（应用数学专业论文）几类变时滞系统的鲁棒稳定性研究.pdf

硕士学位论文 摘要 本文研究了几类变时滞系统的渐近稳定性、鲁棒稳定性、绝对稳定性以及鲁 棒绝对稳定性，得出了判定相应稳定性的充分条件全文由六章组成，主要内容及 结构安排如下： 第一章主要介绍了鲁棒稳定性的背景知识和研究方法，并简要介绍了本文所 做的主要工作 第二章主要介绍- j l y a p u n o v 意义下的稳定性基本概念、l y a p u n o v 第二方法的 主要定理以及线性矩阵不等式的相关知识 第三章主要研究了标称奇异变时滞系统的渐近稳定性和不确定奇异变时滞系 统的鲁棒稳定性，得出了判定相应稳定性的充分条件并利用不确定性条件与s c h u r 补引理将判定系统鲁棒稳定性的条件进行了拓展 第四章通过构造新的l y a p u n o v 数，结合线性矩阵不等式的相关知识，先后 讨论了标称l u r i e 奇异时滞直接控制系统的绝对稳定性( 包括常时滞和变时滞两种 情形) ，以及不确定l u r i e 奇异变时滞直接控制系统的鲁棒绝对稳定性，得出了判定 相应稳定性的充分条件 第五章首先讨论了标称l u r i e 奇异常时滞和变时滞间接控制系统的绝对稳定 性，给出了绝对稳定性的充分条件其次讨论了不确定l u r i e 奇异变时滞间接控制 系统的鲁棒绝对稳定性，得出了系统鲁棒绝对稳定性的判别条件 第六章主要研究了带有变时滞的多非线性区间l u r i e 直接控制和间接控制系统 的鲁棒绝对稳定性，通过引入区间矩阵以及l y a p u n o v 函数等相关知识，得出了系 统鲁棒绝对稳定性的判别条件 关键词：渐近稳定；鲁棒稳定；绝对稳定；鲁棒绝对稳定；l u r i e 系统 u 硕士学位论文 a b s tr a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d ya s y m p t o t i cs t a b i l i t y , r o b u s ts t a b i l i t y , a b s o l u t es t a b i l i t y a n dr o b u s ta b s o l u t es t a b i l i t yf o rs e v e r a lc l a s s e so fs y s t e m sw i t ht i m e - v a r y i n gd e - l a y s ，a n do b t a i ns u f f i c i e n tc o n d i t i o n so nr e l e v a n ts t a b i l i t y t h ew h o l ep a p e rc o n s i s t s o fs i xp a r t s w h o s ec o n t e n ta n ds t r u c t u r ea r es h o w n 嬲f o l l o w s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n dr e s e a r c hm e t h o d so f r o b u s ts t a b i l i t y , a n dt h em a i nw o r k sa r ea l s ol i s t e di nt h i sc h a p t e r i nt h es e c o n dc h a p t e r ，i ti sg i v e nt h eb a s i cn o t a t i o n so fl y a p u n o vs t a b i b i t yt h e o r i e s ，t h em a i nt h e o r e m so fl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r i e sa n dt h ec o r r e l a t e k n o w l e d g eo fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s i nt h et h i r dc h a p t e r ，w es t u d ya s y m p t o t i cs t a b i l i t yf o rn o m i n a ls i n g l es y s t e m s w i t ht i m e - v a r y i n gd e l a y sa n dr o b u s ts t a b i l i t yf o ru n c e r t a i ns y s t e m s ，a n do b t a i n s u f f i c i e n tc o n d i t i o n so i lr e l e v a n ts t a b i l i t y f u