（应用数学专业论文）关于相依随机变量序列的极限性质和完全收敛性的若干研究.pdf

f 町北 二1 肚人学坝十：学位论文 关于相依随机变量序列的极限性质 和完全收敛，| 生的若干研究 摘要 强偏差定理义称小偏差定理，是借助于似然比而引进一种度量， 进而建立的一种新型定理( 即用不等式表示的强极限定理) 本文第二 章用矩母函数构造一收敛鞅，利用截尾法和单调函数的性质，证明了 离散型随机变量序列泛函的强偏差定理刘文教授和他的合作者在公 平赌博系统的强极限定理方面做了不少工作，本文第三章是在前人的 基础上对这一方面做进一步的研究，通过构造收敛鞅，讨论有界值赌 博系统的强极限定理本文第四章利用截尾法和单增函数的性质并构 造鞅，得到取值于, 4 1 n 2 ) 阶光滑空间的随机变量序列的强极限 定理h u s 和r o b b i n 于1 9 4 7 年提出了完全收敛性的概念，完全收敛 比几乎处处收敛更强第五章通过构造收敛鞅，且令鞅有界，证明相 依随机变量序列的完全收敛性 本论文包含六章第一章，介绍本论文的选题背景，对已有的工 作进行扼要的介绍；第二章至第五章是主要内容，也是全文的重点； 第六章，总结本文的主要结论 关键词：强偏差定理，似然比，对数似然比，强极限定理， 实可分b a n a c h 空间，n 阶光滑空间，完全收敛性 关于相依随机变量序列的极限性质和完全收敛性的若干研究 s o m es t u d yo fl i m i tp r o p e r t i e sa n d c o m p l e t ec o n v e r g e n c ef o rs e r i e s o fd e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s a b s t r a c t t h e s t r o n gd e v i a t i o nt h e o r e m s ，w h i c ha r ea l s oc a l l e dt h es m a l ld e v i a t i o n t h e o r e m s ( ie ，t h es t r o n gl i m i tt h e o r e m sr e p r e s e n t e db yi n e q u a l i t i e s ) ，a r en e w t y p et h e o r e m se s t a b l i s h e db yu s i n gt h en o t i o no ft h el i k e l i h o o dr a t i o i n c h a p t e r2t h es t r o n gd e v i a t i o nt h e o r e m sf o rf u n c t i o n so fs e r i e so fd i s c r e t e r a n d o mv a r i a b l e sa r eg i v e n h e r ew ec o n s t r u c tam o m e n tg e n e r a t i n gf u n e t i o na n dac o n v e r g e n tm a r t i n g a l e i nt h em a i nt i m e ，w eu s et h et r u n c a t i o n m e t h o da n dt h ep r o p e r t i e so fm o n o t o n ef u n c t i o n si nr e c e n tt e ny e a r s ，p r o f l i ua n dh i sc o o p e r a t e r sh a v ed o n eal o to fw o r ka b o u tt h es t r o n gl i m i tt h e o - r e m so ff a i rg a m b l i n gs y s t e m i nc h a p t e r3w em a k eac o n v e r g e n t m a r t i n g a l e a n dc o n c l u d et h