（应用数学专业论文）几类微分方程的振动性.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文几类微分方程的振动性，是本 人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得 的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果对本文 的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确的方式注明本声 明的法律结果将完全由本人承担 作者签名t 厨参志日期：矽f 。年多日i 。目 fl 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 几类微分方程的振动性系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位期间，在 导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本 论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师范大学关于 保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和 电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或 其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 懒名：芦参糸 导师签名： 圈 日期伽o 牛f 且f 护目 啉刎运娜7 协 。承彩朝魄t 】茸上j 群萁聚雅0 酉裂轾 弹朝缝鲷( i i + z ) 罂卓f f i 锈赫凹錾辫距! 聊。陋6 争j 群耳娶r 蔡舾致睡弹朝 ( i i 。z ) 0 = ( ( o ) - ，) x ) i c o b + ( 力v z ( ? ) d + v ( ( ? ) v z ( ) j ) 。裂华 罪孵景饕诬科翁非朝洫酉硼辨朝丁辨翱距搬盏军腓棰串妻一晕翠辜= 髻 蚕j 椠酉目翠承嚣明华蓟珥盟w 0 西裂飘睡磐朝缨葡一上艇影籍碓咄 j 群拱蒋明小【9 1 茸翠妊徘累阜鸯草岛业髟罐与磉豳瞬击皆唑阱禧。璐睡磐朝 ( i i 【) 0 乏乏善 ( ) a = ( ( ? ) 严) 6 ( ( ( ，) 上) 霉( ) ) ，( d d + 0 ) 庐 。翟g 卿酵璐骑非姻= 驹洫疑氍彝土廿萃矩控兹车叫聒小妻一幕翠辜一髯 2 辜量醴i 7 i 1 椠髟茸砚章站掣群诽 酱彩朝蜷葡一f 臣鬯延搬驹秤一幂上岜桑 霉卓髟辊渠v 牲鸯湃蕈! 弼a o , v c i 鲷j 群咄￥岛业髟谗臻里瞬士日胜茸宰 。( 【乙】【i 】茸面誓世酱甥髟螈) 智髯鲷哥坍单解丁 嚣华驷距扭w 瞽强丁硪椠6 争翟卓w 瞽硪譬銎j 出y 撄毽硐截繇抱辑驻谣乐 胖截智髯强搬鲷材辁磐鲷姆翟阜搠孕笨匆+ 吖娶智髯鲷銎j 匮龀冀琨* 趼 y 艇荟刁善酝裂阜辈睡丁磐轴锛拦衅西再章w 觋妨目近6 阜犟进晕百冀普雎智 鬻明揖抟单凿夥朝揖瓣陋誊一上魁迪矩擅刁缅e 6 争堡卓袋士隼w 第嘉瓣￥单 碘善朝銎j n 歪荟酱髯驷驻谣上影磕辑鹭赤凝日翠挚珏静聚半南哥。硪斡 嘉壕肚普品酲鳓明i 雌撄粜非孽曾罩鳍刨6 争趣唾磐椠瞬显晋趣路一明裂覃髟磁 岩攀翠黜蟛孵磐孽显瞽翟卓髟靴上磁印辑小尉刨目翠琴龈翠智韶蜘业驹半群 雨咄索性鞲目景弱一z 颦飘益喜驹姆翟覃锄譬瞽珊睡磐驹娴；肇髟施 蚤噼照零+ 科睡磐明乱华影砒藁v 茸嵌爵秦千避秦￥鞋蛳亩卿 关键词：泛函微分方程；非线性；振动准则；动态方程；阻尼项；强 迫项；r i c c a t i 变换；时标 n 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h eo s c i l l a t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni so n eo fi m p o r t a n tb r a n c h eo