（应用数学专业论文）分数阶微分方程的s渐近ω周期解.pdf

s a s y m p t o t i c a l l yw - p e r i o d i cs o l u t i o n so ft w oc l a s s e so f f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s g o n g x i a o f a n g b e ( y u n a nn a t i o n a l i t i e su n i v e r s i t y ) 2 0 0 8 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e l n a p p l i e dm a t h e m a t i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o l o f h u n a nu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r a s s o c i a t ep r o f e s s o rs h ux i a o b a o a p r i l ，2 0 1 1 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名： 孽小蔫 日期：伽l ! 年b 月z 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅 本人授权湖南人学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，奄年解密后试用本授权书 2 、不保密区 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：袈o ，葛 日期：矶| f 年6 月2 日 翱獬：胁俺醐唰侔z 日 硕士学位论文 摘要 分数阶微积分是整数阶微积分的推广，与整数阶微积分相比较，具有较强的物 理背景分数阶导数的记忆性使得其能更有效的应用于物质的记忆和遗传性质， 更好的模拟自然物理过程和动力系统的过程由此分数阶微积分在控制理论、生 物工程、电化学过程、半导体物理、机械工程、凝聚态物理等领域的应用越来越广 泛 本文中，我们主要研究了两类分数阶微分方程的s 一渐近妒周期解的有关问题 第一类是半线性的分数阶微分方程，文中主要运用l a p l a c e 变换和半群算子原理求 得所给方程合理的m i l d 解，之后应用压缩映像原理验证系统具有惟一的s 一渐近沙 周期解而第二类主要在衰退记忆空间中考虑了一类半线性中立型分数阶微分方 程的孓渐近u 一周期解，在充分条件的推理证明中和第一类有所不同，具体分析在第 四章进行讨论 本文在开始还介绍了分数阶微积分的发展背景及一些分数阶微积分的基本定 义定理在第二章就两类特殊分数阶微分方程的s 一渐近u 周期解进行了讨论，应 用m i t t a g - l e i i t e r 函数表示了该系统的m i l d 解，证明了此解是s 一渐近廿周期的 关键词：分数阶微分方程；s 渐近u 一周期解；初值问题；解的存在性； 压缩映像原理 i i 硕士学位论文 a b s t r a c t f r a c t i o n a lc a l c u l u si st h ep r o m o t i o no fi n t e g r a lc a l c u l u s ，a n di th a ss t r o n g e ro b - j e c t sr i c h a r db a c k g r o u n dt h a ni n t e g r a l b e c a u s eo ff r a c t i o n a lo r d e rd e r i v a t i v em e m o r y p r o p e r t i e s ，w ec a na p p l yi tm o r ee f f i c i e n t l yi np h y 7 s i c a lm e m o r ya n dg e n e t i cp r o p e r t i e s ， a n di tc a nb e t t e rs i m u l a t en a t u r a lp h y s i c a lp r o c e s sa n dp o w e rs y s t e mp r o c e s s t h u s f r a c t i o n a lc a l c u l u si su s e dw i d e ra n dw i d e ri nc o n t r o lt h e o r y , b i o l o g i c a le n g i n e e r i n g ， e l e c t r o c h e m i c a lp r o c e s s e s ，s e m i c o n d u c t o rp h y s i c s ，m e c h a n i c a le n g i n e e r i n g ，c o n d e n s e d m a t t e rp h y s i c s i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yt w ot y p e so fp r o b l e m si n v o l v i n gi nf r a c t i o n a lo r d e r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fs - a s y m p t o t i c a l l yu p e r i o d i cs o l u t i o n s t h ef i r s tk i n di ss e m i l i n e a rt h ef r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，t h i sp a p e rm a i n l yu s e sl a p l a c et r a n s f o r ma n d s e m i g r o u po p e r a t o rp r i n c i p l et oo b t a i nr e a s o n a b l em i l ds o l u t i o n so fg i v e ne q u a t i o n s ， a n dt h e n ，t h i sp a p e ra p p l i e st h ec o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i p l et ov e r i f yt h es y s t e mh a s t h eo n l yp e r i o ds o l u t i o nt os a s y m p t o t i c a l l yu p e r i o d i c u n d e rs u f f i c i e n tc o n d i t i o n s i t h a sd i f f e r e n tp o i n t sc o m p a r i n gw i t ht h ef i r s tk i n do fr e a s o n i n gp r o o f s p e c i f i cp o i n t si s d i s c u s s e di nt h ec h a p t e r4 t h i sp a p e ra l s oi n t r o d u c e st h ed e v e l o p m e n t a lb a c k g r o u n do ff r a c t i o n a lc a l c u l u s a n ds o m eb a s i cd e f i n i t i o na n dt h e o r e ma b o u tf r a c t i o n a lc a l c u l u sa ts t a r t i nc h a p t e r t w o s p e c i a lk i n d sf r a c t i o n a lo r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fs a s y m p t o t i c a l l yu p e r i o d i c s o l u t i o n sa r ed i s c u s s e d ，m i t t a g - l e f f i e rf u n c t i o ni sa p p l i e dt oe x p r e s sm i l ds o l u t i o nt o t h es y s t e m a n dt h i ss o l u t i o ni st h eo n et os a s y m p t o t i c a l l yu p e r i o d i ci sp r o v e d k e yw o r d s ：f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；s a s y m p t o t i c a l l yu p e r i o d i c ； e x i s t e n c eo ft h es o l u t i o n s ；i n i t i a l v a l u ep r o b l e m ； c o n t r a