（应用数学专业论文）均衡问题解的存在性.pdf

摘要 对均衡问题解的存在性的研究，国内外学者主要运用k k m 定理，不动点定 理，极大元定理和e k e l a n d 变分原则四种方法这四种方法在解决问题过程中， 对空间的限制和对函数或映射的条件要求各不相同在研究相同或相近的均衡 问题解的存在性的基础上对四种方法进行了两两比较，从证明过程和条件限制 两个方面讨论它们的区别和联系，以及相互转化时需要的条件具体内容是： 第一章概述了近几年来国内外均衡问题研究发展脉络及其研究现状；第二 章是本文涉及到的预备知识：第三章在研究广义向量均衡和广义向量拟均衡问 题解的存在性基础上，分别讨论了k k m 定理与不动点定理、极大元定理之间的 区别与联系；第四章在研究广义向量拟均衡系问题解的存在性基础上，讨论了不 动点定理和极大元定理之间的区别与联系：第五章在研究标量均衡问题解的存 在性基础上，分别讨论了e k e l a n d 变分原则与k k m 定理、极大元定理之间的区别 与联系：第六章在研究向量均衡问题解的存在性基础上对e k e l a n d 变分原则与不 动点定理进行了比较 关键字：k k m 定理，不动点定理，极大元定理，e k e l a n d 变分原则，标量均衡问 题，向量均衡问题，广义向量均衡问题，广义向量拟均衡问题，广义向量拟均衡 系问题 a b s tr a c t f o rt h er e s e a r c ho fs o l u t i o ne x i s t e n c eo fe q u i l i b r i u mp r o b l e m s ，a u t h o r sa t h o m ea n da b r o a dm a i n l yu s ef o u rm e t h o d sa sf o l l o w s ：k k mt h e o r e m ，f i x e d p o i n tt h e o r e m ，m a x i m a le l e m e n tt h e o r e ma n dv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e i nt h e p r o c e s so fs o l v i n gp r o b l e m s ，f o u rm e t h o d sa r e d i f f e r e n ti ns p a c el i m i ta n dr e q u e s t f o rc o n d i t i o n so ff u n c t i o n so rm a p p i n g s i nt h i sp a p e r ，w em a k ec o m p a r i s o nb e t w e e nt h e mt od i s c u s st h e i rd i s t i n c t i o na n dc o n n e c t i o nw i t hs t u d y i n gs o l u t i o n e x i s t e n c eo fs a m eo rs i m i l a re q u i l i b r i u mp r o b l e m s ，w h i l ef i n d i n gt h ec o n d i t i o n s u n d e rw h i c ht h e yt r a n s f o r me a c ho t h e r c o n c r e t ec o n t e n to ft h i sp a p e ri s a s f o l l o w s ：i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w eo u t l i n et h ed e v e l o p m e n ta n da c t u a l i t yo ft h er e - s e a r c ha th o m ea n da b r o a df o rs o l u t i o ne x i s t e n c eo fe q u i l i b r i u mp r o b l e m sr e c e n t l y i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w er e c a l lc o n c e p t sa n dr e s u l t sw ew i l lu s ei nt h es e q u e l i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ed i s c u s st h ed i s t i n c t i o na n dc o n n e c t i o nb e t w e e nk k m t h e o r e m a n df i