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青岛科技大学研究生学位论文 关于反对称反循环矩阵相关性质的研究 摘要 循环矩阵是矩阵理论的一个重要组成部分，且日益成为应用数学领域中一个 非常活跃和重要的研究方向。反对称反循环矩阵又是循环矩阵的一个重要组成部 分。它具有许多特殊的性质和结构，因此很有必要对其进行研究，并探讨其特殊 性质和特殊结构。例如：各种多项式表示形式、对角化、谱分解、非奇异性、特 征值、特征多项式、极小多项式、逆阵、群逆及m o o r e - p e n r o s e 逆的各种快速算 法等。本文主要研究内容如下： 首先给出了反对称反循环矩阵的定义并利用v a n d e r m o n d e 矩阵讨论了反对称 反循环矩阵的准对角化问题；并由所得到的结果，获得了反对称反循环矩阵的一 些相关性质，进而给出了一种简便的反对称反循环矩阵求逆的算法。其次，将反 对称反循环矩阵进行了推广，得到了几种分块反对称反循环矩阵，并对其中的两 种特殊分块的反对称反循环矩阵的性质进行了讨论。最后，在分块反对称反循环 矩阵性质的基础上，给出了其特征值和特征多项式以及相似对角阵。 本文共分三个部分： 一：给出相关的预备知识，主要是循环矩阵研究的国内外现状和进展、文中用到 的循环矩阵的基本概念、性质以及在矩阵理论和矩阵计算中经常用到基本运 算工具。 二：给出了一个新的矩阵类型一反对称反循环矩阵的概念，并给出了该矩阵的一 系列性质，以及利用v a n d e r m o n d e 矩阵将反对称反循环矩阵对角化，并给出 反对称反循环矩阵求逆的方法以及逆矩阵的性质。 三：给出了两种分块不同的块反对称反循坏矩阵的概念，并对他们的性质进行了 研究，给出了相关的结论。 关键词：反对称反循环矩阵对角化v a n d e r m o n d e 矩阵特征值分块反对称 反循环矩阵逆矩阵 关丁反对称反循环矩阵相关性质的研究 s t u d yo ns k e w - s y m m e t r i ca n ds k e w - c i r c u l a n t ma t r i c e s a b s t r a c t 1 1 l es t u d yo fc i r c u l a n tm a t r i c e s a l li m p o r t a n tc o m p o n e n to ft h em a t r i xt h e o r y , h a s b e c o m eo n eo ft h em o s ti m p o r t a n ta n da c t i v er e s e a r c hf i e l d si na p p l i e dm a t h e m a t i c s s k e w - s y m m e t r i ca n ds k e w c i r c u l a n tm a t r i c e ss t u d i e sa r eb a s i l i cp a r to fc i r c u l a n t m a t r i x d u et ot h es p e c i a lf e a t u r e so fs k e ws y r n m e t r i ca n ds k e w c i r c u l a n tm a t r i c e s i t s n e c e s s a r yf o ru st og e n e r a l i z et h e i ru n i q u es t r u c t u r e sa n dc h a r a c t e r i s t i c s s u c ha s ：a l l k i n d so f p o l y n o m i a lr e p r e s e n t a t i o n s ，d i a g o n a l i z a t i o n ，s p e c i a ld e c o m p o s i t i o n ， n o n s i n g u l a r i t ye i g e n v a l u e s ，c h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a l a n df a s t a l g o r i t h m s f o r c o m p u t i n gm i n i m a lp o l u n o m i a l ，i n v e r s e , s e l f - r e f l e c t i v eg i n v e r s e , g r o u pi n v e r s ea n d m o o r e p e n r o s ei n v e r s e ，a n ds oo n t h em