（应用数学专业论文）可积hamilton系统和具有不变代数曲面的三维系统的动力学.pdf

摘要 可积h a m i l t o n 系统 和具有不变代数曲面的三维系统的动力学 摘要 可积h a m i l t o n 系统是非线性科学研究的一个重要分支，她广泛地出 现在力学、声学，光学，生命科学以及社会科学等各个领域，特别是天体 力学、等离子物理、航天科技以及生物工程中很多模型都以可积h a m i l t o n 系统或者其扰动系统的形式出现的。另外，很多描述混沌现象、非线性 振动和生物数学等模型都是三维的系统，如l o r e n z 系统，r a b i n o v i c h 系 统、c h e n 系统、r i k i t a k e 系统并1 l o t k a - v o l t e r r a 系统等等。这些系统尽管形 式上非常简单，但其动力学极其复杂。至今都没有完全弄清楚他们的动 力学性质。为了简化问题，往往考虑其具有首次积分或不变代数曲面的 情况。 在研究微分方程和动力系统的过程中，人们十分关心其是否存在不 变量。不变量的存在性问题从p o i n c a r e 暑f l h i l b e r t 时代起就一直是人们普 遍关心的问题。如果一个微分系统存在一个首次积分，他的动力学的研 究就可以降低一维。如果可积，则有可能了解系统的整体动力学性质。 如果一个系统具有不变代数曲面，则通过不变代数曲面上系统的动力学 的研究，可以有助于整个空间中系统动力学的研究。因此可积h a m i l t o n 系统的存在性的判定，以及他们的拓扑、几何、代数性质的研究，以及具 有不变代数曲面的微分系统的动力学的研究有着很大的实际应用价值。 但正女l ：l p o i n c a r e 所指出：不变代数曲面和首次积分的寻找是十分困难的 问题。， 本文研究一些特殊r i e m a n n 流形上h a m i l t o n 系统的正交分离可积以 t 上海交通大学博士学位论文 及他们的拓扑熵，和一些著名三维系统当具有不变代数曲面时该系统轨 道的全局拓扑结构。具体阐述如下。 本文第一部分介绍可积h a m i l t o n 系统的应用背景及意义，系统全面 的介绍了可积h a m i l t o n 系统及其拓扑熵的研究的发展历程、国内外的研 究现状和具有不变代数曲面的三维系统的研究意义、历史和发展。 第二部分在两维环面铲上由三维空间自然诱导的度量下，研究具有 两个自由度的自然h a m i l t o n 系统的正交分离可积( 这里的可积是在l i o u v i l l e 意义下) ，得到这类系统所有可能的分类。并证明这类可积流如果是解析 的，则在任何紧的正则能量面上的拓扑熵为零。进一步地，我们通过例 子显示严上的可积h a m i l t o n 统可以有复杂的动力学现象。例如，它们有 多族不变环面，每一族都由同宿环状柱面和异宿环状柱面所包围。据我 们所知，这是第一个具体的例子来表现很多族环面在一个复杂的的方式 下同时出现。 第三部分里我们首次在r i e m a n n 流形严x 【0 ，1 】上给出了c 光滑的 正交分离的带有势能的自然h a m i l t o n 系统的特征。利用这些t 2 0 ，1 】上 的h a m i l t o n 系统，我们得到在r i e m a n n 流形m a = p 【0 ，a 一上c o o 光滑 可积的h a m i l t o n 系统。进而，我们证明对于任何一个总能量不小于e 日的 可积h a m i l t o n 系统，存在一个零l e b e s g u e 测度集合qc 口：= e r ；e e h ) ，使得对任意的e v a ，约束在能量面 h = e ) 上的h a m i l t o n 流有正的 拓扑熵。据我们所知，这是首个在r i e m a n n 流形上具有正拓扑熵的c 光 滑l i o u v i l l e 可积的自然h a m i l t o n 系统的例子，而b o l s i n o v 和t a i m a n o v 的例 子是对于r i e m a n n 流形m a 上的测地流得到的。 第四部分中，我们在r i e m a n n 流形p 【0 ，1 1 2 出所有c 光滑正交分离 的自然h a m i l t o n 系统，即既有动能又有势能，的特征。然后，在这些系统 中找出在a n o s o v 映射诱导的n 维环面双曲白同构，即r i e m a n n 流形m a ：= p i o ：1 1 一上c 光滑可积的系统。特别地，我们讨论t a n o s o v 映射诱导 i i 摘要 的环面双曲自同构的谱有复特征值的情况。进而，我们证明了限制在正 则能量面上的h a m i l t o n 系统有正的拓扑熵。这里给出了一个任意有限维 空间上的带有正拓扑熵的c o ol i o u v i l l 可积的自然h a m i l t o n 系统的例子。 第五部分将研究具有不变代数曲面的r a b i n o v i c h 系统圣= h y v l x + y z ，1 7 = h x 一 2 y x z ，三= 一v 3 z + x y 和c h e n 系统未= a ( y z ) ，雪= ( c a ) x x z + c y ， 2 = x y b z ，的轨线的全局拓扑结构。