（应用数学专业论文）几类不确定动力系统的稳定性分析及应用.pdf

四川大学博士学位论文 摘要 几类不确定动力系统的稳定性分析及应用 应用数学专业 研究生r 可指导教师黄南京教授 众所周知，动力系统的稳定性容易受到不叫避免的系统误差，外部扰动，系统 参数振动，系统信启、不全等诸多不确定性因素的影响，因此研究克服这些不确定性 的影响就非常重要本文旨在对儿类不确定动力系统的稳定性作出分析，给出了在 不确定条件下系统稳定的条件以及在神经网络中的应用 第一章主要介绍了一些背景知识 第二章首先引入了类区间投影动力系统通过构造恰当1 i 4 j l y a p u n o v 函数以 及利用不动点定理我们得到了保证这类区间投影动力系统的均衡点存在唯。的 充分条件以及鲁棒指数稳定性的充分条件在本章最后，我们给出了一个数值算例 来验证稳定性结果的正确性 第三章引入了一类集值投影动力系统利用n a d l e r 4 8 的不动点定理以及投 影算子的性质，我们证明了这类系统的均衡点集非空且闭 第四章给出了，类新的带吲滞的区间广义b a m 神经网络，它包含了许多经典 的神经网络作为特例利用不动点理论我们得到了保证均衡点存在唯一的条件并 且通过构造恰当的l y a p u n o v 函数，我们得到了保证这类区间神经网络全局指数稳 定的充分条件这个条件只要求驱动函数l i p s c h i t z 连续相对于 3 9 3 4 0 3 ， 4 2 j 中 讨论的稳定性条件( 它们要求驱动函数单训) 而言具有更低的保守性在本章最后 一l 一 四j i i 大学博士学位论文 一节里，我们给出了一个算例来验证稳定性结果的正确性 第五章和第六章分别介绍了类具有不确定性的带混合时滞的区间b a m 神 经网络和一类带混合时滞的区间随机b a m 神经网络，这罩混合时滞意味着同时出 现离散和分布时滞此外不确定的系数矩阵参数被一类未知的但范数有界的函数 控制通过构造恰当的l y a p u n o v k r a s o v s k i i 函数，利用线性矩阵不等式技巧和随机 分析技巧，我们得到了保证这两类不确定带混合时滞的神经网络稳定的充分条件 这两个结果较以前的同类其他结果而言具有更低的保守性，并且容易用m a t l a b 软 件中的l m i 软件包测试和验证在第五章和第六章的最后一节里，我们分别给出 了具体的数值算例来描述稳定性结果 关键词区间动力系统，区间优化，集值动力系统，投影算子，时滞，均衡点，稳定 性，l m i ，随机微分方程，神经删络 一 四川大学博士学位论文 a b s t r a c t s t a b i l i t ya n a l y s i sf o rs o m ec l a s s e so fd y n a m i c su n d e ru n c e r t a i n t yw i t h a p p l i c a t i o n s m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s a u t h o r ：d i n gk es u p e r v i s o r ：h u a n gn a n j i n g t h i sp a p e ri sd e v o t e dt ot h es t u d yo ft h es t a b i l i t yf o rs o m ec l a s s e so fd y n a m i c s u n d e ru n c e r t a i n t y ， t h ef i r s tc h a p t e ri sd e v o t e dt oi n t r o d u c i n gs o m ei m p o r t a n tb a c k g r o u n d i nt h es e c o n dc h a p t e r , an e wc l a s so fi n t e r v a lp r o j e c t i o nd y n a m i c sa r ei n t r o d u c e d a n ds t u d i e d ，t h ee q u i l i b r i u mp o i n to ft h i sd y n a m i c si se q u i v a l e n tt ot h ek t p o i n to f ac l a s so fi n t e r v a lq u a d r a t i cp r o g r a m b yu s i n gf i x e dp o i n tt h e o r e ma n d c o n s t r