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各向同性双材料界面问题理论研究 摘要 由不同材料性质的介质沿界面组成一体的材料称为“双材料。由于这种双 材料具有单一材料所不具有的综合性能，因而在工程上的应用范围不断扩大，尤 其是被广泛地应用于航空、航天工业中。 双材料在界面处容易形成裂纹，沿界面存在的裂纹称为界面裂纹。各向同性 弹性材料之间的界面裂纹是研究的最早最广泛的课题，但其结果表明在裂纹尖端 处裂纹面有相互嵌入现象且应力具有震荡奇异性等不合理现象。对于裂纹尖端在 界面上的裂尖应力场、位移场的研究在薄膜涂层等方面有重要的应用。本文通过 构造各向同性双材料裂尖垂直于界面的力学模型，采用复变函数方法得到裂尖垂 直于界面的裂尖应力场、位移场，其应力场没有振荡奇异性，位移上下面没有相 互嵌入现象。 首先，通过构造新的应力函数，结合待定系数方法建立了各向同性双材料应 力函数所满足的八阶齐次线性方程组，通过一系列数学分析，得到了特征方程， 进而获得了各向同性材料裂尖垂直于界面的裂尖应力场、位移场理论公式；其次， 选用不同的结合材料，讨论双材料参数对应力场的影响，并利用m a t l a b 进行 图像模拟，可以得到双材料参数对应力场、位移场的影响规律，其结果为工程设 计提供了理论指导。 关键词：偏微分方程；边值问题；应力场；位移场 i n v e s t i g a t i o no fi s o t r o p i cb i m a t e r i a li n t e r f a c i a lp r o b l e m a b s t r a c t t h em a t e r i a lw h i c hi sm a d eb yd i f f e r e n tm e d i aa l o n gi n t e r r a c i a li s c a l l e d b i - m a t e r i a l a sb i - m a t e r i a lp o s s e s s e sm a n yf u n c t i o n sw h i c h s i n g l e m a t e r i a ld o e s n t p o s s e s s ，i ti sa p p l i e di ne n l a r g e de n g i n e e r i n g f i e l d s ，e s p e c i a l l y ，a v i a t i o na n ds p a c e f l i g h ti n d u s t r y t h ec r a c ki sf o r m e de a s i l ya ti n t e r r a c i a l p l a c e ，w h i c hi s c a l l e d i n t e r f a c i a lc r a c k t h ei n t e r f a c i a lc r a c ko fi s o t r o p i ce l a s t i cm a t e r i a li s s t u d i e de a r l i e s ta n dt h em o s te x t e n s i v e l y b u tt h er e s u l t sf r o mt h e i n v e s t i g a t i o ns h o wt w ok i n d so fp h e n o m e n a ，o n ei se m b e d d i n go fu pa n d d o w nc r a c kp l a c em u t u a l l ya tt h e c r a c kt i p ，t h eo t h e ri sc o n c u s s i o n s i n g u l a r i t yo fs t r e s sf i e l d sn e a rc r a c kt i p ，w h i c hi si r r a t i o n a l u n d e rt h e c r a c kt i po fi n t e r f a c e ，t h er e s e a r c ho nt h es t r e s sf i e l da n dd i s p l a c e m e n t f i e l do ft h ec r a c kt i pi sv e r yi m p o r t a n tt ot h et h i nf i l mc o a t i n g sc o m p o s i t e m a t e r i a l se t c i nt h i sp a p e r ，t h ei n t e r r a c i a lm e c h a n i c sm o d eo fi s o t r o p i c b i m a t e r i a li nw h i c ht h ec r a c k t i p i s p e r p e n d i c u l