c t i o nm a p p i n gp r i n c i p l e i i i 硕士学位论文 目录 学位论文原创性声明和学位论文版权使用授权书i 摘要i i a b s t r a c t i 第1 章绪论1 1 1 背景介绍1 1 2 本文所作的工作2 1 3 本文的创新点3 1 4 基本知识4 1 5 基本定义定理4 第二章两类特殊分数阶微分方程的s 渐近u 周期解7 2 1 前言7 2 2 简介7 2 3 q ( 0 ，1 ) 时系统( 2 1 ) 的s 一渐近妒周期解1 0 第三章一类半线性分数阶微分方程的s 渐近u 一周期解1 3 3 1 前言1 3 3 2 解的存在1 3 3 3 咒( 亡) ，( 亡) ，t ( t ) ( 0 q 1 ) 的各种关系1 5 3 4 主要结果1 6 3 5 举例1 8 第四章 一类半线性中立型c a p u t o 型分数阶微分方程的s 一渐近u 一周期解1 8 4 1 前言1 8 4 2 像空间1 9 4 3 解的存在2 0 4 4 主要结论2 3 4 5 应用实例2 7 结论2 9 参考文献3 1 致谢3 5 附录( 攻读学位期间所撰写的学术论文目录) 3 6 硕士学位论文 1 1 背景介绍 第1 章绪论 十七世纪牛顿创立了微积分，到了十八世纪英国的约翰兰登，欧拉，拉格朗日 等对微积分都进行了多方面的研究，他们对微积分的成形做出了巨大的贡献到后 来柯西严格证明了积分和微分互逆关系在此期间柯西对定积分的定义，在历史上 具有相当的价值，只要稍加修改就可以突破( x ) 连续的定义，推广到定义在区问 上具有有限个点的有界函数上去而且，积分作为和式极限的观点，为在数学分析 中引进重积分，曲线曲面积分等创造了条件，还为引进其他类型的积分创造了条件 发展到后来出现了黎曼积分和到了1 8 7 5 年定积分的理论业已就绪在后来的几 百年时间里，微积分得到了很快、很广的发展并涉及到各个不同的领域分数阶微 积分则是相对于传统意义上的整数阶微积分提出来的，分数阶微积分的概念也是 在整数阶微积分出现的时候显露出来 关于分数阶的微积分我们可以追寻到经典微积分的创立者莱布尼茨，分数阶 微积分在第一次被公认提到是在1 6 9 5 年m a r q u i s 给g o t t f r i e d 的信件巾，信中介绍 了对于( 一些1 1 属于n ，n - - 0 ，1 ，2 ) ，假设当n = l 2 时，会产生一种新的结果，到 后来，这种分数导数渐渐被知晓，在1 7 3 0 年e u l e r ，l a g r a n g e 在1 7 7 2 年，f o u r i e r 在 1 8 2 2 年分别对分数阶导数有过研究，在分数阶微积分学科发展的历程中，这些科学 家和研究学者都作出了巨大的贡献，相关的著作有：b o l d h a m 和j s p a n i e r 在1 9 7 4 年出版了一本分数阶微积分理论与应用的著作【1 】在这本专著中对分数阶微分方程 在化学领域的应用做了初步的描述b r o s s 在1 9 7 5 年出版了一本阐述分数阶微积 分历史的专著【2 1 2 1 9 8 7 年，s g s a m k o ，a a k i l b a s 和o i m a r i c h e v 出版了一本关于 分数阶微分方程的讨论【3 】，介绍了分数阶微分方程的经典模型结果并应用到函数理 论和微积分理论中去为实际中的很多问题提供了一个很好的数学工具，同时也扩 大了科学领域的研究范围和精确度e d k ，n i s h i m o t o ，k o r y a m a 在日本东京公开提 到了分数阶微积分及其应用而k s m i l l e r 和b r o s s 在1 9 9 3 年时出版了一本介绍 分数阶微分方程方面的书籍f 4 1 由于科学理论技术的局限性，使得分数阶微积分的 发展也受到了很大的限制，发展的过程并不顺利在1 6 9 5 年到1 9 7 4 年的几百年时 间里，分数阶微积分还几乎处于纯数学的研究领域，并没有得到很好的发展和推广 而在近十几年以来，分数阶微分方程在科学的不同领域里面大放异彩，例如在粘弹 性理论，电子学，经济学，力学，概率等等在物理和工程领域【5 0 1 ，都对具体的分数 阶微分方程问题进行了深入的探讨 分数阶微分方程的应用方法方面，我们所熟悉的整数阶微分方程理论已经比 一1 一 分数阶微分方程的s 一渐近u 一周期解 较成熟，而分数阶顾名思义，就是在通常意义下的整数阶微积分运算进行推广到运 算的阶次为分数的情况，这里的分数不单单是指有理分数，还包括阶数为无理小数 和复数的情况因此，分数阶只是一个统称，从某种程度上来讲，分数阶微积分可 以化成整数阶微积分来计算在讨论分数阶微分方程时一般是将c a u c h y 型分数阶 的问题转化为v o l t e r r a 型积分方程来讨论，应用的方法有如l a p l a c e 变换，分离变 