r t h e r ，w ee x p a n dt h ec o n d i t i o n so f r o b u s ts t a b i l i t yo fu n c e r t a i ns y s t e m sb ym e a n so fu n c e r t a i nc o n d i t i o n sa n ds c h u r c o m p l e m e n tl e m m a i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，b ym e a n so fc o n s t r u c t i n gl y a p u n o vf u n c t i o n ，c o m b i n e d w i t hl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ，w ed i s c u s sa b s o l u t es t a b i l i t yf o rn o m i n a ll u r i e s i n g l ed i r e c tc o n t r o ls y s t e m sw i t ht i m e - i n v a r i a b l ed e l a y sa n dt i m e - v a r y i n gd e l a y s ， a n dr o b u s ta b s o l u t es t a b i l i t yo fu n c e r t a i ns y s t e m s w eg a i ns u f f i c i e n tc o n d i t i o n s o nt h o s es t a b i l i t y i nt h ef i f t hc h a p t e r ，w ed i s c u s sa b s o l u t es t a b i l i t yf o rn o m i n a ll u r i es i n g l e i n d i r e c tc o n t r o ls y s t e m sw i t ht i m e - i n v a r i a b l ed e l a y sa n dt i m e - v a r y i n gd e l a y sf i r s t l y , a n do b t a i nd i s t i n g u i s h i n gc o n d i t i o n so ft h es t a b i l i t y a f t e r w a r d ，w ed i s c u s sr o b u s t a b s o l u t es t a b i l i t yo fu n c e r t a i nl u r i es i n g l e ，a n dg a i nd i s t i n g u i s h i n gc o n d i t i o n so n t h o s es t a b i l i t y ， i nt h es i xc h a p t e r ，w es t u d yr o b u s ta b s o l u t es t a b i l i t yf o rm u l t i p l en o n l i n e a r i n t e r v a ll u r i es y s t e mw i t ht i m e - v a x y i n gd e l a y s b a s e do nt h ek n o w l e d g eo fi n t e r - v a lm a t r i xa n dl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y , 、7 l ，eo b t a i nd i s t i n g u i s h i n gc o n d i t i o n so n r o b u s ta b s o l u t es t a b i l i t y k e yw o r d s ：a s y m p t o t i cs t a b i l i t y ；r o b u s ts t a b i l i t y ；a b s o l u t es t a b i l i t y ；r o b u s t a b s o l u t es t a b i l i t y ；l u r i es y s t e m i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究 所取得的成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要 贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声 明的法律后果由本人承担。 