（应用数学专业论文）分数次积分算子交换子的加权有界性.pdf

摘要 在m o r r e y 空问、h e r z 空问的定义启发下，我们知道有m o r r e y h e r z 空 问的概念基于m o r r e y 空间和m o r r e y h e r z 空间，我们对加权m o r r e y h e r z 空间m j 鹾驴( u l ，o ；2 ) 做了进步研究，且引入了加权的a 一中心m o r r e y 空问 占学( p ) 并利用如权函数理论，应用泛函分析与调和分析的方法，讨论并得到 了带粗糙核的分数次积分算子交换子满足一定条件下在加权空间m k 舄 ( w l ，0 3 2 ) 上的有界性并引入了加权c b m o 函数，又得到了一类分数次积分算子与 c b m o 函数生成的交换子在加权的a 一中心m o r r e y 空间石譬( r “) 上的有 界性这些结果补充了算子交换子有界性的理论 关键词：权函数；m o r r e y - h e r z 空间；a 一中心m o r r e y 空间；c b m o 函 数；有界性 a b s t r a c t u n d e rt h ei n s p i r a t i o no ft h ed e f i n i t i o n so fm o r r e ys p a c ea n dh e r zs p a c e s ， w eh a v et h em o r r e y h e r zs p a c e s b a s i n go nt h em o r r e ys p a c ea n dm o r r e y o h e r zs p a c e s ，w ed of u r t h e rr e s e a r c h e sf o rt h ew e i g h t e dm o r r e y - h e r zs p a c e m r 争( u l ，u 2 ) ，a n di n t r o d u c et h ew e i g h t e d 入一c e n t r a lm o r r e ys p a c e 雪窖( 舯) t h e nb yt h ep r o p e r t i e so fa pw e i g h tf u n c t i o na n dt h ef u n c t i o n a la n a l y s i sa n d t h eh a r m o n i ca n a l y s i sm e t h o d s ，w ed i s c u s sa n do b t a i nt h eb o u n d e d n e s so ft h e f r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o rc o m m u t a t o r sw i t hr o u g hk e r n e lo nw e i g h t e ds p a c e s m 蜂p ( u l ，0 3 2 ) w h e nt h e s ec o m m u t a t o r ss a t i s f ys o m ec o n d i t i o n s a tt h el a s t ， w ei n t r o d u c ew e i g h t e dc b m of u n c t i o n s ，t h e nt h ew e i g h t e db o u n d e d n e s so ft h e c l a s s i f i c a t i o nc o m m u t a t o r s ，w h i c hi sf o r m e db yt h ef r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o r s a n dc b m of u n c t i o n ，i so b t a i n e do nt h e 入一c e n t r a lm o r r e ys p a c e 鲋( 戤) t h e s er e s u l t sh a v es u p p l e m e n t e dt h ec e r t a i nt h e o r yo fo p e r a t o r sa n di t sc o n l m e l t a t o r s k e yw o r d s ：w e i g h t e d ；m o r r e y h e r zs p a c e ；a - c e n t r a lm o r r e ys p a c e ； c b m of u n c t i o n ；b o u n d e d n e s s l l 