（应用数学专业论文）几类孤立波方程的最优控制.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文在变分不等式最优控制理论和分布参数系统的最优控制理 论的基础上，研究了几类孤立波方程的一种很典型的最优控制问题， 形式如下： m i n j ( y ，“) 满足e ( y ，h ) = 0 这儿- ，：y u _ r y u 斗z ；都是充分光滑的函数，y , u 和z 都是 h i l b e r t 空间，z 是z 的对偶，集合y ，u 分别表示状态和控制空间 首先在前人研究的基础上，本文研究了b u r g e r s 方程最优控制的 一些性质，包括给出j 和e 的f 导数，证明了正则点条件，一阶必要最 优条件和二阶充分最优条件然后进一步的研究了在d i r i c h l e t 边界 条件下，k d v b u r g e r s 方程的最优控制问题，根据变分不等式最优控制 理论和分布参数系统的最优控制理论，选择了合适的性能指标j ( y ，“) ， 证明了解的范数与原方程的控制项和初始僮有关；并且给出了方程的 最优控制，还证明了最优解的存在性同时文章还讨论了在n e u m a n n 边界条件下，非线性强度b u r g e r s 方程的最优控制润题用g a l e r k i n 方法证明了非线性强度b u r g e r s 方程在n e u m a n n 边界条件下一个很短 的时间区域内解的存在性通过选择合适的性能指标j ( y ，“) ，进一步给 出了最优控制，并证明了其最优解的存在性 关键词：最优控制，最优解，b u r g e r s 方程，k d v - b u r g e r s 方程，非线性 强度b u r g e r s 方程 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t a c c o r d i n gt o t h eo p t i m a lc o n t r o lt h e o r ya b o u tv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y a n dd i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m ，w eh a v es t u d i e dat y p i c a lo p t i m a lc o n t r o l p r o b l e ma b o u ts o m es o l r a r yw a v ee q u a t i o n s ，t h ef o r mi sa sf o l l o w s ： m i n j ( y ，“) a n d e ( y ，“) = 0 h e r ej ：y u 寸r ，口：y x u _ z ；i sa b u n d a n ts m o o t h f u n c t i o n ，y ，ua n dz a r ea l lh i l b e r ts p a c e ，z i st h ed u a lo f z ，s e ty ，ui ss t a t es p a c ea n dc o n t r o l s p a c e o nt h eb a s i so fp r e s e n t e dr e s u l t s ，t h ep a p e rs t u d ys o m eo p t i m a lc o n t r o l q u a n t i t ya b o u tb u r g e r se q u a t i o ni n c l u d eg i v i n gt h ef d e r i v a t i v e so fja n d p ，p r o v i n gt h er e g u l a rp o i n tc o n d i t i o n ，t h ef i r s t o r d e rn e c e s s a r yo p t i m a l i t y c o n d i t i o n sa n dt h es e c o n d - o r d e rs u f f i c i e n to p t i m a l i t yc o n d i t i o n f u r t h e r , i n v e s t i g a t i n go p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mo fk d v - b u r g e r se q u a t i o n ，a c c o r d i n g t ot h eo p t i m