（应用数学专业论文）具有限时滞广义liénard方程的hopf分支.pdf

摘要 本文以b 为分支参数讨论具有限时滞广义l i d n a r d 方程 掣+ g ( z ( t 一，) ) ：。r 的零解的稳定性及h o p f 分支问题( b 的定义见下文) 我们首先在( r ，b ) 参数平面内给出一张分支图，根据此图能够给出在( nb ) 参数平面内方程 零解的稳定性和不稳定性区域，以及方程产生h o p f 分支的h o p f 分支曲 线接着我们应用h a s s a r d 的计算h o p f 分支的“规范型“方法，给出 了在第一条分支曲线上分析h o p f 分支性质的公式最后，我们将已经得 到的判断h o p 分支性质的计算公式应用到一个具体的例子上，求出这个 方程的h o p f 分支周期解的稳定性，分支方向及分支周期解的近似表达式 关键词广义l i d n a r d 方程，h o p f 分支，稳定性，周期解，r 一口 划分法 n a b s t r a c t t h i sa r t i c l es t u d i e st h es t a b i l i t ya n dt h eh o p fb i f u r c a t i o no fz e r os o - l u t i o no ft h eg e n e r a l i z e dl i d n a r de q u a t i o n 争州删訾+ 9 ( z ( ) ) 瓠 w i t hf i n i t et i m ed e l a y , w h e r ebi sb i f u r e a t e dp a r a m e t e r ( t h ed e f i n a t i o no f bw i l lb es h o w nl a t e r ) ，f i r s t l y , w eg i v et h eb i f u r c a t i o nd i a g r a mi nt h ep a - r a m e t e rp l a n e ( r ，b ) ，a c c o r d i n gt ow h i c hw ec a n 舀v et h es t a b l ea n du n s t a b l e r e g i o n so f t h ee q u a t i o n sz e r os o l u t i o na n dt h eh o p fb i f u r e a t e dc u r v eo f h o p f b i f u r c a t i o ni nt h ep a r a m e t e rp l a n e ( r , b ) s e c o n d l y ，w es h o wt h ec a l c u l a t i n g f o r m u l a ea b o u tt h eq u a l i t yo fh o p fb i f u r e a t i o ni nt h ef i r s tb i f u r c a t e dc u r v e w i t ht h en o r m a lf o r mm e t h o do fc a l c u l a t i n gh o p f b i f u r c a t i o n l a s t l y , w ea p - p l yt h ef o r m u l a ea b o u tt h eq u a l i t yo fh o p f b i f u r c a t i o nw eh a v eo b t a i n e dt o ac o n c r e t ee x a m p l e ，c a l c u l a t i n gt h es t a b i l i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n ，t h ed i r e c t i o no fh o p fb i f u r e a t i o na n dt h ee x p r e s s i o no fb i f u r c a t e dp e r i o d i cs o l u t i o n k e y w o r d s ：t h eg e n e r a l i z e dl i d n a r de q u a t i o n ，h o p fb i f u r c a t i o n s t a b i l i t y ，p e r i o d i cs o l u t i o n ，r dd e c o m p o s i t i o n 独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表的研究成果，也不包含他人为获得东北师 范大学或其它教学机构的学位或证书而取得的研究成果。