（应用数学专业论文）几类风险投资激励模型的分析.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 风险投资的研究对经济的发展具有重要意义。本文利用稳定性和 动力系统有关知识，对风险投资的几类激励模型及风险多阶段投资稳 定性方面做了研究。 首先对风险投资中的委托代理理论，激励理论，及动力系统理论 等作了一些介绍。其次从风险投资家与风险企业家的委托代理关系出 发，改进了传统的委托一代理模型并进行讨论，通过构造哈密顿函数 分析得出最优解满足的条件，在对员工进行有效的激励前提下，保证 风险投资家与风险企业家的收益最大化。再次，将传统的拉姆齐消费 模型引入到多阶段风险投资中，建立了以获得经济利润最大化为目的 的多阶段投资决策模型，利用稳定性理论探讨了均衡解的存在性，讨 论均衡点处控制权分配的闯题。并对多阶段投资进行了拓展，利用随 机动力系统有关理论找到了满足投资系统的不动点表达式，对现实经 济活动有一定意义。最后对本文的主要研究工作作了简要总结，并展 望了将来的发展方向。 关键词：风险投资；委托代理；激励；投资系统模型；投资策略；稳 定性 江苏大学硕士学位论文 v e n t u r ei n v e s t m e n th a st h ev i t a ls i g n i f i c a n c et ot h ed e v e l o p m e n to f e c o n o m y i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，s e v e r a lk i n d so fv e n t u r ec a p i t a li n c e n t i v e m o d e l sa r er e s e a r c h e db ys t a b i l i t yt h e o r ya n dd y n a m i c a ls y s t e m st h e o r y f i r s t l y , t h i sp a p e rg i v e st h er e l e v a n tc o n c e p t sa b o u tv e n t u r ec a p i t a l a n dt h ec h a r a c t e r i z a t i o no ft h ep r i n c i p a l a g e n tp r o b l e mi nv e n t u r ec a p i t a l ， w h i c hi sp r e p a r e df o rt h en e x tc h a p t e r s e c o n d l y , f r o mt h ep r i n c i p a l - a g e n t t h e o r y , i th a si m p r o v e dt h et r a d i t i o n a lm o d e lo fp r i n c i p a l a g e n t a n d d i s c u s s e dt h em o d e l t h r o u g hc o n s t r u c tt h eh a m i l t o n i a nf u n c t i o nw ec a n o b t a i nt h ec o n d i t i o nw h i c ht h eo p t i m u ms o l u t i o nm e e t s c o n c l u s i o n so f t h i sp a r tc o u l dm a x i m i z et h ei n c o m eb e t w e e nv e n t u r ee n t r e p r e n e u ra n d v e n t u r ec a p i t a l i s t t h i r d l y , i th a ss t u d i e dm u l t i - s t a g ev e n t u r ei n v e s t m e n t ， b yd i s c u s s i n g t h ep r o b l e mo fr e p r o d u c t i o na n dc a p i t a l o p e r a t i n g i n v e s t m e n tf o rv e n t u r ee n t e r p r i s e s ，f r o mi n t r o d u c i n gat r a d i t i o n a l r a m s e ym o d e lt ov e n t u r ei n v e s t m e n t ，am u l t i p l es t a g ed e c i s i o nm o d e l i ss e t u p ，w h i c hm a x i m i z e st h et o t a lp r o f i to fv e