（应用数学专业论文）一类浅水波方程弱解的长时期行为.pdf

萼 j 乒 f ，；， _，缱专 s l， 电， !o， 学位论文版权使用授权书 i i f j f l lifi if lr l lf f l f l li l l l r j fy 18 9 5 0 6 7 江苏大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相_ 致， 允许论文被查阅和借阅，同时授权中国科学技术信息研究所将本论文编入中国 学位论文全文数据库并向社会提供查询，授权中国学术期刊( 光盘版) 电子杂 志社将本论文编入中国优秀博硕士学位论文全文数据库并向社会提供查询。 论文的公布( 包括刊登) 授权江苏大学研究生处办理。 本学位论文属于不保密口。 学位论文作者签名： 沙1 1 年。月? 日 师彩哆 沙1 1 年孓月? 。日 3 一类浅水波方程弱解的长时期行为 l o n gt i m eb e h a v i o u ro f t h ew e a ks o l u t i o n sf o rac l a s so f s h a l l o ww a t e rw a v e e q u a t i o n s 姓 2 0 1 1 年5 月 江苏大学硕士学位论文 摘要 了一类浅水波方程的弱解，分别讨论了弱解在扇叶中的 主要研究的方程有b 族方程、c h 方程与d p 方程的双 三组份c h 方程。研究中主要的方法是基于此类问题与 尔伯特施密特算子之上t o d a 链的联系。这三种方程都 解，并且都具有不同的表现形式，本文对此分别做出了 介绍。通过将其多重孤子解一般化，将原方程系统转化成相应的动力 学微分方程系统，建立起该系统与t o d a 链的联系，从而有效地解决 了原方程弱解的长时期行为。 本文分为五个部分：第一部分介绍研究背景、现状及本文主要结 论。第二部分介绍研究过程中需要的基本理论，基本概念。第三部分 介绍了b 族方程的一类低正则解，通过对其相应的动力学微分方程系 统的分析，进而得到原方程低正则解的长时期行为。第四部分分析了 双组份系统一类弱解的长时期行为。最后介绍了三组份 c a m a s s a h o l m 方程的多重孤子解，并对其长时期行为做出了分析。 关键词：b 族方程，双组份系统，三组份c h 方程，长时期行为 一类浅水波方程弱解的长时期行为 f l o wo ns o m er a t h e r s p e c i a l h i l b e r t s c h m i d t o p e r a t o r s t h e t h r e e e q u a t i o n sa l le x i s t em u l t i p l es o l i t o ns o l u t i o n ，a n dh a v ed i f f e r e n tf o r m so f e x p r e s s i o n i nt h i sp a p e rw ei n t r o d u c et h e mr e s p e c t i v e l y m o r e o v e r , c o r r e s p o n d i n gd y n a m i c a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss y s t e mc a nb eo b t a i n e d b yg e n e r a l i z i n gt h em u l t i p l es o l i t o ns o l u t i o n a c c o r d i n gt oc o n s t r u c t i n g t h ea s s o c i a t i o n sb e t w e e nd i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dt o d af l o w , w ec a n s o l v et h el o n gt i m eb e h a v i o u ro ft h ew e a ks o l u t i o n s e f f e c t i v e l y t h e r ea r ef i v ep a r t si nt h i sp a p e r ：w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n d a