a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e l a r ea sf o l l o w s ： f i r s t l y , w ed e f i n e ds k e w s y m m e t r i ca n ds k e w c i r c u l a n tm a t r i x a n dt h e n d i s c u s s e di t s d i a g o n a l i z a t i o nb yu s i n gv a n d e r m o n d em a t r i x , t h r o u g hw h i c hw eg o t s o m er e s u l t s w i t ht h e s er e s u l t s ，w ed e d u c e dr e l a t e df e a t u r e so fs k e w s y m m e t r i ca n d s k e w - c i r c u l a n tm a r x a n di nt h i sw a y , w ew e r ea b l et og i v eas i m p l ea l g o r i t h mo f r e v e r s i n go fs k e w s y m m e t r i ca n ds k e w - c i r c u l a n tm a t r i c e s s e c o n d l y , w ed e v e l o p e d t h es k e ws y m m e t r i ca n ds k e wc i r c u l a n tm a t r i xt og e ts e v e r a lb l o c ks k e w s y m m e t r i c a n ds k e w c i r c u l a n tm a t r i x ，t w oo fw h i c hw e r ed i s c u s s e db yu si nt e r m so ff e a t u r e s a n dc h a r a c t e r i s t i c s f i n a l l y , b a s e do nt h e s ec h a r a c t e r i s t i c s ，w eg a v et h ee i g e n v a l u e s a n de i g e n v a l u e sp o l y n o m i a l sa n di t sd i a g o n a lm a t r i x t h i sa r t i c l ei sd i v i d e di n t ot h r e e p a r t s ： i ： i tg i v e st h er e l e v a n tb a c k g r o u n dk n o w l e d g e m a i n l ya b o u tt h es t u d yo fc i r c u l a n t m a t r i c e sa th o m ea n da b r o a d ，t h eb a s i cc o n e e p t s ，c h a r a c t e r i s t i c so fc i r c u l a n t m a t r i c e s a n dt h eb a s i cc o m p u t i n gi n s t r u m e n t sw h i c hh a v eb e e nf r e q u e n t l yu s e d i nm a t r i xt h e o r ya n dm a t r i xc a l c u l a t i o n s i i ：i tg i v e san e wm a r xt y p e t h es k e w s y m m e t r i ca n ds k e w c i r c u l a n tm a t r i xa n da s e r i e so ft h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h i sm a t r i x a n dc o m e su pw i t hi t sd i a g o n a l i z a t i o n u s i n gt h ev a n d e r m o n d em a r x t h e ni tg i v e s t h er e v e r s em e t h o do ft h e s k e w s y m m e t r i ca n ds k e w c i r c u l