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中文摘要 二阶奇异椭圆型方程和a 一调和方程的若干问题 摘要 二阶椭圆型方程是一类重要的偏微分方程，它们描述了许多重要的物 理、几何现象同时，二阶椭圆型方程在微分几何、拟正则映射、弹性力 学、控制论等方面有广泛应用这使得研究二阶椭圆型方程的基础理论显 得日益重要本文旨在对某些二阶奇异椭圆型方程和a - 调和方程弱解的相 关性质进行研究 全文共分五章第一章是本文的概述，叙述了二阶椭圆型方程，特别是 二阶奇异椭圆型方程和a - 调和方程理论发展的历史过程、背景及现状简 述了研究二阶椭圆型方程和a - 调和方程弱解的一些方法并提出了一些问 题第二、三、四章讨论了p - l a p l a c e 和l a p l a c e 型奇异椭圆问题弱解的( 多 重) 存在性第五章讨论了a - 调和方程弱解的加权积分不等式及其应用 在第二章中，我们在r ，中讨论了下列奇异l a p l a c e 方程具有正能量的 非平凡径向解的存在性 也一喑= 爷u + 0 ( 删盯气批，z ( 0 0 1 ) 其中n 3 ，0 s 2 ，2 r 2 + ，0 p 皿圭( 警) 2 ，这里皿是h a r d y 不等式中 的最佳常数，2 + ( s ) 圭2 一s ) 一2 ) 是临界s o b o l e v - h a r d y 指数o ( 。) 满足 第二章引言中的条件( a ) 利用s t r a u s s 引理、没有( p s ) 条件的山路引理和 径向函数的积分估计，在a ，r ，卢满足一定条件下证明了方程( 0 0 1 ) 至少存在 一个具有正能量的非平凡径向解 在第三章中，我们讨论了既包含h a r d y 位势又包含s o b o l e v - h a r d y 位势的 上海交通大学博士学位论文 齐次奇异椭圆方程多重解的存在性研究了如下问题 卜蛳一p 许2 学制卯。2 u 讥n( 0 0 2 ) iu ( z ) = 0 m 锄 局部极小解和无穷多具有负能量的非平凡解的存在性这里n 是m 3 ) 中带有光滑边界的有界区域，0 n ，0 s 2 ，1 口 2 ，0 p 0 是正参数，a n 圭 d i v ( v u l p - 2 v u ) ，1 p 礼，0ss p q p + ，h ( x ) 1 2 ( q ) ，；1 + p 1 = 1 且 矿( s ) 圭p ( n s ) ( n p ) 是临界s o b o l e v - h a r d y 指数首先我们利用文【1 中关于 奇异问题的集中紧原理 2 1 的变形形式，结合b r e z i s - l i e b 引理、s o b o l e v - h a r d y 不等式和反证法证明了问题( 0 0 3 ) 的相应泛函，( u ) 满足( p s ) 。条件然后， 利用e k e l a n d 变分原理和泛函j ( u ) 满足的( p s ) 。条件得到，在g ，h ( x ) 满足一 定条件下，方程( 0 0 3 ) 一个具有负能量的非平凡解的存在性最后，结合泛 函x ( u ) 满足的( p s ) 。条件和没有( p s ) 条件的山路引理证明了( 0 0 3 ) 一个具 有正能量的非平凡解的存在性 中文摘要 在第五章中，我们研究了关于微分形式的小调和方程 d * a ( x ，咖) = 0( 0 0 4 ) 弱解的加权积分不等式首先，利用广义h s l d e r 不等式、弱逆h s l d e r 不等式 并通过一些积分次数的代换，结合a ( q ) 双权所满足的条件，在一定条件下 得到了关于方程( 0 0 4 ) 弱解的局部a ( n ) 双权p o i n c a r 6 不等式、c a c c i o p p o l i 型不等式和弱逆h s l d e r 不等式然后，作为局部结果的应用，我们在满足 一定条件的有界域上证明了方程( 0 0 4 ) 弱解的整体a n ( n ) 双权c a c c i o p p o l i 一 型不等式和弱逆h s l d e r 不等式，并且利用5 - j o h n 域的性质，借鉴文【3 的方 法得到了( f - j o h n 域上的整体a 。 ( n ) 双权p o i n c a r d 不等式最后，我们列举 了a 一调和方程弱解的具体例子并利用a 一调和方程与拟正则映射的关系， 把得到的局部和整体加权积分不等式应用到了拟正则映射理论中 关键词：二阶奇异椭圆型方程，a - 调和方程，拟正则映射，积分不等 式，e k e l a n d 变分原理，弱解，局部极小解，s o b o l e v - h a r d y 位势，h a r d y 位 势，存在性，集中紧原理，山路引理，亏格 s o m ep r o b l e m so fs i n g u l a re l l i p t i ce q u a t i o n so f s e c o n do r d e ra n da - h a r m o n i c e