（应用数学专业论文）几类时滞微分方程神经网络模型的分支.pdf

摘要 人工神经网络是根据实际需要，模拟生物神经网络的信息处理机制，人为设计 和综合出的模拟系统设计中确定的突触连接权值，外部输入，神经元的阈值及时延 常数等参数都有可能存在误差，这些误差对神经网络系统的动力学性质可能产生定 性的影响，因此研究神经网络系统的分支问题是非常有意义的。 本学位论文由三章组成 第一章简单地回顾了神经网络的发展历史和研究神经网络的意义 第二章讨论了具有两个时滞的系统 ， i 圣1 ( ) = 一七z l ( t ) + 6 t a n h ( z l ( z 一7 - ) ) + o t a n h ( z 2 ( 一亿) ) + a t a n h ( z 3 ( 一n ) ) ， 圣2 ( t ) = 一七z 2 ( t ) + 口t a i l l l ( z l ( t n ) ) + 6 t a n h ( z 2 ( t 一7 ) ) + at a r 山( z 3 ( 一乃) ) ， l 圣3 ( ) = 一七z 3 ( ) + o t a l l l l ( z l ( 一乃) ) + o t a n h ( z 2 ( 一7 1 ) ) + 6 t a n h ( z 3 ( t 一丁) ) ， 在选定6 作为分支参数后，通过分析其特征方程的根的分布给出了平衡点的稳定性 和h 叩f 分支存在性的充分条件进而利用规范型方法和中心流形理论得到了关于 确定h o p f 分支的方向和分支周期解的稳定性的计算公式最后利用m a t l a b 软件 给出数值模拟结果，以支持理论分析结果 第三章讨论了时滞双向联想记忆神经网络模型 一p l z l ( ) + c 2 1 ( y l ( t 一死) ) + c 3 l ( 耽( 一死) ) + c 4 l ( 蜘( 一您) ) ， 一p 2 耖1 ( ) + c 1 2 厶( z 1 0 一n ) ) ， 一p 3 抛( z ) + c 1 3 ，3 ( z l ( 一丁1 ) ) ， 一心蜘( ) + c 1 4 1 ( 一n ) ) ， 以7 = n + 您作为参数，利用规范型方法和中心流形理论研究h o p f 分支的存在性 和分支方向及分支周期解的稳定性通过利用m a t l a b 软件给出数值模拟，说明结论 的正确性 关键词：分支，稳定性，时滞，神经网络 1 i = = = 、j、j、，、， 。现 班垅蜘 ，i，、一， a b s t r a c t a r 乇i 丑c i a ln e u 嘲n e t w o r ki sa 叼偈t e mt h a tm o d i f i e dt h em e c h a n i s m o fd e p o s i n g m e s s a g eo fb i o l o 百c a ln e u r a ln e t w d r kb a u s eo na u c t u a l ln e e d i ti sam o d i f i e ds v s t e m d e s i g n e db ym e n t h em i 8 t a k e so f 驴a p s ec o n t a c tw e i g h t ，i n p u t ，t h r e s h o l do fn e u r o n a n dd e l a y 醯ti nd e s i g l l t h o s em i s t 吞k e sh a v eae 髓c to nt h ed y n 锄妇o f af a m n y o fd y n a m i c a l8 y s t e 脚s oi ti si n e a n i n g f u lt os t u d yt h eb i f u r c a t i o no fn e u r a ln e t w o r k t h i 8t h 画so fm a s t e ri 8c o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s c h a p t e r1i n t r o d u c e st h eb 嘲呵o u n do ft h ep r o b l e m - r e s e 甜c h i n ga n dt h es i 争 n i f i c a n c eo ft h er e s e a r c hi nt h i sf i e l d i nc h a p t e r2 ，w em a i n l ys t u d yat h r e e u 1 1 i tn e u r a ln e t w o r km o d e l 丽t ht i m e d e l a y s w bc h 0 0 s e 6a st h eb i f 协c a t i o np 勰吼e t e r t h es u 伍c i