学位论文独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果 文中依法引用他人的成果，均已做出明确标注或得到许可论文内容未包含法 律意义上已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申 请的论文或成果 本人如违反上述声明，愿意承担由此引发的切责任和后果 燃糍各芾j 蝴嗍卅年午月二日 学位论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的学位论文及相关的职务作品，知识产权归属学 校学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利 本人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署 名单位仍然为青岛大学 本学位论文属于。 保密口，在年解密后适用于本声明 不保密酎 ( 请在以上方框内打 ) 论文作者签名：董胎瞒 日期2 p 。7 年 年月 乩 日 聊貅弋沁嗍叩刘一月7 ” ( 本声明的版权归青岛大学所有，未经许可，任何单位及个人不得擅自使用) 3 7 引言 引言 调和分析的思想和方法既来源于数学的许多分支，也几乎渗透到了数学的 各个领域调和分析中的许多研究方法和分析工具都是研究偏微分方程的必备 工具调和分析中积分算子及交换子在函数空间中有界性的研究一直以来是调 和分析的热点问题之一近几十年来，随着调和分析理论及方法的逐步发展和 完善，许多经典算子及其与b m o 函数等生成的交换子在偏微分方程中有着广 泛的应用 为了研究二阶椭圆偏微分方程解的局部行为及应用，最早由m o r r e y 1 】引 进了一种函数空问扩，a ( 瞅) ，( 1 p 。，0 a n ) ，我们现在把它称之为经 典的m o r r e y 空间这类空问在研究偏微分方程解的正规性等方面起到了很重 要的作用并且m o r r e y 空问可看做为l e b e s g u e 空间的推广 1 9 6 4 年，b e u r l i n g 为了研究卷积代数而引入了一些基本形式的h e r z 空 问，其后h e r z 给出了不同形式的h e r z 空间之后h e r z 空间理论得到了很好的 发展，这对于偏微分方程及相关领域的研究起到了一定的推动作用近些年，陆 善镇和杨大春等【2 】对h e m 空间及其算子理论在多方面进行了系列研究，这促 使h e r z 空间理论越来越受到人们的重视而得到长足的发展并且由胡国恩、 陆善镇和杨大春写出了有关h e r z 空间的专著鬟h e r z 型空间及其应用【3 】 众所周知，c o i f m a n 获得了关于交换子的结果：当1 p 。o 时，交换 子【b ，霹在护( r ，。) 上有界c h a n l l o 研究了以分数次积分算子代替c a l d e r 6 n z y g m u n d 奇异积分算子的相应结果近几年来，许多作者推广了m o r r e y 空间 和h e r z 空间这两类函数空问，得到了一类新的空间一m o r r e y h e r z 空间，记为 m t ( a 口, x 这类新的空间受到了人们的重视，得到了很多算子及交换子在m o r r e y - h e r z 空间上的有界性结果陆善镇等把线性算子丁和b m o ( r ) 函数b 生产 的交换子【b ，明在h e r z 空问上的有界性结果推广到m o r r e y h e r z 空间上，得到 了极大算子交换子以及由线性算子和b m o 函数生成的交换子在m o r r e y - h e r z 空间上的有界性( 见文献【4 等) ，且对于粗糙算子在其上的有界性也得出了 一些结果陶双平等【5 】在齐次m o r r e y h e r z 空间上得到了由粗糙核算子t 与 1 青岛大学硕士学位论文 b m o ( r n ) 函数生成的高阶交换子t ( b ，m ) 的有界性同时对h a r d y - l i t t l e w o o d 极大粗糙算子与相应的分数次极大粗糙算子所生成的高阶交换子也得到了相应 的结果在文献f 6 】6 中徐莉芳在齐次m o r r e y - h e r z 空间上建立了一些算子的有界 性结果这些交换子是由b m o ( r n ) 函数和具有粗糙核的次线性算子所生成 对于分数次情形，也在齐次m o r r e y h e r z 空问上得到了相应的有界性结果 基于奇异积分算子及其交换子在调和分析中的重要性，以及经典算子及其 与b m o 函数等生成的交换子在偏微分方程中的广泛应用性，研究积分算子交 换子在函数空间上的有界性就是个非常有意义的问题 2 0 0 0 年，a l v a r e z ，g u z m a n p a r t i d a 和l a k e y 7 又研究了中一5 - b m o 空间与 m o r r e y 空间的关系，从而引入了中心m o r r e y 空间伊，1 ( 1 q 。) 