我们完全解决了这两类系统的动力 学研究。 关键词：h a m i l t o n 系统l i o u v i l l e 可积正交分离度量动力学拓 扑熵c h e n 系统r a b i n o v i c h 系统不变代数曲面 上海交通大学博士学位论文 t h ed y n a m i c so fi n t e g r a b l eh a m i l t o ns y s t e m sa n do f 3 - d i m e n s i o n a ls y s t e m sh a v i n ga ni n v a r i a n ta l g e b r a i cs u r f a c e a b s t r a c t i n t e g r a b l eh a m i l t o n i a ns y s t e mi sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fn o n l i n - e a rs c i e n c e t h e ya r ea p p l i e dw i d e l yi nm e c h a n i c s ，a c o u s t i c s ，o p t i c s ， b i o l o g y , l i f es c i e n c e s ，s o c i e t ys c i e n c e s ，e t c s p e c i a l l y , i nt h ef i e l d s o fb i o l o g y ，a s t r o d y n a i n i c s ，s p a c e f l i g h te n g i n e e r i n gt e c h n o l o g y , l o t so f m o d e l sa r ec o n s t r u c t e di ni n t e g r a b l eh a m i l t o n i a ns y s t e m so rt h e i r p e r t u r b a t i o n s i na d d i t i o n ，l a r g en u m b e r so fc h a o t i cp h e n o m e n a ， n o n l i n e a ro s c i l l a t i o n s ，b i o l o g ym a t h e m a t i c sm o d e l sa r ed e s c r i b e di n 3 - d i m e n s i o n a ls y s t e m ss u c ha sl o r e n zs y s t e m s ，r a b i n o v i c hs y s t e m s ， c h e ns y s t e m s ，r i k i t a k es y s t e m sa n dl o t k a - v o l t e r r as y s t e m s ，e t c a 1 - t h o u g ht h e s es y s t e m sl o o ks i m p l e b u ti nf a c tt h e i rd y n a m i c sa r ee x - t r e m e l yc o m p l e x u pt on o w ，t h e i rd y n a m i c sc a n n o tb eu n d e r s t o o d c l e a r l y t os i m p l i f yt h eq u e s t i o n s ，o n e su s u a l l ys t u d yt h es y s t e m h a v i n gi n v a r i a n t s ，f o ri n s t a n c ef i r s ti n t e g r a l s o ri n v a r i a n ta l g e b r a i c s u r f a c e s f o rs t u d y i n gd y n a m i c a ls y s t e m s ，o n e sa r ev e r yi n t e r e s t e di n w h e t h e rt h es y s t e m sh a v ei n v a r i a n t s t h es t u d yo nt h ee x i s t e n c e o fi n v a r i a n t so fas y s t e mc a nb eg ob a c kt op o i n c a r e sa n dh i l b e r t s i v a b s t r a c t e r a i fas y s t e mh a saf i r s ti n t e g r a l ，t h e