es t r o n gl i m i tt h e o r e mo fb o u n d e dg a m b l i n gs y s t e m ，w h i c h i sf u r t h e rs t u d yo i lt h eb a s i so fp r e v i o u sw o r k i nc h a p t e r4 w eo b t a i nt h e s t r o n gl i m i tt h e o r e m sa b o u ts e r i e so fr a n d o mv a r i a b l e sw h i c ha r ei nt h ea t h ( 1 0 为了表征 x n ，n 1 ，与具有联合分布 m 。( z 1 ，z 。) = i i 吼( z ) ，n 1 女= i 的独立随机变量序列之间的差异，我们引进如下定义： 定义2 1 1 设 x 。n l 是具有联合分布( 2 11 ) 的随机变量序列 是由( 2 1 2 1 所定义的乘积分布，令 ) = p n ( x l ，五。) 。僻l ，蜀1 ) 并令 ( 2 1 2 ) 2 13 1 1 ( u ) = l i r a s u p 三l n l 。( w ) ( 214 ) n o 其中f ，。是自然对数，u 是样本点，) 称为似然比，1 ( “) 称为极限相对对数似然比 易知如果( 虮，t 。) = n ：丑q k ( x k ) ，则1 ( u ) 三0 引理2 1 1 ( d o o b 鞅收敛定理) 设 五。，n 1 ) 是下鞅，而且s u p 。e l j 0 i 2 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 定理2 2 1 设 五，n 1 ) 是离散型随机变量序列，n 。，y ( u ) ， ，矗，孙，如上定义 h = ：7 ( u ) + o 。) ，p ( h ) = l( 2 24 ) 若 川川罂巷吲帮胪( 小删 则 l i 。u p ；妻丝坠型幽洲，y ( 。) ，如) ) 。a n _ 0 0 l “篇 a k 一一。 其中 口( 。，y ) = 打l ， 妒( a ，z ，可) ，0 a a o ) ，0sz ，y + 。 妒( a ，z ，可) = ；+ 1 a e 2 1 ) q y , o z ，可 + o 。，o a 玉a 。 3 ( z ，y ) 0 ，卢( z ，o ) = 卢( o ，y ) = o ，0 ? ，y 1 由卜i 面证明中的( 2 22 0 ) 可知，在相依的情况下，恒有 7 ) 0 o s ( 225 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 28 ) f 2 2 9 ) ( 22 1 0 ) ( 2 2 】1 ) ，、【 = 数 函陛一不示表 k 中 其 关于相依随机变量序列的极限性质和完全收敛性的若干研究 又吖( u ) 十。，因此 ( c o ) 可以作为 x 。，n l 的联合分布p 。( 。1 ，：1 2 。) ( 7 z = 1 ，2 ) 与边缘乘积分布”。( z h ，z 。) 之间的偏差的一种随机性度量7 ) 越小，偏差越小 证明：设a o ( 0 ，o o ) ，一a osa 冬 o ，最( 。女) 为x k 的分布函数令 o 。( a ) ：球印坐丝止型 “女 ：，。印巡丝上趔d f ，：( x k ) 扛k ) 曼o k n k ：州e z p 鳖盟i 型型 x k ：a 扛 ) ! “ 令 m m ，：型堂尝喾 则 令 p ( ；。) = 1 x k ：a ( 。) ! “女 k ( m ，。) = p ( a m ) ：亟螋q k i x k ) e 型x p - 尝等a 2 竺- k = 1 、7 ( 2 2 1 2 ) ( 22 1 3 ) ( 2 2 1 4 ) 高丽唧 蓬k = i 巡警幽 蜘引( 2 z 1 5 ) 可知b 。( ；t 1 ，z 。) 是n 元概率分布令 孙川= 尝p n 篆岩 【 】， n j 易知( a ，u ) 为鞅，由引理2 1 1 知，存在a ( a ) 户，p ( 4 ( a ) ) = l ，使得 由( 2 2i 7 ) 知 故 。