c t u a l i t ya n ds u m m a r i z et h em a i nr e s u l ti nt h ef i r s tp a r t w ei n t r o d u c et h e b a s i ct h e o r y , b a s i cc o n c e p t sn e e d e di nt h es t u d y si nt h es e c o n dp a r t w e i n t r o d u c eac l a s so fl o w r e g u l a r i t ys o l u t i o n so ft h eb - f a m i l ye q u a t i o n b a s e do nt h ea n a l y s i so ft h ec o r r e s p o n d i n gd y n a m i c a ls y s t e ma n do b t a i n t h el o n gt i m eb e h a v i o u rf o rac l a s so fl o w - r e g u l a r i t ys o l u t i o n si nt h e t h 硼p a r t w ea n a l y z et h el o n gt i m eb e h a v i o u rf o rac l a s so fw e a k s o l u t i o n so ft w o c o m p o n e n ts y s t e mi nt h ef o r t hp a r t w ei n t r o d u c et h e m u l t i p l es o l i t o ns o l u t i o no ft h r e e c o m p o n e n tc he q u a t i o na n da n a l y z e t h el o n gt i m eb e h a v i o u rf o rt h e mi nt h el a s tp a r t k e y w o r d s ：b - f a m i l ye q u a t i o n ，t w o - c o m p o n e n ts y s t e m ，l o n gt i m e b e h a v i o u r ，t h r e e c o m p o n e n tc he q u a t i o n m 一类浅水波方程弱解的长时期行为 学位论文 录 l 】l 3 9 1 0 2 2 适定性的有关理论一1 1 2 3 希尔伯特施密特算子上的t o d a 链和半分离算子轨道1 5 第3 章b 族方程一类低正则解的长时期行为 1 8 3 1b 族方程的一类弱解1 8 3 2 在扇叶豇中存在唯一的整体解与t b d a 链的联系。2 0 3 3 弱解在扇叶s 一中的长时期行为2 4 3 4 弱解在扇叶s 中的长时期行为。3 1 第4 章双组份系统一类弱解的长时期行为3 4 4 1 双组份系统的一类弱解3 4 4 2 在s 中存在唯一的整体解与t o d a 链的联系3 6 4 3 弱解在扇叶s + 中的长时期行为3 9 第5 章三组份c h 方程一类弱解的长时期行为 4 1 5 1 三组份c h 方程4 l 5 2 三组份c h 方程的孤子解4 2 5 3 在扇叶瓯中存在唯一的整体解与t o d a 链的联系4 5 5 4 弱解在扇叶s + 中的长时期行为。4 6 第6 章总结与展望 致谢 读研期间发表的论文及参加的项目 4 9 5 0 5 5 v 江苏大学硕士学位论文 第1 章绪论 在众多领域中，数学模型都可以用偏微分方程来描述，其中物理、力学、流 体学科的许多基本方程本身就是偏微分方程。长期以来，人们一直用偏微分方程 来描述、解释或预见各种自然现象，并用于各门科学和工程技术，不断取得了显 著的成效。以应用为目的的或以物理、力学、流体等其它学科中的问题为背景的 应用偏微分方程的( 定性及定量的) 研究，不仅是传统应用数学的一个最重要的内 容，而且是当代数学中的一个重要组成部分。它是数学理论与实际应用之间的一 座桥梁，研究工作一直非常活跃，研究的领域日益扩大。 在上世纪3 0 年代以前的近二百年中，偏微分方程紧密地联系着物理学、力学、 几何学等方面的需要，人们对于几个在数学物理中最常见的偏微分方程( 热传导方 程、调和方程、波动方程等) 已有了系统的了解，并以多元微积分学为主要工具， 形成了许多至今仍在广泛使用的有效方程。