（应用数学专业论文）单几何参数辨识问题的极限性态.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 等值面边值问题是一类非局部的边界值问题，这类问题在上世纪七十年代被提出来 在近些年中，李大潜等人在此方面做了大量的研究他们基于某些重要的实际应用，建立 相应的椭圆型等值面边值问题，尤其是在石油开发中，电阻率测井方面的应用 参数辨识问题，是以等值面边值问题为正问题的一类反问题，本文主要是对这类具 有等值面边界条件的椭圆型的单几何参数辨识问题进行了研究，将前人的结果推广到绍 维空间中并研究了辨识问题的解的存在性、唯一性及其极限性态 第一章引言 第二章给出正问题( p - ) ，( p ) 的一些相关的结论，给出相关几个引理及本文的主要 结果 第三章给出本文主要结果的证明 关键词：几何参数辨识；存在性；唯一性；椭圆型方程；等值面边值问题；极限性态 单几何参数辨识问题的极限性态 l i m i tb e h a v i o u ro fs o l u t i o n st oac l a s so fi d e n t i f i c a t i o n p r o b l e mf o rs i n g l eg e o m e t r i cp a r a m e t e r a b s t r a c t b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t he q u i v a l u e ds u r f a c ei sak i n do fn o n - l o c a lb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m ，a n di ti sp u tf o r w a r di n1 9 7 0 s r e c e n t l yl it a - t s i e na n dh i sp a r t e n e r sd o al o to fw o r ki nt h i sf i e l d ，a n dm o t i v a t e db ym a n yi m p o r t a n ta p p l i c a t i o n s ，e s p e c i a l l yb yr e - s i s t i v i t yw e l l - l o g g i n gi np e t r o l e u me x p l o i t a t i o n ，l it a - t s i e nc o n s t r u c t e dt h ec o r r e s p o n d i n g b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i t he q u i v a l u e ds u r f a c ef o re l l i p t i ce q u a t i o n s p a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o np r o b l e mi sac l a s so fi n v e r s ep r o b l e mo fe q u i v a l u e ds u r f a c e p r o b l e m t h i sp a p e rd e a l sw i t hc e r t a i nk i n do fs i n g l eg e o m e t r i cp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o n p r o b l e mf o re l l i p t i ce q u i v a l u e ds u r f a c eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m t h el i m i tb e h a v i o ro ft h e i d e n t i f i c a t i o np r o b l e mi ss t u d i e d i nc h a p t e r1 ，t h eb a c k g r o u n da n dh i s t o r yf o rt h es t u d i e dp r o b l e ma r eg i v e n i nc h a p t e r2 ，w es h a l lg i v ean u m b e ro ft h ec o n c l u s i o n sr e l a t e dt ot h ec o r r e s p o n d i n g p o s i t i v ep r o b l e m a n dw es h a l lg i v eaf e wr e l e v a n tl e m m a sa n dt h em a j o rr e s u l t so ft h i s a r t i c l e i nc h a p t e