（应用数学专业论文）几类微分系统幂零奇点的中心焦点判定与极限环分支.pdf

原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：懈 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：导师签 日期：扯年止月丛日 摘要 本论文主要研究了微分系统的中心焦点判定与极限环分支问题， 全文共由三章组成。 第一章对平面多项式微分系统幂零奇点的中心一焦点判定、极限 环分支问题的历史背景及研究现状进行了概述，并将本文所做的工作 进行了简单的介绍。 第二章介绍了原点为三次幂零奇点的一般微分系统。给出了三次 幂零奇点焦点量和拟l y a p u n o v 常数等的定义，以及它的极限环分支 和中心积分等的性质，进一步给出了计算原点拟l y a p u n o v 常数的递 推公式，为第三章研究几类微分系统三次幂零奇点的中心焦点判定与 极限环分支问题提供了坚实的理论依据。 第三章研究了原点为三次幂零奇点的一类三次微分系统和一类 七次微分系统。对一类三次微分系统利用第二章中给出的计算原点拟 l y a p u n o v 常数的递推公式，在计算机上用m a t h e m a t i c a 推导出该系统 原点的前6 个拟l y a p u n o v 常数，进而推导出原点成为中心和最高阶 细焦点的条件，并在此基础上得到了对系统作适当的微小扰动时，在 原点充分小的邻域内恰有6 个包围原点的极限环的结论。对一类七次 微分系统，运用同样的方法推导出该系统原点的前1 0 个拟l y a p u n o v 常数，进而推导出原点成为6 阶中心和l o 阶细焦点的条件，并在此 基础上得到了对系统作适当的微小扰动时，在原点充分小的邻域内恰 有l o 个包围原点的极限环的结论。 关键词幂零奇点，微分系统，拟l y a p u n o v 常数，中心焦点，极 限环分支 a bs t r a c t t h i st h e s i si sd e v o t e dt ot h ep r o b l e m so fc e n t e r - f o c u sa n dl i m i tc y c l e b i f u r c a t i o nf o rt h ed i f f e r e n t i a ls y s t e m i ti sc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n da n dt h ep r e s e n tp r o g r e s so f p r o b l e ma b o u t c e n t e r - f o c u sa n dl i m i tc y c l eb i f u r c a t i o no fn i l p o t e n t s i n g u l a rp o i n t si np l a n a rp o l y n o m i a ld i f f e r e n t i a ls y s t e ma r ei n t r o d u c e d a n ds u m m a r i z e d a tt h es a m et i m e ，t h em a i nw o r ko ft h i sp a p e ri s c o n c l u d e d i nc h a p t e r2 ，t h eg e n e r a ld i f f e r e n t i a ls y s t e mi si n t r o d u c e d ，i nw h i c h o r i g i ni sn i l p o t e n ts i n g u l a rp o i n t t h ed e f i n i t i o n o ff o c a lv a l u ea n d q u a s i - l y a p u n o vc o n s t a n te t c a n dt h ep r o p e r t i e so f l i m i tc y c l eb i f u r c a t i o n a n dc e n t e ri n t e g r a l se t c a b o u tt h r e e - o r d e rn i l p o t e n ts i n g u l a rp o i n ta r e g i v e n ，ar e c u r s i v ef o r m u l at oc o m p u t eq u a s i l y a p u n o vc o n s t a n ti sf u r t h e r d e