（应用数学专业论文）几类高阶微分方程边值问题正解的存在性.pdf

摘要 本文主要应用k r a s n o s e i s k i i s 不动点定理对几类齑阶微分方程边值问 题正解的存在性进行分析，改进和推广了相关文献的结果 本硕士论文由三章组成。第一章主要讨论非线性高阶微分方程边值 问题 t ( n ) ( 亡) + 蛔( t ，t ( 亡) ) = 0 ，0 t 1 ， l 镪( 田= 秽o ) 燃= u ( n 一3 ( o ) = 缸融一2 ) ( g ) = 0 ， lt 国一笱( 1 ) = 0 ， 正解的存在性，得到了正解存在与不存在的条件，所得结果推广了相关 的文献。 第二章在第一章的基础上进一步考虑时滞的问题，分析非线性高阶 时滞微分方程 翁耜0 ) + 蛔( 主，u ( t 一掌) ) = 0 ，0 t 0 ， 在边值条件 l 牡0 ) = 0 ) = 嚣t 善( 牲一3 ( 0 = 牡似一2 ) = 0 ， 一r t 0 ， l 链囊2 ) ( 1 ) 一0 ， 下正解的存在性，推广了第一章的结论 第三章主要讨论当g ( t ，t t ) 力超线性函数时( 第二章没有考虑这种特殊 情况) 高阶时滞微分方程边值问题 t i ( 住) ( t ) + 蛔( ，u 一r ) ) = 0 ，0 t 0 ， j 锃母= 谚= = 嚣秘嘲害) = u ( n 一2 d = 0 ， 一罗t 0 ， t ”2 ( 1 ) = 0 ， 正解的存在性，给出正解存在的充要条件，进一步推广了相关的文献 关键词：正解；高阶边值闻题；k r a s n o s e l s k i i ，s 不动点定理 i a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t ht h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rb v p so f s e v e r a lk i n d so fh i g h e ro r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h em a i nr e s u l t sa r eo b t a i n e d b yu s i n gk r a s n o s e l s k i i sf i x e dp o i 觳tt h e o r e mi nc o n e s t h e s er e s u l t se x t e n ds o m eo f t h ee x u t i n gl i t e r a t u r e t h i st h e s i so fm a s t e ri sc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r s c h a p t e r1m a i n l yc o n s i d e r s t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rb v p so ft h en o n l i n e a rh i g h e ro r d e rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n 毯诞) ( 量) a 譬( 季，牡( ) = 0 ，0 t 1 ， ft ( o ) = ( o ) 拦= t 协一3 ( o ) = 牡似- 2 ) ( o ) 一0 ， lt ( 舻2 ( 1 ) = 0 w eg e n e r a l i z es o m ek n o w nr e s u l t s ，a n do b t a i ns o m ee x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c e r e s u l t s i nc h a p t e r2 ，b a s e do nc h a p t e r1 ，w ec o n s i d e r st h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n s o ft h eh i g h e ro r d e rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n t m ) ) + a g ( t ，u ( t r ) ) = 0 ，0 t 0 ， w i t ht h eb o u