x e d p o i n tt h e o r e m ，w i t hs t u d y i n gs o l u t i o ne x i s t e n c eo fg e n e r a l - i z e dv e e t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m sa n dt h a tb e t w e e nk k m t h e o r e ma n dm a x i m a l e 1 e m e n tt h e o r e mw i t hs t u d y i n gg e n e r a l i z e dv e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m s i nt h ef o u r t hc h a p t e r w ed i s c u s st h ed i s t i n c t i o na n dc o n n e c t i o nb e t w e e nf i x e d p o i n tt h e o r e ma n dm a x i m a le l e m e n tt h e o r e mw i t hs t u d y i n gs y s t e m so fg e n e r a l i z e dv e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m s i nt h ef i f t hc h a p t e r ，w i t hr e s e a r c h o fs o l u t i o ne x i s t e n c eo fs c a l a re q u i l i b r i u mp r o b l e m s ，w ed i s c u s st h ed i s t i n c t i o n a n dc o n n e c t i o nb e t w e e ne k e l a n d sv a r i a t i o n a lp r i n c i p l ea n dk k m t h e o r e ma n d t h a tb e t w e e ne k e l a n d sv a r i a t i o n a lp r i n c i p l ea n d m a x i m a le l e m e n tt h e o r e m i n t h es i x t hc h a p t e r ，w ec o m p a r ee k e l a n d sv a r i a t i o n a lp r i n c i p l ew i t hf i x e d p o i n t t h e o r e mw i t hs t u d y i n gv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m s k e y w o r d s ：k k mt h e o r e m ，f i x e d p o i n tt h e o r e m ，m a x i m a le l e m e n t t h e o r e m ，e k e l a n d sv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ，s c a l a re q u i l i b r i u mp r o b l e m s ，v e c t o r e q u i l i b r i u mp r o b l e m s ，g e n e r a l i z e dv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m s ，g e n e r a l i z e d v e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u mp r o b l e m s ，s y s t e m so fg e n e r a l i z e dv e c t o rq u a s i e q u i l i b r i u m p r o b l e m s 独创性：声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师的指导卜进行的研究工作和取得 的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文不包含任何其他个人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得天津工业大学或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所作的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名： 