其后，一方面，在实践中不断提出新 的研究课题，而且电子计算机的出现也为偏微分方程的研究提供了强有力的实现 手段，因而偏微分方程的应用领域前所未有的扩大了。另一方面，大量素材的积 累进一步提出了将它系统化的任务；早在1 9 0 0 年，希尔伯特( h i l b e r t ) 为预见2 0 世纪 的数学发展所提出的2 3 个著名问题中，有好几个都提出了研究偏微分方程的重要 性。上世纪3 0 年代开始，在索伯列夫( s o b o l e v ) 空间理论基础上建立起来的泛函分 析方法，为处理线性及非线性偏微分方程的问题提供了一个强有力的框架和工具， 并在实践中已得到广泛的应用。随着拟微分算子、f o u r i e r 积分算子等强有力的工 具的发展，又将偏微分方程的发展带到了一个新的高度。另外一方面，偏微分方 程的发展又为许多现实问题的解决带来了可能。例如，在流体领域诞生了许多新 的重要的方程，如o s t r o v s k y 洋流方程，c a m a s s a h o l m 方程等新型浅水波方程以及 弱阻尼k d v 方程等。 1 1 研究背景和意义 指出三体问题的不可积，并意识到许多哈密尔顿系统是不可积的，从而转入 对动力系统的定性理论的研究。此后，人们对可积系统的研究就不太关注了。孤 一类浅水波方程弱解的长时期行为 立子的发现，对数学物理有着深远的影响。反散射方法，也称为非线性傅里叶分 析，是数学物理在2 0 世纪的一个重大进展。它引起了人们对被遗忘多年的可积系 统的研究兴趣。6 0 年代初期关于弱不可积保守系统普遍性质的k a m 定理得到了证 明。于是，非线性问题的可积性便清楚勾厕出来，成为一个广泛的研究领域。虽 然大多数进展还只限于时空维数较低的系统，但它对非线性科学发展的促进作用 是不可低估的。系统的可积性是指系统的运动学情况或者动力学方程的解，或者 与热力学相关的热力学函数可以严格的用基本函数解析表示出来。系统可积性的 证明主要有两种途径。一是根据著名的n o t h e r 定理，另外一种方法是利用l a x p a i r ( l a x 对) 。可积模型是统计物理和低维场论中一类非常重要的模型，它可以看成 是真实物理系统的简化。其最显著的特征之一就是可以严格求解，在理论物理和 数学物理的研究中扮演了十分重要的作用。具有相互作用的低维系统成为近几十 年来理论物理学家研究的热点，正是基于这方面的考虑。尤其是一维体系，它能 运用特殊的方法而获得完全严格的解析解，揭示一些与维数无关的规律，使原本 相当复杂的问题得以简化。 另一方面，一维的复杂性又足以引出相当丰富的物理问题。可积模型的研究 在凝聚态物理、共场论等领域中有广泛的应用。在凝聚态物理中，对于可积模型 的研究开始于对一维海森堡模型的b e t h ea n s a t z 解。b e t h e a n s a t z 可以给出各种一维 系统的很好的解析解，从这一点来说，它是研究一维系统的最重要和有效的方法。 c o o r d i n a t e b e t h ea n s a t z 方法( c b a ) 的产生是证明可积性的一个里程碑，它被非常成 功地应用于解决相互作用电子模型。随后发展的量子反散射方法( a l g e b r a b e t h e a n s a t z 方法) ，以及近年来广泛应用的热b e t h e a n s a t z 方法等，为研究可积模型 提供了有力的手段。最近，精确可解模型被运用于超对称规范理论，讨论与引力、 弦理论的关系等。 通过长期深入的研究，建立了很多经典的可积模型。如强关联电子系统中的 h u b b a r d 模型，最早可用来解释过渡金属化合物的磁性质，更深入的研究则发现它 和费米液体理论，高温超导理论中的氧化铜平面都有联系。另外，对量子可积系 统的深入研究更是揭示了物理学和数学在一些领域如代数结构等方面的相互联 系。例如，对y a n g b a x t e r 方程的深入研究直接导致了量子群的产生。 孤立波是非线性科学中的一个重要方面，且被人们看作自然界的一种相干结 2 江苏大学硕士学位论文 构，即在非线性系统中惊人的统一。一方面，它在经济，金融，军事，通信等方 面都有应用。例如，在信息高速公路计划中，针对如何进一步提高光纤通信速度 和距离上，很有希望解决的方法是“光孤立波通信 。另一方面，在非线性科学 中轨道稳定问题也是其中的重点和难点。因此解决轨道问题也变得尤为重要。