a lc o n t r o lt h e o r ya b o u tv a r i a t i o n a li n e q u a l i t ya n dd i s t r i b u t e d p a r a m e t e rs y s t e m ，c h o o s i n gs u i t a b l ep e r f o r m a n c ei n d e xj ( y ，“) ，t h e ni ti s p r o o f e dt h a tt h es o l u t i o ni sr e l a t e dw i t hc o n t r o li t e ma n do r i g i n a lv a l u e t h e o p t i m a lc o n t r o lo fk d v - b u r g e r se q u a t i o nu n d e rt h ed i r i c h l e tb o u n d a r y c o n d i t i o ni sg i v e na n dt h ee x i s t e n c eo fo p t i m a ls o l u t i o ni sp r o o f e d a tt h e s a n l et i m e ，t h ep a p e rs t u d yt h e o p t i m a lc o n t r o lf o rn o n l i n e a rs t r e n g t h b u r g e r se q u a t i o nu n d e rn e u m a n nb o u n d a r y c o n d i t i o n a c c o r d i n g t o g a l e r k i nm e t h o d ，i ti sp r o o f e dt h a tt h es o l u t i o ne x i s ti na s h o r ti n t e r v a lt i m e c h o o s i n gs u i t a b l ep e r f o r m a n c ei n d e xj ( y ，“) ，t h e o p t i m a l c o n t r o lo f n o n l i n e a rs t r e n g t hb u r g e r se q u a t i o nu n d e rt h en e u m a n n b o u n d a r yc o n d i t i o n i sg i v e na n dt h ee x i s t e n c eo f o p t i m a ls o l u t i o ni sp r o o f e d k e yw o r d s ：o p t i m a l c o n t r o l ，o p t i m a ls o l u t i o n ，b u r g e r se q u a t i o n ， k d v - b u r g e r se q u a t i o n ，n o n l i n e a rs t r e n g t h b u r g e r s e q u a t i o n l i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学位保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。允许论文被查阅和借 阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或j 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在 年解密后适用本授权书。 不保密囱。 指导教师签名： 厂国三 加f 年；月弓d 日 。了 忸啪缸岁 签 年 者佑 箩 敝 沙 位学 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期加d 5 年 抹敬 j 弓月；口日 江苏大学硕士学位论文 1 研究背景 第1 章绪 论 1 8 4 4 年，英国著名物理学家s c o t t r u s s e l l 在英国科学促进协会第1 4 届会 议报告上发表的“论波动”一文中，描述了一种奇特的水波现象：他在运河星发 现了一个奇怪的孤立水波，它以很快的速度向前滚动着，在行进中它的波形和速度 没有明显改变，该水波在1 - 2 英里之外的转弯处消失了r u s s e l l 认为这种奇怪的水 波是流体力学中的一个稳定解，并称之为孤立波，但r u s s e l l 的学说未能使物理学 