（应用数学专业论文）单位球上f（pqs）空间到bloch型空间之间的加权复合算子.pdf

中文摘要 本文主要讨论了单位球上f ( p ，q ，s ) 空间到b l o c h 型空间之间的加权复合算 子的性质。给出了这两种空间之间的加权复合算子有界和紧的充要条件。全文 共分为四部分。 第一部分，简要介绍了本文需要用到的一些基本概念，并指出了近些年在这 个领域内的一些主要工作。同时在本部分的最后简要介绍了本文的主要结论以及 一些主要的推论。 第二部分，给出了本文所需要的一些引理及其证明。 第三部分，利用第二部分所给出的一些引理，证明了从f ( p ，q ，s ) 空间到 b l o c h 空间的加权复合算子有界的充分必要条件。 第四部分，证明了当0 ( q + n + 1 ) p - i 时，所讨论的加权复合算子紧的充分必要 条件。 关键词：b l o c h 空间f ( p ，q ，s ) 空间复合算子加权复合算子紧性有界性 a b s t l 弘c t t h et i t l eo ft h i sa r t i c l ei sw e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r sf r o m f ( p q s ) t ob l o c t y p es p a c e so nt h eu n i tb a l l a n di tg i v e st h es u f f i c i e n t a n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o r t h eb o u n d e d n e s sa n d c o m p a c t n e s so ft h e w e i g h t e dc o m p o s i t i o nf r o mf ( aq ，s ) t ob l o e ht y p es p a c e s t h ea r t i c l ei s d i v i d e di n t of i v ep a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，s o m eb a c k g r o u n da n ds o m en o t i o n sa r eg i v e n t h e m a i nr e s u l ta r i ds o m ec o r o l l a r i e sa r eg i v e nh e r et o o i nt h en e x tp a r t ，s o m ei m p o r t a n tl e m m a s ，w h i c ha r er e l a t e dt ot h em a i n t h e o r e m ，a r ep r o v e d i nt h et h i r dp a r t ，w ep r o v et h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n f o rt h eh o u n d e d n e s so f ? t h ew e i g h t e dc o m p o s i t i o nf r o mf i p ? q ? s ) t ob l o c h t y p es p a c e s w h e n ( q + n + 1 ) p l ，t h es u f f i c i e n t l ya n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o r t h e c o m p a c t n e s so ft h ew e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o rw h e n ( q + n + 1 ) p = 1 k e y w o r d s ：w e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r 。