（课程与教学论专业论文）数学变式教学的探索性研究.pdf

聂必凯：数学娈武教学的探索性研究捕要( a b s t r a c t ) 摘要 变式在数学教学中的使用似乎比其他学科更为频繁，然而少见有关变式教学 的较为系统的理论梳理与实证研究。顾泠沅将变式分为概念性变式与过程性变式 以及以m a r t o n 为首的境外学者，基于现象图示学理论，提出了学习的变异原理 和“教学即变异空涮的构建”等理念大大地丰富了变式理论，为变式教学的研究 开辟了新的视野。 笔者既作为研究者又是参与者与相关教师及教研人员，进行了前后近一年的 合作模式的行动研究。本研究所获得的数据主要来源于以下几个途径：对来自于 上海市十多所初级中学1 0 2 位数学教师的问卷调查；对3 9 9 名来自上海市某区两 所中学初中二年级学生的测试：借鉴课例研究( l e s s o ns t u d y ) 模式基于工具 性( i n s t r u m e n t a l ) 个案研究方法的典型课例研究。 ( 一) 、关于教师对变式教学的认识与行动的研究结果表明： 很少有教师从教学手段、教学思想或教学模式等多角度看待变式教学。在多 数教师看来，变式练习是变式教学的主要形式。因而教师最关注解题方法的变式， 追求解题方法的多样性。 教师认为变式的使用是学生认知的需要，同时也是题型训练的霈要，他们更 关注变式对学生的“获得”所起的作用，而不是变式对学科知识的传授所起的作 用。 多数教师认为针对某一知识点的同水平的数学问题的反复操练既有助于记 忆，又能促进理解。多数情况下，教师对变式的使用并不是无意识的，而是课前 有设计的。 根据教龄7 年( 含7 年) 组教师与8 年及以上组教师的比较研究的结果，本 研究建议成长中的新教师应：( 1 ) 重视变式教学的作用在课堂教学中，有计划、 有设计地使用变式；( 2 ) 关注教法与学法的变式；( 3 ) 将变式更多地延伸到课堂 教学的“外围”：复习思考、巩固反思和小结练习这三个环节：( 4 ) 在教学中要 试图探索变异空间的适当的维度 ( 二) 、本文从五个研究课例和一个测试探讨了过程性交式的教学实施形式 与教学意义： 1 、关于基本图形的变式。作为图形变式出发点的基本图形，或称为原型决 定了教学的基本走向。基于运动与构造的过程性变式，揭示了知识的发生过程以 及知识之间的联系。 学生动手操作、体验交式图形的获得过程，从而真正懂得这些变式图形之间 不仅仅是形式上的变化，而在本质上是一致的，但变式教学如果不从深层次上挖 掘其教学意义，很容易变成数学问题或几何图形的看似绚烂的“万花筒”，成为 “为变而变”的机械操作。 2 、关于导入情境的变式。研究课例将导入情境分为：准现实情境、准数学 化情境和数学化情境三个层次，不同层次的情境通过帮助学生形成对情境意图的 聂必虮：觳学蹙式教学的探索性研究摘要( a b s t r a c t ) 觉察，指引不同层次学生的有差异的活动；情境的层次性，就是要求教师设置一 定的梯度，把握合适的“潜在距离”化解问题解决中的适当难度，使学生的思 维得以步步深入，使学生在问题情境中“拾阶而上”：同时，还应关注情境的有 序性以及情境的发散性。 3 、关于教学示例的变式。“一个维度、三个取值”是本文的研究课例中教师所构 建的一个学习空间，在这样个结构简单的空间里，正因为只有一个变异维度， 三个取值之问的关系似乎是“线性的”。整个课例的实旌过程就是这三个值之阃 的变换过程，因而知识之间的类比和迁移显得相对容易。 研究表明，教师所选的示例应分别涵盖各变异维度的所有特殊的取值，合理 处置变式示例之间的共性与个性。 4 、关于数学活动的变式。数学活动的变异空间具有以下三个维度：操作材料、 操作活动与理论应用。如果经验材料更接近生活中的实物，那么学生对经验材 料数学组织化的过程可能就更清晰一点，因为这一过程本身对构成学生过程知识 来说是很重要的，否则，经验材料的组织在数学学科里，似乎就仅表现为一个开 放性的数学问题了。操作活动的变式取决于经验材料的变式。课例研究的结果表 明；面向数学对象的直观的实物操作与非直观的意象操作是有效的操作方式，这 两种操作方式的结合很好地促进了数学活动的完成。 理论的应用兼顾横向与纵向的关联性问题，使得课堂教学保持了较大的的信 息容基。 5 、关于外部表征的变式。研究表明，概念表征的变式是根据其变异维度分阶段 进行且相互关联的。许多的数学概念类似函数概念表征的四个维度：情境的、几 何的、算术的和代数的。 概念表征的变式与相互转化是促进学生概念理解的有效手段。值得注意的 是，研究课例中的表征之间的转化多是单向的，教师应有意识地设置促进表征之 间相互转化的问题。 教师要善于利用外部表征的解释和转化来促进学生的个人表征与一般性的 表征联系起来。 成功解决问题的一个重要举措是运用另一种或再加一种问题表征的策略。学 生运用另外的问题表征策略的意向以及选择合适的问题表征的能力并不是自动 形成的。研究结果表明。鉴别出不同表征下的同一问题，对多数被试来说不是一 件很容易的事：而且表征之间会出现转化错误。 课堂教学应探讨通过问题外部表征的变式促进学生个体表征转化的途径。作 为课堂教学组织者的教师应该不仅让学生体验同一问题的不同表征，而且还要和 学生一起分析和总结不同表征之问转化的方法和规律。 