（应用数学专业论文）几类生物模型的hopf分支与周期解.pdf

摘要 近年来，动力系统在力学、物理学、化学、生物学、生态学、控制、数值计算、 工程技术以及经济学和社会科学中得到广泛的应用，而稳定性与分支现象是微分方 程研究的永恒主题之一本文首先研究了两类具有阶段结构和h o l l i n g 型功能性反应 函数的捕食一食饵模型的稳定性及h o p f 分支，并最终在理论上研究了一类中立型时 滞微分方程多重周期解的存在性 第一章，主要介绍了生物数学的研究背景，现状及常崩的理论工具阐述了本 文所研究模型的背景，给出了本文研究所需的一些预备知识 第二章，研究了一类捕食者具有阶段结构的捕食一食饵模型，其系数足时滞依赖 的利用h o p f 分支理论及几何稳定开关准则等方法，主要讨论了正平衡点的渐近稳 定性和分支问题研究发现，在定条件下，随着时滞的增加，正平衡点足从稳定变 到不稳定再变剑稳定的，出现h o p f 分支现象，从正平衡点处分支出+ 族周期解，进 一步，利用中心流形定理和规范型理论，研究了分支周期解的一系列属性：如分支 方向、分支周期解的稳定性等最后，计算机数值模拟验证了理论分析的结果 第三章，研究了类食饵具有阶段结构的捕食一食饵模型，其系数也是时滞依赖 的分别讨论了边界平衡点的局部及全局渐近稳定性更重要的是，利用h o p f 分支 理论研究了正平衡点的局部稳定性与分支现象，通过分析得出，当s ( 0 ) 0 时，正 平衡点一直是稳定的；而当。，( 0 ) 0a n dh o p f b i f u r c a t i o no c c u r si ff ( o ) 0 ，都存在6 = 6 ( g ，t o ) ，使得当| | x o 一矿| | 0 ，| 5 0 ，使得对a ，b 1 中 互不相交的任意有限个k k i e ( a ，轨) ，i = l ，2 ，佗，只要垒l ( 玩一a i ) 0 ，- - t t o ) ，有 ( i ) 若o b ，j l 1 1 i mx ( t ) = 孚； ( i i ) 若n o e - 有界 兰州理工人学硕一j 学位论文 文献 8 】中，作者在研究正平衡点稳定性及数值模拟时，主要考虑的是p ( z ) = p x 的情形 越来越多的， 三理学证据表明，存多数情况下，特别足当捕食者不得不搜寻食物 时，个更为切合实际的捕食食饵模型应基于h o l l i n g - i i 类功能性反映本章考虑以 下具有h o l l i n g - i i 类功能性反映函数和阶段结构的捕食一食饵系统： f 亳( ) = 6 z ( ) 一触2 ( ) 一笔辫， 矿( ) = 可a 2 z ( t 而) y ( t ) 一d l y ( t ) 一0 2 等慕害e 卅， ( 2 1 3 ) 【参( t ) = 眈x ( 1 t + - 唧r ) y ( _ r ) t - r ) e - m d 2 y ( t ) ， 为了满足初值的连续性条件，进一步要求 iz ( ) 0 ，y ( t ) 0 ，y ( t ) 0 ，t 【一丁，o 】，是连续的， x ( o ) 0 ，y ( o ) 0 ， ( 2 1 4 ) 【y ( o ) = o r a 2 黼e d - o d 9 0 并假设 a 2 b p d 2 4 - b c d 2 ， ( 2 1 5 ) 否则，系统( 2 1 3 ) 将没有正平衡点本章的主要目的是利用文献f 3 3 】中的几何稳定准 则来给出( 2 1 3 ) j r - ：平衡点的稳定性及其h o p f 乡) 支 2 2 正性和有界性 引理2 2 1 【8 | 系统( 2 1 3 ) 具有初始条件( 2 1 4 ) 的解是正的 定理2 2 2 系统( 2 1 3 ) 具有初始条件( 2 1 4 ) 的解是最终致有界的 证明令y ( z ) = a 2 x ( t ) + a l y ( t ) + a l y ( 亡) ，则函数y ( ) 沿着系统( 2 1 3 ) 的解的全 导数为： 矿( t ) = a 2 圣( t ) 十a 1 参( t ) 十a l 矿( t ) = 。2 b z ( 亡) 一声z 2 ( t ) 一 筹】+ 。