（应用数学专业论文）各项异性的修正海森堡铁磁链方程的延拓结构.pdf

首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 摘要 ( 各项异性的) 海森堡铁磁方程是十分重要的可积方程，受到人们的普遍关 注。近年来人们对修正海森堡铁磁链方程及其离散情况又进行了深入研究，研究 结果表明( 离散的) 修正的海森堡铁磁链方程与( 离散的) 非线性薛定谔方程n l s e 一 之间存在规范等价性以及几何等价性关系。但到目前为止对各项异性的修正海 森堡铁磁链方程尚未有深入研究。由于延拓结构理论是研究非线性演化方程强 有力的工具，本论文主要利用延拓结构理论这一有力工具分析和构造可积的各 项异性的修正海森堡铁磁链方程并给出其l a x 表示。 关键词：修正海森堡铁磁链方程，各项异性的修正海森堡铁磁方程，延拓结构 各项异性的修正海森堡铁磁链方程的廷拓结构 a b s t r a c t t h e ( a n i s o t r o p i c ) h e i s e n b e r gf e r r o m a g n e t ( h f ) e q u a t i o n s a r ev e r yi m p o r t a n t i n t e g r a b l ee q u a t i o n sa n dh a v e b e e np a i dm o r ea t t e n t i o n r e c e n t l y , ( d i s c r e t e ) m o d i f i e dh fe q u a t i o nh a v eb e e ni n v e s t i g a t e d i ti sk n o w nt h a tt h e r ea r eg a u g ea n dg e - o m e t r i ce q u i v a l e n c e sb e t w e e n( d i s c r e t e )m o d i f i e dh fe q u a t i o n sa n d ( d i s c r e t e ) n o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o nn l s e 一f o rt h ei n t e g r a b l ea n i s o t r o p i cm o d i f i e dh f e q u a t i o n ，i th a sn o tb e e nr e p o r t e ds of a rf o rt h i sq u e s t i o n t h ep r o l o n g a t i o ns t r u c t u r et h e o r yi sav e r yu s e f u la n de f f e c t i v et o o li nt h ea n a l y s i so f ( 1 + 1 ) 一d i m e n s i o n a l i n t e g r a b l es y s t e m s i nt h i sp a p e r ，w e 1 1i n v e s t i g a t et h ea n i s o t r o p i cm o d i f i e dh f e q u a t i o nb yu s i n gp r o l o n g a t i o ns t r u c t u r et h e o r ya n dg i v ei t sl a xr e p r e s e n t a t i o n k e y w o r d s ：m o d i f i e dh e i s e n b e r gf e r r o m a g n e te q u a t i o n ，a n i s o t r o p i cm o d i - f l e dh e i s e n b e r gf e r r o m a g n e te q u a t i o n ，p r o l o n g a t i o ns t r u c t u r e 首都师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承 担。 