e n tc o n d i t i o 璐o ft h es t a b i l - i t ya n dt h eb 渤r c a t i o n sa tt h ee q u i l i b r i 呦a r eo b t a i n e db ya i l a l y z i n gt h e 拙t r i b u t i o n o ft h ec l l a r a c t e r i s t i cr o o t 8 f 、l r t h e m l o r e ，a ne x p l i c i t 出g o r i t h mf o rd e t e 珊i n i n gt h e d i r e c t i o no ft h eh o p fb i f u r c a t i o na n dt h e s t a b i n t yo ft h eb i f u r c a t i n gp e r i o d i cs o l u - t i o i l s 盯ed 喇v e db yu s i n gt h en o 衄a lf o r ma n dt h ec e n t e rm a r i 渤1 dt h e 0 珊a tl a s t 。 s e v e r a in u m e r i c a is i i n u l a t i o n st os u p p o r to l l rt h e o r e t i c a n ya n 蝴i c 越c o n c l u s i o n 8a r e c 甜r i e do u tu s i n gm a t l a bs o f t i nc h 印t e r3 ，w em a i n l ys t u d yt h e 喇s t e n c e ，d i r e c t i o na n d s t a b i l i t yo ft h eh o p f b i f h r c a t i o no fas i m p l i f i e db i d i r e c t i o n a la 8 s o c i a t i v e m e m o 呵n e u r a ln e t w o r kw i t h d e l a v r s i 圣l ( ) = 一p l z l ( ) + c 2 l ( 可1 ( 一死) ) + c 3 1 ( 沈( 一见) ) + c 4 l ( 舶( z 一死) ) ， j 多l ( z ) = 一芦2 1 ( ) + c 1 2 止( z l ( 一n ) ) ， l 如( ) = 一p 3 沈( t ) + c 1 3 矗仕l ( t n ) ) ， 【如( t ) = 一p 4 蜘( f ) + c 1 4 ( z 1 ( t n ) ) ， i i i + o e ，； 0 3 3 ，1 z 临 1 l ， 吐 吐 叫叫汕 a 越 泪 t t q 彻 彻 j： 以仇 ，i l 、 l lm 血 n u 础 涮 测 切 沌 池 训 曲 也 h + + h h h l 耄 毛喜 砉耄 现 耽 黝 胁 眦 脚 w bc h o o s e7 = n + 死a st h eb i m r c a t i o np a l r a m e t e r w bs t u d yt h ee ) ( i s t e n c e ， d i r e c t i o na n ds t a b i l i t yo ft h eh o p fb i f u r c a t i o na n dt h es t a b i l i t yo ft h eb i f u r c a t i n g p e r i o d i cs o l u t i o 璐b yl l s i n gt h ei l o r m a lf o r m 踟：l d 址屺c e n t e rm a n i f o l dt h e o r y w | e c a r vo u tn u m e r i c a ls i m u l a t i o l l st o8 u p p o r to u rc o n c l u s i o l l s k e yw o r d s ：b i f u r c a t i o n ，s t a b i l i t y ，d e l a 弘n e u r a ln e t 幻r k i v 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行 研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要 贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标叽本人完全意识到本声明 的法律结果由本人承担 学位论文作者签名。