n d a r yc o n d i t i o n s fu ( 亡) = ( t ) = = _ 一3 ) ( 亡) = 珏( 怯一2 ) ( 亡) = 0 ， 一r t 0 ， i 缸( 铲2 ) ( 1 ) = 0 w eg e n e r a l i z et h er e s u l t si n 池p t e r1 i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rb v p so ft h e h i g h e ro r d e rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n “( 靠) ( t ) + a g ( t ，t ( 毒一r ) ) = 0 ，0 作者签名：够 善 导师签名。叶 a h 如7 年 年 露叩 、瓤 瓤 t - 嗣1 嗣 氍一 l 几类高阶微分方程边值问题正解的存在性 绪论 l 本课题产生的历史背景 微分方程是现代数学的一个重要分支，在众多科学技术领域有着非 常广泛的应用它在几何学、力学、天文学、核物理、电子技术、空间技 术和星际航空等许多尖端科技领域内已成为强有力的杠杆，推动这些学 科的发展在现代的生物学、人工神经网络动力学和经济学等领域，微分 方程的理论和方法也是不可缺少的边值问题作为微分方程中的重要课 题，随着科学技术的飞速发展在诸如应用数学、应用物理学和控制论等 各领域中的重要性日益突显卜它为现实生活中的数学模型提供了框架 微分方程边值问题的研究成果对预测事物未来的发展具有重要意义，这 使得对微分方程边值闻题的研究更具有实用价值，因而，科研工作者特 别重视微分方程边值问题的研究该研究已引起人们广泛的兴趣，并取 得了丰富的研究成果 下面就本文研究闻题的历史背景作一简要概述。 一非线性高阶微分方程边值问题正解的存在性 边值闻题一直是微分方程理论的一个重要分支，是目前比较活跃的 研究领域，已经吸引了众多的学者，并且有丰富的研究结果( 见【i 8 1 ) ，其 中对低阶微分方程尤其是二阶微分方程边值闻题的研究尤为突出 h e n d e r s o n 和w a n g ( 见【9 】) 研究了如下= 阶微分方程边值问题s ( 舌) + a 口( 毒) ( t ) = 0 ，0 t 1 ， u ( o ) = t ( 薹) = 0 ， 其中入是一个正常数，并且 ( 簏) h ：睁，0 0 ) 一羚，) 是连续函数； 1 - 硕士学位论文 遂) 8 ：p ，1 l _ p ，。o ) 是连续瞒数并且在定义域的任何子区间内不恒为 零； ( 端) 舞掣和舰警存在 作者将锥理论中的不动点定理运用于非线性特征值问题，得到了当天属 于某个开区间时，上述边值问题正解存在的结论条件( 如) 表明h 既不 是超线性也不是次线性的，( 鸡) 表明8 不具有奇异性 在文献 1 0 】中，h e n d e r s o n 和y i n 考虑了某种类型的髓阶微分方程正 解的存在性，但是也没有能够考虑奇异性的情况因此我们自然会有下 面的闻题： 问题1考虑奇异性，上述方程拓展到扎阶时需满足什么条件正解 存在? 二非线性高阶时滞微分方程边值问题正解的存在性 人们发现在动力学系统中，时滞通常是不可避免的，如电路信号系 统、生态系统、化工循环系统、遗传系统、流行病传染系统、动物与檀物 的循环系统、商业销售系统、运输调度系统、生产管理系统、自动控制系 统等领域中都普遍存在着时滞现象为了更真实的反映自然，时滞常是 一种不应忽略的因素，且很多的问题均可用时滞微分方程为数学模型来 加以描述，这更加强了时滞微分方程的研究重要性，也引起了人们的广 泛兴趣 在文献【1 1 】中，b a i 和x u 考虑了二阶时滞微分方程边值问题正解的 存在性：7 0 ) + 爻寥季，嚣0 一r ) ；= 0 ，0 圣 0 ， lt ( ) = 0 ， 一r t 0 ， 【u ( 1 ) = 0 ， 其中天是一个正常数，且满足 _ 2 _ 几类高酚微分方程边值闻题正解的存在性 ( 研) 0 7 孝； ( 彩) 秽( 亡，呦= a ( t ) f ( t ，口) ，口：( 0 ，1 ) 一f 0 ，0 0 ) 是连续函数并且，：【0 ，1 】 p ，) _ p ，) 也是连续的； ( 露) 露s ( 1 8 ) a c s ) d 8 0 这里，既不是超线性也不是次线性的，口( t ) 具有奇异性 俸者透过运用k r a s n o s d s k i i s 不动点理论对上述方程进行分析，得到 了当入在某个范围内时，原方程至少存在一个正解的结论我们可以进 一步考虑： 闯题2 当0 r l ，并且方程扩展到弦阶时，糖应边值阉题的正 解存在性有什么样的结论? 