a rt o i n t e r f a c ei s c o n s t r u c t e da n dt h ec o m p l e xf u n c t i o nm e t h o di s a d o p t e dt oo b t a i nt h e s t r e s sf i e l da n dd i s p l a c e m e n tf i e l dn e a rc r a c kt i p ，a sar e s u l t ，t h es t r e s s f i e l dd o e s n th a v ec o n c u s s i o ns i n g u l a r i t ya n dd i s p l a c e m e n td o e s n th a v e e m b e d d i n gp h e n o m e n am u t u a l l y f i r s t l y ，a n e ws t r e s sf u n c t i o nw a s c o n s t r u c t e d ，c o m b i n i n g u n d e t e r m i n e dc o e f f i c i e n t - m e t h o d ，t h ee i g h t r a n kh o m o g e n e o u sf u n c t i o n g r o u pw h i c hc a ns o l v et h es t r e s sf u n c t i o no fi s o t r o p i cb i m a t e r i a li s d e d u c e d b y m a t h e m a t i ca n a l y s i s ，t h es e c u l a r e q u a t i o n i s o b t a i n e d ， f u r t h e r m o r e ，t h et h e o r e t i c a lm o d u l eo fs t r e s sf i e l da n dd i s p l a c e m e n tf i e l d n e a rc r a c kt i po fi s o t r o p i cb i - m a t e r i a la r er e s u l t e d s e c o n d l y ，b ys e l e c t i n g d i f f e r e n tc o m b i n i n gm a t e r i a l s ，t h ei n f l u e n c eo fb i m a t e r i a lp a r a m e t e r st o s t r e s sf i e l di sa n a l y z e d l a s t l y ，i nv i r t u eo ft h em a t h e m a t i c ss o f t w a r eo f m a t l a b ，t h eb i m a t e r i a lp a r a m e t e r si n f l u e n c e dr u l ei m a g eo fs t r e s sf i e l d a n dd i s p l a c e m e n tf i e l da r es i m u l a t e d t h er e s u l t s p r o v i d et h e o r e t i c a l i n s t r u c t i o nt oe n g i n e e r i n gd e s i g n k e yw o r d s ：p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；b o u n d a r yc o n d k i o np r o b l e m ； s t r e s sf i e l d ；d i s p l a c e m e n tf i e l d i i i 承诺书 承诺书水话吊 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导 下独立完成的，学位论文的知识产权属于太原科技大 学如果今后以其他单位名义发表与在读期间学位论 文相关的内容，将承担法律责任除文中已经注明引用 的文献资料外，本学位论文不包括任何其他个人或集 体已经发表或撰写过的成果 学位论文作者( 签章) ： 2 0 0 年月日 绪论 绪论 o 1 论文研究的背景及意义 随着各类功能梯度材料、复合材料等先进材料工业应用范围的不断扩大，由 不同材料组成的界面力学行为越来越受到人们的关注。我们把两种不同或者相同 的材料，利用某种结合方法连接在一起使用的结构或组合材料，称为结合材料， 而其结合部称为界面。由两种不同性质的介质沿界面组成一体的材料称为“双材 料”。双材料在界面处容易形成裂纹，沿界面存在的裂纹称为界面裂纹。