n t u r ee n t e r p r i s ei n m u l t i p e r i o d s u s i n gt h es t a b i l i t yt h e o r y ，t h es o l u t i o ns t a b i l i t yo ft h e m o d e li si n v e s t i g a t e d ，a n di td i s c u s s e st h ed i s t r i b u t i o no fc o n t r o lr i g h ta t t h e e q u i l i b r i u mp o i n t s t h e n ，i ts t u d i e dt h ei n v e s t m e n ts y s t e mb y d y n a m i c a ls y s t e m st h e o r y , w h i c ho r i e n t e dm u l t i s t a g ev e n t u r ec a p i t a l 江苏大学硕士学位论文 i n v e s t m e n ta sb a c k g r o u n d f i x e dp o i n ti sf o u n da n di t ss t a b i l i t yi sp r o v e d f i n a l l y , is u m m a r i z e dt h ep a p e ra n dm a k er e l e v a n tr e c o m m e n d a t i o n s a n d p r o s p e c t s k e y w o r d s ：v e n t u r ei n v e s t m e n t ；p r i n c i p a l a g e n t ；i n c e n t i v e ；d y n a m i c m o d e lo fi n v e s t m e n ts y s t e m ；s t r a t e g yo fi n v e s t m e n t 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 学位论文作者签名： 训年，明, f f t 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密盯。 铂支群 l 指导教师签名：施卢弓 硼髫争1 ，月z 占日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中己注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：自，夏吁 日期：前年，弘月，日 江苏大学硕士学位论文 第一章前言 1 1 本课题的研究背景意义 风险投资( v e n t u r ec a p i t a l ) 在当今世界经济发展中起着举足轻重的作用。它通 过提高科技成果向生产力转化的速度和成功率，推动创业企业快速成长，进而带 动整个宏观经济的发展，可以说，风险投资是当今世界“经济增长的发动机，【。 我国的风险投资业起步于8 0 年代中期。9 0 年代后，随着大批国际风险投资基金 和公司涌入中国，在为刚起步的中国风险投资业注入新的资金的同时又带来了西 方全新的风险管理技术和规范化的风险运作机制，从而促进了我国风险投资业的 发展。时代赋予我国的风险投资以新的发展机遇，风险投资以其独特的运行机制 强力助推经济。因此，研究风险投资周期中交易阶段的投资策略的选择对现时我 国风险投资的实践发展具有十分重要的现实意义。 作为一种新的科学技术与金融相结合的投融资模式，风险投资以积极丌发 高科技产品的中小型高新技术企业为主要投融资对象，通过将分散的，愿为较高 收益承担较高风险的中小额资金聚集起来，形成实力雄厚的风险投资大机构，再 由风险投资机构将资金和管理投入到高科技企业，在项目成熟阶段出让或卖出 股份以获得1 5 2 5 左右的高资金增值率【2 】，然后将获得的收入投入到新的高 科技项目中去，以此来推动高科技产业不断发展。从理论上讲，虽然风险投资并 非一定要投向高科技产业，它同样可以投向传统产业。但在高新技术企业创建期 和成长期，风险投资的作用是不可替代的。 从风险投资者对高风险高回报的偏好以及高科技产业高成长性高风险的特 性来看，风险投资机制天生就是为高科技产业而设置的。风险资本已成为培育高 科技企业的主力，有9 0 的美国高科技企业是按照风险资本模式发展起来的，比 如数据设备公司、英特尔公司、微软公司等【3 】。它是以风险资本为载体包括风险 资本家、风险投资公司对风险企业的市场策划、管理咨询、投资理财等多方面的 集合投资，是金融创新和技术创新相结合的产物。风险投资的产生和发展是对传 统融资方式的一种变革，是资本市场中产生的一种新的制度安排。风险投资在过 去的二十年里得到了长足的发展，已经成为新创企业在初创阶段的一个主要的融 江苏大学硕士学位论丈 资方式和渠道。