电屿 年6 月9 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留，使用学位论文的规定，研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印，缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密匾 ( 请在以上相应方框内打“ ”) 作者签名：勖屿 导师签名。夕髟纩矿匆 bu ”| 5 7 日期：知雌年月了日 日期叩6 月8 日 几类时滞微分方程神经网络模型的分支 1 绪论 1 1 问题产生的背景 人工神经网络( a r t i i i c i 以n e u r a ln e t w 0 r k ，a n n ) 是一门发展十分迅速的交叉 学科，涉及生物，计算机，数学，电子，物理，心理学，认识科学等多种学科然而，人工 神经网络的发展过程也并非一帆风顺从其诞生，发展，走入低谷到再发展到今天的 再度辉煌，是一个曲折而复杂的过程 人工神经网络的发展可追溯到2 0 世纪，1 8 9 0 年，w j a m e s 的专著生理学【l 】 一书首次阐明了有关人脑结构功能及相关学习联想记忆的规则1 9 4 3 年，美国生物 学家麦克库拉奇( w a r r e nm c c u u o c h ) 和数学家匹兹( w a l t e rp i t t s ) 融合了生物物 理学和数学的有关结果，提出了神经元突触模型中最原始最基本的模型一m p 模型， 这是自w j a m e s 以来第一个采用集体并行计算结构描述的人工神经网络及网络工 作，证明了m p 模型可完成任意有限的逻辑运算1 9 4 9 年，心理学家霍布( d o n a h h e b b ) 通过对大脑神经细胞，人类学习行为和条件反射的观察和研究，发表了行为 自组织专著，提出了神经元学习的一般规则一h e b b i n 算法，指出当两个神经元同 时兴奋时，连接权值强度增加，这一思想至今仍为许多算法所采用，并在最近的生理 解剖学中得到了证实随后神经网络的研究进入发展阶段 然而，1 9 6 9 年，作为人工神经网络创始人的明斯基( m a r r i nm i 瑚k y ) 和巴佩特( s e y m 0 1 】rp 印e r t ) 合作出版了一本名为感知器 2 】的书，他们通过大量的数学分 析，剖析了简单感知器，指出人工神经网络具有严重的理论局限性，不能解决许多现 实的问题，甚至对简单的逻辑异或问题也无能为力这一论证使人们对人工神经网 络研究的投入大大减少，使其研究走向低潮。在7 0 年代前后，只有极少数科学家坚 持研究人工神经网络正是由于他们的不懈努力，为人工神经网络的进一步发展打 下了基础，为8 0 年代的重新崛起并获得重大突破创造了必要的条件 1 9 8 2 年，霍普菲尔德( j o h nh o p f i e l d ) 【3 】提出了著名的h o p f i e l d 神经网络模型 h o p f i e l d 网络首次引用能量函数的概念来分析动态网络，从多层前馈网络和反馈网 络两方面掀起了人工神经网络全球性的研究热潮h o p f i e l d 神经网络模型的基本思 想是对于一个给定的神经网络，对于一个能量函数，这个能量函数是正比于每一个 1 硕士学位论文 神经元的活动值和神经元之间的联接权而活动值的改变算法是向能量函数减少的 方向进行，一直达到一个极小值为止它是一种动态反馈神经网络，比前馈网络具有 更强的计算能力，自联想记忆是其重要特征在h o p f i e l d 神经网络中，每个神经元跟 m p 模型一样有两种不同状态：0 ( 神经元不放电) ；1 ( 神经元放电) 由于网络输出端 到其输入端有反馈，所以h o p 丘e l d 网络在输入的激励下会产生不断的状态变化，最 终收敛到一个稳定的状态，从而实现联想记忆功能二值型h o p f i e l d 能够实现联想 记忆功能，但是真实神经元并不是二值型的神经元因此，需要用具有真实神经元特 性的神经元模型构建神经网络，才能更加接近真实的神经网络 2 0 世纪9 0 年代，研究表明【4 】【5 】发放神经元( s p 越n g ) 表现出了联想记忆的特 性由于发放神经元更加接近真实生物神经元的特性，因此，由发放神经元模型构成 的联想记忆神经网络模型成为目前科学研究的热点，如h o d g l 【i - h u 对e y 神经元模 型，f i t z h u g h - n a g u i n 0 神经元模型等就是典型的发放神经元模型 人工神经网络由于其特有的信息自处理能力，得到了人工智能的特别青睐其 强有力的非线性解算能力，近年来在工程界的水质分析【6 】，水文预报【7 】，环境评价 【8 】，地震预报【9 】及岩土工程【1 0 等各个领域中也得到了广泛的应用 对于含参数的系统，当参数变动并经过某些临界值时，系统的定性性态( 平衡状 态或周期运动的数目和稳定性等) 会发生突然变化这种变化称为分支分支是一类 常见的重要非线性现象，分支问题起源也研究一些力学失稳现象1 8 3 4 年，雅可比 在研究值引力介质的椭球形旋转液体星的平衡图形时，首先引进分支这个术语 固体力学的屈曲和流体力学的转型一直是推动分支研究的重要动力1 8 8 5 年，庞加 莱提出旋转液体星平衡图形的演化过程的分支理论。