（应用数学专业论文）向量均衡及其有效性.pdf

中 文 摘 要 向量 均衡和有效性问题涉及最优化、 投资决策、经济模型、最优控制和管理科 学等许多领域，同时也包括诸如极值、变分、鞍点、向量隐补和变分不等式等数学 问 题， 许多结果己 在经济均衡理论、 对策论和经济管理等方面得到广泛应用. 本文在 拓扑向量空间框架内通过拓扑和分析等工具研究向量均衡、 有效性和变分不等式等 问题，具体包括如下内容: 1概述有关向量均衡、 有效性和变分不等式等问 题的发展脉络及其研究现状， 举 例说明向量均衡问题包含最优化、 变分不等式、鞍点和向量隐补等问题. 2 . 研究拓扑向量空间 之间二元映射的向 量均衡问 题， 得到弱向 量均衡问题解的 存在性结果. 讨论锥伪单调、锥拟凸、锥严格拟凸映射在次连续条件下的向量均衡 问 题， 给出 几类向 量均衡问 题解之间 的 关系 ， 通过k y f a n 不动点定 理证明向 量均 衡 问题解的存在性， 得到拟单调映射对在次连续条件下的向量均衡问题与向量隐补问 题解的存在性和相互关系. 3 . 建立映射在线性 g a t e a u x可 微条件下关于可变锥的 广义弱有效解的存在性及 多目 标凸向量优化问题在 g a t e a u x可微条件下弱有效解的特征，利用集值映射不动 点定理及向量优化与变分不等式的关系证明线性g a t e a u x可微锥凸映射关于可变锥 的广义弱有效解的存在性定理 给出一类非凸向量优化弱有效解与一变分不等式问 题解的等价性和解的存在性. 讨论局部凸拓扑向量空间中凸函数的全局最优解， 用 水平函数、卜次微分及法向 锥和共辘函数等工具刻画其最大值点， 得到最优解的几 个等价形式. 4 . 在拓扑向量空间框架内 研究广义锥次类凸映射的向童优化，给出了广义锥次 类凸 映 射的k u h n = t u c k e r 和f r i t z j o h n 鞍点的 最优性条件 和l a g r a n g e 对偶 ， 建 立鞍点 最优性条件与向量优化有效解和弱有效解之间的联系. 通过适当定义对偶问题和向 量优化问 题的标量化研究各解之间 的关系， 刻画目 标映射满足弱凸性条件的 优化问 题解的特征， 在目 标映射是广义锥次类凸的条件下给出 有关的对偶定理 利用集合 在某点的相依切锥、法向 锥和可行方向 锥等研究凸 集的有效点、弱有效点 和真有效 点， 讨论集合关于锥的局部有效点、局部弱有效点和局部真有效点与集合的各锥之 间的关系， 对其进行锥刻画. 5 . 研究广义锥似凸映射的g o r d a n - f a r k a s 型定理， 给出它们在无限维空间向量优 化问 题中的 某些 应用， 得到强l a g r a n g e 对偶和 鞍点 条 件等结果， 将 有限 维空间向 量 函数优化的有关结果推广到两拓扑向 量空间之间的映射上， 6 . 引入垂直点和半连续概念对半严格拟单调集值映射的广义变分不等式及其对 偶问 题解的 存在性进行研究. 提出拓扑向量空间到其共辘空间的映射与一凸函数联 系的广义变分不等式问 题， 建立该广义变分不等式问题的解与映射值和凸函数次 微 分的 关系 ， 通过g a p 函 数及 对偶问 题得到 解的 存在性. 给出 强单调l ip s c h i t z 映 射广 义变分不等式 解的 唯一性 利 用拓扑向 量空间 到连续线性映 射空间l ( x , y ) 的映射 的弱向量变分不等式和与之相关的标量型变分不等式解集的关系， 得到标量型变分 不等式解集所表征的集值映射的特性和弱向量变分不等式解集的连通性条件. 关键词: 向盆均衡有效解有效点广义凸映射变分不等式 abs tract v e c t o r e q u i l ib r i u m a n d e f fi c i e n c y a re e x t e n s i v e p r o b l e m s i n v o l v e d i n m a n y s u b j e c t s a n d p r a c t i c a l f i e l d s s u c h a s o p t i m i z a t i o n , i n v e s t m e n t d e c i s i o n , e c o n o m y m o d e l , o p t i m a l c o n t r o l a n d e n g i n e e r i n g t e c h n o l o g y , a n d c o n t a i n a l o t o f s p e c i f i c m a t h e m a t i c s t h e o ry p r o b l e m s s u c h a s e x t r e m e v a l u e , v a r i a t i o n , s a d d l e p o i n t , v e c t o r i m p l i c i t c o m p le m e n t a r i ty a n d v a ri a t i o n a l i n e q u a l i ty , e t c . m a n y r e s u l t s h a v e b e e n a p p l i e d t o e c o n o m y e q u i l i b r i u m , g a m e , e c o n o m y m a n a g e m e n t a n d s o o n . i n t h i s p a p e r , t h e p ro b l e m s o f v e c t o r e q u i l i b r i u m a n d e ff i c i e n c y a r e r e s e a r c h e d w i t h t h e t o o l s o f a n a l y s i s a n d t o p o l o g y i n t h e c as e o f t o p o l o g i c a l v e c t o r s p a c e . f o r d e t a i l , i t c a n b e s t a t e d as f o ll o w s : 1 . a s u r v e y f o r v e c t o r e q u i l i b ri u m , e f fi c i e n c y a n d v a r i a t i o n a l i n e q u a l i ty i s p r e s e n t e d . wi t h a f e w o f e x a m p l e s i n f i n i t e d i m e n s i o n a l c ase , w e s h o w t h e v e c t o r e q u i l ib ri u m p r o b l e m s c o n t a i n i n g m a n y t y p i c a l m a t h e m a t i c a l p r o b le m s s u c h a s o p t i m i z a t i o n , v a r i a t i o n a l i n e q u a l it y , s a d d l e p o i n t a n d v e c t o r i m p l i c i t c o m p l e m e n t a r i ty . 