（应用数学专业论文）几类非线性波方程的研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 页 摘要 本论文主要研究了两方面的问题，一是研究了具双非线性项的非线性薛定谔方程； 另外研究了具有耗散项和源项的k i r c h h o f f 型的波动方程，本文的结构安排如下： 绪论中介绍两类方程的研究背景、研究现状以及本文所采用的研究方法和所得到 的主要结论。 第二章，讨论了具双非线性项的非线性薛定谔方程，首先以初值问题的局部适定 性为基础，构造合适的泛函和n e h a f i 不变流形，从而设置约束变分问题，然后根据这 变分问题的特性，建立了相应的发展不变流，最后得到了解的爆破性质和整体存在性 以及整体解存在的最佳条件。 第三章，研究了具有非线性耗散项和源项的k i r c h h o f f 型的非退化波动方程，利用 凸方法得到了该初值问题解的爆破条件，并且考察了线性耗散项和非线性耗散项相互 竞争时对方程解的爆破的影响。 第四章，讨论了具有非线性耗散项和源项的k i r c h h o f f 型的柔和退化波动方程，利 用凸方法研究了该方程的解的爆破现象，考察了线性耗散项和非线性耗散项相互竞争 时对方程解的爆破的影响。 总之，对于具双非线性的薛定谔方程，通过运用j z h a n g 所建立的变分方法，找到 了其整体解存在的最佳条件和解爆破的一个充分条件；对于具耗散项和源项的 k i r c h h o f f 型的波动方程，通过运用凸方法，探讨了在非退化和柔和退化两种情况下， 解爆破的两个充分条件。 关键词薛定谔方程；波方程；整体解；爆破 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 i 页 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h en o n l i n e a rs c h r i s d i n g e re q u a t i o nw i t hd i f f e r e n tp o w e rn o n l i n e a r i t i e sa n d t h en o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n so fk i r c h h o f ft y p ew i t hn o n l i n e a rd a m p i n ga n ds o u r c et e r m sa r e c o n s i d e r e d ： i nc h a p t e r1 ，s o m eb a c k g r o u n d s ，m a i nt o o l sa r er e v i e w e d ，a n ds o m ei m p o r t a n tr e s u l t s c o n c e r n e da r ep r e s e n t e d i nc h a p t e r 2 ，t h en o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o nw i t hd i f f e r e n tp o w e rn o n l i n e a r i t i e si s c o n s i d e r e d b yc o n s t r u c t i n gat y p eo fc r o s s c o n s t r a i n e dv a r i a t i o n a lp r o b l e ma n de s t a b l i s h i n g s o - c a l l e dc r o s s - i n v a r i a n tm a n i f o l d so ft h ee v o l u t i o nf l o w , w ed e r i v eas h a r pt h r e s h o l df o r g l o b a le x i s t e n c ea n db l o w u po ft h es o l u t i o nt ot h ec a u c h yp r o b l e m i nc h a p t e r3a n d 4 ，t h en o n d e g e n e r a t ea n dm i l d l yd e g e n e r a t ek i r c h h o f ft y p ee q u a t i o n s w i t hn o n l i n e a rd a m p i n ga n ds o u r c et e r m sa r ec o n s i d e r e d w eo b t a i nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n