在很长一段时间里，分支的研 究主要是在应用领域中进行的直到2 0 世纪6 0 年代，微分动力系统，奇异性，非线 性分析等方面逐渐形成了现代数学理论和计算机的出现，使分支理论迅速发展并广 泛应用于许多领域 分支问题研究的是非线性动力系统在参数变化下，动力学定性性质是否发生改 变，即结构不稳定性的问题如果说结构稳定性研究的是邻近动力系统与原动力系 统动力学性质的保持问题，则分支研究的就是邻近动力系统与原动力系统动力学性 质怎样发生改变和改变的条件神经网络是一个典型的强非线性动力系统，一般地， 非线性动力系统通常可以呈现出四种行为：平衡点，周期运动，准周期运动和混沌 2 一 几类时滞微分方程神经网络模型的分支 当系统的参数发生变化时，系统的定性行为发生变化( 如由周期运动变为非周期运 动) ，这就意味着系统发生分支通过对动力系统分支行为的分析，可以了解到系统复 杂行为产生的过程，同时发现新的复杂现象，并由此来控制系统的动力学行为 如果系统状态的发展( 演化) 不仅依赖于系统当前的状态，同时也依赖于过去某 些时刻或时间区段的状态，则称此类动力系统为时滞微分动力系统，描写此类系统 的微分方程则称为时滞微分方程上个世纪以来，自然科学和社会科学的许多学科 中提出了大量时滞微分方程问题如核物理学，电路信号系统，生态系统，流行病学， 社会经济学，神经网络系统等这些同题的提出，大大地推动了时滞微分方程的研究， 使其在理论上和应用上都得到很大发展时滞微分方程是泛函微分方程中较为简单 的一类系统，其形式较为规整，更接近于经典的常微分方程的种种性质，因此其理论 体系也较其他类型的泛函微分方程更为完整严格地说，在动力系统中，时滞通常是 不可避免的在这个意义下，常微分方程只是时滞微分方程的一种近似描述如果略 去滞量并不改变动力系统解的性态，这时，用常微分方程去描述动力系统已够精确， 而不必顾及系统中的时滞因素如果略去滞量便达不到必要的精确度，甚至导致错误 的系统，或者不考虑滞量便无法建立所需的数学模型，则需要建立一系列新的概念 和方法去直接研究系统的解的种种性态有时为了使系统具有所期望的性态，设法 控制滞量和利用滞量，在某些系统中引入了精心设计的延滞部件见文【1 1 】和【1 2 】 因此建立时滞动力系统的理论及研究它的应用是非常重要和必要的见文【l 孓1 6 j 一3 一 硕士学位论文 考虑时滞微分方程组 1 2 预备知识 7 ( ) = ，( ! ( t ) ，秒( 一1 ) ，q ) ，t o ，( 1 2 1 ) 其中可r “，q r 对方程( 1 2 1 ) 的基本假设为 ( h 1 ) 函数，c 升1 ( r “r nxr ，舻) ，且存在矿，以及矿的某个领域6 ( q + ) ， 有，( o ，o ，q ) = o ，v a j ( q + ) 对，( z ，爹，q ) ，记丧，( o ，o ，q ) = 口( a ) ，南，( o ，o ，a ) = 6 ( a ) ，8 ( q ) ，6 ( a ) 均为珏礼 实矩阵函数利用上述记号可将方程( 1 2 1 ) 改写为如下形式 矿( ) = o ( q ) y ( t ) + 6 ( q ) y o 1 ) + f ( ( ) ，y ( 一1 ) ，q ) ，( 1 2 2 ) 其中，f 为关于z ，可的非线性函数，满足f ( 0 ，0 ，q ) = 0 ，且 d 扛，) f ( z ，秒，q ) i o ，可) ：( o ，o ) = o ，v q j ( q ) 从而( 1 2 2 ) 的线性化方程可以写作 耖7 ( ) = n ( a ) y ( z ) + 6 ( q ) ! ，( 一1 ) ，( 1 2 3 ) 其特征方程为 d e t d ( a ，a ) = 0 ( 1 2 4 ) 其中d ( a ，q ) = a 厶一o ( q ) 一6 ( q ) e a 进一步假设方程( 1 2 1 ) 在q = q 。