l 呻i r a o 。( a ，u ) 2 ，由h s l d e r 不等式及( 2 2 1 ) ，得 e 掣】2 - t m 。掣删 s 如鲰( 掣m 酬) 麦 = 净。掣蚓训) 最 s 净。絮掣仉) ) 毳 邛 嘴掣 ) 毒 ( 2 2 2 2 ) ( 2 , 2 ，2 3 ) ( 2 22 4 ) 得 耽厶 皇 = ? 勰 一显 巩e 当 关于相依随机变丑序列的极限性质和完全收敛性的若干研究 e c 掣j 2 0 ) 且l n x o 1 ) ，故 ( 2 2 2 5 ) ( 2 2 2 6 ) ( 2 2 2 7 ) 。 l i 。m + s 。u p 。1 壹k = l 啪鼬) 2 e 2 1 a i c ( 毗u a 叫 ) ( 2 2 - 2 8 ) 由( 2 2 2 1 ) ，( 222 8 ) ，得 l i m s u - ：壹k = l 艘学纠卅- ) 、2 e 2 p q c ( 乩u a 叫a ) ( 2 z - 2 9 ) 当0 a o 时，两边同除以a ，得 1 1 i t i8 1 1 一；壹巡巡a k 掣+ 翱2 ( 毗u a 叫a ) ( 2 2 3 0 )n _ 1n _一 、“、4。 令q + 是( 0 ，a o 上的正有理数集，a + = v b , e q a ( ) ，易见p ( a + ) = 1 ，由( 2 2 3 0 ) ，得 1 i i i ls i 一；妻趔止a 丝k 幽s 掣a + 叱( 乩u a 坩 ( 2 23 1 ) n _ n ? 一 z 由妒( ，z ，y ) 关于a 的连续性，由( 2 2 3 1 ) ，对每一u a n a + ，存在 n q + ( n = 1 2 ) ， 使得 。l 。i r a 。妒( n ，7 ( ) ，c ( u ) ) = 卢( 1 ( 。) ，c ( u ) ) ( 2 2 - 3 2 ) 由( 2 2 3 1 ) ，得 五基! 盘! _ 二j 呈魁s 妒( a 。，7 ( 。) ，。( 。) ) ，。ar ia + ( 2 2 3 3 ) a k 。脚 1 一n p 眦旧m 卜 河北工业大学硕士学位论文 由( 2 27 ) ( 223 3 ) 得 111s u ”：喜趔芸趔洲似n ，w ea n a * 。a ， 由于p ( a 4 ) = l ，( 2 2 6 ) 得证 由( 2 2 8 ) 知，当0 a a o 时，妒( a ，茁，y ) 0 ，由( 2 2 7 ) 知，p ( 茁，y ) 0 由 ( 2 27 ) ，( 228 ) 知， 卢( 。，”) = 。i n 。f 。7 ) ( a ，z ，) = 。i 。n ! f 。 ；+ ；a e 2 i g ( 2 2 3 5 ) 卢( z ，o ) = 。 i n f 。妒( z ，o ) = 。 i n f 。 ；+ ； e 2 1 1 1 o = o f i ( o , y ) = 蚴i n 孙f 【_ o ( 枷川= 。器。 ；+ j 1 脚1 鲥= 。 ( 2 2 9 ) 得证 。1 i m 。十# ( z ，) = 。l 。i m 。十。 i n f 。 ；+ ；a e 2 1 , l y = 。感l i r a 。+ ；十；x e 2 p l y = o ( 2 2 1 0 ) 得证 常理2 2 2 存帝弹2 2 的条件下 ；( x k ) - e ；( x k ) n ( ，y ( u ) ，c ( u ) ) a 8 0 2 4 a ( x ，y ) = s u p v ( , x ，。，) ，一a o 茎a o ) ，0 茎。，y 十。 订( ，y ) 0 ，o ( z ，0 ) = a ( 0 ，y ) = 0 ，0s 算，y + o 。 删l i m + “( t ，) 2 0 证明：取一a o a 0 ，由( 2 22 9 ) ，两边同除以 ，得 ( 2 2 3 6 ) ( 2 2 3 7 ) ( 22 3 8 ) ( 2 2 3 9 ) ( 22 4 0 ) ( 2 2 4 1 ) lim。inf三妻趔止警塑掣+(乩u4叫a)(2242,oo7 1 ,aa ) _ 一 z 令q 。是 一 o ，0 ) 负有理数集，a 。= n a o ，a ( a ) ，易见p ( a + ) = 1 i 。