多衣飘 签字e l , t t r j ：硝年月z 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解灭津工业大学有关保留、使用学位论文的规定 特授权天津t 业大学可以将学位论文的伞部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后应适用本授权说明) 论文作者签名： 爿徽 签字日期：铂对年f 月l 调 导师签名： 签字日期：舻f 月i 瑁 学位论文的主要创新点 一、运用k k l v l 定理证明了广义向量均衡问题的解的存在性定理，从标量函数的 情况推广到集值映射的情况 二、运用极大元定理证明了广义向量拟均衡系问题的解的存在性定理，推广了 参考文献【3 2 】中的相关结果 三、从定理的函数或映射条件假设和证明过程两个方面，分别对k k m 定理，不+ 动点定理，极大元定理和e k e l a n d 变分原则做两两比较，探讨了它们之间的联系 与区别，以及相互转化时需要的条件 1 1 几类均衡问题 第一章绪论 近年来，以优化问题、变分不等式问题、纳什均衡问题和不动点问题等为特 殊情况的均衡问题，为我们研究从金融、经济、网络分析、交通和不动产等领域 产生的一系列问题提供了系统的、更新更广的研究框架，在最优化理论中的重 要性日益增加，吸引了国内外学者的浓厚兴趣目前人们对均衡问题的研究在 深度和广度上已经有了很大进展 设e 是拓扑向量空间，z 是h a u s d o r f f 拓扑向量空间，x 是e 的非空凸子集， c 是z 的具有非空内部i n t c 的闭凸点锥，f ：x x _ 冗( 冗是实数集) 是一个二 元函数，f ：x x z 是一个二元映射，g ：x x _ 2 冗是一个集值映射， d ：x _ 2 z 是一个集值映射，使得对每个z x ，d ( z ) 是闭凸锥，且内部非空， a ：x _ 2 x 是一个具非空凸值的集值映射，使得对每个! x ，a _ 1 ( y ) 是开集 设，是一个指标集，对于每个i i ，五和是h a u s d o r f f 拓扑向量空间，托是k 的 非空子集，a 是k 的闭凸点锥，且内部i 谢g d 令k = n ；j ，x = 兀 ，x 对于每个i i ，a ：k 一2 k i 和g t ：k k 一2 m 是集值映射以下是我们考虑 的各类均衡问题： 标量均衡问题( e p ) ：找z x ，使得 ，( 虿，y ) 0 ，y y x ； 向量均衡问题( v e p ) ：找虿x ，使得 f ( y ，y ) 隹- i n t c ，v y x ； 广义向量均衡问题( g v e p ) ：找虿x ，使得 g ，y ) nz ( - i n t d ( x ) ) d ，v y x ； 广义向量拟均衡问题( g v q e p ) ：找虿4 ( 虿) ，使得 g ( 虿，y ) az ( - i n t d ( x ) ) 0 ，v y a ( 虿) ； 筇章绪论 广义向量拟均衡系问题( s g v q e p ) ：找虿k ，使得对每个i i ，砑 a l ( - ) 和 g ( 虿，y i ) nm ( - i n t c i ) d ，v y i a t ( 虿) ， 其中觑是z 的第i 个分量 1 2均衡问题解的存在性研究发展脉络及其研究概况 鉴于均衡问题的广泛性，人们对它产生了浓厚兴趣，对其在横向、纵向都进 行了延仲研究纵向发展方面，人们从研究标量均衡问题扩展到研究向量均衡问 题，进而扩展到研究含有集值映射的广义向量均衡问题、广义向量拟均衡问题 和广义向量拟均衡系问题横向扩展方面，人们不断弱化函数( 映射) 的条件和空 间限制，对解的存在性的研究得到广泛发展从整个研究的发展趋势看，人们都 在试图不断减弱对映射条件和问题所在空间的限制，进而扩大均衡问题所研究 的映射类 均衡问题的研究历史可以追溯到k yf a n 1 羊l l 2 此后，h b r e z i s ，i n i r e n b e r g 和g s t a m p a c c h i a 3 推广- j k yf a n 2 1 中的问题结论而e b l u m 和w o e t t l i 4 首先 提出“均衡问题”这个名称从此，国内外数学学者开始在此基础上展开了对均 衡问题的研究 对均衡问题的研究主要集中在对其解的存在性、唯一性和解集性状等的研 究在n 维欧氏空问上，由于其有界集的相对紧性和空问的完备性，不但可以对 均衡问题解的存在性进行研究，而且可以对均衡问题的解进行迭代等算法的研 究以求其精确或近似值但从n 维欧氏空间扩展到无穷维空问，由于无穷维空问 受紧性甚或受空间完备性的局限和空间结构的复杂性，人们对均衡问题的研究 就主要集中在对其解的存在性和解集性状等方面的研氪 a n i u s e m 和w s o s a 5 研究了( e p ) 及其特定辅助问题一凸可行问题( c f p ) ， 