关键词：数学教学变式教学 概念性变式过程性变式变异维度 墨堂垫! 塾兰壅壅塾堂竺篓童丝翌壅塑墨丝! ! 坠! 旦 a b s t r a c t i ti sm o r ef r e q u e n t l yf o rt h ep e d a g o g yo fv a r i a t i o nt ob eu s e di nm a t h e m a t i c s t e a c h i n gt h a ni no t h e rs u b j e c t s s of a r , t h et h e o r e t i c a la n de x p e r i m e n t a ls t u d i e so f t h e p e d a g o g yo fv a f i m i o n ，h o w e v e r , a r es t i l l s c a n t y g ul i n g y u a nt h i n k st h a t t h e v a r i a t i o nc o n s i s t so f c o n c e p t u a lv a r i a t i o na n dp r o c e d u r a lv a r i a t i o n a n dt h ep r i n c i p l e o fv a r i a t i o nf o rl e a r n i n ga n dt h ei d e a ， t e a c h i n ga st h ec o n s t r u c t i o no ft h es p a c eo f v a r i a t i o n ”p u tf o r w a r db ys o m ea b r o a ds c h o l a r s ，s u c ha s ，f m a l t o n ，h a v ee n r i c h e d t h et h e o r i e so nv a r i a t i o n ，a n do p e n e dan e wp e r s p e c t i v ef o rt h er e s e a r c ho ft h e p e d a g o g y o f v a r i a t i o n t h ea u t h o r ，a sb o t har e s e a r c h e ra n dap a r t i c i p a t o r , h a sd o n et h ec o o p e r a t i v e a c t i o nr e s e a r c hw i t hc o r r e l a t i v em a t h e m a t i c st e a c h e r sf o ro n ey e a ro rs o t h ed a t ei n t h i s s t u d yi s o b t a i n e di nt h ef o l i o w i n gw a y s ：aq u e s t i o n n a i r ef o r10 2m a t h e m a t i c s t e a c h e r sf r o mm o r et h a nt e n j u n i o rh i g h s c h o o l si ns h a n 曲a i ；at e s tf o r3 9 9s t u d e n t si n g r a d e8i nj u n i o rh i g hs c h o o l si ns h a n g h a i ；a n dt h et y p i c a ll e s s o n ss t u d y , b a s e do nt h e m e t h o do fin s t r u m e n t a lc a s e s t u d y p a r t1 t h er e s e a r c hr e s u l t so nt e a c h e r s u n d e r s t a n d i n ga n da c t i o nt o p e d a g o g y o fv a r i a t i o ns h o w ： f e wt e a c h e r ss i m u l t a n e o u s l y r e g a r d v a r i a t i o na sat e a c h i n gm e a n s ，ak i n do fi d e a o f t e a c h i n g o ram o d e lo f t e a c h i n g t ot h em o s t o f t e a c h e r s ，t h ep r a c t i c ew i t hv a r i a t i o n i st h em a i nf o r mo f p e d a g o g yo f v a r i a t i o n s ot e a c h e r sp a ym o r ea t t e n t i o nt ot h e v a r i a t i o no f t h ew a