由于这些新兴企业，特别是高新技术企业，本身存在着收益的高 度不确定性和信息的高度不对称性，使得风险投资这种融资方式具有其独特的运 行机制。 我国的风险投资探索开始于早期成立的中国新技术创业投资公司，以后在一 些地方也陆续成立了十几家科技创业投资公司或者科技基金。以外资为基础的风 险投资基金也于9 0 年代开始进入我国。这些公司或基金虽对我国高新技术发展 作出了一定的贡献，但由于体制和机制上还存在不少问题，环境条件也不成熟， 难以真正按照风险投资的特点进行运作。有的主要经营信贷或信贷担保业务；有 的从事单项投资后无法蜕资；有的甚至违规经营，造成巨额亏损，导致亏损1 4 j 。 因此如何结合风险投资特点设计一套合理的投资契约，促进风险投资的f 常运 转，提高风险投资的成功率值得我们深入研究。 1 2 风险投资的研究现状及存在问题 我国风险投资由1 9 8 5 年的正式引入至今，发展大体跨越了两个阶段诊j ： 第一阶段，我国关于风险投资的研究偏重于对国外经验的介绍。上个世纪 9 0 年代中期，关于风险投资的研究成为我国学术领域中的热点，这一时期的研 究多注重于对国外风险资本的组织模式、政策和经验的介绍，代表学者有成恩危、 刘曼红、齐晓安等人。在这一阶段的术期，随着风险投资业在我国的深入发展， 对于国外经验的简单借鉴已经无法解决国内风险投资中存在的问题，有些学者针 对我国风险投资的实际需要，在介绍国外经验的基础上，对风险投资项目的评估 指标及模型进行了有益的探，如东南大学的尹淑娅在9 0 年代末期对美国t y e b j e e 和b r u n o 两位教授的评估模型作了修改，并用权重和概率相结合的方法对模型的 评估标准做出了量化，对我国风险投资评估的量化作了有意义的探索【6 】；同时 期，吉林工业大学的周乃敏做了类似的研究，他的研究侧重于风险投资公司运营 过程、风险投资公司如何选择项目等领域 7 1 。 第二阶段，随着风险投资对国内经济推动作用的显现，我国官、商、学界都 对风险投资业抱以巨大的关注，有关研究和专题会议也同渐增多，如吉林大学管 理学院、清华大学经济管理学院开展了有关课题研究，成思危主持召开了风险投 资年会。许多学者就我国风险投资的宏观机制( 包括动力机制、约束机制、环境 2 江苏大学硕士学位论文 机制等) 、技术层面等问题进行了研究和商榷，并有针对性地提出了我国风险投 资支撑环境培育的目标、策略及具体的项目决策方法。这一时期的代表诸如：朱 东辰、余津津等基于风险企业的高风险和多阶段特点，运用实物期权理论的方法， 构建了风险企业价值评估的多阶段复合实物期权模型【引。郑君君、刘玮、孙世龙 对于项目的评估是通过层次分析法，选取的指标分为三个大类( 风险投资商、风 险投资环境、风险企业) 和其下属的五个小类，通过矩阵计算得到各因子的权重 系数，以最终的得分来评价企业【9 1 。这一方法比较简便，但是其选取的因子缺少 有力的数据支持。吉林大学的李雪灵在其博士论文风险投资支撑环境作用机理 研究中，从经济、文化、科技、金融、人才、法律政策和社会中介服务体系等 几个方面构建了风险投资支撑环境的研究体系，并在系统描述我国各环境要素对 风险投资支撑现状的基础上，利用调查数据对我国不同地区风险投资支撑环境进 行了评价，最后有针对性地提出了我国风险投资支撑环境培育的目标及策略【l o j 。 石智文在其博士论文风险投资家投资评估标准的选用顺序与投资绩效之研究 中，通过对国内外现有的评估方法进行总结和分析的基础上设计模型，所用数据 通过问卷调查的方式获取，但其研究在具体应用时缺少简便性【1 1 1 。李振华、王浣 尘从风险企业的特性出发，指出风险投资双方进行分阶段投资的合理性，以企业 价值评估为基础，找出投资合作的安全合理领域，建立风险投资合作的多阶段多 目标模型l 1 2 j 。 。 综上所述，我国对风险投资归纳起来有两个方向：是从理论上对风险投资 进行宏观的描述和论证，侧重于体制政策研究，多为一些法规和政策建议；二是 从实践层面对于一些经验和认知进行描述，或者是纯粹从技术角度对项目评估技 术、收入分配方式等问题进行的技术层面的论述等。总结这些研究可以发现，国 内对于风险投资的探讨尚存在如下不足：缺少从微观层面出发的，在现实经济环 境下如何解决风险投资与被投资企业有效结合这一问题的理论指导，即寻找一种 具有理论依据的、具有实际指导作用的风险投资决策方案是我们急需解决的问 题。 在新古典经济理论中，数学，尤其是微积分学被大量使用。现代西方经济理 论是以建立经济模型来分析经济现象的“定量分析”方法为特征的。“经济学日 益朝着用数学柬表达经济内容和统计定量的方向发展【l3 1 。”因此，使用数学的程 3 江苏大学硕士学位论文 序，可以说是经济学成熟程度的重要标志之一。 2 0 世纪2 0 年代以后，经济动力学问世，即将各种经济变量看作时间的函数， 在一定的经济假设条件下，建立各经济量之间的函数关系l l5 1 。经济学家开始应 用微分和差分方程来对经济问题建模。差分方程式表示的是因变量和滞后的自变 量之间的关系。这些变量在离散的时间区间内不断的变化。微分方程式表示的是 不同变量关于时问的内在关系。它们的特征就是涉及了时间对变量的影响。