量等方法米研究这些分数阶微积分在这些分数阶微积分方程的研究中，也有些学 者在应用初值问题和边值问题来证明一些结果或证明惟一性定理的时候出现过错 误总的来说，真正提到分数阶微积分方程的应用到特殊函数和积分之间的转化是 在【1 1 1 分数阶微积分的出现使得现实中的更多问题可以用数学的研究方法来解决 例如分数阶c a u c h y 问题有利于构建不规则发散现象的物理模型，又例如分数阶 d i f f u s i o n w a v e 方程被称为广义化了的扩散一波动方程( 通过对时间和空间进行分数 阶微分) 分数阶d i f f u s i o n w a v e 方程在金融学、计算机生物学、声学上等数理 学上是至关重要的分数阶同样也可以应用于生物学、动力系统以及控制系统中 在控制系统的应用中有学者提出了两种可准确转换分数阶的l a p l a c e 变换的数值 法f 1 2 _ 1 6 l 这种方法在本文中将会作为重点来应用分数阶微积分是一种很自然的 数学推广在数学中，相对于标准算子来讲，分数阶微积分算子应该属于非标准算 子它也越来越受到重视，并且正逐步成为应用科学领域的一个新的学科分支 1 2 本文所做的工作 本文的主要方法为不动点理论和压缩映像原理，主要研究一类半线性分数阶 微分方程的s 一渐近u 一周期解的存在性和惟一性并且讨论一类半线性中立型分数 阶微分方程的m i l d 解的s 一渐近u 一周期解存在性和惟一性 第二章，在论文r f l 首先对两类特殊的分数阶微分方程的s 一渐近u 一周期解的存 在性进行了讨论本章中讨论了如下系统： 嚣等加圳巩0 1 ， fd t u ( t ) = 一? q u ( 亡) + ，( 亡) ，亡冗， ( 1 2 ) tu ( o ) ：u ，( 0 ) ：u “ q 2 u 龙 两类分数阶微分系统的s 一渐近u 一周期解本章中先通过l a p l a c e 变换求得方程的 m i l d 解，然后通过定义证明了此m i l d 解是s 一渐近u 一周期的 硕士学位论文 第三章，我们主要对一类半线性分数阶微分方程的孓渐近驴周期解的存在性 和惟一性进行研究在文章 1 7 】中作者讨论了如下半线性微积分方程的孓渐近u 一周 期解： 卜) = o 。篇舢( s ) d s 讹吣) ) ， ( 1 3 ) iu ( o ) = u o x 当1 o z 2 ，a ：d ( a ) cx _ x 是b a n a c h 空间x 上的扇形的稠定算子他们通 过对( 1 3 ) 的研究得出一些满足$ 渐近协周期解存在性所应当具备的条件受到 ( 1 3 ) 的启发，我们来研究如下方程的s 一渐近u 一周期解： d z ) + a z ) = s ( t , x ”，o 0 和每一个x 中 ，k 和所有的z ，y k 并且忪一圳疋，k 时，有 为是有界集上的渐近一致连续的 x _ x 是有界集上一致s 一渐近u 一周期的并且是 x 是s 渐近u 一周期函数则函数v ( t ) = f ( t ，u ( 亡) ) 一5 一 分数阶微分方程的s 一渐近u 周期解 定义1 5 5a ，q r ，函数，：【a ，) _ x 在空间c a ，q 上，若存在一个实数p q 和一个函数g c ( n ，o o ) ，x ) 使得厂( t ) = t p g ( t ) 对所有正m 如果，( m ) c a ，a ，则 f 被称为是q 麓上的 定义1 5 6 如果函数f q ：，m n + ，的c a p u t o 型q 0 阶分数阶微分给 出定义的形式是 d ，( 亡) 2 南上( t - - 8 ) m 一口。1 ，忡( s ) d s ， m l o 在0 0 和q o ； ( b )对u d ( a q ) ，我们有t ( t ) a q u ； ( c )对任意的t 0 和算子a q t ( t ) 有界且i i a q t ( t ) i i l x ) 坞亡一9 e 。； ( d )对0 q 1 和u d ( a q ) ，有i i t ( t ) u u 0 c t q i i a q “i | 定义1 5 7令a ：勿x x 是一个闭线性算子a 被称为是扇形的如果存在 0 0 0 ，肛r 使得a 的解在扇形 p + 岛= p + 入：入c ，ia r g ( 一a ) i 口) 和 。 