z 卜d t y ( t ) 一d 2 秒( 亡) + 专号器】 = a 2 b x ( t ) 一a l d l y ( t ) 一a l d 2 y ( t ) 一a 2 3 x 2 ( t ) 对很小的j f 数8 m i n d ：t ，d 2 ) ，有 矿( t ) 十s v ( t ) 一a 2 ( b 十s ) z ( 亡) 一a l ( d l s ) y ( 亡) 一a l ( d 2 s ) 可( t ) 一a 2 p z 2 ( ) 0 也成立，则系统( 2 3 1 ) 有唯一的正平衡点 e = ( z + ，+ ) = ( 焘，笙等等杀泸) 注1 假设( h 1 ) 等价于丁【0 ，丁1 ) ，其中 n = - 五- l na 2 b 匾， 6 嚣 妇一妒 兰州理t ：火学硕1 二学位论文 由( 2 1 5 ) ，有丁1 0 假设( h 1 ) 也等价于矿 o ，z + ( n o ) = r l 。i m 下z + ( 7 - ) = 去，故，z + 【害笼，砉) 令亩= ( 圣，雪) 为系统( 2 3 1 ) 的任何。个平衡点，! l 0 在啻处的特征力程为： l 入- 一b 熬+ 2 多三黪枞一羹e 呐一下| = 0 协3 翻 | 一赫e 一也f 一入7 a 十d 2 一器e 一由r 一灯l 、 文献 2 6 中，刘研究了当功能性反映是b o d d i n g t o n _ d e a n g e l i s 类的系统( 2 1 2 ) ， 即功能性反映函数为 p ( x ，妙) 。再豢而， ( 2 3 - 3 3 ) 显然，p ( x ，秒) 也包含- y h o l l i n g i i ( 。- 1 k = o 时) 他们获得了系统持久的充分必要条件， 也得到了正平衡点全局稳定的充分条件，但正乎衡点的渐进稳定性需要j i ：大于。一个 正常数，因此他们的结果不能直接j = = j 来研究系统( 2 1 3 ) 对岛和e l ，由文献i s 】中的定理l ( 也可以参见文献【2 6 】中的定理5 1 和推论5 2 ) ，得 到如下两个引理： 引理2 3 1 系统( 2 3 1 ) 的平衡点蜀屉不稳定的 引理2 3 2 当7 - 【0 ，丁1 ) 时，平衡点e l 是不稳定的；而当7 - ( t 1 ，+ 。o ) 时，平衡 点局是全局渐进稳定的 因此，以下主要分析j e 平衡点e 的稳定性，其特征方程为： d ( a ，) = ( a 二b + 2 z z + + 禹) ( 入十如一晋告e d l 7 一a r ) + 卷酶e 咖 ( 2 3 4 ) = ( a 2 + p a - 4 - q ) - 4 - ( r a + s ) e a r = 0 ， 其中 fp = d 2 6 + 2 p z + + 尚， q = d 2 ( ，山+ 2 触斗蹁) ， ( 2 3 5 ) 17 = 一如 0 ( 2 3 7 ) 成立，d ! 1 q ( r ) 十s ( 7 - ) 0 ，p ( 7 - ) + r 0 证明显然有g ( 丁) + s ( 7 - ) = 辫) 0 因此只需证明p ( 7 - ) + r o 即可 m ( 2 3 5 ) ，有 p ( r ) + r = 6 十2 f i x * - 4 - 石 兰舞 ( 一6 十2 口2 一) ( 1 + c x + ) + b 一声矿 l + c x + z + 1 + c x z 4 l + c z + z + f c f 2 2 ( p + 6 c ) + 口2 ( p b e ) 】 ( h 2 ) 用在最后。个不定式中证毕 引理2 3 4 如果( h 1 ) 和( h 2 ) 成立，则有 ( i ) p ( 0 ，7 - ) + q ( o ，7 - ) o ； ( i i ) p ( w i ，7 - ) 十q i ，7 - ) o 对所有的u r 成立； ( i i i ) l i m s u p i q ( 入，丁) p ( 入，r ) i ：l 入l o o ，r e a o 0 p ( w i ，7 ) + q ( u i ，7 - ) =一u 2 + p ( r ) w i + q ( t ) + r w i 十s ( 7 - ) =【一u 2 十g ( 丁) + s ( 丁) 3 + 眵( 丁) + r j u t 0 ( i i i ) 由于p ( a ，丁) 是入的二次多项式，而q ( 入，7 1 ) 只足一次多项式，因此 8 兰州理工大学硕t ：学位论文 l i r as u p ( q ( a ，7 - ) p ( a ，7 - ) i ： ( i v ) 由式( 2 3 7 ) 得到： a i _ ，r e a o ) = 0 0 ，q ( o ) + s ( o ) 0 ，1 扫r o u t h h u r w i t z 准则町知，d ( a ，0 ) = o r 宵负实 部的特征根，因此得到以下定理： 定理2 3 5 如果( h 1 ) 和( 啦) 成立，则当7 - = o u , t ，系统( 2 3 1 ) 的平衡点e 是渐进稳 定的 s t e p2 如果对某些7 _ 【0 ，n ) 和w 0 ，有d ( w i ，7 ) = o 成立，则有： 因此， 由于 并日有 一 f ( u ，丁) = 。i p ( u i ，7 - ) 1 2 一， q ( w i ， ) 1 2 = 叫4 + a ( r ) w 2 + b ( 1 - ) = 0 a ( 7 - ) = 矿一2 口一r 2 = ( d 2 6 + 2 p z + + 尚) 2 - 2 d 2 ( 一6 + 2 1 3 x + + 禹) 一d l = ( 一6 + 2 p z + 十禹) 2 = ( p ( 丁) + r ) 2 0 ， b ( t ) = q 2t ) 一8 2t ) = 沁c 7 ，+ s c 7 - ，】t g c 7 - ，一s c 7 - ， 三三： ：；三；：；： 9 ( 2 3 9 ) ( 2 3 1 0 ) ( 2 3 1 1 ) 嚣 = | | r 丁 u l s o s c ，if、【 几类生物模獭的h o p f 分支与周期解 因此方程( 2 3 1 0 ) 有j e 实部的根当凡仪当g ( 7 - ) s ( 7 - ) 注意到口( 7 - ) s ( 丁) 等价于 4 锣( z + ( 7 - ) ) 2 + ( 3 一2 b c ) x 4 ( 7 ) 一b 0 2 ，则当丁( 0 ，丁o ) c 【0 ，7 1 ) 时，方a ( 2 3 1 0 ) 仅有唯一的正实根u ， 而当7 - h ，n ) c 【o ，丁1 ) 时，方程( 2 3 1 0 ) 没有正实根，其中丁0 是方程9 ( 矿( 7 - ) ) = o 的 根，并日 u = ( 7 - ) = 1 0 兰州理工人学硕j ：学位论文 假设定理2 3 6 ( i i ) 中的条件成立，对丁【0 ，丁b ) ，定义口( 丁) ( 0 ，2 7 r ) 为 上式与式( 2 3 1 0 ) 一起定义以下映射 跏h 一笋 ( 2 3 1 4 ) ( 2 3 1 5 ) 为了得到主要的结果，还需要分析当7 - = t 0 时的稳定性考虑以下的系数与时 滞无关的特征方程： d o ( a ，7 - ) = p ( a ，t o ) + q ( a ，t 0 ) e 。1 。 = 穿+ p ( 伯) 入+ q ( t o ) + 【r a + s ( 伯) 】e 一灯 = 0 引理2 3 7 如果( h 1 ) 和( h 2 ) 成立，则方程( 2 3 1 6 ) 仅有负实部的特征根 证明当7 - = 0 时，有 d o ( a ，0 ) = 入2 + 眵( 丁0 ) + r 】a + 【q ( r a ) + s ( 伯) 】= 0 ， ( 2 3 1 6 ) 由于p ( 咱) + r 0 ，q ( 7 - o ) + s ( 丁o ) 0 ，i 刍r o u t h h u r w i t z 准则可知，d o ( a ，0 ) = o 仅有 负实部的根如果随着7 - 的增加使得方程( 2 3 1 6 ) 出现正实部的特征根，则ju 0 ， 使得d o ( w i ，7 - ) = o 对某些7 - 成立注意到 因此 u 4 + 铲( t o ) 一2 q ( t 0 ) 一r 2 】u 2 十9 2 ( 丁0 ) 一s 2 ( 询) = u 4 + 铲( 丁0 ) 一2 q ( t 0 ) 一r 2 】u 2 = 0 ( 2 3 1 7 ) 倒数第二个等式成立是由于g ( x + ( r 0 ) ) = o 导致q ( 仉o ) - s ( t o ) = 