差分 方程与微分方程的这一特性引导学者们，通过对变量做适当的约束再列微分或差 分方程，也就是用数学公式来描述经济系统中的基本细节，然后解方程，通过讨 论解的存在性、稳定性、合理性、能控性来揭示经济中的演化行为、渐进性态和 稳定性等动态特征【1 4 , 1 6 】。 目前国内应用动力系统理论进行投资分析的主要集中在对一类非线性的投 资系统进行平衡、稳定、分岔、混沌的分析，并且模型都是建立在确定性系统之 上的。如薛明皋给出消费一投资增长模型给出消费增长率和风险投资增长率所满 足的动力系统，均衡值，稳定性，及参数对均衡值的影响【1 7 】。而真正的投资市场中状 态是不确定的，随机的，因此，使用动力系统来解决投资市场的问题更加接近于 实际i l 懿。动力系统的理论可以分析经济系统的稳定性质，例如外来干扰、不确 定性和依赖时间的环境【l9 1 。近几年来，许多经济学家和数学家都在为此而努力。 目前在我国使用动力系统对风险投资进行分析尚不多见。 1 3 本文主要做的工作 本文以风险投资为背景，应用非线性及动力学的理论对风险企业家在薪酬、 控制权、多阶段投资的激励问题进行了研究。文章的具体结构如下： 第一章：主要介绍了对当前世界经济研究的热点问题：风险投资及风险投资 的研究现状。近年来我国的风险投资事业也发展的如火如荼，但是还存在许多不 尽人意的地方，比如合理的激励机制。因此如何结合我国风险投资特点设计一套 合理的投资契约，提高风险投资的成功率值得我们深入研究。 第二章：主要介绍了三、四两章分析研究主要用到的风险投资的基本概念、 稳定性判据及动力系统的相关理论。 第三章：在风险投资周期中的融资阶段，风险投资者与企业家之间的利益冲 4 江苏大学硕士学位论文 突集中体现在几种表现形式的“委托代理 问题上。为解决这些冲突和矛盾，对 合理薪酬契约设计的研究就具备了非常突出的理论指导意义。本章从风险投资家 与风险企业家的委托代理关系出发，设计了一个薪酬契约，使得风险投资家与风 险企业家的收益最大化。 第四章：本章借鉴了传统的拉姆齐消费模型并将其引入到多阶段风险投资中， 建立了以获得经济利润最大化为目的的多阶段投资决策模型，利用相关稳定性理 论探讨了均衡解的存在性及均衡点处控制权分配的问题。为了深入研究多阶段投 资系统，引入随机动力系统对多阶段投资系统研究，为将来某一时刻找到了一个 最有优投资方案。 第五章：主要对本文的主要研究工作作了简要总结，并展望了将来课题研究 的方向。 5 江苏大学硕士学位论文 第二章基本概念和基本理论 本章主要介绍在以后各章用到的概念以及基本理论： 2 1 风险投资理论的预备知识 本文关于风险投资几类激励模型的动力学研究将主要涉及到两个参与主 体【2 1 1 ： 定义2 1 风险投资家是指专门从事或主营业务从事筹集资金，并将筹集来 的资金以股权投资的方式投资于风险企业。本文中的风险投资者，等同于具有丰 富行业经验的风险投资机构。 定义2 2 风险企业家是风险企业的成立者与管理者，一般是风险企业的缔 造者，拥有企业核心技术或创业构思，并对企业的发展怀有极大的热情。 在上述两大主体的参与下，本文在三、四两章对风险投资激励与稳定性方面 展开了一系列研究。下面我们首先介绍风险投资的相关理论。 2 1 1 委托代理理论 委托代理代理理论最初是由简森和梅克朴( j e n s e na n dm e c k l i n g ) 于1 9 7 6 年提 出来的口2 1 ，它是新制度经济学近一个时期来最热门的研究课题之一。委托代理 存在于经济活动的许多方面，在现代企业中，最主要的委托代理关系存在于企业 的所有者和经营者之间。按照委托代理理论，经济资源的所有者是委托人，负责 使用以及控制这些资源的人员是代理人，因此本文中涉及到的两大参与主体：风 险投资家为委托人，风险企业家为代理人。 委托人和代理人存在不同的利益目标，委托人追求企业利润最大化，代理人 追求自身效用最大化，所有权与经营权分离导致的剩余索取权与剩余控制权不相 对应，进一步增加了双方的利益冲突。另一方面，委托人与代理人之间信息不对 称，使代理人始终存在机会主义动机2 3 2 4 1 。第三，委托人与代理人之间的合同具 有不完备性，它不可能对代理人的所有行为做出规定，即使可能也会严重限制代 理人的创新能力加之经济环境的复杂性和不确定性，委托代理关系中的“道德 风险随时可能产生为此，委托人往往会增加对代理人的监督，但监督机制只 6 江苏大学硕士学位论文 能缓解代理问题，无法避免代理人的投机行为，况且监督是具有成本的，它不仅 表现出低效率，而且不能改变代理人行为的被动地位。因此，合理的做法是在监 督约束的基础上，给予代理人适当的激励，通过激励机制促进“两权分离后责、 权、利的对称统一，即剩余索取权与剩余控制权的合理对应( “权 指剩余控制 权，剩余索取权中对应正收益为“利 ，负收益为“责”) ，提高代理人为企业利 益目标努力的积极性和自觉性。 委托人对激励方案的设计是建立在对代理人信息和行为的认识基础上的信 息经济学区分了两类信息不对称问题，一类是委托人对与代理人收益相关的信息 不知道，称为隐藏信息的道德风险模型：一类是委托人不能完备的观察代理人的 行为，称为隐藏行为的道德j x l 险模型它们都可以被看作是委托人和代理人在一 定条件约束下各自追求利益最大化目标的均衡机制问题。