处产生h o p f 分支，即 ( h 2 ) 对v a 6 ( q + ) ，d e 纪( a ，q ) = 0 有一对简单共轭复根a l ，2 ( q ) = 叩( q ) 士弛( n ) ， 且存在7 o 使d e d ( a ，n ) = 0 的其它根a ( q ) 满足觑a ( q ) 0 ； ( h 4 ) ( q + ) 0 上述条件( h 1 ) - ( h 4 ) 保证当参数q 经历时，方程( 1 2 1 ) 在零解处产生一个h o p f 分支 4 几类时滞微分方程神经网络模型的分支 1 3 研究内容及意义 由于神经网络动力系统的维数极高，其分支问题的研究无论是解析分析还是数 值分析都非常困难目前的分析多是取几个或几十个神经元的网络，画出分支参数 图，找到系统的分支特性【l7 】 1 8 】另外，b a i r d 1 9 】基于对其对称四阶关联矩阵分支 的分析，提出了用分支理论的规范形方程设计和综合这种网络模型的方法最后，值 得一提的是德国的n o 鹃e k 研究小组通过对具有两，三个细胞的细胞神经网络进行 了一系列数值和解析的分支分析【2 0 ，2 1 j ，发现该网络可以呈现出更加复杂的动力学 行为2 0 0 0 年，t a k a s h ik a n a m a r u 和y o i c h io k a b e 以f i t z h u g h - n a g u m o 神经元 模型为节点构建神经元网络，对人脑的联想记忆功能进行了仿真网络中第i 个神 经元的方程如下： fr 警一耽托一萼州卅种) + 耋如( 吼叫刊， 1 警r 触 ， 【( 碾( z ) ，仍( ) ) = d 幻j ( 一7 ) 其中，p = 0 8 ，y = o 7 ，r = 0 1 ，牡。= 一1 2 ，而= 3 ，让i 为第i 个神经元的膜电位； 为网络中神经元的数目；五( t ) 为外部输入信号；仇( ) 为高斯白噪声；d p 为神经元之 间传递信号的延时；如为第歹个神经元与第i 个神经元之间的连接权值 如= 丙万导五嚣( g n )j 巧。丽酉习4 引嚣叫j 嚣代表网络中存储的记忆模式 厶= z l p ( ) ，z l o ，1 ) 毛是二进制因子，它表示第i 个神经元是否有输入，y 为外部输入信号的强度r 1 1 h k a s l l i k a n 锄a r u 对不同噪声强度下神经网络对存储模式的联想记忆与恢复进行仿真表明， 噪声在神经系统的联想记忆过程中发挥了重要作用上述网络中神经元之间传递信 硕士学位论文 息的延时为常数，真实的神经系统中，神经元之阎传递信息的延时并不是常数，很多 因素造成延时不同因此，上述神经网络模型并不是特别接近真实的生物神经网络 2 0 0 5 年，李泳等以h o d g l ( i n - h u 妯e y 神经元模型为节点构建神经元网络，对人脑 的联想记忆功能进行了仿真网络中第i 个神经元的方程如下： l k r 等= 一卵。m ；饥( 仇一口) 一鲰n ；( 饥一圪) 十厶( t ) + 吼( ) + 乏二如( 吩( 一略i ) 一乱叼) j = 1 李冰等不仅考虑了噪声对联想记忆的影响，同时考虑了随机延时对联想记忆的影响， 更加真实的反映了神经系统的工作环境从结果得知，完全随机延时脉冲神经元网 络的改进是成功的，它依然能够实现脑神经记忆功能的随机共振和同步发放等主要 功能，因此，可作为研究真实脑神经系统的有效工具。 邹少芬、黄立宏等研究了系统 圣l ( ) = 一七z l ( ) + n t a n h ( z 2 ( 圣2 ( ) = 一七z 2 ( ) + nt a n h ( z l ( 圣3 ( ) = 一是z 3 ( t ) + ot a n h ( z l ( t 吃) ) 十口t a n h ( 勋( n ) ) 十n t a n h ( 勋( 您) ) + ot a n h ( z 2 ( t ( 1 2 5 ) 的一系列的动力学性质，我在此系统的基础上作了一些改进，增加了自反馈时滞魏 骏杰等研究了系统 圣l ( ) 多1 ( ) 扔( ) 一弘l z l ) + c 2 l ( 箩1 0 一您) ) + 一p 2 l ( ) + c 1 2 五( z 1 ( 一n ) ) ， 一卢3 驰( ) + c 1 3 ( z l ( 一n ) ) ， 的一系列的动力学性质，我研究的模型是对其的推广，在双向联想力记忆模型的第 l ，层增加了一个神经元 基于上述思想，本学位论文的主要工作为： 第二章讨论了具有两个时滞的系统 一七z 1 ( ) + 6 t a n h ( z 1 ( 一丁) ) + o t a n h ( z 2 ( 一死) ) + o t a n h ( z 3 ( 一7 1 ) ) ， 一七z 2 ( t ) + o t a n h ( z l ( 一n ) ) + 6 t a i l l l ( z 2 ( t 一7 - ) ) + 口t a n h ( z 3 一丁2 ) ) ， 一毙z 3 ( ) + 口t a n h ( z 1 ( 一琵) ) + 口t a n h ( z 2 ( 一n ) ) + 6 t a n h ( z 3 ( t 一7 ) ) ， ( 2 1 3 ) 一6 一 ” n 死 l = 一 一 一 回 2 0 ，吃 一 钝，f l 您 、l，、l，、l， ，-，-i、，f、 1 2 3 z z z ，if、【 几类时滞微分方程神经网络模型的分支 在选定6 作为分支参数后，通过分析其特征方程的根的分布给出了平衡点的稳定性 和h o p f 