b l o c h - t y p es p a c e f ( 吼q s ) s p a c e ，b o u n d e d n e s s ，c o m p a c t n e s s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤鲞盘茎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文储签名豫仁钆签字日期2 0 0 彭年f 月争日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解叁鲞盘茎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨鲞盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：甲承币岛依沙 导师签名： 闱晰 签字日期：2 6 年f 月h - 日签字日期：2 。年f 月仁日 第一章背景知识简介 第一章背景知识简介 这篇文章里，我们用d v 表示c “中的单位球b 上使得”( 口) 一1 的规范化的 l e b e s e g u e 测度，d c r 表示球面o b 上的规范化的l e b e s g u e 测度，满足一( a b ) = 1 日( b ) 表示b 上所有的全纯函数的全体 对于b 上任意一点o ，令9 ( g ，o ) = l o g l l p 。( z ) l ，其中是b 上的m f b i u s 变 换，押足：垆。( o ) = o ，妒。( o ) = 0 ，妒。= _ p i l 任取0 p ，$ + o 。，一n l q 一1 我们称，f g ，s ) 如果 ，h ( b ) 而且 i l f l f ) _ i f ( o ) l + 榔s u p v f ( z ) 1 9 ( 1m 勺8 ( z ，口) 咖( z ) p + c o ( 1 ) 其中 v f ( 扣( 掣，一，掣) 当s = 0 时，称，属于函数空间f ( p ，口o ) ，如果 ，) - 叭。) 1 + 上阿( 圳”邛门a d r ( z ) ) 。 + 。 相对应的”小0 ”空间玛0 ，q ，s ) 是这么定义的：，属于f 0 ，q ，s ) ，如果 i 。：i l r a ，。j 。i v ，( z ) 1 9 ( 1 一i z l 2 ) 9 9 5 ( = ，。) d r ( z ) = o 为了讨论的方便，我们规定f o ( p 愚o ) 一f ( v 忍o ) 当a 之0 时，称，是b l o c h 空间伊的一个元素，如果，日( b ) 而且 l 口a = i f ( o ) l + s u p ( 1 一川2 ) 。i v f ( z ) l + c o ( 2 ) 我们都知道，当a 1 的时候酽是一个b a n a c h 空间而伊以及伊( o o t 1 ) 相对应的则是通常所说的b l o c h 空间和l i p s c h i t z 空间l l 由 1 9 】我们知道一 个全纯函数，酽当且仅当s u p ：；b ( 1 一阡) “i r f ( z ) l n ；f ( 2 ，0 ，8 ) = 仉，f ( 2 ，0 ，1 ) = b m o a 再比如当1 p o 。