结合材 料在界面处存在各种各样的缺陷，导致结合强度低，而且会因界面的存在引发应 力集中并产生残余应力等，使界面附近的材料处于较高的应力水平。因此由结合 材料构成的结构或组合材料的强度和寿命取决于界面的强度寿命特征。日常生活 中我们总是自觉或不自觉的利用界面的特性，比如：利用粘接界面的抗剥离能力 较弱的特性，来设计包装的封口等。 许多学者【1 - 9 】对界面裂纹的强度问题进行了大量的研究工作。各向同性弹性 材料之间的界面裂纹是研究的最早及最为广泛的课题，但其结果显示：在裂纹尖 端处裂纹面有相互嵌入现象，而且应力具有振荡奇异性等物理意义上的不合理现 象，这是由于裂纹模型不合理假设所引起的。因此，如何建立合理的界面力学模 型和构造合适的应力函数，消除裂纹尖端应力场的振荡奇异性和裂纹尖端处裂纹 面有相互嵌入的不合理现象，求解出界面裂纹附近应力场的理论解析解，进而达 到结合材料或结构强度寿命评价及其优化设计的目的，以适应工程技术的发展需 要，就显得尤为重要了。 0 2 各向同性材料界面裂纹的研究进展 各向同性材料之间的界面裂纹是研究的最早及最为广泛的课题。对界面断裂 力学的研究起始于5 0 年代末。19 5 9 年w i l l i a m s 1 0 】将双材料结合部位理想化为界 面，最先分析了各向同性材料界面裂纹问题。他采用渐近级数展开法，得到i 型 li 和i i 型裂纹尖端应力具有，1 ”的振荡奇异性、型裂纹尖端应力仍具有，1 的奇 异性而无振荡性的结果。后来r i c e 等人【1 1 1 8 1 采用复变函数方法分析了各种典型 的界面裂纹问题，也得到了与w i l l i a m s 解相同的结论。在如图1 1 所示的双材料 1 各向同性双材料界面问题研究 界面裂纹模型中，界面裂纹的定向条件为： ( 1 ) 界面粘结区的应力、位移连续条件： j 仃y ( ，o ：= o - y ( ，0 。) ( o 1 ) 【( ，0 + ) = ( ，0 一) j 甜r ( ，o ：= 甜z ( ，o 一? ( o 2 ) 【u y ( ，0 + ) = u y ( r ，0 一) ( 2 ) 裂纹面的应力自由条件： 仃，( ，+ t r ) = f 。( ，7 r ) = 0 ( o 3 ) 按平面弹性问题的复变解法， 引入复势函数： q ( z ) = z ( z ) + y ( z ) ( 0 4 ) 图0 - 1双材料界面裂纹模型 c r a c km o d eo fb i - m a t e r i a l i n t e r f a c e o x + c r y = 2 北) + 歹西 ( o 6 ) 吒一q + 2 t 叫= 2 ( 三一z ) ”( z ) 一妒7 ( z ) + q ( z ) ( o 7 ) k ：j 紊詈( 平面应力) i = 击 & 行把 易7 ( p + h 缸” 民( 9 ) 1吩一2111二l、l2 r et r e 州叫) + h p 阶 q ) 广。1 、2 绪论 其中： (”，+z”y)i。：。一(u，+iuy)l。：一。=!i：；ii；j亳 c 。9 ， c l = 等；c 2 = 譬舻铲1 坐1 + 3 p 1j l l 2 z 7 r k = k i + “匕= l i 骡( 仃罗+ 打；) 2 丌，n 5 - “ ， u 由此可见，线弹性双材料界面裂纹尖端应力场具有，m “”的奇异性。因为 ，州机= 万1r ”= 万1p i l n r = 万1 c 。s ( s1 1 1 ，) + f s i l l ( sl i l 厂) ，当，一。时，随着，的值 不断变小，c o s ( s l n r ) 和s i n ( e l n r ) 的值不断在区间 - 1 ，1 】中发生正负交替( 即， 振荡性地) 变化，也就是说，m 5 卅的值会不断地改变正、负号而呈现振荡性的 变化特征。所以，界面裂纹尖端应力场具有振荡奇异性。类似地，也可以看出， 当，专0 时，随着r 的值不断变小，裂纹上、下表面的位移差将不断改变正负号， 即裂纹面会发生相互嵌入。应力的振荡奇异性和裂纹面的相互嵌入在物理上是不 合理的，它属于数学上的一种病态解。为了消除界面裂纹尖端应力场的病态行为， 后来人们陆续提出了多种修正方法或修正模型【1 9 2 。其中具有代表性的有三种， 第一种是m c o m n i n o u 的“接触区模型”，第二种是d e l a l e 和e r d o g a n 的“界面 层模型”，第三种是c a t k i n s o n 的“粘着层模型”。 1 、接触区模型：m c o m n i n o u 1 9 】首先提出这种模型。他认为裂纹面并不完 全张开，在裂纹尖端附近存在一个裂纹面互相接触的区域。在接触区上，设法向 张开位移为o ，采用位错连续分布的方法处理裂纹问题，导出了一组积分方程， 1 对卢= 0 4 8 5 4 的情况得到了解答。这个解表明，真实裂纹尖端的应力场，有的 、， 奇异性而无振荡奇异性，而且这种应力场奇异性在裂纹延伸线上只表现为切应力 奇异性，正应力并无奇异性而为有限值；而在裂纹面上，接触区内法向应力有奇 异性，且是压应力，这与接触区设想一致。 2 、非均匀层模型( 界面层模型) 。