m + i 。n 畦妻趔尘a 警盟2 掣+ 叱( 乩u 4 呲 ( 2 2 4 3 ) n _ o 。n 一 z 。 l n f m n 1 关于相依随机变量序列的极限性质和完全收敛性的若干研究 由妒( a ，z ，y ) 关于a 的连续性，由( 2 2 4 3 ) ，对每一u a n a + ，存在 。q ，( n = l ，2 ) 使得 。j 。i m 。妒( n ，7 ( ) ，c ( u ) ) 2n ( 7 ( w ) ，4 0 0 ) ( 2 2 4 4 ) 由( 2 2 4 3 ) ，得 i 生茎虫二型妒( a 。，1 ( 。) ，c ( 。) ) ，。ar q a + ( 2 2 4 5 ) 由( 22 4 4 ) ，( 22 4 5 ) 得 l n f ；妻f _ ( x k ) - 。e f ；( x k ) m ( 乩c ( ，u a n a ( 2 2 4 6 ) n - o c ”= o k 由p ( a + ) = l ，( 2 2 3 8 ) 得证 由( 2 2 8 ) 知，当- a o 0 时，妒( a ，z ，y ) 0 ，由( 2 2 3 9 ) 知，o ( z ，y ) 0 由 ( 2 2 8 ) ，( 2 2 3 9 ) 知， ( z ，g ) = s u p 妒( a ，z ，) = s u p 詈+ ；a e 2 1 1 t y ( 2 2 4 7 ) - a o 0- a o 曼 0a z 。( 。，o ) = s u p 妒( a ，$ ，o ) = s u p 【；+ ；) , e 2 t 3 o 】= 0 a ( o ，) ：s u p 妒( a ，o ，) ：s u pf t 0 + ：a e 2 川鲥：o - - a o 三a u- - a o 三 u “ 。 ( 224 0 ) 得证 ：l i + m 。+ 。( 。，) = 。 i ，m 。，一。s 。u 。p 。【；+ ； e 2 1 1 l g = 嬲。，f ；+ 2 a e 2 1 - 、l y = o ( 2 2 4 8 ) ( 2 2 4 9 ) ( 2 2 4 1 ) 得证 定理2 2 3 设 厶( x 。) ，n 1 ) 如上所述，g 。：r + - + r + 是非负，连续，非降函数 如果z 增加时，韭笋单调不减，g 掣( 1 p 。s2 ) 单调不增h 和a 如定理2 2 1 令 则 8 b 邛：三o ok 胁。州小删 ( 225 0 ) l i m s u p ；妻业坠型洲似n ( + c ( 。) a , 8 j d 4 几b ( 2 2 5 1 ) n - - 0 0n _ a k 。 1 n f m n 1 _ ：盘! 茎! ! ：望盎l ? 塑 “ 证明：由( 2 25 0 ) ( v ( 1 ( u ) ，( 。( u ) ) 一c ( u ) o 5 u a n 口( 22 5 2 ) 蚤厶。训独p ( 酬 + o 。 ( 2 2 - 5 3 ) 由( 2 25 3 ) 及b o r e l c a a t e l i 引理， ( x k ) 戌( x k ) 仅有限项成立因此 故 ；妻l 堕倒掣1 ：三产l 型世粤丛型i n 詹i 。 ；喜如狐掣砒， ；薹k 独掣， 墨! 盛( 墨! ! 二兰 垒! 塾! a k 剑i ms u 畦耋如狐掣吲训 茎c ( u ) o s u a 由( 22 6 ) ，( 2 2 5 4 ) ，( 2 2 5 6 ) ，可得( 2 25 1 ) 成立同理( 2 2 5 2 ) 成立定理得证 推论2 2 1 在定理2 2 3 的条件下，如果c ) = 0 或7 ) = 0 ，则 l i m 三f k ( x ) - e f k ( x k ) ：on u a n b ”。”各 o 证明：由( 2 2 5 1 ) ，( 225 2 ) 即可得( 2 2 5 7 ) ( 225 4 ) ( 22 5 5 ) ( 2 2 5 6 ) ( 2 2 5 7 ) 。 1 一凡 f m j 1 x 瑶 女xap 学 。 。 