储签名锄 嗍睁之月田日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书。 2 、不保密瓯 ( 请在以上相应方框内打“”) 僦名：蹶 刷帷轹落淦 日期：确年去月眵日 曰期：珂妒泛月哆日 硕十学位论文 第1 章绪论 1 1鲁棒稳定性的背景知识 稳定性与鲁棒稳定性是现代系统与控制科学中两个重要的基本概念其中稳 定性是系统的一个重要特性，实际上，一个系统必须是稳定的，不稳定的系统是不 可能付诸于工程实施的而鲁棒稳定性是指系统在不确定因素下保持其稳定性的 能力，即在保持系统稳定的前提下，不论系统中的不确定参数在允许的范围内取什 么值，系统都是稳定的简言之，前者是刻画系统中过程相对初始条件变化的保持 能力，而后者是过程相对环境或系统本身变化的保持能力【1 1 关于系统鲁棒稳定性的研究，最早可追溯到1 9 世纪p e a n o 、b e n d i x s o n 和d a r b o - 1 1 ( 等对微分方程的研究工作，他们得出了解对初值和参数具有连续依赖性的结论， 即解在给定区间的任意小变化可以由参数的充分小变化来保证这是一种无穷小 分析思想但在控制系统的研究中，人们感兴趣的常常不是一个过程( 或解) 对参数 变化的灵敏性，而是系统的某个性质或者某个指标对参数的敏感程度 一直以来，系统鲁棒稳定性研究都是控制理论中一个非常活跃的领域，吸引了 众多研究者的目光1 9 3 2 年，美国著名学者n y q u i s t h 【2 l 提出基于n y q u i 8 t 曲线的频 域稳定性判据，在一定程度上能较方便地处理单变量控制系统的鲁棒稳定性如 用b o d e 图进行单变量控制系统综合时，首先确保系统具有一定稳定裕量，使得控 制系统对受控对象特性的微小变化( 或其模型的微小摄动) 具有一定的鲁棒性后 来，美国人b o d e a 讨论了单输入单输出( s i s o ) 反馈控制系统的鲁棒性，提出利用幅 值相位稳定裕量来得到系统能容忍的不确定性范围，并引入微分灵敏度函数来衡 量参数摄动下的系统性能在5 0 年代里，开始发展起来的现代控制理论( 状态空间 方法1 能较好的解决多变量控制系统的鲁棒稳定性问题并已经证明，l q g 状态反 馈线形控制系统具有很好的稳定裕度 在6 0 年代里，关于鲁棒稳定性有两个重要的结论个是z a m e s 于1 9 6 3 年提出 的小增益原理【4 】 这一原理是频域分析非结构不确定性系统鲁棒稳定性的基本工 具在系统鲁棒性分析中具有十分重要的作用另一个重要的结论是k a l m a n 5 1 于1 9 6 4 年证明的单输入单输出系统线性二次最优状态反馈控制律( l q ) ，它具有很好 的鲁棒性，即无穷大增益稳定裕量和6 0 。相位稳定裕量紧接着在7 0 年代里，出现 了一些多变量频率域鲁棒性分析方法，其代表是r o s e n b r o c k 8 将经典单输入单输 出系统 约n y q u i s t 稳定性判据推广到了多输入多输出系统，提出了多变量系统的 逆n y q u i s t 阵列设计方法y o u l a m 等于1 9 7 6 年引入多变量系统传递函数矩阵分式 描述方法，为线性多变量系统的频率域分析提供了一种新的方法多项式矩阵方 一1 一 几类变时滞系统的鲁棒稳定性研究 法 8 0 年代，s a f o n o v 和z a m e s 为鲁棒稳定性的发展做出了重要贡献s a f o n o v s 把 经典频率域分析和设计方法与现代多变量控制方法联系起来，建立了一种新的分 析系统稳定性和鲁棒性方法，它可以对l y a p u n o v 稳定性和输入输出稳定性的概念 进行完全统一的处理z a m e s g 进一步发展了他在1 9 6 6 年提出的基于系统输入输出 传递函数的稳定性理论，他不单考虑了系统的稳定性问题，同时利用优化技术来降 低系统对不确定性扰动的敏感性从而提出了利用系统内某些信号间传递函数( 矩 阵) 的比范数作为优化指标的如控制理论 随着人们对于控制效果要求的不断提高，系统的鲁棒性越来越多地被人们重 视目前，鲁棒性问题的研究已经成为一种潮流，遍及控制理论的各个分支，可以 说各种控制理论之间的竞争就是处理鲁棒问题的竞争随着鲁棒稳定性理论的日 益完善，它不仅仅用在工业控制中，还被广泛运用在经济控制、社会管理等很多领 域 1 2鲁棒稳定性的研究方法 研究一个控制系统的鲁棒性，离不开对该系统不确定性的讨论在控制系统 中，一般有以下几种不确定性模型：( 1 ) 随机模型；( 2 ) 统计模型；( 3 ) 模糊不确定模 型；( 4 ) 未知有界不确定性模型 针对研究对象所基于的不同模型，系统鲁棒稳定性的研究方法有所不同但大 体上有三种方法【1 0 】： ( 一) 频率域方法它的研究对象是系统的传递函数或传递函数矩阵其中， 应用比较广泛的方法是如控制理论，它是由z a m e s 于1 9 8 1 年提出的如控制理 