时，它就是b 盱g 咖空间，而且有 瑶= f 扫，p ，0 ) ；如果，l p + ，那么它就是b 空间，并且岛= f ( p ，p n 一1 ，0 ) ；而当一1 g o o 时，它是d i r i c h l e t 空间，而且有巩= f ( 2 ，口，o ) ；它还可以是 h a r d y 空日z = f ( 2 ，1 ，0 ) 等等上面这些函数空间的定义可以从f 2 1 】，【2 6 】中找到 假设( z ) = ( 1 ( z ) ，如( 。) ) 是b 上的一个全纯自映射，妒( # ) 是b 上的一 个全纯函数，由驴所诱导的复合算子瓯的定义如下 ( o ，) ( ：) = ，( ( z ) ) ； 由妒所诱导的点乘子为， 幻，( z ) = 妒0 ) ，( ；) ； 如果 ( - ，) ( z ) = 妒( z ) ，( ( z ) ) ( 这里，z b 而，是b 上的全纯函羹i 。那么，就说，是由和妒所诱导 的加权复合算子特别的，如果令妒s 1 ，那么，t = q ；如果令= i d ，那么 矸勺，= 知这样的话，我们就可以把加权复合算子看成是点乘子以及复合算 子的推广上面定义的所有的算子都是线性算子 尽管加权复合算子p 的定义很简单，但是对于包含此种算子的问题 的解答，经常需要深刻且应当引起注意的分析机制而且，关于复合算子的 研究已经成为当今复分析的一个主要的推动力 【6 】，【1 5 1 ，【2 5 】，【2 6 】，以及论文集 【5 】都是直到近十年的中期关于复合算子理论发展情况的很好的参考文献 最近几年，有许多论文中讨论了有关研究函数空间上的复合算子的问题( 一 维的情形，参见【1 】【4 】【6 】【l o 【1 1 1 ) 而最近，【7 】，f 16 | ，【2 3 】， 2 4 】， 2 2 】已经开始研究在 单位球和多圆柱上的复合算子的性质了从这些研究中，他们获得了在很 多不同的函数空间上的复合算子有界或紧的充分必要条件 本文主要提供由妒和妒所诱导的从f o , 忍s ) 到a - b h w h 空间伊的加权复 合算子的有界性和紧性的理论性描述当然，如果令妒= 1 ，它就包含了复 合算子的结果如果令= d d ，它还包括点乘子的结果综上所述，我们还 2 第一章臂景知识糠介 可以得出在单位球体中的b l o c h 型空间的结果这些结过推广了先前由比 m a d i g a u a m a t h e s o n 【1 1 】以及k m a d i g a nl l o 所给出的一维的情形时的结论 下面是本文关于矸0 。t 的有界性的主要结论 定理1 1 如果0 a 。 + o o ，一n 一1 q 一l ，a 0 ，而庐是b 上的 全纯自映射，妒是b 上的一个全纯函数那么由驴和妒所诱导的加权复合 算子矸0 ，：f ( p ，口。) 一伊是有界的当且仅当 。萎州l 静 嘴黼铲) 5 佃( 5 ) 以及 s u pg i 吐( p ) ) i v 妒) i ( 1 一2 ) o + o o ，( 6 ) 其中也是毋的雅克比矩阵，而 fl ，0 2 学 ， 然而，。t 的紧性的充要条件却远远要比有界性的要复杂的多这些 条件随着实数p 和q 的选取的不同而变化着 定理1 2 如果0 p ，。 + ，一n 一1 n 时， f 缸叮 a ) 就是之前定义的b l o c h 空间卢鲢； i ，这样，由上面的定理，我们有下面 这些定理t 推论1 1 如果妒= ，“) 是口上的一个全纯自映射，妒是b 上的一个 全纯函数，p o ，q 0 ，那么，：伊一伊是有界的当且仅当 。s u p i 若端梅 舢铧蝣辨糨害产迸) 。- b o o( ，) o e l 一 o l 以及 s u pg ，( ( ，) ) i v 妒( ，) i ( 1 一p 1 2 r + o o ( 1 2 ) 推论1 2 如果妒= 溉，如) 是b 上的一个全纯自映射，妒( z ) 是口上的一 个全纯函数，0 0 ，那么肌，：伊一俨是紧的当且仅当肌，十是有界 的而且当妒) 一卯时 。c s u 。p 一 。，i 妒( z ) i i ；而2 ：s 每 ! = 1 2 0 2 ；5 弓l l ； ；：； 6 ! 1 2 1 扯) + 。 ( 1 4 ) 郇( q s ( w ) ) l v q j c w ) l ( 1 一2 ) g 一0 ( 1 5 ) 这篇论文的结构是这样的，在第二章里面我们给出一些必要的引理，然 后分别在第三章第四章和第五章证明定理1 1 ，定理1 2 以及定理1 3 4 第二章几十引理及其证明 第二章几个引理及其证明 在文章的接下来的部分，我们用c 或者口表示一个有限的正数，与毛毛0 3 无关，当却有可能随着一些范数以及某些参数，如p ，口n 口 毛f 等的变化而发 生变化，不同的情况下可能有着不一样的值 为了证明我们之前给出的那些定理，我们需要证明下面这几个引理 引理2 1 如果0 p ，s + o o ，一忭一1 0 t 对v f f 缸q ，s ) ，有l t f l l 。e j l e l l f l f o , , ) 证明这个引理最早出现在【2 0 ，为了读者阅读的方便和本文的完整，我们 还是给出本命题的证明 首先，如果f f 慨吼s ) 取定0 r o 1 ，因为( r ，) o 日( b ) ，所以i ( r ，) o o , , i p 在b 中是次调和的于是，有 陋“p 叫等赫拦辩嚣 ， = 赤ki ) i 器基辉南面如) 一 而由在矧里的( 5 ) 式，我们有 1 1 + - - r o r o ( ” 0 ，那么存在一个常数c 0 ，使得，对v f 伊以及v z b ， 下面的估计 i ，( z ) i o g p ( z ) 协( 1 8 ) 第二章几个引理及其证啊 厩豆，兵甲瓯的足义参见( 7 ) 证明对v ，伊( 玩) ，因为1 1 1 1 妒= l ，( 0 ) i + s u p ( 1 一即) ，l v ，( ：) i ，于是，我们有 z t ， i f ( o ) l _ l l l l p ，以及阿i 拦 然而 他) = 邢) + j ( 1 砒 因此 ， i ，( = ) isi ，( o ) i + 川i v f ( t z ) l d t , o s 川妒+ i i i i 伊0 1 f 南蚓i p ( ，+ ，南) 当p = 时，z “害；= j l h 硼1 + i z ls ；h r 备，因此 i f ( 圳1 - - i - 弘1 南) 胪 如果p 1 ，那么 一叫南=o“i南sojoj oo 睁( - v ：- i - o , = 警，研2 面习研s2 f ， 因此。当o 0 ，使得i 妒( z ) i c 比m ，并且( m ) 在b 内是紧的，我们有 l 妒0 ) 6 。( 妒( z ) ) l c 1 f k 。( 妒0 ) ) i ，0 在m 上一致成立再由肘的任意性。我们得到在b 上，9 ；0 而这个对任意 的子序列 办。 都成立，于是我们有当j 一+ 时，在伊上，有矸0 ，t 6 ，一0 另一方面，在k 上取定一点b 如果 g j 。b ) c 坼= b f 0 , , 。) ( o r ) ，其中 b f ( p ，。) ( o ，r ) 是f 慨q ，s ) 上的一个球，那么由引理2 2 ， 彩，b 在b 中的任意一 个紧子集m 上是一致有界的由m o n t e l 引理， 取 ) 是正则的。于是有一个 子序列 口j 小 ，在b 的任意一个紧子集上一致收敛于g beh c b ) 从而在b 的任 意一个紧子集上，v 鼽。，6 一致收敛于v g b 记玩= b ( o ，1 一 ) c c ”，那么 厶l v g b l p ( 1 一2 ) 4 9 。( z ，d ) 西( z ) 2 女里丘。i v 。b l ( 1 一汗) 。g ( # ，口) 西( z ) = ! 卑k m 望挈j 蠢l v 鲫m ，b l ( 1 一i z 2 ) 9 矿( 毛0 ) 如0 ) 但是 ，6 cb 列m ，) ( o ，r ) ，于是 ， fl v 口，6 l ( 1 一川2 r g a ) d k z ) ， j b k 从而 ， | v g b l 0 一h 2 户g ( ：，口) 咖( ：) 5p 因此i i g b l l 跏, ) r ，而且g b f ( p ，q ，s ) 所有序列t 9 如，6 一舶 满足i l g j 。