ni t ss t u d yc a nb er c d u c e d i no n ed i m e n s i o n i fas y s t e mi si n t e g r a b l e ，i ti sp o s s i b l et oc h a r a c t e r i z ei t sd y n a m i c sg l o b a l l y i fas y s t e mh a sa ni n v a r i a n ta l g e b r a i c s u r f a c e ，i ti sh e l p f u lt os t u d yt h ed y n a m i c si nw h o l es p a c eb ys t u d y - i n gt h ed y n a m i c so nt h ei n v a r i a n ta l g e b r a i cs u r f a c e i ti sv a l u a b l et o s t u d yt h el i o u v i l l i a ni n t e g r a b i l i t yo fh a m i l t o n i a ns y s t e m sa n dt h e i r t o p o l o g y , g e o m e t r ya n da l g e b r aa n dt os t u d y3 - d i m e n s i o n a ls y s t e m s h a v i n ga ni n v a r i a n ta l g e b r a i cs u r f a c e b u ta sp o i n c a r eh a dr e a l i z e d ， i ti sd i f f i c u l tt of i n di n v a r i a n ta l g e b r a i cs u r f a c e sa n df i r s ti n t e g r a l sf o r ag i v e ns y s t e m i nt h i sp a p e r ，w es t u d ys o m ei n t e g r a b l eh a m i l t o n i a ns y s t e m s a n dt h e i rt o p o l o g i c a le n t r o p yo ns p e c i a lr i e m a n n i a nm a n i f o l d s ，a n d t h eg l o b a lt o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo fo r b i t so fs o m ef a m o u s3 - d i m e n s i o n s y s t e m sh a v i n ga ni n v a x i a n ta l g e b r a i cs u r f a c e i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c eh a m i l t o n i a ns y s t e m sa s s o c i a t e dw i t h t h e i ri n t e g r a b i l i t ya n dt o p o l o g i c a le n t r o p y , a n d3 - d i m e n s i o n a ls y s t e m s h a v i n ga ni n v a r i a n ta l g e b r a i cs u r f a c e i nc h a p t e r2 ，w ec h a r a c t e r i z et h el i o u v i l l i a ni n t e g r a b l eo r t h o g - o n a ls e p a r a b l eh a m i l t o n i a ns y s t e m so nt 2f o rag i v e nm e t r i c ，a n d p r o v et h a tt h eh a m i l t o n i a nf l o wr e s t r i c t e dt oa n yc o m p a c tl e v e lh y p e r s u r f a c eh a sz e r ot o p o l o g i c a le n t r o p y f u r t h e r m o r e ，b ye x a m p l e sw e v 上海交通大学博士学位论文 s h o wt h a tt h ei n t e g r a b l eh a m i l t o n i a ns y s t e m so nt 2c a nh a v ec o r n - p l i c a t e dd y n a m i c a lp h e n o m e n a f o ri n