q u a t i o n s a b s t r a c t s e c o n do r d e re l l i p t i ce q u a t i o ni sak i n do fi m p o r t a n tp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n w h i c hd e s c r i b e sm u c hi m p o r t a n tp h y s i c sa n dg e o m e t r i cp h e n o m e n a m o r e o v e r ，t h e r e 8 , r ee x t e n s i v ea p p l i c a t i o n si nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , q u a s i r e g u l a r ，e l a s t i cm e c h a n i c s ，c y b e r n e t i c s ，e t c t h e s em a k ei ti m p o r t a n tf o ru st os t u d yt h eb a s i ct h e o r yo fs e c o n d o r d e re l l i p t i ce q u a t i o n t h i sd i s s e r t a t i o na i m st os t u d ys o m ep r o p e r t i e so ft h ew e a k s o l u t i o n st os o m es e c o n do r d e rs i n g u l a re l l i p t i ce q u a t i o na n da - h a r m o n i ce q u a t i o n t h et h e s i si sc o m p o s e do ff i v ec h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e ri sd e v o t e dt ot h es u m - m a r yo ft h ed i s s e r t a t i o n ，i tr e c o u n ta b o u tt h ed e v e l o p m e n t ，t h ep r e s e n tc i r c u m s t a n c e s a n dv a s tf o r e g r o u n do fs e c o n do r d e re l l i p t i ce q u a t i o n ，e s p e c i a l l y , s e c o n do r d e rs i n g u l a r e l l i p t i ce q u a t i o na n da - h a r m o n i ce q u a t i o n ，s t a t es o m em e t h o d sf o rt h es t u d yo fw e a k s o l u t i o n so fs e c o n do r d e re l l i p t i ce q u a t i o na n da - h a r m o n i ce q u a t i o na n db r i n gf o r w a r d s o m eq u e s t i o n s i nt h es e c o n d ，t h i r da n df o u r t hc h a p t e r ，w ed i s c u s s ( m u l t i p l e ) e x i s - t e n c eo fw e a ks o l u t i o n so fp - l a p l a c ea n dl a p l a c es i n g u l a re l l i p t i cp r o b l e m s i nt h ef i f t h c h a p t e r ，w ed i s c u s sw e i g h t e di n e q u a l i t i e so fw e a ks o l u t i o n so fa - h a r m o n i ce q u a t i o na n d a p p l i c a t i o n so ft h ew e i g h t e di n e q u a l i t i e s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fr a d i a ls o l u t i o n sw i t hp o s i t i v e e n e r g yt ot h ef o l l o w i n ge q u a t i o ni