r i v e d t h et h e o r yb a s i si sp r o v i d e dt os t u d yt h ep r o b l e mo fc e n t e r - f o c u s a n dl i m i tc y c l eb i f u r c a t i o na b o u tt h r e e - o r d e rn i l p o t e n ts i n g u l a rp o i n to f s e v e r a lc l a s s e so fd i f f e r e n t i a ls y s t e mi nc h a p t e r3 i nc h a p t e r3 ，ac l a s so fc u b i cd i f f e r e n t i a ls y s t e ma n ds e p t i c d i f f e r e n t i a ls y s t e ma r es t u d i e d ，i nw h i c ho r i g i ni st h r e e o r d e rn i l p o t e n t s i n g u l a rp o i n t f o r ac l a s so fc u b i cd i f f e r e n t i a ls y s t e m ，ar e c u r s i v e f o r m u l at oc o m p u t eq u a s i l y a p u n o vc o n s t a n tw h i c hi sg i v e nb yc h a p t e r2 i s u t i l i z e d u s i n g t h er e c u r s i v ef o r m u l aa n dc o m p u t e rs y s t e m - m a t h e m a t i c a ，t h ef i r s ts i xq u a s i - l y a p u n o vc o n s t a n t so ft h es y s t e ma r e g i v e n t h ec o n d i t i o n sf o ro r i g i nt ob eac e n t e ra n d t h eh i g h e s td e g r e ef i n e f o c u sa r ed e r i v e d s i xl i m i tc y c l e sw h i c ho r i g i ni se n c l o s e di nas m a l l n e i g h b o r h o o do fo r i g i n a r eo b t a i n e dw h e nt h es y s t e mi si nas m a l l p e r t u r b a t i o n f o r ac l a s so fs e p t i cd i f f e r e n t i a l s y s t e m ，t h ef i r s t t e n q u a s i l y a p u n o vc o n s t a n t so ft h es y s t e ma r eg i v e nb yu s i n gt h es a m e m e t h o d t h ec o n d i t i o n sf o ro r i g i nt ob et h es i x o r d e rc e n t e ra n dt e n - o r d e r w e a kf o c u sa r ed e r i v e d t e nl i m i tc y c l e sw h i c ho r i g i ni se n c l o s e di na s m a l ln e i g h b o r h o o do fo r i g i na r eo b t a i n e dw h e nt h es y s t e mi si nas m a l l p e r t u r b a t i o n k e yw o r d s n i l p o t e n ts i n g u l a rp o i n t ，d i f f e r e n t i a ls y s t e m ， q u a s i l y a p u n o vc o n s t a n t ，c e n t e r - f o c u s ，l i m i tc y c l eb i f u r c a t i o n l l 目录 第一章绪论1 1 1 