f e r d o g a n 2 0 】及其合作者将界面看作是有 3 各向同性双材料界面问题研究 细观结构的界面层。界面层模型适合用于某种特殊情况，即两种材料之一或者两 者都是高分子材料。他们把界面层看作是厚度相同的非均匀材料层，利用应力函 数及傅里叶积分的方法，导出了带c a n c h y 核积分方程。所求得的解答表明，裂 纹尖端有通常意义上的平方根奇异性。 3 、粘着层模型。与上面的模型相类似，c a t k i n s o n ( 1 9 7 7 ) ，将界面看作是 有一定厚度的材料层，这种材料层的性能既不同于材料1 也不同于材料2 ，可以 由粘弹性来描述。而f e r d o g a n 及其合作者( 1 9 7 8 ) 则将粘着层用剪切、拉伸弹 簧来模拟，或者用连续介质力学的方法来模拟。 还有不少学者对各向同性材料界面裂纹进行数值求解【2 2 。2 5 1 ，只给出了应力场 及应力强度因子的数值计算结果。 0 3 裂纹与界面垂直模型的研究进展 在母材中发生的裂纹，扩展到界面时，裂纹扩展方向会发生改变。如纤维增 强复合材料中的基体裂纹，扩展到增强纤维处时，往往会引发纤维与基体界面的 剥离。在薄膜涂层材料中，也常有基体裂纹扩展到涂层界面的情况。在修补结构 中，更是会经常出现裂尖在界面上的情况。为了对其进行破坏评价，首先必须弄 清楚其奇异性及裂尖应力场。关于奇异性的分析，尤其是关于裂纹与界面垂直的 情形，已有较多的研究文献【2 6 。3 0 】。但实际评价中往往不仅需要把握其奇异性，更 重要的是需要具体的裂尖应力场和位移场( 作者所查阅的文献中很少有这样的结 果) 。为此，我们希望通过改变夹角，使得裂纹与界面垂直，即裂纹与界面的夹 角为9 0 。时，来达到消除振荡项的目的。本文通过构造新的应力函数，采用复变 函数方法求得了裂纹与界面垂直情况下的裂尖应力场、位移场。其结果表明裂纹 与界面垂直时，没有出现振荡奇异性及裂纹面没有相互嵌入的不合理现象。 0 4 本文研究的主要内容、目的及意义 0 4 1 研究内容 1 、通过构造新的应力函数，采用复变函数方法对一类各向同性双材料界面 问题应力场、位移场进行研究。 2 、对消除应力场振荡奇异性及裂纹面相互嵌入不合理现象进行研究，确定 消除条件，获得了裂尖垂直于界面的裂尖应力场、位移场理论公式。 4 绪论 3 、运用m a t l a b 软件进行图像模拟，讨论双材料参数对获得的应力场影响 进行分析，以获得影响规律。 o 4 2 研究目的及意义 通过构造新的应力函数，结合待定系数方法建立了各向同性双材料应力函数 所满足的八阶齐次线性方程组，通过一系列数学分析，得到了特征方程，进而获 得了各向同性材料裂尖垂直于界面的裂尖应力场、位移场理论公式；选用不同的 结合材料，讨论双材料参数对应力场的影响，并利用m a t l a b 进行图像模拟， 可以得到双材料参数对应力场，位移场的影响规律，其结果为工程设计提供了理 论指导，为相关领域界面断裂理论研究和工程结构抗断裂优化设计提供了理论支 持和指导。 5 各向同性双材料界面问题研究 第一章弹性力学基础知识 1 1 弹性力学的基本概念及基本假定 1 1 1 基本概念 弹性力学又称弹性理论p 1 1 ，是固体力学的一个分支。研究弹性体由于受外力 作用或温度改变以及支座沉陷等原因而发生的应力、形变和位移。其任务是分析 各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和 刚度，并寻求或改进它们的计算方法。用到的基本概念有：外力、应力、形变和 位移。根据论文需要在这里有必要加以说明。 作用于物体的外力可以分为体力和面力。体力是分布在物体体积内的力。如 重力、惯性力；面力是分布在物体表面上的力。如流体压力和接触力。 物体受外力以后，其内部将发生内力，即物体本身不同部分之间相互作用的 力。为研究物体在某一点p 处的内力，用经过p 的一个截面m n ，将该物体分为 i 和i i 两部分，第1 i 部分将对i 部分作用一定的内力。取包含p 点的一小部分， 令其面积为鲋，作用于鲋上的内力为f ，则内力的集度，即平均应力为竺。 左 现假定内力连续分布，让鲋无限减小而趋于p 点，则石a f 将趋于一定极限p 。即： 慨蔷= p ( 1 1 ) 鲥_ o 鲋 、 那么矢量p 就是物体在截面m n 上的在点p 的应力。应力是物体内力的集度。 对于应力，除了在推导某些公式的过程中以外，一般不用它沿坐标轴方向的分量， 因为这些分量与物体的形变或材料强度都没有直接关系。与物体形变和材料强度 直接相关的，是应力在其作用截面的法线方向及切线方向的分量，即正应力仃和 切应力f 。正应力是沿开口切向的法向应力；切应力是导致扭曲变形的分量。如 图1 1 所示：正应力仃。是作用在垂直于x 轴的面上，同时也是沿着x 轴的方向作 用的。切应力f 。的两个下标字母，前一个字母表明作用面垂直于哪一个坐标轴， 后一个字母表明作用方向沿着那一个坐标轴。例如，切应力f 。是作用在垂直于x 轴的面上而沿着y 轴方向作用的。 