y s o f p r o b l e ms o l v i n g ，a n dp u r s u i tt h ed i v e r s i t yo f t h ew a y s ， m o s to ft h et e a c h e r st h i n kt h a ti ti st h en e e df o rs t u d e n t s c o g n i t i o nt ou s e v a r i a t i o n a n da l s of o rp r o b l e m s o l v i n g t h e ya r em o r er e g a r d f u lo f t h e a t t a i n m e n t s o f s t u d e n t sb u tn o tf o ri m p a x t m e n t ，w h i l e t h e y u s ev a r i a t i o n m o s to f t h et e a c h e r s “i l l 【t h a t r e p e a t e dp r a c t i c ei sh e l p f u lt om e m o r y a sw e l la s u n d e r s t a n d i n g u s u a l l y ，t e a c h e r sh a v e a d e s i g nf o rv a r i a t i o nu s i n gi nt h ec l a s s a c c o r d i n gt ot h er e s u l to ft h ec o m p a r a t i v es t u d yb e t w e e nt h et e a c h e r s 、v i t hn o m o r et h a n7t e a c h i n gy e a r sa n dt h eo n e sw i t hm o r et h a n7 t e a c h i n gy e a r s ，t h i ss t u d y s u g g e s t s t h a tt h en o v i c et e a c h e r ss h o u l dp a ya t t e n t i o nt ot h er o l eo f p e d a g o g yo f v a r i a t i o n ，u s ev a r i a t i o nw i t hd e s i g n ，t a k et h ev a r i a t i o no fm e t h o d so f t e a c h i n ga n d l e a r n i n gi n t oa c c o u n t a n dp r o b et h es u i t a b l ed i m e n s i o n so f v a r i a t i o ni nt h ep r o c e s so f t e a c h i n g p a r t2 t h et e a c h i n gf o r m sa n dt h em e a n i n g so ft h ep e d a g o g yo f v a r i a t i o n a r e p r o b e di nt e r m so ff i v ec a s e sa n do n et e s t 1 o nt h ev a r i a t i o no fb a s i cf i g u r e s t h eb a s i cf i g u r e ，a sa s t a r t i n gp o i n t ，d e c i d e s 墨些垫! 墼兰壅垄墼堂竺堡墨竺堑壅苎墨! 竺! ! ：坠! ! ! t h eo r i e n t a t i o no ft e a c h i n g t h ep r o c e d u r a l v a r i a t i o nb a s e do nm o v e m e n ta n d c o n s t r u c t i o n ，r e v e a l st h ef o r m a t i v ep r o c e s so ft h ek n o w l e d g ea n dt h er e l a t i o n s h i p a m o n g t h ek n o w l e d g e t h es t u d e n t sg e tt h ev a r i e t yf i g u r e sb yt h e m s e l v e s ，t h e nc a nr e a l l yu n d e r s t a n dt h e e s s e n t i a lc o n s i s t e n c yi nt h ev a r i e t yf i g u r e s m e a n w h i l e ，v a r i a t i o nm u s tn o tb eu s e do n t h es u r f a c e 2 o nt h ev