学位论文作者签名： 日期：2 0 0 8 年4 月2 日 首都师范大学学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要 汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名： 日期：2 0 0 8 年4 月2 日 首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 引言 延拓结构理论( p r o l o n g a t i o ns t r u c t u r et h e o r y ) 最早于1 9 7 5 年左右由w a h l q u i s t 和e s t a b r o o k 等人提出【l 】，该理论主要利用c a r t a n 夕b 微分形式的方法来研究非线 性演化方程，目前已成为研究( 1 + 1 ) 可积非线性微分方程的重要方法【2 6 】。该 理论的基本思想是把要研究的( 1 + 1 ) 维可积非线性微分方程表达为一组外微 分形式2 形式，这些外微分形式构成闭理想，然后引进势或伪势和与之相联系 的外微分1 形式，并要求引入的外微分1 形式与原来的外微分形式2 形式构成 新的闭理想，从而成功给出可积方程的l a x 表示，贝克隆变换等。在w a h l q u i s t 和e s t a b r o o k 提出延拓结构理论后，m o r r i s 又将该理论推广到研究( 2 + 1 ) 维可积非 线性微分方程的情况 7 ，8 】。 海森堡铁磁链( h e i s e n b e r gf e r r o m a g n e t ) 是一重要的物理模型，该模型表 示的是经典连续的铁磁自旋系统的菲线性动力学情况，是一个十分重要的可 积系统。目前对其经典以及量子行为人们进行了大量研究，其在拓扑场论以 及近来在超弦理论中都有重要应用。研究表明海森堡铁磁链方程与非线性薛 定谔方程( n l s e + ) 之间存在规范等价性关系 9 】曲线的运动通常与许多可积 方程之间存在紧密的联系 1 0 ，1 2 】。若从几何的角度来看，海森堡铁磁链方程与 非线性薛定谔方程之间存在几何等价性关系 1 3 】，具体作法是将海森堡铁磁链 的自旋矢量等价于欧氏空间中一曲线的切矢量，然后利用h a s i m o t o 变换则可 给出相应的非线性薛定谔方程l s e + 。对于海森堡铁磁链方程以及各项异性 的( a n i s o t r o p i c ) 海森堡铁磁链方程的延拓结构，人们已进行了大量的讨论和研 究 1 4 - 1 8 1 。最j 匠z h a o 等人【1 9 】利用延拓结构理论构造了一些非均匀高阶可积海森 堡铁磁链方程。另外对于海森堡铁磁链方程的高维可积扩展一直是人们关心的 问题，最近一类( 2 + 1 ) 维可积海森堡铁磁链方程在文献中经由m o r r i s 的延拓结构 方法加以很好地研究( 2 0 】。 修正海森堡铁磁( m o d i f i e dh e i s e n b e r gf e r r o m a g n e t ) 方程也是一个十分重要 的可积方程，近年来引起人们的普遍关注。研究表明修正的海森堡铁磁链方程 2各项异性的修正海森堡铁磁链方程的延拓结构 与非线性薛定谔方程n l s e 一之间存在规范等价性关系 2 1 1 若从几何的角度来 看，它们之间也存在几何等价性关系 2 2 】，即将方程的自旋矢量等价于闵可夫斯 基空间一曲线的切矢量，然后利用相应的h a s i m o t o 变换即可给出n l s e 。对于 离散的( 修正) 海森堡铁磁方程，人们也己进行了大量的研究，研究表明它们 各自规范等价于离散的非线性薛定谔方程d n l s 士 2 3 ，2 4 】d a n i e l 等人 2 5 】利用欧 氏空间中离散曲线的运动，给出了离散的海森堡铁磁链方程与d n l s + 方程之间 的几何等价性关系最近y u 等人【2 6 】利用闵可夫斯基空间中离散曲线的运动，给 出了离散的修正海森堡铁磁链方程与d l 矿方程之间的几何等价性关系。与 各项异性的海森堡铁磁链方程不同的是，对各项异性的修正海森堡铁磁链方程 尚未有深入研究。由于延拓结构理论是研究非线性演化方程强有力的工具，最 近已有相关文献对修正海森堡铁磁方程的延拓结构进行了很好地讨论，本论文 的主要目的是利用延拓结构理论这一有力工具分析和构造可积的各项异性的修 正海森堡铁磁链方程。 首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 第一章海森堡铁磁链方程 1 1海森堡铁磁链方程 海森堡铁磁链方程形式如下 s t = s s ，s s = 1 ， ( 1 1 1 ) 其中s = ( s 。，s 。，s 3 ) 表示自旋矢量。