r3 ，w es h a l lg i v et h ep r o o fo ft h em a j o rr e s u l to ft h i sp a p e r i no t h e rw o r d s ， w es h a l lg i v et h el i m i tb e h a v i o ro ft h ei d e n t i f i c a t i o np r o b l e m k e y w o r d s ：g e o m e t r i cp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o np r o b l e m ；e x i s t e n c e ；u n i q u e n e s s ；e l l i p t i c e q u a t i o n s ；e q u i v a l u e ds u r f a c eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；l i m i tb e h a v i o r i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的 研究工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也 不包含为获得大连理工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了 明确的说明并表示了谢意。 作者签名：壹重控日期：2 竺星! ! 兰：蛩 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文 版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以 将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文 作者签名： 迁重箨 导师签名：袭盥名 垫堡脾j 1 月卫f t 大连理工大学硕士学位论文 1 引言 在石油开发中，通常采用各种测井方法，其中电阻率测井是最重要，最常用的一种测 井技术当一口井打好后，把一个测量仪器放进井内，该仪器释放出稳定的电流并在地下 形成稳定的电场，通过测量不同位置的电势，人们可推断出不同地层的电阻率，再结合 用其它测井方法得到关于地层孔积率的信息，就可计算出地下石油的贮量、油层的厚度 和测度，这就是电阻率测井这种方法实际上是一个“反问题”，目前解决这个“反问题” 的方法还是从“正问题”入手为了研究“正问题”，人们对偏微分方程提出了一种新型 的边界值问题，即在上世纪七十年代被提出的等值面边界值问题，这是一类非局部的边 界值问题，这种边界值问题还可应用到地下电缆周围的稳定的温度场，稳定电流所形成 的电场，空心柱形杆的弹性扭转等实际问题( 见【1 】【3 】) 图1 f i g 1 在油矿地球物理中，通常假设地层是有规律分层的，地层的电阻率是分段常数的，在 不同区域用忍，尼。，兄和是n 表示，也称为物理参数，目的层的厚度h 和侵入带的深度 1 单几何参数辨识问题的极限性态 d 表示几何参数无论物理参数还是几何参数都是需要辨识的具体地，忍表示为岩层 的电阻率，一般情况下是已知的；表示井筒中泥浆的电阻率，也是提前可测出的；见 表示目的层的电阻率，吃。表示侵入带的电阻率，h 表示目的层的厚度，d 表示侵入带的 深度，上述四个参数是未知的，是要确定的要确定上述数据需要得到四个( 或更多) 电 极r o ( i = 1 ，2 m ，m 4 ) 且四个电极r 优发射电流a o i ( a 优= 0 表示不发射电流) ，通 过合适的方式测量电势，就可得到r ，忍。，h 和d ，如上图1 单物理参数辨识问题由谭永基解决( 见【9 】和【1 0 】) ，单几何参数辨识问题由李大潜 和谭永基解决( 见 8 】) 对多参数辨识只有多个物理参数辨识问题在一定条件下被蔡志杰 解决其它情况从理论还没有完全解决，只是在数值计算方面有部分结果( 见 1 】- 3 】) 另外在研究正问题时，由于测量电极相对尺度很小，一般来说测量电极不发射电流 电极面分为两部分s 一部分是金属面，另一部分是由橡皮构成的在金属面上满足等值面 边界条件，为了减少计算工作量，能否在金属面的等值面边界条件近似为绝缘边界条件， 这就是需要研究的方程解的极限性态问题，这一问题由孙连友在文【5 】解决，( 也见文【1 】 和【4 】) ，对于更一般情形的极限性态问题见文【6 】和 7 】 本文的主要目的是研究反问题的极限性态，主要研究几何参数辨识问题的极限性态 全文共分三部分：第一部分是引言；第二部分是列出本文的主要结果；第三部分是主要结 果的证明 2 大连理工大学硕士学位论文 2 本文的主要结果 2 1 问题介绍 本文中，我们将实际问题一般化，在更一般的礼维区域q 上考虑如下两个具有等值 面边界条件的二阶椭圆型方程辨识问题( 只) 和( 尸) ，区域q 分别如图2 ，图3 所示，即 q = q 日一h cuq h 。