a r i a t i o no fc o n t e x t c o n t e x t ss h o u l db ed e s i g n e db yd i f i f e r e n tl e v e l s i nt h i s s t u d y ，c o n t e x ti sd i v i d e di n t ot h r e el e v e l s ：p a r a - r e a l i t yc o n t e x t ，p a r a - m a t h e m a t i c a l c o n t e x ta n dm a t h e m a t i c a lc o n t e x t n 峙c o n t e x ti nd i f f e r e n tl e v e l sg u i d e ss t u d e n t s d i f f e r e n ta c t i v i t i e sb y h e l p i n gs t u d e n t sr e c o g n i z e t h ei n t e n t i o no ft h ec o n t e x t a sf o r t h eh i e r a r c h yo f c o n t e x t ，i ti sv e r yf u n d a m e n t a lt oc o n t r o lt h ea p p r o p r i a t ep o t e n t i a lg a p b e t w e e nt h ed i f f e r e n tc o n t e x t s m e a n w h i l e ，t h es e q u e n c ea n dd i v e r s i t yo f c o n t e x t s h o u l db ec o n s i d e r e d 3 o nt h ev a r i a t i o no fe x a m p l e s as p a c eo fl e a r n i n gi sc o n s t r u c t e dw i t h “o n e d i m e n s i o na n dt h r e ev a l u e s ”b e c a u s eo ft h eo n l yo n ed i m e n s i o no fv a r i a t i o n ，t h r e e v a l u e s r e l a t i o ni sj u s tl i n e a r t h ep r o c e d u r eo f i m p l e m e n t o ft h el e s s o nc o r r e s p o n d st o t h et r a n s f o r ma m o n gt h et h r e ev a l u e s s oi ti se a s i e rf o rt h ek n o w l e d g et oa n a l o g ya n d t r a n s f e r t h ee x a m p l e sc h o s e n b yt e a c h e r s s h o u l dc o v e ra l l s p e c i a l v a l u e si n e v e r y d i m e n s i o n m e a n w h i l e ，t h eg e n e r a l 妨a n di n d i v i d u a l i t yo fe x a m p l e ss h o u l db ed e a l t w i t h r e a s o n a b l _ y 4 o nv a r i a t i o no fm a t h e m a t i c a la c t i v i t i e s t h e r ea r et h r e ed i m e n s i o n si nt h i ss p a c eo f m a t h e m a t i c a la c t i v i t i e s t h e ya r er e s p e c t i v e l y ，m a t e r i a l s ，a c t i o na n da p p l i c a t i o n i f t h e m a t e r i a l sa r ec l o s et ot 1 1 e r e a l i t y b e t t e r t h e nt h e p r o c e d u r e o fm a t h e m a t i c a l o r g a n i z a t i o nf o rm a t e r i a l sw i l lb ec l e a r e r t h ev a r i a t i o no fa c t i v i t i e si sd e c i d e db yt h ev a r i a t i o no fm a t e d a l s t h er e s u l t si n t h i ss t u d