三超线性高阶时滞微分方程边值问题正解的存在性 如果 l i m i n fm ，i a ，趔= l i r a s u pm a x 型裟， 描“j 豫l l 耄 u - * o o# f o ，l l窆毒 7 或者 l i r a 黝螋趔= t i m i n f 碰n 坐型攀o ， 罄舻s e o ，王l 镊 翟，o + 尊玲，王l 錾 。7 这就是我们常说的超线性情况超线性是一种比较特殊的情况，许多作 者也取得了这方面的一些非常好的结论 在文献【王王】中，b a i 和x 心同样考虑了二阶超线性时滞微分方程的边 值问题s ( t ) + 蛔o ，牡 一r ) ) = 0 ，0 0 使得g ( t ，瓤) 一m 对每个t 【0 ，1 】成立并且 t 毒o ； ( 皤) 存在0 a 多 1 使碍声r 薹； ( 岱) 恕掣= 对t 陋，翻c ( o ，1 ) 一致成立 作者得到了当入足够小时方程至少有一个正解存在的结论有待我们进 一步探讨的问题是： 问题3当0 r 1 ，并且扩展到n 阶时，相应的超线性时滞微分 方程的边值问题可以得到什么关于正解存在性的结论? 题 2 本文的主要工作 本硕士论文基于上述思想，其主要目的是研究和回答上述提出的问 第一章讨论非线性奇异高阶微分方程边值问题 毂融) ( 幻+ a g ( t ，钍0 ) ) 一0 ，0 t 1 ， u ( o ) = e ( o ) 当一珏舻3 ) o ) 絮u ( n 一2 ( e ) = 0 ， it ( ”2 ) ( 1 ) = 0 ， 正解的存在性问题，其中g ( t ，牡) 一a ( t ) f c t ，u ) ，a ( t ) c ( ( o ，1 ) ， o ，o o ) ) ，f ( t ，t i ) g ( 【0 ，l 】，【0 ，。o ) ) ，0 t 1 ，竹为不小于2 的整数，a 是一个正常数我们将 = 阶推广到了犯阶 第二章讨论非线性奇异高阶时滞微分方程 t 似0 ) + a g ( t ，u ( t 一力) = 0 ，0 0 ， 在边值条件 f l ( 0 一0 ) = = 簦( 靠一3 ) ) = 锃融一2 ) ( 巷) = 0 ， 一f 墨t 0 ， it 何- 2 ) ( 1 ) = 0 ， 几类高阶微分方程边值问题正解的存在性 下正解的存在性问题，其中a c t ，t 1 ) = a ( 0 f c t ，t ) ，a c t ) c c c o ，1 ) ，【0 ，o o ) ) ，f ( t ，t ) c ( 【0 ，1 】【0 ，o o ) ，【o ，o o ) ) ，0 t 1 ，付为不小于2 的整数，入是一个正常数 这里我们将f 的范围由原文献申的p ，主) 扩大到了( o ，1 ) ，并且考虑的是羁 阶非线性奇异高阶时滞微分方程的边值问题 第三章讨论超线性高阶时滞微分方程边值问题 材( 馆) 0 ) + a g ( t ，t p r ) ) = 0 ，0 t 0 ， i 牡( t ) = ( t ) = = t m 一3 ) ) = t _ 一2 ) ( 毒) = 0 ， 一，t 0 ， l 锰辆- 2 ) ( 1 ) 拦0 ， 正解的存在性，给出了正解存在的充要条件其中g ( t ，牡) c ( o ，1 】x 【o ，o o ) ， ( 一o o ，+ 。o ) ) ，0 0 ，竹为不小于2 的整数，入是一个正常数我们 考虑站阶超线性时滞微分方程的边值问题并将f 的范匿毒0 ，委) 扩大到 了( 0 ，1 ) ，推广了相关结果 5 几类高阶微分方程边值问题正解的存在性 1 非线性高阶微分方程边值问题正解的存在性 1 1 主要研究背景 本章讨论非线性奇异高阶微分方程边值闻题 t ( t ) + a g ( t ，u c t ) ) = 0 ，0 t 1 ，( 1 1 1 ) 戡竺i 翼一一”3 ) ( 一沪2 ) ( o ) 鲫， l - l 固 l 锯棘q ) ( 1 = 0 ， r 叫 正解的存在性，其中g ( t ，u ) 粼n ( t ) ，( 亡，让) ，a ( t ) g ( ( o ，1 ) ，【0 ，) ) ，f ( t ，牡) e 静，1 】x 【o ，o o ) ，【o ，) ) ，0 0 对珏3 ，我们定义 戗( 妻，s ) = 7 瓯一l ( v ，s ) 如。( 1 2 2 ) 那么g 蟊( 亡，8 ) 就是边值闻题( 1 。1 。王) 和( 薹1 。2 ) 的格林丞数。 此外，解边值问题( 1 。1 。王) ( 1 1 。