s t a n c et h e yc a nh a v es e v e r a l f a m i l i e so fi n v a r i a n tt o r i ，e a c hf a m i l yi sb o u n d e db yt h eh o m o c l i n i c - l o o p - l i k ec y l i n d e r sa n dh e t e r o c l i n i c l o o p - l i k ec y l i n d e r s a sw ek n o w ， i t i st h ef i r s tc o n c r e t ee x a m p l et op r e s e n tf a m i l i e so fi n v a r i a n tt o r ia t t h es a m et i m ea p p e a r i n gi ns u c hac o m p l i c a t e dw a y i nc h a p t e r3 w ew i l lf i r s tc h a r a c t e r i z ec s m o o t h l y o r t h o g o n a l l y s e p a r a b l eh a m i l t o n i a ns y s t e m sw i t hap o t e n t i a le n e r g yo nt 2 0 ，1 】 t h e nu s i n gt h e s ei n t e g r a b l eh a m i l t o n i a ns y s t e m so i lt 2 0 ，1 】w e o b t a i nac l a s so fi n t e g r a b l eh a m i l t o n i a ns y s t e m so nt h er i e m a n n i a n m a n i f o l dm a m o r e o v e r ，w ep r o v et h a tf o rt h ei n t e g r a b l en a t u r a l h a m i l t o n i a nhw i t ht o t a le n e r g yn ol e s st h a ne ht h e r ee x i s t sas u b s e t qc 口：= e 酞；e e 日) o fl e b e s g u em e a s u r ez e r os u c ht h a tt h e h a m i l t o n i a nf l o wr e s t r i c t e dt oe a c he n e r g ys u r f a c e 日= e ) w i t h e 口qh a sap o s i t i v et o p o l o g i c a le n t r o p y a sar e s u l t ，w eo b t a i n t h ef i r s te x a m p l e ，a so u rk n o w l e d g e ，o fc o ol i o u v i l l i a ni n t e g r a b l e n a t u r a lh a m i l t o n i a nf l o w so nar i e m a n n i a nm a n i f o l dw h i c hh a sa p o s i t i v et o p o l o g i c a le n t r o p y i nc h a p t e r4 ，w eg i v et h ec h a r a c t e r i z a t i o no ft h ei n t e g r a b l en a t u r a lh a m i l t o n i a ns y s t e m s ，w h i c ho r t h o g o n a ls e p a r a b l eo np 【0 ，1 】， w i t ht h ec o n f i g u r a t i o ns p a c eat h r e ed i m e n s i o n a lq u o t i e n tm a n i f o l d v i a b s t r a c t i n d u c e db yt h ea n o s o vm a p m o r e o v e r ，w ep r o v et h a tt h eh a m i l t o - n i a nf l o wr e s t r i c t e dt os u i t a b l er e g u l a re n e r g ys u r f a c e sh a sap o s i t i v e t o p o l o g i c a le n t r o p y i nc h a p t e r5 ，w ec h a r a c t e r i z et h eg l o b a lt