主要利用k k m 定理证明了( c f p ) 的解的存在性定理，然后，根据( c f p ) 和( e p ) 的 解的关系证明了( e p ) 的解的存在性定理m b i a n c h i 和s s c h a i b l e 6 假设函数是 拟单调的，然后主要运用k k m 定理研究了拟单调的函数的均衡问题解的存在 性m f a k h a r 和j z a f a r a n i 7 1 、n h a d j i s a v v a s 和s s c h a i b l e 8 首先利用k k m 定理 证明了包含一对拟单调二元函数的标量均衡问题解的存在性定理，然后把此 结论推j 到对拟单调向量均衡问题解的存在性研究，进而把其应用到拟单调 2 筇。章绪论 向量变分不等式问题y c h i a n g 等人【9 1 运用s h i o j i 1 0 提出的广义f a n k k m 定理 和o e t t l i 1 1 1 中提出的标量化方法研究了含有三元向量函数的广义向量均衡问 题强解和弱解的存在性j y f u 1 2 1 、l j l i n 和w p w a n 1 3 分别研究了含有集 值映射的广义向量均衡问题，前者利用k k m 定理，后者主要运用k k m 型定理证 明了其解的存在性定理x p d i n g 1 4 提出了有限连续空间( 简称f c 一空问) 的概 念并证明了f c 一空间上集值映射的k k m 型定理，使得许多学者能够把均衡问题 放在f c 一空间上来研究m f a n g ：手h n j h u a n g 1 5 ，x p d i n g 和t m d i n g 1 6 就是 在f c 一空间上提出广义向量均衡问题的，因为f c 一空间没有凸结构，文中对映射 的假设条件更加弱化，且利用k k m 型定理证明了其解的存在性定理 q h a n s a r i 和j c y a o 1 7 1 、x p d i n g 3 1 分别运用f a n - b r o w d e r 型不动点定 理( 【1 8 】) 研究了动锥情况下的广义向量均衡问题和含有三元函数的广义拟 均衡问题解的存在性l j l i n 不f l s p a r k 1 9 在广义凸空间( 又称g 一凸空间) 上 提出f a n b r o w d e r 型不动点定理，并运用此定理研究了一些均衡问题，拟均 衡问题和广义拟均衡问题解的存在性z l i n 和j y u p 0 研究了广义向量拟 均衡问题，并运用k a k u t a n i f a n g l i c k s b e r g 不动点定理f 见 2 7 1 ) 证明了其解的 存在性定理q h a n s a r i 等人【2 1 】提出了向量均衡系问题，并引进标量化函 数，利用q h a n s a r i 和j c y a o 2 2 提出的不动点定理证明了其解的存在性定理 l j l i n 等人f 2 3 1 ，x p d i n g 等人f 2 4 1 分别在g 一凸空间研究均衡问题，前者研究了 集值映射的动锥情况下的向量均衡问题，并且使用l j l i n 和z t y u 2 5 1 提出的 不动点定理证明了其解的存在性定理，后者提出了广义向量拟均衡问题，首先 利用x p d i n g 2 6 1 巾提出的不动点定理证明了广义对策的均衡点存在定理，然 后用此结论研究了广义向量拟均衡问题s j l i 等人f 2 8 1 运用非线性标量化函数 和2 7 1 中提出的k a k u t a n i f a n g l i c k s b e r g 不动点定理研究了广义向量拟均衡问 题b d j a f a r ir o u h a n i 等人2 9 1 推广了f 1 8 1 提出的不动点定理，三个人又在【3 0 1 中 利用f 2 9 1 提出的不动点定理研究了关于单调族函数的均衡问题 l j l i n 和y j h u a n g 3 2 运用极大元定理研究了多种形式的广义向量拟均衡 问题的解的存在性，且提出了两个集值映射的共同不动点定理l j l i n 和w s d u 3 3 使e k e l a n d 变分原则在完备空间上研究了非凸均衡问题m b i a n c h i 等 人3 4 1 在欧氏空问上研究了标量均衡问题和标量均衡系问题，文中首先证明 了e k e l a n d 变分原则，然后用此原则分别证明了两种均衡问题解的存在性定理 他们又在f 3 5 1 中以完备空间为背景，首先研究了向量e k e l a n d 变分原则，然后用此 结论证明了向量均衡问题解的存在性定理q h a n s a r i $ i l f f l o r e s - b a z a n 3 6 0 3 第一章绪论 用回收锥方法研究了广义向量均衡问题解的存在性o c h a d l i 等人【3 7 】假设函数 是拓扑伪单调的，然后运用k k m 定理研究了标量均衡问题解的存在性，并使用 正则化程序证明了正则均衡问题解的存在性定理 