和a 一中 心有界甲均振荡空间c b m o q , a ( 1 q 。o ) 他们还考虑了一类比c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子更奇性的奇异积分算子在中心m o r r e y 空间的有界性，其中包括 伪微分算子 2 0 0 4 年，k o m o r i 还得到了类分数次奇异积分算子b 与入一中，5 - b m o 函数生成的交换子在中，5 - m o r r e y 空间的有界性最近又研究了带粗糙核的分 数次积分算子已在中心m o r r e y 空问的有界性，并且还证明了它与a 一中心 c b m o 函数生成的交换子在中心m o r r e y 空间的有界性 另方面，带粗糙核的分数次积分算子在调和分析理论中占有着很重要的 地位，它不但有许多独特而有趣的性质，还在奇异积分、乘子理论等的研究中 扮演非常重要的角色他在各种空问上的有界性及加权有界性被广泛的研究 在上世纪九十年代，丁勇等【8 】已经得到了带粗糙核的分数次积算子及它的高 阶交换子的加权( 汐，l q ) 有界性2 0 0 7 年王新萍等觏还得到了粗糙的h a r d y l i t t l e w o o d 极大算子在加权m o r r e y - h e r z 空问的有界性在参考文献 1 0 中作 者引入了加权有界甲均振荡b m o 。空间的定义并研究了交换子的双权估计 受此启发，本文的主要目的是研究带粗糙核的分数次积分算子交换子在加权的 m o r r e y h e r z 空问的有界性，并且引入加权有界平均振荡空间c b m o ! ； 和加权 a 一中心m o r r e y 空问，证明了另一类分数次积分算子交换子在a 一中心m o r r e y 空问的加权有界性 下面介绍些与本文工作有关的权函数的背景知识更详细的内容见参考 文献【1 1 】等 2 引言 个r n 局部可积的非负函数( z ) 被称为a p ( 1 p 0 使下式成立： s 字( 高z ( z ) d 州而1z u 一击d y 广1 sg 0 使得下式成立： 亩厶( z ) d x c u ( 刃) a 口权函数的性质。 ( 1 ) a mca p 。，( 1 p l 0 ，6 ( 0 ，1 ) 使 ( e ) ( q ) c ( i e i i q i , w ( q ) w ( e ) c ( i q i i e i ) 对所有的可测子集ecq 成立，其中u ( q ) = 厶( z ) 如 个在黔局部可积的非负权函数( z ) 是属于权函数a ( p ，口) ( 1 p ，q 0 使得 s 猡厨1z u ( z ) 2 如) ( 南z ( z ) 如) 专c 。o 成立 权函数a ( p ，q ) 的性质：设0 o n ，1 p n o l ，1 口= ；一嚣则 u ( 。) a ( p ，q ) = 争u ( z ) 2 a g ( n 一。) n 铮u ( z ) 9 a i + 口p = 争( z ) 一a 1 + p ，口 = 争c o ( x ) q a 口，u ( z ) p a p s o r i a 和w e i s s 用更般的权u ( z ) a p ( p 1 ) ，得到了， 一。? u p u ( z ) c 2 k 一2 j n f 2 k + 。u ( z ) ，k 2 kz，zi_2+1i x l 一2 2 一。ss 2 。十1 其中e 与k 无关 在整篇文章中的c 表示不依赖参量的常数，它的值在不同的公式中也许 会有所变化 3 青岛大学硕士学位论文 第一章交换子在m o r r e y - h e r z 空间的加权有界性 在这一章中，为了后面的需要，先简单介绍有关算子交换子和加权m o r r e y - h e r z 空间的一些相关的概念和理论，再证明算子交换子在m o r r e y h e r z 空间 的加权有界性 1 1 加权m o r r e y - h e r z 空间的基本知识及理论 设取= x 舯：2 k ) ，a = 反鼠一1 ，k z ，记x 奄= x a k 后z ， 其中x a 。是氐的特征函数加权m o r r e y h e r z 空间是如下定义的函数空间 定义1 1 1 1 9 1 设q r ，l g 。o ，0 p 。o ，1 ，0 2 2 是非负权函数定 义加权的m o r r e y - h e r z 空间m k p , , 争( 0 2 1 ，0 2 2 ) 为。 m 霸乒( “，l ，忱) 。 ，l l ( r n o ) ，忱) ：i | ，i i m 例p 。