nr ” 也一嗨= 簪u 州删盯气批，z r n i ( 0 0 1 ) w h e r en 3 ，0 s 2 ，2 r 2 + ，0 p 皿圭( 型2 ) 2a n d 皿i st h eb e s tc o n s t a n ti n t h eh a r d yi n e q u a l i t y , 2 ( s ) 2 ( 4 一s ) ( n 一2 ) i st h ec r i t i c a ls o b o l e v - h a r d y e x p o n e n t a b s t r a i ? t a n da ( x ) s a t i s f i e st h ec o n d i t i o n ( a ) i nt h es e c o n dc h a p t e r u s i n gs t r a u s sl e m ma ， m o u n t a i np a s sl e m m aw i t h o u t ( p s ) c o n d i t i o na n dt h ei n t e g r a le s t i m a t eo ft h er a d i a l f u n c t i o n ，w eo b t a i nar a d i a ls o l u t i o no fp r o b l e m ( 0 0 1 ) w i t hp o s i t i v ee n e r g yu n d e r s o m ec o n d i t i o n sf o ra ，r ，卢 i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fw e a ks o l u t i o n st o s o m es i n g u l a re l l i p t i cs y s t e mw i t hh a r d yp o t e n t i a la n ds o b o l e v - h a r d yp o t e n t i a l t h a t i st h ef o l l o w i n gp r o b l e m j _ u p 许3 学刊卵气枷 ( 0 0 2 ) iu ( z ) = 0 o na q ， w h e r eqi sas m o o t hb o u n d e dd o m a i ni n ( n 3 ) ，0 q ，0 s 2 ，1 q 2 ， 0 卢 0i s p a r a m e t e r ，p = 三d 削( i v “i 一2 v u ) ，1 p 几，0 s p q p + ， ( z ) l 一( n ) a n d 矿s ) 圭p ( n s ) m - p ) i st h ec r i t i c a ls o b o l e v - h a r d ye x p o n e n t b yav a r i a n tf o r m 1 】o f c o n c e n t r a t i o nc o m p a c t n e s sp r i n c i p l ea b o u ts i n g u l a rp r o b l e mi n 2 ) b r e z i s l i e bl e m m a ， s o b o l e v - h a r d yi n e q u a l i t ya n dp r o o fb yc o n t r a d i c t i o n ，w ef i r s tp r o v et h a tt h ef u n c t i o n a l d o c t o r a ld i s s e r t a t i o no f s h a n 曲a ij i a ot o n gu n i v e r s i t y o fp r o b l e m ( 0 0 3 ) s a t i s f i e s ( p s ) cc o n d i t i o n t h e n ，b ye k e l a n d sv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e a n d ( p s ) cc o n d i t i o n ，w eo b t a i nan o n t r i v i a ls o l u t i o no fp r o b l e m ( o 0 3 ) w i t hn e g a t i v e e n e r g yu n d e rs o m ec o n d i t i o n sf o rq ， ( 。) f i n a l l y , b ym o u n t a i np a s sl e m m aw i t h o u t ( p s ) c o n d i t i o n ，w ep r o v et h a tp r o b l e m ( 0 0 3 ) h a san o n t r i v i a