b 一9 6 8 s2 r o o 而且0 在b 的紧子集上一致收敛于o 由引理的假设，我们得到在矿里， c g j 6o + 妒舶0 7 第二章几个 i 理及其证明 于是集合矸，妒。( j r r ) 是相对紧的，从而命题成立 引理2 4 如果0 0 ，使得 卸s u p 。 两象器鼎新i v 他 。e c s u 。p 一埘二、，( ：1 - i 业z 1 2 ) l u l 2 坐+ l 1 2 令q = m j n l ，1 ，c 2 = m l a a 2 ，1 ) ，我们有 a似0)h卵sup。姥瓣耥ilfll,i “l o c 2 i f ( o ) l + 。c s u 。p 一 。 彳i ! l ；* ；j ! i i ! 斧o e u 一 0 于是。定理成立 引理2 5 任取0 p ，8 + 0 0 ，一一i 0 使得 怨厶豫黜僻研c i i z i 2 ) 9 矿o ，n ) 面( 。) 岛 ( 1 9 ) 对任意的c ，b 都成立 证明很容易证明，如果0 ，那么一l o g ( 1 - z ) 时， 亦即 一l o g ( 1 一( 1 一l 妒。c z ) 1 2 ) ) 4 ( i k k ( z ) 1 2 ) ， ( 2 0 ) g ( 2 ，o ) n 时 。( 圳， lf 啬凼 雨( 1 - i z l 2 ) 。矿( 那) d l ，( z ) s 。i 。j ，。，盟= 岂芝筹爿篱譬答罱士鲁；! ；i 撑：z 如妊) r 2 ，1 = 正。眦俨。，器糕糈埔若装茹咖( z ) 卜叫 厶c 划啦芝萨咖( = ) c ， 其中最后两个不等式是由 1 2 1 中的定理1 4 1 0 1 1 1 1 2 1 以及不等式l i 一 i 1 一得到的 而如果s n ，任取毛一，天满足 一 1 ，熹南， 一1 而且( g + 5 一a ) 一 一i 于是由h s l d e r 不等式， 凡。( 州f 卷凼糍碲( i - i z l 2 ) 。矿( ”) 咖( z ) ，i ；胁( 州叫券斡鬻栏墓篙牡幽( z ) s 2 厶麒癌斜糕必档嘉掣也咖( “， ( 2 2 ) c t r e 8t ( f l = - 乏 w z l ；2 ) ；p = 耳( 躅1 - 1 干z ；2 芋) 蒂a 删铲, ，x ，、- j - l f j r 暑也划苇兰善兰 ；k 鹾咖o ) ) 同时 j j 州圳。s j 耳蒜导而( 1 一i z r 2 ) 。矿( 那) 咖( z ) = 缸j 砖拶器书麟器击籀嘉l o g l 由咖( u ) scj j 。f i 匹币忑水每番 三；笔万pl o g 由西( 动 f 2 3 ) = c 正妪 t r = 矗吾p 蚍5 击咖( u ) 一 scj ；。i j l o g * 由幽( c 厶埘由面( u ) o 使得对v t 一1 以及z 口，有 厶i 蛔t = 荔1 艿1 2 f 吲磐嘉咖c ( 1 0 9 r = ；l ，) 2 ( 纠 证明我们记左边的积分为五并且令2 a = n + 1 由蜘展开式， i l o g 去1 2 - - i - o o 旦鼍型 以及 南= 盖帮 一 因此，有 五= 厶薹盏蝴 m m ( 1 咔i 撕) = 薹薹。喜1 而r 枷( x + t c 啦) r ( 。x ，+ ( 0 矿厶i i 吼批1 一i 呐i t 咖 不失一般性，不妨令；= i * 1 e ，则 j ； i f 2 “+ 砷( 1 一p 1 2 ) 如( l ，) = 厶( k ) 。“”耐( 1 一曲f 2 ) 如如) 2 2 n j ；j 矗矿“一1 i 1 2 ( ”j 础j 2 ( u + ( 1 一矿) t 出峨( 0 2 2 叫z 1 2 ”詹p 2 h 一1 ) + 1 ( 1 一p 2 ) 。