多项式微分自治系统的极限环：、l 1 2 中心焦点问题及其发展过程2 1 3 幂零奇点的研究背景和近况3 1 4 本文的主要工作：3 第二章预备知识5 2 1 引言5 2 2 三次幂零奇点在广义极坐标下的后继函数与焦点量5 2 3 三次幂零奇点的极限环分支6 2 4 三次幂零奇点的分类，中心积分与逆积分因子8 2 5 三次奇点的拟l y a p u n o v 常数1 2 第三章几类微分系统幂零奇点的中心焦点判定与极限环分支1 5 3 1 引言1 5 3 2 一类三次微分系统幂零奇点的中心焦点判定与极限环分支1 5 3 3 一类七次微分系统幂零奇点的中心焦点判定与极限坏分支2 0 参考文献3 2 计算附录3 6 致谢：5 6 攻读硕士学位期问发表的论文5 7 硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 从法国数学家h p o i n c a r e 在1 8 8 1 年到1 8 8 6 年发表以微分方程所定义的积 分曲线为题的四篇论文从而开创了常微分方程定性理论至今，常微分方程定性 理论已经有可一百多年的发展历程。定性理论的研究也给其它领域如航天技术、 天体力学、自动控制、生物医学等提供了一些理论上的支持，而工程技术的需要 又反过来推动了定性理论的的发展。而在定性理论的研究中，极限环的研究又具 有举足轻重的地位。近三十年来，由于计算机代数系统的出现和发展，给定性理 论研究提供了有力的工具。在此大背景下，本文应用计算机符号运算的代数系统 作为工具，研究了几类微分方程的中心焦点判定与极限环分支问题。 1 1 多项式微分自治系统的极限环 极限环问题的研究，在常微分方程定性理论中扮演了一个重要的角色。1 9 9 0 年，著名的数学家d h i l b e r t 1 在巴黎国际数学大会上提出了影响数学发展的 2 3 个问题，其中的第十六个问题的后半部分是这样的：对于右端为次数不高于n 次的实平面微分自治系统 拿：鼍( w ) ， a t d 出y = 艺( 五y ) 这类系统最多可以有多少个极限坏以及它们的相对位置如何? 这就是著名的 d h i l b e r t 第1 6 问题它是迄今为止仅有的尚未完全解决的问题之一。有关这个 问题只有法国数学家h d u l a 2 在1 9 2 3 年证明了对每个这样的系统，极限坏的 个数是有限的。但对于全体n 次多项式系统所能达到的最大极限环个数而言，即 使是最简单的二次系统还未最终定论。另外，只对限制很强的一类极限环，即强 稳定和强不稳定极限环，s p d i l i b e n 3 给出了极限坏个数的上界。但随着此问 题研究的深入和发展，尤其是随着计算机的出现与发展，大量的研究方法和较好 的结果不断涌现 4 。史松龄 5 和陈兰荪，王明淑 6 分别举出了平面二次系统至 少存在四个极限环的例子，破除了平面二次系统极限环的个数最多为3 的猜测， 对n = 2 时d h il b e r t 第十六问题是一个大的推进。这方面前期的工作已收集在 叶彦谦 7 3 及秦元勋 8 的著作中。记h i l b e r t 第十六问题中n 次多项式能达到的 最大极限环个数为h ( 甩) ，则史松龄得到了日( 2 ) 4 ，李继彬，黄其明 9 得到了 硕士学位论文第一章绪论 h ( 3 ) 1 1 ，刘一戎，黄文韬 1 0 由两个细焦点出发得到了h ( 3 ) 1 2 ，郁培 1 1 在2 0 0 5 年浙江举行的微分方程分支理论和动力系统国际数学大会上阐述了 h ( n ) 的一些研究近况： 日( 2 ) 4 ，h ( 3 ) 1 2 ，h ( 4 ) 1 5 = 4 2 1 ： h ( 5 1 2 4 = 5 2 1 ( l i ，c h a n & c h u n g ，2 0 0 2 ) ： h ( 6 1 6 2 1 ( w a n g & y u ，2 0 0 5 ) ： h ( 7 ) 4 9 = 7 2 ( l i & z h a n g ，2 0 0 4 ) ： h ( 9 ) = 9 2 1 ( w a n g ，y u & l i ，2 0 0 6 ) ： h ( 1 1 1 1 2 1 = 1 1 2 ( w a n g & y u ，s u b m i t t e df o rp u b l i c a t i o n ) ： 但以上结果除了日( 2 ) 4 ，日( 3 ) 1 2 ，h ( 5 ) 2 4 = 5 2 一l 已正式出刊外，其他的 结论可能还在研究中。著名的数学家s s m a l e 1 2 认为对于h ( n 1 的研究可能是 h i l b e r t 问题中最难解决的一个。虽然多项式系统到底有多少个极限环的研究十分 复杂，但近些年来好的结果层出不穷，尤其是就单个焦点分支出的极限环的问题。 