ls o l u t i o nw i t hp o s i t i v e e n e r 科 i nt h el a s tc h a p t e r ，w es t u d yw e i g h t e di n t e g r a li n e q u a l i t i e so fw e a ks o l u t i o n so f t h ef o l l o w i n ga - h a r m o n i ce q u a t i o na b o u td i f f e r e n t i a lf o r m s d * a ( z ，d w ) = 0 ( 0 0 4 ) f i r s t ，u s i n gg e n e r a l i z e dh s l d e ri n e q u a l i t y , w e a kr e v e r s eh s l d e ri n e q u a l i t y , s o m es u b s t i t u t i o na b o u ti n t e g r a le x p o n e n t sa n dt h ed e f i n i t i o no fa ( n ) w e i g h t ，w eo b t a i nl o c a l a 帕( n ) w e i g h t e dp o i n c a r 6i n e q u a l i t y , c a c c i o p p o l ii n e q u a l i t ya n dw e a kr e v e r s eh s l d e r i n e q u a l i t yf o rw e a ks o l u t i o n so f a - h a r m o n i ce q u a t i o n t h e n ，b yu s i n gt h el o c a lw e i g h t e d r e s u l t s ，w ep r o v et h eg l o b a la r ， ( q ) 一w e i g h t e dc a c c i o p p o l ii n e q u a l i t ya n dw e a kr e v e r s e h s i d e ri n e q u a l i t yi nb o u n d e dd o m a i ns a t i s f y i n gs o m ec o n d i t i o n s m o r e o v e r ，u s i n gt h e m e t h o d si n 【3 f o rr e f e r e n c ea n db yp r o p e r t i e so f & j o h nd o m a i n ，w eo b t a i nag l o b a l a ( q ) 一w e i g h t e dp o i n c a r 6i n e q u a l i t yi n6 - j o h nd o m a i n f i n a l l y , w eg i v eas p e c i f i c e x a m p l ea b o u tw e a ks o l u t i o n so fa h a r m o n i ce q u a t i o na n du s i n gt h ec o n n e c t i o nb e - t w e e na - h a r m o n i ce q u a t i o na n dq u a s i r e g u l a rm a p p i n g s ，w eg i v es o m ea p p h c a t i o n so f t h ea b o v er e s u l t si nt h et h e o r yo fq u a s i r e g u l a rm a p p i n g s k e yw o r d s ：s e c o n do r d e rs i n g u l a re l l i p t i ce q u a t i o n ，a - h a r m o n i ce q u a t i o n s ， q u a s i r e g u l a rm a p p i n g s ，i n t e g r a li n e q u a l i t i e s ，e k e l a n d sv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ，w e a ks o l u t i o n ，l o c a lm i n i m u ms o l u t i o n ，s o b o l e v - h a r d yp o t e n t i a l ，h a t d yp o t e n t i a l ，e x i s t e n c e ， c o n c e n t r a t i o nc o m p a c t n e s sp r i n c i p l e ，m o u n t a i np a s sl e m m a ，g e n u s 常用记号 r = ( 一。