a n tm a t r i x ，a n dt h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h ei n v e r s e m a t r i x i i i ：i nt h i sp a p e r , w eh a v eg i v e nt h ec o n c e p t so ft w od i f f e r e n ts u b - b l o c ko fb l o c k s k e w s y m m e t r i ca n ds k e w c i r c u l a n tm a t r i x ，a n dd i s c u s s e dt h e i rc h a r a c t e r s ，a n d p r e s e n t e dr e l e v a n tc o n c l u s i o n s k e y w o r d s ：s k e w s y m m e t r i ca n ds k e w - c i r c u l a n tm a t r i c e sd i a g o n a l i z a t i o n v a n d e r m o n d em a t r i x e i g e n v a l u e b l o c ks k e w - - s y m m e t r i ca n ds k e w - c i r c u l a n tm a t r i x i n v e r s em a r x 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人已 用于其他学位申请的论文或成果。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名： 麦【1 穹彳舌日期：伊叼年6 月，弓日 l 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解青岛科技大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论 文被查阅和借阅。本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行柃索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学 位论文。本人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文 或成果时，署名单位仍然为青岛科技大学。( 保密的学位论文在解密后适用 本授权书) 本学位论文属于： 保密口，在年解密后适用于本声明。 不保密口。 ( 请在以上方框内打“ ) 本人签名：占、l 鸯茄同期。了年f 月侈e l 新签名：差：逮吼j 。呷年否月弓f i 导师签名： 乏：乙 日期：jo 、呷年荔月弓 青岛科技大学研究生学位论文 1 绪论及预备知识 1 1 循环矩阵的发展和研究现状 自m u i r t 于1 8 8 5 年提出循环矩阵的概念【l 】以后直到1 9 5 0 年，对于循环矩阵的 研究并没有引起广大数学工作者的足够重视。1 9 5 0 年至1 9 5 5 年，i j g o o d 等人才 分别对循环矩阵的逆、行列式以及特征值进行了研究f 2 - 5 1 。 循环矩阵属于t e o p l i t z 矩阵类，t e o p l i t z 矩阵类的特殊性在于它有2 刀一1 个元 素并且每一条平行于主对角线的元素都相同。而循环矩阵更加特殊，除了具有 t e o p l i t z 矩阵类的一般性质之外，还具有比t e o p l i t z 矩阵类更加特殊的性质。它只 含有刀个元素，它的任意行都可以通过对矩阵的第一行进行置换得到。这种特殊 的结构使得它具有更特殊的性质，对它进行研究可以得到很多很有意义的结果。 近年来，循环矩阵己成为矩阵理论和应用数学领域中一项非常活跃和重要的 研究内容。它之所以引起广大数学工作者如此大的兴趣，主要是基于下面两个方 面的原因：第一，循环矩阵是一类非常重要的特殊矩阵，在现代科技工程领域中被 广泛地应用，特别是在分子振动、编码理论、图象处理、结构计算、计算机时序 分析等领域常常要用到这类特殊矩阵。第二，由于循环矩阵有许多特殊而良好的 性质和结构，已被广泛应用在应用数学和计算数学的许多领域，如控制理论、矩阵 分解、多目标决策等【1 0 _ 12 1 。 由于循环矩阵在应用方面的广泛性，自1 9 5 0 年以后，对它的研究引起了人们的 高度重视。它不仅受到代数学诸多专家的重视，而且受到了计算数学、应用数学 界等许多领域的研究人员的观注。另外，关于它的理论研究也得到了快速发展。 迄今为止，仅对于经典循环矩阵的研究文献已有很多。