o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo f o r b i t so fr a b i n o v i c hs y s t e m 圣= h y u l z + y z ，1 7 = h x v 2 y x z ，之= - - v 3 z + x ya n dt h ec h e ns y s t e m 圣= a ( y z ) ，1 7 = ( c m a ) x x z - 4 - c y ， 三= x y b zh a v i n ga ni n v a r i a n ta l g e b r a i cs u r f a c e w ec o m p l e t et h e c l a s s i f i c a t i o no fd y n a m i c so ft h e s et w os y s t e m s k e yw o r d s ：h a m i l t o n i a ns y s t e m s ，l i o u v i l l i a ni n t e g r a b i l i t y , o r - t h o g o n a ls e p a r a b l e ，r i e m a n n i a nm e t r i c ，d y n a m i c s ，e n t r o p y , i n v a r i a n t a l g e b r a i cs u r f a c e ，c h e ns y s t e m ，r a b i n o v i c hs y s t e m v i i 上海交通大学上海父逋大字 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果除论文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或者集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明本人完全 意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名璁私 日期：2 0 0 8 年6 月6 日 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在一年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密毗 ( 请在以上方框内打“”) 、 学位论文作者签名： 两掀 日期：矿矿年6 月1 ) 日 访_ 分 7 沪 ，伯 1 u 砂多 名 单 鹤 峰 p ， 刻 导 妙 措 日 第一章绪论 1 1 可积h a m i l t o n 系统的应用背景及意义 随着人类认识、改造和利用自然的能力的不断提高，以及实际应用的需要，人 类面临了大量的非线性问题的处理，涉及物理、力学、天文学、生物学、工程等多 个领域。 h a m i l t o n 系统是非线性科学研究的一个重要领域，这类系统广泛的应用于数 理科学、力学、生命科学以及社会科学的各个领域，特别是天体力学、等离子物 理、航天科技以及生物工程中很多模型都以h a m i l t o n 系统或者其扰动系统的形式 出现。对h a m i l t o n 系统的研究使人们能够完全解出一系列的力学问题，例如，两 个恒定中心的吸引问题，三轴椭球上的测地线问题等 1 】- 2 】。所以对h a m i l t o n 系统 的研究长盛不衰，经过2 个多世纪的努力，h a m i l t o n 系统理论犹如一颗参天大树， 枝繁叶茂，成为当今非线性科学研究中的一个生机勃勃的研究方向【1 】- 【1 2 】。 可积h a m i l t o n 系统是非线性科学研究的一个重要分支，她广泛地出现在力学、 声学，光学，生命科学以及社会科学等各个领域，特别足天体力学、等离子物理、 航天科技以及生物工程中很多模型都以可积h a m i l t o n 系统或者其扰动系统的形式 出现的。例如经典力学中著名的三体力学问题等。 在研究微分方程和动力系统的过程中，人们十分关心其是否可积这个问题，如 果一个微分系统存在一个首次积分，他的动力学的研究就可以降低一维。如果可积， 则有可能了解系统的整体动力学性质。经过数百年的努力，从p o i c a r e 时代【1 1 】开始 至今人们已经掌握了许多判别系统是否可积的方法，出版了大量的专著【1 1 【1 5 1 和 文献f 1 6 】- 【3 2 】。从而，h a m i l t o n 系统的可积性的研究是现今研究非线性系统的一个 重要课题，吸引了人们的无数目光的关注，展现出无穷的生命力。但正如p o i n c a r e 所指出：首次积分的寻找是十分困难的问题。目前，仍有大量尚未解决的问题等待 1 上海交通大学博士学位论文 着后人的不断努力。 1 2可积h a m i l t o n 系统研究的历史与现状 关于h a m i l t o n 系统的l i o u v i l l e 可积性，及其拓扑、几何、代数的研究有着巨 大的实际应用价值和悠久的历史，并著有大量的书籍和论文。