6 第一章弹性力学基础知识 六个切应力具有一定的互 等关系： f f2 f 秒，r “2 f ，f 秒2 f 声 ( 1 2 ) 在物体的任意一点，如果已知 仃x ，仃y ，仃：， t y z ，f 口f 叫逐 、l 六个应力分量，就可以求得经 过该点的任意截面上的正应力 和切应力。因此，上述六个应 力分量可以完全确定该点的应 力状态。 as p o to fs t r e s sc o n d i t i o nd r a w i n g 所谓形变，就是形状的改变。物体的形状总可以用它各部分的长度和角度来 表示。因此，物体的形变总可以归结为长度的改变和角度的改变。 所谓位移，就是位置的移动。物体内任意一点的位移，用它在x ，y ，z 三轴 上的投影材，国来表示，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个 投影成为该点的位移分量。 1 1 2 基本假定 在弹性力学中，通常己知物体的形状、大小( 物体的边界) 、弹性常数，以 及物体的体力、面力，而求应力、形变和位移量。如果精确考虑所有各方面的因 素，则导出的方程将非常复杂，实际上是不可能求解的。因此，通常必须按照所 研究的物体的性质，以及求解问题的范围作出若干基本设定，略去一些影响很小 的次要因素，使得方程的求解成为可能。弹性力学的基本假定有： 1 、假定物体是连续的，这样，物体内的应力、形变、位移等才可能连续， 因而才可能用连续函数来表示它们的变化规律。 2 、假定物体是完全弹性的，完全弹性是指物体能完全恢复原形而没有任何 剩余形变。假定物体是完全弹性的，服从胡克定律，即形变与应变成正比，而弹 性常数不变。 3 、假定物体是均匀的，即整个物体由同一材料组成，从而各部分有相同的 7 各向同性双材料界面问题研究 弹性，它不随位置坐标而变。 4 、假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同。因此， 物体的弹性常数才不随方向而变。 5 、假定位移和形变是微小的，即物体受力以后，物体所有各点的位移都远 远小于物体原来的尺码，而且应变与转角都远小于1 。这样，建立平衡方程时， 就可以用变形以前的尺寸代替变形以后的尺寸，并且在考察形变和位移时，转角 和应变的二次幂或乘积都可以略去不计。从而使得弹性力学中的代数方程和微分 方程简化为线性方程，而且可以应用叠加原理。 1 2 应力一应变关系 1 2 1 各向异性材料 对于各向异性材料而言，其应力一应变关系如下【3 2 - 3 3 】： c l ，c i ：c l 。 q 。c 2 ：c 2 ， c 3 。c 3 ：c 3 ， c 4 ，c 4 ：c 4 ， c 5 。c 5 ：c 5 ， c 6 。c 6 ：g 。 c 1 。c 1 ，c l 。 c 2 。c 2 ，c 2 。 c 3 。g ，c 3 。 巳c 4 ，c 4 。 c 5 。c 5 ，c 5 。 c 6 5 瓯 s 工 y ： y 弦 y 。 y 耖 ( 1 3 a ) 仃，= c # e ( f ，j = 1 ，2 ，6 ) ( 1 3 b ) 其中q 是应力分量，是应变分量， c 】是刚度矩阵，c , j 是刚度矩阵分量， 亦称为刚度系数。( 1 3 ) 表示应变分量是应力分量的线性函数，称为广义胡可定 律。 可以证明刚度矩阵【c 是一个对称矩阵，即 c o = e f t ( 1 4 ) 因此，对于各向异性材料而言， c 】只有2 1 个独立分量，每个分量即刚度 系数是一个表征弹性特性的材料常数。 利用矩阵理论，经过求逆可得到表达式( 1 3 ) 的另一种表达形式，如下所 8 工 y ： z x y 办力办和砀锄 第一章弹性力学基础知识 t - f ： x s j ， ： y 弦 y 。 y 坤 尽。 垦。 忍。 蜀。 b nb 蛇b 5 3b s 4 鼠，皖：色，死 反，e 。 b ，垦。 b ，忍。 b ，目。 忍，忍。 或，反。 ( 1 5 a ) e ，= n v o ， ( f ，= 1 ，2 ，6 ) ( 1 5 b ) b 】是柔度矩阵，其中鼠是柔度矩阵分量，成为柔度系数。显然地，刚度矩阵【c 】 和柔度矩阵【b 】是互逆的，即： 【b 】= c 】- 1 ， c b 】- 1 ( 1 6 ) 并且柔度矩阵【b 】也是一个对称矩阵，也只有2 1 个独立分量。每个分量即柔度 系数也是一个表征弹性特性的材料常数。 1 2 2 正交异性材料 线弹性正交异性材料是指通过每一点都具有三个相互垂直的弹性对称平面 的材料。因此，由弹性对称可以证明【3 4 3 7 】： c l 。= g ，= c l 。= c 2 4 = c 2 ，= c 2 。= q = c 3 ，= c 3 。= q ，= 瓯= c 5 。= 0 ( 1 7 ) 由此，刚度矩阵只有9 个独立分量，且应力一应变关系( 2 3 ) 可写成： 成： c l ，c l ：c 1 ， c 1 ：c 2 ：c 2 ， c l ，c 2 ，c 3 ， 000 o00 000 00o 000 000 c “0 0 0 g 5 0 00 c 6 6 s 工 _ y ： y 弦 y 。 