同时，各种新的循环矩阵 被相继提出，至今已有几十种，如：向后( 对称) 循环矩阵，循环布尔矩阵，g 一( 块) 循环矩阵，厂一循环矩阵，向后( 对称) ，一循环矩阵，块循环矩阵，块对称循环矩阵， 块厂一循环矩阵和块对称，一循环矩阵，二重( r t ，r 2 ) 循环矩阵，块因子循环分块矩 关于反对称反循环矩阵相关性质的研究 阵，块因子对称循环分块矩阵，多重循环矩阵，鳞状因子循环矩阵，置换因子循环矩 阵，循环模糊矩阵等【1 3 - 2 8 。我国学者在这方面也做了很多卓有成效的工作【2 粥2 1 。但 是作为矩阵理论的重要分支，反对称反循环矩阵的性质以及应用在很多方面仍然 值得继续研究。 1 1 1 几类循环矩阵的概念 在力学、物理学中，我们经常会遇到许多关于循环矩阵的计算和应用问题， 要解决这些问题，首先就要了解这几类特殊循环矩阵的基本概念。 定义1 1 1 例若，o l ，a 2 ，a n l 为复数域c 上的刀个数，刀阶矩阵彳= ( 口玎) 满足： ：p = j “：l 2 棚即。7 e f 2 2 1 口，。- ，f ， f 2 _ 72 ：1 2 。，7 2 杖p a = 称矩阵a 为，z 阶循环矩阵，简记为么= c ( a o ，a l ，a 2 ，a 川) 。 定义1 1 2 4 9 1 a o ，a 1 ，口2 ，a n 一1 为复数域c 上的 个数，甩阶矩阵a = ( 口f ，) 满足： q f ： 。_ - ，歹 ! ： f ，：1 ，2 ，7 z 最f l 圹1 飞州b 户1 2 即 a = 2 ( 1 - 2 ) o 之 o o 即即即； 诉， 一 一 一 一 ； 吒q ； 吩 q； 1 2 o 一 ， ； q o 之 0 o ； 一 一 一 疗 ； 鸭 吃q ； 嚼 q ； 电 q鸭； 吨一 o p 呀 口口口；1 啤； 1 青岛科技人学研究生学位论文 称矩阵a 为，l 阶反循环矩阵，简记为彳= c l ( d 0 口l ，a 2 ，a 川) 。 定义1 1 3 4 明 若，q ，口2 ，a n i 为复数域c 上的刀个数，刀阶矩阵彳= ( 口盯) 满足： = 舷二二= = i 篇篇“啦，删 铲1 1 咖- 2 州弗+ 2 b 产1 乙以即 a = ( 1 - 3 ) 称矩阵a 为n 阶对称反循环矩阵，筒记为么= s c 一。( 口0 ，q ，口2 ，a ) 。 定义1 1 4 【4 9 1 若彳。，a ，a 2 ，a 川为复数域c 上的刀个m 阶矩阵，m ? 阶矩 阵彳= ( 鸣) 满足 鸣= 恢- - 篡栌啦，即 a = 44 4 一，鸽 4 4 44 4 一。 4 一： ： 4 4 称矩阵a 为块循坏矩阵，简记为a = b c ( 4 ，4 ，4 ，a n - - 。) 。 定义1 1 5 e 例若复数域c 上的所，z 阶分块矩阵彳= ( 以) 满足 以= 一_ 二善，“乩2 棚即 3 ( 1 - 4 ) 鸭1 ； 啤 飞； 一 一 一 一 吩q ； ， q 吒巳； 嘞 q 吒； 一 一 o 一钆以4 缸 关于反对称反循环矩阵相关性质的研究 a = 称矩阵a 为块反循环矩阵，简记为么= b c ，( 4 ，4 ，4 ，4 一。) 。 1 1 2 基本循环矩阵类型 0 - 5 ) 在介绍了以上5 种特殊循环矩阵的定义后，接下来介绍几种基本循环矩阵类 型，它们对于本文要研究的矩阵反对称反循环矩阵的相关性质都起着至关重要 的作用。 定义1 1 6 【4 9 】称下面形状的矩阵 ol oo 0o lo 0 o l o 0 1 o o 为基本魔循环矩阵。 由定义1 1 6 易知 万= ( 赫 o 定义1 1 7 【4 9 】称下面形状的矩阵 为基本反循环矩阵。 7 7 = 01 oo 0o lo 0 o l o o 1 0 o 4 o - 6 ) ( 1 7 ) q 之 o o丸缸砧；厶 一 一 一 - 譬砧砧缸；以 4 4 4 ；以 4 4 砧；4 、 、 1 一 。 也 ， 鸽4 4 ；“ 鸽4 4 ；叫 青岛科技大学研究生学位论文 由定义1 1 7 易知 刀= 匕i l 。l - - i ) = 万( jn 0 定义1 1 8 2 1 已知l 为m 阶单位阵，0 为m 阶零矩阵，m n 阶矩阵g 满足 g = o i m o oo i m d d d d d d i m oo d d d d i m o o i m d d ( 1 8 ) 称矩阵g 为基本分块循环矩阵。 由定义1 1 8 易知 ，+ l r g 7 = b c ( o ，o ，l ，o ，d ) g 一= g t ”一) g “= i m x n 定义1 1 9 1 1 ：已知l 为m 阶单位阵，o 为m 阶零矩阵，m n 阶矩阵d 满足 d = 称矩阵d 为基本分块反循环矩阵。 由定义1 1 9 易知 5 ( 1 - 9 ) d d d l d d d l d d d l d d d l d d d d d d d d 关丁反对称反循环矩阵相关性质的研究 ，+ l ， d 7 = b c ( o ，0 ，l ，0 ，o ) d o = l 。 