u c t i n g s u i t a b l el y a p a n o vf u n c t i o n s ，w eo b t a i ns u f f i c i e n tc o n d i t i o n st oe n s u r et h ee x i s t e n c ea n d g l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yf o r t h eu n i q u ee q u i l i b r i u mp o i n to f i n t e r v a ld y n a m i c s i nt h e l a s ts e c t i o n , w eg i v ea ne x a m p l et oi l l u s t r a t et h ev a l i d i t yo fo u rr e s u l t s i nt h et h i r dc h a p t e r , w ei n t r o d u c ea n ds t u d yan e wc l a s so fg l o b a ls e t - v a l u e dp r o j e c t e dd y n a m i c a ls y s t e m s b yu s i n gt h ef i x e dp o i n tt h e o r e md u et on a d l e ra n dt h ep r o j e c t i o no p e r a t o rt e c h n i q u e ，w ep r o v et h a tt h ee q u i l i b r i u mp o i n t ss e to ft h i sc l a s so fg l o b a l p r o j e c t e dd y n a m i c a ls y s t e m si sn o n e m p t ya n dc l o s e d i nt h ef o u r t hc h a p t e r , ac l a s so fi n t e r v a lg e n e r a lb a mn e u r a ln e t w o r k sw i t hd e l a y s a r ei n t r o d u c e da n ds t u d i e d ，w h i c hi n c l u d em a n yw e l l - k n o w nn e u r a ln e t w o r k sa ss p e c i a l c a s e s b y u s i n g f i x e d p o i n t t e c h n i c ，w e p r o v e a l le x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o f t h e e q u i l i b - r i u mp o i n tf o rt h ei n t e r v a lg e n e r a lb a mn e u r a ln e t w o r k sw i t hd e l a y s b yu s i n ga p r o p e r l y a p u n o vf u n c t i o n s ，w eg e tas u f f i c i e n tc o n d i t i o nt oe n s u r et h eg l o b a lr o b u s te x p o n e n t i a l s t a b i l i t yf o r t h ei n t e r v a lg e n e r a lb a m n e u r a ln e t w o r k sw i t hd e l a y s ，a n dw ej u s tr e q u i r e t h a ta c t i v a t i o nf u n c t i o ni sg l o b a l l yl i p s c h i t zc o n t i n u o u s ，w h i c hi sl e s sc o n s e r v a t i v ea n d l e s sr e s t r i c t i v et h a nt h em o n o t o n i ca s s u m p t i o ni np r e v i o u sr e s u l t s i nt h el a s ts e c t i o n ，w