ys h o wt h a tb o t ht h ev i s u a la c t i o nt om a t h e m a t i c so b j e c t sa n dt h ei m a g i n i n g a c t i o na r e v e r ye f f e c t i v e ，a n d t h e i rc o m b i n a t i o n p r o m o t e s t h ef u l f i l l m e n to f m a t h e m a t i c a la c t i v i t i e s t h ea p p l i c a t i o no ft h e o r i e ss h o u l dc o n n e c tw i t hs o m er e l a t e dp r o b l e m sf r o mt h e c r o s s w i s ea n dl e n g t h w a y s s oa st ok e e pm o r ei n f o r m a t i o ni nt h ec l a s s 5 o nv a r i a t i o no fe x t e r n a lr e p r e s e n t a t i o n s v a r i a t i o no f c o n c e p t u a lr e p r e s e n t a t ! o n si s p r o c e e d e da n dc o n n e c t e dw i t he a c ho t h e rb ys t a g e sa c c o r d i n gt ot h ed i m e n s i o n so f 聂必凯：救学变式教学的探索性研究摘要( a b s t r a c t ) v a r i a t i o n l o t so f m a t h e m a t i c a lc o n c e p t s ，l i k et h er e p r e s e n t a t i o n so f t h ec o n c e p to f t h e f u n c t i o n ，h a v ef o u rd i m e n s i o n so fv a r i a t i o ni nr e p r e s e n t a t i o n s ：s i t u a t e d ，g e o m e t r i c ， a r i t h m e t i c a la n d a l g e b r a i c v a r i a t i o na n dt r a n s f e r m u t u a l l y o fr e p r e s e n t a t i o n sa r ee f f e c t i v em e a n so f p r o m o t i n gs t u d e n t s u n d e r s t a n d i n go fc o n c e p t s i nt h i ss t u d y ，h o w e v e r ，t h et r a n s f e ri s j u s to n ew a y t e a c h e r ss h o u l dp r o m o t es t u d e n t st oc o n n e c ti n t e r n a lr e p r e s e n t a t i o n s w i t ht h ee x t e m a lo n e s t h r o u g h 也ee x p l a n a t i o n a n dt r a n s f e ro fe x t e m a l r e p r e s e n t a t i o n s a ni m p o r t a n tm e a n so f s o l v i n gp r o b l e m ss u c c e s s f u l l yi st ou s eo ra d da n o t h e r r e p r e s e n t a t i o ns t r a t e g i e s t h ei n t e n t i o no f u t i l i z i n go t h e rr e p r e s e n t a t i o ns t r a t e g i e sa n d t h ea b i l i t i e so f c h o o s i n gt h ea p p r o p r i a t er e p r e s e n t a t i o n sa r en o tf o r m e ds p o n t a n e o u s l y i nt h i ss t u d y ，t h er e s u l t ss h o wt h a ti ti sn o te a s yf o rm o s to f s t u d e n t st oi d e n t i f yt h e s a m e p r o b l e m si nd i f f