1 8 4 4 年，英国工程师罗素( r u s s e l l ) 记述了他1 8 3 4 年在连接格拉丝和爱丁堡之间的运河 上观察到的一个现象，他发现有一种水波发生碰撞后仍然保持原来的形状和速度 前进，他称之为“s o l i t a r yw a v e ”。1 8 5 9 年，荷兰数学家k o r t e r v e y 和他的学生d e v r i e s 研究了浅水波的运动在长波近似和小震动的前提下建立了单向运动方程( k d v ) ， 并求出了与r u s s e l l 描述一致的孤立子解，从而理论上证明了孤立波的存在，然而孤 立波的轨道稳定性并未得到解决，以及两个孤立波的碰撞是否会被破坏，非线性方 程不满足叠加原理，人们担心碰撞可能会破坏孤立子解，由于担心孤立波“不稳定 从而没有大物理意义，孤立波的研究没有大规模展开。 微分方程的产生来源于生产实际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映 的客观规律，能动地解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。对于反映某 一运动规律的微分方程，如果能找出其通解的表达式，一般来说，就能按给定的 一定条件相应地选定其中的任意常数，获得所需要的特解并通过其表达式了解它 对某些参数的依赖情况，从而适当地选择这些参数，使得对应的解一“运动具 有所需的性能。而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的 地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其它理论的基础。但对于非线性 微分方程解的存在性以及其它性质的研究比常微分方程解的性质要复杂得多。 目前关于浅水波方程解的研究已经比较完善，研究其解的性质是极其重要的 一项工作。通过其性质的研究，可以更深刻更广泛地了解非线性方程解的性质。 本文通过对一类浅水波方程解的轨道稳定性、局部适定性的研究，丰富和发展了 这一理论工作，也使得该理论体系得到了进一步的完善。 1 2 研究现状和研究内容 近年来，随着浅水波方程理论的发展，非线性方程解的性质理论也逐步得到 了丰富，同时众多学者也在不断的探求浅水波方程解的更多性质( 存在性、轨道稳 定性、爆破、长时期行为) 。在浅水波解的理论中，解的长时期行为是研究解性质 3 一类浅水波方程弱解的长时期行为 的一个重要分支。所以研究一些浅水波方程解的长时期成为近几年许多学者研究 的热点问题。 陈林等人研究了广义s r l w 方程的孤立波的轨道稳定性与不稳定性【1 1 。2 0 0 0 年，c o i l s t a i l 血和s t 啪s s 给出了c 弱s a m a - h o l m 方程p e a k o n s 解的轨道稳定性【2 1 。2 0 0 4 年，周勇给出了以下杆方程的轨道稳定性证明【3 1 。 q + 4 d + 嘎+ 嗔( 2 + d ) = 0 在文献【4 】中c o n s t a n t i n 和l a n n e s 证明了c - h 方程 u r 一比埘+ 施比j = 2 u x u 口+ u u x d 和d p 方程 珥一+ 乱心= 3 u x u = + h h 。 都产生于平面上浅水波传播模型，它们比经典的b e n j a m i n b o n a - m a h o n e y 方程( 即 b b m 方程) 和k d v 方程有着更强的非线性作用。他们证明了b b m 方程 ”心+ 兰戳+ ( + 肛棚) = 0 ，w i t h 口一= i 1 ， 在1 ，s = d ( ) 的条件下的广义形式是如下方程 + u x + 吾棚，+ ( 口w 。+ 缸删) = 掣( 庇。+ y u u = ) ， ( 1 1 ) 其中和是两个没有维数的参数，定义为 口 2 仁一h2 万 。 ( 这里乃是平均深度，口振幅，见是波长) ，口，是线性色散系数，万，y 是非线 性色散系数。 我们注意到在一些文章中已有对方程( 1 1 ) 的研究。d e g a s p e r i s 和p r o c e s i 首次 研究了如下一族三阶色散偏微分方程的可积性 4 1 。 6 1 u t + c o u x + 。一口2 “觚= ( q “2 + c 2 “2 + c 3 甜l ( 1 2 ) 其中历，c o ，q ，c ： c 3 是是常数。