l n p u 均 s km 卜 关于相依随机变量序列的极限性质和完全收敛性的若干研究 第三章有界值赌博系统的强极限定理 3 1 符号定义及有关引理 设( n ，p ) 是一概率空间， ，n 1 ) 是定义于此概率空间取值于 0 ，t 的有界非 负随机变量序列，是一有限数 1 ，n 1 是，的自然口一代数流 为了推广随机选择的概念，首先给出一组定义在 0 ，q “m = 1 ，2 ，) 上的非负实值函数 g 。( z 1 ，。z 。) 令y i = 1 ( y l 为任意非负函数) k + 1 = 目h ( 。l ，。n ) ，扎l z 。) 称为选择函数， ，n 2 ) 称为赌博系统或随机选择系统 ”l d = w ：- - a to o ( m - - 4o o ) n = 1 是一列非负可测实值函数且k 厶茎k ，k 为一正实数 考虑如下赌博模型设五：为第n 次赌博的结果，u 。= 碥 ( 矗) 表示赌徒在第n 次 赌博的盈利 ( x 。) 根据第n 次赌博的结果由赌博规则确定( 亦即，n 表示赌徒的盈利 或庄家的支付原则) 赌徒的策略是根据前n 一1 次赌博的结果来决定第n 次参赌的赌金大小 设赌徒在第n 次赌博所付的入场费为假定6 l 为任意常数，当n 2 时，b 。依赖 于x 1 x 。一1 于是警1k ( x ：) 与羔1b 1 分别为前n 次赌博中赌徒的累积盈利和 累积入场费，翌1 【k ( x i ) 一b i j 则为累积净盈利受赌博公平性的古典定义的启发，引 进如下的定义 定义3 1 _ l 如果对几乎所有的u d ，当n 斗。时，前n 次试验中赌徒的累积净盈 利的大小具有比警1k 较小的阶，即 熙壶耋瞰( 剐“护s u 。 ( 3 ) 则称赌博是公平的 先引入下面的两个引理 引理3 1 1 对0s 。1 , 0 a o o ，有 1 0 x l n , k i n ( 1 + ( a 1 ) t )( 3 1 2 ) 钆令 9 河北t 业大学硕。 ：学位论文 对l a 。c ，z 0 或对0 a l ，0 = ! ；_ 击有 则 f ”( 1 + f a 一1 ) z ) sx a l n ) 、 证明：对一给定的0 茎z 曼1 ，令 ( 313 ) 9 ( ) = i n ( 1 + ( a 1 ) z ) 一x l n ；、，0 1 时，g ( a ) 0 ； 当0 1 时，g ( a ) 0 当a = 1 时，g ( 1 ) = 0 ，故9 ( ) 0 对0 州 1 z o ( 31 6 ) 州1 + ( 一1 ) 。) 曼( 一1 ) z o ，o m 竿，v 0 1 ，o z 两1 ( 3 17 ) 因此，由( 3 16 ) 得 型! ! ! 二坐! 1 ，o 0( 3 1 8 ) 筹斋勘，v 0 - l ，z o 或0 a l ，0 z 0 ，肘o ( ) = 1 ， 螂，= 面矗笺 则( m 。( a ) ，n2o ) 是关于( 五。) 可测的非负上鞅 证明：非负性显然我们仅须证明满足上鞅 关于相依随机变量序列的极限性质和完全收敛性的若干研究 由( 312 ) 可知 两边取条件期望，得 因此 o n m - ( x n ) 1 + ( 一1 ) a 。9 。( x 。) f a 。”乳( x ”l j 一1 茎1 + ( a 一1 ) n 。e 9 。( x 。) 1 j 一1 ( 3 1 1 2 ) e m 。( a ) i ，一1 = 螈一l ( ) e 故m 。( ) 是非负上鞅 m n i ( ) ”n n 【，y n ) 1 + ( a 一1 ) 口。e g 。( j ) l j 一l 】 矗一1 ( 3 1 1 3 ) 河北工业大学硕上学位论文 3 2 有界值赌博系统的强极限定理 定理3 2 1 ，n 1 ) ， 函，n 1 ) ，t 【( ) 如上所述，碥厶( ) k ，k 为一正实 数令 则 n l - + i m m 西 1 】 1 ，在集合 l i r a 。_ 。o 坠l k = o 。) 上， 1)yiefi(xi)fi-1)、 f n a 7 m ( x 。) f n a l n ( 1 + ( a 1 ) m e f i ( x i ) t 五一1 ) f n a 刊1 。i i 。ls 。