分支存在性的充分条件进而利用规范型方法和中心流形理论得到了关于 确定h o p f 分支的方向和分支周期解的稳定性的计算公式最后利用m a t l a b 软件 给出数值模拟结果，以支持我理论分析结果 第三章讨论了时滞双向联想记忆神经网络 ， l 圣l ( ) = 一p l z l ( ) + c 2 l ( y l ( 一死) ) + c 3 1 ( 掣2 ( t 一您) ) + c 4 1 ( 蜘( 一死) ) ， i 多l ( z ) = 一弘2 y 1 ( ) + e 1 2 如( z l ( 一乃) ) ， i 比( t ) = 一p 3 耽( ) + c 1 3 ，3 ( z l ( t n ) ) ， i 如( ) = 一弘4 弱( t ) + c 1 4 ( z l ( t n ) ) ， ( 3 1 2 ) 以7 _ = n + 丁2 作为参数，利用规范型方法和中心流形理论研究h o p f 分支的存在性 和分支方向及分支周期解的稳定性通过利用m a t l a b 软件给出数值模拟，说明结论 的正确性 时滞系统在生物学和一些动力学分支中被广泛研究在人工神经网络中，由于 信号的有限传播速度，时滞经常发生人工模拟确定的突触连接权重，外部输入，神 经元的阈值等参数的误差对神经网络系统的动力学性质可能产生定性的影响由于 大规模时滞微分方程神经网络的定性分析目前仍缺少有效的工具和方法，而小规模 时滞神经网络模型的动力学研究可为大规模网络的研究提供借鉴的方法和工具，因 此研究系统( 2 1 3 ) 和( 3 1 2 ) 有助于深入地研究更加复杂的大型的神经网络系统 7 几类时滞微分方程神经网络模型的分支 2 具有两个时滞的细胞神经网络系统分支分析 2 1 引言 细胞神经网络由c h u a 和y 咀g 于1 9 8 8 年提出，与一般神经网络一样，它是一 个大规模非线性模拟系统，其特点是神经元之问局部连接，电路便于实现v l s i ，输 出信号函数是分段线性函数，具有双值输出，运行速度快等优点，已应用于图像处理， 模式识别，优化控制，信号处理，方程求解计算技术等领域( 见文【2 0 ，2 2 2 6 】) ，且新的 应用领域在不断被发现。s h a 弹r 和c a m p b e l l 考虑了具有三个时滞的微分方程系统： 奶 ) = 础观 ) + 风叫现o 1 ”籼1 2 鼬 2 0 - 丁2 ”， ( 2 1 - 2 ) l 奶( ) = 一七z 2 ( ) + p t 8 n h ( z 2 ( 一兀) ) + q 2 lt 础l ( z l 一丁1 ) ) ， 他们给出了一些平凡解线性稳定的充分条件文1 2 7 】研究了具有一个时滞的三细胞 神经网络， 血( z ) = 一甄( ) + 乏二口巧p t a n h ( z j ( t 一下) ) ，i = l ，2 ，3 ， ( 2 1 1 ) j = o 其中= 0 ，l = 1 ，2 ，3 他给出了确定h o p f 分支的方向的公式，但没有考虑平凡解 的线性稳定性 本部分考虑具有自反馈时滞的三细胞神经网络， i 圣l ( ) = 一后z 1 ( ) + 6 t a i l h o l ( 一7 - ) ) + 8 t a n h ( z 2 ( 一死) ) + n t a n h ( z 3 ( z n ) ) ， 圣2 ( ) = 一z 涩2 ( ) + 8 t 8 n h ( z l ( 一n ) ) + 6 t a i l h ( z 2 ( 一7 - ) ) + o t a 】1 l l ( z 3 0 一死) ) ， l 圣3 ( t ) = 一忌z 3 ( ) + n t a n h ( z l ( 一亿) ) + 口t a n h ( z 2 ( t n ) ) + 6 t a n h ( z 3 ( 一下) ) ， ( 2 1 3 ) 其中艮0 ，七是内部衰减速率，o 0 ，6 0 是连接权值不失一般性，我们假设 丁2 7 - n o ，利用系数和激活函数的一阶导数作为分支参数得到h o p f 分支的 方向和稳定性 2 2 平衡点的稳定性及h o p f 分支的存在性 9 硕士学位论文 我们主要研究非线性系统( 2 1 3 ) 的平衡点( z l ，z 2 ，z 3 ) = ( o ，o ，0 ) 的线性稳定 性线性化系统( 2 1 3 ) 得 系统( 2 2 1 ) 的特征方程是 0= 入+ 七一6 e a r n e a 力 一n e 一 n 一口e a t 2 入+ 毙一6 e 一灯 一0 e a n 一口e a 力 一o e a 丁1a + 七一6 e h ， = ( a + 七一6 e a 7 ) 3 3 0 2 ( a + 七一6 e a 7 ) e a h + 亿) 一口3 ( e 一3 a n + e 一3 a 心) = ( 1 ( a ) ( 2 ( a ) ， 其中 ( 1 ( a ) = a + 七一6 e a 7 一n ( e a f l + e a 力) ， 白( 爻) = ( 入+ 七一6 e 一知+ 三n ( e 一概+ e 一概) ) 2 + 兰。