在方程( 1 2 ) 中取4 = 一詈，乞= 亟笔尘，岛= 占， c o = k 以及口2 = s ，我们得到如下方程 一翻。) r + 勋+ t z u u x + 用。= e ( p u ，u = + “比。) ，( 1 3 ) 4 江苏大学硕士学位论文 其中u ( x ，f ) 是x 方向上的流体速度( 或等价地是水平底部到水波自由表面的高度) ，k 是一个与临界浅水波速度相关的常数，口，s 是色散参数。我们指出方程( 1 3 ) 盘 与方程( 1 1 ) 及方程( 1 2 ) 是等价的。在方程( 1 3 ) 中令t ；t = - i j - p 2 万，夕= 胪， ， 厂= 一詈3 万，占= - p 2 万，七= l ，可以得到= 1 时的方程( 1 1 ) 。 当占= 口2 = c 3 ， 二 ， k = c o ，口= 也及= 1 + 生时，方程( 1 3 ) 变为方程( 1 2 ) ，反之亦然。因此，方程 5 ( 1 3 ) 中参数的物理意义也显而易见。 在这族方程中至少有三个著名的方程满足完全可积性条件：k d v 方程川，c h 方程【8 】【9 j 和d p 方程【4 1 一。此外，方程( 1 3 ) 还包含b 族方程印1 1 4 1 1 1 5 5 乘i f o r b e r g w h i t h a m 方程【勿作为特殊情形，但是它们都不完全可积，只有当b = 2 和b = 3 时b 族方程才 是完全可积的。 当占= 0 时，方程( 1 3 ) 变为著名的k _ d v 方程，它描述了在重力作用下浅水自由 表面上波的单向传播。k d v 方程的柯西问题己被广泛地研究 7 , 1 0 - 1 5 , 4 5 ，删删。有人证 明了只要初值n o 日1 僻) ，k d v 方程的解就是整体解【1 4 1 ，这个方程是可积的并且它 的孤立波是孤立子【1 6 1 1 1 7 1 ，这个方程的行波解是非线性稳定的【1 8 】，b o n a 和s c o t t h 正明 了k d v 方程是b b m 方程的极限【枷。基于上述研究，本文研究了方程( 1 3 ) 的柯西问 题以及当色散参数g _ 0 时柯西问题的解的极限行为。利用一些先验估计，我们可 以证明方程( 1 3 ) 的解当占一0 时收敛于相应的k d v 方程的解。 当口= 3 ，= 2 ，厂= 0 时，方程( 1 2 ) 化为c - h 方程 l l i c u x ，a + 妇。+ 3 u u x = 占( 2 l 乞z k + l 。) ，( 1 4 ) 它是由f o k a s 和f u c h s s t e i n e r 加l 首次推导出来的，之后由c a m a s s a ，h o l m 和 h y m a m i n 8 】【9 】作为一个水波模型而重新获得。他们证明了对所有的七，方程( 1 4 ) 有 一个l a x 对公式，并且对k = 0 ，方程( 1 4 ) 有c e p 叫i 形式的行波解，我们称之为尖 峰解，因为它们在波峰处有不连续的一阶导数。对每个k ，方程( 1 4 ) 是双哈密顿的， 因此它有无穷多个守恒律。而且，方程( 1 4 ) 有一个简单的多尖峰解，能够表现出许 多奇异的性质。j o h n s o n 给出了大量的c h 方程作为水波在一个长的均匀的水渠中 的长波模型的作用【1 纠。作为水波模型方程，c h 方程也由于它的可积双哈密顿结 5 一类浅水波方程弱解的长时期行为 构而引起了许多有趣的进展，其中一些可在文献【9 ，2 0 ，1 9 ，2 3 2 5 ，2 8 ，4 0 ，4 2 ， 4 4 ，5 4 e p 找到。在可积性方面，当口= 3 时它的孤立波是孤立子 6 1 1 2 6 1 ，并且与k d v 方程的孤立波解相似。当口= 3 ，= 2 时，方程( 1 3 ) 化为带线性色散项的c h 方 程1 2 9 1 。它是通过对浅水波领域里的欧拉方程的哈密顿量直接渐近展开而得到的。 田立新，桂贵龙，刘跃【2 9 】研究了带线性色散项的c h 方程的柯西问题的适定性和 散射问题。 当s = 1 ，口= 4 ，= 3 ，厂= 0 ，k = 0 时，方程( 1 3 ) 化为d - p 方程 u t 一够脚+ 缸比x = 3 u x 比搿+ h 够m 它是作为浅水波模型产生的，并且具有双哈密顿结构和无穷多个守恒量，它也有 与c h 方程相类似的精确尖峰解。它还有激波解，例如， “= 一瓦1 葡s g n ( x ) e - n , t _ t o ，【5 5 】 但c h 方程没有激波解。有许多致力于研究它的文章，参见文献和其中的引用文 章【娜1 。