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 签名：彦口日签名： 崖笪盟 日期：婴噜盟 关于论文使用授权的说明 本人了解并遵守东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留、向国家有关部门送交学位论文的复印件，允许论 文被查阅和借阅：学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影 印、缩印或其它复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名：麈! 旦 日期：鲤聋i 8 指导教师签名渔垦刍 日期：坦塾翻 5 1 引言 考虑具有限时滞的广义l i d n a r d 方程 掣+ m ( t ) ) 掣+ a ( x ( t r ) ) = 0 ， ( 11 ) 其中f ，g c 4 ，f ( 0 ) = 一k 0 ，g ( 0 ) = 0 ，0 ( 0 ) = b 0 ，而r 0 是滞量 关于方程( 1 1 ) 的h o p f 分支问题的研究工作开始于2 0 世纪7 0 年 代当方程( 1 1 ) 中的g ( o ) = 1 时，1 9 7 7 年，k h a l e 在文【1 中首次给出 了以k 作为分支参数方程( 1 1 ) 存在h o p f 分支的结果1 9 9 1 年潘家齐和 岳锡亭在文f 2 】中采用h a s s a r d 的”规范型”方法给出了以作为分支参 数时的计算h o p f 分支的公式，根据此公式能够判断出该方程h o p f 分支 所产生的周期解的稳定性，估计周期解的周期以及确定分支方向1 9 9 8 年 唐风军等人在文【3 】中考虑了方程( 1 1 ) ，并将方程( 1 1 ) 称为广义l i d n a r d 方程，他们以滞量r 作为分支参数证明了h o p l 分支的存在性，并同时给 出了计算h o p f 分支的公式2 0 0 0 年徐鉴等人( 见文【4 】) 在研究一类时滞 v a nd e r p o l d u f f i n g 方程的h o p f 分支问题时，提出了一个在方程 ( 1 1 ) 中以b 作为分支参数研讨方程( 1 1 ) h o p f 分支的问题但是他们并没 有给出计算h o p f 分支的公式，而且也只是用数值模拟的方法给出了一条 分支曲线本文我们将对方程( 1 1 ) 以b 作为分支参数的h o p f 分支问题 进行详细的分析，理论上得出了参数b 在一定条件下，方程( 1 1 ) 将发生 h o p f 分支，并用中心流形和规范型理论给出了分支周期解的稳定性，分支 方向以及分支周期解的近似表达式等计算公式本文的具体安排如下： 在第二节我将以潘在文【5 】中引入的r d 戈分法为基础，把b 作为分 支参数给出了h o p f 分支产生的条件，并同时在( r ib ) 参数平面内给出一张 分支图，根据此图能够给出在( nb ) 参数平面内方程零解的稳定和不稳定区 域在第三节我将以b 作为分支参数用h a s s a r d 等人在 1 l 】中介绍的一规 1 范型n 方法给出了在第一条t t o p y 分支曲线上的计算n o p f 分支的公式在 第四节作为这个公式的一个应用，还讨论了具有限时滞的v a n d e rp o l d u r ，i n 9 方程的l r o p f 分支，用本文给出的计算z - i o p l 分支的公式，得到 了该方程的n o p f 分支周期解的稳定性，分支方向及分支周期解的近似表 达式等情况。 通常，在研究方程( 1 1 ) 的u o p y 分支问题时，参数，r ，b 是主要考虑 的分支参数，因为只有这三个参数出现在关于平衡解的线性近似方程中 通过本文的工作和上述已有的结果，能够使我们在( r ，k ，b ) 参数空间中对 方程的n o p l 分支问题有进一步的认识 2 5 2 h o p f 分支的存在性 掣+ m ( t ) ) 掣+ 9 ( z ( t r ) ) 地 令f ( x ) = 譬f ( s ) d s ，则方程( 1 1 ) 等价于 雠v ( t 淳g ( x ( t 销) ) j 皿- ) 1 ) r ) ) 卜。