该方程是完全可积非线性演化方程，在物 理上该方程表示的是经典连续的铁磁自旋系统的非线性动力学情况。该方程 的l a x 对是 耋划九 ( 1 地) 1 甏= 吼 j - 其中u 和v 分别为 ( 1 1 3 ) 口= ( 呈三) ，c r 2 = ( ；：) ，c r s = ( 三! 1 1 ) c 1 1 4 ， 海森堡铁磁链方程( 1 1 1 ) 已被证明与非线性薛定谔方程n l s + 是规范等价 i 以+ 仉z + 2 妒1 妒1 2 = 0 ( 1 1 5 ) ，矿= ( 二i 矽a ) ，y = a b + 二二) ， e 1 1 6 ， 3 盯s 。渊 2 入 02 + 吼0 ， s 吸 & $ 。汹。斟 认一2认一2 u y 4各项异性的修正海森堡铁磁链方程的延拓结构 e 兰n ， 1 - 7 ， n = ( n + i b ) e x p ( i 7 d s ，) ( 1 1 8 ) ，5 砂= ke 印( 一i r d s 7 ) ，0 j o o 然后我们以t ，n 和n + 为基，则方程组( 1 1 7 ) 可以改写为： n 。= 一砂+ t ， t 。= 丢( 砂n + 妒+ n + ) ， 很容易证明t 和n 随时间变化的关系可表示为 n t = i r n + 7 t ， t 。= 一丢( 7 n + 7 删， ( 1 1 ，9 ) ( 1 1 1 0 ) ( 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 2 ) ( 1 1 1 3 ) 其中r ( s ，t ) 为实数，利用相容性条件n 。t = n t 。，我们, - 7 d a 得到砂随时间变化的 关系为 妒t + 一 r 妒= 0 ，( 1 1 1 4 ) 其中咒= ；( 7 矿一7 + 砂) 如果函数，y 和r 可以用矽及它的空间导数表达，那么方 程( 1 1 1 4 ) 将表达为关于曲率与挠率的演化方程如果我们把s 看作欧几里德空 首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 5 间中的切矢量，则海森堡铁磁链方程( 1 1 1 ) 可写为 tt=t xt 譬z = - - k t n + k x b ， ( 1 1 1 5 ) 将( 1 1 1 5 ) 化成( 1 1 1 3 ) 的形式，可很容易给出7 和r 并将其代入( 1 1 1 4 ) ，则可最 终得非线性薛定谔方程( 1 1 5 ) 。 与海森堡铁磁链方程( 1 1 1 ) 相对应的离散可积方程是 掣柏圳羔+ 最】， ( 1 6 ) 这里，s n = ( s n l ，s n 2 ，s n 3 ) 且s 2 = ( s ：) 2 + ( s i ) 2 + ( s ：) 2 = 1 。该方程己被证明规范等 价于离散的非线性薛定谔方程d n l s 一 2 3 ， 警= 2 i q + ( 1 一i q 1 2 ) m + q n + 1 ) 】 ( 1 1 1 7 ) d a n i e l 等人 2 5 】最近利用欧氏空间中离散曲线的运动，给出了它们之间的几何等 价性关系。 除可积方程( 1 1 1 ) # i - ，海森堡铁磁链方程高阶可积扩展也足人们一直关心 的问题，并从许多不同角度进行了深入的讨论和研究。最近z h a o 等人f 1 9 】通过延 拓结构理论构造了如下非均匀高阶可积扩展， ( 1 ) s t =，s s 黝+ 厶s s + h a + 鼍e ( s $ s 。) s s 。z + 5 e ( s 蕾s x x ) sxs z + e ( sxs x x x x ) ， ( i i 1 8 ) ( 2 ) s t = + + + f sxs x xk - 厶sx s x + 慨+ 兰es x s x ) s 一+ 嘞z 霉 争嘞) ( s x - s x z ) + 1 0 s x x s x x z - - 5 s x s x x x x s 警( s 蕾s 茹) 2 + 1 0 s x s x x x + 百1 5 s z z s z 。】s z o e ( s z s x x ) s ( 1 1 1 9 ) 其中e 是关于时间t 的函数，f 和h 分别取为 ，= p l ( ) z + 班( t ) ，h = m ( t ) x + 屹( ) ( 1 1 2 0 ) 6各项异性的修正海森堡铁磁链方程的延拓结构 与其相应的几何等价的非均匀高阶非线性薛定谔方程分别是： 和 也+ e 仉骝+ 8 e 2 忆z + 2 e 砂2 咙+ 4 e i 忆1 2 砂+ 6 e 矿镌 + 6 i 砂1 4 砂+ ( 厂砂) z z + 2 砂 ，i 砂1 2 + 厂d s 厶i 矽1 2 ) 一t ( 允妒) 茹= 0 2 ( 1 1 2 1 ) j o o 嗽+ ( ) 。