（应用数学专业论文）哈密顿雅克比方程的有效哈密顿函数.pdf

i i ii ii ii ii iit ii i lliil ly 18 2 8 3 4 5 哈密顿雅克比方程的有效哈密顿函数 学位论文完成日期 指导教师签字 答辩委员会成员签字 方l 大俯 - l f 弦、物j l0 。一l 厂 免店五扔 锄粕 旅维 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：乔必诹签字日期：必1 6 年r 月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学 技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网 络向社会公众提供信息服务。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：乔易微 导师签字： 计六开 签字日期：劢i d 年r 月fr 日 签字日期：为p 年厂月f r 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： _ - _ _ _ _ 。1 。 哈密顿一雅克比方程的有效哈密顿函数 摘要 本文考虑h a m i l t o n j a c o b i 方程h ( x ，p - t - d u ) = a 的与有效h a m i l t o n 函数相 关的一系列问题。 l i o n s ，p a p a n i c o l a o u 和v a r a d h a n 首先证明了存在唯一的实数a r 使 得h a m i l t o n - j a c o b i 方程存在全局粘性解，记此唯一的与p 有关的实数入r 为4 ( p ) ，称为有效h a m i l t o n 函数。 有效h a m i l t o n 函数有着十分明确的物理意义：它表征了量子本征态所对应 的能量值。并且它在h a m i l t o n - j a c o b i 方程的均匀化理论、解的长时间渐近行为 等的研究中都起着非常重要的作用，与弱k a m 理论、a u b r y - m a t h e r 理论等也 有着十分密切的联系。 第一章首先介绍这一方面研究进展，既包括理论上的推广，也包括数值计 算和应用方面的进展。然后给出必要的预备知识。 第二章首先给出l i o n s ，p a p a n i c o l a o u 和v a r a d h a n 等人的原始证明，然后给 出一个新的关于有效h a m i l t o n 函数存在唯一性的几何方法的证明。这种方法 不仅可以证明有效h a m i l t o n 函数的存在唯一性，而且由此出发还可以讨论有 效h a m i l t o n 函数的一些性质以及建立它与a u b r y - m a t h e r 理论的密切联系。 第三章将对有效h a m i l t o n 函数进行刻画。首先是它的一些等价表示，这是 由有效h a m i l t o n 函数的存在唯一性的几何证明出发而得到的关于曰( p ) 的一些 表达式，它们表征了有效h a m i l t o n 函数的一些极限特性。还有疗( p ) 的两个变 分表示，它们是后面数值计算的理论基础。之后讨论了有效h a m i l t o n 函数的一 些基本性质，它们反映了疗( 尸) 的性质与h a m i l t o n 函数日的性质之间的密切关 系。 第四章讨论有效h a m i l t o n 函数的计算问题。首先对于一些具体的h a m i l t o n 函 数给出相应的有效h a m i l t o n 函数的解析表达式。由于一般而言只有对于特殊 的h a m i l t o n 函数才能得到有效h a m i l t o n 函数的解析表达式，所以接下来讨论了 相应的数值计算问题。数值计算的方法义分为两类：偏微分方程方法和变分方 哈密顿一雅克比方程的有效哈密顿函数 法，对每一类方法都进行了简单的分析讨论。 第五章给出有效h a m i l t o n 函数的一些应用。首先说明有效h a m i l t o n 函数的 物理意义：它表征了本征态所对应的能量值，接着给出它在h a m i l t o n - j a c o b i 方 程的均匀化理论、解的长时间渐近行为等的研究中的应用，最后指出了有 效h a m i l t o n 函数与弱k a m 理论、a u b r y m a t h e r 理论的密切联系。 