和j ki 矗1 2 ( ) 砌( f ) ；n f 引讹删镣瓮鬻斟瓮鼯裂 一业凇等等去型蝌竹n ， 所以 五= 薹薹“+ 墓k - 1 横粼猕t ) - t i 删i i ) 五2 暑磊毒群害糨将譬潞荆删”埘 2 薹篆黼勰铲苫1 尚1 2 i ：c 州 2 善* p o o 善+ o o 鼍蒜器鼎擀苫1 黼例：埘 + 薹删詈黼“ = - t - 如， 由s t i r i i n g 公式，存在个绝对常数q 。t 掣蚓h ，粼a 扣叫一x ， 错s 酬，! 学州一， r ( 2 + ) 2 v 1 ” 1 广l ，l e 第二章几十引理及其证明 对任意的f ，t ，女1 郡成立，于是有 五s 讲薹薹型嚆笋坚篙1 南撕+ ) 以及 五s 研薹华喜篙h “ 注意到当m 22 时，有 警篙删。蛾尬 从而存在一个常数c ，s t 五c 蔓篁皿衅赫壁兰扣+ ) l o g ( + 川撕埘 = c 誉薹科南掣洲耕耐 t = 1 女= 1 c 至互击蜊) = o ( i o g r 南) 。 如c 挚型班譬挛竺t p 一2u j z l 缸 = + c 竺- - - 董1 帮it a l u 由警l o 蚺g 而很显然，厶也可以由( 1 0 9 南) 2 来控制从而此引理成立 引理2 7 假设0 n ，则存在一个常数c 0 ，使得v z b ，有 罂厶( 1 0 9 南) 一l l o g 、1 蕊l 螬篆等尥。) 面( z ) q 蛀) 如果。曼n ，那么如果取。满足m “ l ，；) 。 m x 1 ，封) ，那么 罂暑厶( 1 0 9 t = 两) 一5 i o g 南l 。$ 笺篆器矿。，。) 咖( z ) d 证明i ) 注薏到 ( k 南) “1 1 0 9 南i = ( 1 0 9 南) 。l 蓦宰l s ( 1 0 9 南) 。1 薹毕 = ( 1 0 9 d 珂) “l o g 赤r 1 1 1 第二章几十引毽蔑箕证明 以及当； 一1 成 立从而有t 凡；f 。( 。) l 。- ( 1 0 9 南) 一：i l o g 南i 。耳= 矗研( 1 一i z l 2 ) ，一“一1 x g ( z ，d ) 咖( 力 。眦胪。，( 1 0 9 南) 一o l l o g 取 石产华老葛若兰黜弘幽( z ) s2 厶( 培南) _ 2 ll o g 南1 2 器菇皋幽( z ) ，j 厶必型蔷若笨划型如( z ) ) 古 a 其中最后一个不等式由引理2 6 以及【1 2 】中的定理定理1 4 1 0 得到的 同时，注意到z 1 ，我们有 硎。l ( 1 0 9 赤可) 一o il o g i = 乏 石1 2 铠搿蒂矿( 郇) 咖( z ) s 圳。l 锭磐篙等矿( 柚) 咖( 力 = * ；铠姥糕茅古老辫勘l o g i 咖( c k s j 两矗狮一苦岩器芒高l o g ：西( = c j ；。i 。j l o g ：咖( c j l o g ：如( ) 。 注：当。 n 时，我们可以证明有卢：! 学cf ( p 舟s ) ，如果我们用在引理2 5 以及引理2 7 里同样的方法的话这样，结合引理2 1 ，我们知道当8 n 时， 有声2 半2 = f g 8 ) 引理2 8 如果加权复合算子w 0 ，t ：f ( p ，q ，s ) 一伊是有界的，那么对于任意满 足l 妒) l 、；的u b 以及对任意的”一 o ) ，都存在一个函数丸，f b ， ) 使得 ) 3 c 0 ，与i 以及无关，8 t i i 厶，。ij f ( p m ) o ，使得对以及u ，下面的式子成立z 慨以一i p - _ c m ) f 高高车尹 业嘴端黼黜学坐坐) j ( 2 5 ) 1 2 第二章几十引理及其证嘲 向量 如果 庐) j 、，t 丽而且可石矿l 如如) u i i i 取 鼬，= 苦等器 ， ( 1 一z 1 ) 广” 那么有 幽=-。1-r(+半譬鲁)wzx)pozl 1 1 7 、2 + 1l p一z 1 ， 掣_ o ， 于是，有 7 阿砒如”三蔫喾i s ( 1 + 墨学) - j 赫。 