本文主要研究的是委托 代理中的第二阶段，即道德风险的问题。 委托人关于激励机制的选择包含双重最大化问题：一方面要促使自身利益最 大化，即激励设计目标；另一方面其目标的实现必须是在代理人实现其利益最大 化目标的前提条件下，即激励设计的激励相容约束有些情形下，代理人还要求 确保至少得到某个收益，才会参与企业生产经营，这一要求构成激励设计的个人 理性约束。 2 1 2 激励理论 我们从解决委托代理问题认识建立激励机制的必要性。8 0 年代以来，经济学 将动态博奕理论引人委托一代理关系的研究之中，论证了在多次重复代理关系情 况下，竞争、控制权、薪酬等隐性激励机制能够发挥激励代理人的作用，充实了 长期委托一代理关系中激励理论的内容。 定义2 3多阶段投资是指一种风险注资方式，即风险投资家对风险企业的 投资不是一次性完成的，而是分多个投资阶段注入。 风险投资家采取多阶段对风险企业注资，是为了在投资契约中保留放弃追加 投资的权力。在每个阶段投资前，风险投资家都要对风险企业进行绩效评估，如 果发现所投资的风险企业没有前途或风险企业的经营状况不佳，那么风险投资 家可以终止追加投资或更换核心管理层的人员。分期投资对风险企业家有激励作 用，使其面临终止投资的压力，迫使其努力工作，提高经营业绩。另外，分段投 7 江苏大学硕士学位论文 资使增量投资对风险企业家的股份稀释作用降低，成功企业家的收入份额增加， 这样可以激励风险企业家，诱导其努力工作【2 5 ，2 6 1 。 定义2 4 薪酬激励指风险投资家控制风险企业家的薪酬高低的程度，进而 控制风险企业家为风险企业工作的努力程度，进而获得高收益的一种激励手段。 报酬是激励约束创业企业家行为的重要因素。一般来说，对风险企业家的薪 酬激励应该定在一个既让企业家努力工作又让其能分享到一定产出的水平。一种 有效的方式是采取固定薪酬加股权激励的形式。在赫兹伯格的双因素激励理论 中，固定的工资报酬只是保健因素，至多能约束创业企业家在工作中不出现失误 或渎职行为，但不能激发创业企业家内在的工作积极性【2 7 1 。 定义2 5 风险报酬风险企业家的报酬，应与其创业经营的企业成长风险紧 密相关，风险越高，相关系数越大。 与固定的工资报酬不同，风险报酬则具有激发创业企业家内在积极性的作 用。如此一来，当创业企业家冒着高风险进行投资或经营取得较高的企业效绩时， 会比无风险或低风险进行投资或经营而达到等额效绩获得更高的报酬。 定义2 6 控制权激励是指风险投资家通过控制给予风险企业家的风险企业 的控制权，来达到激励控制风险企业家的目标。 目前国外在风险投资中对控制权分配的理论研究尚处于起步阶段，代表人 物主要有h e l l m a n n ，c h a n ，b e r g l o f 和a n d r e i 等。h e l l m a n n 研究结果表明，风险企 业的控制权无论对风险资本家还足风险企业家都十分重要【2 8 1 。b e m a l d 认为，创 业投资合同隐含了一个企业家通过首次公开发行重新从创业投资家手中获得公 司控制权的期权，从而对创业企业家形成激励1 2 9 1 。而控制权能够激励约束创业 企业家的原因在于掌握了决策管理权这种特定控制权可以满足创业企业家三方 面的需要：一是在一定程度上满足了创业企业家施展其才能、体现其“创业精神 的自我实现的需要；二是满足控制他人或感觉优越于他人、感觉自己处于负责地 位的权力需要；三是使得企业家具有职位特权，享受“在职消费，给企业家带 来正规报酬激励以外的物质利益满足。因而控制权能够作为一种激励机制而存 在，其激励力量大小取决于控制权所带来的这些满足的程度如何。在本文第四章 讨论了均衡点处控制权随参数入变化的分配问题。 基于管理学对激励的认识，能满足人的需要的因素就可以作为激励因素，从 8 江苏大学硕士学位论文 双因素理论的角度来看，这三个方面都在不同程度上满足了风险企业家个人现实 的需要。 2 2 动力系统的相关理论 动力系统是跟随时间而演化的某些体系( 经济的、物理的、生物的等) 。近 年来，随机动力系统的在现实中的应用越来越广泛，人们也越来越重视对随机动 力系统的研究。许多确定型的动力系统都被推广到随机动力系统上。随机动力系 统的概念是确定行动力系统的扩展，如果没有噪声项，随机动力系统转化为确定 型动力系统。随机动力系统是由度量动力系统和这个度量动力系统的闭上链组 成【3 1 1 。它的理论可以分析经济系统的稳定性质，例如外来干扰、不确定性和依 赖时间的环境。近几年来，许多经济学家和数学家都在为此而努力。 2 2 1 偏好关系 公理2 1 ( 完备性) 坛，y x ，x y ，y x 至少有一个成立。 公理2 2 ( 自反性) v x x ，有x x 。 公理2 。3 ( 传递性) 若x yy z ，n x2z 。 公理2 4 ( 连续性) v yex ，集合 x 卜y ，xex h 闭集。 显然偏好关系在x 上定义了一种全序关系。 