关键词：h a m i l t o n - j a c o b i 方程；有效h a m i l t o n 函数：粘性解；弱k a m 理 论；a u b r y - m a t h e r t 里论 e f f e c t i v eh a m i l t o n i a no fh a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n s a b s t r a c t c o n s i d e rt h eh a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o nh ( z ，p + d u ) = 入，t h e r ee x i s t so n e a n do n l yo n er e a ln u m b e r 入rs u c ht h a tt h ee q u a t i o nh a sag l o b a lv i s c o s i t y s o l u t i o n i ti sc a l l e dt h ee f f e c t i v eh a m i l t o n i a na n dd e n o t e db yh ( p ) t h e p l a y s i c a lm e a n i n go ft h ee f f e c t i v eh a m i l t o n i a ni st h a ti tr e p r e s e n t st h e e i g e n v a l u eo fa ne i g e n s t a t e i ti si m p o r t a n ti nt h es t u d yo fa s y m p t o t i cs o l u t i o n s o fh a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n sa n di nt h eh o m o g e n i z a t i o nt h e o r y i ti sa l s oc l o s e l y r e l a t e dt ot h ew e a kk a m t h e o r ya n da u b r y - m a t h e rt h e o r y s o m ed e v e l o p m e n t si nt h ef i e l di sd i s c u s s e di nc h a p t e r1 i ti n c l u d e st h e g e n e r a l i z a t i o no ft h e o r e t i c a la n a l y s i sa n da l s ot h ed e v e l o p m e n t si nn u m e r i c a l c a l c u l a t i o n sa n di na p p l i c a t i o n s s o m ep r e p a r a t i o n sa r ea l s og i v e n c h a p t e r2b e g i n sw i t ht h eo r i g i n a lp r o o fo fe x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fe f f e c - t i v eh a m i l t o n i a ng i v e nb yl i o n s ，p a p a n i c o l a o u ，v a r a d h a n t h e ni tp r o c e e d sw i t h an e wg e o m e t r i cp r o o fo ft h er e s u l t u s i n gt h eg e o m e t r i cp r o o f , s o m ep r o p e r - t i e so ft h ee f f e c t i v eh a m i l t o n i a nc a nb ed i s c u s s e da n dt h ec l o s er e l a t i o nb e t w e e n e f f e c t i v eh a m i l t o n i a na n da u b r y - m a t h e rt h e o r yc a nb ef o u n d s o m ee q u i v a l e n te x p r e s s i o n so ft h ee f f e c t i v eh a m i l t o n i a nw i l lb ed i s c u s s e d i nc h a p t e r3 t h e s ee q u i v a l e n te x p r e s s i o n sc o m e sf r o mt h en e wg e o m e t r i cp r o o f a n ds h o w st h el i m i tp r o p e r t yo ft h ee f f e c t i v eh a m i l t o n i a n t w ov a r i a t i o n a le x - p r e s s i o n sa r ea l s od i s c u s s e d ，w h i c ha r et h et h e o r e t i c a lf o u n d a t i o no fn u m e r i c a l c a l c u l a t i o n s t h es e c o n dp a r to