此) 。) ， 其中 | l 川k ( 0 1 ，0 j 2 ) 址s u p z w “叫七三鼠一怕i if 屹，锄 rb、； 引理1 1 1 f 1 2 j 设b k ，a k 如上，be b m o ，对于i 后一引2 ，1 s 0 ，0 d r 日一n + f 凡一1 1 d r 8 o q 斑l i ( l q ( z 一秒) m p 如) c l y l ( 口抑) l di iq 怯 ， o 4 第章交换子在m o r r e y h e r z 空间的加权有界性 引理1 1 3 8 】设。 q n ，s ， p 0 ，使 i i t ，n ，6 l | 口，胡c i i f l l p 矿 5 青岛大学硕士学位论文 1 2 交换子在m o r r e y - h e r z 空间的加权有界性 对于加权的m o r r e y h e r z 空l 司m k ；, q ( w l ，w 2 ) ，我们有如f 的定理。 定理1 2 1 设q ( z ) 是个零7 欠齐次函数，且q l r ( s n _ 1 ) ，1 r 。o ， o 2 n ，1 q l 孚，石1 = 去一去，0 p - 仡 q 2 时，o a 一孝+ 石1 ，q ( 一磊n + n r + 入扎，佗( 1 - 言) ) ，如 果be b m o ( r ) 则算子交换子f 6 ，t a ，2 是m 吆麓t ( 舯) 到m 吆淫( 戤) 有 界的 ， 证明因为婵( z ) a 1 ，即斋堙( z ) 如c u 字( z ) 所以由h 6 1 d e r 不 l v fi ，q 。i q - 1 i ：u ：( 帕 ( 高名蜉c z ，印去( 高z d 0 卜去 至【c 蜉( z ) 石1 c 忱( z ) 所以我们得到了忱( z ) a 1 我们注意到p l 沈时，有露p n l ，, q ，ck p 2 , 1 q 2 这样我们只需要给出p l = p 2 时的证明即可 令，m 吆；t ( 舯) ，我们把，( z ) 写为 不失一般性，有 o o m ) = ，( z ) 勋( z ) 兰办( z ) ， j = - o oj = - o o 6 第一章交换子在m o r r e y h e r z 空间的加权有界性 t b ，z 川m 磺“跨) s u p w 1 ( ) r p ( 鼠) p 7 ”| | t b ，z ，泓 b z 詹兰乞 c supwt(玩)pp(鼠)p加iko e z l ： x ；, t b ，z ( 易) ，2 一 缸 1 慨，) 1 加1 u 主 + c s u p w ，( b 如) h 【u z ( 鼠) ni i 胍死，z ( 乃) 峨) 1 加l 枷z ：一o o j = k 一1 “ + cs u p p l ( b k 。) p 鼠) 】p l 口加i ix j,tb，l(k o e z 奄= 乙 = d l + d 2 + d z 对于忱利用死，l 的加权( 口- ，上，q 2 ) 有界性可得 k + 1 = c s u p ( w ，( ) p 川鼠) 】酬n ( b z 七= 乙 j ：一k - 1 k + 1 a 0 办) j = k + 2 崦) 抛 i 露，z ( 乃) 触渚) ) m ) 1 肠 c sup(wt(bb)一ap-(b)叩7n(ii乃iil。,埘t)p1)1屈lko e z 知= 乞 j = 一k - 1 c s u p ( w l ( ) ) 以 【，( 鼠) 叩n ( | | k o e z 七= 乞 c i i ，l l m 磕气。( 。，一；，) l l l q , ( 以z ) ) p 1 ) 1 加1 下面看d l 的估计，在这里z a k ，y 4 ，歹k 一2 ，l z y l l x l ，2 川l x l ， 因此有 t b , m j ) ( z ) c 2 叫n _ 1 ) 上，i ) 叫y ) 1 1 q ( z y ) l l j ( y ) l d y 7 p 一 。m 喝奄 青岛大学硕士学位论文 所以 - c 2 - k ( 1 - 0 j f a ，荆一啪( z 一秽) l t f j ( 肭 + c 2 - 七( * - 0 j q i b j 一6 ( y ) 1 1 q ( z y ) i l i a ( 秒) i d y ， “，2 i 办川l 珞 c 2 “加一) 【上。1 6 ( z ) 一如i 驰( ，；l q ( z 一可) l l i j ( 洲妇) 驰u 字( z ) 捌v 船 彻叫州【上。( 上，1 6 ( 沪圳q ( z 刊慨( 蜘) 嘴( 郴啦 c 2 以( 铲) ( s u p 忱( z ) ) 玉a 七 ，上，l 力( 洲( 上。( 1 q ( z 一) 1 1 6 ( z ) 一b j l ) 驰如) 西1 咖 + c 2 一七( n 一。) ( s u p “j 2 ( z ) ) 譬a 七 ii 乃( y ) l i b ( ) 1 1 秒) 一i ( i l q ( x - - y ) i 纯如) t 愚吨， 上，i 乃( y秒) 一i ( 上。