纵观国内外对均衡问题解的存在性的研究，我们可以看出，人们主要利用了 四种方法：k k m 定理，极大元定理，不动点定理和变分原则从对函数( 映射) 的 要求条件看，k k m 定理主要需要凸性或广义凸性和单调性或广义单调性；极大 元定理则需要连续或弱连续性和凸性或广义凸性，有时需要单调性或广义单调 性；不动点定理主要需要连续或弱连续性和凸性或j “义凸性；变分原则主要需要 连续或弱连续性四种方法侧重点不同，但还没有文献对其进行比较若把它们 的之问的联系与区别研究一下，找出各种方法的适用范围，那么在研究如优化等 问题时日j 以容易找到更方便更有效的解决方法 1 3 本文主要内容 针对研究均衡问题解的存在性的四种主要方法，本文分别由相同或相近的 均衡问题出发，对四种方法进行两两比较，其结构安排和内容提要如下： 第一章为绪论，概述均衡问题研究的发展脉络和目前国内外对其研究状况； 第二章是本文的预备知识 第三章丰要是k k m 定理分别与不动点定理、极大元定理的比较我们首先 给出三个定理，然后给出分别用这三种方法研究均衡问题解的存在性的定理 最后我们分别详细描述了它们之问的联系和区别，以及相互转化时需要的条件 第四章讨论了不动点定理和极大元定理的比较首先给出k a k u t a n i f a n g l i c k s b e r g 不动点定理，然后给出运用此定理和极大元定理证明均衡问题解的存 在性的定理的结论，最后详细比较了它们之间的联系与区别，以及棚互转化时需 要的条件 第五章主要是在研究标量均衡问题解的存在性基础上把e k e l a n d 变分原则 分别和k k m 定理、极大元定理进行比较，给出它们之间的区别与联系，以及相 互转化时需要的条件 第六章首先给出e k e l a n d 变分原则的向量形式定理，然后运用此定理和不动 点定理研究向量均衡问题解的存在性，最后比较了两种方法的区别与联系 4 第二章预备知识 本章回顾本文涉及到的一些基本概念和结论，为后面章节的探讨做初步准 定义2 1 【3 8 】设x 是拓扑空间，函数妒：x _ 冗称为在x 上是上半连续的，如 果对任意一网 z 。) a acx ( a 是指标集) ，当z a 一跏时，有 妒( z o ) l i m s u p 妒( z 。) ，v x o x $ o - - - + x 0 引理2 1 1 3 8 】设x 是拓扑空间，函数妒：x 一冗是上半连续的，则对每 一r 冗，集合g ，= z x ：v ( x ) r ) 是x 中的闭集 定义2 2 1 3 6 ( k ) 称为是由非平凡闭凸锥kcy 作序的，若z ky y z k ，v x ，y k 定义2 3 ( 见【4 4 和 45 】) 设x 是一个拓扑向量空间，( y k ) 是由非平凡闭凸 锥kcy 作序的局部凸窄间，向量函数f ：x _ y ( 1 ) 称为在点z o x 上是上半连续的，若对于f ( x o ) 的任何开邻域y ，都存 在z o 的开邻域，使得对于所有的z u ，有 f ( x 1 v k 称为在x 上是上半连续的，若在所有的点z x 上，都是上半连续的 ( 2 ) 称为在点z o x 上是下半连续的，若对t - f ( z o ) 的任何开邻域y ，都存 在z o 的开邻域u ，使得对于所有的z u ，有 f ( x ) v + k 称为在x 上是下半连续的，若在所有的点z x 上，都是下半连续的 笫_ 章预箭知识 ( 3 ) 称为在点z o x 上是拟下半连续的，若对于使得6 聋f ( x o ) + k 成立的任 何b y ，都存在z o 的开邻域u ，使得对于所有的x u ，有 b 隹f ( x ) + k 称为在x 上是拟下半连续的，若在所有的点z x 上，都是拟下半连续的 定义2 4 设x ，y 是两个拓扑向量空间，集值映射f ：x _ 2 y 称为在x 上是 上半连续的，如果对于每个z o x 和任意一个包含f ( x o ) t ) 勺 邻域y ，存在x o 的 开邻域u ，使得对于所有的x u ，都有 f ( x ) cv 定理2 1 1 3 9 】设x ，y 是两个拓扑向量空间，集值映射t ：x 一2 y 如果是具有 紧值的上半连续映射，则对于任何紧集kcx ，集合t ( k ) = u z k 在y 巾都是紧 的 定义2 5 2 0 】设x 是h a l l s d o r f f 拓扑空间，y 是b a n a c h 空间，k 是x 的非空子 集，集值映射f ：kh2 y 称为在z o k 上是c 一上半连续的，如果对于y 的零 点口的每个开邻域y ，k 中都存在z o 的开邻域o ( z o ) ，使得，对于每个z o ( x o ) ，有 f ( z ) cf ( x o ) + v + c f 称为在k 上是c 一上半连续的，如果它在k 中每个点上都是c 一上半连续的 定义2 6 ： 4 1 】设c 是欧氏空间的凸子集，函数f ：c _ 冗 ( 1 ) 称为拟凸的，如果对任意剪l ，y 2 c ( y l 