家们信服他的论断，在此以后有关孤立波的闯题引起了广泛的争论当水域沿特 征方向的水平尺度比水的深度大得多的时候，可作为浅水环境1 8 9 5 年，k o r t e w e g 和d ev r i e s 研究了浅水波的运动，在长波近似，j 、的但为有限的振幅的假定下建立 了单向运动的浅水波运动方程，即著名的非线性k d v 方程他们求解k d v 方程 得出与r u s s e l l 描述一致的形状不变的脉冲状孤立波解，从而在理论上证实了孤立 波的存在现在描述孤波现象的方程包括修正方程很多，重要的如k d v 方程、 b u r g e r s 方程以及k d v - b u r g e r s 方程，其中k d v 方程和b u r g e r s 方程是许多领域中 孤波现象的模型，如可描述冷等离子体的磁流体波的运动；等离子体离子声波液 气两种混合态的压力波：管底下部流体的运动；低温下非线性晶格的声子波包的 热激等因而对孤立波的研究引起了人们极大的兴趣 现代控制理论研究的问题主要包括以下几个方面：( 1 ) 最优控制规律的寻求 如何根据给定的目标函数和约束条件，寻求最优的控制规律的问题，即最优控制 问题在解决最优控制问题的方法中，庞特里驻金的”最大值原理”和贝尔曼 的”动态规划法”得到了较为广泛的应用：( 2 ) 系统数学模型的确定如何根据系 统的输入和输出确定系统的数学模型，即系统辨识问题；( 3 ) 状态向量的求得在 系统数学模型已经建立韵基础上，如何根据受箍机干扰的输出来求状态向量，即 最优估计问题：( 4 ) 最优控制和自适应控制的实现如何用辨识系统动态特性的方 法随时调整控制规律以实现最优控制，即自适应控制的问题 从理论上讲，施加于系统的控制作用，在于影响系统的行为，以达到某种预定 一一 兰茎查堂塑主堂堡垒生一 _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ _ _ - _ 。_ h _ 一 的目标当控制作用是为了系统的性能按某种指标达到最小( 或最大) 时，就是虽 优控制问题显然，人们设计控制系统总希望他达到某种最优的性能例如我们从 事某项工作时总希望在已有的条件下，能以最小的代价换取最大的收益采取何 种手段来达到这样的目的就是我们要研究的最优控制问题也就是现代控制理论 研究的第一个方面 最优控制的思想很早就在人们的认识中产生过，但如何将这个思想用数学语 言来描述，如何用数学方法来论证它，从而形成一套理论体系来指导我们的工作， 这些问题直到本世纪4 0 年代才引起人们的注意维纳( w i e n e r ) 在4 0 年代提出了 相对于某一个性能指标进行最优设计的概念，见文献 1 1 9 5 0 年，米顿纳尔 ( m e d o n a l ) 在4 0 年代首先将这个概念用于研究继电器系统在单位阶跃作用下的 过度过程时间最短的最优控制问题到了5 0 年代末，特别是6 0 年代初，在空间技 术发展和数字计算机实用化的推动下，动态系统的优化理论得到了迅速的发 展1 9 6 0 年，国际自动控制联合会( i f a c ) 第一届世界大会在莫斯科举行，贝尔曼， 卡尔曼。庞特里亚金等在大会上报告了他们的各自工作。引起了人们极大的重视， 逐濒形成了一个重要的学科分支一一最优控制 人类认识客观世界和改造客观世界的历史进程总是由低级向高级，由简单到 复杂在控制领域也是这样最先研究的控制系统都是线性的，但是随着科学技术 的不断发展，人们认识的不断深入，逐渐意识到了任何一个实际的物理系统都是 非线性的非线性是本质，普遍的现象，而所谓的线性只是非线性在特定的条件下 的一种特殊的表现形式因此，近年来非线性问题已成为控制领域的热门方向，见 文献 2 3 ， 因此在进行控制系统的研究时，通常将其划分为线性和非线性两大类线性 系统我们用常微分方程来描述，称为集中参数系统，具有有穷多个自由度非线 性系统我们用偏微分方程来描述，称为分布参数系统，具有无穷多个自由度古 典控制论主要研究集中参数控制，现实世界中所发生的各种现象，从数学角度来 讲，大部分是非线性，分布的，如物体温度变化。地下水渗流，汽油形成，生物种群 演化等都是通过分布参数系统来描述的现代控制论的研究方法从建立在传递函 数基础上的频域法，发展为建立在状态空间上的时域法，其研究对象从线性系统 发展到非线性系统，从确定性系统发展到随机系统，从集中参数系统控制，反馈控 2 江苏大学硕士学位论文 制发展到最优控制，对被控系统根据工程实际要求提出实现准则，寻求系统在满 足一定条件下，使实现准则达到最优的控制方案，就是最优控制研究的课题，最优 控制理论已成为现代控胄q 理论的重要组成部分。 几十年来，最优控制理论不仅有了许多成功的应用，而且已经越过了自动控 制的传统界限，它在系统工程。