2 . t h e v e c t o r e q u i l i b ri u m p r o b l e m s f o r b i - v a r i a b l e m a p p i n g fr o m a t o p o l o g i c a l v e c t o r s p a c e t o a n o t h e r a r e r e s e a r c h e d . t h e e x i s t e n c e t h e o r e m s o f s o l u t i o n s f o r w e a k v e c t o r e q u il i b ri u m p r o b l e m s a r e s h o w n . t h e v e c t o r e q u i l i b ri u m p ro b le m s o f c o n e p s e u d o - m o n o t o n e , c o n e q u as i - c o n v e x , c o n e - s t r i c t l y q u as i - c o n v e x m a p p i n g s w i t h h e m i - c o n t i n u ity a r e d i s c u s s e d . t h e re la t i o n s h i p s o f s o l u t i o n s a m o n g t h e m a r e o b t a i n e d . w i t h k y f a n s f i x e d - p o i n t t h e o r e m , t h e e x i s te n c e s o f s o l u t i o n s a re p r o v e d . t h e e x i s t e n c e a n d r e l a t i o n s h i p s o f s o l u t i o n s o f v e c t o r e q u i l i b ri u m a n d v e c t o r i m p l i c i t c o m p le m e n t p r o b l e m s f o r q u a s i - m o n o t o n i c a n d h e m i - c o n t i n u o u s m a p p i n g a r e s h o w n . 3 . t h e e x i s t e n c e t h e o r e m o f g e n e r a l i z e d w e a k e ff i c i e n t s o l u t i o n s w i t h r e s p e c t t o v a r i a b l e c o n e f o r a l i n e a r g i t e a u x d i ff e r e n t ia b l e m a p p in g i s p r o v e d w i t h s e t v a l u e d m a p p i n g f ix e d - p o i n t t h e o re m a n d t h e r e l a t i o n b e t w e e n a v e c t o r o p t im i z a t i o n a n d a v a r i a t i o n a l i n e q u a l i ty p ro b l e m . t h e e x i s t e n c e o f w e a k e f f i c ie n t s o l u t i o n s f o r m u l t i - o b j e c t iv e c o n v e x v e c t o r o p t i m i z a t i o n i s c h a r a c t e r i z e d . e x i s t e n c e a n d e q u i v a l e n c e o f s o l u t i o n s f o r a n o n - c o n v e x v e c t o r o p t im i z a t i o n a n d a v a r i a t i o n a l i n e q u a l i ty a r e p re s e n t e d . b y l e v e l f u n c t i o n , s - s u b d i ff e re n t i a l , n o r m a l c o n e a n d d u a l f u n c t i o n , g l o b a l o p t i m a l s o l u t i o n s f o r a c o n v e x f u n c t i o n i n l o c a l l y c o n v e x t o p o l o g i c a l v e c t o r s p a c e a n d a f e w o f e q u i v a l e n t f o r m s o n i t a r e o b t a i n e d . m a x i m u m p o i n t s a r e c h a r a c t e ri z e d . 4 . t h e o p t i m a l i ty c o n d i t i o n s o f k u h n - t u c k e r a n d f ri t z j o h n s s a d d l e p o i n t s o f v e c t o r o p t i m i z a t i o n f o r g e n e r a l i z e d s u b c o n v e x - l i k e m a p p i n g a r e p r e s e n t e d . l a g r a n g e d u a l m a p p i n g a n d r e l a t i o n s h i p s a m o n g o p t im a l i t y c o n d i t i o n s o f s a d d l e p o i n t s , e f f i c i e n t a n d w e a k e f f i c i e n t s o l u t i o n s f o r v e c t o r a n d s c a l a r o p t i m i z a t i o n a r e e s t a b l i s h e d . b y l a g r a n g e d u a l a n d s c a l a r i z a t i o n o f v e c t o r o p t i m i z a t i o n , c h a r a c t e r i z a t i o n s o f s o l u t i o n s f o r w h i c h o b j e c t i v e m a p p i n g s a t i s fi e s w e a k c o n v e x i ty c o n d i t i o n s a r e s h o w n . t h e s t r o n g l y a n d w e a k d u a l t h e o r e m s f o r g e n e r a l i z e d s u b c o n v e x - l ik e m a p p i n g a r e o b t a i n e d . wi t h t h e h e l p o f c o n t in g e n t , n o r m a l a n d f e a s i b l e d i r e c t i o n c o n e s f o r a s e t a t a p o i n t , t h e c h a r a c t e r i z a t i o n s o f p a re t o , w e a k a n d p r o p e r e ff i c i e n t p o i n t s f o r c o n v e x s e t a r e p r e s e n t e d . i n n o n - c o n v e x c a s e , l o c a l l y e ff ic i e n c y i s d i s c u s s e d . s e v e r a l k i n d s o f l o c a l l y e f f i c i e n t p o i n t s a r e c h a r a c t e r i z e d wi t h d i ff e r e n t c o n e s . 