e a l s og i v ea l le x a m p l et od e m o n s t r a t et h ev a l i d i t yo f o u r s t a b i l i t yr e s u l tf o ri n t e r v a ln e u r a l n e t w o r k sw i t hd e l a y s 一一 四川大学博士学位论文 i nt h ef i f t ha n dt h es i x t hc h a p t e r , ac l a s so fi n t e r v a lb a mn e u r a ln e t w o r k sw i t h m i x e dd e l a y su n d e ru n c e r t a i n t ya n dac l a s so fs t o c h a s t i ci n t e r v a lb a mn e u r a ln e t w o r k s w i t hm i x e dd e l a y sa r ei n t r o d u c e da n ds t u d i e d w h i c hi n c h i d em a n yw e l l k n o w nn e u r a l n e t w o r k sa ss p e c i a lc a s e s t h em i x e dd e l a y sm e a nt h es i m u l t a n e o u sp r e s e n c eo fb o t h t h ed i s c r e t ed e l a y ，a n dt h ed i s t r i b u t i v ed e l a y ，f u r t h e r m o r e ，t h ep a r a m e t e ro fm a t r i xi s t a k e nv a l u e si nai n t e r v a la n dc o n t r o l l e db yau n k n o w n ，b u tb o u n d e df u n c t i o n b yu s i n g as u i t a b l el y a p u n o v k r a s o v s k i if u n c t i o nw i t ht h el i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) t e c h n i q u ea n dt h es t o c h a s t i ca n a l y s i st e c h n i q u e ，w eo b t a i nas u f f i c i e n tc o n d i t i o nt oe n s u r e t h eg l o b a lr o b u s te x p o n e n t i a ls t a b i l i t yf o r t h ei n t e r v a lb a mn e u r a ln e t w o r k sw i t hm i x e d d e l a y su n d e ru n c e r t a i n t y ，a n das u f f i c i e n tc o n d i t i o nt oe n s u r et h eg l o b a lr o b u s te x p o n e n t i a lm e a ns q u a r es t a b i l i t yf o rt h es t o c h a s t i ci n t e r v a lb a mn e u r a ln e t w o r k sw i t hm i x e d d e l a y s ，r e s p e c t i v e l y ，w h i c ha r em o r eg e n e r a l i z e da n dl e s sc o n s e r v a t i v e ，r e s t r i c t i v et h a n p r e v i o u sr e s u l t s i nt h el a s ts e c t i o no ft h ef i f t ha n dt h es i x t hc h a p t e r , t h ev a l i d i t yo f0 1 1 i - s t a b i l i t yr e s u l t sa r ed e m o n s t r a t e db yan u m e r i c a le x a m p l e ，r e s p e c t i v e l y k e y w o r d sa n dp h r a s e s i n t e r v a ld y n a m i c s ，i n t e r v a lo p t i m i z a t i o n s ，s e t v a l u e dp r o j e c - t i o nd y n a m i c s 。