i l ( 入卜妒1 i i 尚，a z 肛+ 函， 之外( 总之我们所说的a 是一个( m ，口，肛) 的扇形算子) 引理1 5 2 a s l令x ，】厂两个b a n a c h 空间和函数，：【0 ，0 0 ) x _ y 在有界集上 是渐近一致连续的假设对每个x 中的有界集k ，则f ( t ，8 ) ：t 0 ，z k 是有界 集并且有t l i m o ol l - 厂( 亡+ 删) 一f ( t ，x ) l l = 0 ，在z k 和佗n 若有牡s p a u ( x ) ，则 厂( ，让( - ) ) s p a u ( x ) 此处提到的s p a u ( x ) 是指s - 渐近u 一周期解集 引理1 5 3 【3 9 】若留是一个衰退记忆空间并有u c ( r ，x ) 使得u o 历和 ui 【o ，) s a p u ( x ) ，则有t _ u t s a 兄( 留) 6 一 硕士学位论文 第2 章一类特殊分数阶微分方程的s 一渐近 u 一周期解 2 1 前言 周期解在科学，工程，物理，经济等地域的广泛应用故而引起很多专家学者的 研究兴趣他们在很多方面都有突破，研究不同的数学模型，不同条件下的周期解， 不同类型的周期解，应用不同的方法讨论周期解例如，文章f 3 9 】中作者研究了退化、 时滞微分方程的周期解和概周期解退化时滞微分方程的周期解和概周期解已经 有了较为系统的研究成果，在作者的研究中是针对比较复杂的数学模型( 如生物数 学人工神经网络) 的研究文章 4 0 l 中作者研究了时滞神经网络的周期解和概周期解 文章中，作者应用m o r s e 理论、度理论、极大极小值方法和z p 几何指标理论等， 研究了离散h a m i t o n 系统周期解以及边值问题解的存在性和多重性在文章【4 2 】中 研究了一类非线性波动方程的j a c o b i 椭圆函数包络周期解应用j a c o b i 椭圆函数 展开法求得了一类非线性波动方程的包络周期解对于常微分方程和偏微分方程 的不同，在研究方程的此类解时候是有一定难度的但是在研究近似周期、近似渐 近周期解、近似自治、近似自治周期、伪近似周期解在分数阶微分方程的理论研 究领域是个非常吸引人的主题详情可见文章【1 7 , 1 9 - - 2 2 】在分数阶微分方程的研究中， d a n i e l aa r a y a ，c a r l o sl i z a m a 4 3 1 中讨论了如下半线性分数阶微分方程的概自守解， d u ( t ) = a u ( t ) + 矿f ( t ，u ( 亡) ，( 亡) ) ，t r ，佗+ ，1 o l 2 ， 其中a ：d ( a ) cx _ x 是定义在复杂b a n a c h 空间中x 中的一个q 解族的无穷 小生成元，：取x x _ x 是一个满足l i p s c h i t z 条件的概自守函数，此分数阶 微分取r i e m a n n l i o u v i l l e 微分此文章中分数阶微分系统 d u ( t ) = 一p 口u ( t ) + ，( ) ，t ，p r ，1 o ，胁o 当q = n 是整数时，令d = 丽a m ，n = 1 ，2 ，定义f l 1 ( 冗+ ，x ) 的l a p l a c e 变 换 髟( 似入) ：朋) ：。e 砒f ( t ) d ，m u j 0 注意到 m l - l 矽( d t f ( a ) ) = 舻，厶) 一f k ( o ) a 0 。1 一后) k - - - o 现在将方程( 2 1 ) 两边应用l a p l a c e 变换得到 a n 砬( 入) 一仳。入a 一1 = 一矿乱厶) + ，a ) 让( 入) = a a 一1 入q4 - 矿 u o - - i -舻+ 矿，( 入) ( 2 2 ) 这里的能量函数舻= n e 衙g 入，- - t r p 石1 ，p 0 r e a p 否1 ，p 0 8 一 ( 2 3 ) o 硕士学位论文 性质令q ( 0 ，1 ) 且p 0 ，对所有的t20 时有 & = l 丌s i n t r a + o oe 一万函币r 丽a - 1 而打 证明：在p = 1 时在文章【4 3 】中已经证明，基于此，我们首先做如下等式： 南p c , 一嘉( a 品_ 1 ) ( 2 4 ) 一：= 一一t 一一_ j iz j 知+ 矿v 。舻+ 矿 7、 7 其中记 e 。( ) ：= 段，l ( 一矿t q ) ) ，e 0 亡) = 万，r e a p 1 肛 由上式可得到 s o ( t ) = 一素e ： ( 2 5 ) 其中有 。一 e 。( 亡) = 芴1 坳f ，、a t 1 - 1 歹d a 这里的b r 表示b r o m w i c h 路径，r e ( a ) = 盯p l l q 并且a 的虚部由一。o 到+ 这里将e a 分为两个部分，将这里的b r o m w i c h 路径b r 等同于h a n k e l 路径 h a ( p 1 n ) ，是一个开始于一沿下侧负实轴按照= p l l 口正向圆盘结束于一上 侧负实轴得到如下： e a ( 亡) = 厶( t ) + 如( 亡) ， ( 2 6 ) 其中 加) = 熹厶赫趴 上式中的h a n k e l 路径h a ( e ) 表示由小圆= e ，e 叶0 和两个减小的负实轴边界 组成的环有 们) = 。i r e s 嚣】= 1 q e n e 】 。 