3 7 4 3 4 7 4 9 5 3 1 。例如，殷朝阳证明了d p 方程当初值日4 ，s 3 2 时在直线 上p 3 】和圆周上【蚓的局部适定性。在这两篇文章中得到了精确的爆破准则和爆破结 果。在文献 3 6 1 3 7 】中研究了它的强解的整体存在性以及整体弱解。 当口= f l + l = 6 + 1 ，= b ，占= 1 ，y = 七= 0 时，方程( 1 3 ) 化为b 族方程 咋一m 删+ ( b + 1 ) u u x = b u ，u = + 甜够。，( 1 5 ) 其中b 是没有维数的常数。方程( 1 5 ) 中的二次项表示对流，或是在流体对流中非线 性传输与由于b 维的拉伸而放大之间的平衡。另一方面，最近在一项孤立子方程 的研究中发现对任意的b 一1 ，方程( 1 5 ) 在二阶精确项上属于一族浅水波方程，这 些方程在k o d a m a 变换下是渐近等价的【5 1 1 。 我们将方程( 1 3 ) 写成如下形式 ，? ，吩+ “( ( 口一# 3 u g 甜。) ，+ 甜，m = 一( k u + y u 。) ，( 1 6 ) 、，一。一、，- 一 c o n v e a i o ns t r e t o g t n g d i s p e r s i o n 其中m = 砧一是动量变量，流体速度u ( x ，t ) 定义在实直线上且在无穷远处消失或 6 江苏大学硕士学位论文 者定义在一个一维的周期定义域内。 利用等式q 一彰) 一1 厂2 p 厂，p ( 功2 五1e 石，p 0 ) ，对所有的，l 2 ( r ) ， 其中代表卷积，我们可以将方程( 1 3 ) 重新写成如下的非局部形式 + h h ，一- - ，- y u x + a ，p 木【竺；兰比2 + _ 6 c ( 3 - 历2 + ( 七+ - y ) “】：o ( 1 7 ) s三2s 方程( 1 6 ) 以核云e 。r ；l 及没有维数的实常数为特征，其中是在线性色散作用下 拉伸项与对流项的比率。核土2 6 e 石决定方程( 1 6 ) 行波的形状及长度范围，为非 线性解的行为提供平衡或分支参数。当 0 时方程( 1 6 ) 产生于浅水波非线性动力 学中。 最近，c o n s t a n t i n 和i v 趾o v 【2 6 】在浅水波理论的研究中获得了可积的双组份 c a m a s s a - h o l m 浅水波系统 ：二菇嚣一。0 歹兰篓r 0 m $ 【屏+ ( 甜p l = o ， f o ，x ， 卜。， 其中h ( f ，功代表水波自由表面上的水平流速，而p ( t ，x ) 则与自由表面的水平导数有 关。此系统有l a x 对，因此是可积的，并且还具有尖峰解以及多重孤立波解。m c h e n ，s q i j u 和yz h a n g 建立了双组份c a m a s s a h o l m 系统与a k n s 系统相互之 间的转换【3 0 1 。h o l m ，n r a i g h 和t r o n c i 建立了一个修正的双组份c 锄獬a h o l m 系 统，此系统关于p 具有单解【3 8 1 。系统( 1 8 ) 的数学性质已经被广泛的研究【2 删娜5 6 , 5 9 1 。 e s c h e r ，l e c h t e n f e l d 和n 【5 7 】证得了在初值( ，岛) 日5x h h ，s 昙下双组份 c a m a s s a h o l m 系统的局部适定性问题，并且得到了强解的一些精确的爆破条件。 c o n s t a n t i n 和i v a n o v l 2 6 1 得到了解爆破的条件以及一些小的整体解。桂贵龙和刘跃 5 8 1 得到了在b e s o v 空间中一定初值条件下解的局部适定性以及解的爆破。关春霞和 殷朝阳1 5 9 】研究了在初值条件( ，岛一1 ) 日5 h h ，s i 5 下解的整体存在和爆破现 象。基于l i e 代数中的哈密顿结构理论，文献f 删中构造出了关于c a m a s s a h o l m 方程 7 一类浅水波方程弱解的长时期行为 的双组份系统 同样由哈密顿理论给出了关于双组份d e g a s p e r i s - - p r o c e s i 方程的两个不同的表达 式【6 0 1 ，分别表示如下 b = 一屯成”一( 畸+ 也) p u ， 他2 _ 3 删善一他比+ 毛织， ( 1 1 0 ) 屏= 2 p , , u 一反比， ，吩= 3 m h 。