p r o j e c t i v eo p e r a t e ，e q u i l i b r i u mp o i n t ，d e l a y , e q u i l i b r i u mp o i n t ，s t a b i l i t y ， s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，n e u r a ln e t w o r k s 一一 四川大学博士学位论文 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果，据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得四川大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示谢意 本学位论文成果是本人在四川i 大学读书期间在导师指导下取得的，论文成果归四 川大学所有，特此声明 作者签名：j 目 一 日 飙铲日 一7 8 一 导师签名 日期 四川大学博学位论文 第一章导论 在日常的生活和工作中，对于现实世界的变化，人们关注的往往是变化速度， 加速度以及所处位置随时间的发展规律，其中的规律一般可以写成一个微分方程 或方程组自从1 6 7 6 年，莱布尼兹致牛顿的信中首次提出了微分方程这个概念之 后，微分方程的理论得到了迅猛的发展动力系统可以被视为微分方程的化身一 般而言，常微分方程和差分方程可以被视作有限维连续和离散的动力系统而泛函 微分方程偏微分方程以及泛函差分方程可以看成是无穷维连续和离散的动力系 统，进一步，还有微分流形上的动力系统 值得指出的是，在现实的环境中，系统总是在各种内部和外部干扰的条件下运 行的，完全不被干扰的系统是不存在的在受到种种干扰后系统的运动就更需要引 起人们的注意，系统能否保持预定的运动而不是失去控制就显得格外重要因而对 动力系统的稳定性分析具有十分重要的理论和现实意义1 9 世纪后半期，庞加莱和 李雅普诺夫在力学研究中建立了微分方程的定性分析与稳定性理论，在近一百年 的时间里，稳定性理论得到了人们广泛的关注和深入的研究我国的许多学者也作 出了许多重要的负献 投影动力系统作为一类有广泛应用的动力系统已经逐步受到广大学者的注 意在变分不等式，补问题，非线性优化问题的研究中，人们经常用到投影动力系 统( 【2 0 ， 6 4 ， 6 5 1 ，【6 6 ， 6 7 ，【7 5 ) 在1 9 9 4 年，d u p u i s 年f l n a g u m e y 【1 9 】引入了如下 局部投影动力系统： d x ：l i r a p k ( x - - p n ( x ) ) - x d t 。一o p 并且证明了上述投影动力系统的解等价于一类变分不等式问题的解，即找2 9 , k 使得 ( y z ，( z ) ) 0 对所有的y k 成立 一1 一 四川大学博士学位论文 另一方面，在t 9 9 4 年，f r i e s z 【2 0 】讨论了一类全局投影动力系统近来，x i a 和v i n c e n t 【6 4 】分析了如下系统的全局渐进稳定性： 面d x = ( z 一州( z ) ) 一。 作为动力系统的另外一个重要应用，人工神经网络自上世纪6 0 年代以来就受 到学者们的广泛关注人工神经网络是受人脑功能的启发而发展起来的，并且试图 模拟某些生物系统的运行和功能它是由大量的元素( 神经元) 相互连接而成神经 元的输出由神经元输入的适当加权和组合组成，在数学模型中，神经元由适当的激 活函数来描述近些年来如下带联想记忆的双向神经网络( b a m ) f 警= - a x + b f ( y ) 【岳= 一c y + d g ( x ) 因为在信息论和拧制论中的广泛应用丽备受人们的关注许多文章已经讨论 了b a m 神经网络的稳定性并且已经得到许多重要的有意义的结果f 【1 4 ，f 4 2 + 【4 3 1 ，【5 2 ， 5 7 ，【6 8 】) 在现实条件下，在动力系统中的时滞是不可避免的，即使以光速传播的信息系 统也i i 例外因此在动力系统中把时滞的效果考虑进去是必须的。