本文考虑的是实平面微分自治解析系统 i d x = x ( 础) = y + 艺矿y ， k + j = 2 ( 1 1 2 ) 譬= m ，j ，) = y ， 4 k + j = 2 系统( 1 1 2 ) 在原点邻域线性近似系统的两个特征根都是零，但线性项不全为 零。称系统( 1 1 2 ) 的原点为幂零奇点。 1 2 中心焦点问题及其发展过程 在平面系统极限环理论的研究中，中心焦点判定是一个十分重要的课题。由 于焦点量的阶数决定了通过微小扰动在奇点邻域内产生极限环的个数，而实平面 极限环的个数首先取决于各奇点邻域内极限环的个数，因而h i l b e r t 第十六问题 解决的第一难关就是焦点量的阶数，即中心焦点的判定。而中心焦点的判定都涉 及到焦点量或鞍点量的计算。刘一戎在文 1 3 ，1 4 中将焦点量或鞍点量的计算在 复系统中统一称为奇点量的计算，并在此基础上得到了一系列的代数递推公式， 应用这些递推公式大大减少了计算量，且易于编成计算机语言，因而具有很强的 实用性。对于解析系统，由单个奇点扰动出极限环的问题，目前已经有了相当丰 富的成果 2 9 5 2 。但对于幂零奇点的中心焦点判定问题，到目前为止，研究的 人还是很少的。1 9 8 2 年，a m e l i k i n 1 5 在他的专著中给出了原点成为中心或焦点 的充分必要条件。 2 硕士学位论文 第一章绪论 1 3 幂零奇点的研究背景和近况 研究单个细焦点扰动出极限环的h o p f 分支问题，大体上有p o i n c a r e 后继函 数法、l i y a p u n o v 常数法、规范型法等，这些方法都涉及到奇点量( 包括焦点量和 鞍点量) 的计算。奇点量是微分方程定性理论，分支理论和解析理论中重要的判 定量，但奇点量公式的推导与化简需要进行大量的计算。例如用后继函数法求焦 点量需要进行大量的积分，用形式级数法求l i y a p u n o v 常数需要解大量的线性方 程组。焦点量或l i y a p u n o v 常数的算法以及计算机实现的问题吸引了众多学者的 关注。对于一般的微分自治系统，首先刘尊全、秦朝斌 2 9 ，3 0 和秦元勋、刘尊 全 3 1 用计算机推导了焦点量的公式。杜乃林，曾宪武 3 2 、c h a v a r r i g a 3 3 等也相继地研究了上述问题。刘一戎、陈海波 3 4 利用代数等价的形式得出了一 套线性递推计算公式，只需以系统的系数为符号进行有限次的加减乘除四则运 算，避免了经典方法中复杂的积分与解方程运算，它是目前世界上最简单的运算 公式之一。而对于此类幂零奇点，a m e l i k i n 1 5 在他的专著中利用后继函数法求 焦点量，理论上可以实施，但需要进行大量的积分运算，因此只能将此理论作为 研究系统( 1 1 2 ) 原点的中心焦点判定与极限环分支问题最原始的理论依据。 a m e l i k i n 1 5 又用形式级数法求l i y a p u n o v 常数，虽然避免了大量的积分，但若 焦点量中第一个不为零的下标为奇数，则不能直接由它的正负号来判定原点的稳 定性。a m e l i k i n 1 5 ，t a k e n s 1 6 ，s t r o z y n aa n dz o l a d e k 1 7 ，m o u s s u 1 8 ， a l v a r e za n dg a s u l l 1 9 ，2 0 ，秦元勋 2 1 ，l y a p u n o v 2 2 研究了系统( 1 1 2 ) 原点邻 域的规范型。例如a l v a r e za n dg a s u l l 2 0 就证明了：可以通过在原点邻域解析的 变换把系统( 1 1 2 ) 化为l i e n a r d 方程，从而可以得到系统( 1 1 2 ) 原点的 l y a p u n o v 常数。由于计算机公式的逐步简化和计算机性能的不断提高，极限环 分支问题的研究有了更进一步发展。a l v a r e za n dg a s u l l 1 9 ，2 0 证明了系统 ( 1 1 2 ) 的原点为m 阶细焦点时可以在原点领域扰动出m - 1 个极限环，并在2 0 0 6 年对k u k l e s 系统计算出了原点的前4 个拟l y a p u n o v 常数，证明原点成为中心的 充分必要条件为前4 个拟l y a p u n o v 常数均为零，并给出了k u k l e s 系统由4 阶细 焦点扰动出3 个极限环的实例。刘一戎、李继斌和黄文韬 2 3 - 2 8 对初等奇点的 中心焦点判定与极限环分支问题进行了深入的研究，在对一般微分自治系统研究 方法的基础上得出了对一般三次系统幂零奇点计算拟l y a p u n o v 常数的递推公 式，并解决了几类三次多项式系统幂零奇点的中心焦点判定与极限坏分支问题。 