，+ o 。) 表示实数集，表示自然数集； r “表示n 维e u c l i d e a n 空i ；3 ，岱= ( x l ，x 2 ，z 。) 为其中的点，它的范数是 h = ( 荆v 2 ； c ，g ( i , v ) 表示不同的常数，1 p o o ，p ，= 者表示p 的共轭数； n 表示r ”中的子集，f n f 表示q 的l e b e s g u e 测度，a q 表示q 的边界； b ，( o ) 表示i p 以原点为中心半径为r 的球； v u = ( 舞，舞，舞) 表示函数u 的梯度； l v u i = ( 銎。( 差) 。) 表示u 的梯度模； d ，( 。) 表示，( z ) 的雅可比矩阵，以( z ) 表示f ( x ) 的雅可比行列式； 曙( n ) 表示q 上的具有紧支集的光滑函数全体； l 。( q ) 表示l q i 上全体本性有界函数组成的向量空间，其范数为 1 1 u 1 1 c ”= = 8 5 5 s 。u 。n p i “i ； 酽( q ) 表示定义在n 上所有满足 怕f | p = ( 五f “1 9 出) 1 加 ，1 p o 。 的l e b e s g u e 可测函数构成的空间； p ( q ，“) 表示定义在n 上所有满足 ( 上i u l 9 h 。5 如) 1 加 ，1 p 的l e b e s g u e 可测函数构成的函数类； 埘9 ( n ) 表示s o b o l e v 空间h 1 ，( q ) 中具有紧支集的全体函数构成的空间； h - l , p ( n ) 表示硪9 ( q ) 的对偶空间，其中；1 + = 1 ； 上海交通大学博士学位论文 硪( n ) = 础2 ( q ) ，h 一1 ( q ) 表示拂( q ) 的对偶空间； i i = ( 如i v u l p d x ) 1 p 表示空间硪p ( q ) 的范数； 当1 0 ，0 p 皿， 0 s 2 通过变分方法，得到了下列结果： ( 1 ) 当q ( q ，2 4 ) 时，方程( 1 1 2 ) 存在个正解，这里q = m a x 2 ，而褊，等) ； ( 2 ) 当q = 2 时，若a ( 0 ，a 1 ( p ) ) ，0 ps 芦一1 ，则方程( 1 1 2 ) 存在一个正解；若 皿一1 肛 皿，a 。( p ) a 0 ，。q 0 ) ( 1 1 5 ) u ( z ) = 0 ， z a q 其中qc r ，m 3 ) 是包含原点的光滑有界域，0 q 0 的限制的情况证明了当0s “ 皿一4 ， m “ 而干亏，赤一1 ) q 0 ，对va ( o ，a 1 ) ，方程 至少存在两个正解和一个变号解且证明了当0 “ 0 ，对 va ( 0 ，a 2 ) ，方程有无穷多非平凡解而当1 g 0 ，0 缸 口，1 0 ， 1 p n ，0 ssp ，p r p + ，p q 矿( s ) 在芦，a ，r ，q 满足一定条件下，证明了 方程( 1 1 ，6 ) 解的( 多重) 存在性，2 0 0 3 年，b x u a n d o 得到了方程( i i 6 ) 的两个弱 解，其中q = p ，1 r p 且0 s 0 1 ) n 第一章 绪 论 与此同时，非齐次问题也得到了研究例如，1 9 9 2 年。t a x a n t e l l o 2 q 研究了下 列非齐次问题 一u = m | 2 + 一2 u + “ ) 打l q ， ( 1 1 7 ) iu ( z ) = 0 口na q ， 其中q 是r n ( n 3 ) 中光滑有界区域，h ( x ) h - 1 ( q ) 利用e k e l a n d 变分原理和山 路引理，t a r a n t e u o 证明了方程( 1 1 7 ) 多重解的存在性1 9 9 5 年，j c h a b r o w s k i l 6 7 l 考虑了下列非齐次p - l a p l a c e 方程 一p “= i u p 一2 u + a l u 卜一2 u + “( z ) 讯q ， ( 1 1 8 ) lu ( z ) = 0a q ， 其中n 是b ，( n 3 ) 中有界区域，1 p n ，1 q 0 ，h ( x ) ( q ) 在 九( 。) ，a ，q 满足一定条件下，得到了方程( 1 1 8 ) 个非平凡解或两个非平凡解的存在 性2 0 0 5 年，康东升等人【6 2 】研究了下列方程 卜一p 许2 牛) 讥q ， ( 1 1 1 9 ) lu ( z ) = 0 o na n ， 其中n 是i p 3 ) 中包含0 点的光滑有界区域， ( z ) l ”( n ) 证明了方程( 1 1 9 ) 两个非平凡解的存在性但是，对于包含s o b o l e v - h a r d y 位势的非齐次p - l a p l a c e 椭 圆方程解的存在性，未见讨论，自然会有下列问题t 问题3 ：能否得到下列包含s o b o l e v - h a r d y 位势的非齐次p - l a p l a c e 椭圆方程 卜蛳= 学i 卵气轨q ，( 1 1 1 。) iu ( z ) = 0 o na n ， 非平凡解的多重存在性? 