一 由引理2 5 ，厶。f ( p 愚s ) ，i l g r 存在一个与u 和“无关的常数c 0 ，s t i i 厶，。0 c 也l l pt ) 成立 另一方面，由( 2 ) 0 w ；厶，u 户( 1 一川2 ) 。i v ( w e ，丘 ) ) l f 2 8 ) 注意到 = e 1 山) u ， 利用引理2 4 ，我们有 f i 吼一厶汕c ( 1 一邮) 8 圳蔫端粉f 2 c ( 1 - l “1 2 ) 。i - - s o d ( 1 棚1 - - 二峄r 2 们。e l j 竹, ( w ) u i t l - ii = = = ：而i ( 1 一吒) r 卜工v “j h + i ri 刮州i 势l 布黼拳紫舞i ， 从而，由假设的条件，我们有 o 川应c i 弛) i 捌簪迈甓篇藉箬冬等型 = c i 州i 高舞年 业嘴黼稚陈铲趟p 第二章几十引理豆其证明 如果 1 一i ) 1 2 i 如) 训i 1 记j j ) ”= 恤，缸) t 对于 j = 2 ，n ，令毋= a 唱6 以及q = e 一坩j ( 如果白= 0 ，就令哪= o ) 令 删= 虹舞差芦磐业， ( 2 9 ) 那么有 必a z l = 等芸每娑她一一， ( 1 一。1 ) 型产+ 2 一 ” 以及 掣=石ak(1孑-r：阿)s21 小2 ， 4 缸 ( 一z 1 ) 二专。+ 于是。 陬删= 但至巫互翌至三罡妥 2 1 坐笔筹掣+ 高攀蕲 型等釜堂：擀， 群。+ l - i - a + l 、坐掣+ - 。 堂i i - r 型。z x l 鉴p 螽1 1 一瑶+ 圮( 学+ 1 ) 2 ) 降 。i j l - - 萼r 2 再， 从而，由引理2 5 ，我们知道，厶，。f 慨q ，s ) ，而且厶，。满足i ) 接下来我们需要估计i i w , ，凡，。i i 。，因为i ) i 压和 r 可石研i 如) t | i i ， 我们有 狮矿可晒厢孺丌f = 1 丽 蚓 从而 l 如1 2 + + i 矗f 。：( 1 1 1 2 + + l 矗1 2 ) 1 4 第二章几个引理及其证明 l l w , 。丘一蚣c ( 1 一4 l 妒圳杀鲜筹措舞i = c ( ，一| 2 ) 。i 妒( u ”石! ：i 鐾5 量专i 关：等；：；券 兰黧= 麓萋菱篓薰黧 m ， c ( ，一p j 2 ) 0 1 妒( u ) f 鼍兰：宝釜；苫弓薯呈；i ； ；：i 未；等 叫 c ( ，一p 严) 叫妒( u w 石二鬲莘三乒g 弓；鲁； 蓦： ；笔再 2 c i 州i 商箫年 绌啪端黼黜铲谜) j 由上面的讨论，对任意的u b 满足l 妒) i 俩柚d “c “一 o ) ，都存在 容易知道，对任意的u 和u ，下面的式子 i l “( j 0 1 虫 - ( 1 一x - 7 = - “再 ( 1 一2 ) 广” 事实上，由，。( z ) = v ( 丘盱1 ) ( z ) = ( v 九，。) 0 叼1 ) ( 盱1 ) t 以及i z w l l = 厶l v 钆，。c z ) 叭l 例2 ) 。矿( 而如( z ) = 厶l ( v 厶，。) ( = 1 ) ( u 1 ) 7 l ，( 1 一2 ) 。矿( z ，o ) 咖( z ) = 厶i v 厶，( z ) l ，c + - 一 z 1 2 ) - 矿( z ，o ) 西( ? ) 其中最后一个等式我们利用了线性变化z = z 巧t 以及函数空间f 缸吼s ) 在 0 l l l p c , , m ) = 0 鼬 l i p + , ) 这样的话，对于这些情形，我们可以利用完全相同的方法证明我们的结 论，这些细节我们就不在这里讨论了 引理2 9 如果0 p 1 ，那么对于任意的，伊以及2 = n l ，的z ，t i ，b ( 其中， r 是个实麴，都有 二- m 胚磐卜矿i ， ( 3 2 ) 1 5 第二章几十 