f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i t ht h ei n c r e a s i n gd e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h - n o l o g y , t h e r ea r em a n yp r o b l e m sr e l a t i n gt od i f f e r e n t i a le q u a t i o nd e r i v e df r o m l o t so fp r a c t i c a la p p l i c a t i o n s ，s u c ha sw h e t h e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nh a sao s c i l - l a t i n gs o l u t i o no rn o t ，a n dw h e t h e ra l lo fi t ss o l u t i o n sa r eo s c i l l a t o r yo rn o t b e c a u s ea l lt h es t r u c t u r e so fi t se m e r g e n c eh a v ed e e pp h y s i c a lb a c k g r o u n d a n dr e a l i s t i cm a t h e m a t i c a lm o d e l s m a n ys c h o l a r st a k eo i lt h er e s e a r c ho ft h i s f i e l d ，t h e yh a v ea c h i e v e dm a n yg o o dr e s u l t s t h es t u d yo fd y n a m i ce q u a t i o n s o nt i m es c a l e si sa na r e ao fm a t h e m a t i c st h a th a sr e c e n t l yr e c e i v e dal o to f a t t e n t i o n i nv e r yr e s e n ty e a r s ，g r e a tc h a n g e so ft h i sf i e l dh a v et a k e np l a c e t h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o nh a sb e e np a i dm o r ea t t e n t i o n sa n di n v e s t i g a t e di n v a r i o u sc l a s s e sb yu s i n gd i f f e r e n tm e t h o d s ( s e e 【1 卜 3 2 1 ) t h ep r e s e n tp a p e re m p l o y sa v e r a g ef u n c t i o n ，g e n e r a l i z e dr i c c a t it r a n s - f o r m a t i o nt oi n v e s t i g a t et h eo s c i l l a t i o nc r i t e r i af o rs o m ec l a s so fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，t h er e s u l t so fw h i c hg e n e r a l i z e da n di m p r o v e ds o m ek n o w no s c i u a - t i o nc r i t e r i a t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot w os e c t i o n sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 ，w es t u d yt h eo s c i l l a t i o no ft h ef o r c e ds e c o n d - o r d e rn o n l i n e a r d i f f e r e n t a le q u a t i o n so ft h ef o r m ： z ( t ) + p ( t ) ，( z ( t ) ，z ( 丁( 亡) ) ) 9 ( z ( t ) ) = e ( 亡) ，t t o 0 ，( 1 1 1 ) w em a i n l ye m p l o y e da v e r a g ef u n c t i o ns h a l l f u r t h e rt h ei n v e s t i g a t i o na n di r a - p r o v et h em a i nr e s u l t so fs u n 【6 】，w eo b t a i n e ds e v e r a ln e wo s c i l l a t i o nc r i t e r i a a tt h ee n do ft h i ss e c t i o n i nc h a p t e r 2 ，w es t u d yt h eo s c i l l a t i o no ft h es e c o n d - o r d e rn o n l i n e a rd a m p e d 曲阜师范大学硕士学位论文 目录 第一章 一类非线性泛函微分方程的振动性准则1 1 1引言1 1 2主要结果3 1 3 例子8 第= 章 时标上的带阻尼项的非线性延滞动态方程的振动准则1 0 2 1 引言1 0 2 2 引理1 3 2 3 主要结果1 5 2 4 例子2 5 参考文献2 7 攻读硕士学位期间发表和完成的主要学术论文3 0 致谢3 1 u l 第一章一类非线性泛函微分方程的振动性准则 1 1 引言 考察下列带强迫项的二阶非线性微分方程 ( t ) + p ( t ) ，( 。( t ) ，z ( 7 - ( 亡) ) ) 夕( z ( t ) ) = e ( t ) ，( 1 1 1 ) 的振动性，其中t t o 0 ，我们假定以下条件成立： ( i ) p ：1 - 风是连续的，并且对于t 。t o ，在区间i t + ，o 。) 上，p ( t ) 0 ， 这里i = t o ，o 。) ，风= 【0 ，+ o o ) ； ( i i ) g ：r _ r 是连续的，且对于y 0 ，g ( y ) c 0 ； ( i i i ) 下：i 一连续且不减，对于t t o ，丁( 亡) t ，并且l i m t 啪r ( t ) = o o ； ( i v ) ，：r 2 _ r 连续并且，( z ，! ) ( z ) ，2 ( 可) ，且存在常数髓使得对所 有z 0 ， 满足 ( z ) k 1 0 本章只考虑方程( 1 1 1 ) 存在于区间【t x ，o 。) 上且对任意的t 乞满足 s u p i z ( t ) i ：t t ) 0 的解方程( 1 1 1 ) 的解称为振动的，若它的零点集合 无界，否则，称为是非振动的方程( 1 1 1 ) 称为是振动的，若它所有的解是振 动的 近十年来，二阶微分方程振动性的研究发展相当迅速，详见文【1 1 9 】方 程( 1 1 1 ) 的振动性首先由g g h a m e d a n i 和g s k r e n z 在文【1 2 】中开始研 究后来，受此文的启发，y u v r o g o v c h e n k o 在【1 ，2 】中利用推广的r i c c a t i 变换得到方程( 1 1 1 ) 的些振动性准则 方程( 1 1 1 ) 可以看做是二阶延滞微分方程 ( t ) + p ( t ) ，( z ( 下( t ) ) = e ( t ) ，t t o( 1 1 2 ) 和非线性微分方程 。