其中q 是r n ( n 3 ) 中带有光滑边界的有界区域，0 点在 n 的内部 1 p n ，0 ss p ，1 口 0 ，h ( x ) 2 。( q ) 我们知道l a p l a c e 方程的自然拓广是p - l a p l a c e 方程；p - l a p l a c e 方程的重要拓 广是a _ 调和方程( 见文献 9 的引言) 很自然的想到能否把前面关于奇异l a p l a c e 和 上海交通大学博士学位论文 p - l a p l a c e 方程非平凡解的存在性结果推广到奇异a 调和方程中a - 调和方程是从 9 0 年代才发展起来的( 见 9 ，6 8 ) ，例如，下列形式的方程就是一个a - 调和方程 - d i u ( ( 目( z ) v u v u ) 。一2 7 2 目( z ) v u ) = 0 ，1 0 一d i v ( 1 d u l p 一2 d u ) + v u u 7 d u l * = ，7 0 同时，a - 调和方程理论的发展与拟正则和拟共形映射理论的发展有着密切联系在 一定条件下，拟正则映射所满足的b e l t r a m i 方程可以转化成a - 调和方程例如， 1 9 9 2 年，t 1 w a n i e c 7 目借助于非线性偏微分方程理论和调和分析的现代理论，对任 意维数的拟正则映射得到了其解所满足的微分形式的a - 调和方程及其解的正则性， 即设，= ( ，1 ，2 ，广) 是嘶：，r ”) 中的弱k - 拟正则映射，s = m a x t ，n f ) j ( 1 = 1 ，2 ，n ) ，令i = ( i x ，i 2 ，i z ) 是( 1 ，2 ，n ) 的有序2 一多元组，j = ( j 1 ，j 2 ，a f ) 是，的( n f ) 一余多元组满足d x z = * d x j ，则“，= ，“d f xd f 让，是微分形式的 4 一调和方程 d * a ( x ，扎) = 0( 1 1 1 1 ) 5 第一章绪论 的解，其中a ：nxa 2 一a 。且 a ( z ，) = ( 日( z ) m h ( z ) ，p = ；， 这里线性映射h ( x ) ： ( r “) 一 ( b ，) ( 外代数) 作用在f 一向量上等于g i l ( z ) ，g # ( z ) 如下定义： g i ( o lan 2 a 1 ) = g a l a g a 2 a a g a i ， o l ，n 2 ，一，a z a 1 = 酣 其中c ( x ) ：a n b ，是，( 。) 的矩阵张量由文【7 6 】知，h ( x ) 满足 h ( x ) d u i = j j 蝌2 z - ) “d * v j 。u j = f hd j h a a d f i “ 当f - 1 时，我们知弱拟正则映射f = ( f 1 ，2 ，p ) 的每一个分量u = f 满足 函数的a 调和方程 d i v a ( x ，v u ) = 0 ， 其中a ：n i p b ，为a ( x ，f ) = ( g 一1 ( z ) ，) 专2 g 一1 ( $ ) 关于a - 调和方程弱解的性质研究已有许多成果，参见【9 , 6 8 ，7 7 - 8 6 其中， 1 9 9 3 年，j h e i n o n e n 等人在文 9 】中研究了单权情形下函数的a 调和方程，即 d i v a ( x ，v u ) = 0( 1 1 1 2 ) 这里a ：b ，i p i t - 满足c a x a t h 4 0 d o r y 条件且满足 ( 1 ) a ( x ，) f q t j ( z ) l p ； ( 2 ) i a 0 ，) i 卢”( 。) i 引，一1 ， 其中0 1 ，0 s ，t o o ，c 是与u 无关的常数，c 是任意闭 形式 c n o l d e r 在【3 】中还利用上述两个不等式证明了关于共轭a - 调和张量u ，u 的 h a r d y - l i t t l e w o o d 不等式 1 9 9 3 年，t 1 w a n i e c 和a l u t o b o r s k i 在 8 7 】中得到了微分形式的p o i n c a r d - s o b o l e v 不等式，即，设u d i ( q ，a 。) ，d , w m ( q ， m ) ，1 q o o 则u 一“岣 w 1 , q ( q ，a 。) 