2 ) 就等价于找出下述积分方程的解： 铝( 季) 2 芰j 孑g ( 亡，8 ) 夕( s ，瓤( s ) ) 如，言：三：蹙1 ，( 1 j 3 ) 在本章中，我们假定以下条件成立： ( a 1 ) g ( t ，t ) = a ( t ) f ( t ，缸) ，a ：( o ，1 ) _ o ，0 0 ) 是连续函数并且，：【o ，l 】 【o ，o o ) 一【o ，o o ) 也是连续的； ( a 2 ) f l a ( 1 一s ) 伍( s ) 如 o ； ( a 3 ) 0 拶 o 对所有的t ( 0 ，1 ) 成立，且满足边值条件( 1 1 2 ) ； ( 3 ) t ( ( t ) ：= 一蛔( t ，t ( t ) ) 对所有的t ( 0 ，1 ) 成立 弓| 理1 2 。1 。当9 ，葶) p ，1 】冷，l 】时有 g ( t ，8 ) g 2 ( s ，8 ) 霈s ( 1 3 ) ( 1 2 4 ) 证明。 对任意酶( 害，s ) 的，1 l p ，l 】，我们显然有 所以 g 2 ( t ，尊竖g ( s ，a ) 端嚣l 一葶) ， g 3 铀) 端z 。g 2 ( 挈如sj 厂o 。岛葶瑚面j ，o l 翰s s ) 幽，o 攀g 2 ( s ，| s ) ， g 4 ( 暑，8 ) 拦j 厂o 。g 3 ( 钐，s ) 如j 厂。每g 2 。，8 ) 如j 厂0 1 岛( s ，3 ) 如 掣岛0 ，s ， s ， 戗擘，葶) 冬g 2 ( 葶，s ) 。 引理1 2 1 证明完毕 引理1 2 。2 。当t ，圭一明时有 黜g 2 ( s = 删4 1 一 k x k o c 、) 一= 一，l ，一 ，s )一s ) 。 。 证明由g 2 ( t ，3 ) m m t ，1 一圣 g 2 ( s ，葶) 0 g 2 ( s ，8 ) ， 9 硕士学位论文 可推出 即 g s ( 亡，s ) g 4 ( t ，s ) 瓯( t ，s ) z 口g 2 ( s s ) 如= t 0 g 2 ( s s ) 沪g 。( s s ) ， z 俨g 2 ( s ，s ) 如= t 8 2 g 2 ( 8 s ) 矿g 2 ( s s ) ， ， 0 t 矿- i g 2 ( s ，s ) 幽= t 俨- i g 2 ( s ，s ) 扩g 2 ( s ，s ) 引理1 2 2 证明完毕 黜g 2 ( s = 黜8 ( 1 一= 一，仃 ，s )一s ) 一。 。 1 3 主要结果及例子 e = u c p ，1 ，：2 羲i 竺孑= 。竹一3 k 0 ) = 。伟一2 k 0 ) = 0 ) c 1 3 1 ， 并且定义范数l l u l i = s u p i 牡( 亡) l ：0 亡1 ) 显然对所有的t e 和牡0 有”l l 【d t l = i i 0 成立这里i i 1 l 【0 1 1 表示c o ，1 】的上确界范数 定义一个锥kce 如下 k = u e ：u ( t ) o ，【0 ，1 】，一 0 使得 f ( s ，t ) 毯( m i n 厶一e ) u 当锤 琶时成立。 令飓端m a x 玩，2 矾 且q 2 = 似ge ：l l u l l 0 和m a x 0 使得 面面忑= i 承丽丽a ( m a x ? 。o + e ) - j 0 1g 2 ( s , s ) a ( s ) d s 垂l o ，l l ( 1 3 7 ) 由r a i n a 0 知，存在一个凰 0 使得当0 u 竖玩时， f ( 8 ，铭) 艺登磊一e ) u 。1 3 8 1 2 。 几类高阶微分方程边值l 研题正解的存在性 令q l 徽 t | e ：荆l 瓦， i ( 8 ，t ) ( m a x + s ) 铭 ( 1 3 9 ) 这里有两种情况： f 霉歹是有乔酶，啦) ，是无界盼。 对第一种情况，我们取一个n 0 ，使得对任意的s 毯【o ，1 】和0 蕊t o o 有歹( s ，嚣) 冬n 成立。 