论，是设计控制器在保持闭环系统各回路稳定的条件下，使输入到输出的传递函数 的比范数取极小的一种优化理论方法由于非结构性摄动的鲁棒控制问题都可转 化成比控制问题，从而使比理论在控制界受到了很大的关注比理论以及一些 连同发展起来的理论，如p 理论，经过众多学者的努力已经取得了丰硕的结果【1 1 “1 4 1 ( 二) 代数方法它的研究对象是闭环系统的状态矩阵或特征多项式作为判 定系统鲁棒稳定性的代数方法，其出现当归功于俄国人k h a r i t o n o v ，他提出一个多 项式族是h u r w i t z 稳定的充要条件是该族四个端点多项式为h u r w i t z 稳定这先是 给人们带来了惊异，随后则启示人们寻求类似的结果并将它们用之于控制随后出 现的棱边定理、菱形族定理、边界定理、值集或值映射方法等为鲁棒稳定性分析 提供了有效的工具 ( 三) l y a p u n o v 函数方法它考察的对象为特定的l y a p u n o v 函数1 8 9 2 年，l y - a p u n o v 提出了两种用来确定由常微分方程描述系统的稳定性方法，即第一方法和 一2 一 硕十学位论文 第二方法【1 5 1 第一方法包括用微分方程显示解进行系统分析的所有步骤；第二种 方法不需要求出微分方程的解，通过对l y a p u n o v 函数的研究就可以确定系统的稳 定性，因为求解非线性系统或时变系统状态方程的解通常是极其困难的，所以第二 种方法一出现就显现出很大的优越性由于它是一种不依赖于特征值的方法，所 以它讨论的摄动不局限于定常摄动 总的来说，频域方法、代数方法和l y a p u n o v 数方法并不互相割裂，而是各有 特色、互为补充的其中代数方法理论性要求更强些；频域方法则由于研究工具尚 不成熟，其结果在形成理论上尚有一段距离；l y a p u n o v i 函数方法由于构造函数的 特殊性，具有一定的保守性 1 3本文所做的主要工作 迄今为止，关于系统鲁棒稳定性方面研究的文章很多有时滞独立系统稳定 性问题的研究【1 6 删，有时滞相关系统稳定性问题的研究 2 0 “2 a l ，有不确定性系统鲁 棒稳定性问题的研究i 钧“2 7 1 ，还有奇异系统鲁棒稳定性问题的研究等1 2 s 3 1 1 例如： 2 0 0 4 年，m i nw h 等在文献 3 2 1 中讨论了不确定变时滞系统 圣 ) = ( a + a a ( t ) ) x ( t ) + ( a 1 + a 1 ( t ) ) z 一f ( ) ) ， i - z ( t ) = 咖( t ) ，t 【- - t ，o l 的鲁棒稳定性，得出了判定该系统鲁棒稳定性的充分条件2 0 0 7 年，王天成等在文 献【3 3 】中讨论了不确定奇异常时滞系统 ， je ：c ( t ) = ( a + a a ( t ) ) x ( t ) + ( a 1 + a a l ( t ) ) x ( t r ) ， 【z ( t ) = ( t ) ，t - - t ，o 】 的鲁棒稳定性，得出了判定该系统鲁棒稳定性的充分条件同年，张晓娇等在文 献【3 4 】中讨论了带有时滞的多非线性区间l u r i e 直接控制系统 f 宕( t ) = 丝，_ 】z ( t ) + 匣，_ 】z ( t 一7 - ) + 睦，司 ( 吼( t ) ) ， 1 吼( 亡) = 隧，司t z ( t ) ， lz ( ) = ( t ) ，t 【- - t ，0 】 和区间l u r i e 间接控制系统 f 亳( t ) = 陋，- 】z ( t ) + 匣，_ 】z 一下) + 曼匿，司五( 吼( t ) ) ， 1 晓( t ) = 眨，司t z ( t ) 一睦，司 ( 吼( t ) ) ， l t = 1 【z ( ) = ( t ) ，t 【- - t ，o 】 的鲁棒绝对稳定性，得出判定相应系统鲁棒绝对稳定的充分条件 一3 一 几类变时滞系统的鲁棒稳定性研究 本文首先研究了不确定奇异变时滞系统 ie 圣( t ) = ( a + a ( t ) ) z ( t ) + ( a 1 + a a l ( t ) ) x c t r ) ) ， 【z ( t ) = ( t ) ，t 【一1 ，0 】 的鲁棒稳定性，此系统是文献 3 2 】和【3 3 】中系统的一种推广，所得结论也是原文献的 一种推广 然后讨论了不确定l u r i e 奇异变时滞直接控制系统 ie 2 ( t ) = ( a + a a ( t ) ) x ( t ) + ( a i + a l0 ) ) z 一7 ( t ) ) + b ，( 矿0 ) ) ， 盯( t ) = c e x ( t ) ， iz ( t ) = ( t ) ，t 【- - 7 ，o l 和间接控制系统 ie 2 ( t ) = ( a + a a ( t ) ) x ( t ) + ( a 1 + a a l ( t ) ) x ( t 一7 _ ( t ) ) + b ，( 口( t ) ) ， 方( t ) = c e x ( t ) 一p ，( 盯 ) ) ， iz 0 ) = ) ，t 【- - 7 ，0 j 的鲁棒绝对稳定性，这两个系统是在不确定奇异变时滞系统的基础上，考虑了扰动 项，即为不确定奇异变时滞系统的一种推广，所得结论丰富了现有的研究结果 最后研究了区间l u r i e 直接控制系统 i 圣( ) = 丛，a - - l z ( t ) + 旦，_ 】z ( t r ( t ) + e 亟，司 ( 吼( t ) ) ， ， m i 巩( t ) = 隧，硼t z ( t ) ， i = 1 i iz ( t ) = ( t ) ，t 一丁，o l 和区间l u r i e 间接控制系统 l 圣( t ) = 丝，_ 】z ( t ) + 匣，_ 】z ( 一7 ( t ) ) + e 睦，司 ( c r t ( ) ) ， 1 魂( t ) = 匦，司t z ( t ) 一逸，司 ( 以( t ) ) ， iz ( t ) = ( t ) ，t 【- 丁，0 】 的鲁棒绝对稳定性，这两个系统是文献 3 4 】所讨论的系统的推广，所得判定条件也 是原文献的一种推广 下一步，我们需要做的是：第一，利用m a t l a b 求出各系统鲁棒稳定性具体的数 值解；第二，将我们第六章的带有变时滞的多非线性区间l u n e 直接控制和间接控 制系统推广到奇异的情形；第三，讨论各个系统之间的内在联系更进一步，我们 可以利用其他方法，如：频率域方法或代数方法等，来讨论它们的鲁棒稳定性的判 别条件 一4 一 硕士学位论文 第2 章基本知识 2 1 l y a p u n o v 稳定性定理 1 8 9 2 年俄国数学家l y a p u n o v 发表了“运动稳定性的一般问题”的杰出论文，创 立了l y a p u n o v 稳定性理论他首次提出了，当初始条件( t o ，x 0 ) 受到微小扰动时，在 此后任何时候都能保持解z = ( t ；t o ，x o ) 受到的影响极小的“稳定性”概念( 后人称 之为l y a p u n o v 意义下的稳定性) ，同时创造了“l y a p u n o v 函数”v ( t ，z ) 这一判定解 的稳定性的强有力的工具这个理论与方法在工程控制中有着广泛的应用意义 极其重要在其后的几十年中，随着科学技术的发展和理论研究的不断深入，人们 一方面进一步完善t l y a p u n o v 稳定性的基础理论体系，另一方面，在稳定性概念 的拓广和v 函数这一工具应用领域的开拓这两条主线上不断延伸，发展稳定性领 域的丰富成果，人们建立了许多新的稳定性概念，大大地发展了v 函数的应用方式 与应用领域，将它用于研究解的有界性、有敛性、耗散性及周期解等 2 1 1 l y a p u n o v , 意, 义下的稳定性概念 考虑系统 票：9 ( ，可) ， ( 2 1 )一= 口i e w i i z 1 - d t j 、。芦7 、7 其中，秒dc 肝，g c i d ，舻】，j = p ，+ o o ) ，7 - 冗；并保证解是存在唯一的 设我们考察某个解y = q o ( t ；t o ，y o ) 三妒( t ) 的性态可作变换 z = y 一妒( 亡) ， 化上述系统为 面d x = 北z + 删) 一g ( t ，俐) 兰m ，z ) ， ( 2 2 ) 且显然有y ( t ，0 ) - - 0 故考察任何一个解的稳定性态，均可转化为考察系统 面d ：g = ，( t ，z ) ，巾，o ) - 0 ( 2 3 ) 的平凡解z ( t ) 兰。的稳定性态其中z dc 册，c i d ，俨】，j = 卜，+ o o ) ，7 _ 冗 定义2 1 1 1 3 5 1 若垤 0 ，v t o j ，j 6 = 6 ( ，t o ) ，使v ，只要i iz o0 0 ，必有z o ， 虽l lz oi l 孙 定义2 1 2 3 s 1 若上述定义中的6 = 6 ( e ) ，它与t o 无关，则称式( 2 3 ) 的平凡 解z = 0 是一致稳定的 这里0zi i 表z 舻的范数，若无特殊的声明采用定义 i izl i 兰i 霜i 或i 兰( z 垆 定义2 1 3 若v t o i ，3 9 = a ( t o ) 0 ，对v x o ，只要0x oi l 0 ，| 6 = a ( t o ) 及t ( 6 ，t o ，x o ) 0 ，当0x o0 6 ，t t o4 - t 时，有 0z ( t ；如，x o ) 0 e 定义2 1 4 【3 5 4 若式( 2 3 ) 的平凡解z = 0 是稳定的，又是吸引的，则它是渐近 稳定的 定义2 1 5 侧若式( 2 3 ) 的平凡解z = 0 是稳定的，又是全局吸引的，则它是 全局渐近稳定的 2 1 2 l y a p u n o v 稳定性基本定理 定理2 1 1 1 3 5 1若在区域g h 上存在正定函数v ( t ，z ) ，使 铷3 ) 瓦o v + 渊a y 加) o ( x o ) ，v ( t ，0 ) = 0 定理2 1 3 1 3 r 若存在函数y ( t ，z ) c ( ixd ，矿) ，v ( t ，0 ) = 0 ，满足： ( i ) 了1 ，使当亡t 时， v ( t ，z ) 1 ( 0z0 ) ，1 k ； ( i i ) j 正数p 1 ，对v 入( 0 ，p ) 及v t t ，当v 【a ，纠时， 警i ( 2 3 ) 9 ( 啪( 忡) ( 2 5 ) 其中 ( t ) 0 ，夕( t ) 均在j 上有定义且可积，及 g ( t ) d t + o o ( 2 6 ) ，t o 则系统( 2 3 ) 的平凡解z = 0 是稳定的 定理2 1 4 s 8 1 设系统( 2 3 ) 右端函数，( t ，z ) 在g 日上有界，且在a nl = 存在正定 函数y ( t ，z ) ，使面d vi ( 2 3 ) 负定则系统( 2 3 ) 的平凡解z = o 是渐近稳定的 定理2 1 5 1 3 9 1 若在g 日上存在正定函数y ( t ，z ) ，使詈i ( 2 3 ) 负定，且在d 上存 在正定函数w ( z ) ，使警1 ( 2 3 ) 在弘o ，) xd 上有上界或下界则系统( 2 3 ) 的平凡 靴= 0 是渐近稳定的 定理2 1 6 s 5 1 若在g 日上存在函数v ( t ，z ) ，使 ( i ) v o ( t ，z ) ( z ) o 或兰0 ，其中w ) 是d 上的正定函数，o ( t ，z ) 0 在 g 日上连续，且当t _ + 时，它关于z 一致趋于+ o o ： ( 娩) 詈i ( 2 3 ) o 则系统( 2 3 ) 的平凡解z = 0 是稳定的 2 2 线性矩阵不等式( l m i ) 近十年来，线性矩阵不等式l m i 被广泛用来解决系统控制中的一些问题，随着 解决线性矩阵不等式的内点法的提出，m a t l a b 软件中线性矩阵不等式l m i ：e 具 箱的推出，线性矩阵不等式这一工具越来越受到人们的注意和重视随着凸优化理 论的不断发展和计算机功能的不断强化，线性矩阵不等式( l m i ) 这一工具在控制设 计中日益受到重视，被认为是l y a p u n o v 方程f l l r i c c a t i 方程的补充和替代 一7 几类变时滞系统的鲁棒稳定性研究 2 2 1 线性矩阵不等式表示方法 所谓l m i 是指一个具有如下形式矩阵不等式【柏】： f ( z ) = f o - t - 而只 0 ， ( 2 7 ) i = l 其中，戤( i = l ，2 ，m ) 是m 个实数变量，称为线性矩阵不等式( 2 7 ) 的决策变量， z = 扛1 ，z m ) t 是由决策变量构成的向量，称为决策向量已知常数对称矩 阵只= 砰形黼，i = 1 ，2 ，m 式( 2 7 ) ) 中的不等号“ ”指的是矩阵f ( z ) 是负 定的，即对所有非零的向量口册，矿f ( z ) 郇 0 或f 佃) 的最大特征值小于零所 有满足线性矩阵不等式( 2 7 ) 的全体构成一个凸集 例2 2 1 ：二变量线性矩阵不等式 ( 荤兰三) + z ( 三主兰) + z 。( 兰i 三) 。 2 2 2 控制约束的线性矩阵不等式表示方法 系统控制中的许多问题可以通过适当的处理将其转换成具有式( 2 7 ) 形式的一 个l m i 问题 1 多个线性矩阵不等式约束 f 1 ( z ) 0 ，f 2 ( z ) 0 ，m ( z ) 0( 2 8 ) 可以转化成 d i a g ( f l ( z ) ，r ( z ) ) 0 2 ( 凸) 非线性不等式转化成l m i 形式 在线性矩阵不等式使用之前，许多控制问题是用r i c c a t i 不等式方法来解决的， 而r i c c a t i 不等式的求解带有一定的保守性在此，可以将非线性不等式通过s c h u r 丰j , 引理转化成的l m i 形式下面给出s c h u r 补引理的具体描述： 一8 一 、liiij， z 1 0 +z5 z 4 2 卅汁。 研 z 2 z+ 1 1一+ 1 z 研 ，一 硕士学位论文 定理2 2 1 ( s c h u r 补引理) f 4 1 】设q = q t ，r = 舻，s 为适当维数的常数矩阵， 则线性矩阵不等式 卜s 、 s tr ( 2 9 ) 当且仅当 r 0 ，q s r 一1 矿 0( 2 1 0 ) 或 q 0 ，r s q 一1 y r 0( 2 1 1 ) 成立 在这个引理中，r s q - 1 s t 称为的s c h u r 补 2 2 3 在控制系统中的几个典型问题 1 可行性问题( l m i p ) 检验是否存在满足线性矩阵不等式f ( x ) 0 的z ，若存在，则称此线性矩阵不 等式是可行的，否则称为是不可行的【4 2 1 可行性问题，在m a t l a bl m it o o l b o x d 尸用f e a s p