，( ：) 。叫慨 这里掰= 唿2 ( o ，1 ) ，俨= 妒2 ( o 1 ) 对于任意叫一( ：) 驴c 。a 固x 驴c o ，；固，记。c t ，神= ( g 占，) ，我 们改写方程( 2 2 ，1 ) 成l 2 ( 0 ，1 ；固l 2 ( 0 ，1 ；脚中的抽象方程，即 t ，o ) = a w ( t ) + x 6 ( t ，恤) ( 2 2 2 ) 令 懦1 w l l x 兰嚣：鬻：+ 1 0 芝裟 仁2 【l= 8 u p ( 詹( 缱+ 俨) 如) 1 t l 、 则( x ，”岐) 是一个b a n a e h 空间 定理2 2 1 假设如下条件成立 存在d 0 使褥只要铆( 力是方程( z z e ) 的n 周期解甜某个a ( 0 ，1 ) 划有l i , o t l x 0 ，a 0 使得n p ( a ) 以及l i t f f ) l lso 对所有t 0 成立令 s ( t ) = t ( t ) e 一“，则i i s ( t ) l i c 对切t 0 成立因此 s ( t ) t 0 是有界强连续 第1 2 页 国防科学技术大学研究生院博士学位论文 半群，并且其无穷小生成元为a n ，根据等式盯( s ( 刀) = 洲 一叨【见【4 0 】，p 1 5 ， 定理1 8 】，我们知道1 隹口( s ( t ) ) 因此存在正数n 使得l i ( t s ( ) - 1 0 n 为了 证明本定理，接下来，我们先证明如下引理 引理2 2 2 定义l ：x x 为 一t h ，( d = s ( t 一8 ) p s ( 列- - 1 x o ( s ，伽( s ) ) + c 。硼( 8 ) 】幽， ，t - t 则l 在x 中的不动点 满足方程以2 动 证明对于任意的叫x ，因为 r t + t l w ( t + 刃= s ( t + t s ) i ，一s ( 刃】- - 1 队d ( 8 ，w c s ) ) + a c t i ，( s ) l d s j t ，t = s ( t r ) p s ( t ) 1 - 1 【a o ( r + t , w ( r + t ) ) + m 口( r + r ) l d , - j f t ，t = s ( t 一8 ) 【，一s ( t ) 】- - 1 协d o ，埘( s ) ) + 伽，( s ) 阳b = l c t ) ， 所以映射l 是确有定义的另方面，若w ( t ) 是映射l 的不动点，对切叫x ， 利用等式盖s ( t 如= ( a a j ) s ( t ) 叫，我们可知 丢加( t ) = 罢l ”( t ) = 【，一s ( 砷r 1 【a o ( t ，叫( t ) ) + n 加( t ) 】 一s ( 刁p s ( 印】一1 协c ( t z 叫( t 一印) + a w ( t t ) 】 + ( 一q ，) s ( t 一5 ) p s ( t ) 】一1 协o ( 毛叫( 8 ) ) + o 删( s ) 】6 b j t t = a w ( t ) + x d ( t ，伽( 力) 所以伽是方程( 2 2 2 ) 的解引理2 2 2 证毕 引理2 2 3 算子l 是x 中的紧算子 证明令e ( s ) ) = a 0 ( 焉叫( 5 ) ) + 倒，( s ) ，由假设( 2 ) 知e ( ) 连续从而，对于 任意的埘l ，耽x ，我们有 ，t l w , ( t ) 一上他( ) = s o 一8 ) p s ( 刃】- 1 陋1 ( s ) ) 一e ( t l j 2 ( s ) ) 】d s j t - t 这意味着 i i 厶以( t ) 一l w 2 ( t ) 0 础。印c t ns u p0 固h ( s ) ) 一e ( 地( s ) ) 0 瑶。s o 。 e 1 0 t i 因此e ( ) 的连续性蕴含了工是连续的 第1 3 页 国防科学技术大学研究生院博士学位论文 其次，我们证明l 将有界集映射为预紧集设b 是x 中的有界集并且记 m = s u p i c ( t ，( ) ) i 胛 ( t 一) p t q x 矗 因为c 将【o ，t j b 映射为有界集，从而有 l i l w l l x 开【s a pi c ( t ，t ( t ) ) 1 日o4 - 口网d t n m + a 明， ( t 舯) 【o ，t 1 x b 其中k 是集合b 的个上羿这就意味着l ( 功一致有界 另一方面，对于埘b 以及0 s t z 如t ，我们有 ，b 厶p ( 如) 一上删( 1 ) ；s ( t 2 一曲i ，一s ( 刃】一1 协d ( 5 ，删( 曲) + 口t | ，( 叫d s j 缸r ，翻 一s ( t l 一8 ) l ，一s ( t ) 1 1 【埘0 ，伽( 。) ) + a w ( s ) d s j “- t m = s ( t 2 一s ) 【，一s ( 即】- - 1 【a 0 ( s ，叫( 8 ) ) 4 - o 删( s ) 】幽 j t i r t z - - t 一s ( 1 8 ) p s ( 印】- 1 【地0 ，叫( 。) ) 4 - c 哪( s ) 】幽 j t l - t 帕 + 眵( 如一以) 一刀烈“一曲p 一酬2 明- - i 盼0 ( s ，埘( s ) ) + 8 埘( s ) 1 d ， j 虹一r 由于l i i “，s ( 如一t z ) w = 叫对切伽x 成立。且 一口j 为x 上的有界线性 算子，所以该极限的收敛在x 任何有界集上为一致的【7 4 】因此。当t 2 一t z 时。 b 走右端关于埘b 致地趋于零这说明三( b ) 是等度连续的 由a s c o l i 引理，l ( b ) 为预紧集。引理2 2 3 证毕 注意到定理中的假设( 1 ) ，我们知道集合 z x ：z = a l x ，对某个a ( 0 ，1 ) 有界据引理2 2 2 ，