经济管理与决策，特别是空间技术等众多领域都有 其广泛的应用，收到了非常显著的效果正是上述原因，人们对最优控制的研究日 趋深入，如今对分布参数系统的最优控制研究已成为学术界非常活跃的- - i 1 学科 特别是对非线性孤立波方程的最优控制正处于数学，工程学和计算机科学交叉发 展的前沿 2 研究现状 随着二十世纪六十年代，分布参数系统的鼹优控制问题展开了，布特可夫斯 基在讨论炉温控制时，把热传导方程的某种最优控制问题转化为p o n t r y a g a i n 讨 论过的问题：王耿介联系航天技术中的控制问题，于1 9 6 4 年系统的讨论了分布参 数系统最优控制理论：l i o n s 与m a g e n s 在( 1 9 6 8 ) ，对描述分布参数系统的偏微分 方程( 椭圆型，抛物型和双曲型) 的定解理论作了深入研究，见文献 4 5 中，在 ( 1 9 7 1 ) ，通过引入变分不等式等工具，探讨了各类典型二阶性能指标的最优控制 问题，见文献 6 分布参数系统主要向最优解的存在性，最优性条件，系统的可控性，稳定性和 最优控制问题的求解等方向发展在最优解的存在性及最优性条件方面，人们根 据不同系统作了大量工作由于分布参数本身的复杂性，早期的研究工作主要集 中在线性，半线性且不考虑对状态和控制约束的情形a h m e d 和t e o ( 1 9 8 2 ) 的工 作最具代表性见文献 7 以l a d y z e n s k y a 关于线性与拟线性抛物方程的定解 理论( 1 9 6 8 ) 为基础，将l i o n s 的结论进行了较为全面推广，见文献 8 a h m e d ( 1 9 8 2 ) 给出了一类二阶双曲分布参数系统最优控制存在的必要条件，这是 研究双曲系统最优控制方面较早的研究之一，见文献 9 ：a h m e d ( 1 9 8 9 ) 利用算予 半群，伴随系统及变分不等式等工具，把分布参数系统最优控制理论引入到参数 识别之中，在b a n a c h 空间中，给出了该领域的一抽象理论体系，见文献 1 0 f a t t o r i n i 系统讨论了b a n a c h 空间中，由发展方程描述的最优控制问题最优 江苏大学硕士学位论文 解的存在性及其最优性条件在( 1 9 8 5 ) 中给出了具有非线性边界条件分布参数系 统的非凸最优控制的最大值原理，见文献 1 1 在( 1 9 9 1 ) 和( 1 9 9 3 ) 对具有状态约 束最优控制问题的p o n t r a g i n 进行了深入研究，见文献 1 2 1 3 在( 1 9 9 4 ) 研究 了抛物型分布参数系统边界控制问题：得到了关于d i r i c h l e t ，n e u m a n n 和r o b i n 边界最优控制问题的p o n t r a g i n 原理，见文献 1 4 儿1 5 在( 1 9 9 9 ) 对最优控制理 论( 主要是关于最优解的存在性及其必要条件) 及所作的工作进行了全面的概括 和总结，见文献 1 6 在f a t t o r i n i 等人工作基础上，r a y m o n d 与z i d a n i ( 1 9 9 9 ) 着 重研究了半线性抛物系统的最优控制问题，在边界条件的非线性项既不单调又非 l i p s c h i t z 连续及分布，边界控制没有有界性约束的条件下，利用一种新的正则 性结果，获得了关于分布，边界及初值控制的三个分离形式的p o n t r y a g i n 原理， 且该结果可以应用于具有状态约束的最优控制问题之中，见文献 1 7 m o s s i n o ( 1 9 7 5 ) 是最早研究具有状态约束分布参数系统最优控制的学者之一， 见文献 1 8 m a c k e n r o t h ( 1 9 8 2 ) 研究一具有逐点控制约束的抛物型最优控制问题。 通过选取适当的泛函空间，证明问题最优控制的存在性，见文献 1 9 在此基础 上，c a s e s 在( 1 9 8 6 ) 年研究了具有逐点状态约束的线性椭圆方程最优控制问题。 并证明了最优控制的存在性，给出了最优性条件及最优解的正则性结论，见文献 【2 0 ：此后c a s a s ( 1 9 9 3 ) 研究了具有状态约束的半线性椭圆边界控制问题，见文 献 2 1 在( 1 9 9 6 ) 中c a s a s 利用峰值摄动法，给出了拟线性椭圆方程边界最优控 制的p o n t r y a g i n 原理，见文献 2 2 】：结合李训经等人的工作，在( 1 9 9 7 ) 和( 2 0 0 0 ) 就具有逐点状态与控制约束的半线性抛物型边界最优控制进行了研究，得到了问 题最优控制存在的p o n t r y a g i n 原理，给出了最优控制的正则性条件，为该类问题 的研究建立了统一的抽象理论框架，进一步，通过引入扩散摄动，s o b o l v e 嵌入定 理及偏微分方程解的正则性理论，见文献 