（应用数学专业论文）关于强半正则极大空间与lf几乎强f紧性的研究.pdf

内蒙吉褥熬丈学硬士学位论文 中文摘要 本文的主要工作是：首先，引入了强半正则空间的概念，研究了第一 可数t ：强半正则一极大空间的等价性：其次，将分明拓扑空间中几乎紧性 的概念及其重要性质推广到三一f u z z y 拓扑空间中具体内容如下： 王。在分明拓扑空间中引入强半正则空闻的概念，研究了第一可数善： 强半正则一极大空间的等价条件，即证明了 若x 是第一可数，l i ：强半正则空间，则以下各条等价： ( 1 ) x 是第一可数强半正则一极大空间： ( 2 ) x 是第一可数强半正则一极小空间： ( 3 ) x 是第一可数强半正则一闭空间： ( 4 ) x 中每个有唯一聚点的可数开滤子基收敛于该聚点： ( 5 ) x 是弱紧空间 2 在一f u z z y 拓扑空闻中给出了网的0 一聚点的概念，在此基础上， 引入l f u z z y 拓扑空间中的几乎强，紧性，并从层次结构入手给出了几 乎强f 紧性的覆盖式刻画与其他等价刻划，同时还证明了几乎强f 紧性是 几乎紧性的一好的推广，讨论了它具有有限可和性、在连续满的值 z a d e h 型函数下的不变性等性质，并将分明拓扑空间中几乎紧性的重要结 果推广到五一f u z z y 拓扑空间中 关键词：强半正则空间，强半正则一极大空间，弱紧空间，搿一网，0 一 聚点，几乎强f 紧空间 内蒙古师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , o u rm a j o rc o n c e r ni st oi n t r o d u c ean e wd e f i n i t i o nc a l l e d s t r o n gs e m i r e g u l a rs p a c ea n da l s os o m ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n so ft h ef i r s t c o u n t a b l e gs e m ir e g u l a r 1 w i t h i nt h e g eo fgeneralcountable 12s t r o n gs e - r e g u l a rm a x i m a ls o a c e sw i t h i nt h er a n g eg e n e t o p o l o g ya r es t u d i e d i na d d i t i o n ，t h ec o n c e p to fa l m o s tc o m p a c t n e s ss p a c ei n g e n e r a lt o p o l o g ya n di t si m p o r t a n tp r o p e r t i e sa r eg e n e r l i z e d t o 三f u z z y t o p o l o g i c a ls p a c e s t h ep r i m a r ys t u d i e sa r et h ef o l l o w i n g ： 1 i n g e n e r a lt o p o l o g y , w eg i v e an e wd e f i n i t i o nc a l l e d s t r o n g s e m i r e g u l a rs p a c ea n da l s os o m ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n so ft h ef i r s tc o u n t a b l e t 2s t r o n gs e m i r e g u l a rm a x i m a ls p a c ea res t u d i e d a tl a s t ，i ti sp r o v e dt h a ti f xi st h ef i r s tc o u n t a b l et 2 s t r o n gs e m i r e g u l a rs p a c e s ，t h e nt h ef o l l o w i n g c o n d i t i o n sa r ee q u i v a l e n t ( 1 ) xi st h ef i r s tc o u n t a b l et 2s t r o n gs e m i r e g u l a rm a x i m a ls p a c e s ； ( 2 ) i st h ef i r s tc o u n t a b l e1 2s t r o n gs e m i r e g u l a rm i n i m a ls p a c e s ； ( 3 ) xi st h ef i r s tc o u n t a b l et 2s t