早在十九世纪就拥 有许多关于h a m i l t o n 系统可积的结论、结果，其中最著名的就是l i o u v i l l e 给出的 可积定义与相应的定理【13 】，【1 6 一【1 9 】o 上世纪6 0 年代以后可积系统研究方法更是多 种多样，用到了许多不同的数学方法和概念：微分流形，李群和李代数，辛几何和 遍历理论【2 】，【7 】一 1 0 l ，【4 0 一【4 1 】，【4 2 - 【5 2 】，【6 4 【6 6 】。借助这些工具，诞生了许多数 学和力学的经典结果。v i a r n o l d 【1 】，【2 】，a k a t o k 2 0 ，a t f o m e n k o 【3 】等人 在l i o u v i l l e 可积理论方面做了大量的工作，使其有了很大的发展。 1 9 3 4 年e i s e n h a r t 【3 1 】首先提, t , - h a m i l t o n 系统中正交分离可积的概念。k a n l i n s ， m i l l e r 和b e n e n t i 等后来在正交分离与k i l l i n g 张量之间的联系这方面做了相当多 的工作【2 7 】一【2 8 】，【3 3 【3 9 】。1 9 8 0 年k a n l i n s 和m i l l e r 【3 0 在给定的r i e m a n n 流形上 给出了2 阶k i l l i n g 张量和正交分析可积h a m i l t o n 系统的关系。随后在【2 3 】中，作 者给出了正交可积h a m i l t o n 系统和n 维r i e m a n n 流型上的二阶k i l l i n g 张量之间 的一些关系。1 9 9 7 年，b e n e n t i 3 3 给出了h a m i l t o n 系统正交可积的一些条件。最 近几年，s m i r n o v ，m c l e n a g h a n ，a d l a m 等【5 8 】_ 【6 3 】， 6 8 】，【6 9 ，对一些特殊空问上 的h a m i l t o n 系统正交可积的一些几何不变量作了大量的研究，尤其在【6 3 】中，给出 了r 3 中的正交分离h a m i l t o n 系统的不变量的分类。 1 3可积h a m i l t o n 系统的拓扑熵的研究及其发展状况 关于可积h a m i l t o n 系统与拓扑熵之问的关系的研究直到现在都足一个重要的 课题，大批的专家、学者在这方面作了大量的工作f 3 h 9 】，f 4 2 一【5 0 】，【6 4 一1 6 6 ，f 7 0 一 2_ 第一章：绪论 【7 1 1 。流形上的h a m i l t o n 系统的l i o u v i l l e 可积问题的研究一般都和流形的几何与 拓扑有关( 见【1 】， 4 2 - 【5 2 】， 3 】及其参考文献) 。 p a t e r n i a n 【6 4 】证明了一个4 维光滑的辛流形上的完全可积的h a m i l t o n 向量场。 且有一个对合的首次积分，在某个非奇的紧的水平曲面上，首次积分满足是实解 析的或者其奇点集的连通分支形成子流形，贝j j h a m i l t o n 流限制在该非奇的紧的水 平曲面上的拓扑熵为零。 过去一般认为可积系统都具有比较简单的动力学性质，但实际上可积h a m i l t o n 系统仍然可以有复杂的动力学性态。 2 0 0 0 年，b o l s i n o v 和t a i m a n o v 【4 9 】首次利用著名的a n o s o v 映射在商空间t 2 0 ，1 一上构造了带有正拓扑熵的c 可积测地流。从而说明可积h a m i l t o n 系统也 可以有复杂的动力学行为。同年在【5 0 】中，他们研究了在a n o s o v 映射诱导的双曲坏 面自同构上的具有实的谱的可积测地流，并且在商空间m a ：= p 0 ，1 一上得 到具有正拓扑熵的l i o u v i l l 可积测地流。 1 4具有代数不变面的三维系统的研究意义、历史和发展 很多描述混沌现象、非线性振动和生物数学等模型都是三维的系统，比如著名 的生物数学模型l o t k a - v o l t e r r a 系统【7 4 】【7 5 】，著名气象学混沌模本3 l o r e n t z 系统， 描述3 - 波互相影响的著名模型r a b i n o v i c h 系统【7 3 】，在密码学中有着巨大应用价值 的c h e n 系统【7 6 】- 【8 2 】，地球磁流体动力( 学) 的r i k i t a k e 8 3 卜 8 4 1 系统等等。这些系 统尽管形式上非常简单，但其动力学极其复杂。至今都没有完全弄清楚他们的动 力学性质。为了简化问题，往往考虑其具有不变代数曲面的情况。如果一个系统具 有不变代数曲面，则通过不变代数曲面上系统的动力学的研究，可以有助于整个 空间中系统动力学的研究。因此，具有不变代数曲面的微分系统的动力学的研究 有着很大的实际应用价值。 