钝) ，a 【0 ，1 】，有 ，( a 可1 + ( 1 一入) 耽) sm a x f ( y 1 ) ，( 沈) ) ( 2 ) 称为半严格拟凸的，如果对任意秒l ，y 2 c ( y l v 2 ) ，入【0 ，1 】，有 f ( w ) 时，r ( 扩，才) c - - i n t g 与( 4 1 ) 矛盾所以x o 正，正是闭集，即l k = z k ：g i ( x ) n & ( z ) d ) 是开 集 不失一般性，我们假设i 职0 对于每个z x 和y i 最( z ) ，有只( z ，y i ) c - - i n t g ，则存在0 i 的开邻域k ， 使得只 ，y i ) + c z m g 由条件( 3 ) 知，存在y i 的开邻域u ( 玑) ，使得对于任 意y ，u ( 玑) 有 e ( z ，驴) ce ( z ，玑) + k gc - i n t c f gc - i n t c j f ， 1 8 第四节不动点定理和极大元定理 所以驴& ( z ) ，所以u ( 犰) c & ( z ) ，即& ( z ) 是开集由条件( 4 ) 易证最( z ) 是凸集 定义集值映射只：k _ 2 峨u d ) 只( z ) = i n t g i ( x ) n & ( z ) ，v z k 因为对于每个z m ，g ；( z ) 是凸集和i n t g t ( z ) 0 ，则只( z ) 是非空凸集 对于每个y i 只( z ) ，y i i n t g t ( z ) 且犰s i ( z ) 前者可推出集合 z k ：y i i n t g ( z ) ) 是开集( 见引理( 4 2 ) ) 后者可推出e ( z ，犰) c - i n t g ，由条 件( 3 ) 知存在z 的开邻域d ( z ) ，使得比，d ( z ) ，有只( z ，y i ) c 鼠( z ，y i ) + k gc i n t g gc - i n t g ，可推出o ( x ) c z k ：y i & ( z ) ) ，a l j x k ： y i & ( z ) ) 是开集所以，对于每个玑只( z ) ，集合耳1 ( 犰) = z k ：y i i n t g x ) n & ( z ) ) 是开集则i t l i ；i 理( 4 1 ) 知，只i m 有连续选择五：姒_ 对于每个i i ，定义集值映射h i ：k 一2 c z ，= 錾匕，三主警i 玩 显然，对于每个z k ，鼠x ) 是上半连续的，且具有非空紧凸值由【5 l 】中的 定理7 1 1 5 - i 集值映射h ：k _ 2 k ( 定义奠j h ( x ) = 丌蒯h i ( z ) ) 是闭集，且具有 凸值山k a k u t a n i f a n g l i c k s b e r g 不动点定理( 4 1 ) 失h h 有不动点，即存在虿k ， 使得虿日( 虿) 条件( 2 ) 可推出对于每个i i ，石岳i n t g ( z ) n & ( 虿) ，即对于每 个i i ，磊 ( z ) 所以对于每个i i ，石g f ( 虿) 且r ( 虿，绋) nk ( - i n t a ) d ，v y i g ( 虿) 定理得证 下面我们运用极大元定理证明其解的存在性定理： 定理4 3 对于每个i i ，设x 和是b a n a c h 空间，k 是x 非空凸子集， g 是k 的闭凸点锥，且内部i 耐g d 令k = 兀列k ，g i ：k _ 2 k 和只： k k _ 2 k 是集值映射，= z k ：玩g i ( z ) ) 在k 上是闭集对于每 个i i ，假设以下条件满足： ( 1 ) g i 具有非空凸值，且对于每个饥k ，g f l ( 玑) 在k 上是开集； ( 2 ) 对于每个z k ，如果x i g t ( z ) ，那么只x ，x i ) nk ( 一i n t g ) d ，其 中既是x 的第i 个分量； ( 3 ) 对于每个y i k ，e ( ，玑) 在k 上是g 一上半连续的； 1 9 筇四章不动点定理和极大元定理 ( 4 ) 对于每个z k ，只( z ，) 是g 一类拟凸的； ( 5 ) 对丁每个i i ，存在k 的非空紧凸子集批和k 的非空紧子集m ，使得对 于所有的z k m 和每个i i ，都存在y i mn g i ( x ) ，满足只( z ，y i ) - i n t c ， 那么( s g v q e p ) 至少有一个解 证明：定义集值映射& ( z ) ：k _ 2 尬 & ( z ) - - - - i 可t ：e ( z ，y i ) c - i n t c ) ，v x k 先证& ( z ) 是凸集设任意的y 1 ，珑& ( z ) ，则r ( z ，y 1 ) c i n t c t ，只( z ，y 2 ) c i n t c i 和y = t y l + ( 1 一t ) y 2 ，t ( 0 ，1 ) ，由条件( 4 ) 知 r ( z ，y ) 或 