( t ) + p ( ) i z ( 7 - ) ) l a s g n x ( r ( t ) ) = e ( t ) ，t t o( 1 1 3 ) 第一章一类非线性泛函微分方程的振动性准则 的推广，当7 - ( t ) = t 时，方程( 1 1 3 ) 具有形式 ( 亡) + p ( t ) l z ( t ) l a s g n x ( t ) = e ( t ) ，t t o ( 1 1 4 ) 对于方程( 1 1 4 ) 的振动性已有广泛的研究，见文p 5 】。般情况下，我们可 以通过k a r t s a t o s 在文【1 1 1 中的方法得到般非线性方程的振动性。其中假定 f ( x ) 是二次可微的振动函数，这种方法已在文【7 ，8 1 中被推广 最近，孙在【6 】中研究了延滞微分方程( 1 1 3 ) ，其中a 1 ，p 和e 允许 变号但孙在f 6 】中并没有考虑0 0 假定对任意的t t o ，存在常 数o l ，b l ，a 2 ，6 2 ，使得当t a l 0 ，其中t o 依赖于解z ( t ) 对t t o ，记 w ( t ) = - - x 俅) 知( t ) ，由方程( 1 1 1 ) 知：硼( ) 满足下列微分方程 州= 业缈铲一器， ( 1 2 3 ) 由( i ) ( i v ) ，我们得到 州冽衄- c 等一器 ( 1 2 4 ) 由假设，我们可取a l ，b l t o ，使得对t 【r ( a z ) ，b a ，有b l 下( 口1 ) ，t 2 ( a 1 ) = 丁f ( q 1 ) ) t o ，v ( t ) 0 ，e ( t ) 0 由方程( 1 1 1 ) 知；z ) 0 ，t p 0 1 ) ，6 l 】 因此，我们有： z ( t ) 一z ( 丁 - ) ) = z 7 ( s ) 0 1 ( 口z ) ) 一o ) 一7 ( 口1 ) ) ，t r ( 0 1 ) ，b 1 ，( 1 2 5 ) 其中8 卜( n 1 ) ，6 l 】由x ( t ) 0 ，t 丁( 0 1 ) 及( 1 2 5 ) 式知 x ( t ) ( ) ( t 一丁( 0 1 ) ) ，t f r ( 0 1 ) ，b 1 】， 3 第一章一类非线性泛函微分方程的振动性准则 鬻南，亡州6 1 】 ( 1 2 6 ) 对( 1 2 6 ) 从下( 亡) 到t 0 , 1 积分得t 等譬群心( a l , b 1 t ( 1 2 7 ) z ( ) 二一7 ( 0 1 ) 。 r 7 把( 1 2 7 ) 代入( 1 2 4 ) 得 叫似) 冽班。娲c 甜w ， 吲。1 ，6 1 】( 1 2 8 ) 令日( ) d ( a l ，b 1 ) ，算子a 从8 1 g 1 到b l 作用于( 1 2 8 ) 式，利用 ( 1 1 6 ) 及h ( a 1 ) = h ( b 1 ) = 0 ，我们得到 砖妫c 譬岩；t ) 叫：( + 2 器+ 鬻； 一奢+ 瓠( 器+ 器) o 删 + 砖( 吖器+ 器卜2 一( a - - 1 ) w 2 ( t ) ；t ) 令8 1 _ 口1 ，我们有 础凰恐c 笔群一吖器+ 器她2 加， 此与( 1 2 2 ) 式矛盾 对于舌t o 时z ( t ) a o 也满足参数a 在定理1 2 1 中起了关键作用 定理1 2 2 设y 0 时i 办( y ) i i y i ，且y 厶( y ) 0 假定对任意的t t o ，存 在常数6 1 ，b l ，6 2 ，6 2 ，使得t a l 0 ，其中t o 依赖于解z ( 亡) 由定理1 2 1 的证明 过程我们得到( 1 2 3 ) 式，由已知条件，2 ( y ) y ，得： 州 p ( 娲9 等w ( t ) 一器 ( 1 2 1 2 ) 其余的证明类似予定理1 2 1 ，略去 注1 2 2 取f ( x ，y ) = j f ( y ) ，9 ( ( t ) ) = 1 ，则定理1 2 1 和1 2 2 退化为文【9 】 中的定理1 注1 2 3 取f ( x ，y ) = ! ，9 ( x 他) ) = 1 ，p ( t ) = 1 ，则定理1 2 1 和1 2 2 退化为 文 6 】中的定理1 注1 2 4 取f ( x ，y ) = z ，夕( z 讹) ) = 1 ，p ( t ) = 1 ，则定理1 2 1 和1 2 2 退化为 文【1 7 】中的定理2 定理1 2 3 设y 