i 函数可以求得，对线性矩阵不等 式f 1 ) r ( z ) + a i ，f e a s p i 弱数将在其约束下搜索决策变量，使其满足约束的a 最 小，若入m i n 0 ，则线性矩阵不等式只( z ) f 2 ( z ) 有解，对应的决策变量z 即为一组 可行解 2 特征值问题( e v p ) 该问题是在一个线性矩阵不等式约束下，求矩阵f ( z ) 的最大特征值的最小化 问题或确定问题的约束是不可行的它的一般形式是： s g ( x ) m l n a i ；：h ( x ) 0 ( 2 1 2 ) s t ) ，) 、 这样一个问题有可以转化成以下的一个等价问题 m i nc t z s t f ( x ) 0 其中c 为决策系数，z 为决策变量 特征值问题( e v p ) ，在m a t l a bl m it o o l b o x 中用r a i nc x i 垂i 数可以求得 3 广义特征值问题( g e v p ) 求解如下的广义特征值最小化问题： ( 2 1 3 ) 8) 0 ，h ( x ) 0 ( 2 1 4 ) 8 ) ，) 、 一9 一 几类变时滞系统的鲁棒稳定性研究 广义特征值问题，m a t l a bl m it o o l b o x g e v p i g i 数在以上约束有解时给出a 的最小 值 一1 0 一 硕士学位论文 第3 章一类不确定奇异变时滞系统的 鲁婊l e f ：稳定性1日i i b j 【= 上 3 1引言 随着现代控制理沦研究的不断深入及其向工程系统、经济管理、航空航天、机 器人、电子网络等学科的渗透，出现了结构复杂的所谓大系统或复杂巨系统要想 用单一的( 差分) 微分方程或代数方程来描述这样的复杂系统已愈来愈困难此时， 适合这种需要的一类有效的数学模型就是奇异系统它是由r o s e n b r o c k 于1 9 7 4 年 在英国出版的国际控制杂志上发表的“一般动态系统的结构性质”【鸽l 一文中首次 提出来的由于奇异系统是比正常系统更能准确地描述实际的动态系统，随着科 学技术的发展和大型工程技术的需要，从而使得奇异系统的研究受到了广泛的关 注 在现实世界中，控制系统的设计都要以被控对象的数学模型为依据而在许 多实际系统中，如航空航天、化工冶金、电网等系统，由于测量的不灵敏，信号的 传输和元件的老化等原因，系统中的不确定性和时滞是普遍存在的，并且是造成系 统不稳定和性能变坏的主要原因基于这一原因，在控制系统设计过程的系统模型 建立和控制器设计过程中考虑这两种因素的影响在工程实际应用中是否可行就 显得更为重要了 目前在奇异系统中考虑时滞的研究已有了一些结果1 4 4 4 7 】，但对奇异系统中考 虑不确定性的研究还不很多本章把文献f 3 2 1 和文献 3 3 】的思想和方法结合起来，利 用l y a p u n o v 函数、自由权矩阵和线性矩阵不等式等相关知识，先后讨论了标称奇 异变时滞系统的渐近稳定性和相对应的不确定奇异变时滞系统系统的鲁棒稳定性， 得出了相应稳定性的判别条件，推广了参考文献【3 2 】和 3 3 】的结论并利用不确定性 条件与s c h u r 丰b q l 理将将判定不确定系统的鲁棒稳定性的条件进行了拓展 3 2问题的描述 考虑如下一类标称奇异变时滞系统 繁) = 。a 、x ( t ) + ，a l x ( 、卜7 ”， ( 3 1 ) 【z ( t ) = 西( t ) ，t 【一7 ，0 】 、 其中，z ( t ) 是系统状态变量，e ，a ，a 1 为已知适当维数矩阵，j | r a n k e = ，- n ，r ( t ) n 时变连续函数，且满足o ，i ( t ) 7 ，于( t ) p l ，丁，p 是常数，( t ) 是【一l0 1 上连续 的相容的向量值函数 一1 1 几类变时滞系统的鲁棒稳定性研究 当考虑时变结构不确定时，它被描述成： 繁) - - ( a + a ，刖。紫) + 似1 + 幽“幻扣 吖o ”， ( 3 - 2 ) i - z ( t ) = 咖( t ) ，t 【下，0 】 、。 其中，z x a ( t ) ，a a l ( t ) 为系统的不确定项，并且假设它们有如下结构： a a ( t ) 4 1 ( t ) 】= h f ( t ) n 1 】， h ，n ，1 为已知适当维数的常数矩阵，f ( t ) 是一个具有l e b 圈g u e 可测元的未知函数 矩阵，且满足f 7 r ( t ) f ( t ) i 为方便起见，若记a + a a ( t ) = 五，a 1 + a a l ( t ) = 石1 ，则系统( 3 2 ) 可以表示如 下 ， e 五c ( t 训) = f i x ，( t 。：篙 ” 慨3 ， 【z ( t ) = ( t ) ，【一7 ，0 】 、。 