本文在此基础上得到启发，研究了几类多项式微分系统幂零奇点的中心焦点判定 与极限环分支问题。 硕士学位论文 第一章绪论 1 4 本文的主要工作 微分方程定性理论有着丰富的内容和远大的发展前景，还有许多重要的问题 需要解决。本文在前人工作的基础上，对几类多项式微分系统进行了探讨，概括 起来，本文的特色工作具有以下几个方面： l 研究了一类平面三次微分系统，利用计算机代数系统计算出了它的前6 个拟 l y a p u n o v 常数并得到原点成为中心或焦点的充要条件，还得到了该系统扰 动系统存在6 个极限环的结论。 2研究了一类平面七次微分系统，利用计算机代数系统计算出了它的前1 0 个 拟l y a p u n o v 常数并对此系统的中心条件进行了仔细的研究与讨论，还得到 了该系统扰动系统存在1 0 个极限环的结论。 4 硕士学位论文第二章预备知识 2 1 引言 第二章预备知识 在实平面微分自治系统定性理论中，中心焦点判定以及细焦点经扰动产生极 限环的问题十分重要，焦点量是一个十分重要的量，焦点量的计算对导出多项式 微分系统中心条件、稳定性及研究由细焦点扰动产生的极限环的问题具有丰富的 意义。对原点为初等奇点的系统的研究已经有了丰富的结果 2 9 5 4 ，而对于幂 零奇点的研究，a m e l i k i n 1 5 在他的专著中给出了原点为中心或焦点的条件： 假定y = f ( x ) 满足隐函数方程x ( x ) ) = 0 ，f ( o ) = 0 ，则系统( 1 1 2 ) 原 点为中心或焦点的充分必要条件是 】，( x ，厂( x ) ) = 口x 2 ”+ 1 + d ( z 2 “+ 1 ) ，口 o 篆+ m ，= p x ( ， ( 2 1 1 ) - i - 4 ( n + 1 ) a 0 ， 其中n 为正整数。当( 2 1 1 ) 式成立时称系统( 1 1 2 ) 的原点为重次为2 刀+ 1 的高次奇点( 可以且至多可以经小参数扰动在原点邻域分解为2 刀+ 1 个复初等奇 点) 。 本章讨论的是n = l 即原点为三次幂零奇点的情况。据文 1 5 中的原点为中 心或焦点的充要条件( 2 1 1 ) ，易知系统( 1 1 2 ) 的坐标原点为3 次奇点且为中心 或焦点的充分必要条件是b 0 2 = 0 ，( 2 a ：。- 6 1 。) 2 + 8 6 3 0 0 ，不失一般性，可设 a 2 0 = ，6 2 0 = o ，2 j i l = 2 , u ，6 3 0 = - 2 ， ( 2 1 2 ) 否则记( 2 a 2 0 - b , 1 ) 2 + 8 6 3 0 = - 1 6 2 2 ，2 a 2 0 + 岛l = 4 舡，并作变换善= 2 x ， r = 见j ，+ ( 2 口2 0 - b , i ) 兄石2 即可。 本章主要系统的介绍文 2 6 中关于三次幂零奇点的一些定义、性质及方法， 作为第三章研究几类微分系统三次幂零奇点的中心焦点判定与极限环分支问题 的理论依据。 2 2 三次幂零奇点在广义极坐标下的后继函数与焦点量 系统( 1 1 2 ) 经广义极坐标变换 硕士学位论文 第二章预备知识 x = r c o s o ，y2 ，2s i n o 化为 嘉= 铲 其中 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 墨( 秒) 一i n 0 ( 1 - 。2 c o s 2o ，) + p ( c o s 2 o + 2 s i n 2 秒) ， ( 2 2 3 ) g ( 秒) = - 2 ( c o s 40 + s i n 2p ) 。 6 硕士学位论文第二章预备知识 直接利用广义极坐标下的后继函数来计算焦点量是很困难的。由于v l ( p ) 的 表达式中含指数项，甚至连屹( 秒) ，屹( p ) 是否能表示成为初等函数也还有待研究。 定义2 2 2 【2 6 】设正，& 是关于和系统( 1 1 2 ) 右端诸系数，的连续有 界函数，k = l ，2 ，如果对某个正整数m ，存在关于a 与诸，的连续有界函数 鲁，曼川，第：，使得 厶= + ( 甜帕z + 筻帕正+ + 架：厶- i ) ( 2 2 9 ) 则称厶与岛等价，记为厶一； 如果对任一正整数册，有厶，则称函数列 厶) 与 g m 等价，记为 厶 。 显然，函数列的等价关系有反身性、对称性和传递性。由定理2 2 1 得 推论2 2 1 【2 6 】对任一正整数所有v 2 。+ 。( - 2 x ) 0 。 2 3 三次幂零奇点的极限环分支 塑：万x + x ( z ，y ) ， d t 一 ( 2 3 1 ) d y ：2 a y + 】，( 石，y ) d t 、7。