= q 日一huq r 2 图2 f i g 2 辨识问题( 只) 为寻求( h 8 ，u t , 。) f 0 ，日】h 1 ( q ) 使得下式成立。 ( 足) ：。蠢( 庇( z ) 笔擎) = 0 z q h 一 euq c ， “盂。i r 。= 0 ， 警l r 2 屿= 0 ， u 。i 聪= g ( 待定常数) ， 止繁d s = 0 ， 嘶。i r o = 一c ， 丘豢d s = 山 3 单几何参数辨识问题的极限性态 q 村一e 。 一r 3 j 1 2 瓯e 豹： 门 l 图3 f i g 3 辨识问题( p ) 为寻求( h ，u h ) 【0 ，h 】h 1 ( q ) 使得下式成立； f 冬。鑫( 忌( z ) 罄) = 0 z q 日一，iug t h ， iu h l r l = 0 ， ( p ) 鬻i r 2 u r 3 = 0 ， i u h i f o = c ， 【f r o 鬻如= 山 在这里虿和a o 0 是两个已给定的常数 本节中，我们将讨论上述两个反问题( 只) 和( 尸) 的解的存在性和唯一性，然后给出 本文的主要结论，即给出反问题( 只) 的极限形态 在研究问题之前我们先来做一些假设及说明： ( h 1 ) 上述区域qc 舻( 在实际问题中佗= 2 ，3 ) ，q 分成q 。uq 日一h 。两部分或者 uq 日一九两部分在实际问题石油勘探的自然电位测井中，区域q h h e ，q 日一h 代表地 表围岩层；q 胪，代表石油储藏层也就是目的层；h e ，h 代表目的层的厚度 ( h 2 ) r l ，r l 和f ( i = 0 ，1 ，2 ，3 ) 表示区域q 的边界，并且r ，聪和n = 0 ，1 ，2 ，3 ) 都是几乎处处规则的l i p s c h i t z 边界，f 3 = r lur l 且r 1 ，r 3 非空 ( h 3 ) 对任意小的e 0 ，r l 是连通的，存在一固定点z o r l ，垤 0 ，当0 o ( 已知常数) f 銎l 去( 七( z ) 筹) = 0 。q 瓦uq ! f 一瓦， i 叫r 。= o ， ( p 。) 篆i r 2 u r 3 = 0 ， i 晰l r 0 = g ( 待定常数) ， i if f o 誓d 8 = 勘 o ( 已知常数) 下面我们给出与正问题( ) 和( p 7 ) 的相关的几个引理 引理2 1 正问题( ) 存在唯一弱解喀k ，并且该弱解满足： 壹i - - - - 1 厶笠o x l 。差如+ 喜：榭k l 蔷- - 毫d x = 舢i r o ，讹k c 2 证明：在日1 ( q ) 上定义双线性型 咖m = 娄乞如甄o u 两o v 如+ 妻i = 1 厂h - 铲尼- 差瓦o v 如讹，t ，k 则易证n ( 乱， ) 在h 1 ( q ) 上是有界的和强制的，由l a x - m i l g r a m 存在唯一性定理，引理 2 1 可证 固定( 2 1 ) 式中h 占为酽得 辱c 口，= 三喜乞如差毫如+ 丢喜z 日一酽后- 差豪x i d x 一舢| r o ，讹k ( 2 4 ) 则正问题( ) 等价于s ( ( ) 求哞k ，满足 堂 咯i 擞p ) ( 2 5 ) 【喙i r 。= c ( 待定常数) r 7 6 大连理工大学硕士学位论文 由( 2 3 ) ，( 2 4 ) 式得 辱( 喙) = 一a o 喙i r o = 可1 厶1 汹1 ：塘七。誓誓如+ ：。j = u 酽k 誓誓如) ( 2 6 ) 正问题( ) 中c = 喙i r 。，随着萨的变化c 也在跟着变化，假设其它参数不变， 则可知c 是关于矛的函数，即c = c s ( 萨) ，其中矛【o ，h i 引理2 2 c = c e ( 矛) 是关于矿在 0 ，h 】上的严格单调递增的连续函数 证明：因为a o 0 ，由最大值原理可知，任意萨 0 ，h i ，有c s ( 萨) 0 任取 胪，驴【o ，h i ，设h 5 h 5 ，u 盂。和吒。是( 2 5 ) 式相应于矛= 舻和矿= 萨的解，即s 因为k l k 2 ，由( 2 4 ) ，( 2 6 ) 式得： 伊( 驴) 一c 8 ( 舻) = 云【兹。( 钍盂。) 一。( 钆。) 】 云【兹c ( 吒c ) 一蟾。( u 知) 】 = 掣翟- k 眦等警如 q 如m 。i v u 盂, 1 2 d x 0 ， 其中q 为正常数事实上，上式应该是严格大于o 的，若不然，则有 l 一。i v u 引2 如- 0 由h o l r n o g r e n s 唯一性定理，在区域q 上有u 毛。兰0 ，与假设a o 0 矛盾因此，任意 胪，驴【0 ，h i ，只要驴 h 6 ，则有 俨( 胪) c 5 ( 酽) ， 即伊( 矛) 是【o ，h i 上严格单调递增的函数由( 2 3 ) 知对任意矛【o ，h i ，有 z 。i v 钟d x 0 ，由最大值原理可知，任意一h 【0 ，日】，有c ( 瓦) 0 任取 h ，五【o ，h i ，设元 h ，铭7 l 和是( 2 9 ) 式相应于一h = h 和万= 元的解，即： 因为k l k 2 ，由( 2 8 ) ，( 2 1 0 ) 式得t c ( 元) 一c ( 危) = 云 以( u ) 一厶( u 五) 】 云【厶0 ) 一如( 钍 ) 】 = 鸟导銎t 正”一 铬罄如 g 正“2 j = r hi v u h l 2 d x 0 ， 其中q 为正常数事实上，上式应该是严格大于0 的，若不然，则有 l 址。