叫 系统( 2 1 ) 在平衡点( 0 ，0 ) 处可以表示为 f 圣( t ) = 可( t ) + k 茁( ) 一；巾) z 2 ( t ) 一；如) z 3 ( t ) + 。( 茁4 ( t ) ) ， 1 鳓) = 也( t - r ) 一；i ( o ) 以t r ) 二：誊( o ) 攻t r ) + d 卜r ) ) 系统( 2 2 ) 的线性部分是 圣( t ) = ”( t ) + k x ( t ) ， 11 7 ( t ) b x ( tr ) a 2 一a + b e 一1 = 0 ( 2 3 ) 令a = i w ，u 0 是( 2 3 ) 的根，得到两个实方程 w 耳2 u - + b c b 0 8 s i n w r 詈0 ( 2 4 ) l 耳u += p 已知假设u 0 ，b 0 ，k 0 ，9 ( ，r ) 在每个厶上都恰有一个零 点，k = 0 ，1 ，2 ，一 证明：实际上，由9 ( ，r ) 的表达式知 9 ( 2 帆r ) - = 新 0 ， 故g ( f ，r ) 关于在厶上是严格单调增加的，所以在每个厶上恰有一个零 点 定理2 2 ( 1 ) 对于任意正数r ，g ( f ，r ) 在上有无穷个零点 如( r ) ，1 ( r ) ， ， 且靠( r ) i k ，k = 0 ，1 ，2 ， ( 2 ) 令o j k ( r ) ：= ；靠( r ) ，那么u ( r ) 是定义在r ( o ，+ o o ) 上的解析函 数，且w k ( r ) 0 在( 0 ，+ o 。) 上成立 证明： ( 1 ) 对任意的厶ci ，都有 9 ( 2 七”，r ) = k r o 由引理2 1 知：存在唯一的& 厶，使得9 慨，r ) = 0 ，七= 0 ，1 ，2 ，这 样，9 ( f ，r ) 在，上有无穷个零点 岛( r ) 点( r ) ，) ，且 4 ( 2 ) 令= 矗( r ) 如( 1 ) 中所给出，因为9 ( ，r ) 是解析的，由引理2 1 的证明和反函数定理，可知& ( r ) 是定义在( 0 ，+ 。) 上的解析函数，因此 w k ( r ) 是( 0 ，+ 。) 上的解析函数因为w k ( r ) 满足( 2 4 ) 的第一个方程，所 以微分后可得 讥( r ) = 二些坚型蟹二 。 其中 h = ( k + u ) 2 + ( 2 w 一k r w ) 2 ( 3 ) 将“( r ) ：- - k w k 对r 进行微分，得 s i n u r 如( r ) 2 五主万曲t ( 一k s i n u t r + k r w kc o s o j k r ) + 耳u ；c 。s u t r 】 再将( 2 8 ) 式及s i n w k r = t - - k w k ，c 。s u t r = 譬代入上式，得 弧r ) - 丧 羔( 警+ k 。r 。w 2 ) + 垡b k 】 = 禹鬻2k r ) b k = 糟k ( 2 。，若 女( r ) ( 2 7 r ，2 七7 r + ) ，罚b 么 ，旦矗( r ) 2 k u 6 由于靠( r ) 是( 0 ，+ o 。) 上的严格单调递增函数且又有界，这样，下面的 极限存在，l i - + r a 。k ( r ) = ：，而且2 k 7 rs 嚣s2 k 7 r + i 7 t 下面证明= 2 k 7 r 因为矗( r ) 是方程9 ( ，r ) = 0 的解，于是有 ；觋g ( 靠p ) ，r ) 29 ( 菇，o ) 2 靠s i n 2 o ， 若2 k 7 r 0 这样，9 ( ，o ) = 0 成立当且 仅当= 2 七7 r 于是有 脚靠( r ) = 2 h 因此 州l i m ( r ) = 棚l i mr - 8 k i n 缸五= + 。 ( 4 ) 若0 t + i w 是方程( 2 3 ) 在b = b o ( r ) 处的根，且a 0 ，u 0 ，那 么q 和u 必须满足方程组 r ( a ，u ) ：= a 2 一u 2 k 口+ b o e 一。