定义2 7 实值函数u ：x 一尺称为消费者偏好关系“ 的效用函数，若 v x ，y x ，x y 当且仅当 ( 功“( y ) 。 2 2 2 稳定性判据 由于大多数非线性微分方程是不可能或很难求出其解的具体表达式来的，因 此必须要研究在不具体解出方程的情况下判断方程解的稳定性态捌的问题。 假设我们所考察的系统可以用以下形式的微分方程来描述： 9 江苏大学硕士学位论文 鲁= 肌而 ) 百d x 2 = f 2 ( t , x i , x 2 , x n ) 鲁= 肿， 写成向量形式为： 百d x = f ( f ，x ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) 式中石，f 为向量函数，且满足初始条件：x ( t 。) = x o ，其解设为： x = x ( t ；t o ，x o ) 。 假设x = 0 是方程( 2 1 ) 的一个特解，下面就讨论方程( 2 1 ) 零解的稳定 性。 定义2 8 如果对任意给定的g 0 存在6 ( t o ，) ，当范数 i i x o l i 0 如何小，总有一个凰有 懈 t o 使得： i x ( t ；t o ，k ) f | 江苏大学硕士学位论文 则称x = o 是不稳定的。 定理2 1h a r t m a n g r o b m a u 定理： 设e 是包含原点的r 的开子集，c 1 俾) ，是非线性系统x = ，岱) 的流。假 定，( o ) = 0 ，矩阵a = 巧( 0 ) 没有实部为零的特征值。则存在一个同胚映射日，它 把包含原点的开子集u 映射到包含原点的开子集y ，使得对每个x 。eu 和te1 。， h 。彩，( 石o ) = e m h ( x d ) 也就是h 把x = 厂仁) ) 在原点附近的轨线映射到石= a x 在原点附近的轨线 上，且保持时间参数。 h a r t m a n g r o b m a n 定理是常微分方程局部定性理论中一个非常重要的结果 这定理是讲在双曲平衡点凰附近，非线性方程： x = f ( x ) ( 2 2 ) 与线性方程： 童：似( 2 3 ) 有着相同的定性结构，其中a = 巧慨) 这里假定平衡点为原点，否则可以作一 个平移把平衡点移到原点。 定理2 2 连续系统的稳定性判定 考虑线性方程( 2 3 ) 平衡点x 。( 这单仍假定平衡点为原点) 的稳定性可由 a = d f ( x 。) 的特征值的实部的符号来确定： ( 1 ) 如果a 的所有特征值都满足l k ( ) o ，则平衡点x 。是不稳定的。 ( 3 ) 如果a 没有正实部的特征值，但有零实部的特征值，则平衡点瓦可能是 稳定的也可能是不稳定的。当零实部的特征值的重数与其特征向量空间的维数相 同时零解稳定，否则不稳定。 定理2 3 离散系统稳定性的判定 对于一维离散动力系统【3 3 】，其数学表达式为： 1 1 江苏大学硕士学位论文 毛+ l = 厂( 而) ，n = o ，1 , 2 ， ( 2 4 ) 这罩的厂表示一种映射关系。 与连续系统的奇点( 平衡点) 相对应的概念是离散系统的不动点，而这种不动 点就是满足p = 厂( p ) 的点p ，即有而= 厂( 毛) 。 则一维离散系统( 映射) 的不动点的稳定性是由式( 2 2 ) 右端的j a c o b i 矩阵的特 征值入的模决定。若 入i 1 ，系统的不动点不稳定 a l - - 1 ，如果入没有正实部的特征值，与连续动力系统中特征值具有零实部 的情况相似。 2 2 3 随机动力系统 定义2 1 0设a 为集合x 上的代数或者仃代数 3 6 1 ，如果存在函数 弘：a _ 尺+ ，满足： ( 1 ) p 但) 0 ，e a ； ( 2 ) 肛( o ) = 0 ； ( 3 ) 若邑为a 中两两不交的集合序列，且u ee a ，则p ( u e ) = u p ( e ) ； n = ln = ln = l 那么称肛为a 上的一个测度，称，a ，d 为测度空间，称a 中元素为p 的可测集合。 定义2 1 1 带有双向时间z 的度量动力系统3 2 1 0 - - ( q ，f ，p ， 包，f 丁) ) 是有变 换 2 ：q _ q f 丁) 的概率空问( q ，f ，p ) ，使得： ( 1 ) 0 是单参数群，即 吼= d ，b 。吃= 包+ ， ，set ( 2 ) o ，_ e 是保持概率不变的可测流。 ( 3 ) 对所有的f t ，o , p = p 。即对所有的b f 和f t ，p ( o t b ) = p ( b ) ， 江苏大学硕士学位论文 则称集合b f 是口不变的，若对所有的f t ，有o , b = 曰。称度量动力系统p 是 p 下遍历的。 定义2 1 2 设可测流0 上的闭上链为妒，妒为一个可测映射： 妒：rx f 2 x x _ x ，o ，功_ 妒o ，u ，功 使得( l 力_ 妒( f ，磅对所有的u q 是连续的，x 的随机自身映射族 妒( f ，) = q o ( t ，) ：彳一石满足闭上链性质： 妒( o ，叻= d x 妒o + s ，叻= q o ( t ，见叻。