y 驯 ( 1 8 ) 类似地，柔度矩阵 召】也只有9 个独立分量，且应变一应力关系( 1 5 ) 可写 9 x y ： l - x y q q 吒k o o 既既晟甄磊易厉历既历易历 j y ： z x y 吒q 吒k o 各向同性双材料界面问题研究 占工 y z y w y a y 叫 1 2 3 各向同性材料 ( 1 9 ) 线弹性各向同性材料，其弹性性质在任一点的所有方向上都相同。这时c ：f ，只 有两个独立分量，应力一应变关系( 1 3 ) 可写成： c l ，c l ：c l ：0 00 c l ：c l 。q ：0 00 c 1 2c l ：c 1 1 00 0 000 刍l 二9 200 ! != 1 2 2 o ooo 刍! 二9 2 o o00 oo c l 。一c l ： 2 ( 1 1 0 ) 因此，柔度矩阵【b 】也只有2 个独立分量，且应变一应力关系( 1 5 ) 如下： 置。墨：置： 且：尽。马： 昼：j 9 l ：尽。 0oo o oo oo0 o o o0 oo o0 0o 垒! 二刍2 o 2 o 刍! 二刍2 2 1 3 各向同性材料弹性常数及取值范围 ( 1 1 1 ) 利用弹性常数：杨氏模量，泊松比和剪切模量表示柔度矩阵 b 女n - f ： 1 0 x y z 2 x y巩巩以哆锄幻 o o o o o 民 o 0 0 o 岛0 4 0 o 0 瓯o o 且b 马o o 0 2 2 2 尽忍色o o 0 尽岛色0 o 0 屯0 t k k ， y ： 窖 x yq 吒k x y ： z x y 办西办印砀细 。一一2 q 勺t k k 第一章弹性力学基础知识 b = 其中，e 是各向同性材料的杨氏模量，u 是泊松比，而 p 2 丽 是剪切模量，独立的弹性常数只有两个。 由( 1 1 2 ) ，( 1 1 3 ) 容易推出刚度矩阵 c 】的分量如下： c 1 1 = c 2 2 = c 3 3 = 2 a + 艽 c l ：= c 1 ，= c 2 ，= c 2 ，= c 3 。= c 3 ：= 艽 巳= c 5 ，= 氏= j l l 其中： 丸： 垒 ( 1 + u ) ( 1 一u ) 由于柔度矩阵和刚度矩阵都是正定的，从而有： e 帅 。，一- 。 圭 ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 1 。4 线弹性断裂力学中的应力强度因子 在线弹性断裂力学中，表征材料断裂强度的参数有两个，一个是基于能量释 放率断裂理论的能量释放率g ；另一个是基于裂纹尖端的应力强度的应力强度因 0 0 0 o 0 1 一p 0 0 o 0 1 一p 0 0 0 0 1 一p 0 o 。一e ue。一e o o o ue。一e u e o o o 。一e u e u e o o o 各向同性双材料界面问题研究 子k 。在工程中应用较多的是 裂纹尖端的应力强度因子k 。 应力强度因子的导出过程如下 【4 5 】： 由弹性力学知识可以知 道，应力分量总可以由应力函一 数表出，将该函数标记为o ( z ) ， 其中z = x + i y ，那么各个应力分 量用应力函数可以表示如下： ) ， 图1 2 裂纹尖端坐标示意图 c o o r d i n a t ed r a w i n gn e a rc r a c kt i p 瓯：粤 罂 ，：一盟 ( 1 1 7 ) 吒5 可仃- ，2 可f 砂一丽 u 对于含有裂纹的无限大平面，其应力函数可以用w e s t e r g a r d 方法表示，即选择 某一解析函数u 【z ) 的一次积分和二次积分的线性组合，作为应力函数来求解裂 纹尖端附近区域的应力场和位移场，根据边界条件来设定函数u ( z ) 的形式，是 w e s t e r g a r d 函数法的特色，u ( z ) 函数根据不同的外载荷而具有下面的形式h 引： 吣) 2 嘉川f ) ( 1 1 8 ) 上式中， = z 一口，即将坐标原点从裂纹中心d 移至裂纹的右端点0 处，裂纹尖 珥葡坐杯糸如图卜2 所不。 在断裂力学中由于所关心的是裂纹尖端附近的应力场，在裂纹尖端附近，即： 在引专。时，厂( ) 为实常数。这样就可以引入应力强度因子的概念，记作： l 似) = 面k ( 1 1 9 ) 则： 艘加( ) = 牌化) = 忑k ( 1 2 0 ) 1 2 第一章弹性力学基础知识 k = l i i i l 2 西u ( o n e ， 其中： 口2 2 + b e + c = 0 ， - 6 石丽 s = 一 2 a 口= 哼1 一万+ 了7 z 2 炉+ 一2 ) 筇+ 譬一萼， 6 = 弓一护+ 三筇 ， c ：上卢：+ 三a j 一一三a ：+ 三c = 一p 。+ 一 一一一+ 一 1 6 8 。1 64 当材料1 、2 确定后，s 可求解出具体值。 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 第三章g o u r s a t 应力函数法求解界面上的裂尖应力场 材料1 ：s i 3 n 4 ，材料2 ：m g o = 0 3 2a = 0 8 2 s = - 0 3 la = 0 1 8 3 3 裂纹尖端应力场和位移场 极坐标下满足平衡方程和应变协调方程的应力可按下式表示： 与导= 妒7 + 歹，! 