2 ( e h e 以讫) 2 因此，( 2 2 2 ) 等价于 或 a + 后一6 e a r n ( e a n + e a 您) = 0 ， a + 七一6 e 。r + 三n ( e 以n + e 。心) ：土i 雩m 。n e 。q ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 我们要找参数后，o ，6 ，7 - ，丁l ，和他的最大子集，使得这个子集里特征方程( 2 2 2 ) 的所有根都有负实部我们把这个子集作为平衡点的稳定区域把a = p + 讪代入 ( 2 2 3 ) 和( 2 2 4 ) 的左边，分离实部和虚部得 r e ( 2 2 3 ) = p + 七一6 e p rc 0 8 ( “，7 ) 一口e p nc o s ( u n ) 一o e 一肌c 0 8 ( u 丁2 ) ， ，m ( 2 2 3 ) = u + 6 e p 7s i n ( u 7 ) + n e p 力s i n ( u 7 1 ) + n e 一肛它s i n ( u 仡) ， 1 0 一 n 吃 丁 一 一 一 ，-、，j、 l 船 黜 啤 吲州慨+ + h 、，、l， l哟力i = i 一 一 一 o 谳锄 h + + 力l ：吃 彻 凹 + + + 一 一 一 = = = 几类时滞微分方程神经网络模型的分支 觑( 2 2 - 4 ) = p + 七一6 e 一妒c 。s ( u 丁) + 口e 一肌c 。8 ( u n 士吾) + 口e 一肌c 。s ( u 色千吾) ， ，仇( 2 2 4 ) = u + 6 e 一弘rs i n 7 ) 一。e p 7 1s i n ( u n 士吾) 一n e p 力s i n ( u 死千吾) 如果a = p + 讪是( 2 2 3 ) 的解，则 p = 一七+ 6 e 一妒c 0 8 ( u 7 ) + n e 一肌c o s ( u 丁1 ) + o e p 他c o s ( u 死) ， u = 一6 e p 7s i n ( u r ) 一n e 一肌s i n ( u 7 1 ) 一n e 一盯28 i n ( u 7 - 2 ) 如果a = p + 讪是( 2 2 4 ) 的解，则 p = 一七+ 6 e 一c o s ( u 丁) 一n e p r lc o s ( u n 士三) 一n e p 它c o s ( u 死千三) ， u = 一6 e p 1 s i n ( u 丁) + n e p n8 i n ( u 7 1 士吾) + 口e 一牌8 i n ( u 死千) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 定理2 2 1 如果七 2 + j 6 l ，则特征方程( 2 2 2 ) 的所有根都有负实部，从而 ( 2 1 3 ) 的零解是渐近稳定的 证明令r ( 肛) = p + 七一e p n 1 0 l e 一脾一e 一旷显然， 觑2 2 3 ( p ，u ) r ( p ) ， r e 2 2 4 ( p ，u ) r ( p ) ， 因为七 2 i n | + 1 6 i 则r ( o ) = 七一2 l n l 1 6 i o 又对于p o ， 掣= l + i n m 一+ l n 旧一晰e 叩 ( 2 2 9 ) 有r ( p ) o 证毕 定理2 2 1 给出了平凡解的线性稳定性的一个不依赖时滞的充分条件接下来， 我们给出一些依赖时滞的充分条件 定理2 2 2 假设一口一6 七 一2 0 一6 ，6 口 o ，o n 丁死一击，则 特征方程( 2 2 2 ) 的所有根都有负实部 证明令a = p + 讪是( 2 2 2 ) 的根，不失一般性，我们假设u 0 ，p 0 分两种情 况证明从( 2 2 6 ) 可知u 一2 0 一6 一3 6 ，因此o u 7 1 u 7 u 死l 0 对m l ( p ，u ) 关于p 求偏导数得 掣= 2 ( p 删地e c o s ( 他础删e 叫t 1 c 础7 1 ) 一2 n u n e 一牌s i n ( u 7 1 ) 一2 0 2 丁1 e 一孙m + 2 0 2 色e 一2 p 忽+ 2 6 2 7 e 一2 矿 + 2 n 6 ( 7 - + 您) e p f 一册c o s ( u 7 - 一u 忍) = 2 ( p + ) 【1 + n n e 一肌c 0 8 ( u 7 1 ) 】一2 0 e 一肌( c o s ( “，7 1 ) + n 7 1 e p n 】 一2 0 u ne p ns i n ( u 7 1 ) + 2 8 2 仡e 一舡亿+ 2 6 2 7 - e 一2 p r + 2 0 6 ( 7 + 仡) e 一矿一妒2c o s ( 7 一u 丁2 ) 注意到口 o 对于p o ，则舰( 肛，u ) o 这与( 2 2 1 1 ) 矛盾现在我们假设 p 和u 同时满足( 2 2 7 ) 和( 2 2 8 ) 首先假设 p = 一七+ 6 e p 7c 。