只( z ，y ) c 尻( z ，可1 ) 一g c - i n t g a c - i n t g ， cr ( z ，y 2 ) 一g c - i n t g g c - - i n t g ， 所以y & ( z ) ，s ( z ) 是凸集 下证对于每个y l ，爵1 ( 玑) 在k 上是开集给定z s , - 1 ( 犰) ，y & ( z ) ， 则只( z ，y i ) c i n t g 那么存在m 的零点统的邻域k ，使得只( z ，犰) + kc - i n t g 因为鼠( ，犰) 是g 一上半连续的，所以存在x 的邻域d ( z ) ，使得对所有z 7 d ( z ) ， 都有 只( z ，y i ) c 只( z ，y i ) + k gc - - i n t g gc - i n t c i 所以玑& ( z ，) ，即z 7 耳1 ( 犰) ，所以d ( z ) cs f l ( 犰) ，s i - 1 ( 玑) 是开集 对于每个i i ，定义集值映射只：k _ 2 托 只c z ，= o s d x o d ，都存在虿d ，使得 证明：不失一般性，我们仅证明e = 1 的情况定义r ( x ) f ( x ) = y d ：s ( x ，可) + i iy z | | o ) ，v z d 由条件( i ) 知l 地d ，f ( z ) 是闭集由条件( i i ) 知l x f ( z ) ，即对于每个z d ， j f l ( z ) 是非空的设y f ( z ) ，贝1 j f ( x ，可) + i iy zi i 0 ，设z f ( y ) ，则，( 可，z ) + l i y z | i 0 两个不等式才h , d r lh条件( i i i ) 我们可以得到 0 s ( x ，可) + | | y zl l + ，( 可，z ) + i iy zi i s ( x ，2 ) + i f 名一z 即z f ( z ) 所以可f ( x ) 兮f ( y ) f ( z ) 一z * zd仉比 一z i z 旧一一 e h + 砖 丑 一z ， ，-，、-_， 第j k 章变分原则、k k m 定理及极大元定理 定义： 对于每个z f ( z ) ，有 z 一名i l - y ( x ，z ) u ( z ) = 。i f n f ) ，( z ，z ) s u p z e f ( x 、( 一，( z ，名) ) = 一。耋 t x 、) ，( z ，z ) = 一u ( z ) 、z t ， 即| | x 一名i i 一钞( z ) ，v z f ( z ) 特别地，取比1 ，x 2 f ( z ) ，有 则 x l x 2| iz x l l + i lx x 2i l - v ( x ) 一u ( z ) = 一2 v ( x ) ， d i a m ( f ( x ) ) 一2 钞( z ) ，比d 固定x o d ，由下确界定义知存在z 1 f ( x o ) ，使得 用x 2 f ( z 1 ) 表示使 y ( x o ，x 1 ) v ( x o ) + 2 y ( x 1 ，z 2 ) v ( z 1 ) + 2 - 2 成立的点 以此类推，我们定义序n x n ) cd 使得z n + 1 f ( z n ) 且 注意到， 由( 5 1 ) 知 厂( z 。，z n + 1 ) 钉( z n ) + 2 一( n + ( z t l + 1 ) = i n 毛e f ( x n + 1 ) ，( z n + 1 ，y ) i n f y e f ( z 。) ，( z n + 1 ，y ) i n f ! ，f ( 。) ( ，( z n ，y ) 一y ( z n ，x n + 1 ) ) ( i n f 掣f ( 。) ，( z n ，剪) ) 一y ( z 。，x n + 1 ) 一v ( x n ) 一，( z 。，z n + 1 ) 一 ( z n ) 一，( z n ，x n + 1 ) + 2 一( ，l + 1 ( 秽( + 1 ) 一v ( x n ) ) + 2 一+ ， 2 4 ( 5 1 ) 第一k 章变分原则、k k m 定珲及极大元定理 则 所以 0 v ( x n + 1 ) + 2 - ( ， d i a m ( f ( x 。) ) - 2 v ( z 。) 2x2 咄一0 ，n 一。o 因为f ( x n ) 是闭集f i f ( x 。+ 1 ) cf ( x 。) ，所以n 。