l q ) i 纯如) v 船勿 = e 1 + e 2 毋鲫叫川，背小i ( 小矿滞如) 晋 ( 小c 胪云书吾咖 一 q l ，q 0 时，对于d 1 分两种情况讨论，1 ) 0 p l l ；2 ) 1 p l o o 先看q 0 ，0 p l l 的情形应用j e n s e n 不等式，注意到j k 一2 ，有 p 1 ( b 七) 】p d 加p l ( 岛) 】妒加，所以 d l c s u p w l ( ) r 【( 七- j ) 2 m 卜者 幻z 七= 乞f = ： p ，( 岛) ni i 办i l l 5 】见) 1 p , c k s u p p - ( ) 】- a p ( 岛) 】q p l 加i l 厶i l 套与。 o e z f = 名 “u ；1 c 渺( 驯以 ，邑( 洲”i ii , 忱q l 1 1 p 1 ) 垤 = c 0 川m 磺刍。( 。；- ) 再看第二种情形q 0 ，1 p l 。o 时，应用h b l d e r 不等式得 d l c s u p w 。( b k 。) p 【( 后一j ) 2 继哞型川岛) p k o e z 七二j 二 惦慨，2 掣附p ， cs u p ，( 氏) p 【( ( 七一歹) 2 蛙掣【u 。( 岛) p k o e z 七= 乞j = 。- o o 上n 、l r ， 加 上钉 一 似d u 2 m 一 后 b 咖 第章交换子在m o r r e y h e r z 空问的加权有界性 k - 2 i i 圳l 。帅a t - p 1 【( 2 掣p ：) 一 l p 1 k o k - 2 c sup眦)r【(七一ko e z k = 乙j 三 b 一2 c s u p u ，z ( 玩) n 岛) p b z i ： 钿 c s u p w - ( ) n p - ( 岛) p b z ，= 乞 = c l l ， 肘磺气，p 。趣t ) 泸2 鳢掣p tp ，( 岛) p n 尼一矿2 灶掣m ) 1 p - 对于d 1 ，上面完成了对q 0 的估计，下面再看当n ( 1 一言) q 0 时对d 1 的估计，也分为两种情况，( 1 ) 0 p ls1 ；( 2 ) 1 p l 。o 先看第一种情况， 当0 p l 1 时，应用j e n s e n 不等式有 cs u p w l ( b b ) 一a k o e z cs u p w l ( b b ) 一 k o e z 七= 一。j = - o o ( 后一矿2 。一南) n ( 1 一寺mj o y l ( 岛) p 1 q n 瞬w l ( b 马k ) ) 1 舭加怕略q 1 ) 1 p lu l ( 马) 。” “l 1 k - 2 ( 尼一j ) p - 2 似砌一寺加1 岛) 】p l n n k = - c c ，= 一 ，【斟舭叫l 掣肺 k ok - 2 c suppl(民)p(七-j)p120一七)pln属+()plqko e z 二j = 乞 p - ( 跚1 叫钨。) 1 胁 1 l j ：b 青岛大学硕士学位论文 b 一2 s c ：婴p - ( ) 一a p ，( 马) 】p 1 口加f | 乃i l k 钿z j = ： “1 量( k - j ) - j ) p 2 。牙) ) 1 p t 一卜m “p 衲1 p 1 k = j + 2 k o 纠懈s u p w l ( 刚以 ，堇m ( 计吖刈圳v 加 c f l ，l l m 磺孔。，以- ) 当1 a p + z + 竽一石n 。+ n a 罟一暑+ z + 九a = 荽一暑二三二 r 口1r仃，一，t 儿- 死俐峰 c 2 叫一f z 。恢z ) 一岛| 驰( z if q ( z 一秒) l l j ( 训匆) 匏谚( 。) 捌，胁 c 2 。加卅【z 。( z ；| 6 ( 卵一屯 q ( z 一秒) i i a ( 硎匆) 船谚( z ) 如】t 他 卯2 。”n 删s u p 。w 。( 酬厶嘭。| 6 ( 加铲瞅z 刊j l ( y ) l d y + 刚( 叫 s u pc 一2 ( x ) jj q ( l 。阢一洲驰酬钮懒) 一b j l l a ( 湘 日如2 。加叫 酬s u p 。w 2 ( 训厶( z 。i 嘶刊降妒 (ib(z)一bjir-q2。r：dz)西1一声1j乃( 秒) d l ，a k 。”7 。 c ，2 一舯 删i n f 。忱( 刊西1 一f 1 ( 歹一尼) i ibi i 。 ，j q a ji z i 邓( z 。i q ( z 一可) i r i 。j 柑如) t 1 乃( 洲匆 口t ，。 a n ( ；1 一击) + f + n a 扎【一( 击一元1 ) + 入+ 二】1 = 一三+ ；+ n 入 1 5 青岛大学硕士学位论文 时对于忱我们也分为两种情况，当0 n ( ；一击) + z + 死a ，且1 p l 不等式得 l m 磺，邂- ) ，i i m k 袅。