f o rt h eb l o w u po ft h es o l u t i o n sb yu s i n gt h es o c a l l e dc o n c a v i t ym e t h o d a tt h es a m et i m e ， w er e m a r kt h a tt h en o n l i n e a rd a m p i n gt e r m sh a v es t r o n g e re f f e c tt h a nt h el i n e a rd a m p i n g t e r m sw i t hr e g a r d i n gt h eb l o wu pr e s u l t s i no n ew o r d ，f o rt h en o n l i n e a r s c h r r d i n g e re q u a t i o nw i t hd i f f e r e n tp o w e rn o n l i n e a r i t i e s ， w eg e tt h eb l o w u pa n ds h a r pc o n d i t i o no fg l o b a le x i s t e n c eo fs o l u t i o n s ，b yu s i n gt h e v a r i a t i o n a lm e t h o d si n t r o d u c e db yj z h a n g ；f o rt h ek i r c h h o f f - t y p ee q u a t i o nw i t hn o n l i n e a r d a m p i n ga n ds o u r c et e r m s ，w eo b t a i nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h eb l o w - u po fs o l u t i o ni n t h ec a s e so f n o n d e g e n e r a t ea n dm i d l yd e g e n e r a t e ，b yu s i n gt h ec o n c a v i t ym e t h o d s k e yw o r d s ：s c h r s d i n g e re q u a t i o n ；w a v ee q u a t i o n ；g l o b a le x i s t e n c e ；b l o w u p 西南交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授 权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密衫使用本授权书。 ( 请在以上方框内打“、”) 学位论文作者签名： 日期： 胡甍 l m s 。i o 指导老师签名： 松哙 日期： 知1 r 1 0 西南交通大学硕士学位论文主要工作( 贡献) 声明 本人在学位论文中所做的主要工作或贡献如下： ( 1 ) 运用变分方法，对具有双非线性项的薛定谔方程，在n 维空间找到其解整体 存在的最佳条件与解的爆破条件。 ( 2 ) 运用凸方法，对具有耗散项和源项的k i r c h h o f f 型非线性波动方程，得到了 在非退化和柔和退化两种情况下解爆破的两个充分条件。 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工作所得的成 果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰 写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明。 本人完全了解违反上述声明所引起的一切法律责任将由本人承担。 学位论文作者签名： 屯i j i 萌 日瓤2 0 1 0 f d 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 页 第1 章绪论 这些年来，随着科学技术的不断发展，各种各样的非线性问题受到广泛的兴趣和 重视，特别是非线性波动方程，很多重要的数学模型都可以用它来描述。波动方程可 以用来描述弦的微小模振动，弹性杆的微小纵振动、薄膜振动和电磁波等的传播，本 文主要研究了如下两类非线性波动方程： f q ，t + a f a + 班讲一扩妒+ 1 妒- o 工尺贮o ，( 1 1 ) 【妒( o ，) = ，n n t xr ， 和 州烈氅黜“麓u t2 吣 u qu u 0 , u 1 , p qr 2 0 ， ( 1 2 ) l “( o ) = ( o ) =“i 砌= o ， o ， ， 其中qcr 是开的光滑有界域，是l a p l a c e 算子，m ( s ) 0 0 ) 是非负的局部 l i p s c h i t z 函数。