妒o ，叻 v t ，set ，u q q 是所有可能发生事件组成的样本空间，o s c o 为随机动力系统理论中样本空 间上的可测流，p 为概率测度，0 为移位映射，可逆。 定义2 1 3 设( q ，f ，p ) 是一个完备的概率空间，e 是可分完备度量空间， ( x ，b ) 为可测空间，首先引入下列概念 ( i ) 妒：t q x x 成为随机连续算子，是指任意给定o ，y ) e x x x ，) ，) ：q _ x 是可测的， 而任意给定u q ，妒( u ，) 对 ，力连续； ( i i ) 随机二元算子妒：t x f 2 x x _ x 若存在随机变量r ：q x 使得对 于讪q ， 有妒p ，) = ，则称，为妒( u ，) 的不动点。 定理2 4 当f _ o o 时不动点天满足下面条件时，r ( o 为稳定的不动点。 里恶i i 妒o ，u ，) 一r ( o u ) i l = o 定理2 5 如果a ( u ) 的数学期望存在，则q ( u ) 满足大数定律。映射p 是保 测变换，由b i r k h o f f 遍历性定理3 7 1 ，0 为遍历的，有：e q + p ) = e q ( 成立。 即：极限脚 喜a ( p 。u ) 存在 江苏大学硕士学位论文 第三章基于风险投资委托代理激励模型的稳定性分析 随着近年来中国经济的高速发展，风险投资的比例也逐年上升，并且呈现良 好的发展态势，但是我国的风险投资仍然存在不少问题，例如：缺乏相应的激励 和约束机制。许多风险投资公司基本上沿用传统国有企业管理模式，还没有建立 起适合风险投资运行的激励和约束机制。这造成风险投资机构自身的人员素质、 管理经验都很欠缺，风险投资家与风险企业家在投资理念方面存在差异，投资效 率较低，本章就是基于这个背景下来研究的。 3 1 激励模型的建立 假定有n 个风险企业，投资空间为科，记风险企业组成的投资向量空间为： 五= “，z ：1 ，) ，其中，表示投资者f 投资的的第七个风险企业，xc 群称 为投资集合，在投资集合上定义一个偏好关系“ j p o 定义3 1 如果消费者的偏好关系满足公理2 1 幺4 ，则存在相应的连续效 用函数。 用a 表示代理人所有的行动组合，a a 表示代理人的一个特定的行动，在 本节中为了方便研究努力程度与工资的关系，令a 为代表工作努力水平的一维离 散变量，a ( 努力程度) 可以表现为多个方面，如工作态度，企业的经济效益、成 本、产量等，但为了方便起见，只假设a 表示其中一个方面，一般不会影响到分 析的结论。咖是指不受代理人和委托人控制的外生随机变量。代理人选择行动a 后，外生变量矽实现，a 和共同决定一个可观测的结果丌( 口，) ，假定经理有 三个行动选择，即：a 。表示努力，口：表示一般，a 。表示偷懒，相应的可观测结 果为：丌l ，7 r 2 ，丌3 ，那么结果1 在口，f ，j = 1 2 ，3 上发生的概率为： p , ( a j ) = p r d 6 7 r = q 口= 乃) ，且i = l 2 ，3 ，j = 1 , 2 ，3 3 则必定有：只( 口j ) - - 1 令w 为工资或代理人的支付，代理人的效用函数为： 1 4 江苏大学硕士学位论文 u ( 叻= h ( 叻一c ) 其中c ( a ) 为代理人选择努力程度口所付出的成本函数。 代理人的期望收入： 3 昱u ( 叻= a ( 露，净( 以丌f ) 一c ( 露，) 委托人的期望收入： 3 b j ) 1 ，( 丌l 一氓丌j ) ) 3 委托人总是想尽办法最大化他的效用函数a ( 吩) ，( - 一以丌j ) ) ，但是当委托人 最大化他的效用函数同时，面临着来自代理人的两个约束：首先，代理人接受合 同时得到的期望效用不能小于不接受合同时得到的最大期望效用，代理人不接受 合同时得到的最大期望效用由代理人面临的市场机会成本决定，我们把这种期望 效用称为保留效用丝，即有代理人的参与约束： 3 a ( 口j 扣( 以丌f ) 一c ( a ) ) 丝 ( 3 1 ) 再次委托人不能观测到代理人的行动选择，在任何可行的行动下，代理人总 是选择使自己效用最大化的行动。因此委托人期望的行动口，只能通过代理人的效 用最大化时的行为来实现，即：只有当代理人选择行动口，得到的期望效用大于 选择口7 得到的期望效用时，代理人选择行动a ，即有代理人的激励相容约束： 33 a ) u ( w ( t r , ) - c ( a ，) 只( 口j 净( 以仃f ) 一c j ) ( 3 2 ) 将委托代理人的问题转化为如下解最优化问题： 3 m a x a ( 乃) 叹_ 一以一” t = l 3 见( 乃弘( 以丌f ) 一c ( a a u 33 a ( 口，如( w ( _ ) 一c ( 乃) 只( 口j 弘( 以1 ) 一c ( 口j ) l = l1 = 1 在实际工作中委托人总是希望代理人越努力越好，根据此实际情况，对模型 江苏大学硕士学位论文 进行最优化求解： 令入，走，凡为库恩一塔克乘数 企 整理得： 3 3 = v ( 一一以丌，) ) 仍( 哆) + 入( 甜( w ( 丌) ) b ( 吩) 一c ( a j ) 一丝) i = 1 ，= l 33 + 九( h ( 以曩) ) p ，( 口。) 