0 时i h i y ) i 川1 ，且! ，厶( 可) 0 假定对任意的t t o ，存 在常数a 1 ，b l ，a 2 ，b 2 ，使得t a l 1 时，方程( 1 1 1 ) 的所有无界解是振动的； ) 当0 0 ，其中t o 依赖于解z ( 亡) 对t t o ，记 伽( t ) = 一( t ) z 7 ( t ) ，由方程( 1 1 1 ) 及条件厶( 翟) 可 知t 伽( ) 满足下式 耿蛇p 甄c 可x ( r c t ) ) + ，y 一识旷器 ( 1 2 1 4 ) 类似于定理1 2 1 的证明，我们得到 等譬群似( a l , b 1 r ( a 1 ( 1 2 1 5 ) z ( t ) 。亡一) r 7 把( 1 2 1 5 ) 式代入( 1 2 1 4 ) 式，得 伽7 ( t ) p ( ) k 1 c 错+ 7 一l 叫2 ( t ) ，亡( a l , b 1 ( 1 2 1 6 ) 接下来，我们考虑下面两种情形： ( 1 ) 当，y 1 时，若z ( t ) 是方程( 1 1 1 ) 在区间【q i ，b l 】上的无界振动解， 则存在个常数l 氟 0 ，使得在区间b 1 ，6 l 】上有茁( 亡) j f l ，因此， 7 x t 一1 ( 亡) ，y 聊一= 历，亡【口1 ，b 1 】，( 1 2 1 7 ) 其中p l o 是常数把( 1 2 1 7 ) 式代入( 1 2 1 6 ) 式。重复定理1 2 1 的证明过 程，我们即可得到想要的结果 ( 2 ) 当0 0 是常数其余的证明类似于( 1 ) 的情形因此我们省略 现在，由文【1 】中的定理2 和本文的定理1 2 1 ，我们给出下面的定理，它 的证明类似于定理1 2 1 在条件l 厶( 可) l 川1 ，y 1 下的证明 定理1 2 4 设y 0 时i 厶( y ) i 川1 ，且y 2 ( y ) 0 假定对任意的t t o ，存 在常数a l ，b l ，a 2 ，b 2 ，使得t a 1 0 ，其中t o 依赖于解z ( t ) 我们得到 f ( x ) = b x y 一一y ( ，y 一1 ) 1 - t 一1 8 1 7 d h 一1 ) h x 之一d ，。 0 ， ( 1 2 2 0 ) 其中b ，d 是非负常数事实上，如果b = 0 ，( 1 2 2 0 ) 式显然成立如果b 0 ， 易知f ( x ) 在z = ( n 1 ) 1 n _ 1 8 1 7 - 1 d 1 - 1 n ) 1 m 一1 ) 处取最小值且f n l i n = 一d 因此， ( 1 2 2 0 ) 式成立由假设，我们可以选择a 1 ，b 1 芝t o ，使得对于 亡卜( 0 1 ) ，6 1 】，有b l 1 ( 8 1 ) ，t 2 ( a 1 ) = 下( r ( 口1 ) ) t o ，v ( t ) 0 ，且对于t f r ( 口1 ) ，b 1 ，有e ( t ) 0 取b = k 1 c p ( t ) ，d = 一e ( t ) ，由( 1 2 2 0 ) 式，对于任 意的t 【下( q 1 ) ，b l 】我们得到 k 1 ( 劲( ) z 1 ( 7 - ( 0 1 ) 一e ( t ) 7 ( 7 1 ) 1 。( k 1 ( 劢) 1 n ( 亡) i e ( 亡) i ( 7 1 ) n z ( 7 ( t ) ) ( 1 2 2 1 ) 由方程( 1 1 1 ) 及( 1 2 2 1 ) 式，我们得到 ( t ) - 4 - o ( k 1 c p ) 1 一( t ) l e ( 州7 1 ) n z ( r ( t ) ) 0 ( 1 2 2 2 ) 令w ( t ) 为定理1 2 1 所定义，我们得到 t ，( ) t i j 2 ( t ) 4 - o ( k 1 c p ) 1 一( t ) i e ( t ) l n 一1 ) n z ( r ) ) 7 第一章一类非线性泛函微分方程的振动性准则 其余的证明类似于定理1 2 1 证明，我们省略定理1 2 4 证毕 注1 2 5 取，( z ，y ) = l x l 7 s g n x ，夕( ( 亡) ) = 1 ，p ( 0 = 1 ，定理1 2 4 退化为【6 】 中的定理2 ，同时，定理1 2 4 利用条件0 1 改进了文【1 8 】中的主要结果 注1 2 6 取7 - ( t ) = t ，f ( x ，y ) = i z l ，r s g n z ，g ( z 他) ) = 1 ，p ( t ) = 1 易知定理 1 2 3 和1 2 4 分别退化为【1 6 】中的定理2 2 和2 3 1 3 例子 例1 3 1 考虑下面二阶阻尼微分方程t ( t ) + 志，( z ( t ) ) ，。 