若存在一个m o 0 使得m ( s ) m o ，则初值问题( 1 2 ) 称为非退化的； i n f m ( o - ) = 0 ，但m ( 1 l v u 。d 0 ，则初值问题( 1 2 ) 称为柔和退化的。 方程( 1 1 ) 是具有二阶导数项的双非线性项的s c h r s d i n g e r 方程，非线性s c h r s d c i n g e r 方程是一种典型的色散波动方程，也是量子力学中的基础数学模型。对于具二阶导数 项的非线性s c h r s d i n g e r 方程描述上混合振荡传播，近几十年来，对这类方程已有许多 研究工作，特别是在初值问题解的局部适定性、整体解的存在性、解的爆破性质等方 面取得了丰富成果。 对于经典的非线性s c h r s d i n g e r 方程： 铲以缈：f 缈黛、? ，：酗， ( 1 3 ) 【e ( x ，0 ) = ( 功，工r “， g i n b r e ，v e l o 2 1 在能量空间h 1 ( 尺) 中建立了其解的局部适定性，g l a s s e y 3 1 ，w e i n s t e i n 4 1 ， m e r l e 6 ，7 1 ，z h a n g 9 , 1 0 ，o g a w a , t s u t s u m i 1 ，8 】讨论了爆破解的存在性。特别地，z h a n g 1 1 】 根据基态的变分特征，并应用势井理论【1 2 1 和凹方法【1 3 1 得到了初值问题整体解存在的一 个最佳条件，另外z h a n g 1 4 】应用交叉约束变分方法得到了其初值问题整体解存在的一 个最佳条件，并证明了驻波的不稳定性，而本文所采用的思想方法正是z h a n g 1 4 1 所建 立的变分方法，根据方程本身的特征，构造合适的泛函，从而设置相应的交叉约束变 西南交通大学硕士研究生学位论文 第2 页 分，建立相应的发展不变流，最后得到整体解存在的最佳条件和解的爆破性质。 方程( 1 2 ) 是具有源项和耗散项的非线性k i r c h h o f ft y p e 波动方程，这个方程的原 始模型是如下这个方程： 础窘+ 万詈= p o + 差fc 罢) 2 d x + n 这里0 m a x f l ，2 y ) 和 口 2 7 时，方程的解在有限时间内爆破。 t o k i om a t s u y a m a 和r y oi k e h a t a 1 7 1 研究了如下方程全局解的存在性和解的能量衰 减性质： j 甜。( t - m ( 1 l v “1 l ：) “( ) + 6 i “。( f ) i ，- i “，= l “1 9 材，( 1 6 ) i “( z ，0 ) = u o ( x ) ，“，( x ，0 ) = u o ( z ) ，甜( 石，f ) j 加= 0 ， 本文的主要结构和主要结论如下： 在第二章中，运用z h a n g 1 4 所建立的变分方法，首先根据方程的特征，构造合 适的泛函，设置交叉变分问题，从而建立相应的发展不变流，得到初值问题( 1 1 ) 罄体解存存的最件条件和爆破条件，主要定理如下： 西南交通大学硕士研究生学位论文 第3 页 定理2 8 当3 + 吾 p q 丽n + 2 时，若k + u r + ，则初值问题( 2 1 ) 的解整 体存在。 推论2 9 当3 + 吾 p 五，e ( o ) e 。，则初值问题( 3 1 ) 的局部解在有限时间内 爆破，。 丁丽l ( o ) 面 - e 。 这里l ( 。) = ( 巨一删h + 2 4 ( h 出+ 驯i i = 五1 ，。 口 a $ f le ( 0 ) e 。，我们得 到了对时间的一个生命跨度估计。 丁云l 而( o ) - e ，而在定理4 2 中由于只满足初始能 c 1 2 【一l j 量是负能量e ( o ) 0 ， ( 2 1 ) 妒( 0 ，t ) = ，x r n ， ( 2 2 ) 这里i _ 打，是l a p l a c e 算子旷加) 是复值波戤1 p q o2 d x ( 质量不变式) ( i i ) e ( t ) 2j 1 v 缈r 2 d x + - 一i f l v f 矽r 2 r2 了| 妒p + 1 d x _ 2 q 十。j 1 妒q + l d x = e ( 。) 证明：( i ) 将方程( 2 1 ) 两端同时乘以孑，并同时取共轭再相减，我们可以得到 昙j 1 妒 2 d x + ( 讼妒一必动x = o 将上式对x 进行积分得到罢j 妒j 2 d x = o ，即j 缈f 2 d x = j 1 f 2 d x 。 ( i i ) 将方程( 2 1 ) 两端同乘以万，并同时取共轭再相加，对z 进行积分， 则我们可以得到 一妄m 缸i 1 瓦8m 2 卜三p + l 翱c g t 州a x + 鬲2 1 a x = 。 