学+ 厅加= e 2 帕面。+ y 】 2 a ( u + i v ) = ( ? - t o 【七9 一z c p 一l f ，】， 因此可求得： o e = m + m 2 ，仃，= m 2 一m m = 一扩 ) c o s ( 2 ) - c 哇“ ) c o s 唔s 一 ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) 鸠= ( 么+ j ) ( 丢+ 咖拈 ) c 。s 呼s 一争+ ( 么一j 避+ ) ，忙 ) s i n 呼s 一 ( 3 2 1 ) 铲郫2 一扩 ) s i 畸s 一和一c 哇删，似 ) s ；n 呼s 一争 ( 3 - 2 2 ) “= 五1 【- - 4 呸1 + s 沙拈哇) s i i l ( 三一三s ) 一触，( ；w ) s i l l 呼+ 三s ) 一西扣) c 。s 弓+ 三纠 ( 3 2 3 ) v = 土2 a 眇忙毛) c o s ( 4 + 一j ( 扣；+ r ) 0 0 s ( 4 一+ 西玑畸+ 釉 ( 3 2 4 ) 通过对裂纹尖端应力场、位移场的分析，得出了在直角结合界面端情况下，应力 场、位移场的函数表达式，结果显示：其应力场没有震荡奇异性、位移场没有出 硼烈纹而相- 5 嵌入的孙象 2 5 各向同性双材料界面问题研究 第四章复变函数法求解裂尖垂直于界面的裂尖应力场 4 1 力学模型及偏微分方程边值问题 如图4 - 1 所示，假设两种不同的各向同性材 料的各自弹性半平面被粘结起来，裂纹在材料1 上，并与界面垂直。材料一是杨氏模量为e ，泊 松比为u 1 和剪切模量为“的各向同性材料，而材 料二是材料常数为丘、p ，、u 2 的另一种各向同 性材料。 图4 - 1 裂纹与界面垂直模型 c r a c kb e i n gp e r p e n d i c u l a rt oi n t e r f a c em o d e 利用弹性理论知识，可以得到对右图的控制方程，如下所示m 4 9 1 ： 孚+ 2 黑+ 孚：o ( 川，2 ) ( 4 1 ) j一ji ，一n；一1 ，、 r i1 、 0 2 r 4 g x 2 a y 2 。却4 。 、j1 。7 一一7 注意到该问题是平面应变问题，其边界条件为如下所示口5 | ： ( 仃p ) 。= ( 仃口) ：= 0 ，9 = 要 ( 4 2 ) ( f 加) 。= o 帕) ：= 0 ，0 = 要 ( 4 3 ) ( ) 。= ( ) 2 ，0 = 0 ( 4 4 ) 0 帕) 1 = 0 加) 2 ，0 = 0 ( 4 5 ) ( “，) l = ( 材，) 2 ，0 = 0 ( 4 6 ) ( u o ) l = ( ) 2 ，0 = 0 ( 4 7 ) 如图4 - 1 所示：尸，p 是裂纹边缘处的极坐标轴。利用弹性理论知识可知，由文献 3 3 - 3 7 与文献 4 8 ，4 9 给出下面的表达式如下所示： 第四章复变函数方法求解裂尖垂直于界面的裂尖应力场 c ，= 吉等七等 对应力分量而言，有： ( ) ，= 雩笋 ( = 1 ，2 ) ( 4 8 ) 沪 器+ 吉等 对应变分量而言，有： g 2 方 ( 1 - v j ) ( q l 叫“l 】 ( e o ) 5 瓦1 ( 1 - - o i ) ( ) ，一q ( 仃，) ，】j = 1 ，2 4 9 a o 一，2 亡。坩) ， 而应变分量与位移分量之间，有： 嘛卜挚 卜吾等+ 半 泸1 ，2 ) ( 4 9 b ) c ，= 吉等+ 掣一半 在极坐标下，柯西一黎曼方程如下： ( ) j = 一，( u ，) j ，( “，) = l ，( v o ) ，j = 1 ，2 ( 4 1 0 ) 4 2 偏微分方程边值问题的求解 4 2 1 构造应力函数 为了求解各向同性双材料层间断裂的解，我们引入下面的特殊应力函数，如 下所示： ( ，p ) = 西而4 c 。s ( 旯+ 2 ) p + 哆s i n ( a + 2 ) p + ec 。s 九p + qs i n ；t , o ( = 1 ，2 ) ( 4 1 1 ) a 为实特征常数。 显然，u ，( ，0 ) ( j = 1 ，2 ) 满足( 4 1 ) 的。 各向同性双材料界面问题研究 将表达瓦( 4 1 1 ) 代八表达瓦( 4 8 ) ，口j 以得剑应力场： ( ) j = ，a a jc o s ( a + 2 ) 0 + b js i n ( z + 2 ) 0 + c , c o s x 0 + d _ ，s i n z 0 ( = 1 ，2 ) ( 4 1 2 ) ( 仃，) ，= ，a 一 a jc 。s ( a + 2 ) 0 + 哆s i n ( 允+ 2 ) e 卜丽a - 2 【0c 。s a 0 + 9s i n z 0 u = l 2 ) ( 4 1 3 ) 。坩) j 。，丑 【4s i n ( 九+ 2 ) 0 一色c 。s ( 九+ 2 ) p 】+ 彳笔 es i l l a p qc 。