对于此类系统的研究最早可以追溯至l j d a r b o u x ( 1 8 7 8 年) 【8 5 】和p o i n c a r d ( 1 8 9 1 年) 【6 7 1 ，f o r s y t h ( 1 9 0 0 年) 【5 4 】的书中就已经总结了很多这方面的经典结果。在代数 3 上海交通大学博士学位论文 可积方面，m o u l i no l l a n g n i e r 在1 9 9 7 ，1 9 9 9 年【7 4 】， 7 5 利用奇异分析给出了著名 的l o t k a - v o l t e r r a 系统的多项式和有理可积的特征。近来，利用特征线的方法求解 线性偏微分方程组，l l i b r e 和z h a n g 在2 0 0 0 年【8 6 】通过计算带有常余因子的d a r b o u x 多项式，给出了l o r e n z 系统的运动的所有的积分，其中作者利用了一个多项式 向量场有一个常余因子k 的d a r b o u x 多项式，当且仅当其运动有一个，e 舰形式的积 分i s 9 】。l l i b r e 和v a u s2 0 0 5 年f 9 0 1 得至u y l o r e n z 系统的正规和解析积分。最近，l l i b r e 和z h a n g 【9 1 】给- j r i k i t a k e 系统的完整的不变代数曲面的分类，l 讧和z h a n g 8 7 给 出了c h e n 系统的完整的不变代数曲面的分类，x i e 和z h a n g 在 8 8 】中，完整的给出 了r a b i n o v i c h 系统的所有不变代数曲面。 1 5本文的主要研究内容 本文研究一些特殊r i e m a n n 流形上h a m i l t o n 系统的可积以及他们的拓扑熵， 和一些著名三维系统当具有不变代数曲面时该系统轨道的全局拓扑结构。本文共 分五章，具体阐述如下。 第一章概述了，可积h a m i l t o n 系统和具有不变代数曲面的三维系统的应用背 景及意义，较系统地介绍了可积h a m i l t o n 系统及其拓扑熵的研究的发展历程、国 内外的研究现状，具有不变代数曲面的三维系统的研究意义、历史和现状，同时给 出本文的主要研究内容。 在第二章中，我们简单介绍了可积h a m i l t o n 系统及其拓扑熵研究中的的一些 基本理论，定义，经典的结论等。在度量为 g = ( r l4 - r 2 c o s 0 2 ) 2 枷；4 - d p ；， 的流形丁2 上得至l j l i o u v i l l e 可积的正交分离的h a m i l t o n 系统的特征，并证明在任何 紧的能量面上解析h a m i l t o n 流形具有零拓扑熵。进一步地，我们通过例子显示铲上 的可积h a m i l t o n 系统可以有复杂的动力学现象。例如，它们有多族不变环面，每一 4 第一章：绪论 族都由同宿环状柱面和异宿环状柱面所包围。据我们所知，这是第一个具体的例 子来表现很多族环面在一个复杂的方式下同时出现。 在第三章中，我们首次在r i e m a n n 流形t 2x 0 ，1 】上给出了c 光滑的正交分 离的带有势能的自然h a m i l t o n 系统的特征。利用这些t 2x 【0 ，1 】上的h a m i l t o n 系 统，我们得到在p d e m a n n 流形m a = t 2 【o ，1 1 一上c 光滑可积的h a m i l t o n 系 统。进而，我们证明对于任何一个总能量不小于e 日的可积h a m i l t o n 系统，存在一 个零l e b e s g u e 测度集合qcd ：= e r ；e e 日) ，使得对任意的e d q ， 约束在能量面 日= e 上的h a m i l t o n 流有正的拓扑熵。据我们所知，这足首个 在r i e m a n n 流形上具有正拓扑熵的c 光滑l i o u v i l l e 可积的自然h a m i l t o n 系统的 例子，而b o l s i n o v $ f t a i m a n o v 的例子是对于r i e m a n n 流形毗上的测地流得到的。 第四章中，我们在r i e m a n n 流形t nx 0 ，1 】给出所有g 光滑正交分离的自 然h a m i l t o n 系统，即既有动能又有势能，的特征。然后，在这些系统中找出在a n o s o v 映射诱导的n 维环面双曲自同构，且p r i e m a n n 流形m a ：= px 【0 ，1 一上c 光 滑可积的系统。特别地，我们讨论了a n o s o v 映射诱导的环面双曲自同构的谱有复 特征值的情况。进而，我们证明了限制在正则能量面上的h a m i l t o n 流有正的拓扑 熵。这里给出了一个任意有限维空间上的带有正拓扑熵的沪l i o u v i l l 可积的自 然h a m i l t o n 系统的例子。 