一“一p u x + 2 p 级 同时，还给出了包含c a m a s s a - h o l m 方程和d e g a s p e r i s - - p r o c e s i 方程相互作用的 一个双组份系统【6 1 1 n t = - 2 n ( q 2 u “x 鬈三n 篮x2 u + + v ) ? m = + 心) 一( ， 、7 其中小= h 一，刀= l ，了 最近，屈长征和傅英介绍了耦合双组份c 锄弱s a _ i 0 l m 系统【6 2 1 其中m = m 一，以= ，一。系统( 1 1 2 ) 是可积的，并且具有多重孤立波相互作用 的尖峰孤立波解。4 此系统保持h 1 范数守恒律当u = ，时，系统( 1 1 2 ) 变成高级 c a m a s s a - h o l m 方程 = 4 m u x + 乙眠 ( 1 1 3 ) 系统( 1 1 2 ) 通过线性变换= m + n ，= 朋+ 玎可以被转换成i i i 坩o s s o n 系统【6 3 】 黝= 乇( 訾铆嬲封 m 1 q 其中哈密顿式为 日= 三( g 木+ 声幸p ) 出，g 枣= y ，g 奉p = 盯，g _ 1 2 e 刊 c o n s t a n t i n 等人研究t c a m a s s a - h o l m 方程弱守恒解以及弱耗散解的全局存在 性。 在上面的研究基础上，本文研究了b 族方程、双组份系统和三组份c h 方程弱 8 m 叱 芦墨 = = ，叭 他 m 叱 巾帆 掣=鸭体 空间 数定义 中的范 数为：o ，| i ，：1 日，：( 工( 1 + 阁2 y i 夕g ) 1 2 d 孝、) “2 ，其中夕皓) 表示厂关于变量x 的f 0 u r i e r 变换。对任意的s 尺，定义算子- ( 1 一a ：) - ，而用( ，) ，表示s o b o l e v 空间日5 中的内积。如果a 是无界算子，d 似) 定义为算子a 的定义域，队，b 】表示线性算子 a ，b 的换位子，j j - l l j 定义为b a n a c h 空间x 的范数。 本文的结构安排如下：第一章是绪论；第二章是一些基本概念及定理以及希 尔伯特施密特算子上的t o d a 链和半分离算子轨道；第三章是b 族方程一类地正则 解的长时期行为，其中主要介绍了解的动力学微分方程系统以及与l a x 方程相关 的定理的证明；第四章中是双组份系统一类弱解的长时期行为；第五章是介绍三 组份c h 方程的孤子解，以及此类解的动力学微分方程系统在扇叶中的长时期行 为。 9 一，| 一j 一类浅水波方程弱解的长时期行为 第2 章基本概念及定理 2 1轨道稳定性的定义及有关理论 定义2 1 1 孤立子是指一大类非线性偏微分方程的许多具有特殊性质的解， 以及与之相应的物理现象。它满足以下三点： ( 1 ) 孤立子( 孤波) 是波动问题中的一种能量有限局域解； ( 2 ) 能在空间给定区域稳定存在； ( 3 ) 相互作用不改变各自的特性。 从以上定义可知，孤立子能量集中在一个较狭小的区域，两个孤立子相互作用时 出现弹性散射现象，即波形和波速能恢复到原状( 或许相位有一些改变) 。因此， 孤立子具备了粒子和波的许多性能，在自然界中有一定的普遍性。近年来，人们 也从更广泛的意义下理解孤立子这一术语，比如说，把能量集中在一个较狭小的 区域的静态解有时也称为孤立子。 定义2 1 2 若孤立子解在波峰处有一个不连续的一阶导数，则称此孤立子解 为尖峰孤立子解( p e a k o n ) ，通常简称尖峰解。 定义2 1 3 假设速度为c ( c 的孤立波是方程的解。 u ( x ，f ) = 纪( 0 ，孝= x c t 其中眈是一个变元函数，在无穷远处趋于零。假设u ( x ，f ) c ( 【0 ，r ) h 1 俾) ) 是方程的 解。对任意f o ，存在一个万 o ，如果对任意的比o ( 功，i u o 一眈 万，那么 对方程具有初值u o ( x ) 的解“( x ，f ) 有，s 。u 卸p i 删n f 怯o ，。) 一纯( 一孝( f ”l l - 0 ，令m = m a x l l ，( f ，x ) l l ， = m i n ( 口，争，则c a u c h y 问题在 区间l t - t o i j l 上有一个解z = 认f ) ，且它是唯一的。