z + 2 砂 ，御+ 如f 2 l 砂1 2 ) _ i ( 脚) 霉一i e 一 一l o i 1 2 也z 一2 0 i e 砂+ 讥忆若一3 0 i c l 砂1 4 忆一z o i e ( 1 砂, 1 2 妒) $ = 0 ( 1 1 2 2 ) 最近r a d h a 等人 2 7 】仔细研究了这些非均匀高阶非线性薛定谔方程并给出了多孤 子解。 对于海森堡铁磁链方程( 1 1 1 ) ，其实它是下列各项异性的海森堡铁磁链方 程( 也被称为l a n d a u l i f s h i t z 方程) 的特殊情况， s t = s s 茁善+ s j s ，s s = 1 ，( 1 1 2 3 ) 其中s = ( s ，s 2 ，s 3 ) 为自旋矢量，j = d i a g ( j z ，歹2 ，歹3 ) 表示自旋空间磁化分量的性 质。当歹1 = 如= j 3 时，方程( 1 1 2 3 ) 回到海森堡铁磁链方程( 1 1 1 ) 。对于各项异性 的海森堡铁磁链方程( 1 1 2 3 ) 人们已对其进行了大量的研究，己证明该方程也是 完全可积的，其l a x 表示为 1 6 】 3 u = 铺a 盯a ， 口= l 3 3 y = i s 卢s 1 茁e a 所+ 2 z l z 2 2 3 石1 s a ， ( 1 1 2 4 ) a ，p ，7 2 l a = l 其中e 口所是完全反对称张量，谱参数z l ，z 2 ，z 3 ) 满足如下关系 磊一名= 丢( 如一如) ， ( 口，p = l ，2 ，3 ) ( 1 1 2 5 ) 首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 1 2修正海森堡铁磁方程 修正海森堡铁磁链方程形式如下 s t = s s 霉z ， ( 1 2 1 ) 其中s = ( s 1 ，s 2 ，s 3 ) 表示自旋矢量，并满足s 2 = s os = s i + s ；一s ；= 一1 ，8 3 0 ，”o ”表示伪点乘。其l a x 表示为 ( 1 2 2 ) 7 n = 丢( 三一! 1 1 ) ，乃= 去( ? ：) ，龟= 三( ? 三) c 1 2 3 ， i c t + 忆一2 砂1 妒1 2 = 0 ( 1 2 4 ) 纱_ ( 矽- + i ai 矽a ) ，y = ( 三。- b a ) ， c 1 2 s ， 其中a = 一i l 妒1 2 2 i a 2 ，b = 忆+ 2 a 矽 于闵可夫斯基空间，设x = ( x 1 ，x 2 ，x 3 ) l x l ，x 2 ，x 3 r ) m 3 ，y = ( y 1 ，y 2 ，y a ) i y l ， y 2 ，y a r ) m 3 ，则其内积定义为： = xoy = x l y l + x 2 y 2 一x 3 y a ，矢 ( x 灵y ) o z = d e t ( x ，y ) z ) ，其中z 为闵氏空间中的任意矢量。通过简单的计算可 以得出两个矢量伪叉乘的表达式：x 叉y = ( x z y 2 一z 2 驺，x l y 3 一x 3 y l ，x l y 2 一x 2 y 1 ) 几瓯 、 。：l = u n s 2 入 3 m 十 nx s一 g 一( 。汹 l l 矿 8 各项异性的修正海森堡铁磁链方程的延拓结构 与欧氏空间类似地可定义标架 t ，n ，b 。令to = 一1 ，ton = t ob = 礼ob = 0 ，b = t 灵n ，则这三个矢量构成了正交标架，满足如下方程： l 石d t = 后( s ) 1 2 ， 石d n = k ( s ) t + 7 ( s ) b ， ( 1 2 6 2 ) l 害= 一7 ( s ) n ， 上面方程中的7 - ( s ) ，七( s ) 类似于欧氏空间曲线的挠率与曲率 如果我们把s 看作m 3 n - f 夫斯基空间中曲线的切矢量，n ( 1 2 1 ) 可写为 t t 2t x t 。正， ( 1 2 7 ) 引入h a s i m o t o 函数砂 砂= 七e 印( i d s t ) ， ( 1 2 8 ) 类似于前面欧氏空间中的作法，可以很容易证明砂满足线性薛定谔方程n l s 一 以上我们介绍的是关于连续的修正海森堡铁磁链方程，对于其离散的情形 人们也进行了相应的研究并给出了相应的离散可积方程 掣柏竹叉【羔+ 羔】 ( 1 2 9 ) 这里，s n = ( s ：，s n 2 ，3 ) 且s 2 = ( s ：) 2 + ( s i ) 2 一( s i ) 2 = - 1 以及s ： 0 该方程 的l a x 对是 。