2 3 2 4 c a s a s ( 2 0 0 1 ) 研究了具有梯 度形式状态约束的半线性抛物型最优控制的p o n t r y a g i n 原理，见文献 2 5 此外， c a s a s 和t r o l t z s c h 等还就分布参数系统最优控制最优解存在条件进行了研究， 论证了同时具有逐点状态与控制约束，且具有半线性边界条件的半线性椭圆型方 程描述的边界最优控制局部最优控制存在的二阶充分条件，见文献 2 6 f e r n a n d e z ( 2 0 0 0 ) 研究了一类更具有代表性与普遍性的，具有关于状态变量 的梯度形式的等式与不等式约束的散度形式的拟线性抛物型边界最优控制问题， 4 江苏大学硕士学位论文 其中控制变量含在状态方程的高阶导数项系数中，通过引入适当的函数空间，证 明了最优控制的存在性。状态变量对控制的连续性与可微性，并给出了最优控制 的一阶必要条件，见文献 2 7 j d r o n o u 和k a y m o n d ( 2 0 0 0 ) 研究了含有测度数据的 半线性抛物型方程描述，且具有逐点状态约束的最优控制问题这类问题具有广 泛的应用背景透过引入对换法和测度理论，证明了问题最优控制的存在性及其 必要条件，见文献c 2 8 1 在国内，李训经等利用算子半群，粘性解，凸分析，s o b o l e v 空间理论，在分布 参数系统的时间最优，最大值原理，缺乏c e s a r i 条件下最优控制的存在性及可控 制性等诸多方面取得了许多有代表性的成果：李训经和雍炯敏的论著( 1 9 9 4 ) ，对 分布参数系统最优控制和无穷维空间最优理论的发展产生了重大的影响，陈任昭 基于l i o n s 的理论体系，具体应用于人口，生物署申群等系统的最优控制中，取得了 许多重要的成果( 1 9 9 0 ) ，见文献 2 9 3 ，( 1 9 9 6 ) 见文献 3 0 ，( 2 0 0 0 ) ，见文献 3 1 3 ： 另外，宋健与陈任昭等利用分布参数系统理论研究了人口预测与控制问题高夯 ( 1 9 9 9 ) 把c l a r k 的非光滑分析理论引入分布参数系统最优控制之中，证鹎了一类 半线性抛物方程描述的非凸最优控制问题最优解韵存在性及其基于变分不等式 的最优性必要条件，见文献 3 2 ：并研究了由椭圆型方程描述的空间区域最优控 制问题，给出了最伉控制区域存在的基本条件( 1 9 9 9 ) ，见文献 3 3 王康宁在 ( 1 9 8 5 ) 把集中参数系统最优控制中的相关理论推广到分布参数系统之中，并就最 优解存在性，可控制性，能达性及可观性进行了深入探讨，见文献 3 4 中：在( 1 9 9 5 ) 研究了具有二次性能指标和具有时问性能指标的线性抛物型分布参数系统最优 控制存在的必要条件，并给出了用算予方程形式的半线性抛物型系统控制存在的 最大值原理，见文献 3 5 由于求解分布参数系统最优控制的复杂性，与对它的定性理论相比，相应算法 的研究明显滞后由于工程技术领域，经济管理和资源分配等实际应用部门的需 要及非线性规划算法和计算机技术的迅速发展，对求解最优控制问题的优化算法 硕究近年来受到人们的重视，并得到了较大的发展，成为最优控制理论中的一个 重要的组成部分和解决实际问题的一有力工具 最优控制的优化算法主要内容是研究这类问题各种数值计算方法，并研究算 法的收敛性和收敛速度等这些内容多数是把变分法和求解非线性规划的方法加 江苏大学硕士学位论文 以改造，移植和拓展丽得到早在1 9 6 0 年，h o r n 和k e l l e y 就发表了后来在庞特里 亚金最大值原理中利用的伴随方程组的梯度法，b r e a k w e l l 和b r y s o n 等以不同的 方式采用n e w t o n 方法研究了求解最优控制问题，r u e e s l 证明另外当系统关于控 制为线性时可用罚函数方法求解约束最优控制问题，b a l a k r i s h n a n 提出了” b a l a k r i s h n a n s 一方法”，而且推出了庞特里亚金最大值原理，t e o 在p o l a k 和 m a y n e 关于集中参数系统最优控制优化算法研究的基础上，对分布参数系统最优 控制问题的优化算法进行了深入的研究，在( 1 9 8 3 ) 分别就由带有第一类，第二类 边界条件的二阶线性抛物型偏微分方程描述的无约束最优控制和松弛最优控制 问题的优化算法进行了研究，并针对不同的目标泛函提出了强变分法，条件梯度 法和可行方向法，且从理论上证明了各种算法的收敛性，还给出了相应的数值计 算实例，见文献 3 6 在我国，富锡芳对最优控制问题的计算方法作过系统的研究： 陈祖浩研究了约束最优控制问题的罚函数方法，用统一的理论提供了若干充分和 充要条件来处理带罚函数的最优控制问题趋于原最优控制问题，还解决了 