令憋粼m a x 2 u l ，爻菇琶f s s ) 穗( s 汹 并且魄= 缸露：焖l 霹2 ， 那么对t k f l o q 2 ，我们有 户l | i t t , t l 爻，岛蕺嚣沁( 8 ) ，溆鬈s ) ) 出 ，0 s 入z l g 2 ( 8 ，咖( s ) d 3 焉= l | 珏| | 对第盖种情况，我们取飓m a x 2 h 1 ，瓦，使得对任意的8 1 0 ，1 】和0 嚣 as u p g ( t ，s ) n ( s ) ，( 3 ，t ( s ) ) 幽 t e o ，1 1 ，o , 1 b 1s u p g ( t ，s ) a ( s ) u ( s ) d s t e o ，1 l - ，o , 1 b 一1 p 馆一l s u p g n ( t ，s ) a ( s ) d s l l u l t e o ，1 1j o i 与假定矛盾即条件( a ) 成立时，边值问题( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 无正解存在 定理1 3 3 证明完毕 定理1 3 4 如果满足( a 1 ) 一( a n ) ，且满足条件： 一1 4 几类高阶微分方程边值同题正解的存在性 ( a s ) x c f ( t ，z ) z 对所有的t o ，1 】，z ( 0 ，0 0 ) 成立， 那么边值问题( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 无正解存在 证明假定条件( a 5 ) 成立，并且u ( t ) 是边值问题( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 的个 正解，那么 酬l = 入s u p 瓯( 亡，s ) a ( 8 ) f ( 8 ，t ( s ) ) d s t e o ，1 】j o f l c - 1s u p 瓯( t ，s ) o ( s ) t ( s ) 幽 t e o ，1 】j o e l c - 1 g 2 ( s ，s ) n ( s ) “( 8 ) 如 j 0 t l c _ 1 g 2 ( s ，8 ) a ( s ) d s l l u l i 与假定矛盾即条件( a 5 ) 成立时，边值问题( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 无正解存在定 理1 3 4 证明完毕 下面给出例子说明定理1 3 4 的有效性 例1 3 1 考虑边值问题如下： ( t ) = a a ( t ) f ( t ，u ( 亡) ) ，0 t 1 ， u ( o ) = 似7 ( o ) = ( 1 ) 一0 ， 其中 口( 幻= 3 r p ， 并且 f ( t , u ) = u ( 1 1 + 3 了2 u ) f ( 1 一+ t ) ，u o 这里m i l l f o o = 3 2 ，m a x f o = 2 ，r a i n f o = 1 ，m a x 厶= 6 4 ， 对所有的u 之0 ，易得 h f ( t ，t i ) 6 4 u ， - 1 5 硕士学位论文 并且 强盖 由定理1 3 4 可知，如果 k 壶0 1 0 4 2 ， 那么上述边值问题正解不存在 一羔6 几类高阶微分方程边值问题正解的存在性 2 。 非线性高阶时滞微分方程边值问题正解的存在性 2 董 引言 本章讨论非线性奇异高阶时滞微分方程 t 融) ( 主) + a g ( t ，钍0 一r ) ) = 0 ，0 0 ， ( 2 1 。1 ) 边值条件为 _ f 躲翼3 ) ( d 一2 ) ( 吩锄， 叶g o ， ( 2 - ) l 锃如一2 ) ( 圭) = 曩 铲“7 正锵的存在性问题，其中g ( t ，珏) 燃a ( t ) f ( t ，嚣) ，a ( t ) g ( o ，1 ) ，p ，) ) ，f ( t ，珏) g ( 1 l 羚，o o ) ，p ，) ) ，0 垂 1 ，霸为不小于2 的整数，爻是一个正常数 在上一章中，我们已经对非线性奇异高阶微分方程边值阊题正解酶 存在性进行了分析，得到了一些相关的结论。在本章中，我们将以此为 基础，同样通过运用k r a s n o s e l s k i i ：s 不动点定理，进一步分析带时滞的情 况，改进上一章中的有关结论。 2 2 预备工作 为了叙述和证明本章的主要结果，我街先作如下的准备工作 在本章中，我们假定以下条件成立： 马) 0 0 对所有的t ( 0 ，1 ) 成立，并且满足边值条件( 2 1 2 ) ； ( 3 ) t ( n ( 亡) = 一幻( t ，u ( t 一7 ) ) 对所有的t ( 0 ，1 ) 成立 另外，特别要指出的是在上章中定义的符号标记以及格林函数和相 关的引理在本章中将直接使用，不再重复进行定义 2 3 非线性高阶时滞微分方程边值问题正解存在的条件 ：三夏： ：竺盂= 。