s ( u r ) 一n e 一肛nc 。s ( u 丁1 + 吾) 一n e p 讫c 。s ( u 死一三) ， ( 2 2 1 2 ) u = 一6 e p 7s i n ( u 1 - ) + n e 一肌8 i n ( u 7 1 十三) + n e 一肋s i n ( u 死一詈) 从( 2 2 1 2 ) 和( 2 2 1 3 ) 有 其中 尬( p ，u ) = ( p ，u ) = 0 ， ( p + 后) 2 + u 2 一口2 e 一2 p 7 1 一口2 e 一2 肫 一2 n 2 e 一肌一_ i i 亿c o s ( u n u 丁2 + 婺) 一6 2 e 一2 p 7 + 2 口6 e p 您一p fc o s ( 叫忍一u 7 一等) + 2 n 6 e 一肌一圹c o s ( u n u 丁+ 要) 我们有o u n u 丁u 丁2 詈， 所以 m 2 ( o ，u ) 吾= 一吾+ 吾 三( u n u 死) + 三+ ，否2 一百+ i 互( u n u 死) + 虿+ 亏， 0 = 0 = 一 酞一6 ，6 n 一俪一6 ，6 七一n 2 ( 一云) 一n 6 ( 一云) 一。6 ( 一云) = 七+ 警+ 知 后+ 以口+ 6 o 。 则掣 o ，且( o ，u ) o 所以对于p o ，( 肛，u ) o ，这与( 2 2 1 4 ) 矛 盾 最后，假设 p = 一七十6 e 一c 。s ( 丁) 一。e 一朋c 。8 ( u 7 1 一三) 一口e mc o s ( u 仡+ 吾) ， ( 2 2 1 5 ) u = 一6 e p r8 i n p 7 ) + 。e p ns i n ( u n 一吾) + 口e p 忍s i n 丁2 + 吾) 从( 2 2 1 5 ) 和( 2 2 1 6 ) 有 m 3 ( p ，u ) = 0 ， 1 4 ( 2 2 1 6 ) ( 2 2 1 7 ) 几类时滞微分方程神经网络模型的分支 其中 酶( 肛，u ) = ( p + 凳) 2 + u 2 一0 2 e 一弘n a 2 e 一2 芦您一6 2 e 一缸7 2 n 2 e 肌一肌c 。s ( u n u 您一婴) + 2 n 6 e 一忽一卢7c o s ( 死一。7 + 芸) + 2 口6 e 肌一妒c 0 8 ( u 丁l u 7 一芸) 仍然有o n 丁u 您 ， ( 0 ，u ) = 一三= 一吾一三 丢( u 7 1 一u 匏) 一三一三，一i 。一百一亏 互【u 7 1 一u 匏) 一亏一亏， 一吾= 一吾一吾 三( u 丁一u 功) 吾一丢，一虿2 一石一否 互【u 丁一u 功) 石一否， 一= 一吾一吾0 1 5 硕士学位论文 利用条件惫 一佤一6 6 口 一怕口一6 ，6 后+ 佤+ 6 o 枷兰雩 有掣 o 。且 i 磊( o ，u ) o ，对于p o ，则飓( p ，u ) o ，与( 2 2 1 7 ) 矛盾证毕 上面我们已经得到一些系统( 2 1 3 ) 在甲衡点( o ，o ，0 ) 处产生h o p f 分支的必要 条件接下来我们以6 作为h o p f 分支的分支参数系统( 2 2 1 ) 的特征方程是 ( a + 后一6 e a 7 ) 3 3 扩( a + 后一6 e 一 7 ) e a h + 亿) 一0 3 ( e 一3 a 7 1 + e 一3 a 他) = 0 ，( 2 2 1 8 ) 当6 = 6 0 时，假设( 2 2 1 8 ) 有一对纯虚根a = 士i 蛐令a ( 6 0 ) 是通过( 6 0 ，i 龇) 的 1 6 一 堡2 几类时滞微分方程神经网络模型的分支 ( 2 2 ，1 8 ) 的解对( 2 2 。1 8 ) 关于6 求导得 坐号掣= 丽若而 m 卜3 c o s ( 蛳丁) ( 七一6 0c o s ( 岫丁) ) 2 + 3c 。s ( 蛐，) ( 岫 + 6 0s i n ( 咖7 - ) ) 2 6 ( 后一6 0c o s ( 蛐丁) ) ( 蛐+ 6 ；0s i n ( 岫7 - ) ) s i n ( 岫7 ) + 3 n 2c o s ( 蛐7 - ) c o s ( 岫7 1 + 蛐丁2 ) 一3 n 2s i n ( 岫7 i ) s i n ( 蛐n + “m 死) 1 + 【3s i n ( 7 - ) ( 七一6 0c o s ( u o 丁) ) 2 3s i n ( “帕丁) ( 吣+ 6 0s i n ( 蛳7 ) ) 2 6 一bc 0 8 ( 峋丁) ) ( 蛐+ 6 0s i n ( 7 ) ) c o s ( 岫7 i ) 一3 n 2c 0 8 ( 蛐r )