c o s u r = 0 j - ( o ，“j ) ：= 2 a w k o o b o e 一os i n o ) r = 0 我们将指出这是不可能的首先考虑，( o ，u ) ，对任意的o 0 有 ，( 口，0 )= 0 ， ，( 0 ，) = 一k w o + 面1 4 1 丽0 3 0 s i n 蛳r = o ， ( a ，0 3 0 )= 2 a u o k w o b o e 一7 0s i n w o r = 2 a w o k w o 牟k w o e 一”o = 2 触j o k w o ( 1 一e 1 8 ) 0 ， l u ( a ，u ) = b o r 2 e r a s i n w r 0( 0 0 使得j ( 口，w ) ：0 ，那 s i n r 么有u 0 ，有 r ( a ，0 ) r ( o ，w o ) 几陋，u ) 0 2 一n + b o e 一7 0 n z k q 一面k w o 万e - r a o ( o w o r ；)s l n u n r z = 一“0 2 + b oc o s w o r = 0 = - 2 w b o r e 一7 0 s i n w r ：一2 u + _ k w o r e - r as i n w r 0 ( o u r 罢，o 一k + k w o r c o s w o r ：一( 竺竖差掣) 0 ( o 0 ，使得冗( q ，u ) = 0 ，那么有u w 0 ， 这就是一个矛盾这样特征方程( 2 3 ) 在b = b o ( r ) 时就没有具正实部和正 虚部的复根同理可证特征方程( 2 3 ) 在b = b o ( r ) 时没有具正实部和负虚 部的复根 引理f 4 】2 4 设c ，d 0 ，方程( z 2 + c z ) e 5 + d = 0 的所有根有负实 部的充要条件是c 和d 满足不等式1 一d s 删i n y 0 ，其中可0 满足方程 y = e c o t y 由引理 4 12 4 ，有 定理2 5 若参数值( r ，b ) q l = ( r ，b ) l r 0 ，0 b 0 ，特征方程( 2 3 ) 的所有根a 都有严格的负实部 由定理2 3 和定理2 5 ，可给出方程( 1 1 ) 的零解的局部分支图，即有 下面的： 定理2 6 对于方程( 1 1 ) ，下列结论成立： ( 1 ) 若( r ，6 ) q l ，则方程( 1 1 ) 的零解是局部渐近稳定的 ( 2 ) 若( r ，砷q 2 ，则方程( 1 1 ) 的零解是不稳定的 ( 3 ) 对任意给定的0 r 0 ，0 b o ( r ) ) 总结结果如图 9 3 h o p f 分支的分析 在第2 节我们得到方程( 1 1 ) 在6 = b o ( r ) 处产h o p f 分支的条件，本 节我们将应用h a s s a r d 等在【1 1 】中介绍的“规范型”方法给出方程( 1 1 ) 在b = b o ( r ) 处的h o v l 分支方向，分支周期解的稳定性等的计算公式 为方便，令b = b o p ，r ，b o 由定理2 3 所定义，那么p = 0 是方 程( 2 3 ) 的g o p f 分支值，则( 2 2 ) 等价于系统 圣( t ) 5 可( t ) + k z ( ) 一i ，( 0 2 士2 ( t ) 一；，( o ) z 3 ：) + o ( 。4 ( t ) ) ， 【雪o ) = ( 一6 0 + p ) $ o r ) 一；口( o ) 茹2 0 r ) 一；爹( o ) z 3 p r ) + 。( $ 4 0 r ) ) 粼型( - b o 麓u 烈) x 句( t 叫 ( 3 2 ) l 雪0 ) = + 一r ) p 。 记c 卜r ，o = 妒i 多：【一r ，o 】_ r 2 ，妒的每个分量有k 阶连续导 数) 为方便，记c - r ，o 】为c o 卜r ，0 】在g 卜n 0 3 上定义算子族“， 对毋( 口) = ( 1 ( 口) ，2 ( 口) ) r g 【一r ，o l 有 l 。妒= ( 芋。1 ) ( 龛 ：；) + ( ! b + p ：) ( 龛 二驾) 显然上。是c - r ，o 】到帮上的有界线性算子族于是，由r i e s z 表示定理 可知存在一个二阶的分量为有界变差函数的矩阵函数 7 7 ( 日，p ) ：【_ r ，o l 叶砰2 使对任意咖c 【_ r ，o l ，有 l p 妒= = d n ( o ，肛) 西( p ) ( 3 3 ) 叩( 伊，肛) = ( 参。1 ) a ( 口) 一( ! 。