一般而言，动力 系统中的时滞按状态町以分为离散时滞和分布时滞此外，动力系统的稳定性容易 被不可避免的系统误差，外部扰动，系统参数振动等原因破坏因此非常必要研究 系统的鲁棒稳定性来克服这些系统误差，外部扰动，系统参数振动带来的影响一 种有效克服这些困难的方法就是使得系统参数在某个己知的区间范围内取值，尽 管我们无法得知这些参数的精确值，还可以用一类未知的但范数有界的函数来描 述不确定性 基于以上考虑，本文旨在对几类不确定动力系统的稳定性作出分析，给出了在 不确定条件下系统稳定的条件以及在神经网络中的应用 具体而言，全文内容安排如下 第一章是导论，介绍了不确定性动力系统的背景知识，以及本文要研究的主要 模型 一2 一 四j f f 大学簿学位论文 第二章首先引入了一娄如下的区间投影动力系统 毫铲= 戌( ) 一p 1 n 2 i j 2 9 ，( ) 一p 6 1 ) 一以( ) ，t 如， x t ( t o ) = 黝( o ) ，i = 1 ，2 ，凡， 晒= m = ( m l j ) n x n ：m m m ，i e ，也”m 1 3 碱j ) 这类投影动力系统的均衡点是如下区间二次规划的k t 点 fm i n l x t m x + b t x ， 【肼= 彳= ( m q ) n x n ：一m 彳m ， i e ，兰幻m i j 嘞 通过构造恰当的l y a p u n o v 函数以及利用不动点定理，我们得到了保证这类区间投 影动力系统的均衡点存在唯一的充分条件以及鲁棒指数稳定性的充分条件在本 章最后，我们给出了一个数值算例来验证稳定性结果的正确性这章的结果已经 在杂志c h a o ss o l i t o n sa n df r a c t a l s 上发表，并且被s c l 检索， 第三章引入了一类如下的集值投影动力系统 f ! 器堕尸( g ( z ( t ) ) 一p ( z ( t ) ) g ( 茁( t ) ) ，f o ra a t 【o ，。刀 【x ( 0 ) = b ， 其中是集值映像利用n a d l e r 4 8 的不动点定理以及投影算子的性质，我们 证明了这类系统的均衡点集非空且闭这一章的结果已经在 志d y n a m i c so f c o n t i n u o u sd i s c r e t ea n di m p u l s i v es y s t e m s - s e r i e sa m a t h e m a t i c a la n a l y s i s 上发表。 并且被s c i 检索 一3 一 四川i 大学博士学位论文 第四章给出了如下一类新的带时滞的区间广义b a m 神经网络 虫妒= 一仉缸( ) + 朵1 彤 ，j ( 巧 ) ，y j ( t 一丁j 。) ) + g ，i = l ，2 ，m 生也d t = 一b j y j ( t ) + ：1 t | j g i ( x 。0 一也j ) ，玑 ) ) + d 。，j = 1 ，2 ，仇 x d t ) = 。( t ) ，t 【一丁，o l ，丁= m a x l _ i _ t o ， 甄( t o ) = 缸( o ) ，i = 1 ，2 ，n ， ( 2 2 2 ) 【晒= ( f = ( m 可) 。n ：m m m ， i e ，一- - - i js m i j 7 瓦，) ， 一9 一 四川大学博士学位论文 其巾b r ：曰。一是如下定义的投影算子 b r ( z ) = a r g m i n 。f i 士一u f f ，v ”k 如果m = m = 丽，则( 2 2 2 ) 退化为下列全局投影动力系统 篱哦扛o ) _ 删“叫卜邢) ， ( 2 2 3 ) 【z ( o ) = x o ， 、。 这类系统被蹦e s ze ta 1 2 0 】，x i a 汞q v i n c e n t 6 4 】，x i a 6 5 1 ，x i a 平t l w a n g 【6 6 等作者研 究 定义2 2 1 当z ：( z = 1 2 z ：) 称之为投影动力系统( 2 2 1 ) 的均衡点当且仅 注2 1 众所周知，投影动力系统( 2 2 3 ) 的均衡点等价于t 歹d - - 次规划的k t 点 其中m = ( t o o ) 。显然，投影动力系统( 2 2 1 ) 均衡点等价于下列区间二次规划 的k t 点 足 fi n i n i l z 7 m x + b w x ， 【尬= m = ( j ) n n ：丝m 砑，i ，e ，蚴”巧s 确) 定义2 2 2 ( 2 2 1 ) 的均衡点矿= ( z ；，。