r o n gs e m i r e g u l a rc l o s e ds p a c e s ； ( 4 ) e v e r yc o u n t a b l eo p e nf i l t e rb a s ew h i c hh a sa no n l ya c c u m u l a t i o n p o i n ti nxi sc o n v e r g e n tt ot h ea c c u m u l a t i o np o i n t ； ( 5 ) xi st h ef i r s tc o u n t a b l et 2f e e b l yc o m p a c t n e s ss t r o n gs i m e r e g u l a r s p a c e s 。 2 i n 上一f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e s ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p t so f o - c o n v e r g e n c e 如ra na - n e ta n da l m o s ts t r o n gf c o m p a c t n e s s a n dg i v e v a r i o u sc h a r a c t e r i z a t i o n so fa l m o s ts t r o n g f c o m p a c t n e s s ，w ep r o v ea l m o s t 双r o n gf 。c o m p a c t n e s sp o s s e s s e st h ep r o p e r t i e ss u 曲a sf i n i t es u m ，c a l lb e p r e s e r v e du n d e rc o n t i n i o u sf u l l 五一z a d e hf u n c t i o n sa n ds oo n i sa g o o d e x t e n s i o no fa l m o s t c o m p a c t n e s s f i n a l l y , s o m ei m p o r t a n tr e s u l t so f c o m p a c t n e s sa r eg e n e r l i z e dt ol - f u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e s 内蒙古师范大学硕士学位论文 k e yw o r d s ：s t r o n gs e m i r e g u l a rs p a c e ，s t r o n gs e m i - r e g u l a rm a x i m a l s p a c e s ，f e e b l yc o m p a c t n e s s ，a - n e t ，o - a c c u m u l a t i o np o i n t , a l m o s ts t r o n gf - - c o m p a c t n e s ss p a c e 独创性声明 本入声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他入已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示感谢。 签名：日期：年月日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学位 论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阗，可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本入电子文档的内容 和纸质论文的内容相一致。 耥群嗡产嬲靴规定。导臌郫黝 签名：7 素l 咖覆导师签名州蚴俐 日期： 坼年名月- 日 繁一章雩l 害 第一章引言 拓扑学是现代数学的一个重要分支，是现代数学各个分支的共同基础二十世纪 以来，据羚学还渗透捌心理学，诗算机科学、纯学、物理学等各个学科领域二十世 纪下半叶，拓扑学在经济学、社会科学中也得到了广泛的应用，好几位经济学者因此 焉获褥诺贝尔奖。 