d ”= 一l 。 1 1 3 基本循环矩阵的性质 由于基本循环矩阵和基本反循环矩阵自身的特殊性，使得它们在本文中有着 广泛的应用，首先引入两个基本性质，这两个基本性质贯穿着论文始终。 性质1 1 1 复数域c 上的，z 阶矩阵彳= c 1 ( ，q ，一1 ) 是反循环矩阵， 当且仅当彳可用7 7 0 = ，7 7 ，7 2 ，7 7 俨1 线性表示，即 a = ，+ q 刁+ q 刁2 + + a l r l 俨1 ( 1 1 0 ) 其中7 7 = ol o o oo 一10 0 0 l o 0 l o o 性质1 1 2 【3 3 】任何一个刀阶反循环矩阵彳在复数域c 上都可以对角化。更 进一步在复数域c 上必存在同一个n 阶可逆矩阵，使所有n 阶反循环矩阵可同 时对角化。 一1 彳： 其中 阵： 0 f ( c o 1 ) 厂( 国，) = a o ( o f o + 口l 国f + 口l 彩，2 + + 口l o ) i ”。 ( 1 - 1 2 ) 刀阶可逆矩阵是由- 1 的n 次方根，q ，哆9 19 q l 组成的v a n d e r m o n d e 矩 6 q ， 0 0 ， 青岛科技人学研究生学位论文 a = 1 2 循环矩阵的基本运算 1 国2 国； 国；一 ( 1 1 3 ) 上一小节给出了循环矩阵的概念和基本性质，本小节将给出这些循 环矩阵的基本运算，如循环矩阵的直和、k r o n e c k e r 积都是矩阵运算的基 本工具。 1 2 1 循环矩阵的直和 定义1 2 1复数域c 上的m 阶矩阵么与n 阶矩阵曰的直和记作 ao b ，它是一个( m + n ) 阶矩阵，定义为 = 匕刳 m 两个矩阵的直和，其真实涵义是将两个矩阵按照对角线位置堆放， 直接组合成一个更大阶数的矩阵。类似地，还可以定义多个矩阵的直和， 如 一l b = 矾 i = o f ，4 i = l l = 4 0 4o o a 一l 根据定义，容易证明矩阵的直和具有以下性质： ( 1 ) 若c 为常数，则c ( ae b ) = c a o c b 。 ( 2 ) 若a b ，则aob boa 。 7 ( 1 - 1 5 ) ，粤?列 。q，听矿 ， 关于反对称反循环矩阵相关性质的研究 ( 3 ) 矩阵直和的复共轭、转置、复共轭转置与逆矩阵： ( 彳ob ) = a ob + ( 么ob ) 7 = a rs b r ( 彳。曰) - - a ob ( 彳。曰) 一= a - 1o 曰，a ，b 可逆。 ( 4 ) 若a ，b 为m 阶矩阵，且g d 为以阶矩阵，则 ( 彳曰) o ( c d ) = ( 彳o c ) ( b o d ) ( 彳oc ) ( 口o d ) = a boc d ( 5 ) 若a ，b ，c 分别是m 阶，刀阶，p 阶矩阵，则 彳o ( b o c ) = ( 彳o b ) o c = a o b o c ( 6 ) 矩阵直和的迹、秩、行列式： 一ln - ! t r ( 0 4 ) = t r ( a i ) r a n k ( ( d 4 ) = r a n k ( a i ) d e t ( 1 $ a , ) = nd e t ( a i ) ( 7 ) 若矩阵彳，艿分别是m 阶，刀阶正交矩阵，则么ob 是( m + n ) 阶正 交矩阵。 1 2 2 矩阵的k r o n e c k e r 积 彳，b 分别是m n 阶，px q 阶矩阵，则彳和b 的k r o n e c k e r 积a 曰是一 个m p xn q 阶矩阵，即 8 青岛科技人学研究生学位论文 彳o b = 口l i b 口2 l b a l 。b a 2 n b a i ba n 2 b a h n b ( 1 - 1 6 ) 因此，它可视为有m 个块行与以个块列的分块矩阵，其各块均为p x q 阶矩 阵。由此定义看出，一般情况下a 圆曰b 么。 k r o n e c k e r 积有下述重要性质： ( 1 ) ( a a ) o b = a p ( a b ) = 口( 彳圆b ) ，a 是纯量。 ( 2 ) ( 彳+ 召) o c = ( 彳0 6 3 + ( b 0 6 3 。 ( 3 ) a 圆( b + c ) = ( 彳o b ) + ( 彳圆c ) 。 ( 4 ) 彳o ( b o c ) = ( 彳。曰) p c 。 ( 5 ) ( 彳+ b ) c = ( 彳 c ) + ( b o c ) 。这里a c ，b d 有意义。 ( 6 ) 设矩阵a ，b 非奇异，则ao 曰非奇异，且( a 固b ) = a - 1o 曰一。 ( 7 ) 矩阵的转置、复共轭转置：( 彳o b ) 7 = a r 矿，( 彳 男) + = a + o 。 ( 8 ) 设a ，b 为复矩阵，有( ao b ) = a ob 。 ( 9 ) 设彳为所阶复矩阵，召为n 阶复矩阵，分别有特征值有 q ，与屈，屈，孱，则a 固b 为m n 阶复方阵， 其特征值为 乃，1 f m ，1 j n 。 ( 1 0 ) d e t ( a 曰) = ( d e t a ) ”( d e t b ) 。 ( 1 1 ) t r ( a o b ) = ( t ，( 彳) ) ( t ，( b ) ) 。 ( 1 2 ) 因方阵的秩等于该方阵的非零特征值( 计入重数) 的个数， 所以有：r a n k ( a b ) = r a n k ( a ) r a n k ( b ) 。 ( 13 ) 两个方阵的k r o n e c k e r 积往往可以保持原方阵的一些性质，因 此有结论： 9 关于反对称反循环矩阵相关性质的研究 设复数域上的彳b 分别为m ，l 阶复矩阵，若a 与曰皆为正规矩阵， 则a b 为m n 阶复矩阵，它也是正规矩阵。 ( 1 4 ) 若矩阵彳，b 分别是m 阶，n 阶矩阵，则 4 剧= ( 以。厶) 。( l 吃) o 。 1 2 3v a n d e r m o n d e 矩阵 定义1 2 2 若复数域c 上的i r l 阶矩阵么满足 a = ( 1 - 1 7 ) 则称矩阵彳为靠阶v a n d e r m o n d e 矩阵。 性质1 2 1记复数域c 上的v a n d e r m o n d e 矩阵彳的行列式为 d e t ( a ) = k ( 口l ，a 2 ，a 。) ，则 k ( q ，a 2 ，a 。) = 兀( q - - a ) ( 1 1 8 ) o j 口= 0 2 0 q o 咆 吒q o 一 一 l 2 3 川 肚 一一一 铀 青岛科技大学研究生学位论文 x7 a x = 0 充分性： 对于任意一个刀维向量x ，有x r 似= 0 令 即 因为 因为 ( o 1 ，0 ) 五= ，x o = x7 a x = 0 口i呸 一一ia oq a n 一2 - a n i a o 。a l- a 2- a 3 。 = a o2 0 x j 舣 = q 2 l 0 ； 1 j ： 1 j ： o a ”一2a n 一1 a n 一3- 2 a n - 4 - 3 一口”一ia o = 0 关丁反对称反循环矩阵相关性质的研究 即 ( o 1 j 1 - ，0 ) 口l吒 a n 一2a n l 一- 1口l 口h 一3a n 一2 一_ 2一- 1 - 4口n 一3 一q一口2一口3 一a n ia o j a o + n j - i + a o + n t j2 0 。+ a o = 0 = 0 哆一= 一哆o i = o ，1 ，2 ，z 一1 。 彳r ：一彳。 0 ： 1 f ： 1 j ： 0 = 0 又凼为么是反循环矩阵，所以么是反对称反循环矩阵。 定理2 2 5 任意一个咒( 咒= 2 p ) 阶反循环矩阵a = c - 。( a 。，q ，a 2 ，口川) 都 可以表示为一特殊的对称反循环矩阵b = s c _ ( b o ，6 l ，如，一书，一包) 与一 反对称反循环矩阵c = 篷。c - l ( o ，q ，c 2 ，0 ，- l ，c 1 ) 之和。 证明：设 a = c i ( a o ，q ，口2 ，a n 1 ) 即 4 之 町吩 勺 + + 一 _ 屯 哆 钆 1 ，。l 0 青岛科技人学研究生学位论文 设 即 设 即 a = 口oq 口2 a 。- 2一i a n i a oo l _ 3a n 一2 - a 月一2一a n - 1 口月_ 4a n 一3 一a i- a 2一a 3 一a n la o b = s c _ ， b o ，6 l ，如，乞，一- l ，一，) b = c = 叟l c - l ( o ，c l ，c e ，c p ，c p - l ，c 1 ) c = 其中f = 0 ，l ，2 ，以一1 。 因为召是对称反循坏矩阵，c 是反对称反循环矩阵。 可以令 2 j i = 丢( ) q = 三( 口j 一) 以办以；砌以办；觑 跣历；以历所；厢， 历既；以 g d 。c ；0 g q q ； ， 呸q o ； 飞 q o 1 ； t o 1 乇； _ 关于反对称反循环矩阵相关性质的研究 即 k c = 则 所以 一三( 吒+ ) 一扛。m ) 三( q 一吒一，) 三( 吃一一：) 三( - 2 - a 2 ) 三 三( q 一一。) 互1 ( q 一口3 ) 三 圭( q 一_ ) 三( 一一j 1 三( 五一口2 ) 丢( 一一q )三( q q 。) 三( q + 味。) 三( 吃+ 之) 三( + ) o 三( q + ) 互1 也。