s a p 】) ( ，= 1 ，2 ) ( 4 1 4 ) 将( 4 1 2 ) 、( 4 1 3 ) 、( 4 1 4 ) 分别代入表达式( 4 9 a ) 中，可得到应变场： r ) ，2 去，a 1 4 c 。s ( a + 2 ) p + 哆s i n ( a + 2 ) 臼+ c j c o s z 0 + d js i n a 0 + 尝舯肌州日廿 1 5 ) ( 岛) ，= 去，a 4c 。s ( a + 2 ) 9 + 哆s i n ( a + 2 ) p + c j c o s , t , 0 + d js m 九p 】 一袅帅聃删p 斗 1 6 ( ) ，= 击，a 4 s i n ( a + 2 ) 日一ec 。s ( 九+ 2 ) p + 万笔 q s m z o - d , c 。s a 日 ) ( 4 1 7 ) 将表达式( 4 1 5 ) 、( 4 1 6 ) 、( 4 1 7 ) 分别代入表达式( 4 9 b ) 中，并对其进行积 分可以得到位移场： ( ) ，i ( o o ) d r = 。一1 p r x 、+ 丽l + 2 m c o s ( z + 2 ) 0 + e s 缸a + 2 妒( 歹：1 ，2 ) + c jc o s a , 0 + d js i n 2 , 0 + 4 ( 1 一u ，) c jc o s z 0 + d _ ，s i n z 0 ( 4 1 8 ) ( 嘞) ，2 虿1 丽r a + i m 2 ms i n ( a + 2 ) 0 - 色c o s ( a + 2 ) 0 1 u ：1 ，2 ) + x c js i n z o 一哆c o s a , 0 + 4 ( 1 一t s ) c js i n x o d jc o s a , 0 ( 4 1 9 ) 将表达式( 4 1 2 ) 一( 4 1 9 ) 代入边界条件( 4 2 4 7 ) 的表达式可同时得到下 第四章复变函数方法求解裂尖垂直于界面的裂尖应力场 面的8 个方程： ( c r o ) 。i 噶2 4c 。s 三允一骂s i n 三a + c 1c 。s 三a + bs i n 三九 ( 仃。) ：1 9 ：三2 4c 。s 三a + 岛s i n l 三九+ c ：c 。s 三a d 2s i i l 三九 ( 4 2 0 a ) ( 4 2 0 b ) ( r 坩) 。i 。；三= 一4s i n 三a + 蜀c 。s 三a + z - - 笔 c , s i n 三a 日c 。s 三允】= 。( 4 2 0 c ) ( r 坩) ：i 。号= 4s i n 三a + 岛c 。s 三允一a - 拿2 c zs i n 三a + d 2c 。s 三a 】= 。( 4 2 。d ) ( o - 。) ，- ( o - 。) ：i 。：。= 4 + c j 一4 一c 2 = 0 ( 。如l 脚= 骂+ 丧日一岛一熹d 2 = 。 ( 4 2 0 e ) ( 4 2 0 f ) c 。却a l 。= 去4 + 去 ，一等 c l 一瓦i4 一壶 一掣 q = 。 c 叭地址。= 去最+ 锑岩 ( 4 2 0 9 ) d l 一上及, 丸+ 4 ( 1 - 0 2 ) d ，：0 ( 4 2 0 h ) 1 2 p 2 2 2 p 2 ( 九+ 2 ) 2 关于( 4 、哆、c j 、d j ) ( j = 1 ，2 ) 的非零解，表达式( 4 2 0 ) 的行列式值必须为零。 4 2 2 奇异指数的数值求解 s 三as i n 三x 2 o0 鲫三a 0 “n 三ac o s 詈a 焘s 畸a o i o l 2 地 o 1 a + 4 0 一u 1 ) i 2 “l a + 2 j 0o 一s 三五s i n 三a 22 o s i n 三a 2 1 o l 2 心 0 = 0 ( 4 2 1 ) 无 。 社2 q丑 。万 万一2 。如。 石一2 。南一 击。等素。辫 上砒 。掣。 一| 砒 a o 函2 o 一 。 _ | 砒 一 哆。尹o o南。 一一： 。 a 一铊 。 。a一砒 。 。 。 。 一m 。 一i 砒 o o 。 o i 砒 各向同性双材料界面问题研究 其中 即：j 三一1 2 ( 1 - v ! , ) p m ：0 a + 2“ a + 2 4 ( 1 一v 1 ) 口= 一- 2 j l l l 4 b c = + z ， 口 扛去一壶，2 p 12 p 2 d ：= 4 ( 1 - v 2 ) a p 2 ( 4 2 2 ) ( 4 2 3 ) 尸：一i 4 b ( z + 2 ) + d + 2l c o s 三a + j 生c o s 三a s i i l 2 三允 ( 4 2 4 ) l 口 l 2九+ 222 q ：i 三垒坠三型+ 1 + 兰垒垄! 垒型一d 一lf s i n 三a 一旦c o s z 三允s i n 三a c s i n s 三九 i 口 a ( z + 2 ) 允+ 22a + 2222 ( 4 2 5 ) m ：i 兰塑二+ d 土一型曼i c o s 三a + 生c o s