一般拓扑学是拓扑学的基础，其发展有相当长的历史在一般拓扑学的发展中各 种空间的极大性是一个重要的研究领域有许多学者从事着这一领域的研究，如，1 9 6 2 年，m a u e l p b e r r l 提出了极大正则拓扑空间的概念，并用拓扑空间中的每个具有唯 一聚点的正则滤予基的收敛性及其聚点的存在性刻画了极大正则空间：1 9 6 3 年，m p b e r r i 乜1 研究拓扑空间的极大性时，提出了极大c h 空间和c h 闭空间的概 念：1 9 6 6 年，c t s c a r b o r o u g h 溺中提出弱紧空闻的概念：1 9 6 9 年，r m s t e n - p h e n s o n j r 们提出了第一可数极大拓扑空间的概念：1 9 7 1 年，他晦1 又研究了第一可数h a u s d o r f f 极大拓羚空阀：在1 9 7 6 年后，l l h e r r i g t o n 和j ej o s e 曲阳1 等对翻极大空间和 c h 闭性进行了研究：1 9 9 3 年，王延庚n 们研究第一可数弱难则空间的闭扩充时，引入了 第一可数弱正则极大空闻：2 0 0 1 年，杨建新秘蟪用余零集引入硼滤基和完全正则化拓 扑，并用c h 滤基对极大c h 空间作了本质的刻划，揭示了极大c h 空间与极大t y c h o n o f f 空阕，紧空间昀关系；2 0 0 2 年，刘林平秘2 1 证臻了第一可数五半正购一极大空间的等价 性 本文在上述工作麴基础上，研究了第一可数五强半燕则极大空闯的等价性，褥到 以下结果： 设x 楚第一可数墨强半爱则空间，则以下各条相互等价： ( 】)x 是第一可数强半正则一极小空间： ( 2 ) x 是第一诳数强半正购一极大空闻： ( 3 )x 是第一可数强半距则一闭空间： ( 4 )x 中每个肖唯一聚点的可数开滤子基收敛子该聚点： ( 5 ) x 是弱紧空间 内蒙吉卿范大学硕士学位论文 随着模糊数学的产生，拓扑学的发展又进入一个新的阶段1 9 6 5 年，美国著名的 控制论专家l 。a z a d e h n 嬲教授提出了模糊集合的概念，推广了分骧集：1 9 6 8 年，c l c h a n gm 1 以z a d e h 的f u z z y 集合论为基础，提出模糊拓扑学的概念( 即 三一f u z z y 拓扑学) 。作为一般拓扑学的推广，由于三一f u z z y 拓扑空间更多的层次结 构，致使l f u z z y 拓扑学的研究更加复杂化就其模糊紧性而言，远比一般拓扑学中 的紧性复杂，表现形式多种多样、异彩纷呈! 国内外学者对此进行了一系列的研究，在 国内尤以王国俊教授n 研和刘应明日6 1 教授为首的学者们工作最为出色，成绩突出 到尽前为止，在l 一脚拓扑空闻上已经定义了良紧性，强罗紧性，罗紧性，超 f 紧性等不同的紧性随后，文 1 7 2 5 分别给出了弱予良紧性，强f 紧性，紧性的 各种不同繁性的概念并研究了它们的性质。 在上述工作的基础上，本文第二部分提出了一种弱予强f 紧性的紧性概念一几乎 强f 紧性，研究了它的性质，并将分明拓扑空间中几乎紧性的些重要结果推广到 l 脚拓扑空间中 2 第二毒第一霹数我强半歪瓣一极大窆霹的等徐性 第二章第一可数t 2 强半正则一极大空间的等价性 本章第一节简要介绍阅读本文所需的一般拓扑空间中的一些基础知识第二节讨 论了一般拓扑空闻中强半开集的重要性质第三节提出了强半正燹| j 空闻的概念，并研 究了第一可数t 。强半正则一极大空间的等价条件 2 1 预备知识 如果空阆x 圊脎子空闻y 的一个子空闻，剡稼x 可嵌入到y 中：如果空间石同艇 于空间】，的一个稠密子空间，则称y 是x 的一个扩充，若还有y 喾x ，则称】，是x 的真 扩充：设尹表示某种拓扑性质，一个p 一空闻x 称为尹一极大的，如票不存在p 一空 间y 是x 的真扩充：一个p 一空间( x ，r ) 称为p 一极小的，如果不存在z 上严格弱于 ? 的尹一拓扑：一个夕一空闭x 称为夕一闭的，如果x 嵌入到任何尹一空闻y 时，x 都 是】，的闭子空间 定义2 1 1 嘲设( x ，f ) 是拓扑空间，acx ( 1 ) 彳称为半开集，如果存在开集g ，使gcacc t ( g ) ： i n t 嚣( “) = u b ：bca ，霆是强半开集 ： ( 2 ) c 0 ( 爿) = n b ：acb ，b 是强半闭集) 3 内蒙吉师范大学殒士学位论文 i n t 口( 彳) ，c 乞( 爿) 分别称为a 的强半内部和强半闭包 、引理2 1 。l 啪1 设( x ，f ) 是拓扑空间，ac 茗，则么是强半开集 ac i n t ( c l ( i n t ( a ) ) ) 引理2 1 2 洲设( x ，f ) 是拓扑空间，么，g ，fc x ，且g 是开集，f 是闭集，则下面 两个公式成立：g n a c ( g n 彳) 一，( a u f ) oc a 8u f 引理2 1 3 嘲设( x ，f ) 是拓扑空间，acx ，则 或( 彳) = x i n t ，( x 彳) ；i n t ，( 彳) = x c t ( x 彳) 引理2 1 4 设( x ，f ) 是拓扑空间，acx ，则彳是强半开集存在x 中开集 侥使ocacc ( 研 引理2 1 5 嘲设( 置f ) 是拓扑空间， y 是x 的开子空间，acy ，则 砖r ( 么) = 叱( a ) n x 引刨2 1 6 汹3 设( x ，f ) 是拓扑空间，ac 并，则 ( 1 ) 名是强半开集营a = i n t 。