i v u 1 2 如- 0 由h o l m o g r e n s 唯性定理，在区域q 上有u h 三0 ，与假设a o 0 矛盾因此，任意 h ，h f 0 ，刎，只要h h ，则有， c ( h ) c ( h ) ， 即c ( - ) 是 0 ，h 】上严格单调递增的函数由( 2 7 ) 知对任意瓦【0 ，日】，有 z i v 甜d x c 2 ， 9 、f，、l， 移 秒 ，i、，fi、矗厶 矿 矿 厶l n n：l = = 、i，、l， 厅 ，n 缸 u ，f，、 厶 ，ic1_， 单几何参数辨识问题的极限性态 瓤k0 u h 。，面o u h u , z + 壹i = i 1 - l - h 七z 鬻鬻如) = a o c ( h ) ， 壹i - - 1 卜k 2 抛鬻d z + 喜上“七t 鬻- 面0 u h 如= ， 两式相；j 壶得 c ( h ) - c = 掣墨，l 甏篱出 当元_ h + 时，有c ( 元) _ c ( h ) j 司理 当元_ 九一时，有c ( 无) _ c ( h ) ， 故c ( - ) 是【0 ，h i 上的连续函数综上，c ( 瓦) 是 0 ，h 】上严格单调增加的连续函数 下面我们将讨论反问题( 足) 和( p ) 的解的存在唯一性 定理2 1 对于任意固定的虿( 俨( o ) ，俨( h ) 1 ，反问题( 只) 存在唯一的解( h 6 ，u 置。) 【0 ，h i k ，使得让盂。i r o = 一c ，其中c 5 ( o ) ，c 5 ( 日) 分别表示对应矿为0 和日时正问题 ( z ) 的解哞在r o 上的值 证明：由引理2 2 可知，俨( 萨) 在【o ，h i 上存在严格单调增加的连续的反函数矛( g ) ，c 【俨( o ) ，c e ( h ) 】对于任意固定的虿【c 8 ( o ) ，c e ( h ) 】存在唯一的h 8 0 ，h 】与之对应，对 于固定的矿，由引理2 1 存在唯一的哞k 所以对于任意固定的c 【c 8 ( o ) ，俨( 日) 】， 反问题( p ) 存在唯一的解( 胪，乱盂。) 【0 ，日】k 定理2 2 对于任意固定的虿p ( o ) ，c ( 日) 】，反问题( p ) 存在唯一的解( h ，珏_ i ) 0 ，h 】v ，使得u i r 。= 一c ，其中c ( o ) ，c ( h ) 分别表示对应瓦为0 和h 时正问题( p ) 的解u ，l 在r o 上的值 证明：由引理2 4 可知，c ( 瓦) 在【0 ，h 】上存在严格单调增加的连续的反函数危( c ) ，c p ( o ) ，c ( 日) 】对于任意固定的虿p ( o ) ，c ( 日) 】存在唯一的h 【0 ，h 】与之对应，对于 固定的万，由引理2 3 存在唯一的v 所以对于任意固定的虿p ( o ) ，c ( 日) 】，反问 题( p ) 存在唯一的解( h ，u h ) 0 ，h 】v 2 3 主要结果 1 0 大连理工大学硕士学位论文 在实际问题自然电位测井中，由于测量电极相对尺度很小，测量电极的金属面满足 等值面边界条件，为了减少计算工作量，能否在金属面的等值面边界条件近似为绝缘边 界条件，这就是需要研究的方程解的极限性态问题 本小节我们以定理的形式给出本文最主要的结论，即辨识问题( 足) 解的极限性态情 况 定理2 3 假设两辨识问题( 足) 和( p ) 中，让盂。和u h 在r o 边界上的取值相同，均为 一c 【c ( o ) ，c ( 日) ) ，即札 i r 0 = 一c ，皈。i r o = 一c ，则辨识问题( 足) 的解收敛子辨识问题( p ) 的解，即当e 一0 时，有 心。_ u h 在h 1 ( q ) 中， 旷一h 其中胪= 舻( _ ) ，h = 九( _ ) 1 1 大连理工大学硕士学位论文 3 辨识问题解的收敛性的证明 本节中，我们将证明本文的主要结论，在证明之前，先给出几个引理 引理3 1 固定瓦【o ，h i 设蝾和分别为正问题( ) 和( p ，) 的解， 则有当e 一0 时，在日1 ( q ) 中 畴_ 蛎， ( 3 1 )嗉_ 蛎，【) 俨( _ ) _ c ( - ) 其中g ( ) = 赈i r o ，俨( - ) = 蝾i f o 证明：由前我们在区域q 上定义了两个函数空间： k = 口h 1 ( q ) fv l r 。= o ，训r = 常数，钉l r 0 = 常数) 和v = 口h 1 ( q ) iv l r 。= 0 ，v l r 。