；，一，z ：) 是全局指数稳定的，当z ( ) 满 ”t n 愀t ) 一z 川l ( 愀o ) 一。：t i i ) e x p ( 一目( t t 。) ) ， t o ， t = it = i 一1 0 一 嚣 = 哪 矿 加 一 尹 m 。州 p 一 。 = 0 四川大节博士学位论文 其中q 是不依赖初始值的正常数，l 1 是一个常数 引理2 1 1 【9 】如果cc 酽是闭凸子集并且：r “是一个定点，则存在z c 满足 ( o 一。，一z ) 0 ，v y c 当且仅当z = 场。，其中p c 是舻到c 上的投影 引理2 1 2 【9 】投影算子尼是非扩张的，即满足 您u 一训i l i 一训i ，v u ，v 彤 2 3 均衡点的存在唯一性 在这一节中，我们将讨论投影动力系统( 2 2 1 ) 的均衡点的存在唯一性问题 定理2 3 1 假设以下条件成立 ( h 1 ) 0 r n 。，0 魁扩p 嵋； l ， i = l ，2 ，n ， j = l ，j 4 其中噶；= m a x ( 1 两，。l ，1 马；i ) ，则投影动力系统( 2 2 1 ) 存在唯一的均衡点 证明令 且 v z = ( z 1 ，- ，z 。) r ”( 2 3 1 ) t ( x ) = ( 丑( ) ，- ，乃( z ) ) ，v x 彤 ( 2 3 2 ) 则r ：j p 一彤显然投影动力系统( 2 2 1 ) 有唯一的均衡点的充要条件是t 在厅t 砌 一 u m 。触 p z o 兰： = 死 四川大学博士学位论文 中有唯一的不动点，令 = m f ，v x = ( 轧，z 。) r ” 2 = 1 则( 静，”i i ) 是b a n a c h 空间下一步我们将要证明t 在r “中有唯一的不动点实际 上对任意的z ，酽，由( 2 3 i ) ，( 2 3 2 ) 和引理2 1 2 ，可以得到 t z t 圳= i i t 。( x ) 一z ( ) 2 = 1 = i i p u ( x ；一p 巧一 t = 1= l s 甄一p m 。吻一( 玑 = l | 卜胛t 1 ) ( z l ( t ) 一y l ( t ) ) + + ( 1 一p r a 。) ( 甄( t ) 一玑( t ) ) + r = 1 + ( 一p r 。) 1 i 。( t ) 一y ( t ) 1 1 ) s 圳乩( t ) 一鼽( 呲 t = 1 其中厶= 1 一p i m t z i + p e j _ - 1 j i m j d 令 彰= 1 一p r n i + p 呜 j = l d q i 由假设条件( h 1 ) 可知对 = 1 ，n 有o 厶e 1 ，因此可以得到 ( 2 3 3 ) b p 协叶 m 。芦 p 一 玑艮 一 b p 协 玎 。州 p 虬 一zm 。闩 p 一 白m 刮 扛 慨 训 。 = 一 f t 四川大学博士学位论文 k 一训 训( 2 34 ) 由0 m a x l t s 。l ： 0 。成立，其中 秀= m a x i 迎“i 丽。m 则投影动力系统( 2 2 1 ) 全局指数稳定， 证明条件( 日1 ) 保证了定理2 3 ，1 成立，因此投影动力系统( 2 2 1 ) 存在唯一的 均衡点矿= ( 。i ，z ；，z ：) 令 y ( t ) = 愀t ) 一z ： 则有 啪，= 掣= 喜c 器高，鲁， 一1 3 一 。炉 l l 誉黑 m 塔 m k 一 = n2l l | 0 i | z b p o ” m 。一 p z 四川大学博士学位论文 喜南c 矧t ，一斥c 以 一一喜嘞巧 2 喜南似舢，一曩c “一，喜嘶州t ，一施，一z ： + z ：一以( t ) ) ) =喜南硝牡蚓f 2 + 池叫，p k ( “ e ，! ，r r t t j x j “。叫卜瑚卜 ( 2 4 1 ) 因为z ：是( 2 2 ，1 ) 的不动点，所以有 由( 2 4 1 ) 和( 2 4 2 ) 可知 ( 。：( t ) 一o ：，尸( z 。( t ) 一p = ( z 。( ) 一z ：，p ：k ( 。 ) p p 仉，巧一p b 。) ) 3 = 1 n 1 i r k ( = 。( t ) 一p 脚( t ) 施) 一昂一p m 硝一p b 。) 1 1 ，= 1 3 = 1 i k ( t ) 一z 孙( 2 4 3 ) 由引理2 1 2 可知 n n i i p ( ( t ) 一p 嘞z ，( t ) 一地) 一斥( 。：一p m ”哼一p b ) l l 3 = 1 j = 1 m 茚一z ：一p m o ( x j ( t ) 一。；) 3 = 1 ( 2 4 4 ) 加 一 ，泸 m 。列 p 一 i | e 引 取 一 一 曲 嘶 一 一 巧 q 啦 u m m 。