e r e n tr e p r e s e n t a t i o n s a n ds o m e t i m e s ，t h e ym a ym a k em i s t a k e s i nt r a n s f e ro f d i f f e r e n tr e p r e s e n t a t i o n s t e a c h e r s ，a st h eo r g a n i z e r so fc l a s s ，n o to n l yl e ts t u d e n t se x p e r i e n c ed i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n so f a p r o b l e m ，b u ta l s oa n a l y z e a n di n d u c et h em e t i l o d sa n d r e g u l a r i t i e s o f t h et r a n s f e ro f d i f f e r e n t r e p r e s e n t a t i o n s k e yw o r d s ：m a t h e m a t i c st e a c h i n g ，p e d a g o g yo fv a r i a t i o n ，c o n c e p t u a l v a r i a t i o n ， p r o c e d u r a lv a r i a t i o n ，d i m e n s i o n so f v a r i a t i o n 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果，掘我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发 表或撰写过的研究成果。列本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中 做了明确说明并表示谢意。 作者签名：易、。芦锄一j日期：d 。咄鲈，g 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定。学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学 位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要编汇出 版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：乒、，毋勿u l = 1 如】：0 0 仁譬，6 翩虢谗 一 日期：毕乏7 f 致谢 首先感谢我的导师王建磐教授、顾泠沅教授和李士铸教授给予我弥足珍贵的 求学机会和关照。先生们“做学问，先要做人”的教诲，应是弟子一辈子去实践 和追求的。而本论文从选题到完成的各环节无不凝结着三位先生的心血。 感谢我的导师组的张奠宙教授、唐瑞芬教授，耳濡目染他们的为学为人，有 幸聆听他们的谆谆教诲，时常让我感到“大树底下的荫凉”。感谢我的导师组的 李俊博士一直关心和指导着我的整个研究过程感谢黄荣金博士为我的论文提供 了非常重要的文献和改进意见。 感谢我的良师益友、美国d e l a w a r e 大学的蔡金法博士，在我为学位论文的 撰写而陷入迷茫、惶恐甚至是痛苦的时候，通过越洋电话的长谈，给予我非常及 时的鼓励和指导。 感谢我硕士时的导师汪秉彝教授和吕传汉教授，即使在这离开贵州的三年时 间里，两位先生仍然一如既往地给我指教和帮助 感谢上海市教科院周卫研究员，慷慨地向我提供了录音机、磁带以及免费的 打印等许多的帮助 感谢徐汇教育学院的徐晓燕老师，徐老师的热情和智慧使我们之间的合作研 究始终充满了轻松和成就感感谢所有参与我问卷调查、课例研究、测试的老师 和学生以及引用过其研究成果的老师或同仁，请原谅我在此未能一一列出他们的 姓名，但我深知，没有他们的热心支持和积极配合我将一无所获，他们的名字已 经深深刻在我的心里 感谢总是忙碌和热心的黄英娥老师三年来给予我无私的关心和帮助 感谢所有栽培过我的老师，感谢师兄、师姐、师弟及师妹们，培育之恩、同 窗之情永生难忘。 最后，感谢我勤劳朴实的双亲，我蹒珊跨出的每一步都有他们的牵引和扶持。 感谢我漂亮贤惠的妻子谢学风和聪明可爱的女儿聂听在分享我快乐的同时也分 担了我所有的愁苦，她们无言的支持始终伴随着我艰难却又满盈幸福的求学旅 程。 最必凯：数学变武教学的探索性研究第1 章 弓j 言 第1 章引言 1 1 中国数学教育的本土特征 教育取向研究必须直面本土教育需求。在数学教育日益国际化的今天，国 外学者( 包括境外华人学者) 曾经发现或正在搜寻我们自身熟视无睹的一些长处， 正如“当局者迷，旁观者清“。美国有一批长期研究东亚数学教育的学者( 如， s t e v e n s o n 等) ，他们试图从东亚数学教育中汲取精华。近年来。几位华人学者 ( 如，蔡金法，马立平) 在美国所做的比较中美数学教育的有关研究成果也受到 当地数学教育界的高度重视。