r u e e s l 提出的困难问题由于连续系统最优控制问题是在无限维空间内讨论的， 故最优控制的计算方法远较有限维非线性规划问题的计算方法为复杂，迄今为止， 最优控制问题的计算方法的研究，在深度上和广度方面都远不如非线性规划的最 优化计算方法的研究，一些最优控制问题的计算方法，如最优控制罚函数方法等， 其收敛速度等问题都还没解决这将是最优控制方向研究的热点之一 二十世纪八十年代后期，出现了广义分布参数系统它是比分布参数系统更为 广泛的一类系统，如电缆信号传播，图象处理，气体吸附，磁流，电磁耦合超导线路 中的电压分布等，与一般分布参数系统有着本质上的区别，当系统受到干扰时，不 仅会使系统失稳，而且会使系统结构发生变化近年来，广义分布参数系统的研究 为人们所重视，提出了广义分布参数系统最优控制与参数识别概念对于前者在理 论上的结果极少，而对于后者的研究目前尚未开展由于广义分布参数系统最优控 制与参数识别具有广泛应用前景，对该问题的研究必将对工程系统，经济与社会系 统，生命科学与材车车科学等产生重大影响。这也将是今后研究的另一热点 3 研究方法 最优控制问题从数学上来说，是一个变分学问题但是经典变分理论只能解 江苏大学硕士学位论文 决一类简单的最优控制问题，因为它只对无约束或开集性约束是有效的而实际 上碰的更多的却是容许控制属于闭集的一类最优控制问题这类问题从数学上可 作如下描述，设受控系统的状态方程为堕掣= ，g ( f ) ，“o l f ) i 其中x r “是系统的 o f 状态，“( ) 是控制作用由于技术条件等众多因素的限制，控制作用的取值“( f ) 不 可能是任意的，而必须是有限制的，在数学上可以把这种限制表示为 u ( t ) e u c r ”这里u 是胄4 中的给定集合，称为控制域当控制“( ) 具有某种可 测性，并且适合于对控制作用的限制时，称“( ) 为容许控制，记为“( ) e 【o ，通常 u 。是由逐段常值，逐段连续或可测函数组成设给定了t 。r ，r 4 和 三e - 尺“，材( ) eu 。，x “) = x 。，状态方程的解为x 。x = x 0 ( ) ，) 如果存在 t 。，使 得x 0 ( 1 f 1 ) e 三，就称”( ) 把系统从状态z 。迁移到最优控制问题在数学上可叙 述为：选取“( ) u 。，使得状态方程以k ，f o ) 为初值的解x 0 ( x f ) e l ，且性能指 标，0 ( ) ) = f ，( 七( x r ) ，“o l f 取i l v j 、 在5 0 年代末6 0 年代初，对于最优控制理论出现了众多的新方法，有两种方法 最富有成效，它们和变分法奠定了最优控制的理论基础一种方法是原苏联数学 家庞特里亚金的”极大值原理”，见文献 3 7 1 ：另一种是美国学者贝尔曼 ( b e l l m a n ) 的”动态规划”见文献 3 8 受分析力学中哈密尔顿原理的启发庞 特里亚金等人把”极大值原理”作为一种推测首先提出来，随后作出了严格的数 学证明”极大值原理”发展了经典变分原理，成为处理闭集性约束变分问题的 强有力的工具”动态规划”是贝尔蔓5 0 年代中期创立的，他依据最优性原理， 发展了变分学中哈密尔顿一雅可比理论，构成了”动态规划”，贝尔曼用动态 规划方法讨论最优控制问题，得到了人们称之为贝尔曼方程的必要条件它是一 种适用于计算机计算，处理问题范围更广的方法到了6 0 年代，卡尔曼( k a l m a n ) 等人具体研究了线性二次最优控制，建立了最优线性反馈调节器设计的理论基础 提出了可控制性及可观测性概念，见文献 3 9 4 0 建立了最优估计理论 最优控制理论中最基础，最成熟的部分是线性控制系统的理论方法，特别是 线性二次( l q ) 控制理论，它是最优控制理论中用的最广最有成效的部分，是进行 江苏大学硕士擘位论文 系统最优控制研究的基础另外，一些学者在研究l q 控制的逆问题，见文献 4 1 尽管如此，l q 控制仍有一些重要问题未解决好( 如计算机效率和大系统降价等) 在以后相当长的时间内，这方面仍将是人们继续研究的对象 本课题主要研究的是几类孤立波方程的最优控制，属于分布参数系统，是由 微分方程( 组) 所描述的系统为进一步说明怎样对分布参数系统进行最优控制。 我们引用一关于物体温度控制的典型的抛物型分布参数系统最优控制实例，见文 献 4 2 设物体在点工q 和时刻r e f o ，丁】的温度用函数日g ，t ) 描述，区域 q er 3 ，【o ，r 】为所研究物体的温度变化时间区间若物体中不同点的温度存在差 异，则将产生热流g g ，) 由f o u r i e r 定律，可表示为 q ( x ，r ) = - k ( x ，t ) v o ( x ，f ) g ，f ) q 【0 ，t 】 ( 1 1 ) 其中，k ( x ，t ) 为物理的热传导系数在( 1 1 ) 中，负号表示热流的方向与温度的梯 度方向相反，因此，热量总是从温度高的地方流向温度低的地方在任意点x q 处取一面积微元嬲，并设其单位法向量为一，因此在持续时间d t 内，通过该片表 面沿方向 的总热流量为 d o = g 。