ft h i sc h a p t e rd e a l sw i t ht h eb a s i cp r o p e r t i e s o ft h ee f f e c t i v eh a m i l t o n i a nw h i c hs h o w st h er e l a t i o nb e t w e e np r o p e r t i e so ft h e e f f e c t i v eh a m i l t o n i a na n dp r o p e r t i e so ft h eh a m i l t o n i a nf u n c t i o n c h a p t e r4i sd e v o t e dt ot h ec a l c u l a t i o no ft h ee f f c c t i v eh a m i l t o n i a n s o m e e x a m p l e sa r eg i v e n s i n c eu s u a l l yi ti si m p o s s i b l et og i v et h ee x p l i c i te x p r e s s i o n s o ft h ee f f e c t i v eh a m i l t o n i a n ，n u m e r i c a lc a l c u l a t i o nm e t h o d sa r ed i s c u s s e d t h e r e o u tt h ec l o s er e l a t i o na m o n gt h ee f f e c t i v eh a m i l t o n i a n ，t h ew e a kk a m t h e o r y a n da u b r y - m a t h e rt h e o r y k e y w o r d s ：h a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n s ；e f f e c t i v eh a m i l t o n i a n ；v i s c o s i t ys o l u t i o n ；w e a kk a mt h e o r y ；a u b r y o m a t h e rt h e o r y x 第1 章 1 1 1 2 1 3 第2 章 2 1 2 2 第3 章 3 1 3 2 第4 章 4 1 4 2 第5 章 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 目录 引言及预备知识 1 引言1 综述 2 预各知识 6 有效h a m i l t o n 函数的存在唯一性9 有效h a m i l t o n 函数的存在唯一性的证明 9 有效h a m i l t o n 函数的存在唯一性的一个几何证明 1 0 有效h a m i l t o n 函数的刻画 1 5 有效h a m i l t o n 函数的等价表示1 5 有效h a m i l t o n 函数的基本性质 1 7 有效h a m i l t o n 函数的计算2 1 有效h a m i l t o n 函数计算的例子 2 1 有效h a m i l t o n 函数的数值计算 2 4 4 2 1 数值计算的偏微分方程方法2 4 4 2 2 数值计算的变分方法2 4 有效h a m i l t o n 函数的应用 2 7 有效h a m i l t o n 函数的物理意义2 7 有效h a m i l t o n 函数的线性规划解释2 7 有效h a m i l t o n 函数在均匀化理论中的应用2 8 有效h a m i l t o n 函数在解的长时间渐近行为研究中的应用 2 9 有效h a m i l t o n 函数与弱k a m 理论的关系3 0 有效h a m i l t o n 函数与a u b r y - m a t h e r 犟_ 论的关系3 1 哈密顿一雅克比方程的有效哈密顿函数 参考文献 致谢 个人简历、攻读硕士学位期间完成的文章 3 3 3 7 3 9 第1 章引言及预备知识 1 1引言 本文将考虑如下的h a m i l t o n - j a c o b i 方程 h ( x ，p + d u ) = a( 1 1 ) 的与有效h a m i l t o n 函数相关的一系列问题。 l i o n s ，p a p a n i c o l a o u 和v a r a d h a n 首先证明了存在唯一的实数a r 使得方 程( 1 1 ) 存在全局粘性解，记此唯一的与p 有关的实数a r 为疗( p ) ，称为有 效h a m i l t o n 函数。 有效h a m i l t o n 函数有着十分明确的物理意义：它表征了量子本征态所对应 的能量值。并且它在h a m i l t o n - j a c o b i 方程的均匀化理论、解的长时间渐近行为 等的研究中都起着非常重要的作用，与弱k a m 理论、a u b r y - m a t h e r 理论等也 有着十分密切的联系。 