( _ ) ：a 是强半闭集a = 吒( 么) ： ( 2 ) c l ( i n t ( a ) ) 端c l ( i n t 嚣( 么) ) ：i n t ( c 乞( 彳) ) = i n t ( c l ( a ) ) ： ( 3 ) i n t ( a ) c 洒( 圆cac ( 1 0c 斌毋： ( 4 ) m t ( a ) = i n t ( i n t 。( 爿) ) = i n t 。( i n t ( a ) ) ；c i ( a ) = c l ( c 1 ( a ) ) = d 二( d ( 彳) ) ： ( 5 ) 吒毋是强半闭集却吐，敞( 么) ) = 蛾) ： ( 6 ) a 是强半开集营z 彳是强半闭集：a 是强半闭集x 彳是强半开集 ( 7 ) 叱) = x i n t 。( 菇蠢) ；i n t 尉么= x 吃( x 么) 定义2 1 5 嘲设x 是一个空间，俨c e ( x ) ( 1 ) 称擎是x 上的一个滤子参合子 ( f 1 ) 若f a ，且a 仨纸 ( 爹2 ) 若么，b q - , 购蠢n b 爨 ( 俨3 ) 若a 瞩且acbcx ，则be 呒 ( 2 ) 称爹是x 上的一个可数滤予，如果爹为可数集族：称爹是x 上的一个开滤子， 如果俨是空自j x 中的开集族 ( 3 ) 设爹是x 上的一个滤子，集l i m 爹= 缸x ：x ) c 寥，瑟q 爹的极限集，它的 每个元x 叫f 的一个极限也记f _ x ，称俨收敛于石 集a d h 磐= n a ：a 砖瓣qf 的附帖集。它的每个元叫擎的一个聚点 ( 4 ) x a d h q r v a 于，x a v a f ，v u ( x ) ，una o 第二章筹一可数b 强拳歪剐一援大空阕魏等价性 ( 5 ) 称b c p ( x ) 是石上的一个滤子基，如果僻合于掣l ，f 2 定义2 羔。6 阻1 设( x ，f ) 是拓羚空闻，圆是x 上的一个滤子基，剃 f = 矿cx ：v a 暇f3a ) 是x 上的滤子这时我们称伊是e b 谚生成的滤子 弓 理2 薹。7 t s l 3 设( x ，f ) 是拓扑空闻，x 置缨是石上的一个滤予基，爹是由痿生成 的滤子，则 ( 1 ) 磐- - - x 万一x 。 ( 2 ) x 是毋的聚点x 是于的聚点 定义2 1 。7 1 3 3 空闻盖称为弱紧的，如果x 中每个可数开滤子基都有聚点：acx 称为弱紧子集，如果a 作为子空间是弱紧的 引理2 。重8 m 1 第一可数、e 空间中的弱紧予集是闭集 2 2 拓扑空间中强半子集的重要性质 定理2 2 。l 设( x ，f ) 是拓扑空阂，艿，acx ，g 为x 中开集，罗为x 中闭集，奚l j ( 1 ) 开集与半开集的交为半开集：闭集与半闭集的并为半闭集： ( 2 ) 强半开集与强半开集的交为强半开集：特别地，汗集与强半开集的交为强半 开集：闭集与强半闭集的并为强半闭集： 3 ) g n c t 盖) o 吐( a n 么) ：i n t ，( f u 君) of u i n t ，艿) ： ( 4 ) a n c l ( a ) cc t , , ( a n 彳) ：i n t 蚶( f u b ) cf u i n t 盯( 曰) ： ( 5 ) c 1 ( a u 鳓= 吃么 u 畋动。 证明( 1 ) 设g 为x 中开集，d 是x 中的半开集，由定义2 1 1 ，存在开集 e 使ccb c c i ( c ) ，由引理2 。1 2 ，则gn c c g n dc g n c t ( c ) cc i ( gnc ，又 g n c 为开集，由定义2 1 1 ，故g n d 是x 中的半开集： 类似可涯明闭集与半闭集的并为半闭集。 ( 2 ) 设c ，d 是x 中的两个强半开集，由引理2 1 1 ，ccc 洲，dcd ，由引理 2 1 。2 ，c n d cpn d o - o = ( 矿n d p ) o = ( 产n 矿 oc 一n d o ) 。0 c ( c o - nd o ) _ oc ( c ond o ) 卅= ( c n 鼢) o - o ，再凼引理2 1 1 ，所以c nd 是强半开 集 类似可证明闭集与强半闭集的并为强半闭集 s 内蒙吉师范大学磺士学位论文 ( 3 ) 任意x gr 、吐( 爿) ，x g r x e l , ( 彳) ，故对工的任意半开邻域u ，u 厂、彳喾a ， 豳( 1 ) ，u ng 是x 中的半开集，又x u ng ，即ng 是x 的半开邻域，所以 ( u n g ) na = un ( g n 爿) 筘从而x 毯吐( 6 n 彳) ，即g n c t , ( 一) ce l , ( g n 彳) 另一方蘧，因为f 为j 中的闭集，故石f 为x 中的开集，所以 “x f ) r 、吐( x 艿) ) c 吐“x d n ( x 曰) ) ，再由引理2 1 3 ， 触，( f u 艿) = x 吐( x ( f u 雪) ) = 并c ( ( x ，) 厂、( x 雪) ) c x “，) r 、e l , ( x 曰”拦，u ( x 吐嚣) = f u i n t ，( 霹) ( 4 ) 任意x g n c 乞( 么) ，x g 凰比( 彳) ，由文 2 8 有，对x 的任意强半开邻域 ，una 筘g ，由( 2 ) ，u n g 是x 中的强半开集，又x u ng ，即汐ng 是x 的强半开 邻域，故( u 厂、g ) 厂、彳= u n ( gn 彳) a ，x 叱( g n 彳) ，即g n c 屯( 彳) c 叱( g 厂、彳) ： 另一方面，因为f 为x 中的闭集，放菇f 为x 中的歼集，所 ；乏 “x f ) ，、叱( x 露) ) c 吮( ( x f ) n ( x 曰) ) ，再由引理2 1 6 ， 妇嚣( f u 动= x 、峨( x 、( f u 雪) = x 、比x 、毋八( x 鑫) ) c x ( ( x f ) n 吒( x 助= f u ( x c 乞( x 曰) ) = f u i n t 材( 曰) ( 5 ) 显然有蛾( 国u 吃( 功c 吒似u 国。 另一方面，任意x c 匕( a ub ) ，若工叠c l n ( 爿) ，工碾c 匕( 曰) ，则存在x 的强半邻域 u l ，u 2 ，使qn a = 势，u 2n 艿= g ，所以姒八拶2 ) c 、( a u b ) = g ，与x 吒( 么u 固矛盾， 所以z 叱( 彳) ，敷比( 曰) ，即叱( 爿ub ) c 比( 彳) u 比( 曰) 证毕 定理2 2 2 设( 以f ) 是拓扑空闯，x 是y 的开子空闽，则 ( 1 ) 并中的半开集是l ，中的半开集：x 中的半闭集是y 中的半闭集： ( 2 ) x 中的强半开集是y 中的强半开集：x 中的强半闭集是y 中的强半阈集： ( 3 ) ac x ，则叱( 彳) = c , ，( 彳) nx ，耐( 彳) = 吒y ( 彳) nx ： ( 设a 是y 中半开集，剜a 八x 是x 巾半开集：a 是y 中半闭集，刘an x 是 疋中半闭集： ( 5 ) 设a 是y 中强半开集，剩a 八x 是x 中强半汗集：a 是y 中强半闭集，则 彳r 、x 是x 中强半闭集 证明( 1 ) 设acx ，a 是x 中的半开集，由定义2 。1 。1 ，存在开集c c 置使 c cac c l x ( c ) ，因x 是y 的开子空间，c 是y 中的开集，又c l x ( c ) = c l r ( or 、x ，所以 峨回cc l r o ，敖cc ac c l y c ) ，即a 是y 中的半开集。 6 第二睾第一可数您强半正雯孽一极大空同静等徐性 ( 2 ) 设acx ，a 是x 中的强半开集，由引理2 1 4 ，存在开集c 置使 ccac 如o ，由葶| 理2 。 。麓如( o = c t , ，r ( o n x ，故如( 6 3 譬吐y c ) ，又x 是y 的 开子空间，所以c 是l ，的开集即存在】，中的开集，使cc a c 7 吐】，( o ，由引理 2 1 4 ，a 是x 中的强半开集。 ( 3 ) 由引理2 1 5 ，叱( 爿) = c ，y ( a ) n x 另一方蔼，由文【2 8 ，只嚣证明对任意x 毫叱( 么) ，y 中茗的任意强半开邻域， 则有u ! na a ，即可 因为y 中x 的任意强半开邻域矽：，有u ；是y 中的强半开集，由x 是y 的开子空 间，由( 2 ) ，故碟n 并是x 中的强半开集，且x 广、x ，由x 耐( 彳) cx ，所以 g 奠c 、x ) n a g ，y acx ，即( u in x ) na = 秽；na 雾痧，所以x g d 二y ( 么) ，又工ex ， 故x c o y ( a ) n x 相反的包含关系证明类似，所以叱即) = 蛾y 么) x ( 4 ) 由 3 5 知 ( 5 ) 设acx ，a 是y 中的强半开集，由引理2 1 4 ，存在开集c cy ，使 ccac 吒y ( c ) ，又x 是y 的开予空间，故c n x 是y 中的开集，所以 c n xca n xc 以y ( c ) n 爿，由( 3 ) ，叱( c ) = 吐r ( on x ，故 c 厂、石c 7 a n x c 7 如( o ，又c cy ，如( o = 叱( c n x ) ，由弓l 理2 1 4 ，a n x 是 x 中的强半开集 对偶可证：( 1 ) ，( 2 ) ，( 4 ) ，( 5 ) 中当a 是半闭集( 强半闭集) 的情况 2 。3 强半正则一极大空间的等价条件 定义2 3 1 拓扑空间z 称为强半派则空间，如果对任意的开集u ，v 善u ，都存 在强半开集矿，使x 懋yc 丸( 矿) cu 命题2 3 1 设( x ，f ) 是拓扑空间，则 ( x ，f ) 是正则空间j ( x ，f ) 是强半正则空闻j ( x ，f ) 是半正则空间 证明略 定理2 3 。lp 一闭空闻一定是p 一极大空问，且当p 是 l l 遗传性质时，p 一极 大空问也是p 一闭空间 证明1 ) p 一闭空间一定是p 一极大空间 7 内蒙古师范大学硕士学位论文 反证，设x 是尸一闭空间，若x 不是p 一极大空间，则存在p 一空间】，】，是x 的真扩充，从而匾 ，如此递推下去， 可知v n 存在一列强半开集 饼) 。