一三) ) ( 三+ ( ( 亡) ) ) = o ， ( 1 3 1 ) 其中f ( t ) = x + l x l 7 _ 1 z ，r ( t ) = 1 ，m 0 是充分大的常数，p ( t ) = m s i n t ，7 - ( t ) = t 一署，e ( t ) = c o s t 对于任意的t 0 ，对充分大的整数n ，我们取口l = 2 扎7 r + 3 7 r 4 ，b l = 2 n t r + 7 r ，a 2 = 2 n t r - i - 7 r 4 ，6 2 = 2 n l r + 丌2 ，使得a l t ，则 当卜( 0 1 ) ，b l 】u 卜) ，b 2 】时，q ( t ) o ；当t p ( 0 1 ) ，b l 】时，e ( t ) 0 且 当t 卜( 口2 ) ，b 2 】时，e ( t ) 0 取g ( t ) = s i n 2 t c o s2 t ，p ( t ) = 1 + 8 i n 24 t ，则 日d ( a i ，瓯) ，i = 1 ，2 令a = 7 = 1 ，对于i = 1 ，2 ， a 錾( 俑 器+ 器 = f 删绯“器+ 器 2 出 = c 高以，+ 扣叫2 = e 志 4 s i n u4 t c o s 4 t + 2 掣m ( 2 以一1 ) 7 r 一i 一 8 第二章时标上的带阻尼项的非线性延滞动态方程的振动 准则 2 1 引言 s t e n f a nh i l g e r 率先提出时标及时标上的微积分理论，并初步建立了时标 上的动态方程的基本理论，从本世纪初开始，这一理论受到关注并得到迅速的 发展一方面，它统和推广了经典的微分和差分理论，另一方面，时标上动 态方程的研究也导致真实现象和过程的数学模型的几个重要应用，例如：时标 上的种群动力学，流行病模型，金融消费过程的数学模型等，总之，时标和时 标上的动态方程理论有着广阔的应用前景 本章我们主要是在时标t 上研究如下的带阻尼项的非线性延滞动态方 程。 ( ， ) z ( 亡) ) + p ( ) z ( 亡) + g ( 亡) ，( z ( 丁 ) ) ) = 0( 2 1 1 ) 的振动准则，这里r ( t ) ，p ( t ) ，q ( t ) 是定义在t 上实的r d 连续的正函数延滞 函数丁满足7 ：，o 。) 一t 是r d - 连续，对于亡 t o ，。o ) 有r ( t ) st 在本章 中，我们做如下假定： ( 日1 ) r p ，q 是正的实值的r d - 连续函数； ( ) ，：r r 满足u f ( u ) o ； ( 上如) ，：r _ r 对于t 0 且某个k 0 有，( 仙) k u 为了讨论方程( 2 1 1 ) 的振动性，我们有必要区别下列条件t ( 日4 ) f ( 高e 舭t 2 ) ) 如弧 近年来，许多学者在时标上讨论了常延滞动态方程解的振动性和非振动 性，见文【1 9 - 2 9 1 最近，a g a r w a l 在文【2 2 】中给出了二阶延滞动态方程新的振 动准则此外，文【3 0 - 3 2 】也给出了大量带阻尼项的方程的振动准则 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 在文【3 0 】中，作者考虑了下列线性动态方程： z ) 十p ) z ( t ) + q ( t ) x ( t ) = 0 ，( 2 1 2 ) 其中p ( t ) 和g ( ) 是正r d - 连续函数并且确立了非振动的一些充分条件文【3 0 】 证明了在下面条件成立时： f 绯皿 0 的 解方程( 2 1 1 ) 的非平凡解称为是振动的若该解有任意大的零点，否则，它 称为是非振动的方程( 2 1 