0 但由式( 2 3 1 1 ) 可 知，a ( t o ) = p 2 ( 两) 一2 口( 丁o ) 一r 2 0 ，因此，方程( 2 3 1 7 ) 没有实根，从而方程( 2 3 1 6 ) 只 有负实部的特征根证毕 由文献 3 3 】和以上的 寸论，得剑以下定理： 定理2 3 8 假设a 2 a o ，( h 1 ) 和( h 2 ) 成立，则a = 士u ( 矿) i ，7 - + 【0 ，t o ) c 【0 ，n ) ， 是方程( 2 3 6 ) 的一对单重共轭纯虚根当目仅当& ( 丁+ ) = 0 对某些n n 成立如 1 1 攀 l i = ) j r r ，i，i p p l s 扛 d 爱 c ，、【 i i = u 罢宝 两 而 十 一 u u 磊 嘲 m m 十 一- p 一 ，、【 几类生物模型的h o p f 分支与周期解 果艿( 丁+ ) 0 ，则这对根穿过虚轴的方向为从左向右，如果6 ( r ) = s i g n a o ， 得不稳定，因此，系统( 2 3 1 ) 在r = 丁4 处经历一个h o p f 分支 ( i i i ) 当7 - h ，n ) 时，系统( 2 3 1 ) 的平衡点e 是渐刨稳定的 证明1 ) 定理2 3 5 年f 1 2 3 6 ( i ) 就意谓着1 ) 成立u 2 ) ( i ) 容易看到，s 。( 7 - ) + 1 ( 7 - ) 对所有的7 - 【0 ，丁o ) 和n n 成立此外， 由式( 2 3 1 4 ) 年1 1 式( 2 3 t 5 ) i 得，s 。( o ) & + 1 ( 丁) 可知，& ( 7 - ) = o 在 o ，7 - + ) 内没有权，冈此，( i i ) 成立 ( i i i ) 这足定理2 3 6 ( i i ) 和引理2 3 7 的一个直接推论证毕 注2 假设定理2 3 9 2 ) ( i i ) 的条件成立，则对以上给出的7 - 的不同临界值，其大小 关系为： 0 r 8 7 0 n 2 4h o p f 分支的方向和稳定性 在前边的部分里，得到了在临界值r + 处，从正平衡点e 处分支出周期解的条件， 以下采用h a s s 盯d a 4 1 中的思想，通过使j 中心流形定理和规范型理论，得到描述决 定分支周期解满性的精确表达式整个这一部分甩，都假设系统( 2 3 1 ) 在丁= 7 + 时 经历j h o p f 分支，即定理2 3 9 2 ) ( i i ) 的条件成立u + i = ( 7 ) i 是特征方程在栩应 正平衡点处的纯虚根 令z 1 = z z 4 ，y l = 秒一y + ，7 - = 7 4 + 肛，时一霹刻度变换为t _ ( t 7 - ) ，并凡仍然 把z l ( t r ) 、秒l ( t 丁) 记为z ( t ) 、( t ) ，这样，系统( 2 3 1 ) 变成空间c = c ( 【一1 ，o 】，r 2 ) 上的 1 2 卜域 & 盯领 右 卿 = 耋怖艄茹 对 为 一兹 1 、 ， 点 瓢弦 烈 触嗟 臻 零e 名r k ， 溯 靖融 绻 上衡淼篙酗懒捆吼蓝黼 兰州理工火学硕j ：学位论文 一个f d e ： x = l j “x t + g ( 弘，五) ， 其中，x = ( z ( t ) ，耖( ) ) r r 2 ，乩：c r 2 ，g ：rxc _ r 2 的定义分别为： 和 其中 并且 ( 2 4 1 ) 三肛x t = e 丁+ + 弘， ge 丁+ + p ，( ：葛 ；) + q c 丁+ 十肛，x t ( - 1 ) ) c 2 4 2 ， g ( p ，五) ：( 7 - + 十肛) ( r ，足) r ， 只= 西a z l c i y 甲*一p ) z ；( o ) 西辛甲z t ( o ) 狮( o ) 一荇笔蔷z ；( o ) 十尚z ；( o ) 纨( o ) 十。( i x 。1 4 ) ， 马= 一a 2 c ：! l ( * l e 千- 五d l 可( r ；* + p 一) z ；( 一1 ) + 盟群z ( 一1 ) y ( 一1 ) + 生芷筹铲z ( 一1 ) 一虫秀筹z ( 一1 ) y 。