u 9 蕊丽1m 试曩再酉了暖面丽丽7 可 1 ：1k ( x z ) 对0 1 ，由( 3 13 ) 知 f 丛! ! ! z 、 1 ) y 1 ：n a ( x d l 正一1 ) f n a ( 3 2 4 1 k e ， ( 墨) i 五一l 】) n n k e m ( 墨) 1 五一】一m e 阢( 墨) i 五1 1 = l 叫叫- 黜壶耋删删睫， 对0 灿 l i m i n 历1i p 删觚惦- 1 n = ( 肛一1 ) l i ms u p m e m ( x i ) l 五一l 】 n 而三万m n ：d x 。) 阮 圣- x 鲁 “”2 ( 3 2 6 ) l i ms u p ( a n 十风) l i r as u p a n + l i ms u p 卢n ( 32 7 ) n o 。n _ o on 斗o o l i 。m 。i 。n f ( a n + 风) l i 。r a ，i 。n f a n + l i 。r a + i 。n f j 3 n ( 3 - 2 8 ) 在集合 l i m 。_ + o 。坠1k = 。 上，由( 3 2 3 ) ，( 3 2 5 ) ，( 32 7 ) 得 1 舞壶娄嘶( 墨) 叫觚惦- l 】 鲫_ 1 ) l i ms u 9 露1 蚤n 删五( 圳巩 ( 3 29 ) 由( 3 2 4 ) ，( 3 2 6 ) ，( 32 8 ) 得 1 4 ( p e 阢( 五) f 五一lj 1 ( 32 l o ) 忑 i 麦未 警 等 证卅 m 卜 由( 3 2 9 ) 得 1 i i l ls 。u ”壶妻i = 1 蹦舭小卅川蚓悖1 】s 。a s w f r o ( 3 z 1 1 ) 对0 肚 l 是一个b 值鞅 定义4 1 5 定义于( q ，p ) 取值于b 的强可测函数称为随机变量，记为x 定义4 1 6 设b 是实可分的b a n a c h 空间，1 p 茎2 ，若存在常数( 南 0 ，使对任 意k 可积的b 值鞅差序列 d n ，7 1 , l ，有 驯仇垆q e i i d k i l 9 ( 411 ) 则称b 是p 阶光滑空间，c j 称为光滑系数 若b 是p 阶光滑空间，对t 1 ，有1 茎t o 茎p ，则b 也是口阶光滑的在下面讨 论中设l s2 16 河_ j t t q k 大学硕十学位论文 4 2b 值随机变量序列的强极限定理 本文得到的主要结果如下 定理4 2 1设b 是n 阶光滑空间， x 。，n ? i 1 ) 是b 值可积随机变量序列， k ，n 1 ) 是正实值可预报序列，即关于矗一l 葡测( t ) ：r + 。r + 并使垃乎 单调不减，粤箬单调不增记矗= 口( x 。x 。) 着 酗帮 妻( 鲁一吲甍f 焉川) + 。- s 若进一步有k 。十。，则有n = l 熙去三( 坷l 矗川) 。0 m s 证明：令 = x ，- , i ( 1 l x 。怄) 因为假设( 4 2 1 ) 可写为 塾目喘胖酬m e 旧措1 矗一1 】 。 n = l 而e 毪岩鲁产f 二i ( n 1 ) 是非负随机变量，故有 挈帮酬 。一 由已知，蛐是单调不减函数，于是由( 4 21 ) ，得 。o o n 蚤p ( 地) ：三k 胗护”= n = i jj jj7 “ s 飘圳l ，k ，掣a p 飘剐帮护 ( 4 2 1 ) ( 4 22 ) ( 4 23 ) ( 4 2 4 ) ( 4 2 5 ) ( 42 6 ) 关于相依随机变量序列的极限性质和完全收敛性的若干研究 1 e | 1 笋旷 一 p s l f 驯竽f r( ) 一l 由鼍磐的单调不增性，当1 1 t ls 时，制l l 铥旷，得 s u p 。 - e i i 羹甍v i i 啦- 塾黜】( 4 2 1 4 ) s 。s2 “岛s ! l 研糕】( 4 2 n = in 茗i 由( 4 2 1 ) 知 删至秒t9 c a s u p l喇塾器h 。 s p m l 目f f 圳“茎2 。m 1 研渊 + 。 n =n = l 由( 4 2 1 5 ) ，知( 4 21 2 ) 成立故 矿l h + o o y n - e i y - q t 一- d 圳釉】 叫笔掣珀，训舶】 【c k ly ，j 。 叫锲胖m ( 4 2 1 8 v ) 妒n it 】l 由( 42 6 ) 知 0 0 i i u ：1 兰【垦f 墨二出二墨堕坠二! j 巧 由( 4 2 1 9 ) ，得 r z 二j f 【v ：i ，i 口s ( 4 2 1 9 ) 由( 428 ) ( 4 2 1 7 ) ( 4 ，2 2 0 ) 知，( 422 ) 成立 当0 to 。