= 常数】 因为冒( q u r lu 巧) 在k 中是稠密的，我们只需证明对任意的晰卵( q u r lu 蟋) ( 3 1 ) 式成立即可 不失一般性，我们假设心石( o ) = 0 若不然，蛎( o ) = a 0 设t ，曙( j 妒) ，使 得在耳= z i 力中有口三a ，其中p 是一个固定的充分小的正常数假设 口n 可f 盯可百瓦可可= 仍，设_ _ = 一u ，我们有砺( o ) = 0 ，则我们可以用一- 来代 替缸- 设c 1 ( 形) ，使得 始，= 0 烈 2 ， 且0 1 ，i i 1 ，协舻 记嗉( z ) = ( 詈) ( z ) ，其中0 e p 容易看出吒k ，且有 1 3 单几何参数辨识问题的极限性态 d 嚷一d 晰l i 羔。( 1 ) = 圳。1 2 ，i 霉l 2 。) i d 嗉一d u - 瓦1 2 d x z i 。咄i z i 钯 i 一1 1 2 i d u 无1 2 如+ 正i 善z ，吲毵，1i 1 2 i 蛎1 2 d x 茁i $ 2 ，i z i s 钯 i d u i l 2 如+ z i 霉z ，s 圳缸 ；l 。u s ，1 e 一( o ) 1 2 d x 。i 窖q ，i 酬枯) i d u 石1 2 d x + 4 霉l 蚝n ，。h 钯 i d u 瓦( e x ) 1 2 d x ， 其中0 p 0 ，总有矛( 虿) 瓦( 虿) 证明。由于俨( 万) 和g ( 瓦) 均是【o ，刎上存在严格单调增加的连续函数，则其在 p ( o ) ，c ( 日) ) 上存在严格单调增加的连续的反函数矿( 虿) 和一h ( 一c ) 由引理3 2 可得 矛( 虿) 无( 虿) 下面我们证明本文的主要结论 大连理工大学硕士学位论文 定理2 3 的证明：由已知峨。l i 。= 一c ，又k l 庇2 ，由( 2 6 ) 式及p o i n c a r e 不等式有 - ；a o c = 以。( 嚷。) = 叫1 “n 同k 等+ e 5 ：。j c ：；幻誓，篱如) 一互1l - l | vu e 舻1 1 2 驴( z ) - 互c l u h 。l l 备1 ( 1 z ) 所以有i i u 置。幅- ( 2 ) c a ，c 3 为与e 无关的正常数 因0 胪h ，由弱紧性存在子列【s n 】，当n _ 0 时，有h “一h ，且在日1 ( q ) 中，牡锛弱收敛于面，则在l 2 ( r 0 ) 中有u 船。i f 0 一缸i r 。 因为kcv 且百：露= y ( 见参考文献【5 】) ，所以讹v 总存在g o ，当 e 0 时， 有讹k 类似于( 2 3 ) 式，对珏暴有 砉上。如警差如+ 砉上圩一舻幻誓差如= a 。，k 在( 3 7 ) 式中取v v v 及仳暴= u 象。，当g n _ 0 时，由积分绝对连续性有 砉厶警老出+ n l 。七- 等老如 喜上。如差老如+ 娄z 胁七- 差差如= 山咖。，。y 又因v v v ，( h ，u h ) 满足如下的式子 ko u h 一是如 竹 + i = 1z h - - h o u h 一鑫如= u i r o ，讹y ( 3 7 ) _ ( 3 ( 3 9 ) 由( 3 8 ) ( 3 9 ) 式可知( 五，豆) 和( ， i t h ) 均是辨识问题( p ) 的解由定理2 1 对任意固 定的虿p ( o ) ，c ( 日) 】问题( 尸) 存在唯一的解，因此有元= ，面= u h ，所以在v 中u 盂s 弱收敛于u h 且胪_ h 由迹定理乱盂。l r 。_ u h r 。于l 2 ( r o ) 中在( 3 7 ) 式中取口= 嚷s 可 竺，k 乜警誓d x + e i l ，j c 札 。k l 等警如 = a o u 盂。i r o a o u i r o = ：。如。如罄瓣如+ 銎，k 一 k z 纽o z i 罄如 1 5 曲 单几何参数辨识问题的极限性态 由等价范数有 i 珏剁日1 ( z ) 一i l u ，l l u 1 ( z ) ( 3 1 0 ) 因为在v 中让盂。弱收敛于钆 ，由( 3 1 0 ) 式有当g 一0 时，在y 中“盂。_ u _ 1 1 证毕 1 6 大连理工大学硕士学位论文 4 结论 根据定理2 3 ，测量电极足够小时，可以被忽略掉，从而原辨识问题( 只) 可以用另一 个辨识问题( p ) 去近似，这样简化了计算，并使电法测井更具有可行性 1 7 大连理工大学硕士学位论文 5 参考文献 【1 】l it a - t s i e n ，z h e n gs o n g - m u ，t a ny o n g - j i ，s h e nw e i - x i ，b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t h e q u i v a l u e ds u r f a c ea n dr e s i s t i v i t yw e l l - l o g g i n g ，p i t m a n r e s e a r c hn o t e si nm a t hs e r i e s 3 8 2 ，l o n g m a n ，1 9 9 8 f 2 】l it a - t s i e n ，ac l a s so fn o n - l o c a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rp a r t i c i a ld i f f e r e n t i a le q