一c ( 口，) 一“( 以- ) ) p ，( 口：) + c 扣：” j = l t = l 3 3 + 九( 比( 以一) ) 只( 口：) - - c ( a ：) 一比( 以一) ) 只 ，) + c ( 口，) ) 0 a一 = 0 0 w 芳= 州骞枞卜黑) 吼2 ，3 ( 3 - 3 ) 3 3 式中，概率比值具有单调性，被称为“单调似然条件，即表明： 髁驴即 吧删：搿鬻驰啪3 代理人有三种选择行动时，努力程度随工资计划单调非递减 当代理人有n 种行动选择时，即：口a = q ，吗) ，努力程度随n 的增大 依次递减，相应的可观测结果为：丌l ，丌2 ，丌3 ，由上面分析，可以得到： m a x 只( 口，) ，( 珥一以q ) ) b ( q 弦( 以q ) 一c ( a 2 丝 只( 巳) “( 叫q ) 一c ( a 1 ) a ( 口j 如( w ( 丌j ) 一c ( 口j ) 入，太，凡入为库恩一塔克乘数，f l 了( 3 1 ) 式可以递推出下面结论： ；= 州褰枞一鬻， 由于： a k a j ， ， 妣 搿p j 鬻触 1 ，2 ，3 挥 ，)既 ，) 。 1 6 ( 3 5 ) 江苏大学硕士学位论文 甚口： - l m( 3 6 ) 此结果具有一般性，符合实际情形，由3 5 、3 6 式可以看出努力程度随工资计划 单调非递减，委托人或者股东可以使用提高工资来激励代理人努力工作。 由上面结果进一步分析：由于委托人的效用函数以及代理人的行动选择限 制，不可能无限制的提高代理人的工资，或者代理人也不可能无限制的努力来完 成工作。而且在实际工作过程中代理人的工资不仅仅受到努力程度影响，而且还 受到代理人的能力，以及市场竞争激烈程度的影响。下面通过建立一个工资激励 模型来设计一个最优工资契约。 3 2 激励系统模型的分析 为了方便讨论，先假设： ( 1 ) 代理人的工资效用函数：w = w o ( q , o ，a ) + 触( p ，a ，d ，p 表示代理人对 产出丌的分红比例系数，当比例系数p 确定，代理人如果想得到更多的薪酬必然 会努力开拓市场，想尽办法增加市场销售额，即产出丌，这在一定程度上激励了 代理人。为初始工资，当委托人在市场上雇用代理人时，代理人向委托人承 诺会付出a 的努力程度，是关于市场的竞争激烈程度( q ) ，代理人的能力水 平( 口) 以及努力水平( 口) 的函数，满足：掣o ，关于代理人能力 单调非递减；掣o ，关于市场竞争激烈程度呈反方向变化。企业的产 叼 出7 r 受到三个因素的影响：管理者的能力水平0 ，市场竞争的激励程度g ，以及 代理人所付出的实际努力水平口。由于信息不对陈，委托人观测不到代理人的实 际努力水平，代理人在签订初始工资合同的时候，为了获取较高的初始工资，承 诺将会付出较高的努力水平，实际工作中会发生代理人偷懒或者怠工的现象，也 即：a a ，委托人以及代理人希望找到一个最优的努力水平a 7 ，使收益最大化， 我们将在定理1 中讨论。 1 7 江苏大学硕士学位论文 ( 2 ) 代理人所付出的成本函数用c ( a ，p ) = 1 2 p 勉2 来表示，而且有堡铲 o ，即：代理入的努 力程度越高，成本函数越高。而且规定努力程度a 是个人能力水平0 的函数，有 o a o ) _ 0 d 9 则 面o u = 百o w ( q , o ) 一下o c ( o , a ( q , o ) ) 丽c o a 一掣o ( 3 1 2 ) a e a 98 n8 ea e 一1 、c 。 由( 3 1 2 ) 可以得出结论：代理人的收益u 与能力0 单调非递减。即最优的契 约应当满足在代理人能力水平最低时仍满足个人理性约束 w ( q ，o _ 3 一c ( a 7 ( g ，旦) ，旦) = 丝。 定理3 1 以及定理3 2 给出了最优解满足的条件，在实际经济活动中，委托 人可以根据观测到的收益丌以及得出的最优解满足条件来设计合适的契约，使得 委托人以及代理人的收益最大化。 江苏大学硕士学位论文 3 3 本章小结 随着近年来风险投资比例的上升，企业的所有权与经营权进一步分离，委托 代理所引发的问题也进一步突出。为缓解这些问题，本章从风险投资家与风险企 业家的委托代理关系出发，通过对薪酬激励模型分析得出代理人的工资水平随努 力程度呈单调非递减关系。进而构造哈密顿函数得出了最优解满足的条件： w ( q ，o _ ) - c ( a 7 ( g ，旦) ，旦) = u ，并通过对该激励模型的分析得到了代理人最优努力行 动的控制函数。本章主要为风险投资家设定了一种薪酬激励措施，在实际操作中， 风险投资家为追求收益最大化，还可以采取多阶段投资这一手段，这是下一章所 要研究的内容。 2 1 江苏大学硕士学位论文 第四章风险投资多阶段投资的动力学研究 风险投资的理论研究中在单一投资阶段中的投资组合问题的研究，现在已有 不少模型和结论，而对于在多个投资阶段中的投资决策问题，讨论得还比较少。 实际运作中，由于对同一个投