，由( 422 ) 与k r o n e c k e r 引理知( 4 2 3 ) 成立定理得证 ( 4 22 0 ) 嘲 得 0l24 由 关于相依随机变量序列的极限性质和完全收敛性的若干研究 4 3 若干推论 推论4 3 1 若 ，n 1 ) 是鞅差序列，在定理4 2 1 的条件下，有 。矗 二瓦 + 。o “8 ( 4 3 1 ) 若进一步有to 。，则有 。 l i m 1 三 。0 m 8 - ( 4 3 2 ) 证明：由于 x 。，n 1 ) 是鞅差序列，于是e x n | 五；一1 = 0 由定理4 21 即得结论 定理4 3 1 设b 是实可分的b a n a c h 空间， x 。，n 芝1 是b 值可积随机变量序 列， k ，n 1 ) 是正实值可预报序列( i ) ：r + 叶r + 并使( t ) 单调不降，弓皿 单调不增记j = 口( x 1 ，) 若 挈错 ( 4 粥) 则 鲁 十。n s ( 4 删 证明： k ，n 1 ) 如上定义由穹粤的单调不增性， 掣筹等喘铧 。脚 一妒n ( ) 一( k ) 、 e t 薹鬯。，e t 圣o o 竺器胖，一薹e 严舞胖，n = 1 7 n n = l r “、”， n = 1 r ”、“， 由( 4 2 1 ) ，( 43 4 ) 知 e 匿掣h o 。 日訾出 + o 。 故 主掣 + o o 一 掣 + o o n 一 故 主瓷 + 。一 长 k 瓤i ，帮a p + 。 于是由b o r e l c a n t e l l i 引理知，_ p ( ( x 。) ，i 0 ) = 0 故 甍) ) 0 ( 5 1 1 ) 引理5 1 1 设 甄，1 是一列随机变量，e x k l 氕一l 】= o ，e 【x ；1 ，麓一1 o 。 设存在一常数h ，使得对所有m 2 ， i e 砰 氕圳扣d 1 日一2 ( 5 1 2 ) 使得对每一i t ls 南， e e t | 足一1 lse 一雌 ( 5 1 。3 ) 其中6 2 = d ( x m ) 证明：由级数展开，得 肛= i + t 五十盲t 2 y 2 + + 等+ o ( ( 5 1 4 ) 两边取条件期望，得 f 砖“。阮一t j = i + z e 陬f 氕- j + 西t 2 昱咝f 磊一zj 十+ 等研霹l 氕一。j 十。( 严) = 1 + o + 萎f i x 2 i 氕一1 1 十+ 两t n e x n i 氕一1 十。( 矿) sl + 芸；2 1 6 1 日2 _ + + 而t n i i n ! d ：且“一2 + 。( 护) = t + 譬+ 竽22 卜+ ( 扩。+ 0 ( n 】 1 十2 磋 ( 51 5 ) 河北工业大学硕士学位论文 由( 5 1 5 ) ，( 5 1 6 ) 得 引理得证 引理5 1 2 设 e c 2 址l 憎6 2 + 等+ o 妒) ( a ) e e 。i 氕一1 e t 2 5 x 2 一笠- “ 兀銎1e e 脒t l 五l 川丽1 则( a ) 是收敛鞅并令l i r i k 一。正。( a ) sg ) 证明： e a x , ， ( 1 ) 2 一1 ( 1 ) 而 因为矗一1 ( a ) 与e 陋1 x n l 五。一1 是，乙一l 可测的，故 由鞅收敛定理 故( a ) 是收敛鞅 e m 岍川= 铡= 轧 。l - + i m ( a ) = t k ( ) 十o 。 f 5 1 6 ) ( 5 1 7 ) ( 5 1 8 ) ( 5 1 9 ) 2 3 关于相依随机变量序列的极限性质和完全收敛性的若干研究 5 2 相依随机变量序列的完全收敛性 本节讨论相依随机变量序列的完全收敛性 定理5 2 1 设 五。，1 ) 是随机变量序列，且满足引理5 1 2 ，曰【l 一1 = o ，e 【x i i ，h n i 0 ，j j v ，当n n 时 即 者嘉高 z ) + | d f f 【e 墨- x q e k 一1 坠- x t 一 口 zp a x 2 g ( u ) e 一1 z e 譬l1 2 碍 = 2 c ( w ) e ( 一1 ”1 2 。，z ) ( 52