n 一3 x d = 牡似一2 d = o 一r t 0 ) u ( 铲2 ) ( 1 ) = o ， f ( 2 3 i ) 并且定义范数l = s u p iu ( t ) l ：一1 t 1 显然对所有的牡e 和u 0 有i i i l t o ，l = i | i l 成立这里1 1 1 i 【0 t l 表示c o ，1 】的上确界范数定义一个 锥kce 如下 k = t e ：u ) o ， 0 ，1 】，口 0 使得 f ( s ，砧) ( m i n 厶一g ) 锃 当t l 现时成立 令h 2 燃m a x h 2 ，2 玩) 且q 2 = e ：l 飓) 那么对铭k n 0 q , ，我稚由( 2 3 2 ) 和2 3 4 ) 有 i i t t , i l入s u p 瓯( 毒，s ) a ( s ) f ( s ，( 8 一r ) ) 如 t e o ，1 】，o ，l 久s u p ? 酝蛾s ) a ( s ) ( m i n 知一) 簦0 一t ) d 8 a ( m i n f o o 一) s u p t e o ，1 l - ，。r 广 天( 蜮矬蠡一暑) s u pf t e o ，1 】o ， a ( m i nf a o 一曲s u pl q ( 亡，8 ) n ( s ) 钍( s r ) d s 一， 敛( 妻，葶f ) 8 ( s t ) u ( s ) d s 一2 一 g n ( t ，s + r ) 口( s 十r ) 钍( 3 ) d s a 0 一( m m f 一) s u pf繇0 ，s + 歹) 8 $ + ， ) d s l l u l | t e o ，1 lj o 入扩_ ( n 妇厶一s ) s u p 瓯( t ，s ) a ( s ) d s l l u l j | l u l l 所以，由定理a 知，t 在牡kn ( _ 2 q ) 上有一个不动点，并且让( t ) 是 边值问题( 2 。l ，1 ) 和( 2 1 2 ) 的一个正解定理2 3 1 证明完毕 定理2 3 2 如果满足条件( b 1 ) 一( 岛) ，且r a i n f o 0 和姗c 一 = = 一 一 = 一 薹 三卢 几类高阶微分方程边值问题正解的存在性 证明假定入满足( 2 3 6 ) 任 1 取e 0 使得 伊一1 ( m i n 一e ) s u pf 句rg ( t ，s ) a ( s ) d s t e o 。1 j 0 使得当0 u h 1 时， 令q 1 = u e ：l l u l i 一2 ， f ( 8 ，t ) ( m a x 厶+ e ) t 有两种情况： ( i ) ，是有界的，( i i ) f 是无界的 ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) 对第一种情况，我们取一个n 0 ，使得对任意的s 【0 ，1 】和0 u o o 有 - 2 1 - 颂圭学位论文 ，( s ，t ) n 成立 令2 = m a x 2 h 1 ，a n f 0 1 g 2 ( 8 ，8 ) a c s ) d s 并且q 2 = 扣e ：删l m a x 2 h 1 ，噩 ，使得对任意的| $ p ，1 】耨0 l z 对所有的t 0 ，l 】，z ( 0 ，0 0 ) 成立， 那么边值问题( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 无正解存在 证明假定条件( b 4 ) 成立，并且u ( 亡) 是边值问题( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 的一 几类高阶微分方程边值问题正解的存在1 生 个正解，那么 ，工 删l 端天s u pj f 岛( 毒，s ) 8 ( s ) ，( 8 ，钍( s 下) ) 玉 t e o ，l 】j o 删s u pz 1 燃唑s u “pf o 芝唑s u “p o g 竹( t ，s ) n ( s ) 缸( 8 1 ) d 嚣 一r g 靠 ，毒+ r ) 8 ( 8 - i - r ) u ( s ) d s - 2 5 l 靠0 ，吝r ) 8 ( 葶- i - ) 鞋( s ) 幽 d 越俨s u pf c c t ，8 ) a ( s ) & l l u l i 挺【o ，1 l j o r l - 2 卧， 描d 以矿s u p ，瓯( t ，* ( s ) d s l l u l i t 冷，1 lj r 黜i l u l l 与假定矛盾即条件( 鼠) 成立时，边值闻题( 2 1 。1 ) 一( 2 。1 。2 ) 无正解存在。定 理2 3 3 证明完毕。 定理2 3 。