因而有 昙| 2 d x + z 1 瓦3m 2 2 d x 4 - 2 。8 。i i 缈 p + l d x - 印2 石盯1 d x _ 。 所以有 e ( t ) 2 肛缈1 2 d x + 三m 2 r d x + 鬲2 f 妒 + d x - 2 m q + l d x = e ( o ) 引理2 2 设h ，妒为初值问题( 2 1 ) 和( 2 2 ) 的解，并令j ( t ) = j 1 xj 2 恻2 d x ，则 有( t ) _ 8 f i v 缈f 2 + 半m 2 n ( p - 1 ，) 妒卜而n ( q - 1 ) 1 j d x 。 证明：通过简单的微积分计算可以得出上式，在这罩略去证明。 下面我们构造合适的泛函，从而再设置相应的交叉约束变分：设u h 0 ) ，我 们定义如下的泛函 i ( u ) 2 抽1v u l 2 + l u 2v u 1 2 f 2 + 雨2 l u | p + l - i 2 矿i m x ( 2 3 ) s ( u ) 2 2 f v u l 2 + i u l 2 + 三2i vl u l 21 2 + i uj 9 + 1 j u j - + 】d x ( 2 4 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文 第7 页 q ( u ) 5i iv u l 2 + i u l 2 + 半附ii + 2 丽n ( p - 1 ) i 1 n l ( q q 叫- 1 ) u | q + i 】d x ( 2 - 5 ) 并令q = u h 0 ) ，s ( u ) = 0 ) ，m = u h 0 ，s ( u ) o 。 证明：由s ( u ) = o 和s o b o l e v 不等式可得 j e i v u l 2 + i u l 2 + 一1 _ i v f u 21 2 d x j t l v u l 2 + i u l 2 + - 1 vf u l 21 2 + i u l 9 + 1 d x = 肘“d x c ( i t l v “1 2 + i “陬) 孚 c ( 如u 1 2 + i u l 2 + 1 1 v 2 d x ) 孚 这里用c 表示一切正常数，所以有 f t l v u l 2 + l u l 2 + 圭l v l u l 2 f 2 】d x c o 因为q p 1 ，所以我们得到 i ( u 1 c 0 从而我们证明了此结论。 引理2 4 当3 + 吾 p q 。 证明：设u m ，因为s ( u ) 0 ，所以u 0 ，又由于q ( u ) = o ，我们有 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) i ( u ) - ( 三一志) s i v u m 陋糯州i2 卜番南仆阳x 因为3 + 雨4 p q o , u e m ，即有厶。，然后我们再根据 西南交通大学硕士研究生学位论文 第8 页 6 。( u j p 3 + 4 n ，所以i ( u ) c o ，即有d m 0 。 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 下面我们设d = m i n d o ，d 拼 ，很显然由引理2 3 和2 4 我们得到以下结论： 弓l 理2 5 若3 + 吾 p q 。 接下来我们给出两个关于初值问题发展不变流的定理： 定理2 6 令k = 劬h ，i ( 妒) d ，s ( 妙) o ，q ( q 0 o ) ，则k 在初值问题( 2 1 ) 上产 生的流上是不变的，也就是如果纸k ，缈是初值问题相应于初值的解，则缈k 。 证明：设初值k ，则有i ( ) d ，s ( ) 0 ，q ( ) 0 ，因为i ( 矽) = i ( ) ，所以我 们有i ( 妒) d 。 下面证明s ( 妒) 0 ，如果此式不成立，即有s ( 缈) 0 ，再有函数的连续性和s ( ) 0 ， 可知存在t 。使得s ( 缈( t 。) ) = 0 ，即有缈( t 。) q ，所以有i ( p ( t 。) ) d ，这与已知条件相矛盾， 所以s ( 缈) 0 。 最后我们证明q ( 缈) 0 ，若此式不成立，即有q ( 缈) o ，由函数的连续性和q ( ) o ， 所以存在t ：使得q ( 缈( t ：) ) = 0 ，再由上面证明可知s ( 妒( t ：) ) 0 ，所以妒( t ：) m ，即有 i ( 够( t ：) ) d ，这与已知条件相矛盾，因此q ( ) o ，于是我们证明了妒k 。 用匕面的方法同样可以证明如下的结论。 西南交通大学硕士研究生学位论文 第9 页 定理2 7 令k + = 妒h ，i ( f o ) d ，s ( 妒) 0 r 2 妒h ，i ( f o ) d ，s ( 妒) 0 ) r + 5 够h ，i ( f o ) 0 ) 若3 + 吾 p q 岽芒等，则k + ，r ，r + 在初值问题上产生的流上是不变的。 