因为对所有的整数我们有i a r g a n i = 1 2 h h t r a 7 r ，所以0 q o ， ( 2 1 2 ) 、让( o ) = u 。，让，( o ) 铷，1 q 0 使得其在t _ 时趋向于零 由s 一渐近u 一周期解的定义可知，分数阶微分系统( 2 1 2 ) 存在惟一的s 一渐近u 一周期 m i l d 解 1 2 k h 一 叫 日 广，o小舻t 件 厂“ 砂。心 “口叫 睁岛丌拦丌 硕士学位论文 第3 章一类半线性分数阶微分方程的s 渐近 u 一周期解 3 1 前言 首先，在文章 1 7 】中，作者讨论了如下的一类半线性分数阶微分方程的s 一渐近 u 一周期解： ) = o 篙a v ( s ) d s + f ) ) 驯， ( 3 1 ) iu ( o ) = u o x 当l q 2 ，a ：d ( a ) cx _ x 是线性的，在b a n a c h 空间x 上的扇形的稠定算 子他们通过对( 3 1 ) 的研究得出一些满足s 渐近u 一周期解存在性所应当具备的 条件受到( 3 1 ) 的启发，我们接着来研究如下方程的s 一渐近u 一周期解： d f _ ) + a z ) = f ( t , x ”，o 口 1 ，t 0 ， ( 3 2 ) iz ( o ) = x o x d p x ( t ) 表示z ( t ) 的及阶微分，一a 是解析半群 t ( ) ) t o 的无穷小生成元 在这篇文章中，首先我们对系统( 3 2 ) 的古典解进行讨论，根据这些定义一个 m i l d 解保证这个m i l d 解是个合理的解最后，我们讨论了( 3 2 ) 的s 一渐近u 一周期 解 3 2解的存在 文章巾g ( o ，) ，x ) 表示 0 ，) 到x 的一致连续有界空间，并且对于范数 | 0 一致收敛本文中的s a 兄( x ) 是基于g ( o ，o o ) ，x ) 建立起来的，它也是一个 s 一渐近u 一周期的一致函数集 首先，我们考虑这样的一个c a u c h y 问题： d u ( ) + a u ( 。) = 厂( 。) ，o q 1 ， ( 3 3 ) 、 u d ， iu ( o ) = u o x 这里的，是一个定义在【0 ，( d o ) 到x 上的一个抽象的函数，一a 是解析半群 丁( t ) ) t o 中的无穷小生成元 定义3 2 1 若有x c ( i ，x ) 并且满足积分方程? t 一伊) 厂( p ，x ( o ) ) d o ， 解 分数阶微分方程的s 一渐近u 一周期解 定理3 2 1 令一a 是解析半群 t ( t ) ) t o 的无穷小生成元，如果厂满足h s l d e 条 件，指数p ( 0 ，1 】，则c a u c h y 问题( 3 3 ) 的m i l d 解是? f t 让( 亡) = 瓯( t ) u o + 死( 亡一8 ) f ( s ) d a ( 3 4 ) 则 ( 亡) ：= 丽1ze 魁入沪1 r ( 舻，一a ) d 入，已( ) ：= 芴1z e 沁r ( r ，一a ) 烈， 这里的r 有合适的路径使得舻g 肛+ 岛和入f 证明：对等式( 3 3 ) 作l a p l a c e 变换，得到如下等式： a 口( c u ) ( a ) 一a a - l u o + a ( c u ) ( a ) = ( c ，) ( 入) ， 则 ( c 让) ( a ) = a - - 1 ( a q i + a ) 一1 u o + ( 入q ，+ a ) _ 1 ( c ，) ( a ) 因此，我们通过l a p l a c e 逆变换得到 让( 亡) = 瓯( 亡) u 。+ 0 2 死( 亡一s ) ，( s ) d s 显然满足定义3 2 1 定理3 2 2 令一a 是解析半群 t ( 亡) ) o 的无穷小生成元如果厂满足h 5 1 d e 条 件，指数p ( 0 ，1 】，则根据下面的算子方程的不动点得出c a u c h y 问题( 3 2 ) 的惟一 m i l d 解 ，t r x ( t ) = & ( 芒) z o + 死( 亡一o ) f ( o ，x ( o ) ) d o ( 3 5 ) ，0 事实上，通过( 3 4 ) 可以很容易得到定理3 2 2 的成立证明略 3 3 死( 亡) ，& ( 亡) ，t ( t ) ( 0 q 1 ) 的各种关系 定理3 3 1 如果- a 是解析半群 丁( 芒) ) t o 的无穷小生成元且0 p ( a ) ，则有 死( 亡) = q 9 a ( p ) 亡n 一1 丁( t n 8 ) d 8 ) ，s o ( t ) = 咖q ( 目) t ( q p ) 硼， 其中札( 臼) 是一个定义在( 0 ，o o ) 上的概率密度函数，且有如下的l a p l a c e 变换： z 0 。e - o x a 拈妻j = o 揣， 并满足 o o 。