1 ) 称为振动的若它所有的解都是振动的 本章通过推广的r i c c a t i 变换给出了二阶非线性延滞动态方程( 2 1 1 ) 的 一些新的振动准则，改进了文【3 1 ，3 2 】中的结果 本章组织如下s 第二节，我们给出时标上的一些有关定义第三节，首先， 我们通过推广的r i c c a t i 变换在时标t 上给出了方程( 2 1 1 ) 的一些新的振动 准则，其次，我们还给出了方程( 2 1 1 ) 所有解的振动性的充分条件第四节， 我们给出一些例子来阐述我们主要的结果 若t = r ，则伊( t ) = 0 ，p ( 亡) = 0 ，产( t ) = ，讹) 且方程( 2 , 1 1 ) 变成带阻 尼项的二阶非线性微分方程： ( r ( 亡) z 7 ) - 4 - p ( ) z + q ( 亡) ，( z ( f ( t ) ) ) = 0 ，t t o ，o o ) ( 2 1 8 ) 若t = z ，则口( t ) = t + 1 ，p ( ) = 1 ，z ( t ) = z ( t ) = z + 1 ) 一z ( t ) 且 方程( 2 1 1 ) 变成带阻尼项的二阶非线性差分方程。 p ( t ) ( z ( 亡) ) ) + p ( t ) a x ( t ) + 口( t ) ， ( 丁( 亡) ) ) = 0 ，t t o ，o o ) ( 2 1 9 ) 若t = h z ，h 0 ，则口( t ) = t + h ，p ( t ) = h ， 一牡却= 掣， 且方程( 2 1 1 ) 变成带阻尼项的二阶差分方程。 a h ( v ( t ) a h x ( t ) ) + p ( t ) a h x ( t ) + q ) ，( z ( 7 ( t ) ) ) = 0 ，t p o ，o 。) ( 2 1 1 0 ) 若t = 口n = ( t ：t = q 知，k n ，q 1 ) ，a t r 矿 ) = q ( 亡) ，p 0 ) = ( q 一1 ) t ， 一( t ) = 。z ( t ) = 飞x ( q t j ) - x 矿c t ) 曲阜师范大学硕士学位论文 且方程( 2 1 1 ) 变成带阻尼项的二阶差分方程t a 口p ( t ) g z ( t ) ) + p ( t ) g z ( t ) ) + g ( t ) ， ( 7 ) ) ) = 0 ，t 【t o ，o o ) ( 2 1 1 1 ) 若t = n 3 = t 2 ：t n o ，则矿 ) = ( 、 + 1 ) 2 ，p ( t ) = 14 - 2 、乍， 雠) = 型掣， 且方程( 2 1 1 ) 变成带阻尼项的二阶差分方程t a n ( r ( t ) a n x ( t ) ) + p ( t ) a n x ( t ) 4 - 口( t ) ，( z ( 丁( t ) ) ) = 0 ，t 昭，o o ) ( 2 1 1 2 ) 若t = t n = t n ：其中t n 是由调和函数定义的集合 t 0 = o ，k = 去，a en 。， k - - i 。 则p ( t n ) = 元再1 ，x a ( t 竹) = ( n + 1 ) z ) 且方程( 2 1 1 ) 变成带阻尼项的二阶差 分方程： k ( r ( k ) t 。z ( “) ) + p ( t n ) k z ( 如) + g ( 如) ，( z p ( t ) ) ) = 0 ，t n 【0 ，o o ) ( 2 1 1 3 ) 时标t 是实数r 的任意的非空闭子集在任意的时标t 上我们定义前 跳和后跳算子如下。 盯( 古) ：= i n f s t ：s 亡) ，p ( t ) ：= s u p s t ：s ( 2 2 1 ) 点t t 称为左稠密若t i n f t 且p ( t ) = t ；点t t 称为右稠密若t 0 ，z ( t ) 0 ，( r ( t ) z ( t ) ) 0 ，t t ；( 2 3 1 ) 1 5 第二章时标上的带阻尼项的非线性延滞动态方程的振动准则 ( i i ) 对t p ，o o ) 有z ( 亡) t x ( t ) ，且z ( 亡) 在t p ，o 。) 