( 一1 ) + o ( i x , i n ) ， ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) 卜，= b - 2 ；8 x * - 赫二矛1 + c x * ) ， ， 卜归( 麓e 呐p 训0 器e - d l ( r * + t 。) ) 使得， 事实上，可以选择 己p 咖= - id r ( p ，p ) 矽( 口) ，c 叩( p ，芦) = ( 7 + p ) g ( 7 - + 弘) 6 ( p ) 一岛( 7 + 十p ) d ( p + 1 ) 】， 其中6 ( 口) 为d i r a e6 一函数 对c 1 ( 一1 ，o 】，r 2 ) ，其无穷小生成元a ( 肛) 为： ( 2 4 6 ) 批m 仆垃三责品：。 泣4 几类t j 物模担的h o p f 分支与周期解 进一步，令 剐础，= 0 , 0 e - 1 ，曼 则系统( 2 4 1 ) 等价子 又f _ a x + r ( 肛) x ， j l x 即) = x ( f + 1 9 ) ，0 【- - 1 jo 】 ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) 焉d e , 篙器m 0 ：0 ， ( 2 4 加， l 妒( 一9 ) 咖( p ，) ， = ， 、 。 r or o ( 妒，) = 万( o ) 西( o ) 一上，上可( 一口) 咖( p i z ) ( ) 诞， 其中，c + = c 1 ( 【o ，1 】，r 2 + ) 和曰2 + 是行向量 令弘= 0 ，由前部分的i 寸论秘j 知，土u + 1 _ 4i 是4 ( o ) 和a 4 ( 0 ) 共同的特征值下向柬计 算a ( o ) g l a + ( o ) 分别相应于u 47 - + i 和一u 7 - + t 的特征向量设q ( o ) 霹l q 4 ( p ) 分别疋l - ta ( o ) 和 a + ( o ) 相应于u + 丁+ i 和一u 8 丁+ i 的特征向量，则有 a ( o ) q ( o ) = 4 r + i q ( o ) 三：二)之j徊e护io,f一016。】0，1， ( 2 4 1 2 ) ( 2 4 1 3 ) ( 2 4 1 4 ) f 口t = 坐塑筹鞘撩鼎产， 萌= 唑竽豢鬻采妒， ( 2 心) 【d 。两丽瓦瓦焉磊1 磊鬲瓦磊露矛而， z + ( 丁4 ) 和! ，4t 4 ) 分别是j f 平衡点当7 - = 广时的坐标在本章的后文中，仍然用z + 和f 4 来 分别记z + t 4 ) 与矿( 丁4 ) 以f 证明( q + ，g ) = 1 事实上，由式( 2 4 1 4 ) 可得 瑚= 面 ( 1 磋) 一肼引川砌咖q ，、【 为 ： 矽 | | 肛 ) (口v a 砂 f d 肄 弋 雠 a h三二一，工 ： 形 为 的 式 d 髟 、二 7 a 竹线 父 兰州理了：大学硕j 二学位论文 面 =1 1 + - q ：q l 1 + q i q l 1 + - q ；q l 1 玩) 限1 ，。h 兹) e u 丁触d 叼c 目，。，( 三。) ) 揣e _ d l r 怵羔e 呐1 ) 因此，( 口+ ，虿) = 0 令x 足方程( 2 4 9 ) 当= o 时的解，定义 。( t ) = q ，x ) ，w ( t ，0 ) = w 7z ，5 ，0 ) = x t ( 0 ) 一2 r e 彳( 砒f ( 毋) ) ，( 2 4 1 6 ) 则在中心流形岛上，有 ，2- 4 2 ( 名，- 2 ，p ) = 。( 护) + l ( o ) z - 2 + 2 ( ，7 歹十， 则。和剥子别是流形岛上方向为g 和口+ 的局部坐标注意到如果咒为实的， 实的，因此只需处理x 为实解得情形很容易看到 之( ) = = ( q + ，a ( o ) x f 十r ( o ) x t ) = ( a + ( o ) 矿，x t ) + ( q + ，冗( o ) x t ) = i w _ r z ( t ) + 矿( o ) g ( o ，w ( z ，乏，0 ) + 2 r e z ( t ) g ( 9 ) ) _ - - i w 广以) + g ( z ，习， 其中 ，、0 2尹z 2 - 2 夕( z ，乏) 29 2 0 专+ 9 l l 历+ 