+ 吃) 一三“+ 。) o 三( + 口4 ) 一三( 一：+ 哆) 一三( 一+ q ) 一三( q + 吒一。) b + c = = 么 么= b + c 2 3 反对称反循环矩阵的对角化问题 ( 吒_ l 一口1 ) ( 一2 一a 2 ) ( - 3 一a 3 ) 圭( q ) 三心之 三( - 3 + 吩) 矩阵的对角化问题，对于求解特征值和逆矩阵，提供了一条捷径。 那么反对称反循环矩阵是否能对角化? 与反对称反循环矩阵相似的对角 矩阵的表达式是怎样的? 本小节将给出这些问题的答案。 一 之 七 o ； 一 一 一 疗 ； 鸭 呸q ； 鸭 q ； 哪 q啤； 吨 一 之 ； 咆 跏以 青岛科技人学研究生学位论文 定理2 3 1如果彳是反对称反循环矩阵，那么存在同一个范德蒙矩 阵使得彳= o a ( 1 ) ，这里： = 缈o 缈； 缈1 缈? 国2 缈； 1 国 一1 缈h 2 一i 缈；一彩，4 缈；一( ) 。n 一- i 忙o i ： ： lo o ；( 2 ，+ 1 ) 万 衅= 一1 ，哆= l “，i 2 = 一1 ，j = o ，1 ，2 ，万一1 ， 封 五。q q + 口2 哆2 + + 口p 1 哆p 。1 + 口，哆p + a p 1 略p 1 + + 口2 q “- 2 + q 哆柚， i = o l ，n - 1 仞= 2 p ) 丑= t l ( ) j r a 2 ( z ) i 2 + + 哆旷l o ) i p - i + a p ( o i p + a p o ) i p + 哆旷l 哆。一+ + a 2 ( , o i n 2 + q q 一- 1 i = o l ，n - 1 ( 甩= 2 p + 1 ) 证明：因为彳是反对称反循环矩阵 当n = 2 p 时， a = a p - i a p - 2 a p - 3 口p a p i 以p 一2 a p 一1 吃q a j 口 口3 口2 n p 一1 a 4a 3 一口2 一吩一a 4 一a p - ! 一a p a p - 1 0 a l q a 2 一a 3 一a p a p _ l a p - 2 一口l 0 设厂( 石) = a i x + a 2 x 2 + + 口p l x ，一1 + 口，x ，+ 口，一i 工，+ 1 + + 口2 x ”一2 + 口l x ”一1 ， ( 2 j + 1 ) x 由于叫= - 1 ，国，= d ” i 2 = 一1 ，j = o ，1 ，2 ，z 一1 ，我们可以得到： a l o ) i + a 2 q 2 + + 口p l ( 0 i j 口一+ 口p q p + 口p l 哆p + 1 + + 口2 q 一一2 + 口l 哆一一1 = 厂( q ) - - 以 吃q 0 q 0 q o 1 吃 关于反对称反循环矩阵相关性质的研究 一a i + o o j | f + 口l q 2 + + 口p - i 哆p + 口j p q ，+ + 口p i q p + 2 + + 口3 哆疗一2 + 口2 哆月一1 = 口l 哆2 + + 口p - i q p + a p q p + 1 + 口p - i q p + 2 + + 口3 c o i 疗一2 + 口2 q 疗一1 + 口l 哆一 = ( o i f ( o ) i ) 2 q 以 一a i a 2 哆一一a v o i p 一一a p _ l o i p 一一a 2 哆厅- 3 一a l o i 行一2 + o 哆疗一1 = 口l q 开+ + 口，一l 哆斛p 一2 + 口p q 肘p 一1 + 口p l 哆厅+ ，+ + n 2 哆2 刀一3 + 口l 哆2 刀一2 = 够卜1 厂( q ) = 哆肛1 乃 其中i = o ，1 ，刀一1 。 因为当f 时哆哆，我们可以知道范德蒙矩阵 西= 1 彩0 珠 - 1 q 国? 1 吐 喀 嚷一i ( 0 月2 一l 雠一缈? 一国y 叫n 一- l i 是非奇异的，因此上边的等式用矩阵可以表示为： 1 缈； 彩：九 1 国l 国? - 功h 1 彩：i 缈】，l ( ) 。n - i 缈l ? 九1 c o 九1 国：1 九1 缈；。1 九国y 矗o 。- j a 一1 ， o o 五 缈缈、九 青岛科技人学研究生学位论文 也就是 1 簖 ： 掰_ = a 1 q 砰 ： 群一 1 q l 。 ： q n 一- i i 气0 0 0 a 0 00 五 oo0 a = o a o - 1 。 当n = 2 p + l 时，我们可以用同样的方法证明。 推论2 3 1若彳是反对称反循环矩阵，令范德蒙矩阵 = 由定理2 3 1 的知识，可以推导出以下结论： 0 0 0 ： 以一 ( 1 ) d e t ( 2 e - a ) = d e t ( 2 e - 厶) d e t ( a e 一 ) d e t ( a e 一以一1 ) 。 1 1 - - lm ( 2 ) i a i = i 以l i | i 以一。i = 兀兀( 其中c o # 是h 的特征值) 。 