引理3 2 1 i 镐1 给定适当维数的实矩阵，日，厶其中e 为对称矩阵，则 + h f t ( t ) 三+ l t f ( t ) h t 0 成立的充分必要条件为存在正数e ，使得e + e l t l + 一1 日矿 o 和p 0 ，半正定矩阵 x = 髦) 0 和适当维数矩阵p y t ，使得下列矩阵不等式成立： 尸t e = e t p 0 ，( 3 4 ) 圣= ( 曼耋：。r a t z ) r z a 。， 丁z a1 皿= x n x 1 2 y ，e ) 。， ( 3 5 ) ( 3 6 ) 硕十学位论文 则系统( 3 1 ) 是渐近稳定的，其中 ( 1 ) 1 1= p t a + a p t + q + y + p + 7 x 1 1 ， 圣1 2 = 尸t a l y + 矿+ f x l 2 ， 圣勉= 一t 一严一( 1 一p ) q + 7 x 杰 证明构造如下l y a p u n o v 函数： 啪) ) ) + 厂。， +仁e口水)etzexxt(t)ptex(t(s)qx(s)dsz e k ( s ) d s d 8 j t - r ( t ) j ，y ( z ( t ) ) =) + z t + 矿( s ) ， 一r ，t + 口 其中p t e = 矿p 0 ，q ，z 是正定矩阵，显然y 扛( t ) ) 是正定函数 一方面，利用牛顿一莱布尼茨公式，有z ( t 一丁( t ) ) = z ( t ) 一仨r ( d 圣( s ) 山 而对于适当维数的矩阵y t ，我们有 ， 2 陋t ( t ) y + x t ( t 一7 ( t ) ) 明陆o ) 一圣( s ) d s z ( 亡一r ( t ) ) 】= 0 ( 3 7 ) j t - r ( t ) 另一方面，对任意半正定矩阵 x ：( x 、l x 是芝卜 有 ，t 7 ，( t ) x ( ) 一 ，( t ) x ( t ) d 0 ， ( 3 8 ) j t - r ( t ) 其e e ( t ) = 妒( t ) x t ( t r ( t ) ) 1 t 对y ( z ( t ) ) 沿着系统( 3 1 ) 的解轨线求时间导数，得 矿 ( t ) ) = 2 z t ( t ) p t e 0 ) + z t ( t ) q z ( t ) + z t 一r ( t ) ) q z ( t 一7 - 0 ) ) ( 1 一亍( t ) ) + 下矿( t ) e t z e 圣( t ) 一正r ( 幻矿( s ) e t z e j ：( s ) d s 将( 3 7 ) ，( 3 8 ) 代入，则有 矿( z ( t ) ) 2 x t ( t ) p t a z ( t ) + 2 z t ( t ) p t a l z 0 7 - ( ) ) + z t ( t ) q z ( t ) + z t 一r ( t ) ) q z ( t 一7 ( t ) ) ( 1 一p ) + 7 圣t ( t ) e t z e 圣, ( t ) 一正r “) 圣t ( s ) e t z e 圣( s ) d s + 2 x t ( t ) y + x t ( t 一下( t ) ) 卅 p ( t ) 一正，( t ) ( s ) d s z 0 一下( t ) ) 】+ 丁t ( t ) x ( t ) 一正，( t ) ，( t ) x ( t ) d 一1 3 几类变时滞系统的鲁棒稳定性研究 一正r ( t ) 主t ( s ) e t z e 圣( s ) d s + 2 x t ( t ) y x ( t ) 一2 x t ( t ) y x c t 一7 ( t ) ) - 2 x t ( t ) y 正，( t ) ( s ) d s + 2 x t 一r ( t ) ) t x c t ) - 2 x t ( t r ( ) ) t z ( t 一1 ) ) 一2 x t 一r ( t ) ) tj ：r “) 圣( s ) d s + 7 p ( t ) x ( ) 一正r mp ( t ) 襁( t ) 越 + z t 一r ( t ) ) a w z a l x ( t 一下( t ) ) 】一庄，r 幻圣t ( s ) e t z e 圣( s ) d s + 2 x t ( t ) y z ( t ) 一2 x t ( t ) y x ( t 一7 _ ( t ) ) 一2 x t ( t ) y 正r ( t ) 圣( s ) d s - 2 x t 一r ( t ) ) t 丘，( 幻圣( s ) d s + 1 t ( t ) x ( t ) 一正，( t ) t ( t ) x ( t ) d 一丘r f t l 圣t ( s ) e t z e k ( s ) + 2 x t 0 一r ( ) ) t 圣( s ) + 2 x t ( ) y 圣( s ) ( z 。竺：! 。，) + 丁( z t c t ，z t 一丁c t ，) ( 筹薹三a a t z z a a ，1 ) h ) ) 也缈( s ) 耽鼢( s ) + 2 誓丁脚) = ( z t ( t