n d s d t = - ( r v o ) d s d r( 1 2 ) 若设区域n 内固有的热容为c g ) ，则在n 中任一以q 为中点的球b 内的总的 热量为l c b 汐g ，f 协该量是关于时间的函数，并且由于通过球b 的边界的热 流与球本身所具有的热源，变化这样在b 中，总的热容为 堙= _ l 脚毋以d s + l 他k 式中，n 表示边界抛的外法方向由式( 1 2 ) ，热量守恒定理，g r e e n 公式，可得 l c g ) 警出= 一胛一嘏+ 肛= l v ( 胛口皿+ 似 由于上式对n 中所有充分小的球b 均成立，故可得到下面方程 c 詈一v ( r y e ) = ，o ( o ，r ) ( 1 3 ) 当c ；1 ，k s l f = 0 ，时即所得到一般的导熟方程：伊一疗= 0 8 江苏大学硕士学位论文 下面考虑问题的边界条件若边界a n 上的温度给定，则有 = 妒 ( 1 4 ) 该边界条件称为d i r i c h l e t 边界条件若边界a q 上的热流量给定，则有 擘) 神：驴 ( 1 5 ) 这种边界条件称为n e u m a n n 边界条件当然可以给出许多更复杂的边界条件例 如，若边界上热流与局部温度成比例，则有下面的r o b i n 边界条件 ( 掣+ 甜) 。：o ( 1 6 ) 如果进一步绘出物体的初始温度吼，即 日。= 岛0 ) x e q( 1 7 ) 那么在适当的条件下，基于初始条件( 1 7 ) 和上面的三种边界条件之一，可以求得 方程( 1 3 ) 的解酬x ，) 下面考虑基于上面的微分方程的一些控制问题为了明确起见首先考虑由 方程( 1 3 ) ，边界条件( 1 4 ) 及初始条件( 1 7 ) 所描述的系统假设可以改变方程 ( 1 3 ) 右边的源项，显然不同的，将得出不同的解口因此为了得到一所要求的 温度分布p g ，f ) ，可以选取一适当的，使得问题的解口g ，r ) 在某种意义下口g ，f ) 充分接近于口( x ，f ) ，直观上讲，这就好比在冬天烧暖气使室内的温度升高，在夏天 f 开空调使得室内的湿度降低通常把毋称为关于，的状态，雨，称为控制方程 ( 1 3 ) 称为状态方程，在上面的情形中，控制是在状态方程的右边，或者说控制是 作用在区域q 的内部。称这种控制为分布控制，若可以改变区域边界8 q 上的温 度，即可以改变p ，称妒为边界控制 显然，方程( 1 3 ) 及条件( 1 4 ) ，( 1 7 ) 给出了一通过，确定口的独特方式把 这样一指明状态与控制之阕关系的对象称为控制系统因此，( 1 3 ) ，( 1 4 ) 和( 1 7 ) 为一控制系统，而( 1 3 ) ，( 1 5 ) 和( 1 7 ) 为另一控制系统 有时为了按一最佳的方式实现某种目标，比如，使得花费时间最少，消耗能量 最低等，这就涉及到最优控制问题因此，为了实现最优控制，必须给出其它的准 9 江苏大学硕士学位论墨 则来衡量控制系统的性能该准则称为效用( 目标) 函数以上面的控制系统。 ( 1 - 3 ) ，( 1 。4 ) 和( 1 7 ) 为例，其中f 为控制要求系统豹解臼( x ，f ) 接近口g ，f ) 因此， 可定义如下目标泛函： j u ) ：f 占b ，) 一孑b ，r j 2 出面+ f 上i 厂b ，1 2 c 蠡d ， 我们的目标是通过选取适当的j - 使得j u ) 最小在上式中，第一项要求日接近8 ， 丽要求能量消耗不要太高当然，可给出其它类型的目标函数若p 为控制，可添 加f 眵g ，f 弘础在目标泛函中 若在给定时间，内，使得区域。的温度口g ，丁) 接近8 g ) ，则可定义目标泛函 ，仃) = 1 8 g ，r ) 一否g 1 2 呔+ f l ，g ，r 】2 出出 现在假设物体的初始温度为岛g ) ，并要求口( x ，f ) 尽可能的接近占g ) ，在该情 况下，可按下面的方式来定义目标泛函首先利用2 心) 范数来度量温度的接近 程度，设s 0 为给定的精度，记 q = y r ( q x p 一否0 p ，s s 对于任意的控制f ，设相应的温度分布为占g ，f ；，) 因此，目标泛函为： r c 厂) = i n f t o , e ( - ，) q ， 我们的目标是最小化该目标泛函该问题称为时间最优控制问题 以上就是引用的关于物体温度控制的典型的抛物型分布参数系统最优控制 实例，这将有助于我们进行进步的研究 在某些实际问题中我们关心的不是求出最优控制作为时间的函数，而要把各 