上是严格减 的 证明假定z 是方程( 2 1 1 ) 在【t o ，) 上的个正解下证护( t ) 对于t l t o 在区间 t l ，o o ) 上不变号由方程( 2 1 1 ) ，因为q ( t ) 0 且，0 ( 7 - ( t ) ) ) 0 ，我 们有 ( r ( ) z ( t ) ) ) + p ( t ) z ( t ) ) = 一口( t ) ，( z ( 丁( t ) ) ) 0 ， 即， ( r ( t ) z ( 亡) ) + p ( t ) z ( 亡) o 令可( t ) = r ( t ) 庐( 亡) ，我们立即得到y a ( t ) + 髂y 0 ，由此可以推出 ( y ( ) e 罟) 0 因此，可( t ) e 詈是减的且y ( t ) 是不变号的从而对于充分大 的t ，庐( t ) 是不变号的且满足下面条件之一； ( i ) ：矿( 亡) 是正的； ( i i ) ：庐( t ) 是负的 若条件( i i ) 成立，则存在亡2 t l 使得对于t t 2 有庐( t ) t l 使得在区间【t 2 ，0 0 ) 上有x ( t ) 0 假若不成立，则在i t 2 ，0 0 ) 上有x ( t ) 独，7 由此推出z ( t ) t 在f t 2 ，o 。) 上是严格增的取t a p 2 ，。) 使得对于t t 3 有 1 ( ) 7 - ( t 3 ) ，则 x ( r ( t ) ) r ( t ) z ( 丁( t 3 ) ) 下( t 3 ) = ：d 0 ， 从阳盯于t2 t a 有z c r c t ) ) d r c t ) 方程( 2 1 1 ) 的两边从t a 到t 积分得； f ti t r ) z ( 亡) 一r ( t 3 ) z ( 如) + p ( s ) z ( s ) a s + 口( s ) ，( z ( 7 ( 8 ) ) ) s j t 3 - ，t 3 由假设条件( 风) 及上式我们得到 f t ，i 7 ( 亡3 ) z ( 3 ) r ( t ) z ( t ) + p ( s ) z ( s ) s + k 口( s ) z ( 7 - ( s ) ) s j r 3 ，坛 副咖邸) + 拟石g ( s ) 丁( s ) a s d k t i t ( s ) 丁( s ) s 此与( 2 1 7 ) 式矛盾所以存在t 2 i t l ，o o ) ，使得在i t s , ) 上有：x ( t ) 0 因此， (塑)=可txa(t)-x(t)t= 一器t a ( t 0 ，b 0 ，则 2 + k 一墨x 2 + 菘b 2 1 7 h i ns u pf l a ( s ) 一面硪o r ( s 雨) e 口( s 丽, t o ) 丽b 2 ( 3 ) s = o o ， ( 2 3 4 ) 其中 a ( 亡) = k e 口( 盯( 幻，) g ( 幻( 亡) 一e d ( 盯( 。) , t o ) ( r ( d 口( 。) ) ( 2 3 5 ) 一e d ( 仃( t ) ，亡o ) p ( t ) 五万 ) 口( t ) + e 。( 口( t ) ，t o ) p ( t ) m ( t ) a 2 ( t ) ， 、 础) = 阳一p c t ) m c t ) 可( 1 + 广t t c t ) a ( t ) ) + 2 批) ( a 州愀啪 ( 2 3 6 ) 则方程( 2 1 1 ) 的所有解都是振动的 证u , q 假设z ( t ) 是方程( 2 1 1 ) 的个非振动解不失一般性，我们可以假设 x ( t ) 0 对所有的t t o 成立类似地可以讨论z ( t ) 0 的情况由引理2 3 i ， 我们得到( 2 3 1 ) 式成立 由推广的r i c c a t i 变换我们可以定义叫( t ) 如下t 晰训 等删刊，( 2 3 7 ) 因此。 稚 等删) + e 口哦t o ) ( 掣堋) ) = 。( 印叫( 幻+ e 。( 盯 ) ，t 。) ( 兰鱼丛型曼兰兰莲譬未；掣+ ( r ) n ( d ) ) =。(亡)tu(t)+e。(盯(t)，亡。)(r(t)口()+e口(盯(亡)，如)豁 劬向m 幻器( 等) 2 1 8 曲阜师范大学硕士学位论文 由方程( 2 1 1