= 警= k ( 1 2 1 0 ) 其中 巩：竿川字& ， k = c 小竿，蛊鼍一i 竿篇一卸， 首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 9 ( 1 2 1 1 ) 式中i 是单位矩阵，晶的形式为 晶= 如i ：1s i ，“一兰薹醴 c 1 2 - 2 ， 与其规范等价的是下列离散己s 一方程 鲁= 2 g n + ( 1 一l 骱1 2 ) 【一i ( 一1 + 口n + 1 ) 】 ( 1 2 1 3 ) = ， k ：一t l z 2 1 一q n 甄一，q n 名一g n t z 一1 i ( 1 2 1 4 ) j 磊一1 z q z 1 一z - 2 + 一1 蟊j 最近1 等人从几何角度，即利用阂可夫斯基空间中离散血线的运动，给出了离散 在上一节中，我们提到各项异性的海森堡铁磁链；6 - 程是完全可积的并且海 1 0各项异性的修正海森堡铁磁链方程的延拓结构 第二章各项异性的修正海森堡铁磁链方程的 延拓结构 2 1海森堡铁磁链方程的延拓结构 延拓结构理论最早于1 9 7 5 年左右由w a h l q u i s t 和e s t a b r o o k 等人提m i l l ，该理 论主要利用c a r t a n p b 微分形式的方法来研究非线性演化方程，目前已成为研 究( 1 + 1 ) 可积非线性微分方程的重要方法。对于高维延拓结构理论的情况，m o r r i s 在文献f 7 ，8 1 中也进行了相应的研究，由于高维的情况比较复杂，所以关于高维 延拓结构理论至今仍然存在许多问题尚未解决。因此能用m o r r i s 的高维延拓结 构理论来分析的高维可积方程的个数十分有限。本论文将只限于运用w a h l q u i s t 和e s t a b r o o k 的延拓结构理论。为下一节讨论问题方便，我们下面以海森堡铁磁 链方程为例，简要地介绍其延拓结构 1 4 】。 在上一章我们对海森堡铁磁链方程( 1 1 1 ) 做了一简单介绍，为了讨论其延 拓结构，我们首先把s 和s 善视为新的独立变量，则可定义下列一组微分2 - 形式 啦= d s iad t s i z 如ad t ， a 件3 = d s i ad x + e i j k s j d s k 滞ad t ， q 7 = s i d s t 王ad t 十s i , = d s iad t ，( 2 1 1 ) 其中i = 1 ，2 ，3 ，使得这7 个2 形式组成一个闭理想i 。然后引入如下一组l 一形式到 闭理想i 中 u 蠡：幻后+ f k d x + g 忌d 亡， 磊= 1 ，2 ，礼，( 2 1 2 ) 其中可露为延拓变量，要求 q ( i = 1 7 ) ，露) 构成新的闭理想，即满足条件 7n d w 七= 9 融+ 磅人屿， ( 2 1 3 ) 首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 其中醇和磅分别为o - 形式和l 形式。由( 2 1 3 ) ，我们可得下列方程 娑扎 ( 2 1 4 )一一u ，二上士， 洮， ofgkif,cksx ：o ，下一= u ， d s 其中 删= 妒l = l a 彤c _ a 求解( 2 1 4 ) 一( 2 1 6 ) ，我们可得如下解 a s i x ， i ：- i 3 a ( s s 茁) t x ( 2 ，1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) a 2 s i 五，( 2 1 8 ) 其中入是谱参数，矢量x = ( x l ，x 2 ，弱) 只依赖于延拓变量矿并且x 1 ，尼，恐构 成s u ( 2 ) 李代数。 若要求1 一形式限制在解流形为零，即将延拓变量扩，以及f 和g 中的变量s 和s z 都视为x 和t 的函数，则可很容易得至l j l a x 表示。 ( 2 1 9 ) 其中c r t ，f = 1 ，2 ，3 是p a u n 矩阵。 以上延拓结构方法可用来构造高阶的海森堡铁磁链可积方程【1 9 】，比如我们 考虑下列形式的非均匀高阶海森堡铁磁链方程， s t = ，s s 船+ g s s 茁+ p s s x 船 - - e s z 一3 e ( s 霉s ) s + e ( s ，s 。