且 1 | u 一“幻i | 口，o c ( n ，q ) l q i l l n l l “1 1 口，o ， ( 1 1 1 5 ) 其中q 是r ，中的立方体，1 = 0 ，1 ，- - ，n 2 0 0 0 年，c n o l d e r 在【8 0 】中利用a 一调和张量的弱逆h s l d e r 不等式和p o m c a r 6 - s o b o l e v 不等式( 1 1 1 5 ) ，得到了关于a 一调和张量梯度的整体可积性定理可以看到， 弱逆h s l d e r 不等式、c a c c i o p p o l i - 型估计和p o i n c a r 6 - s o b o l e v 不等式对研究m 调和 张量的可积性、正则性和估计a 一调和张量的积分起着重要作用近年来，关于这些 不等式的研究也很广泛，并且得到了它们的一些加权形式例如，2 0 0 1 年，文 9 5 】把 第一章 绪 论 弱逆h s l d e r 不等式( 1 1 1 4 ) 、c a c c i o p p o l i 型估计( 1 1 1 3 ) 推广为4 单权不等式 2 0 0 2 年，文【8 9 】得到了a 单权p o i n c a r 6 - s o b o l e v 不等式那么，对于双权能否得到 关于不等式( 1 1 1 3 ) 、( 1 1 1 4 ) 和( 1 1 1 5 ) 的加权形式? 问题自然出现了t 问题4 ：关于文 9 0 中定义的a ， ( n ) 双权( 参见定义5 2 1 ) ，能否得到不等式 ( 1 1 1 3 ) 、( 1 1 1 4 ) 和( 1 1 1 5 ) 的加权形式? 8 上海交通大学博士学位论文 1 2 主要结果 在本文中，我们主要考虑上面提出的四个问题，得到了下面的几个定理 在第二章中，我们讨论了下列方程具有正能量的非平凡径向解的存在性 也一啼= 簪m “u 批，z 哦( 1 2 1 1 ) 其中。( z ) 满足下列条件： ( a ) 口( z ) 在b o ) 中是非负的且局部有界的，在原点的有界邻域g 内，o ( z ) = o ( i x l 一5 ) ；当一o o 时，a ( x ) = o ( i x l 。) ，0 s t 2 ，2 + ( t ) r 2 + ( s ) 利用 s t r a u s s 引理，没有( p s ) 条件的山路引理和径向函数的积分估计，得到下列结果t 定理1 2 1 假设o ( z ) 满足条件似 0 s 2 ，0 p 皿若下列条件之一成 立t f j ) a = 0 且 m a x 蒜，型专芋，z ) ) 洳，m 缸i 而i 7 席尹纠j 训训【s ) ， 0 i ) 0 a a 1 ( p ) ，0 p 口一1 且2 + ( t ) r 2 + ( s ) ，这里 州川- - 一i n f ，裂 则，问题n 2 在研中至少存在一个具有正能量的非平凡径向解 在第三章中，我们研究了下列既包含h a r d y 位势又包含s o b o l e v - h a r d y 位势的齐 次奇异椭圆方程多重解的存在性 一f u - - z - 昴 2 学m 伸u 讥q ，( 1 2 2 ) iu ( z ) = 0 饥勰， 其中q 是i p ( n 3 ) 中带有光滑边界的有界区域，0 q ，0 s 2 ，1 q 2 ， 0 sp 皿 首先，我们利用e k e l a n d 变分原理，结合得到的( p s ) 。条件证明了问题( 1 2 2 ) 局 部极小解的存在性结果 第一章绪论 定理1 2 2 假设1 g 2 ，n 3 ，0 肛 0 ，对任意的 a ( 0 ，砖) ，方程f 1 2 刁在嘲( n ) 中存在一个局部极小解 然后，直接利用临界点理论、极小化极大方法，借助亏格的概念和性质证明了下 列结果 定理1 2 3 假设1 q 2 ，n 3 ，0 p 0 ，对任意的 a ( 0 ，坨) ，方程f 1 2 矽在硪( q ) 中存在无穷多具有负能量的非平凡解 在第四章中，我们利用文 1 】中关于奇异问题的集中紧原理【2 】的变形形式、e k e l a n d 变分原理、局部极小化方法和没有( p s ) 条件的山路引理，证明了包含s o b o l e v - h a r d y 位势的非齐次p - l a p l a c e 方程非平凡解的多重存在性 我们考虑如下非齐次p - l a p l a c e 方程 越舻学 2 饥n ，( 1 2 3 ) i “( z ) = 0o n 加， 其中n 是r ，3 ) 中带有光滑边界的有界区域，0 点在q 的内部，1 p n ， 0s s p q 0 ， ( z ) 1 2 ( q ) 我们得到下列结果 定理1 24 假设0 a 。，h ( x ) 口( n ) 且h ( x ) 0 满足 m “删 ( z ) z ) | | ：，) m i n m ，尬) ， 则 ( 1 ) 当p q p + 时，问题0 2 印在硪。( n ) 中至少存在一个局部极小解u 1 满 足，( u 1 ) 0 ( 2 ) 当p q 0 是个常数，1 p o 。是与方程( 1 2 4 ) 相关的固定指数 首先，利用广义i - 1 6 1 d e r 不等式、弱逆t t 6 1 d e r 不等式并通过一些积分次数的代换， 结合a 。 ( n ) 双权所满足的条件，在一定条件下得到了局部a ， ( n