u a - t i o na n di t sa p p l i c a t i o n si nn u m e r i c a la n a l y s i s ，j c o m p u ta p p l m a t h ，2 8 ( 1 9 8 9 ) ，4 9 - 6 2 【3 】l it a - t s i e n ，t a ny o n g - j i ，m a t h e m a t i c a lp r b l e m sa n dm e t h o d si nr e s t i v i t yw e l l - l o g g i n g s ， s u r v e y so nm a t h e m a t i c sf o ri n d u s t r y , 5 ( 1 9 9 5 ) ，1 3 3 - 1 6 7 4 】魏婷，电法测井中数学模型的理论分析，数学年刊a 辑，4 ( 1 9 7 8 ) ，1 5 - 2 4 f 5 】孙连友，二阶自共轭椭圆型方程的一类等值面边值问题的极限性态及其在电法测井中的应用， 高校应用数学学报a 辑，8 ( 2 ) ( 1 9 9 3 ) ，1 7 6 - 1 8 2 【6 】l if e n g q u a n ，l i m i tb e h a v i o u ro fs o l u t i o n st oac l a s so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t h e q u i v a l u e ds u r f a c ef o re l l i p t i ce q u a t i o n s ，a s y m p t o t i ca n a l ，1 8 ( 1 ，2 ) ( 1 9 9 8 ) ，1 6 5 1 7 2 【7 】l if e n g q u a n ，l i m i tb e h a v i o u r o fo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sg o v e r n e db ye l l i p t i cb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sw i t he q u i v a l u e ds u r f a c e ，j m a t h a n a l a p p l ，3 3 6 ( 2 0 0 7 ) ，9 9 5 - 1 0 0 4 【8 】l it a - t s i e n ，t a ny o n g - j i ，s o m ei d e n t i f i c a t i o np r o b l e m si np e t r o l e u mg e o p h y s i c s ，l e c t u r e n o t e si nc o n t r o la n di n f o r m a t i o ns c i e n c e s1 2 5 ，s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 8 9 ，1 9 9 - 2 1 0 【9 】t a ny o n g - j i ，a ni n v e r s ep r o b l e m f o rn o n l o c a lb v pa n dr e s i s t i v i t yi d e n t i f i c a t i o n ，l e c t u r e n o t e si nm a t h1 3 0 6 ，s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 8 8 ，1 4 9 - 1 5 9 【1 0 t a ny o n g - j i ，b o u n d a r yh o m o g e n i z a t i o no fa ni n v e r s ep r o b l e mf o r n o n l o c a le l l i p t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，i m ajo fa p p lm a t h ，4 1 ( 1 9 8 8 ) ，1 3 5 1 4 6 【1 l 】l c e v a n s ，p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，g r a d u a t es t u d i e si nm a t h ，v o l1 9 ，a m s ， p r o v i d e n c e ，r i ，1 9 9 8 【1 2 】张庚骥，电法测井，石油大学出版社，山东东营，1 9 9 6 1 9 单几何参数辨识问题的极限性态 【1 3 】陈恕行，现代偏微分方程导论，科学出版社，北京，2 0 0 5 【1 4 】r a a d a m s ，s o b o l e vs p a c e s ，a c a d e m i cp r