在第五章中，我们将研究了著名的r a b i n o v i c h 系统 和c h e n 系统 士= h y i ) l x + y z ， 痧= h x v 2 y z z ， 三= v 3 z + x y ， 圣= a ( y z ) ， 1 7 = ( c 一口) z z z + c y ， 之= x y 一6 z 5 上海交通大学博士学位论文 在不变代数曲面上的动力学性质，并给出了其在不变代数曲面上的轨道的拓扑结 构。从而完全解决了这两类系统动力学的研究。 6 第二章t 2 上的正交分离h a m i l t o n 系统 2 1 预备知识 首先，我们介绍一些，后面章节会经常用到的r i e m a n n 几何基本内容( 见【9 5 卜 【9 9 】) ，r i e m a n n 几何是数学中应用及其广泛的一个重要分支，也是h a m i l t o n 系统 的研究过程中经常被用到的重要工具。限于篇幅，这里不给出特别详尽地描述。一 般地，我们只给出定理的叙述而不给出证明，相应的细节可以在参考文献中找到。 定义2 1 1 ( 拓扑流形) 设m 是一个非空的h a u s d o r f f 空间，如果对于每一点 p m ，都存在p 点的开邻域ucm 以及从u 到礼维空间舻的某个开子集上 的同胚q ou 一研，则称m 是一个n 维拓扑流形。 注上述定义中的( 以妒) 称为m 的一个坐标卡，此时，开集u 称为点p 的坐标 邻域，q o 称为坐标映射。 定义2 1 2 ( c r 相容) 设m 是一个n 维拓扑流形，( 妒) 和( u 矽) 是m 的两个 坐标卡，如果u nv = o ，或者，当u nv 仍时，映射妒。妒- 1 ：妒( u n v ) 一矽( y ) 和妒。妒- 1 ：妒( nv ) 一妒( u ) 都是伊映射，称坐标卡( 仉妒) 和( k 砂) 是伊 相容的。 定义2 1 3 ( c 7 微分结构)设m 是一拓扑流形，人= ( ，妒a ) ；q j ) 是m 的 若干个坐标卡的集合，j r 为指标集。如果人满足下面的三个条件，则称a 为拓扑 流形的一个伊微分结构： ( 1 ) ( ，) ；o t ，) ) 是m 的一个开覆盖； ( 2 ) v qp ，( ，) 和( ，即) 是伊相容的； ( 3 ) a 是极大的。 注c 微分结构称为光滑结构，微分结构称为解析结构。 7 上海交通大学博士学位论文 注流形最本质之处在于它是由一些欧氏空间“拼”出来的，但不是杂拉无章的 “拼”成的，它们的“有序性”表现在这些欧氏空间之间是相容的。 定义2 1 4 ( 切丛) 设m 是一个m 维光滑流形，则在每一点p m 有切空间 t p m 令t m = u p e mt p m ，称t m 为m 的切丛。 注可以在切丛上给出拓扑结构和光滑结构，使之成为一个2 n 维流形。 定义2 1 5 ( r i e m a n n 流形) 设m 是一个m 维光滑流形，g 是m 上的一个二阶 光滑协变张量场，如果g 是对称的，正定的，即对于每一点p f ，g ( p ) 是切空间 耳m 上的一个二阶对称正定的协变张量，则称g 是m 上的一个尉e 仇口彻l 度量。 指定了一个r i e m a n n 度量g 的光滑流形m 称为r i e m a n n 流形，记为( m ，9 ) ，简 记为m 。 定理2 1 6 设m 是一个满足第二可数性公理的光滑流形，则在m 上必存在( 无穷 多个) r i e m a n n 度量。 定义2 1 7 ( 光滑切向量场) 假设m 是一个礼维光滑流形，x ：m t m 是一 个光滑向量值函数满足x ( p ) 乃m ，v p m ，则称x 为m 上的一个光滑切向 量场。 在微分几何中一个很自然的问题是如何对一个切向量场求导，使得“x 的导 数”仍然是一个切向量场。事实上这并不很容易，考察单位圆周上的切向量场就会 发现问题所在。这导致了r i e m a n n 联络的提出。我们下面引入r i e m a n n 联络的 方式是非常直观的，取自于曹建国教授的书 1 0 0 。 定义2 1 8 ( 协变导数) 假定x ，y 是光滑流形m 上的光滑切向量场，y 关于x 的 协变导数为v x y = ( d x y ) t 其中，d x y 表示y 在x 方向的欧氏导数，( d x y ) t 表示d x y 的切分量。 注上述协变导数通常称为l e v i c i v i t a 联络或r i e m a n n 联络。 我们知道，欧氏空间中有平行向量场的概念，现在我们把它推广到r i e m a n n 8 第二章：t 2 上的正交分h a m i l t o n 系统 流形上去。 定义2 1 9 ( 平行向量场)设( m ，9 ) 为一r i e m a n n 流形，盯：【o ，6 】一m 是一条 光滑曲线，x 是盯上的光滑向量场，如果v 方x = 0 ，则称x 为矿上的平行向量 场。 定理2 1 1 0 设( m ，夕) 为光滑r i e m a n n 流形，盯：【n ，6 】一m 是一条光滑曲线， 则 ( 1 ) 对任何初始向量x o 乃( a ) m ，存在唯一的伊上的平行向量场x 使得x ( a ) = x q ( 2 ) 如果v 和w 是盯上的平行向量场，则爱 - - 0 。 定义2 ，1 。1 1 ( 测地线) 设盯：a ，6 】- - - - - - - - - 4m 是光滑r i e m a n