在接下来的内容中，我们将首先介绍一下这一方面的一些研究进展，既包 括了一些理论上的推广，也包括了与此有关的一些数值计算和应用方面的进 展。然后给出一些必要的预备知识。 在第二章中，我们首先给出l i o n s ，p a p a n i c o l a o u 和v a r a f l h a n 等人关于有 效h a m i l t o n 函数存在唯一性的原始证明，这不仅是因为正是这个结果开启了以 后的一系列研究，更重要的是他们的证明方法的重要性。他们的证明方法不仅 对于h a m i l t o n 函数的要求低，而且也为有效h a m i l t o n 函数的数值计算提供了理 论依据。接着我们给出一个新的关于有效h a m i l t o n 函数存在唯一性的几何方法 的证明。此方法不仅可以证明有效h a m i l t o n 函数的存在唯一性，而且由此出发 还可以讨论有效h a m i l t o n 函数的一些性质以及建立起它与a u b r y - m a t h e r 理论的 密切联系。 在第三章中，我们将对有效h a m i l t o n 函数进行刻画。首先是它的一些等价 表示，这是由我们的儿何证明而得到的关于疗( p ) 的一些表达式，它们表征了有 它们是后面数值 本性质，它们反 先对于一些具体 一般而言只有对 表达式，所以我 们接下来讨论了相应的数值计算问题。数值计算的方法又分为两类：偏微分方 程方法和变分方法，我们对每一类方法义都进行了简单的分析讨论。 在第五章中，我们给出有效h a m i l t o n 函数的一些应用。首先说明有效h a m i l t o n 函数的物理意义：它表征了本征态所对应的能量值，接着给出它在h a m i l t o n - j a c o b i 方程的均匀化理论、解的长时间渐近行为等的研究中的应用，最后我们 指出了有效h a m i l t o n 函数与弱k a m 理论、a u b r y - m a t h e r 理论的密切联系。 1 2综述 l i o n s ，p a p a n i c o l a o u 和v a r a d h a n 在文章【1 1 研究h a m i l t o n - j a c o b i 方程的均匀 化问题时提出了有效h a m i l t o n 函数的概念。他们证明了对于连续且强制 的h a m i l t o n 函数日，对于z p ，p p ，h a m i l t o n - j a c o b i 方程h ( x ，pq - d u ) = a 存在唯一的实数a r 使得方程h ( x ，pq - d u ) = 入存在全局粘性解，称此唯一 的唯一的与p 有关的实数a r 为有效h a m i l t o n 函数，记为疗( p ) 。在此基础上， 他们证明了方程 j 筹- - b 日( 詈，d u ) = 0 ，在形( 0 ，) 上 i - 让( 。) i t _ o = t 0 ( z ) ， 在舻上 的解舻在舻【0 ，t ( v t o 。) 上一致地收敛于初值问题 赫：篡 羹：p 训上 的解札。 在他们的开创性研究之后，许多人对此问题进行了研究，并作了多方面的 推广。 2 哈密顿一雅克比方程的有效哈密顿函数 e 毗h i 于1 9 9 7 年【2 3 】将他们的有效h a m i l t o n 函数存在性的结论由环面p 推广 到了任意的紧流形m 上。f a t h i 考虑- j h a m i l t o n 函数的凸对偶l a g r a n g e 函数，建 立了弱k a m 理论。他证明了如下结果：当为伊的且在每一纤维上满足超线性 和严格凸条件时，存在l i p s c h i t z 连续的函数心一，牡+ 和常数c r 满足对任意c 1 曲 线7 ：【a ，6 】_ m ，有 p u 士( ，y ( 6 ) ) 一u 士( 7 ( 口) ) l ( 7 ( s ) ，( s ) ) d s + c ( 6 一口) ， ，a 且对任一点z m ，都存在曲线，y 一：( - - o o ，0 】_ m 和：【o ，+ o o ) 一m 满 足7 一( o ) = 7 + ( o ) = z 且对任意t 【0 ，+ ) ，有 一 u + ( ( ) ) 一u + ( z ) = c t + l ( ( s ) ，佴( s ) ) d s ， ，0 ，0 t 一( z ) 一u 一( 7 一( ) ) = c t + l ( 7 - ( s ) ，t ( s ) ) 幽 ，一 其中的常数c l i p 相当于我们的疗( 0 ) 。 1 9 9 8 年c o n t r e r a s ，i t u r r i a g a ，g p a t e r n a i n 和m p a t e r n a i n 4 将相关的结果推 广到了m 为一紧流形j v 的覆盖，日为t 上函数的提升的情形。事实上，他们 证明了当m 为一紧流形j v 的覆盖时的弱k a m 定理。但是正如本文最后一部分 所表明的，这也就相当于证明了在这种情况下的有效h a m i l t o n 函数的存在唯一 性。 