，s ) ，( 2 1 1 0 ) 1 1 型c 3 喵 = 壁魏 壁彬 n 白 一 。： p g 盯s 3 汹 2 a 22 + 以0 ， s 吼 & 3斟3汹 认一2认一2 一 一 l | = 以 以 一2 1_2 = = 噩 噩 f g 一 一 l i = 矿 矿 1 2 各项异性的修正海森堡铁磁链方程的延拓结构 其中f ，g ，p 和e 取为x 和t 的函数，其形式待定，另外e 是关于s ，s z 和s 。z 的函数，其 形式也待定。 如果我们把s ，s za d s 霉z 视为新的独立变量，同样我们可定义一组微分2 形式 使其构成的闭理想，然后我们引进延拓变量和与之相联系的外微分1 形式， u 七 = d 鲈后+ f 七如+ g 岛d t ， 忌= 1 ，2 ，死，( 2 1 1 1 ) 并要求引入的外微分1 一形式与原来的外微分形式2 一形式构成新的闭理想，经过 一些较繁琐的运算，我们可得下列方程 筹= 磊o f k - 0 i ( 2 1 1 2 ) a s 石a s z 霉 1 、7 竺：一e等叩百afkosz ， (2113)z一2 6 百一p s 百， 阻1 3 ) 鲨= 一，鲨a s ( $ xs x x ) 一9 百o f k a t( s 碱) - e 筹一2 一k 一一9 百。【s s 茁j - 。酉 + 3 e ( s z - s x x s 等，+ 警龟+ 筹嘞。 一 f j g n 喾 ( 2 1 1 4 ) 由( 2 1 1 2 ) 可知f 应取如下形式 3 f = a s i x t ， ( 2 1 1 5 ) i - - - - 1 其中入是谱参数，五仅依赖于延拓变量y 七将( 2 1 1 5 ) 代入( 2 1 1 3 ) 和( 2 1 1 4 ) ，我们 可得g 和e 的形式分别为 3 口 g = - c a 8 i , x x x i + 卜；e a ( s 苫s 。) + e a 3 一，入2 + h a 】 i = l - 33 s 五+ ( f a e 入2 ) ( s s z ) t 五， ( 2 1 1 6 ) e = 一互3 e ( s x s z ) s 茁+ 慨 ( 2 1 1 7 ) 首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 以及 9 = 厶，p = 0 ， = e ( ) ， 瓮= 搿厶+ 地， ( 2 1 1 8 ) 其中f 和h 分别取为( 1 1 2 0 ) 的形式，矢量x = ( x 1 ，恐，托) 只依赖于延拓变量y 后并 f i x - ，恐，x 3 构成s u ( 2 ) 李代数。这样我们就得到了一个可积的非均匀高阶海森 堡铁磁链方程， s 。= ，s s 墨z + 丘s s 卫+ 舾2 一兰e ( s x s x ) s z - - e s x x 茁一3 e ( s z s 箱) s ( 2 1 1 9 ) 若要求1 形式u 限制在解流形为零，则可很容易得到l a x 表示 【厂= 一f i 恐；吾以= 专a s a i ， 一 。i = l y = 一g l 置；以= 一吾e 入壹s ，霉z 吼+ 争一( s z s x ) + e 入3 一，入2 + a 】 。 i 一1 4 3 ： 3 s 砘+ 去( 一e 入2 ) ( s s 王) i a r i ( 2 1 2 0 ) 如果我们将2 1 1 9 ) 中的自旋矢量s 等价于欧氏空间中一曲线的切矢量，然后利 用h a s i m o t o 变换( 1 1 9 ) ，则可给出如下与( 2 1 1 9 ) 几何等价的非均匀高阶非线性 薛定谔方程 其l a x 表示为 i 讥+ 如喾霉+ 6 i e l 妒1 2 饥+ ( r e ) 。喾 + 2 矽 小1 2 + d s f = l 妒1 2 ) - i ( 脚) ：o ( 2 1 2 1 ) 汐= ( 二支) ，y = ( 三b + - b a ) ， e 2 1 2 2 ， 1 3 1 4各项异性的修正海森堡铁磁链方程的延拓结构 其中 么= 2 i e a j 砂j 2 一e ( 砂+ 讥一矽咙) 一4 i e a 3 + d s f x 1 p 2 + i f l 妒1 2 2 i ，入2 i h a ，( 2 1 2 3 ) b = 一2 e i 妒f 2 矽+ 4 c a 2 矽十2 i c a 矽一q 如z + ( ，妒) z + 2 厂入矽+ 砂( 2 1 2 4 ) 2 2各项异性的修正海森堡铁磁链方程的延拓结构 在上一节我们对海森堡铁磁链方程的延拓结构做了一简单介绍，我们注意 到延拓结构理论在分析和构造可积的海森堡铁磁链方程时是十分有效的工具。 