( p ) d p ：1 ， p 町口( 口) d p 1 ， o p 1 一1 4 硕士学位论文 证明：对所有的zi f ：d ( a ) cx ，有 令 当口( 0 ，1 ) ， ( a - i - a ) - i x _ = z e 粕t ( s ) 础， ，0 0 e - a 4 ( o ) d o = e 以。， ( 3 6 ) j 0 妃( 伊) = ；1e 1 n 0 和p 0 若f ：r x _ x 是一致s 一渐近的u 一周期的：) ；满 足假设( 日) 有l 0 和t 0 使得： | i ，( ，x 1 ) 一f ( t ，x 2 ) l i l i i x l 一z 2 | | 则( 3 2 ) 在r 上足够小的l 使其存在惟一的s 一渐近u 一周期的m i l d 解 一1 5 一 z z z z z z 分数阶微分方程的s 一渐近u 一周期解 要证明这个定理，我们需要以下定义和引理 定义3 4 1假设一a 是解析半群 t ( t ) ) t o 的无穷小生成元如果让( ) 是s 一渐近 u 一周期的，函数u c b ( 0 ，) ，x ) i t n , 巳 u ( 亡) = ( ) z 。+ o 。死( 亡一s ) ，( s ，乱( s ) ) d s ， 当死( 芒) = q 铲p 钆( 日) t a 一1 t ( t 。o ) d o ) ，& ( 亡) = 旷九( 伊) 丁( o ) d o 让( ) 被称作( 3 2 ) 的s 一渐近u 周期的m i l d 解 定义s a p u ( x ) 上的一个映射： ， r 妒( t ) = & ( 咖硒4 - a 叮 n ( t s ) f ( s ，a - - q 妒( s ) ) d s = ( 亡) z o + ( t ) ( 3 1 0 ) ，0 引理3 4 1在定理3 4 1 的假设条件下，若妒s a 兄( x ) ，则r 妒s a p u ( x ) 证明： 当。( 亡) = f q ( p ) t ( 亡q o ) d o 和fc a ( o ) d o = 1 以及i i t ( t ) l l c ( x ) m e 犀，p o ，容易看出瓯( t ) x o c b ( o ，o o ) ，x ) 和& ( t ) x o s a 兄( x ) 令一方面，从妒s a 兄( x ) 和i i t ( 圳m e 肛中，我们有i i a 一口妒( 亡) | i o 。 总之，由s 一渐近u 一周期的性质，得到q =s u pf ( t ，a 一口妒( ) ) 通过引理 t e d ，+ o 。) 1 5 1 ( c ) ，我们得到： ，t ， i i v q ( t ) l l = i i o l p 九( p ) ( 亡一s ) a - 1 a 口t ( ( t s ) a o ) f ( s ，a 叫妒( s ) ) d o ) d s l i j 0j 0 q q 坞o o o l - - q o t ( 0 m _ s ) 咄q + 沪1 e _ 删卜妒删s q q 坞z f o 。0 1 - q 羽m s ) 叫扣_ 1 e 埘( t 哪) a 删s 通过概率密度函数的性质可知函数九，和r 函数的定义可以总结出 v o ( t ) c d 0 ，+ ) ，x ) ，和 ，o o a g l ( 一8 ) f ( s ，a 1 妒( s ) ) d s o ，口 在a _ 0 0 ，对于t a 有一致性另外一方面，对于定点a ，集 厂( s ，a 一口妒( s ) ) ：0 8 n 1 是紧集，这意味着 ( + u ) 一( ) = a 9 【死( t + u s ) 一瓦( t s ) 】，( s ，a q 妒( s ) ) d s j o + a 9 死( t + u s ) 厂( s ，a 一9 妒( s ) ) 一a q t , ，( t 一8 ) f ( s ，a 一口妒( s ) ) d s 一1 6 硕士学位论文 所以v oc t + u ) 一( t ) _ 0 在t _ 0 0 ，i e ，( t ) s a 兄( x ) 证明：( 定理3 4 1 ) 先考察定义在b a n a c h 空间s a p 。( x ) 到自身上的映射： r c i o ( t ) = 妒( 亡) = & ( 亡) z o + a 口t o ( t a ) f ( 8 ，a 一口( _ p ( s ) ) d o d s = 。( 亡) x o + a z o f o 。9 ( 亡一5 ) q 一1 q ( 9 ) a 口t ( ( 亡一s ) a p ) f ( s , a - q q o ( s ) ) d p d s 对垆1 ，妒2 s a 兄( x ) ，运用引理1 5 1 ( c ) 和假设( h ) 我们得到 一i l o o q l m q l i 妒1 一妒2 i i o o oz 0 1 - - q - t