r e z a k h a n l o u 和t a r v e r 5 考虑了随机h a m i l t o n j a c o b i 方程的均匀化问题，他 们证明了当日满足凸性、强制性以及关于p 连续可微的条件时，随机h a m i l t o n - j a c o b i 方程 ja 牡+ 日( 詈，d t 正，叫) = 0 ， 【t i t _ 0 = g 的解u c 依期望收敛于方程 ja 面+ h ( d f i ) = 0 ， 【冠l t - o = 9 的解。这表明有效h a m i l t o n 函数在随机h a m i l t o n - j a c o b i 方程的均匀化理论中也 起着重要作用。 3 数 由紧流形推广到了非紧 超线性，在纤维上一致 果：存在c ( h ) r 使得 当c = c ( 日) 时h 锄i l t o n - j a c o b i 方程h ( z ，d u ) = c 具有一个全局粘性解，而当c 0 充分大时雪= z 。假若雪z ，则由于u 为 方程h ( x ，p - bd u ) = a 的粘性下解，而函数y 时c l y x l 在y = 雪z 处可微， 6 哈密顿雅克比方程的有效哈密顿函数 由粘性下解的定义，有h ( z ，p + c 芒焉) 入。当c 充分大时( 不依赖于z 点的 选择) ，上式与h a m i l t o n 函数h 的强制性矛盾。因此当c 充分大时，雪= z 。于 是u ( y ) 一e l y z l u ( 雪) 一c 1 雪一z l = t l ( z ) 对任意z m 成立。交换y 与茁的位 置，即有i 仳( z ) 一u ( y ) i c i z 一训。 注：由上述证明过程可知，h a m i l t o n - j a c o b i 方程日( z ，p + d u ) = 入的任意 一族粘性下解都是等度l i p s c h i t z 连续的。 定理1 3 ( 存在唯一性定理) 设h a m i l t o n 函数h ( x ，“，p ) ：形r 舻满 足： ( h 1 ) h ( x ，u ，p ) 一h ( x ，u ，p ) 垤( u 一秽) 对z 舻，- r t r ，p 舻成立( 他 0 ) ； ( h 2 ) h 强制，即当例- - 9 + 时，对z 册，u 【一r ，嗣一致地有日( z ，p ) _ + + o o ； ( h 3 ) h ( x ，p ) 在舻【- r ，捌如上一致连续； ( h 4 ) 存在m 0 ，使得h ( z ，一m ，0 ) 0 h ( x ，m ，o ) 在舻上成立，则方 程日( z ，u ，d u ) = o 存在唯一的粘性解u w 1 ，( 舻) 。 另外本文中用到的关于弱k a m 理论、a u b r y - m a t h e r 理论等内容，可见 2 5 - 3 2 j 。其中k f s i b e r g 的专著【2 5 】对这几个理论以及它们在几何和动力学中的应用 均有比较系统的介绍。关于粘性解理论、弱k a m 理论、a u b r y - m a t h e r 理论之 间的密切联系，还可参考 3 3 - 3 4 1 。 7 第2 章有效h a m i l t o n 函数的存在唯一性 2 1 有效h a m i l t o n 函数的存在唯一性的证明 有效h a m i l t o n 函数的存在唯一性的证明有多种，有的采用了偏微分方程的 方法，有的采用了半群的方法。下面首先给出l i o n s ，p a p a n i c o l a o u 和v a r a d h a n 在 他们的经典文章中的证明方法。正是他们的这篇文章开启了之后的一系列研 究。 定理2 1 设h c ( 冗，l 舻) 且关于变量z 为周期的。日为强制的，即 当例_ 0 0 时，对z 舻一致地有h ( x ，p ) _ 0 0 。则对任意p 舻，都存在唯 一的a r ，使得方程 h ( x ，p - - i - d u ) = a( 2 1 ) 有全局粘性解。记此唯一的a 为曰( p ) ，则疗( 尸) 关于尸是连续的。 证明：为证明入和乱的存在性，我们考虑逼近方程 h ( y ，p + d v t j 口) + 0 c u a = 0 ， q 0 ( 2 2 ) 由于h b u c ( r & ) 且满足对z 舻一致地有当圳- c o 时h ( x ，p ) 一o o ， 由粘性解的存在唯一性定理知存在唯一的粘性解俨1 ，( 舻) 。由解的唯一 性可知，俨为周期的。另外我们有 一s u ph ( y ，p ) a 俨s i n fh ( y ，p ) ( 2 3 ) f v 由( 2 2 ) ( 2 3 ) 并且利用日的强制性可失l l l l d v a i i c 对某一常数c 成立，且常 数c 不依赖于o t 。 令俨= 口一m i n t 。俨，则矛口为周期的，且在1 ，( 舻) 中有界。如果必 要的话，抽取一个子列，我们可以假设( 0 a ，一q u d ) 在舻上一致地收敛于某 个( ，a ) w 1 t 0 0 ( 舻) r 。由俨的削期性可矢, l l v 也是周期的。由粘性解的性质可 知， 为方程h ( y ，p + d v ) = a 的粘性解。