i 毫爰其证明 特别的，如果0 丛p l 土 0 使得 i f ( z ) 一川i c 哗挚i z 一扩i ( 3 3 ) 对任意的上面所给出的f f c p 忍s ) 以及毛 b 都成立 证明记f ( 0 = f ( t z + ( 1 一t ) ”) 那么 l ( z ) 一，= f ( 1 ) 一f ( o ) = = f ；f ( t ) d t = 詹墨l 01 t z 4 - i 掣1 - t w 一w k ) d t 篁j ： 出 因而有 i ，0 ) 一，( 加) i = l j ： d t l j 苫l v f ( t z 4 - ( 1 一t ) w ) l l z w l d t 而，尹，很显然，有下面的式子成立 m 胚水黟s 器，v z 姐 注意到如果两个实数吼b 满足i a + b i 1 ，川 1 以及川b 1 ，那么l a + b i + m - i - b t ( 1 一i o l i b l ) 1 而我们的假设是存在一个是谁r ，使得：= 一， 因此，有 i f ( z ) 一f ( w ) ls 詹础鬻黜舾出 詹趟辈寒靠出 如果1 一川一i z 一训0 ，那么 ，( 石) 一f c w ) ls j ：i 仁i l i y 训l l 贮驰l ：- 一t 训* 1 ) _ 。- 1 ，, 冬鲁警( 1 一f i - t l z 一”i ) ( 1 一曲i o ( 3 4 ) = 等兰 ( 1 一l 1 ) 1 一p 一( 1 一i l k 一 1 ) 1 一) 记妒( $ ) = 1 一b l - p 一缸一6 ) 1 - p ，$ ( 6 ，曲，那么 矿( = ( 1 一p ) 善呻一( 1 一p ) 扛一6 ) 一，= ( 1 一p ) ( 刍一石面1 ) 。 因为b z n 因此有妒 烈砖= 0 ，或者8 1 - ，一6 l p 一如“) 1 一 0 ，如果6 “ 如果我们令o = i 1 w l ，6 = 忙一”l ，那么，有 ( 1 一1 w i ) 1 一 i z 一1 i ，1 1 一+ ( 1 一i t i ，j p 一 i ) 1 一 第二章几个荸l 理及其证哽 再注意到( 3 4 ) 于是，我们有 i f c z ) - ，( 训s 甓卜计- ， 如果1 一川一k 一 i 2 3 的，b 以及 每个u 一 o ) ，都存在一个函数凡a f 0 , ，吼8 ) 使得l i 允i i f 0 , m - ) c ，而且 i l 矸勺，t 丘，u 怯 到州f 高恭年 绌嘴槲黼裂俨迸) | f 但是0 h 0 厶，怯si l h 0 ，洲厶。i i f ( p 。) ，于是我们得到 似) | 蔷器年 幽畔蝌懈笔筹俨燃) ( 3 8 ) & 由式子( 3 7 ) 和( 3 8 ) ，我们得到( 5 ) 成立 如果0 2 警 1 ，我们令 丘( z ) = 毫匝 那么有 a 丸( z )n - i - 1 - i - 口( 1 一圮) 百p 石i 万平雨 口2 l n n 翻1 一十1 1 9 第三章定理1 1 的证明 以及 掣一o ，一 因此，由引理2 5 ，厶f 0 ，g ，司，并且 l l 厶0 p 扣幽) sg 对任意的u b 都成立从而，有 ( 1 - 旧叩州l g 半) 5 等笔菩晕掣 = ( 1 一1 2 ) 。i v 妒( u ) 厶( ( u ) ) i ( 3 9 1 s ( 1 一川2 ) 8 l v 渺厶o ) p ) l - i - i 妒p ) v ( 丘。庐) p ) 仔 sl i i 厶i i 口+ ( 1 一川2 ) 。l 妒0 ) v ( 丘o ) i ， 而由我们的假设，w j ，t 是有界的，因此我们有 0 h 0 ，t 丘l b a e l l 允8 f ( p ，“) g 这样的话，由引理2 , 4 ，( 5 ) 以及我们的假设，有 ( 1 一p 1 2 严l 妒( ) v ( 凡0 纠( u ) i 如。援柳掣黼溯渊