利用该方法我们不仅可以构造出许多高阶可积的海森堡铁磁链方程，更重要的 一点是我们还能得到与之几何等价的高阶非线性薛定谔方程。另外延拓结构理 论不仅对分析以上( 1 十1 ) 一维的海森堡铁磁链方程十分便利，而且对分析( 2 + 1 ) 一维 的海森堡铁磁链方程也十分有用。最近z h a i 等人【2 0 】利用m o r r i s 的高维延拓结构 方法很好地研究了一类( 2 + 1 ) 维可积海森堡铁磁链方程。另外( 2 + 1 ) 维可积海森 堡铁磁链方程与相应的( 2 + 1 ) 维可积非线性薛定谔方程之间也存在规范等价和 几何等价性关系。现在我们就回到在前言中提到的问题，即关于修正的各项异性 的海森堡铁磁链方程的可积性问题，下面我们将利用延拓结构理论就此问题展 开讨论和研究。 现在我们考虑如下各项异性的修正海森堡铁磁链方程： s t = s 叉s z z + e ， 其中s os = s i + s ；一s ；= - 1 ，e t t - f n 形式 e = p sxj s ， ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 上式中口是 以时， 首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 数，当j 1 = j 2 = 根据w a h l q u i s t 和e s t a b r o o k 的延拓结构理论，我们首先应把方程( 2 2 1 ) 降阶 为一阶微分方程，为此我们设s 口霉为新的独立变量，然后我们可定义下列一组微 分2 形式 d 口= d s 口ad t s a , x d x 八d t ， a n + 3 = d s oad x + e 幽s b d s c ，xad t + e 口如ad t ， 0 1 7 = s n d a 口，zad t + 8 a , z d s 口ad t ，( 2 2 3 ) 其中n = 1 ，2 ，3 。很容易证明这些2 一形式即 a 口，q 口+ 3 ，q 7 ) 构成一个闭理想，即满 足条件 7 妣= 厶aa 1 ( i = 1 ，2 ，7 ) ( 3 )( 2 2 4 ) j = t 其中允是一组1 一形式。若将这些微分2 形式限制在解流形上并要求其等于零，则 很容易看到这些微分2 形式给出方程( 2 2 1 ) 。 现在我们引入如下的1 形式， u 詹= d y 七+ f 后d x + g 蠡d t ，( k = 1 ，2 ，扎) ，( 2 2 5 ) 其中f 詹和g 知是关于( 矿，s ，s z ) 的函数，矿为延拓变量，并且要求u 七与 q 1 ，勉，q 7 构成新的闭理想，即要求满足关系 ( 2 2 6 ) 其中磊是一组0 - 形式，碓是一组l 一形式。则由( 2 2 6 ) ，我们可以得到如下关系 硪。= 0 ， ( 2 2 7 ) 1 5 常 m k 程方 ， 链、il夕磁 0 0 以铁 。 如。褪 以0 o 淘 躐 = 惨 7 ， 1 舶 旧 式 牡 形 的 程 1 j - 7 黼 舫 删 唰 詹 oa l 七 危 馆m + 口 1 9 7 ：l l l 奄 如 1 6各项异性的修正海森堡铁磁链方程的延拓结构 g 嚣，。= 一。6 c s 6 磁。， & ，互g 盆一晚磁一 只g 户= 0 ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 其中 eg 卜的表达式是( 2 1 7 ) 。由( 2 2 7 ) 可知f ( 扩，s ，s x ) ) 应取如下形式 3 f = 以s a 五，( 2 2 1 0 ) a - - - - 1 其中咒仅依赖于延拓变m 且y 。将( 2 2 1 0 ) 代入( 2 2 8 ) 和( 2 2 9 ) ，我们可以得到下列 解： ( 2 2 1 1 ) 其中h x = d 2 d z ，h 2 = - d l d 3 ，h 3 = d i d 2 ，且兀构成s u ( 1 ，1 ) 李代数，其对易关系如 下 【x l ，x 2 】- 一虬， ( 墨，托 _ 一恐， f 兄，】= x 1 ( 2 2 1 2 ) 另外在f $ 1 g 的表达式，即( 2 2 1 0 ) 和( 2 2 1 1 ) 中的常数d l ，如和d 3 满足下列关系： d l = p d n ( a ，) ， d 2 = 联s n ( 入，) ， d l = 必c 佗( a ，) ， ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 4 ) ，刚 s 口 十kz s一s 如 3 瑚 =g 如 如 一 一 一 以以 以 ，f、，fl 8 g 8 一 一 一 = = = 遥避 + 一 十 镌镌皤 ，liil-f1ill-i【 得 可程 方e 以解求 首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 其中d n ，s n ，c n 是雅克比椭圆函数，p 2 2 = p ( 以一j 3 ) ，p 2 = p ( 如一j 1 ) 。 