一。脚 四川大学博士学位论文 利用( 2 4 1 ) ，( 2 4 ，3 ) ，f 2 ，4 4 j 以及( h 2 ) ，我们得到 掣s 妻峪小) 一蚓1 十壹懒) 一。：一p 妻。出如) 一蜘l l t - 1# 1 3 = 1 = t ) 一z 川+ i i ( - p m t ，) ( z 一z ；) + 4 - ( 1 一p r n l ；) ( 甄o ) 一z ：) 4 - ( 一胛l 。) ( 。( t ) z ：) l l s p r n l ! i i z l ( t ) 一z ：i f4 - p l m m l l x 2 ( t ) 一z ；f f + + p f m l 。川z 。0 ) 一z ： + p l r n 2 1 i i l z l ( t ) 一。；j l m n m l z 2 ( t ) 一x ；i l4 - - 4 - p i m 2 。川z 。( t ) 一。： 其中 显然 4 - p l m 。l l l l x l ( t ) 一。i l i - i - p l r n 。2 1 1 1 x 2 ( t ) 一z ；| i + 一n 。f l z 。( t ) 一。：i i p ( t m 2 l l4 - - + i m 。1j m 1 1 ) l l x l ( t ) 一z ：i 4 - p ( 1 m 1 2 l + + i j r n 2 2 ) l l x 2 ( t ) 一。；l | 上 4 - p ( i m l 。f + + i r h ，一1 。f m 。) f i a 轨( f ) 一。：i f = p 驯航( ) 一x ；l l ， ( 2 4 5 ) 置= i i i 一，洁l j = l d # i 噶l 叻t l ，佻t 2 m _ 4 ；，i = 1 ，n ，= l j ，= l j 4 上式和条件( h 1 ) 可知 nn 盟 。2 嵋；2 i m j t i ，i = 1 ，n ， j = 1 j ，= 1 j 4 四川大学博士学位论文 从上式可以得出 令 nn i m j 。i 一7 7 , i ，啊。一弛。s0 ( 2 46 ) j = l j l，= l j o 从( 2 4 6 ) 可以得出凰研0 令片+ = m i n i q l ：i = 1 ，n ) 则由h + 0 和( 2 4 5 ) 可以得出 掣卅白“旷z ： = - p h v ( t 1 这就证明了对任何t2 t o 有 f ) 一z ：1 1 o ) 一z 刈e x p ( 一p h ( t t o ) ) l = 12 = l 因此投影动力系统( 2 2 1 ) 的均衡点矿= ( z ：，z ；，r 一，z ：) 是全局指数稳定证毕 注2 4 显然经过简单计算可知下述条件 。 p 恐 i 忑飘1 ，面1 ) 可以保证条件( h 1 ) 和( 日2 ) 成立 2 5 数值例子 一1 6 一 弛 一m 妻一 = 髟 四大学博士学位论文 在这节里，我们考虑下列区间二次规划 m i n ；。7 m 。+ b r x s , t x l ，0 2 ，x 321 ， 其中尘生sm = ( ”玎) 。s 丽，矿= ( 1 ，i ，1 ) ，以及 世= 2 0 5 1 ) ，丽= ( i ! ( 2 5 1 ) 容易验证( 2 5 1 ) 在m = 面或m = m 时的k t 点都是( 1 ，1 ，1 ) 由注2 1 可知，区间二次规划( 2 5 1 ) 的k t 点等价于下列区间投影动力系统的 均衡点 掣= 脚冰) - 0 5 耋嘞- 0 5 铲剐铣，2 1 3 蚴) 经过简单计算可知， 5 ( 盟1 1 一( m ；l + m ；1 5 ( m 2 2 一( m i 2 + m ；2 5 ( 盟3 3 一( m i 3 + m ；3 0 5 ( 2 0 6 1 1 ) 1 o5 ( 2 0 6 0 6 5 ) 1 ， o 5 ( 1 8 一l | 1 0 6 5 ) 0 使得 ( n ( x ) ( ) ，正一y ) 2n f i z g i 2 ，v x ，f k 2 0 一 四川大学博士学位论文 ( i i ) f l i p s c h i t z 连续，如果存在f 0 使得 n ( x ) 一n ( y ) i fs f | 一可m 忱，y k 成立 定义3 2 3 集值映像n ：尼一e ( 只) 称之为f l i p s c h i t z 连续，如果存在 0 使得 h ( n x ，n y ) 驯z 一洲，v x ，y k 成立，其中日( ，) 是c ( r ”) 上的h a u s d o r f f 距离 3 3 均衡点集的性质 