从而存在性得证。 方面，郇和w 分别为方程 形) r 都满足方 数的方法也不妨假 p + q 成立。另一 h ( y ，p + d v ) + a = a + o r ? 3 ，h ( y ，p + d w ) + o t w = p + o t w 在b u c ( r ) 的唯一的粘性解。由粘性解的比较原理可知，在舻上有v w 成 立，这与口 w 矛盾。从而证明了a 的唯一性。 由日得连续性及a 的唯一性可知，f t ( p ) 关于p 是连续的。并且由( 2 3 ) 可知 i n f h ( y ，p ) f i ( p ) s u ph ( y ，p ) f 对任意的p 胛成立。定理得证。 我们上面给出了应用偏微分方程粘性解理论的关于有效h a m i l t o n 函数 证明。a f a t h i 在文章【2 】中通过考察h a r n i l t o n i 函数的凸对偶l a g r a n g e 区i 数建立 了弱k a m 定理。弱k a m 定理中的常数c 即相当于我们的有效h a m i l t o n 函数 值曰( 0 ) 。我们在后面还会讨论有效h a m i l t o n 函数与弱k a m 理论的关系。 2 2有效h a m i l t o n 函数的存在唯一性的一个几何证明 在这一部分，我们将对拟凸的h a m i l t o n 函数的有效h a m i l t o n 函数的存在唯 一性给出一个不同于上面证明方法的几何证明。我们借鉴了a f a t h i 和a s i c o n o l f i 在 文章【1 0 】中的证明思想。 首先给出关于h a m i l t o n 函数日的一些基本假设。p 表示平坦环面，在其上 赋予由胛上的欧式度量诱导的平坦的黎曼度量。h a m i l t o n 函数何定义在p 的余 切丛p p 。= p 册上且满足： ( h 1 ) ( z ，p ) - - a t 日( z ，p ) 连续； 对任意的z p ，入r ，有 ( h 2 ) ( z ，p ) ：h ( x ，p ) a ) 为紧集； ( h 3 ) p ：h ( x ，p ) 入) 为凸集； ( h 4 ) a p ：h ( x ，p ) a ) = p ：h ( x ，p ) = a ) ，其e e o a 表示集合a 的边界。 1 0 哈密顿一雅克比方程的有效哈密顿函数 注：条件( h 2 ) 等价于h a m i l t o n 函数日强制。 b ( z ，r ) 表示中心为z ，半径为r 的开球，对冗叫 ，的任意集合c ，d ( ，g ) 表示 到集合c 的距离。我们通过公式( ，c ) = 2 d ( ，c ) 一d ( ，o c ) 来定义到集合c 的 有向距离。当集合c 为凸集时，有向距离( ，c ) 为一凸函数。若c 为一凸闭集， 则对任意的u 舻，定义a c ( v ) = s u p p v ：p c ) ，定义p c 关于c 的法锥 为c ( p ) = u ：p v = 叼( u ) ) 。 为了将分析的语言几何化，我们将再次给出粘性解的定义，并用几何化的 语言来描述它。 定义2 1 称连续函数u ：p _ r 为方程日( z ，p + d u ) = a 的一个粘性 下解，若对任意c 1 函数：p 叶r ，u ，在任一使得( 跏) = u ( 跏) 的 点x 0 处满足h ( x o ，p + d 让( 铷) ) a ：称连续函数u ：p - 4r 为方程h ( x ，p + d u ) = a 的一个粘性上解，若对任意c 1 函数矽：por ，砂让，在任一使 得妒( z 1 ) = 缸( z 1 ) 的点z 1 处满足h ( x a ，p + d u ( x 1 ) ) 入；若函数1 1 , ：pj r 既 为方程h ( x ，p + d u ) = a 的粘性下解，也为方程的粘性上解，则称u 为方 程h ( x ，p + d u ) = a 的一个粘性解。 我们称上述定义中的检验函数咖为一条上切线，妒为一条下切线。 - - ， 对于任意给定的入r ，zep ， 舻，p 舻，定义么( z ) = p ： h ( x ，p ) a ，砑( z ) = 邑( z ) 一p ，叭( z ，秒) = o g x ( 2 ) ( 口) ，( z ，u ) = 吻f p ) ( ) 。 对于给定的a r ，pe 舻，对任一z p ，z f ( z ) 仍。一个连续函数u 为 方程y ( x ，p + d u ) = a 的一个粘性下解，当且仅当d l i ( d ( z ) ，砑0 ) ) 0 e 任 意z p ，任意g 1 上切线成立；连续函数“为方程g ( x ，p + d u ) = 入的一个粘 性上解，当且仅当d l i ( d 妒( z ) ，砑( z ) ) o 对任意z p ，任意c 1 下切线妒成立。 定义2 2 称一个粘性下解t l ：p r 为方程h ( z ，p + d u ) = 入的在点铷处 的一个严格粘性下解，若存在点, t o 的一个开邻域和某一入洳 0 使得c o o 函数让6 满足 h ( x ，p4 - d u 6 ) 入l4 - e 对任意的z t n 成立 ( 2 5 ) 若z o 为u 一札占的一个最小值点，贝, l j u 6 为口在点z o 处的一条下切线。