7 其中x ( x ，y ) ，y ( x ，j ，) 是系统( 1 1 2 ) 的右端函数。容易验i i e ，当0q 万l 1 时系 统( 2 3 1 ) 在原点领域恰有一个实奇点和两个复奇点，其中原点是初等结点。另 两个复奇点的坐标是( 五，y ，) 和( ，儿) ， =面-8x,a + 。( 万) ， 2 i 面蜘【d j m ，：= 画- t - i 万万2 + 。( 万2 ) m ，z2 瓦万+ 0 【扩 当万专0 时，这两个复奇点与原点合并为一个高次奇点。 系统( 2 3 1 ) 在广义极坐标( 2 2 1 ) 下适合初值条件，i 伽= h 的解记为 ，= 尹( 秒，h ，万) = v o ( o ， ) + 咋( 口，h ) h ， ( 2 3 2 ) 其中 7 硕十学位论文 第二章预备知识 v o ( o ，万) = 0 m ( o ，万) = 1 ， 屹( o ，万) = 0 ，k = 2 ，3 ， ( 2 3 3 ) 求得 v o ( o ，万) = 彳( 0 ) 8 + d ( 万) ， ( 2 3 4 ) 其中 卵) = 半小( 1 + s i n 20 ) d 。0 而， ( 2 3 5 ) 由( 2 3 5 ) 得 么( 一2 万) = 互1r 7 瓦i 瓦石( 1 叉+ 夏s i 聂n _ 2 歹0 ；) d 而0 o ( 2 3 6 ) 由( 2 3 2 ) ，( 2 3 4 ) 式可见，当0 h 1 ，10l 4 z 时，只要万= d ( ) ，就有 尹( 口，h ，万) = h ( 秒，o ) 五+ d ( 五) 。类似于h o p f 分支定理易证： 定理2 3 i t 2 6 1i ) 如果系统( 2 3 1 ) 当万：0 原点为中心，则当0 万 0 时系 统( 2 3 1 ) 在原点充分小的邻域内没有闭轨，而当8 v 2 。( - 2 z ，o ) 0 时系统( 2 3 1 ) 在原点充分小的邻域内有唯一的一个极限坏，其初始点为 ，l 一：。= l 屹- 。a ( ( 一- 2 2 万z ，) 。6 ) - j 丽+ 。( 6 去) ( 2 3 7 ) 考虑含多个参数的系统 d “x 。= 6 x + y + 。妻+ 户：口村( 7 ) x y 7 ( 2 3 8 ， 老= 2 渺+ 。茎：( 7 y ， 其中7 = 乃， 2 ，一。) 是朋一1 维参数向量。设= 硝们，厂r i ：o ) ，础。) 是参数空间 中的一个点，假定系统( 2 3 8 ) 的右端函数当| | y - y ol i 1 时是关于z ，y 的具有 非零的收敛半径的幂级数，对y 有连续的一阶偏导数，且 a 2 0 ( 7 ) 善，6 2 0 ( 厂) 三o ，6 i 。( 7 ) 三2 ，5 3 0 ( y ) 三一2 ( 2 3 9 ) 对任一j 下整数k ，以屹。( - 2 z ，厂) 表示系统( 2 3 8 ) 跚原点的第k 个焦点量，文 2 7 中证明了： 硕士学位论文 第二章预备知识 定理2 3 2 假定当7 = y o 时系统( 2 3 8 ) j 蕾。的原点为m 阶细焦点，且雅可比行 列式 铡ir-to0，(23100 ) a ( 乃，圪厶一1 ) 。 7 。 则存在整数矿，广，使当0 | 万i 矿，o l iy - y oi i 。( 2 5 5 ) 定义2 5 1 【2 6 】如果存在自然数s 与形式级数m ( 石，y ) = ，+ y 2 + d ( ，4 ) ，使得 ( 2 5 1 ) 成立，则称丸是系统( 1 1 2 ) 原点的第m 个拟l y a p u n o v 常数。 由定理2 4 3 ，定理2 4 4 ，定理2 5 1 与定理2 5 2 得 定理2 5 3 洲如果系统( 1 1 2 ) 原点的分类号是自然数s ，则系统( 1 1 2 ) 原点为中心的充分必要条件是存在一个形如膨什1 的逆积分因子。如果系统 ( 1 1 2 ) 原点的分类号是o o ，则系统( 1 1 2 ) 原点为中心的充分必要条件是存在某 自然数s 以及一个形如m 州的逆积分因子。其中m ( x ，y ) = x 4 + y 2 + d ( 厂4 ) 是关于 x ，y 的形式级数。 以下讨论拟l y a p u n o v 常数的算法。兹给出 定理2 5 4 【2 6 】对任一自然数s ，( 其中s t = 0 ) 以及事先任意给定的数 列 c o 口) ，3 ， ( 2 5 6 ) 可唯一地逐项确定形式级数 m ( x ，y ) = y 2 + 锄x 。