在这一节里我们将要证明全局集值投影动力系统( 3 2 1 ) 的均衡点集非空且闭 定理3 1 1 设：彤_ c ( 酽) 为p l i p s c h i t z 连续，g ：彤一舻是口一l i p s c h i t z 连续且口强单调如果0 o l 1 且 、i j _ 刁+ o + 即 1 则全局集值投影动力系统( 3 ，2 1 ) 的均衡点集非空且闭 证明令 t ( x ) = z g ( z ) + 尸k ( 9 ( z ) 一p ( z ) ) ，v x ，r ” ( 3 3 1 ) 则t ：尼一g ( ，p ) 由定义3 2 1n - j 女l l z + 是全局集值投影动力系统( 3 2 1 ) 的均衡点 当且仅当矿是丁在尼。上的不动点，即是： 矿r ( 矿) = 。+ 一9 ( z + ) + p k ( g ( 矿) 一p n ( x ) ) 一2 1 四川大学博士学位论文 因此，全局集值投影动力系统( 3 2 1 ) 的均撕点集等g t ：p t 的不动点集f ( t ) 我们苕 先证明f ( t ) 是非空实际上对于任意的z ，y r ”以及n 1 丁( z ) ，存在u n ( z ) 使 得 a l ；o 一9 ( z ) + 尸k ( g ( z ) 一p u ) ( 3 3 2 ) 因为u ( z ) ，n ：j p c ( 舻) ，由n a d t e r 引理 4 8 】可知存在v j v ( u ) 使得 令 u u i i 曼日( 忙) ，( ) ) 即= y 一9 ( 9 ) + p k ( g ( y ) 一f r y ) 0 。2 t ( ) 由( 3 3 2 ) 和( 3 3 3 ) ，我f 可以得至0 i | n 1 一n 2 l i = i i z y 一( g ( z ) g ( y ) ) + 尸k ( g ( z ) 一p u ) sl i p k ( 9 ( z ) 一f w ) 一尸k ( 9 ( g ) 一p w ) ) | | + l z y 一( 9 ( 。) 一g ( y ) ) i 因为g 是l i p s c h i t z 连续并且口一强单调，我们得到 ( 3 33 ) b f ( g ( ) 一p v ) ) ( 3 3 4 ) z y 一( g ( z ) 一g ( y ) 1 1 2 ( 1 + d 2 2 p ) i i z 一1 1 2 ( 3 3 5 ) 又因为b f 是非扩张的，由引理2 2 1 ，我们有 l i p k ( 9 0 ) 一p u ) 一j k 0 妇) 一p v ) ) l l si i g ( x ) 一g ( y ) l i + p 1 j u 一训l sa f f 。一| + p f | “一t ，m( 3 3 6 ) 一2 2 四川大学博士学位论文 从 的选择以及是l i p s c h i t z 连续的我 f i n 。知 f f “一 f f h ( ( 。) 白) ) 芦陋一硎 ( 3 3 7 ) 综合( 3 3 4 ) 一( 3 3 7 ) ，我们得到 l l n l 一2 i i ( 、j f f 五f ：忑万+ o l + p p ) l l z 一引i = l i i ：r v 忆 ( 3 3 8 ) 其中l = 、压了i f 习+ q + p i t 显然由( 3 3 8 ) 可知 d ( 。1 ，t ( y ) ) = 。：i n t f ( 们i i 。l “2 j | sl i l 2 一l j 因为n - t ( x ) 是任意的，i t f l 有 s u pd ( a l ，? ( ) ) l l l x y a l e t ( z ) 用同样的方法，我们可以得到 ( 3 3 9 ) s u pd ( t ( z ) ，a 2 ) ljj z 一m( 3 3 1 0 ) a 2 e t ( y ) 综合( 3 3 9 ) 和( 3 3 1 0 ) 以及日在g ( j p ) 上的h a u s d o r f f 距离的定义，我们可以得到 日口( z ) ，t ( ) ) 5l i i x 引h 比，y 彤 ( 3 3 1 1 ) 由( 3 3 1 ) 可知l 1 ，因此t ( x ) 是集值压缩映像m n a d l e r 4 8 】的不动点定理，存 在矿使得矿t x ，这即意味着矿是( 3 2 1 ) 的不动点，这也意味着f ( t ) 是非空 下一步我们证明f ( r ) 是闭的令 。) f ( t ) ，以及z 。一2 ；0 一o 。) ，则 由。t ( x 。) 和( 3 3 1 1 ) 可知 h ( t ( x 。) ，t ( x o ) ) l l l x 。一x o 一2 3 四j ij