i = oj = l 2 4 反对称反循环矩阵的逆矩阵 在解决了反对称反循环矩阵可对角化以及相似对角矩阵的问题后，我们要讨 论反对称反循环矩阵的逆矩阵问题，这也是本章的重点内容之一。 2 4 1 反对称反循环逆矩阵的性质 定理2 4 1设a 是n 阶反对称反循环矩阵，即 a = l c - i ( o ，a l ，口2 ，口p ，a 1 ) ， 若么可逆，那么彳_ 也是反对称反循环矩阵。 2 7 1吒蚶 2 2 2 h l吐露一吁 l 2 一 。q砰矿 o 2 o _ ! 。诉町 关于反对称反循环矩阵相关性质的研究 证明：只要找到n 阶反对称反循环矩阵 b = 篷。e 。( o ，6 l ，如，吃，岛) ， 其中6 ：为待定常数( i = 1 ，n ) ，使得 a b = i 即可。 其中i = c ( 1 ，0 ，0 ) 为单位矩阵。 a b = ( o 一口l 岛一锡如一一a p b p 一一口包) ，7 。+ ( o 一0 一口2 岛一- a p b p l 一一口1 6 2 ) 矿 + ( o + q 一l + a 2 b p 一2 + + o 一哆旷l 岛一一a , b p 一1 ) 7 7 ，+ + ( o + q 岛+ a 2 b 3 + + - i + + 吒岛+ o ) r 1 2 p - 1 因为 4 b = i 所以 o a l 岛一a 2 b 2 一一a p 6 一一a , b l = 1 0 0 一a 26 i 一一a p 6 _ 一l 一一q 6 2 = 0 0 + a l b p l + 口2 一2 + + o a p l6 1 一一口1 一i = 0 o + a 1 6 2 + a 2 b 3 + + 口p 一l + + 口26 l + o = 0 ( 2 9 ) ( 2 9 ) 式是以包( f = 1 ，2 ，z ) 为未知数，以a 的转置矩阵为系数矩阵的线 性方程组。由题设 d e ta = d e t a r 0 ， 故( 2 9 ) 式有唯一解 o ，岛，包，2 j i 。 而 a = o + b , v + b 2 r 2 + + b 7 p + + 6 1 7 7 2 p 一。 就是a 的逆矩阵且曰可由r l i o = 0 ，l ，n 一1 ) 线性表示，故b 是反对称反循坏 青岛科技人学研究生学位论文 矩阵。 2 4 2 反对称反循环逆矩阵的求法 近几十年来，人们为推广循环矩阵的逆矩阵的概念使之适用于研究 各类数学问题，做了大量的工作，使得矩阵求逆的基本知识成为矩阵分 析的基本内容之一，在本节中，将给出反对称反循环逆矩阵的求法。 引理2 4 1 8 1 记复数域上的以阶v a n d e m o n d e 矩阵y = 圪( 口l ，口2 ，口。) ) ， 则有 圪一t ( q ，口2 ，q ) ：! 圪r ( q - 1 ，锡- i ，口矗- 1 ) 。 上述引理是研究反对称反循环逆矩阵的重要组成部分。 定理2 4 2 若彳= 最。c _ 。( 0 ，口，口2 ，口，口2 ，口1 ) ，且当刀= 2 p 时，a 可 逆，则么= s _ i c 一。( o ，b l ，b 2 ，b v ，6 2 ，6 1 ) 也是反对称反循环矩阵。 其中吃2 言委“一，f 1 n - i _ ( q ) ，叫2 一l ，哆2 p _ _ ，f 2 = 一1 ，= o ，1 2 ，咒一1 。 ，( 2 ，+ i ) 石 证明：哆是一1 的聆个n 次方根： 彩，= e 一，f 2 = 一1 ，j = o ，1 ，2 ，n l 。 反对称反循环矩阵彳对应的多项式的值为： f ( o i ) = a l c _ o i + 口2 q 2 + + 口p i 哆1 p 一1 + 口p 哆，+ 1 q ，。1 + + 口2 q ”。2 + 口l q ”1 这里i = o ，l ，n - 1 ( 力= 2 p ) 。 反对称反循环矩阵的逆矩阵么1 对应的多项式为： g ( x ) = 6 i 工+ 6 2 石2 + + i z p 一+ b p x p + b p 1 x p 1 + + 6 2 x ”2 + 6 l x ”1 ( 刀= 2 p ) 由式( 2 9 ) 有： 关丁反对称反循环矩阵相关性质的研究 即 可知 则有 1 l l ( d o ( - 0 i ( - 0 2 国； 国1 2 彩； 一 1 c o 疗一l 缈n 2 一l 缈n n 一- l l l l l 诉 研 喀 1 ( - o n i 功h 2 一l ( 0 n 一- l i g ( c o o ) g ( c o p ) g ( 彩。一i ) g ( 彩o ) g ( 国，) g ( c o 川) ( 2 10 ) 由引理2 4 1 中刀阶v a n d e r m o n d e 矩阵v ( y = 圪( 口i ，a z ，) ) ，有 结合定理2 4 2 可知 k 一( 口。，吒，口。) ：三圪ra i a - ! , a n - ! ) 。 甩 1 =