j ，卢= y 2 + x 4 + d ( ，4 ) ， ( 2 5 7 ) 里堕苎堑塑箜鳖 釜三皇堡鱼墅望 一 刀7 一早j 州玎刚眵i 使得 瓦0t 万x 鬲) + 参( 嘉) = 云量薹绋o ，) 矿， ( 2 5 8 ) 即 + 等膨一o + 1 ) ( 警z + 百o m 耻薹仅咖”，( 2 5 9 ) 方程( 2 5 9 ) 关于未知函数膨是线性的，容易得到计算诸c 易与0 ，) 的递推公 式，兹给出 定理2 5 5 【2 6 】在( 2 5 7 ) 与( 2 5 8 ) 式中：当口1 ，盯+ 3 时，c 玉由递推 公式 2 两丽( 以吐肛- + 吃_ l ，肌) ( 2 5 l o ) 唯一确定，当，l l 时，r o ( s ，) 由递推公式 r o 。( s ，) - a m ，o + 吃o ( 2 5 1 1 ) 唯一确定。其中 锄= 。二， 后一( j + o ( a k + 1 ) h 气m ；肿 七+ ，= 2 。 = 一( s + 1 ) ( 一+ 1 ) 珞州 七+ j = 2 由定理2 5 1 知，如果系统( 1 1 2 ) 原点的分类号为自然数s 或，则当口) 哆川0 ，) = o , k = 1 ，2 ， 从而在逐项求出方程组( 2 5 1 3 ) 的一组解 口) 后，有： 拍川= 彖躺 定理2 5 5 中的递推公式关于诸是线性的， m a t h e m a t i c 等计算软件中实现。 1 4 ( 2 5 1 3 ) ( 2 5 1 4 ) 其计算过程很容易在 硕士学位论文第三章几类微分系统幂零奇点的中心焦点判定与极限环分支 第三章几类微分系统幂零奇点的中心焦点判定 与极限环分支 3 1 引言 在多项式微分系统的实平面定性与分支理论中，无论是中心焦点的判定还是 分支问题的处理，或有鞍点分界线环扰动出极限环的问题，都涉及到焦点量或鞍 点量的计算，刘一戎在文 1 3 ，1 4 】中将焦点量或鞍点量的计算在复平面中统一成为 奇点量的计算，并在此基础上得到一系列的代数递推公式。对于解析系统，由单 个奇点扰动出极限环的问题，目前已经有了相当丰富的成果 2 9 5 4 】，而对于原点 为幂零奇点的系统的研究成果很少 1 5 - 2 8 。刘一戎 2 6 】将关于奇点量的一系列 性质及递推公式推广至原点为幂零奇点的微分系统，并在此基础上得出了一系列 的代数递推公式，这是到目前为止较简单的运算公式。正如第二章提到的，本章 讨论的是刀= 1 即原点为三次幂零奇点的情况，采用文 2 6 的理论和方法研究了两 类多项式微分系统三次幂零奇点的中心焦点判定与极限环分支问题。 3 2 一类三次微分系统幂零奇点的中心焦点判定与极限环分支 本节讨论的是一类原点为3 次幂零奇点的三次微分系统 薹 2 y + 口z t z 2 y + 口舵y 2 + q z 砂2 + ，j ，3 ( 3 2 。， 詈一2 ，+ 6 2 - x 2 y + 劬2 容易验证，( 3 2 1 ) 的系数满足( 2 1 1 ) ，即满足原点为中心或焦点的充要条 件。 在这里，先引入一个引理： 引理3 2 1 【2 6 】( 对称原理) 如果系统( 1 1 2 ) 的向量场具有过原点的对称轴， 则系统( 1 1 2 ) 的原点是中心。 注记3 2 1 如果 x ( x ，- y ) = 一x ( x ，y ) ，r ( x ，- y ) = r ( x ，y ) ， ( 3 2 2 ) 则系统( 1 1 2 ) 的向量场对称于工轴，其原点为中心。同理，如果 x ( - x ，y ) = x ( x ，少) ，y ( - x ，y ) = 一y ( x ，j ，) ， ( 3 2 3 ) 1 5 硕士学位论文 第三章几类微分系统幂零奇点的中心焦点判定与极限环分支 q ( 1 + s ) ( 3 c 0 3 2 a 0 2 ) ，魄一 ) ( 4 s 3 ) ， ( 3 4 ) _ j - ( 2 a 0 2 b 0 2 - a 1 2 2 屿昙2 0 一1 ) ( 吃i + 2 b 2 ) 丑= 熹= ! 包。， 1 l 一钿3 “7 ( 3 2 5 ) 五：生：三( a 。：一2 a 0 2 b 。：) 。34 一s5 、 “”27 ( 娑- o a y ，- m _ 2 ( 尝x + o m r ) o 寥砂 出 y ( 3 2 7 ) - - z a m ( 2 m - 4 s - 1 ) x 2 ”+ 4 + d ( ，2 m + 4 ) 】+ d ( ，6 ) ， 1 6 硕士学位论文 第三章几类微分系统幂零奇点的中心焦点判定与极限环分支 a = 三6 2 l 五詈( a 1 2 - 2 a 0 2 b o z ) ， 五一一而8 ：b 0 2 ( 8 a 2 + 11 磕) ， 五a 0 2 b 0 2 ( 2 2 1 4 0 五0 a o 万3 + 4 1 0 7 b 4 ) ， ( 3 2 8 ) 2 口0 2 ( 9 8 0 0 0 0 0 0 a ：2 - 1 4 4 8 8 2 11 碓) o 一= - 一 。 