夕( ) 2 专+ 夕2 1 t + 以下来计算式( 2 4 1 7 ) 中( p ) 的系数由( 2 4 1 6 ) 和( 2 4 1 8 ) 可得 w = x t 一三q 一二z q = a ( o ) x t + r ( o ) 五一( 汕矿z + g ) q 一( 一4 丁乏+ - 歹) - q = a ( o ) w + r ( 0 ) x t 一2 r e ( g q ) | a ( 0 ) w 一2 r e ( 矿( o ) g o g ( 9 ) ) ，一l 0 o ( 广( 7 - o ( t 2 0 ) ，周期是增加的( 减 小的) 2 5 数值模拟 这一节，对系统( 2 3 1 ) 的参数分别取不同的值，举例说明以上的理论分析 例1 令b = 2 ，p = 1 ，a l = 1 0 ，a 2 = 0 1 4 ，c = 2 ，d l = 0 1 ，d 2 = 0 0 5 ，考虑以下系 统 卿(t)：=紫2x(t)-x2(t)e-。oosy(t)， ( 2 5 1 ) l 舀( t ) = 旦j ： ! 粼e o 1 下一 ， 、。1 7 在这种情况下，丁l 圭1 3 3 3 3 ，a o = 0 1 4 4 3 显然，a 2 0 ，z m ( ) 0 ，耖( ) 0 ，t 一7 - ，o l ， 一 、z i ( o ) = 6 r z m ( s ) t 3 抵。 3 2 正性和有界性 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 定理3 2 1 系统( 3 1 2 ) 具有初始条件( 3 1 3 ) 的解对所有的t o 都是正的 证明很容易看到z m ( t ) 和可( t ) 对所有的o 都为正的故仪需要证明( 芒) 0 由于 z m ( ) 0 ， 考虑方程 叠i ( f ) 一d l x t ) 一b e - d 1 7 z m ( 一下) 1i t ( t ) = - d l u ( t ) b e - d 1z m 一7 ) ， 【让( o ) = 耽( o ) ， 则企( 0 ，7 - 上，有z i ( 亡) 钍( ) ，由常数变易法可得 故仃 = e - d 1 。k ( 。) 一tb e d l ( s - r ) x m ( s 一7 - ) 幽】， u ( t ) = e - d l r k ( o ) = e - d l r 陬( o ) = 0 一tb e d l ( s - r ) x m ( s 一丁) 删 一。b e d l o x 。( 口) 冽 因此，在t 【0 ，7 - 】上，有：r i ( t ) 0 由迭代可得( ) o 对所有的t o 都成立证毕 定理3 2 2 系统( 3 1 2 ) 具有初始条件( 3 1 u ，。i - - t 取n 终一致有界的 证明令y ( t ) = n 2 z i ( ) + a 2 x ”。( ) 十( 1 ( ) ，计算y ( ) 沿着系统( 3 1 2 ) 的解关于 的导数，则宙 矿( t ) = a 2 童i ( t ) + a 2 童，孔( t ) - 4 - a l2 ：f ( t ) = 。2 【6 z m ( t ) - d ，x i ( 亡) 一d 2 z ，n ( ) 一侈z 象( t ) 一搿】 慨 - d y ( 讣静骝】 = ( q 2 6 一a 2 d 2 ) z m ) 一a 2 d t x i ( t ) 一8 l d y ( t ) 一啦z 象( ) 对正常数s m i n d 1 ，d ) ，有 矿( t ) + s v ( t ) ( a 2 b 1 一n 2 d 2 十a 2 s ) x m ( 亡) 一( n 2 d 1 一a 2 s ) x i ( t ) 一( 0 1 d a l s ) 可( ) 一0 2 启z i 。