使 而鳞“ci n t ( c l ( q ；“) ) c 比( 群“) ci n t ( c l ( q ：) ) c 吃磷) c4 ，vk n 成立 vk n ，令吒= vi n t ( c l ( q ：, ) ) ，则可数开集族 圪) 。具有如下性质： 1 ) 瓴，+ l ， c 砭，从藤g ： 2 ) vk n ， i n t ( c l ( q ：) ) ) 。是局部有限族，从而推出d ( 圪) = uc l ( i n t ( c l ( q k ) ) ) ， 1 1 - - - - i r 及峨( 一u 吨( i n t ( c l ( q ：) ) ) ，攻( 致+ l c 以： 厅= i n t ( c l ( q ：) ) 艟是局部有限族的证明如下： 因为锨x ，苫爨q ，c t ( a ) ，故存在n o 般u ( d ( 这举砖表示x 的邻域 系) ，使u n 以。= a ，5 ( i n t ( c l ( q ：o ) ) c4 。，所以i n t ( c l ( q ：o ) ) n u = 掰，对v n n o ，4c 氐， 8 第二章第一霹数电强半歪粼一梭大空阕黪嬉馀性 从而4nu 罱a ，又i n t ( c ，( 饼”c 以，故i n t ( c ( q ：) ) r 、u = o ，即c ，只与 i n t ( c ( q ：) ) ) 。中 的有限个元相交。 3 ) vk n ，蚝c4 ，从而q c ，( k ) = a 取p 鬣x ，令y = x u p ，构造￥上的拓赫如下：v x x ，取x 在x 串的邻域基为 邻域基：对点p ，取“p u 圪：k n ) 为可数开邻域基( 不难验证它满足开邻域基的 条件) 显然y 是第一可数空闻，且x 是y 的稠密开子空闻下面证明 ( 1 ) 】，是五空间 魄，y 毯y , x 魏觏，y 芒x ，由x 的五分离性知x , y 在y 中有互不相交的邻域，此 外，对p 与坛x ，s q = n c ( v , ) 2 a ，故存在m 黜的邻域u 使u n 圪。- 0 ，从而 移n ( 吒u p ) = g ，帮x , p 在y 中有互不相交的邻域，综上证明了y 是互空闯 ( 2 ) y 是强半正则空间首先，验证在慨g x 处的强半正则性设u 是空间y 中 含菇的开集，刘矿n x 是x 中含石的开集，由n 钗砭) = o ，知存在x 中石的开邻域g 及 t t = l 某个k n ，使g n 圪- - 0 ，由x 是强半正则空间，存在x 中的强半开集0 ，使 茗0 ce 乞( 铆cg n ( u n x ) ( 这里乩( 铆表示d 在空间x 中的强半闭包，吒，( 研表示d 在空间y 中的强半闭包) 因为 p ) u k ) n g = g ，所呦彗c l , g ) ，故p 芒匾( 圆，略cx ， c i ( o ) = c # ( o ) n x = d d o ) ，引理2 1 6 ，叱，( d ) c 以( d ) ，所以p 黛叱y ( d ) ，又x 是】， 的开子空闻，定理2 2 2 ，d 是y 孛的强半开集，且吱( 回= 呔y ( 0 ) nx = 吃y d ) ， 故x o c 比y ( d ) cu 成立 其次，验证在p 点的强半正则性，设u 是y 中含p 的任意舞集，则存在k o n ，使 p ) u cu ，注意到c 乞y ( 略e + 1 ) cc 气( k 。+ 。) u p ) ，从而有 pg p u 吒q ) c 丸y 尹；u + 1 ) = p ；o 吱y ( 吒+ 1 ) c p ；u 攻氏+ t ) 由前面 圪) 。e 的性质2 ) ， p u c l 甜( r , d + 1 ) c p ) u 圪。c u 以上证明了y 是第一露数，不强警正剐空阕，确为x 酶真扩充，麸面x 不是第一 可数强半正则一极大空间，与假设矛盾 充分性。设z 是弱紧空闻，x 嵌入到任何第一霹数强半正剃空闻y 时，由引理 2 1 8 ，彳作为空间y 中的弱紧子集是闭集，即肖是y 的闭子空间，从而x 是第一可数 强半燕则闭空闻，嘲定理2 3 。l ，x 是第一可数强半正则一极大空闯，证毕。 9 内蒙古师范大学硕士学位论文 定理2 3 3 设( x ，丁) 是第一可数强半难则空间，则x 是第一可数强半正则一极 小空闻的充分必要条件是石中每一令有唯一聚点p 的可数开滤子基必收敛于p j 证明必要性设( 置n 是第一可数强半正则一极小空间，l 俐是x 中具有唯 一聚点p 的可数开滤子基，仍设434 + i ，且有q ，d ( 以) = p ) ，由x 的强半正则性， 可设 q 。藏是点p 的一个单调下降的可数开邻域基，且吒( q + ) cq ( g ) 。