由钞为方 程( 2 4 ) 的一个粘性上解，可知下式成立： h ( x o ，p4 - d u 6 ( x o ) ) a 2 ( 2 6 ) 由( 2 5 ) ( 2 6 ) 可知a 2 入14 - e 。再由的任意性可知入2 入1 成立。从而引理得证。 由上述引理可知，唯一的可能的使得h a m i l t o n - j a c o b i 方程日( z ，p4 - d u ) = 入存在粘性解的a r 为 f - i ( p ) = i i l f a ：方程h ( z ，p4 - d u ) = a 存在粘性下解) 下面我们将证明对于此疗( p ) ，方程 日( z ，p4 - d u ) = 疗( p )( 2 7 ) 确实存在粘性解。 引理2 2 给定y p ，定义 ( z ) = s u p u ( z ) ：t l ( z ) 为方程( 2 7 ) 的粘性下解且u ( 可) = o ) 1 2 哈密顿一雅克比方程的有效哈密顿函数 则训v ( 茁) 在p 上为方程( 2 7 ) 的粘性下解，在p 可上为方程( 2 7 ) 的粘性解。 证明： 首先说明叫 ( z ) 定义的合理性，只需说明方程( 2 7 ) 的下解的集合非 空即可。令入n = 曰( 尸) + 熹，考虑方程h ( x ，p + d u ) = 入n 。由曰( 尸) 的定义，可知 方程g ( x ，p + d u ) = 入n 存在粘性下解w n 。因为若为方程g ( x ，p + d u ) = a n 的 粘性下解，则+ c 也为该方程的粘性下解，故不妨假设w n ( ) = 0 。由第 一章的注可知，这些w n 是等度l i p s c h i t z 连续的，同时它们还是一致有界的。 由a r z e l a - a s c o l i 定理可知存在一个子列收敛于某个连续函数w 。再由粘性下解的 基本性质可知伽为方程( 2 7 ) 的粘性下解且叫( 秒) = 0 。 利用粘性下解的基本性质可知嘶为方程g ( x ，p + d u ) = 曰( p ) 的粘性下解， 故只需再证明嘶( z ) 在p 可上为方程( 2 7 ) 的粘性解a pr 。 我们采用反证法。假设嘶( z ) 在p 可上不为方程( 2 7 ) 的粘性上解，则必 存在一点z y i 口1 w u 在点z 的一条严格下切线矽满足妒( z ) = 嘶( 名) 使得h ( z ，p + d e ( z ) ) 0 充分小，使得h ( z ，p + d e ( x ) ) 0 ，使得嘶( z ) 一矽( z ) e 对任意z o b ( z ，r ) 成立。 定义 。 ，、im a x ( 妒( x ) + f ，嘶( z ) ) ，z b ( z ，r ) 、7 l 札o ( z ) ， z 垡b ( z ，r ) 则饥( z ) 为方程h ( x ，p + d u ) = 曰( p ) 的粘性下解，且饥 ) = 0 。但是这 与嘶0 ) 的定义矛盾，因为饥( z ) w y ( z ) 。这个矛盾说明( z ) 在p y 上为 方程( 2 7 ) 的粘性上解。从而引理得证。 引理2 3 方程日( z ，p + d u ) = f - i ( p ) 存在粘性解。 证明：采用反证法。假设方程( 2 7 ) 不存在粘性解，则对任意给定的y p ， w ”在点处都不满足粘性上解的条件。因此，对于任意的y p ，都存在w y 在 点y 的一条严格下切线饥，满足饥( ) = w l ，( ) ，h ( y ，p + d e ( y ) ) 0 和r 0 ，可以 找到方程( 2 7 ) 的一个粘性下解嘶，使得u v 在某个开球s ( u ，r ) 内为c 1 的且 ( d v 0 ) ，硌( p 1 0 ) ) 一屯 ( 2 8 ) 对任意z b ( y ，r ) 对某一屯 0 成立。利用t n 的紧性，我们可以选取p 的一个 有限开覆盖，记为鼠。，i = 1 ，2 ，m 。 1 3 克比方程的有效哈密顿函数 定义札= 鬲1e t _ - l ，则对几乎所有的z p ，有d 牡( z ) = 击e t _ - ld 坳；( z ) 。 考虑集口i i i r t ：- t 1 d ，它是一个全测集。令否= r a i n 瓠。选取z n i = l d ，则存 在1 j m ，z 。利用( 2 8 ) 式及( ，硌( p ) ( z ) ) 的凸性，我们有 ( 。缸( 巩硌( p ) ( 训磊1 md i f ( 。( 吐霸( p ) ( 圳 = 去( d 鼽( z ) ，绍( 尸) ( z ) ) + 熹( d u 协( z ) ，硌( p ) ) ) 一磊5 曰( p ) ； 方程日( z ，p + d u ) = a 存在严格粘性上解乍号a 疗( p ) ， 则l l ( x ，p4 - d u ) = 厅( p ) 的一个粘性解即为h ( z ，p4 - d u ) = a 的一个严格粘性 下解；反之，若入疗( p ) 且方程h ( z ，p + d u ) = 入存在严格粘性下解，则必存 在入l f