2 3 主要结论及证明 件。 在有了上面的准备工作之后，下面我们给出初值问题( 2 1 ) 整体解存在的最佳条 定理2 8 当3 + 雨4 p q 丽n f + 矿2 时，若k + u r + ，则初值问题( 2 1 ) 的解整 体存在。 证明：若k + ，即有i ( ) d ，s ( ) 0 ，所以我们根据上面的定理2 6 知i ( f o ) d ，s ( 缈) o ，再由( 2 3 ) 和( 2 5 ) 我们可得 纠c 妒装删2 埘肘端m ip 高高i 赦 尘嬲jv伊12+kol2dx2n(q 1 ) j u 7。 所以有妒在h 中有界即解整体存在。 现在让r + ，i ( ) 0 ，即有i ( 妒) 0 ，于是我们由( 2 3 ) 和 ( 2 4 ) 可得 。- ( 妒斋) j v 妒| 2 + | 伊1 2 + 芝1i v 例2 】d x + 三( 寿- 音删川d x 扣音，删2 哳础 所以有够在h 中有界即解整体存在。 由上面的定理2 8 ，我们可得到以下推论。 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 0 页 推论2 9 当3 + 吾 p q 丽n + 2 时，若k ，则初值问题( 2 1 ) 的解在有限 时f h j 内爆破。 证明：因为k ，所以有i ( ) d ，s ( ) 0 ，q ( ) o ，所以我们有 i ( 缈) d ，s ( 妒) 0 ，q ( 缈) o( 2 1 2 ) 由引理2 2 可知，j ”( t ) 8 q ( q ，) ，又因为q ( 妒) o ，因此有j ”( t ) o ，由古典分析知道， j ( t ) 2j ( o ) + j ( o ) t + i ( t s ) j ”( s ) d s ，0 t o ，x q ， 这里qcr 是一个开的有界区域，并且具有光滑边界，m ( j ) 0 ) 是一个非负的局 部l i p s c h t i z 函数。若存在一个m o 0 使得m ( s ) m o ，则初值问题( 3 1 ) 称为非退化的； 若存在一个20 使得m ( s o ) = 0 ，则初值i h - j f f 题_ ( 3 1 ) 称为退化的。 对于这一类非线性的波动方程，已经有大量的研究工作，l e v i n e 2 0 ，2 1 1 考虑了如下 的非线性波动方程解的存在性和渐近性行为： ju t t ( t ) - a u ( t ) + r 2 u ，( f ) = j u ( t ) 1 9 “( f ) ，q o ，r 2 0 ， i “( x ，0 ) = u o ( x ) ，“，( x ，0 ) = ( x ) ，u ( t ) l 砌= 0 ， g e o r g i e va n dt o d o r o v a 2 2 1 考虑了如下具有源项和耗散项的波动方程的唯一局部解 的存在性和解爆破的充分条件： ju t t ( t ) - a u ( t ) + l u t ( t ) ，( f ) = ) 1 9 “( f ) ，p o ，q 0 ， 【“( 工，o ) = u o ( 工) ，( 五0 ) = u 1 ( x ) ，“( f ) i 弛= 0 ， 同时也证明了当p g 成立，则对任意初值全局解存在。 k o s u r c eo n o 【1 5 1 6 1 研究了如下的k i c h h o f ft y p e 的非线性波动方程全局解的存在性 和爆破性质： j “。( f ) 一m ( i i v 掰d 幽( ) + 瞰) i 卢= 厂( “) ， i u ( x ，o ) = 1 , t o ( x ) ，“，( x ，0 ) = u o ( x ) ，u ( x ，t ) la n = 0 ， 同时还研究了如下非线性波动方程解的爆破性质： j材。( f ) 一膨( i v 甜蛭) “( f ) + 万嗨= 厂( “) ， 【u ( x ，o ) = u o ( 工) ，“，( x ，o ) = u 1 ( x ) ，u ( x ，t ) l 恐= 0 ， 对于只有非线性耗散项或者是只有线性耗散项的这类方程，已经有很多作者研究 了其解的爆破，而本文研究了当线性耗散项和非线性耗散项同时存在时解的爆破性 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 2 页 质，即初值问题( 3 1 ) ，我们所运用的主要思想方法是凸方法。 3 2预备知识 设u ( x ，t ) 是初值i h - j n ( 3 1 ) 的解，i 它t r a k - 个能量泛函： 即) = 扣( 州+ 圭酬v 一鬲1 崛。 ( 3 2 ) 这里面( s ) = j m ( 厂) 咖。 下面我们首先介绍一下解的局部存在性定理，证明可以参考文献 2 3 。 定理3 1 设仞值( “。，甜。) ( 日j ( q ) n h 2 ( q ) ) - ；( n ) ，并且假设i | v “。