的构造如下：设 氓) 蜒是点p 的一个单调下降的可数开邻域基，p u ， 由x 的强半正则性，存在强半开集q ，使p qc 吒( q ) c 配，由弓| 理1 1 1 及引理 2 1 6 ，p o lci n t ( c l ( i n t ( 0 1 ) ) ) ci n t ( c l ( o j ) ) = i n t ( c l u ( o i ) ) cd 嚣t o , ) c 弘 令g 然i n t ( c l ( o i ) ) ，贝i j p 感q ，所以p gn ，再由x 的强半正则性，又存在强半 开集q ，使 p qci n t ( c ( i n t ( 0 2 ) ) ) ci n t ( c l ( 0 2 ) = i n t ( c l ，, ( 0 2 ) ) c 0 ( q c 八q ， 令c 2 辫i n t ( c l ( 0 2 ) ) ，且有 吱( c 2 ) = c l 。, ( i n t ( c l ( 0 2 ) ) ) c 吃( 峨( 鹞) ) = d , a 0 2 ) c nqaq ，又pgc 2n ， 再由x 的强半正则性，如此继续下去，得到p 点的个单调下降的可数开集族 膏。，越畋( g + 1 ) cc ，注意到v n m 0c 吃，所以 g ；艟也是p 点的一个邻域 基) 反证，若 a n 删不收敛予尹，则有n o n ，使气不包含任何4 ，不妨设岛= 薹，即 q 不包含任何4 - 故。4 qc 以叱( c 2 ) ，则i n t ( 以吃( g ) ) g ， ( 因隽4 、峻g = i t , n x 攻( g ) ) ，4 为开集，等| 理2 量。6 ，x 、吃( g ) 是强 半开集，由定理2 2 1 ，4 c 气( c 2 ) 是强半开集，由引理2 1 1 ， 4 、蛾( g ) ci m ( c l ( i n t ( a , 、畋( q 羚) ，如果i n t ( a , 、丸( q 势= g ，则必有 以c 乞( c 2 ) = a ，矛盾) 任取扳i n t ( a 。吃( g ) ) ci t , 啦g ) c4 g ，由x 的强半正则性及定理 2 3 2 证明中相同的作法，可知v 刀n ，存在可数的强半开集族 饼 。满足： 而i n t ( c l ( q ：“) ) c 畋( 娥“) ci n t ( c l ( q ：) ) c 攻饼) c 嗽名吃g ) ) c 4 叱( g ) c 以c 2c4 v k ，令= 。u ：。i n t ( c l ( q ：) ) ，与定理2 3 2 的证明一样，硪知开集族 糖撑具 有如下性质： 1 ) 藏，+ l 专c 致，默而以g ： 2 ) v k n ，c 气( 圪+ i ) c 吒： 1 0 繁二章第一可数您强半正受l 一撅丈空间魏镰徐性 3 ) vk 仨n ，圪c 4 岛，从而q c ，( 圪) = 珏 一t 莺 ( 因为v k n ，qn 砭= l o ，故p 当c l ( v , ) ，又因q c 强圪) cq 烈4 ) = ) ) 构造x 上另一个拓扑f 如下： 当x p 时，取x 在拓扑z 下的一个可数开邻域基为邻域基：对p 点，以 go r , ：k 姣册为可数开邻域基， 易证f 是第一可数拓扑，以下证明： 1 ) r 是五分离的事实上，对j 中不同于的任意两点x 与y ，由r 的五分离性， 知它们在拓扑f 下是邻域分离的：对任一工p ，由t 的艺分离性及q c 强k ) = g ，知存 在点x 的开邻域q ，q 嫩，乞毯，使q ，、= ，0 2n 攻，= 1 2 1 ， 取k o = m a x 编，如) ，o = q n q ，则o 是x 的汗邻域，r o n ( 吒。u q 。) = 掰，即在r 下，x 与p 邻域分离 2 ) f 严格弱于r ，事实土，fc t 是显然的：其次，因为v k 琶n ，圪c4 岛，故 岛不包含任何吆，也就不包含任何qu 圪，从而p 在r 下的开邻域c 2 在拓扑f 下不 是p 豹邻域，即ggt 但gg 六 3 ) f 是强半正则的 只需验证在每个点x p 处及p 点处的强半正则性对点x 喾p ，设u 是含x 的任 意r 一开集，从而也是r 下含x 的开集，由n ，d ( r k ) = a 及x 是互分离的，与上述1 ) 同 理露证，存在含点x 的歹一开集g 及gn ，使gnk - - - o ，gng 。= 珏，由t 鲍强半聂 则性，存在x 在2 1 下的强半开集矿，使爿好vc 吒r ( 矿) cgnu c u( 幸) r f l ( r , 0 气) cgn u 气) = ，所以矽诺c u o ，p 彗略y ，故 c ( y ) = c t , ( 矿) 下面证明：y 也是拓扑f 下的强半开集，且吒，( 矿) = 比r ( y ) 不妨令x 办勰y ，剐y 既是( 菇，歹) 的开子空闻，又是( 置爹) 的舞予空阗，即 ( 】，zi y ) = ( y ，fi ，) ，又p 正坼( 矿) ，故vcx p ) 嚣y ，v 是( 疋，d 中的强半开集，从而 是予空间y 中的强半开集，爵出定理2 。2 2 ，v 是( 置f ) 中的强半开集。