+ 弘：) a ( 一+ r ) c s a ) 即得( 3 3 ) 式，其中a ( o ) 是d i r a c 函数 对c 1 一r jo ，定义 和 a ( 肛) = d e 。( 0 ) ， 一r 口 0 硼 姚枷( s ) j 0 = 0 耻 ，( ? 轨叫是p 黧舞；1 罗嘏( + 篡徘州) i 删橱( r ) 一石茸( o ) 钾( 一r ) + o ( 掰( 一r ) ) 为( 3 1 ) 右端的非线性部分 同时，由于对五= x ( 亡+ 日) e l - r , o ，有警= 百d x t 记x = ( 。，) 了1 ，从而由l ，a 和r 的定义知系统( 3 1 ) 可化为抽象常微分方程 对妒c 1 【o ，r 】，定义 x t = a ( 肛) 五+ r x , ( 3 5 ) a + 妒c s ，= d e ( s ) 0 ，。，妒。 0 8 z 2 2 + 把( 3 6 ) 代入上式，记 l 一巾卜学 2 一巾卜华 3 = 删i 一型= 删i 一 d ( o ) h 广1 2 w o w o 再把( 3 9 ) 代入上式比较系数，则确 9 2 0 = d w o n l ， g u = d w o n 3 ， 9 0 2 = d w o n 2 ， ， g 。：2 d 一i u 。 ，( o ) ( ；( w 盈( o ) + - 嵋( o ) ) + ；，( o ) 一口( 。) 杀( 无峨- r ) + ； 畹( 一r ) ) 一；酉( 。) 等 我们还需计算当日 一r ，0 ) 时的w 2 0 ( 口) ，w n ( o ) 由于 2 r e 矿( o ) ，g ( 口) ) = 一2 r e ( 矿1 ( o ) ，1 + 矿2 ( o ) ，2 ) q ( 目) ) = 2 r e ( d w o i f l + d ，2 ) q ( p ) ) = 一2 r e 一；，( o ) d u o i ( z 2 + 2 2 + 2 2 2 ) q ( o ) _ 一；( o ) d ( z 2 e 一2 “。+ 2 2 e 2 讪。+ 2 ；2 ) q ( 日) + ) ：【石1 赫- 州删i 一学) ：l d c o o 口咖一华胪 一 互1 。d w o q ( 删i 一学) + 扣卯灯( o ) i 一麴学凇2 _ 砌州一巾) i 盟磐) + d 口( 目) ( ，( o ) 一掣) 】z 2 + = 一0 3 0 ( d q ( o ) n 1 牟d g l ( e ) f i l 7 ：2 ) 2 4 - v 0 2 一岫( d g ( 口) k + d 厅( p ) _ 1 ) _ 2 f 2 一( d q ( o ) n 3 + d 口( p ) 觑) z 2 + 1 6 黧三黧q j o ( d q ( o ) n t 戮一剡c , o 踢o ( o ) = 一十d 删2 ) + l 一班雩篁j ：咖。m ( 轰) 咖。风( 土) + ( 一挚) h l l ( o ) = 一( d q ( 0 ) n a + d 口( o ) 3 ) ；一。( 轰) 一。岛( 由( 1 1 3 有 眠三骤+ ( 爱) e 2 i w o o 慨嘲= 等柙) + 畿础) + ( 轰) w ，l l ( p ) 三(-婺。gllq ；笛( 8 ) 2 r 等。，+ ( ；) c 3 _ 1 4 ， ： + 罂口( 口) + ( 盖) 其中e ，e 2 ，f 1 ，f 2 的值可由8 = 0 时a 的定义去确定，由( 3 1 1 ) 知； 。i 咖( 跪躅) 一( k 慨5 。) = - w o d n l ( 茏) 一。惩( ! 仇) 十- ( o ) 笋) ( 3 1 5 ) 2 、 ，rj9 、一一 、，、，j、 们鲫+ 一一、 o 弋，城 先求出w 2 0 ( o ) 和w t o ( 一r ) ，从而可确定e 1 ，e 2 吲卟( 琵按) = 跳( 熹) + 警( 瑚1 ) + ( 是) 2 ( 鬻- - 鞍o 兢h ) _ 吩( r ) 吩( r ) j 芦越箍嘲8 苞) e 碴” f - 苯d n l f t 2 w o 二羞i d n 2 h 2 w 鬈oe 2 h 2 w ； 一 c 、匿警i + 孥j - ( 3 ，1 5 ) 是方程组 将w j o ( o ) ，w j o ( 一r ) 代入方程组有 整理有 ( 2 i w 。一k ) ( i d n l + 下i d n 2 + e 1 ) + d l 元一半一e 2 = u o d l u o o d 厩一，( o ) 。 