时刻的控制表达成当时状态的函数：材( ，) = d 晰) ，f ) ，因为这样便于实时地根据 当时状态确定各时刻应施加的控制，这叫作最优控制的综合当然这种表达式不 易找到，只是在很特殊的情况下才能求出来，因此在解决实际问题时，要善于简化 使得模型既能反映实际系统，又能求出上述形式的表达式例如，对于二次性能指 1 0 江苏大学硕士学位论文 标的线性系统，综合问题早已解决，最优控制规律是按状态为线性的负反馈控制 律，而反馈增益能通过解r i c c a t i 方程的末值问题算出，见文献 4 3 4 4 最大值原理在最优控制中占有很重要的地位最优控制的必要条件一最大 值原理，把古典变分学中极值曲线的必要条件，最优开关原理等做为应用实例但 是，古典变分学不能处理最优开关控制问题所以人们说最优控制理论是变分学 适应控制过程问题的新发展然而，美国的伯科维茨( ld b e r k o v i t z ) 1 9 6 1 年指 出，运用芝加哥( c h i c a g o ) 学派在本世纪三十年代发展的变分学方法，也可证明最 大值原理但是，庞特里亚金关于最优控制问题的叙述和最大值原理是与控制系 统的最优设计问题紧密结合的，所以人们还是愿意把最优控制理论视为变分学的 新发展，而不把它归结为变分学的一部分 从抽象的观点来看，最大值原理无非是一个极值问题的一阶必要条件。所谓 极值问题的一阶必要条件，粗糙的说，是指：x t 于一个定义在某个带线性结构的集 合上的函数，如果它在该集合的某点上达到极小值，那么函数在该点上对于任 何”容许方向”上的”方向导数”都不小于零如果集合很正规，例如，m 维空间 ( 对应m 个变量的无约束最优化问题) ，由多变量光滑函数的等式确定的流形( 对 应带等式约束的最优化问题) ，而被求极值的函数又是光滑的，那么我们立即导得 熟知的f e r m a t 定理和l a g r a n g e 乘子定理最优控制问题的困难恰恰在于它所涉 及的极值问题中，自变量变化的集合不太正规：这里被求极值的函数是控制问题 的目标函数，其岛变嚣是状态和控制，而它们的变化范围由状态方程和容许控制 集等来决定即使目标函数对状态与控制来说都很正规，但状态方程与容许控制 集合会使这个函数在一个古怪的集合上求极值：或者把控制也用状态来隐含表示 时，目标函数会变成状态的古怪的函数这样一来要弄清集合在一个点上的”容 许方向”和函数的”方向导数”都变的不太容易这就引起后来的最大值原理的 非光滑分析 微分方程是描述控制系统的数学工具，所以微分方程理论成为最优控制系统 设计理论的基础和工具 4 本文的主要工作 本文主要研究几类孤立波方程的最优控制，有b u r g e r s 方程。k d v b u r g e r s 方 江苏大学硕士学位论文 程和非线性b u r g e r s 方程，包括证明方程解的存在性。给出最优控制和最优条件， 证明最优解的存在性和正则点条件以及证明一阶必要最优条件和二阶充分最优 条件等本文的具体内容为： 第三章：在前人的基础上继续研究了b u r g e r s 方程最优控制的一些性质，包 括给出性能指标j 和必须满足的初边值条件的算子e 的f 导数算子e ( y ，“) 是满 射的，如果b ，“) x 是p 的一个最优解，可以推断存在l a g r a n g e 乘予满足一阶 必要最优条件和二阶充分最优条件，并且f b ，“，刀，声) 在整个空间x 上是强制 的 第四章：深入研究k d v b u r g e r s 方程的最优控制问题，根据变分不等式最优 控制理论和分布参数系统的最优控制理论，运用第二章的知识，并选择了合适的 性能指标y ( y ，“) ，证明了在一个特殊的b a n a c h 空间上解的范数与原方程的控制 项和初始值有关：并且在2 空间中给出了方程在d i r i c h l e t 边界条件下的最优 控制，进一步还证明了最优解的存在性 第五章：研究了在n e u m a n n 边界条件下，非线性强度b u r g e r s 方程的最优控 带4 问题： y 。一。+ y ”y x = ， 用g a l e r k i n 方法证明了非线性强度b u r g e r s 方程在n e u m a n n 边界条件下一 个很短的时间区域内解的存在性进一步给出了在f 空间中的最优控制，并证明 了最优解的存在性 江苏大学硕士学位论文 第2 章预备知识 1函数分析的预备知识 1 1 有界线性算予 我们取妒，l i - il ，) 是一个普通的线性空间集合b v ；r ) = be y ：一m b x ，定义如下： ( a 2 , x ) r 。= ( a x ，旯) r ， 对所有的x x ， y 弓f 理2 1 ：如果x ，y 是两个实的h i l b e r t 空间，x ，y + 分别是它们的对偶，给出 4 l