眨0 或者 忪“。驼o ，若非负的局部l i p s c h i t z 函数m ( s ) 满足m ( 1 i v “。幢) o ，g 丙三( 5 ) ， 则方程( 3 1 ) 存在唯一的局部解“c ( o ，r o ：h 0 1 ( f 1 ) ) nc 。( 0 ，死】：h 2 ( q ) ) 。 由能量泛函的定义，我们可以得到下面的引理： 引理3 2 e ( t ) 是一个非递增函数，且e ( f ) = e ( 。) 一f 乞i i 珥( j ) 眨出一巾“，( s ) 吐p + ：2 凼。 i i e n ：将方程( 3 1 ) 两边同时乘以“，我f f u n p j , , n n 丢j d ，i i ( r ) 幢一三m ( i | v “咖丢i i v “( r ) 蛙+ ( r ) 虻+ i i 引”p + ：2 = l i “( r ) 卜( r ) ( r ) 出( 3 3 ) 所以有 瓦d 刚+ 砒( 伽m ( 州o ( 3 4 ) 对( 3 4 ) 式从0 到t 进行积分得到 e ( f ) + j ：乞1 1 ( s ) 虻凼+ j ：i l “，( j ) l i ：出= e ( 。) ( 3 5 ) 所以我们得到 e ( r ) = e ( 。) 一j ：吒i l “f ( s ) 虻出一f 1 1 ( s ) l l ：凼 ( 3 6 ) 为了得到我们所需要的结果，我们还要对非负的局部l i p s c h i t z 函数m ( s ) f 出如 下假设： ( i ) m 0 ) 7 1 0 0 ，s 0 ， ( 3 7 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文 第13 页 ( i i ) 存在一个川。1 使得m 。m ( 5 ) m ( s ) s ，s 0 ， 我们由能量泛函的定义( 3 2 ) 和上面的假设条件( 3 7 ) ( 3 8 ) ，可以得出 刖乏1m 。酬卜雨1 州q + 2 ，创 再由p o i n c a r e 7 不等式可得 e ( r ) 刊1 ：一知q 篆q + 2 酬n 舢 这里b 是嵌入系数( j ( q ) 一( q ) ，b = i n 删v “1 1 ：“日j ( q ) ，p = 1 ) ) 。 下面蛔耻弘1 名一篙， 值，并且最大值是 ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 则我们知道g ( a ) 在 = ( 面m 万o ) i 处取得最大 q + 2 l， 一2 ( g + 2 ) 置= g ( a ) 2 9 ( 主一壶) b 9 ( 3 m ) z口十z 下面我们再介绍一个引理( 参见文 2 4 1 ) ，在以后的证明中将会引用到。 引理3 3 设o p g 而2 n ，( 3 ) ，并且e ( 。) 局，则我们有如下结论成立： ( i ) 如剐v “。： ，使得0 v 甜i | ：如，t 0 ，并且同时存在 一个如 曰丑，使得m 如，t 0 。 接下来再介绍本文所用的几个常用不等式： 引理3 4 ( 脚忱厂不等式) 如果厂口( q ) ，g r ( q ) ，且三+ ! ：一1 ，则可以得到 g，p 詹口( q ) 并且恻i p - 0 ，6 0 ，占 0 ，p 1 ，g 1 ，! + 一1 ：1 ，则可以 pq - q 得到日6 一e a p + 坐s 口p + 占号扩。 p q 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 4 页 引理3 6 ( p 。汤c 口他不等式) 如果2 七s 而2 n ，则对任意的“础( q ) ，存在 一个常数c 使得。c l i v z z i l ：成立。 3 3 主要结论的证明 下面我们给出本节的主要结论，并给出证明。 定理3 7 若非负的局部l i p s c h t i z 函数m ( 5 ) ( j 0 ) 满足假设条件( 3 7 ) 和( 3 8 ) ， q m a x ( 2 m 。- 2 ，p ) ，i i v u 。| i ： ，e ( o ) e ，则初值问题( 3 1 ) 的局部解在有限时间内 爆破。 丁：l 厕( 0 ) l - 口。 这里( 。) = ( e , - e ( 。) ) h + 2 砒咿。出娜帕，。 o 。 ” 口+ 2 又因为 眇批“出| 丑和引理3 3 可知： 由( 3 1 4 ) n - 矢f l ： 邯) 蜀一三a 2 + 壶m q + 2 o o o 这里c 2 _ c l ( g + 2 ) 万面，缈2 等p ，磊2 圭p 一孤儿 + l + z g + ：z 下面令0 髓 “，f 1 3 ( 3 2 1 ) 则我们有 il k r 以甜d x i ( 1 - o r ) - 2 6 c 2 e - “h ( 0 ) 而】( f ) 一。