( t ) a 2 ( 6 一d 2 + s ) x 2 ( t ) 一a 2 f 3 x ；( t ) 因此，存在正常数k ，使得 即 v ( t ) + s v ( t ) k ， v ( t ) ( v ( o ) 一k s ) e 一武+ k s 故y ( f ) 是最终有界的，从而系统( 3 1 2 ) 的每一个解：( f ) = ( 兢( ) ，z m ( z ) ，( 亡) ) 是最终 一致有界的证毕 2 6 兰州理：t 人学硕il ：学位论文 3 3 平衡点分析 注意剑系统( 3 1 2 ) 中，关于变量戤的方程具有形式 叠l ( ) = b x ，n ( t ) 一d l x j ( t ) 一b e - d l r x m ( 一7 - ) ：= - d l x l ( t ) + f ( x m ( f ) ，x m ( t 一7 ) ) 如果z ，；( t ) 楚有界的而艮z ，n ( ) 一矿，t _ 。，n x i ( t ) _ ，( 矿，矿) d l ，t o 。，也 就是说，x i ( t ) 的渐进行为完全依赖于z m ( ) 因此在以下部分里，仅需研究以下系 统( 3 3 1 ) p ( ) _ b e - d l r 3 ：( t 一丁) 一d 2 x ( t ) 一艄) 一搿，( 3 删 、参( t ) = 鲁辫一句( t ) r 。7 经过计算，上述系统的非负平衡点有 e o = ( 0 ，o ) ，e l = ( z l ，0 ) = ( 鲢宅产，o ) ，当目仅当( h 1 ) ：b e - d l r d 2 成立 时e ，才是非负的 进。步，如果 ( h 2 ) ：a 2 一c d 0 ，( b e d l r d 2 ) ( a 2 一c d ) 一p d 0 成立，则系统( 3 3 1 ) 有唯一的正平衡点 e = ( z ，y 4 ) = ( 志，巡号意螺掣趔) 注1 假设( h 1 ) 等价于7 0 ，丁1 ) ，其中n = 击i n 瓦b 由假设( h 2 ) 川知，丁 o ，死) ， r 2 = 石1i n 丽葡b ( a 而2 - i c d ) 面，因此，如果e 足正的，则成立以下关系 一( b d 2 ) ( a 2 一c d ) f i g ( 3 3 2 ) 在以下分析j e 平衡点稳定性的部分中，总是假设式( 3 3 2 ) 成立，否则，系统( 3 3 1 ) 将 没有j e 平衡点 首先，分析玩的稳定性，相应的特征方程具有形式 ( a + d 2 一b e - a r - d 1 r ) ( 入十 定理3 3 11 ) 如果d 2 b ，则平衡点岛是致 2 1 如果d 2 一 l ：l 一二 一 与 几类生物模鼎的h o p f 分支与周期解 1 ) 令7 _ = 0 ，剡 如果d 2 b ，则 g ( a ，0 ) = 入+ d 2 b = 0 ， a = b 一如 0 ，使得g 文丁) = o 对某些7 - o 成立注意到 ( 3 3 3 ) 因此 2 = ( b e - d l r ) 2 递( 3 3 4 ) 任l 由假设d 2 b n j 知，方程( 3 3 4 ) 没有实根因此，系统( 3 3 1 ) 的平衡点岛对所_ 自 的7 - o 都是稳定的 2 ) 如果d 2 b e - a i r 。( 3 3 7 ) 由文献 8 ，p 6 6 1 d 0 的定理3 4 1 西f 知，方程( 3 3 7 ) 没有正实部的特征根，凶此( i i i ) 成 立证毕 注2 由定理3 3 1l = ：1 1 f 知，当食饵种群的出生率小于其死亡率时，食饵种群将趋于 灭绝，因此，由于没有足够的食物，捕食者种群也将减少为零，这与最肇奉的生态学 原理是相致的另外，从中可以看出，时滞也可以稳定化个不稳定的系统并 直将这种状态保持卜去，而这种现象在系数与时滞无天的系统中是不j l j 能发生的 以下讨论e 的稳定性系统( 3 3 1 ) 往日处的特征方程为： ( a 一如+ 2 b e d l 下一b e a r c f - r ) ( 入十d 一黑) ：0 工十c z l 记皿( a ，7 - ) = a d 2 + 2 b e d l r b e a r d 1 7 ，h 2 ( a ) = 入十d a 2 。x l 显然，当7 - 0 ，见) 时，盈( a ) = o 的根足正的，而当7 - ( 丁2 ，t i ) 时，其根为负 的，故只需讨论h 】( a ，7 - ) = 0 的根即可采用与定理3 3 1 栩类似的方法呵知，当7 f 0 ，7 1 ) 时，日1 ( a ，丁) = 0 只有负实部的报 综上，便有以下定理 定理3 3 2 如果( h 1 ) 成立，则系统( 3 3 1