2 卜竺w 元o t d 羔n 1 h i 三d 麓h 。i 超产+ 警 = 一 + u o风一旦坠掣 f ( 2 i w o k ) e l e 2 = 一( o ) 。晌+ 警e - = 一华 嵋一 妒矿 口 穴卜 一 狮 哆一 r 一胁 蛐 岫 呜叫旷 呜舶 聊旷哚 陋 写成矩阵形式 令 则 ( 瓤c 警d 0 - - k ：) ( 复) = - j ( o ) ) i2 i w o k = iu 3 胪 i1 耻剖孥 地。( - 2 w o - 剐+ 警 一1 l 2 i u ol = 尝( 1 一抑) i ) 易= ( 2 i 龇一k ) e l + ，( o )( 3 1 6 ) 与前面求w 2 0 ( o ) 同理，可求出m ( 口) ，由在目= 0 时a 的定义知 ( 叫粼二驴) 划飓( 轰) 一。觑1 ：九) + - y ( o ) ) f 3 1 7 ) 先求出w l l ( o ) 和肌l ( - r ) ，从而可确定f l ，f 2 肌1 ( o ) = k ) + ( 剐 。 辊h 毋 d 十 0 i + 一_ 嘉 、工u 沁螂一 ，im元 议氰飓池飓黜叫鬻 一+ i d i d ，3 ，w o d 藏b 肫。咖 将w tl ( o ) 和w 1 1 ( 一r ) 代入( 3 1 7 ) 中，整理有 云粕三：默 沙m + ( 瓮) 髓= 一去多( 咄f 2 = _ f ( 。) + 篆参( o ) ( 3 - 1 8 ) 鲫= 2 d 啪i 帅) ( ；晚( o ) + 毗( o ) ) + ；m ) 卜参( o ) 等( 无峨( 一r ) ：薹：粼嘉嬲一舯鲫，掣 = 2 d u o i 一，( o ) ( ；岛( o ) + 吮( o ) ) 一；，( o ) + 西( o ) = 二等 上 均( 。百h w l o ( - r ) + 例。) 惫) ：2 1 ) 蛐i 卜九u j i 烈1 。d - 1 + 型名兰+ e 1 ) 一l d 3 + i d f f 3 + f l 】 二一idn2wohbo 3 b o 淳叭o ) 去 + 亟业掣些地+ + 磐婴) 2 6 0 、 碲 “ = 2 d u 。i d l 2 1 2 二i d 1 篓+ d l 3 1 2 一，( 巴( i e t + f 1 ) 一扣埘( 0 ) ( 等+ 警卿) 知 2 0 ，m、卜， ，、p 1 2“ 幔 、，一 一 、o呲一向一 )1一拈一k一乙一 r r 3 一o r 一 一一(一甜一剡摹 将月= 一( o ) 代入上式，有 o o 9 2 l = 去1 d 1 2 l 2 j 2 u o i d 2 n l 3 u o i + 2 i d l 2 l b 1 2 u o i 一( 0 ) b e l u o i + 兰学一_ d u 。，( 。) i t 2 3 轧o ? ( o ) 一茎学 g ( o ) h d w o 斗苷9 2 0 ，9 0 2 ，9 1 1 ，蚴的表达式代入剑c 1 【0 ) 的公式中有； a ( o ) = 去( 觚蜘一2 2 一；i 9 0 2 1 2 ) + i 9 2 1 = 去( d 2 u ；1 3 2 u ；f d l 2 l 3 f 2 一；u j d 1 2 2 f 2 ) w no + - i l d l 2 l 2 1 2 u o i 一；d 2 n i n 3 w o i + i o l 2 1 3 1 2 u o i 一；，( o ) d e l u o i f ( o ) ( o ) d w o id 无2 ( o ) u od f ( o ) w o id h h 2 e 1 ( o ) u 3 。一b o 瑶 2 2 醅 d h 可( o ) u o 。 根据【1 1 】的分析，得到下述定理： 定理3 2 ( 1 ) 在定理2 6 的条件下，肛= 0 是系统( 3 1 ) 的h o p f 分支值，分 支方向由p 。= 一帮确定；分支周期解的稳定性由岛= 2 兄e e ，( o ) 确 定 ( 2 ) 系统( 3 1 ) 分支出的周期解的周期为 喇= 石2 7 1 ( 1 + 乃e 2 ) + 。( s 3 ) 2 1 分支出的周期解的近似表达式为 ( 瓣跚) 硪喇啪驯( 磊) 一州+ ( 笼) + 。p ， 其中 n 一种吣( o ) 讹删卢偿 上述结果为计算h o p f 分支的性质提供了清晰的公式 ， 。 