另一方面，蠢 p 簪c ( 矿) 茹坼( 矿) ，故p 萑比，( y ) ，p 薯c t r ( 矿) ，于是c 乙y ( y ) = 吒，( y ) ny c 乞，( 矿) ， 同理吃，y = f y ) ，所以吒，y = 吃f ( 玢，赦由搴) 式，知存在x ，f ) 中强半开集y ， 使x vc c , l ，( y ) cgn u cu 内蒙古9 i l i 范大学硕士学位论文 其次，检验f 在p 点的强半正则性，对x 中含p 的任意歼集矿，则存在某个 k 芒n ，使以u 。qcu ，因为v k qn 砭端g ，所咖霉略( 圪) ，从而p 磋吒f ( 玖十1 ) ， 由定理2 2 3 ，c 屯r ( 圪+ ) = 吃r ( 吒+ 。) n 】，= c 气r ( 圪+ 。) ，吃y ( + 1 ) 端c 乞，( k + 1 ) n y ， 吃，( k + ，) c 峨y ( k + 1 ) u p ) = 吃f ( 玖+ 1 ) up 这里y 的意义如上 另一方面，v k 联n ，由于p q ，锄= q + l 仞 ，贝她cy ，由定理2 2 1 及定理 2 2 3 ，吃y ( 月) u p ) = 蚊，( 么) u p ) = 噍，( 彳u p ) ) = 吒，( g + ，) ，同理 c o r ( 么) u 仞 = 吒r ( q + ，于是吒，( g + 。) = 吒r ( g + 。) ，由定理2 2 1 及p 毯吮r ( g + 。) ， 所以 呔，( 圪+ uq + 1 ) = 吒，( 圪+ 。) uc t , ，( g + 1 ) c 吮r ( 吒+ 1 ) u 瓯r ( g + 。 u 伽 = 比r ( k + ，) u 吃r ( g + ，) 又由前面所证的 匕 。性质2 ) 有 p 蒜( 以+ iu g + i ) c 吼，( 圪+ lu q + i ) = 叱r ( 圪+ 1 ) u c 屯r ( c k + 1 ) c 圪1 3 qcu 注意圪+ 。u0 + ；是拓扑f 下的开集，从两也是f 下的强半开集 以上证明了f 是严格弱予r 的第一可数，霸强半正则拓扑，与r 的极小性矛盾， 从丽 毛 。w 收敛于p 充分性设f 是x 上另一个第一可数，嚣强半正则拓扑，且fc t ，我们证明 事= r ，即r 是x 上第一可数强半正则极小拓扑。 对任意x x ，以c ( 工) 和g ( 工) 分别表示x 在f 下与r 下的可数开邻域基，则c ( 是( 盖，? 审的可数开滤子基，由五分离性知，x 是e 力在? 下的唯一聚点，由题设 q ( 砷在r 下收敛于x ，即对v u g ( x ) ，总存在y c ( x ) ，使矿cu ，从而c ( x ) 与 o 菇) 等徐，即f = t 。 定理2 3 4x 是第一可数强半正则一极大空间的充分必要条件是爿为第一可数 强半正则一极小空闻。 证明必要性设x 是第一可数强半正则一极大空间反证，若x 不是第一可数 强半正则”极小空闻，由定理2 3 3 ，x 中有一可数开滤子基b 篇 磊；。髫有唯一聚点 p ，但不收敛于p ，不失一般性，仍设434 + 。，且q ，c ，( 以) = p ，令 c ( p ) = q ：t l i v ) 表示点p 的单调下降的可数开邻域基，且畋( c + ，) c 7 q ，因艿不收 敛于p ，故有c ( p ) 中元，不妨设为c l ，使q 不包含任何以，故。誊4 qc4 c 乞( g ) ， 网定理2 3 。3 中证明一样，可知i n t ( a 螺( c 2 ) ) g ，任取i n t ( a 畋( g ) ) ，则 1 2 第二章第一虿数叛强半芷剜一极大空目熬簿徐毪 i n t ( a 。c 乞( c 2 ) ) ca 吨( c 2 ) c4 i c 2 ，由x 的强半正则性，可知v n n ，存 在可数豹强半开集族 甾；。毛满足： 矗i n t ( c l ( q ：+ 1 ) ) cc k ( 饼+ 1 ) ci n t ( c l ( q ：) ) cc 乞( 饼) ci n t ( a 。c 乞( 岛) ) c 4 、哦( q ) c4 qc 篇 v k n ，令圪= u ) ) ，则得到单调下降的可数开集族 圪) 。满足： 毛吒_ ) c i n 4 t ( c l ( q q ：，且q 西( k ) cq 西( 4 ) = p 另一方面，因为有p 点的邻域g ，使姒，q 厂、砭= 0 ，故p 芒川圪) 于是 盆矗暇) 2 0 这说明x 中有可数牙滤子基 ，。无聚点，故x 不是弱紧空间由定理 2 3 1 ，x 不是第一可数强半正则一极大空间，与假设矛盾 充分性设x 是第一可数强半正则一极小空间反证，若x 不是第一可数强半正 则一极大空间由定理2 3 1 ，x 不是弱紧空间，故存在可数开滤予基 a 。 。毒。无聚点， 器n n e ne 王( 砧。g ，不失一般性，仍可设4 焉+ l | 任取点尹毯石，设联p ) = 乞：露研表 示点p 的单调下降的可数开邻域基，则b = eu 以：弗椰为x 中的可数开滤子基， 且盆西4u q ) = ，盆( 西磊) u 露(