2 0 0 2 年5 月，瑞典教育家f 马腾( f m a r t o n ) 在考 察上海青浦区的教改情况时，对几位教师的课堂教学评价很高。上世纪九十年代 末，美国学者彭恩霖( l y n np a i n e ) 在上海作新教师入职教育的研究时，也充 分肯定了具有中国特色的教研组文化，对中国数学教师的课时计划中的重点、难 点和关键等要素很感兴趣，认为这与中国数学课堂教学获得成功有很大的关联。 类似的例子很多，也不容我在此过多列举。 西方学者将审视的目光投向了中国，国内学者也着手打量自身的数学教育。 张奠宙教授在i c m e 一9 东京会议上发起组织了华人学者论坛。其问华人学者提出 了一些颇具意义的见解。如，“中国人如何学习数学还是一个尚未开发的宝藏， 是否存在中国人学习数学的方式呢? ”( 黄毅英，2 0 0 0 ) ；“不能让中国的数学教 育有殖民主义的倾向。应该建立自己的数学教育资料库，通过这些资料库发 展出所谓本土性学习理论、 本土性教学理论”( 林福来，2 0 0 0 ) 。究竟如 何看待当代中国的数学教育呢? 1 1 1 中国数学教育的“悖论” 有一些学者对中国学生在国际奥林匹克数学竞赛和国际教育评估联合会 ( i a e p ，1 9 8 9 ) 测试中的优异成绩不能理解，认为按中国数学教育的传统方式， 是不可能取得这样的成绩的在他们看来，这就是一个“悖论”，主要表现在以 下几个方面： 聂格凯：数学变式教学的探索性研究 第l 章引言 1 儒家文化圈( 诸如，中国大陆、台湾、香港、新加坡、韩国和日本等) 的 学生所处的课堂教学环境，在西方学者看来是无法取得好的学习成绩的：大班、 讲解法、残酷的常模参照评价和严厉的课堂气氛。但在上述一些国际性的评估项 目中，这些学生的数学或科学成绩却比西方学生好得多。 2 儒家文化圈的学生往往被认为是被动的机械记忆的学习者，但他们却表现 出高水平的理解。 1 1 2 中国数学教育的主要特征 特征 “悖论”中所刻划的一些数学教与学的特征，也正是中国数学教育的一些主要 1 大班教学 与西方一些国家班级规模逐渐缩小的趋势相比，中国学校班级人数大都在 5 0 人以上，极个别的班级甚至超过8 0 人。班级规模的偏大，势必会影响到教师 照顾到个体的差异性，一些改革的教学方式也很难在课堂教学中得以实旌。但也 不能全盘否定大班教学的作用。整齐划一的教学利于教学计划的按时完成，学生 在一种平等的氛围中互相合作、互相带动、互相启发。中国学校的大班教学除了 与经济因素有关外，还有一定的文化背景，也体现了不同的教学观。梁贯成( 1 9 9 5 ) 在比较了中国大陆、香港和英国的数学课堂教学后认为，大陆和香港的大班教学 不一定都是因为经费的原因( 大陆肯定包括这一因素) 。而香港似乎不存在这方 面的问题，在他看来，内她、香港的大班教学与英国的小班教学体现了不同的数 学教学观。“许多中国教师认为数学是一个结果，因而只需要通过讲授将这一结 果传递给学生，所以班级规模的大小是无关紧要的；而英国教师认为数学是一个 过程- 学生学习数学的过程是一个做数学的过程，小班教学更利于教师作为 这一过程的促进者”。尽管目前在中国的部分发达地区极少数学校已开始试行小 班教学，但毕竟不是主流。 聂必饥：数学变式教学的探索性研究 第1 章5 f 盲 2 数学课堂的讲解法 “为什么儒家文化那么重视老师的讲解，它是示范一个正确的方法一个道， 一个理，但这不是最终的目的，最后学习者要自己发挥，要举一反三，才能熟能 生巧”( 黄毅英，2 0 0 0 ) 。近年来。随着中国数学教育改革的逐渐推进，课堂教学 中的“满堂灌”也随之减少，课堂里的师生互动也很常见，多数教师的讲解也是 尽量激发学生有意义的接受学习。事实上，从春秋时代的大教育家孔子开始，中 国课堂就关注启发式教学，学生完全被动接受的数学课并不是占绝大多数，只要 是有一点教学经验的老师都会或多或少地考虑学生这个对象。即便是教师中心的 教学，教师以教学内容作用于学生。但教师的教学目的是让学生能记住、掌握、 理解或能应用某一个( 些) 知识点，这在教师的课时计划里写得很明白。他们在 上课之前也已清楚地知道哪些部分该达到哪一层次的目标。美国学者彭恩霖对中 国教师教案里的重点、难点( 这一点显然是针对学生的) 和关键这几项很感兴趣， 因为这些项是美国教师所没有的，她认为这也许是中国教师课堂教学成功的重要 因素。试想，即使是食堂的配莱，也要考虑营养、口味的适宜人群，笔者以为中 国数学教师的备课绝不是将所要讲授的内容“打烂以后喂给学生”，至少老师在 确定教学难点时必须要考虑到学生。以传统的教学五环节为例；第一环节是复习 回顾。教师所选取的内容不可能仅仅是自己“教过的”，还要考虑应是大多数学 生已经掌握了杓、与新知识内容有定关联的，从这一点看来，从教学的第一环 节就已经注意到了学生已有的知识结构，而这是有意义的学习所必需的。另外四 个环节是；导入新课、讲解新课、巩固练习、布置作业。其中，对新课的导入实 际上是为新旧知识之间搭建一个桥梁，新课的讲解也许是教师“唱主角”。但只 要教师注意到学生已有的知识结构。那么学生的课堂学习仍然是有意义的接受学 习，当然，如果这一环节老师讲得过多、过细，缺乏师生的共同探究，学生显然 不能体验知识的发生过程只能是某些结果的获得。巩固阶段是让学生对刚刚讲 过的内容的模仿性操练，也有一些变式训练。