若要求1 一形式雌限制在解流形为零，则可很容易得到各项异性的修正海森 堡铁磁链方程( 2 2 1 ) 的l a x 表示 汐= - f i x , ：矗= 以s g 亿， a = l 3 v = - g i x , ：气= d o ( s 灵s 。) 口+ h a s 口】， ( 2 2 1 5 ) a - - - - 1 其中7 - 是s u ( 1 ，1 ) 李代数的生成元，其表达式为( 1 2 3 ) 。 1 7 1 8各项异性的修正海森堡铁磁链方程的延拓结构 第三章小结与讨论 连续和离散的修正海森堡铁磁方程都是十分重要的可积方程，许多文献 对其进行了深入研究，现已知道它们分别与与连续和离散的非线性薛定鄂方 程n l s e 一之间有紧密的联系。延拓结构理论是分析和研究( 1 + 1 ) 可积非线性微 分方程的重要方法，被广泛用于研究各类可积方程，最近已有相关文献通过利 用延拓结构方法成功地构造了可积的高阶海森堡铁磁方程。本论文主要借助于 延拓结构理论这有力工具对各项异性的修正海森堡铁磁链方程进行了深入分 析和研究，给出了其l a x 表示。对于能否进一步构造其它高阶的各项异性的海 森堡铁磁链方程还有待深入研究。另外( 修正) 海森堡铁磁方程与非线性薛定鄂 方程己s e 千存在规范等价性关系，对于各项异性的( 修正) 海森堡铁磁链方程 是否与其它可积方程之间也在规范等价性关系还需要进一步研究。 首都师范大学2 0 0 8 年硕士毕业论文 参考文献 【1 】h d w a h l q u i s ta n df b e s t a b r o o k ，j m a t h p h y s 1 6 ( 1 9 7 5 ) 1 【2 】f b e s t a b r o o ka n dh d w a h l q u i s t ，j m a t h p h y s 1 7 ( 1 9 7 6 ) 1 2 9 3 3 】m l e o ，r a ，l e o ，g s o l i a n i ，l s o l o m b r i n oa n dl m a r t i n a ，j m a t h p h y s 2 4 ( 1 9 8 3 ) 1 7 2 0 【4 lj n i j h o fa n dg r o e l o f s ，j p h y s a 2 5 ( 1 9 9 2 ) 2 4 0 3 5 】j f i n l e ya n dj k m c l v e r ，j m a t h p h y s 3 6 ( 1 9 9 5 ) 5 7 0 7 【6 】6e a l f i n i t o ，v g r a s s i ，r a l e o ，g p r o f i l oa n dg s o l i a n i ，i n v e r s ep r o b l e m s 1 4 ( 1 9 9 8 ) 1 3 8 7 【7 】h c m o r r i s ，j m a t h p a y s 1 7 ( 1 9 7 6 ) 1 8 7 0 f 8 】h c ，m o r r i s ，j p h y s a 1 2 ( 1 9 7 9 ) 2 6 1 9 m l a k s h m a n a n ，p a y s l e f t a 6 1 ( 1 9 7 7 ) 5 3 1 0 】g l 。l a m b ，j m a t h 。p h y s 。1 8 ( 1 9 7 7 ) 1 6 5 4 。 f 11 】k n a k a y a m a ，h ，s e g u ra n dm w a d a t i ，p h y s r e v l e t t 6 9 ( 1 9 9 2 ) 2 6 0 3 1 2 1a d o l i w aa n dp 。m s a n t i n i ，p h y s l e t t a 8 5 ( 1 9 9 4 ) 3 7 3 【1 3 】v e z a k h a r o v ，l a t a k h t a j a n ，t h e o