方程( 2 8 ) 等价于： x = 而+ f ( t ，x ) a t ( 2 1 0 ) 定义2 2 3 对于任一函数厂( 力汐似) ，定义其f o u r i e r 变换为 夕( 善) = f 【门= l 厂( 砷e 击f 出， ( 2 1 1 ) 又若函数g ( 0 1 9 ( 彤) ，定义其f o u r i e r 逆变换为 ，( 孝) = ，1 92 岛g ( 砷e 出善西出， ( 2 1 2 ) 这里x f = x a + x 2 考2 + + 磊。 定义2 2 4 设，( 力，g ( 功是r “上的可测函数，若积分l ，o - y ) g ( y ) d y7 0 - 在， 则称此积分为，( 功与g ( 功的卷积，记为( 厂母g ) 。 定义2 2 5 设k 为非负整数，1 p 0 0 ，q 是r “中的开集。定义s o b o l e v 空 间印( q ) 为满足条件：“( f 2 ) ；d a u p ( q ，h 七的广义函数z f 全体所构成的 ) 为日( q ) ， 记集合 ( 2 1 3 ) b x ：l i m s ( h ) x - x 。 h - - + o h 称曰为算子半群s ( t ) 的无穷小生成元。 定理2 2 7 ( s o b o l e v 嵌入定理) 设qc r “为一有界区域，l p o o 。 ( 1 ) 若q 满足一致内锥条件，则当p = 即时，有 1 p ( 哟c l q ( n ) ，1 q 佃 而且对任意的口1 ，p ( q ) ，有 u 口( 。) c ，q ，l u l k - ，- ，( n ) ，l q + o o 当p n 时，有 w i , p ( 固c 口( q ) ，l q p = 里 n p 而且对任意ue w i p ( q ) ，有 i l u l i 口( n ) c ( 刀，q ，q ) b ，( n ) ，l q 刀时，有 w i , p ( gcc “( 竭，0 c t l 一一n p 且对任意he w l ，p ( 国，有 一类浅水波方程弱解的长时期行为 口a ；n - c ( 伽，固呐，o 口 o ) 中一点，过p 点 往下做一弱类空向曲面r p 。该曲面与平面t = 0 围成一个区域o 。对任意满足 0 0 的| l ，做平面f = 办与q 得交，记为q 。区域q 被夹在f = o - - e ：j t = i 之间的 部分记为q ，且定义 设“c 。( g 1 ) ，则 1 4 e ( 忍) = u 2 - i - u ? + ) 出， e ( f ) c 陋( 0 ) + 仁“) 2 d x d t ) 江苏大学硕士学位论文 2 3 希尔伯特施密特算子上的t o d a 链和半分离算子轨道 令h 是希尔伯特空间，组成譬的实数列满足= ( 二砰) 5 。令b ( h ) 是 在空间上日的有界算子空间，如果ee b ( h ) ，我们可以以e r 作为它的转置，当 且仅当俾“x = e # u j ，f 1 ，砧巧的时候可以得到e = 嗡) 0 d 因此 ) ；：，司是在空间譬上带有典范基q ，e 2 ，的e 的矩阵表示。以此为根据，当且 仅当希尔伯特施密特范数恤0 ：= ( 0 4 曰) 0 ，并且当y - o o 时 。j = 1 p ，( f ) j o 我们的主要工作是分析这类解在以下两个扇叶中的长时期行为 墨= ( g ，p ) t ：i q , q 2 ，p j 0 x u j ：所有的j ) ( 3 3 ) 和 篷= ( g ，力圪。h q 2 0ux 2 u x u = rt 0 ， ( 3 5 ) 砧f l 2 + “d x ，z ， ， 【j 5 ) 这个方程涵盖了k d v 方程可积系统方面大部分重要的性质。例如，l a x 对的存在， 双哈密顿结构和多重孤立子解，更重要的是这个方程存在尖峰孤立波解。 当b = 3 时，可以得到可积的d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程 l 一鳅+ 4 比畋= 3 u 。+ “越，x r ，t 0 ，( 3 6 ) 这个方程也可以看做是浅水波动力学方面的一个模型。与c a m a s s a h o l m 方程 类似，d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程也存在l a x 对和尖峰孤立子解。 我们都知道c a m a s s a - h o l m 方程和d e g a s p e r i s p r o c e s i 方程都存在如下形式的 弱解 “( x ，) = 卯一印一 ( 3 7 ) 其中c 为非零常量。n 个尖峰孤立子之间的相互作用由速度p 心) 和位移 1 8 q j ( f ) ，江1 ，2