日( f ) + 4 c 0 2 c z i s p + 2 h ( o ) 一云ji i 呱； + 2 4 ( 1 + m 。) + 4 m ；4 h ( f ) ( 3 2 6 ) 这里选择占足够小便得c 。一2 c 2 s 即日( o ) 石j 1 ，令。 0 ，t o ，r o 。 我们令0 = ，因为0 口 口 1 ，所以有1 0 ：，选择4 充分小使得 l 一口1 一口 4 f ( 嚣j 2 ) q 口+ 2 ，f 蚴】，则有 l ( t ) = 日( f ) 卜。+ 点口心) = h ( f ) 1 。口+ 4 【2 “吃出+ 吃怯眨+ 4 m 。互f 】 ( 矿口+ 2 4 “啦+ 驯“峥4 小。巨( 责) q 口+ 2 再由引理3 2 ( i i ) 矢i ： 郫删2 4 “出咖1 1 酬i 嘲矧訾) 字 ：日( f ) l - o r + 2 4 出十4 ；+ c 4 蓑，f o ，瓦 ( 3 2 8 ) 这里铲岛。 ( 曰a ) 口 根据y o u n 2 不等式和h i i l d e r 不等式得 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 8 页 这里c 5 ( f ) 2 口 ( f ) + 2 d 。“甜，出+ a , r 2 1 1 “眨+ c 。i i i s l 口 譬十2 2 e h ( f ) + ( 2 d l扣，出+ 驯“呼帅i i 崾q + 2 ) 一】 2 f 【日( f ) + 3 口( 2 f 删帕；+ 瓯口吃川甲+ 钏呱q + 2 ：】 g h ( f ) + m ，jr ；+ f l “咿+ 1 1 材q + 2 1 = m a x 2 口, 3 2 口8 1 8 , 3 口2 口反9 r 2 e , 2 3c 4 0 。 另外一方面 眦bc 。矧u t 旺 - o ，；i 0 3 耳ao p ：2 ，则有屈：2 ( 1 一口) ，则 屈= 1 2 ( 1 一口) l 一 ! l 一2 a 2 ( 1 - a ) 2 1 2 a 这里c 8 = ( ，所以镅= 1 ( 3 3 3 ) ( 3 3 4 ) 这里c 。：c 3 ( 罗l 。对上式从( 0 ，f ) 进行积分得 0 ) ( 三( o ) 卜口一c 1 2 ( 口一1 ) f ) 8 1 ( 3 3 5 ) 又因为( 。) 。，所以取瓦= 瓦l 而( o ) - e ，当r 瓦时，( ，) j ，初值问题( 3 1 ) 解在有 限时间内爆破。 注：k o n o 得到了当非线性耗散项( 1 4 ) 和线性耗散项( 1 5 ) 单独存在时解的爆破性 质，所以此定理同时也表明：线性耗散项和非线性耗散项相互竞争时，非线性项强于 线件项。 西南交通大学硕士研究生学位论文 第2 0 页 第4 章具有非线性耗散项和源项的k irc h h o f f 型的柔和 。 退化的波动方程 4 1 引言 这一章我们主要考虑如下的柔和退化的非线性波动方程： j “。( f ) 一m ( i i v h i i ：) a “( f ) + 吒甜，( f ) + l 甜，( f ) i p u t ( f ) = i “( f ) f 4 “( f )( 4 1 ) l “( x ，0 ) = “o ( 工) ，( 工，0 ) = “l ( 工) ，“( f ) i m = o ，p ，q o ，r 2 o ，x q 这里qcr 是一个开的有界区域，并且具有光滑边界，a = 暑是l a p l a c e 算子， g k ： m ( s ) ( s o ) 是一个非负的局部l i p s c h i t z 函数，i n f m ( o - ) = 0 ，m ( i l v u 。咖0 。 其实这一类方程已经有很多人研究过了，k o n o 1 5 ，1 6 】研究了如下方程解的爆破条 件： ( t ) + m ( 1 l v “移“( f ) + f ( f ) 尸= 厂( “) l “( x ，o ) = “o ( x ) ，( 石，o ) = “o ( 工) ，u ( x ，f ) i 铀= o ， 同时还研究了如下非线性波动方程解的爆破性质： ju t t ( , ) + m ( i l v u l i ：) a “( f ) + 札= ( “) i “( 工，o ) = “o ( x ) ，( 石，o ) = “。( x ) ，u ( x ，f ) l 触= 0 ， t o k i om a t s u y a m a i 开究了如下非线性k i r c h h o f f t y p e 波动方程全局解的存在性和能 量衰退： j “。( f ) + m ( 1 l v “i i ：) a 甜( f ) + 81 u , ( f ) l p 一1u t = l “i 9 1 “ 【u ( x ，o ) = ( x ) ，( x ，o ) = ( x ) ，“( z ，f ) i 砌= o ， 上一章我们考虑了非退化的时的方程( 4 1 ) ，并且非负的局部