4 如果满足( b t ) 一( 岛) ，且满足条件： ( 岛) 入e ，( t ，z ) z 对所有的t 【o ，1 】，茹( 0 ，。o ) 成立， 那么边值问题( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 无正解存在 证明假定条件( 鼠) 成立，并且t ( t ) 是边值问题( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 的一 个正解，那么 州l 拦 入s u p g ( t ，s ) 口( s ) ，( s ，牡( s r ) ) d s t e o ，1 lj o 1 e qs u pf 敛( 考，s ) 8 ( 葶) 锃( s r ) a s t e o ，1 jj o t l e 以s u pf 瓯( 季，s ) 口( 8 ) t ( s f ) 妇 t e o ，1 1 ，- 1 1 - - 1 e qs u p 瓯( 厶s + r ) 口( s + r ) u ( s ) 如 垂鹣1 l j o = l - ：l r e 以s u p7繇( 量，3 + r ) a ( 8 + r ) d s l l u l l 2 3 硬圭学位论文 = e 1s u p 瓯( 亡，8 ) a ( s ) d s l l u l i t 攀，1 j ，r f l e _ 1s u pfg 28 ，s ) a ( s ) d s l l u l | t e o ，1 1 ，r = l l u l l ， 与假定矛盾。即条件( 魄) 成立时，边值问题( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 无正解存在定 理2 3 4 证明完毕。 下面绘出例子说明定理2 3 。4 的有效性。 例2 3 。1 考虑边值问题如下； ( 苗) = 勉( 雾) ，( 考，u ( t r ) ) ，0 t 0 ， u ( t ) 一彩 ) = 0 ，一r t 0 ， 嚣，( 1 ) = 0 。 其中 a ( t ) = 5 垆， 并且 f ( t , u ) 掣u ( 1 1 + 2 耳u 2 万+ 2 f u ) ( 1 + t ) ，鬈。 这里m i n 厶= m a x f o = 2 ，越珏矗= 1 ，m a x 厶= 4 ， 对所有的t l 0 ，易得 瓢f ( t ，缸) 4 u ， 并且 凹= 石1 - r s + 警 所以当0 f 1 时，有0 e i 由定理2 3 4 可知，如果 心南“5 ， r e ( o ，1 ) 那么上述边值问题正解不存在 2 4 几类高阶微分方程边值阍题正解的存在往 3 超线性高阶时滞微分方程边值问题正解的存在性 3 1引言 本章讨论超线性高阶时滞微分方程边值问题 毯( 竹) ( t ) + a g ( t ，牡( 毒一r ) ) = o 0 t 0 ， ( 3 1 1 ) ! u ! t i ，! ) 4 拦= t 加一3 o ) = t 加一2 ) = o ，一r 舌o ，3 王2 ) 萎簸秘- 2 ) ( 1 ) 燃瓴 r 正解的存在性，给出了正解存在的充要条件其中9 ( t ，珏) c c o ，1 】【0 ，o o ) ， ( 一，+ 。) ) ，0 0 ，n 为不小于2 的整数。入是一个正常数 在上面的章节中，我们分辑了菲线性奇异高阶时滞微分方程的边值问 题，但是我们并没有考虑到m a x f o = r a i nf o = 0 或者燃厶= m i n 厶= 的情况，实际上也就是我们通常说的超线性的情况当砖= 2 时，该闻题 正解的存在性已经被s h i v s j i 和其他作者广泛研究，取得了丰富的成果 在本章中，我们考虑9 为超线性函数的情况，将该问题推广到更为普遍 的嚣阶，得到正解存在性的一个充要条件 3 2 主要引理 为了叙述和证明本章的主要结果，我们先作如下准备 引理3 2 1 如果牡满足 一牡( n ) ( t ) = ( t ) ，0 g 2 ( s s ) r 一萼) 如 ( 譬一芸) g 2 s ， 郇烹f o o t “蛐 两t n - - 2 一禹一即) ， 所以我们有 u ( t ) 掌f o i 瓯瓴啪( 8 ) d s 冽亡) z 1 g 2 ( s 郴) d s 0u | l 【0 1 1 口( 亡) 引理3 2 。1 证明完毕。 引理3 2 。2 如果虿是下面方程的解 一狂妻) = 1 ，0 2 时，q ( t ) = m i n t ，岛一瓣i 。n - - 1 一痢t n - - 2 一岛， 2 6 几类高阶微分方程边值问题正解的存在性 不妨设豫= 凳时，下式成立 虿(