f ( x n ) = 虿) 因为虿f ( x o ) ， 所以有 i ( 2 ：o ，虿) + i | z o zl i 0 另外，虿f ( z 。) ，n = 1 ，2 ，且f ( 面) f ( x 。) ，n = 1 ，2 ，所以f ( z ) = 虿) ，可推出当x 虿，z 譬f ( 虿) 即 ，( - ，z ) + i i 虿一zi 0 定理得证 【3 5 】运用以上变分原则证明了标量均衡问题( e p ) 解的存在性定理： 定理5 1 2 3 5 】设x 是欧氏空间，d 是x 的紧子集，函数f ：dxd 一冗若满 ( i ) 对于任意z d ，( z ，) 是下半连续的且有下界； ( i i ) 对于所有s j x d ，( z ，z ) = o ； ( i i i ) 对于任何z ，y ，z d ，s ( z ，x ) ，( 2 ，y ) - fi ( y ，z ) ； ( i v ) 对于任意y d ，( ，) 是上半连续的， 贝j j ( e p ) 的解集非空 证明：对于每个n n ，设z 。d 疋e l 互l 一均衡点( 由定理( 5 1 1 ) 知这样的点存 在) ，即 ，( z n ，y ) 一去1 1z n yl l ，v y d 因为d 是紧集，取 z 。) 的子y t j x 几。) ，使得七一虿( 几一。) 那么，山条 件( i v ) ，有 1 ，( 虿，y ) l i ms u p ( s ( x 。) + i in k yi i ) 0 ，v y d ， 詹_ + o oo 尼 2 5 筇五章变分原则、k k m 定理及极大元定理 所以z 是( e p ) 的一个解 以下定理研究了d 是非紧集时( e p ) 的解的存在性： 定理5 1 3 3 5 】设x 是欧氏空问，d 是x 的闭子集，函数：d d _ 冗若满 足： ( i ) 对于任意z d ，y ( x ，) 是下半连续的且有下界； ( i i ) 对于所有的z d ，s ( x ，z ) = o ； ( i i i ) 对于任何z ，y ，z d ，( z ，z ) s ( z ，y ) + f ( y ，z ) ； ( i v ) 对于任意y d ，( ，秒) 是上半连续的； ( v ) 存在7 0 ，使得v x d 琢，3 y d ，0yi i 1 izi i ：( x ，y ) so ，其 中坼= z d ：i izi i 7 ) ， 贝l j ( e p ) 至少有一个解 证明：不失一般性，我们假设珞非空考虑以下非空集： s ( x ) = 矽d ：l iyf i 1 lzi l ：f ( x ，! ) o ) ，比d 容易看出对于任意的z ，y d ，y s ( x ) 兮s ( y ) s ( z ) 事实上，对于z s ( 可) ，有| 1 名i i | iyl i 1 iz l 且由条件( i i i ) 矢 i f ( x ，z ) ，( z ，y ) - ! - f ( y ，z ) 0 另一 方面，因k i | z | | 是紧集，由条件( i ) 我们可以得到对于任意的z d ，s ( x ) k i i z l | 是 紧集另外，南定理( 5 1 2 ) 知存在群，使得 ( x ，影) 0 ，v y 虬( 5 2 ) 假设存在x d 使得，( 坼，z ) o 令o = m m u e s ( z ) l iy | i ( 这个最小值可以得 到，因为s ( z ) 是非空紧集且范数是连续的) 下面分两种情况考虑： ( 1 ) a r 设y o s ( z ) 使得0 珈i i = a r ，那么，( z ，y o ) 0 因为( x ，z ) ，那么由条件( v ) 知，选择们 d 且0y li i i | 蜘i i = n 使得f ( y o ，y 1 ) 0 ，贝j j y l s ( y o ) s ( z ) ，与| iy 1i i a = m i s ( z ) i lyi i 矛盾所以，不存在z d 使得，( ，z ) 0 即研是( e p ) 的一个 解定理得证 下面我们运用k k m 定理研究其解的存在性： 定理5 1 4 设x 是h a u s d o r f f 拓扑空间，d 是x 的凸子集，函数f ：dxd 一 冗若满足以下条件： ( i ) 对于所有的z d ，f ( x ，z ) = o ； ( i i ) 对于任意y d ，( ，可) 是上半连续的； ( i i i ) 对于任意z d ，f ( x ，) 是拟n 的； ( i v ) 存在d 的紧凸子集k 和y + k ，使得对于每个z d k ，f ( x ，y + ) 0 ， 则存在虿d ，使得 f ( x ，y ) 0 ，v y d 证明：定义集值映射q ：d 一2 d q ( y ) = x d ：f ( x ，y ) o ) ，v y d 易知对于任意y d ，q ( y ) 是k k m 映射事实上，若q ( 可) 不是k k m 映射， 则存在d 的有限子集( 可l ，) 和y = ：1 玑，其中t i o ，v i 1 ，礼) ， 且銎1 屯= l ，使得秒隹u 5 ，q ( 玑) ，则对于任意i 1 ，n ，y 聋q ( y t ) ， 即，( y ，y i ) 0 由条件( i i i ) 矢h f ( y ，y ) f ( y ，y i ) 0 ，与条件( i ) 矛盾 由条件( i i ) 和引理( 2 1 ) 知对于任意y d ，q ( 可) 是闭集由条件( i v ) 知，对于 每个z q ( 矿) ，有x k ，( 因