巩固是概念教学的重要环节，巩固 概念首先应在引入、形成概念后，引导学生正确复述；其次要运用变式加深理解。 通过巩固阶段，学生能将书本知识进一步内化为自身的知识。 聂必凯：数学变式教学的探索性研究第1 章引言 3 变式教学与解题研究 f 1 ) 数学方法论指导下的变式练习。从表面上看，学生学习数学的开始阶 段总有一个模仿、重复演练的阶段，但这一阶段是必须的，因为“学生从盲目的、 模仿的运算中努力发掘对个人来说还隐含着的意义，从机械的练习中，寻找机会 将对象明确化”。对某些问题的反复演练，能熟悉有关的算法、公式和程序，利 于基础知识的掌握和基本技能的发展。“这里重复练习不等于不求甚解，问题的 核心在于练习的应是质而不是量”( 黄毅英，2 0 0 0 ) ，即变式训练。一般地认为， 所谓“变式”，就是让事物的非本质属性处于经常的变化中。而使其稳定的本质 属性突现出来。加强变式训练，可使学生排除非本质属性的干扰。从而形成正确 的概念。 ( 2 ) 广泛而深入的解题研究的传统。中国的数学题的题型“重基本运算和数 学技巧，严密准确”，而习题的编制也尽量做到了兼顾“习题的目的性、典型性、 针对性、层次性、多样性和趣味性”，因而教师在数学课堂讲解中往往关注一个 问题的多种解法，引导学生在对比中弄清区别，在辨析中加深理解，而西方教师 往往教给学生一种普适的解法去解决同一类型的不同问题。这是中国教师与西方 教师的一个很重要的分别。同时，中国有一大批学者致力于数学解题方法论的研 究，得到了一些富含数学思想的解题方法论研究成果。综合一点的如：分析法、 综合法、归纳法、演绎法、化归法以及关系一映射一反演法等；稍具体一点的如： 枚举法、模式识别、问题转化、以退求进、推进到一般、从整体看问题和正难则 反，等；还有。如：变量代换、逐次逼近等。总之，“对习题广泛而深入的研究 是当代中国数学教育的一大特色”。 ( 3 ) 对数学问题的抽象的认知方式。中国的数学课堂教学几乎不使用“试误 法”，因而中国学生常用的解题策略是教材上的一些公式和常规方法的使用，而 几乎不使用试误法：在表征形式上，中国学生喜欢用符号表征解决问题。而使用 表征抽象越高的学生其成绩越好，这是与中国教师常常要求其学生给出一个问题 的般解或用数学符号表达他们的解答和思维过程分不开的( j i n f a c a i 1 9 9 5 ) 。 4 “双基”教学 传统的教学方法强调向学生传授系统的知识。易于导致“注入式”教学。现 聂必凯：散学变式教学的探索性研究第l 章 引言 代教学方法主张让学生掌握学科的基本概念和原理等基础知识，但在改革过程中 出现了基础性与系统性脱节的问题。中国数学教学对“双基”的强调是一个不争 的事实，在官方公布的数学教学大纲里就有这样的文字。“小学数学中的概念、 性质、法则、公式、数量关系和由其内容反映出来的数学方法等是进一步学习的 基础，必须使学生切实学好”。也正是由于对“双基”的强调，才注重课程体系 的完整，结构的严密以及对计算技能、逻辑推理技能的强调才会有前面提及的 具有中国特色的数学问题的处理方式。中国数学的“双基”教学是有其历史背景 和文化渊源的。其文化根源在于中国学者认为“数学是一个通过处理现实，特别 是处理数和形的某一方法而达到的知识体”，与之对应的“数学教学也就类似的 通过老师对学生的教学而获得这一知识体”。因此“数学学习最重要的是理解和 掌握这些特别的知识结构，而教师的首要任务是帮助学生获得这些内容”。 几年前，美国展丌了“什么是数学的真正基础”之争，“基础”显然具有 相对性，不同的价值取向决定不同的基础。我们常说某人的数学基本功扎实，一 定程度上是指其对书本知识掌握的较好，而且解题能力较强。前些年，一些数学 课外辅导资料冠以“双基训练”之名，实际上就是用尽可能多、尽可能细的习题 涵盖教材所涉及的知识点，以及尽可能多的解题技巧。有人认为这是中国数学教 育偏颇的地方，也有人认为这种看似重复的操练。实则有许多值得研究和挖掘的 地方。 5 考试文化与数学教学评价 “人们对一榜定终身、状元皆英才的酱遗认同，幸句成了中国文化中的 考试文化。这便是中国文化中的考试文化”。中国是最早采用考试进行教育评价 和选拔人才的国家，尽管近年来考试制度、内容、方法等进行过多次改革，正朝 向考试的科学化、现代化迈进，但考试作为“指挥棒”仍在发挥着不小的作用。 中国的数学考试有一些鲜明的特点：如，( 1 ) 注重对考试大纲范围内“双基”的 深入、细致的考核。不可回避的是，一些学校为了让学生在考试中的得到高分， 往往强化基础训练，用大量习题的操练以求得解题技巧的熟练和解题速度的提 高。( 2 ) “对一些优秀学生来说，自己有独立思考能力，善于吸收考试规定以外 聂井凯：教学变式教学的探索性研究第1 章 引言 的精华，加上学校考试的严格训练。使得基本学科素养较高”。( 3 ) 考试已成为 学生学习数学的一个很重要的外在动力。由于对考试的公正性、竞争性以及选拔 性的认同，同时认为它是区分能力高低的一个尺度，因而获得理想的考试成绩成 为学生学习数学的一个非常重要的驱动力，加上中国人大都认为努力的程度与学 业成就成正相关，勤学苦练顺理成章地成为大多数中国学生学习数学的一个共同 特点。( 4 ) 升学考试引领日常教学的方向，即所谓的“指挥棒”效应，这在一定 程度上也起到了指导数学教学