4 一个例子 考虑如下的非线性时滞v a n d e r p o l d u f f i n g 方程 蕾( t ) + ( 1 一x 2 ( ) ) 士+ a x ( t r ) + e x 3 ( 一r ) = 0 其中o 0 由于，( o ) = 1 ，( o ) = o ，( o ) = a ，g ( o ) = 西( o ) = 0 ，可( 0 ) = 6 e ，使用定理3 2 ，很容易算得 吲卟一鼍_ 警。刚。叫。u m o 凸1 w 0 一zj u 0 一( 1 。：- ( 以r r w + ) 2 + a w + o ( r 3 f + r 2 嵋) i + 3 2 e a + ( 1 3 - e r r ) w 3 ) + u 。( r + 2 ) i 倪 = = “2 = = 7 2 = ( 4 1 ) 2 ，g ( o ) = u 。口坚五搿辫；趟 1 a 【( 1 一r u 3 ) 2 + 叫3 p + 2 ) 2 。 2 r e c l ( 0 ) 2 w 0 2 ( a r4 - 2 a + 3 e r w 3 + 3 e + 3 e r ) 、n a 一r 胡) 2 + u 0 ( r + 2 ) 2 】 7 。 一星! 竺型, f f a f r o ) 一u 3 【a ( ；4 - 2 ) + 3 e ( r w 3 + 1 + r ) 【( a 2 r + u 3 ) 2 + ( 2 u 3 + ) 2 】 a 2 ( a 2 r + u 3 ) ( 1 一r u 3 ) 24 - 叫3 ( r + 2 ) 2 】 一u i l i m c l ( 0 ) + 肛2 由( o ) 】= 0 0 因此，方程( 4 1 ) 在b = b o 处存在h o p f 分支，分支闭轨是下临界且是不 稳定的 进一步分支周期解的近似表达式是 ( ；鬈： ；) = z ( ：。) 。( 。岫。c o s 咖w o t 。；n u 。) + 。c e 。， 叫俐= 筹+ o ( 固 参考文献 1 】jk h a l e t h e r o y o ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i m e q u a t i o n s ，s p r i n g e r v e r l a g ，b e r l i n ，1 9 7 7 2 潘家齐，岳锡亭具有有限时滞的l i d n a r d 方程的h o p f 分支，数学 年刊，1 9 9 1 ，1 2 a ：1 ，5 0 5 6 3 唐凤军，黄振勋，阮炯以滞量为参数的广义l i d n a r d 方程的h o p f 分支，数学年刊，1 9 9 8 ，1 9 a ：4 ，4 6 9 4 7 6 4 】徐鉴，陆启韶，王乘 v a nd e rp o l d u f f i n g 时滞系统的稳定性和h o p f 分岔，力学学报，2 0 0 0 ，v 0 1 3 2 ，n o 1 ，j a n 【5 j q p a n p a r a m e t e r a n a l y s i s o fac h e m o s t a t e q u a t i o n w i t h d e l a y ，f u n k c i a l a j ，1 9 9 8 ，4 1 ：3 4 7 3 6 1 6 】6l s p o n t r y a g i n o nt h ez e r o so fs o m ee l e m e n t a r yt r a n s c e n d e n t a lf u n e t i o n s i z vak a d n a u ks s s r ( s e r m a t h ) ，1 9 4 2 ，6 ：1 1 5 1 3 4 7 】y i n e i m a r k t h es t r u c t u r eo ft h e d d e c o m p o s i t i o n o ft h e s p a c e o f q u a s i p o l y n o m i a l s a n dt h e d i a g r a m s o f v y s n e g r a d s k i i a n d n y g u i s t d o k l a d ya k a d n a u ks s s r 1 9 4 8 ，6 0 ：1 5 0 3 1 5 0 6 8 】l e e l s g o ，t s i n