埘t ) o 。时，由h 6 1 d e r 不等式及m i n k o w s k i bb 。s c 渺- ( 财n 七翌三2 。“炉力皤肛h 恻岛) l 圹) 1 伽1 1 7 胁 蚶 b 一 以 b b p m 口 弓； c ， b mv砌 川 b b 青岛大学硕士学位论文 b + + cs u p w 1 ( b k 。) _ a k o e z 【 k = - 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j - 得；k ；c 川m 磺毛。趟) j 群注意驯圳钨。蚺( 踟嘲咖。三k ( 卵叫l j c f 类似于鲍的证明可得：弼ci i ，l l m 磺，( 。；- ) 当1 p l 0 0 时，应用m i n k o w s k i 不等式得 d s cs u p w i ( b k 。) r 知z 【( 歹一七) 2 扣趴一一詈一研 k - - - - - 一j = k + 2 州马) 陟i i 圳二矿1 p 硒+ o o + c s u p w l ( ) 一 【一k ) 2 。一7 ( 并一一詈一国 j c o z 詹品j 磊1 。p ( 马) a 肛i i 厶怯毛，】p 1 u p l u 二 = 叫+ 噬 类似于m i 的证明可得 同样可得 叫s c i i ，l i m 磺篇。( 。，遥- ) d 一 弋 吖m ”= = 川易p 佃蚶 b 一 一窖 以 p m饼 m i 2 ，j c 一蟛 青岛大学硕士学位论文 综上所述可得 至此定理证明完毕。 d 3 c i i ，i i m k ；0 , 。一；- ) 第二章交换子在入一中心m o r r e y 空间的加权有界性 第二章交换子在入一中心m o r r e y 空间的加权有界性 与奇异积分相关联的诸交换子，由于它与偏微分方程、c a u c h y 型积分等问 题有着十分密切的联系，并且又是一个非卷积型的c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子， 因此对这类算子及交换子的研究一直是倍受人们关注的问题如此一来奇异积 分算子及其交换子便得到了广泛的研究且取得了丰硕的成果，这一章我们主要 讨论交换子f b ，。 ( ( 6 c b m o g z ，沁( 融) ) 在入一中心m o r r e y 空间的加权有 界性 2 1 加权a 一中心m o r r e y 空间和c b m o 函数的概念 首先给出加权a 一中心m o r r e y 空间以及c b m o q 。, a ( r n ) 的定义 定义2 1 1 设入r 1 q 。，称b 譬( 辩) 为加权入一中，5 - m o r r e y 空 问，如果，满足下面的条件： 材2 s u p ( 1 b ( o ，聊i ( z ) m z ) 叫 。o ， 1， 、1 q 其中u ( z ) a 1 的非负权函数b ( 0 ，r ) 是以原点为心，r 为半径的球 定义2 1 2 令a 妄，1 q 。o ，称函数f 乏。( 融) 属于加权入一中 心有界平均振荡空间c b m 0 0 , a ( 瞅) 如果 i i ，肘d 吕 厣嬲面碡枷上( 0 ，鳓i ( z ) 一如( 呲) l q d x ) l 口 。 引理2 1 1 1 8 设o a 几，s ， p 0 ， 使 i i 乒l l 。，出c i l 川弘。， 青岛大学硕士学位论文 2 2 交换子在入一中心m o r r e y 空间的加权有界性 这一节我们详述并证明交换子【6 ，2b ，a j 在a 一中心m o r r e y 空问的加权有 界性 定理2 2 1 设0 o z 而l p l 石拼 p 2 。o 一q = p l + p 一2 一i ，i = 一p l 一元，了= 石+ p 一2 y o 入2 。 1 2 口 1 ，高厶( z ) 如。( z ) ，所以我们有 ( 南石沪( 州z ) c 丽1z 矿1 音( z ) 如) 挚c 叭硼孕c 扩1 ( 珐 所以c o p - ( z ) a 1ca p 。，由a ( p l ，t ) 权函数性质有u ( z ) a ( p 1 ，t ) 同理可得 w q ( x ) a 1ca q ，u ( z ) a 1ca 1 即u ( z ) a ( q ，z ) 设f s p l , a l ，不失一般性，我们有 i 高丽上i 【6 砖i f ( z ) 1 9 护( z ) 如) v q 。i 若碍( 丘i 【6 死，a i f ( 功i 钆义如声 i 舌碍【上| ( 6 ( 功一b ) ( p 厶z 0 ) i q 功如 l 口 + 而1 浮【小b ( 垆酬砩如c ) ( 帕俐栌 2 4 弗一草爻秧子征a