1 2 9 3 6 0 0 0 0 月! q 璺q 鱼三! 三三! 三z 兰! 生堡 。5 17 6 5 7 6 4 0 0 0 0 0 0 0 0 当矗= o ( 江l ，2 ，6 ) 时，由五= on - i | 写) a o ：= o 或6 位= o 或口：。= 一芸壤，而当 o a 0 2 = 0 时，与z 一1 4 s = 1 的前提假设口0 2 ( 口2 l + 2 k 2 ) o 相矛盾，故当a 0 2 = o 时， 不对s 做任何要求，只要j 是正整数即可。 由上讨论可得以下四种情况： i ) a 0 2 = o ，b 0 2 0 此时，系统( 3 2 1 ) 化为 d x d t 咖 d t = y + a 2 l x 2 y + a 1 2 x y 2 + a 0 3 y 3 ， = - 2 x 3 + 吃l x 2 y + 6 0 2 y 2 ( 3 2 9 ) 利用定理2 5 5 中的递推公式并在m a t h e m a t i c a 计算软件上继续计算得： 定理3 2 3 系统( 3 2 9 ) 原点的f j 2 个拟l y a p u n o v 常数如下： a = 三6 2 。，五詈q ： 由以= o ( i = l ，2 ) ，可得6 2 。= a 。：= 0 ，由此得： 定理3 2 4 系统( 3 2 9 ) 原点的前2 个拟l y a p u n o v 常数全为零， 下列条件成立： 吃l = a 1 2 = 0 当( 3 2 11 ) 成立时，系统( 3 2 9 ) 化为 d _ x d t 咖 d t 1 7 i y + a 2 l x 2 y + a 0 3 y 3 ， = 一2 x 3 + b 0 2 y 2 ( 3 2 1 0 ) 当且仅当 ( 3 2 1 1 ) ( 3 2 1 2 ) 硕士学位论文 第三章几类微分系统幂零奇点的中心焦点判定与极限环分支 此时，z = y + a 2 l x 2 y + a o a y 3 ，y = _ 2 ，+ 6 0 2 y 2 ，满足( 3 2 2 ) ，即向量场对称 于x 轴。故由引理3 2 1 得： 定理3 2 5 系统( 3 2 9 ) 原点为中心的充分必要条件是原点的前2 个拟 l y a p u n o v 常数全部为零，即定理3 2 4 中的条件成立。 i i ) b 0 2 = o ，a 0 2 0 此时，系统( 3 2 1 ) 化为 譬= y + 呸l 矿y + y 2 + a 1 2 x y 2 + 口0 3 y 3 ， 虿叫屺， 纠 1 少 ( 3 2 1 3 ) 譬= - 2 x 3 + 6 2 。x 2 y 班 一 利用定理2 5 5 中的递推公式并在m a t h e m a t i c a 计算软件上继续计算得： 定理3 2 6 系统( 3 2 1 3 ) 原点的前2 个拟l y a p u n o v 常数如下： a = j 1b ：。，五；2 口 ( 3 2 1 4 ) 由五= o ( i = l ，2 ) ，亦可得6 2 ，= a 。：= 0 ，由此得： 定理3 2 7 系统( 3 2 1 3 ) 原点的前2 个拟l y a p u n o v 常数全为零，当且仅 当下列条件成立： 6 2 l = a 1 2 = 0 ( 3 2 1 5 ) 当( 3 2 1 5 ) 成立时，系统( 3 2 1 3 ) 化为 塑=y+a21x2y+a02y2+a03y3，d t 2y ( 3 2 1 6 ) 型：- 2 x 3 一一 此时，x = y + a 2 l x 2 y + a 0 2 y 2 + a 0 3 y 3 ，j ，= 一2 x 3 ，满足( 3 2 3 ) ，即向量场对称 于j ，轴。故由引理3 2 1 得： 定理3 2 8系统( 3 2 1 3 ) 原点为中心的充分必要条件是原点的前2 个拟 l y a p u n o v 常数全部为零，即定理3 2 7 中的条件成立。 i i i ) = o ，b 0 2 = 0 此时，系统( 3 2 1 ) 化为 譬= y + a 2 1 x 2 y + a 1 2 x y 2 + a 0 3 y 3 ， 虿2 ( 3 2 1 7 ) 譬= 么3 - - i i - 么x 2 y 一= 一，t ， ru 出 “7 利用定理2 5 5 中的递推公式并在m a t h e m a tic a 计算软件上继续计算得； 定理3 2 9 系统( 3 2 1 7 ) 原点的前2 个拟l y a p u n o v 常数如下： 硕士学位论文第三章几类微分系统幂零奇点的中心焦点判定与极限环分支 丑= 扣，五；2 口j ： ( 3 2 1 8 ) 由以= o ( i = 1 ，2 ) ，亦可得6 2 。= a ：= o ，由此得： 定理3 2 1 0 系统( 3 2 1 7