5 . g o r d a n - f a r k a s t y p e t h e o r e m s f o r s e v e r a l g e n e r a l i z e d c o n e s u b c o n v e x - l i k e a r e p r e s e n t e d . s o m e a p p l i c a t i o n s t o v e c t o r o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s i n i n fi n it e d i m e n s i o n a l s p a c e a r e s h o w n . t h e s t r o n g l a g r a n g e d u a l i t y a n d s a d d le p o i n t c o n d i t i o n a r e o b t a i n e d . i t g e n e r a l i z e d s o m e r e s u lt s o f v e c t o r f u n c t io n t o t h a t o f m a p p i n g i n t o p o l o g i c a l v e c t o r s p a c e 6 . t h e p e r p e n d i c u l a r p o i n t s a n d s e m i - c o n t i n u o u s c o n c e p t i o n s a r e i n t r o d u c e d , a n d t h e y a r e a p p l ie d t o e x i s t e n c e o f s o l u t io n o n g e n e r a li z e d v e c t o r v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s a n d d u a l p r o b l e m s f o r s e m i - s t r i c t l y q u a s i - m o n o t o n e s e t - v a l u e d m a p p i n g s . g e n e r a l i z e d v a r i a t i o n a l i n e q u a l i ty i n d u c e d b y a c o n v e x f u n c t i o n i s d i s c u s s e d . e x i s t e n c e o f s o l u t i o n i s o b t a i n e d w it h g a p f u n c t i o n p r o p e rt i e s a n d d u a l p r o b le m s . u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n f o r g e n e r a l i z e d v a r i a t i o n a l i n e q u a l it y r e l a t e d t o s t r o n g l y m o n o t o n e l i p s c h i t z m a p p i n g i s s h o w n . a s u ff i c i e n t c o n d it i o n i s p r e s e n t e d o n t h e c o n n e c t e d n e s s o f s o l u t i o n s e t f o r t h e w e a k v e c t o r v a r i a t i o n a l i n e q u a l i ty o n w h i c h t h e m a p p in g i s fr o m a t o p o l o g i c a l v e c t o r s p a c e x t o l ( x , y ) ， w h e r e y i s a l s o a t o p o l o g i c a l v e c t o r s p a c e . t h e r e s u lt i s d e r i v e d b y d i s c u s s i n g t h e p r o p e rt i e s o f s e t - v a l u e d m a p p i n g i n d u c e d b y s o l u t i o n s e t o f a s c a l a r v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t y r e l a t e d t o t h e w e a k v e c t o r v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t y . k e y w o r d s : v e c t o r e q u i l i b r i u m ge n e r a l i z e d c o n v e x e f f i c i e n t s o l u t i o n s e f f i c i e n t p o i n t s m a p p i n g s v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s . 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果. 尽我所知， 除了文中特别加以标注和致谢中 所罗列的内容以 外， 论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果; 也不包含为获得 西安电 子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料. 与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并 表示了谢意. 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关贵任. 本人签名 孩石 如 日 期:z d 丝. 1 1 , i s 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定， 即 ; 学校有权保留送交论文的复印件， 允许查阅和借阅论文; 学校可以 公 布论文的全部或部分内容， 可以允许采用影印、 缩印或其他复制手段保存 论文.( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本人签名日 期: 导师签名日 期: z-3 - t j - t * * 第一章 绪论 第一章 绪 论 1 . 1 引言 在最优化、投资决策、经济模型、最优控制和工程技术等领域中的许多实际 问 题的 描述都 可归 结为 均 衡问 题 n - a l ，由 于它 所包含问 题的 广 泛性和解决问 题的 深 刻性使得各种类型的向1t 均衡优化问 题受到极大关注. 近年来关于有限维空间向 量函 数的 各种 类型的向 量 均衡 优化问 题得到 广泛和深 入的 研究 19 -2 11 ， 许多结果己 在 经济 均衡理论、 对 策 论和 经济管 理等 诸多 方面得到 广泛 应用 d - 1 o l 并逐渐显 示其重 要 性. 成为多目 标规划理论研究的一个重要核心内容. 设e 是r 的 非空 子 集 ， f : e x e 一r 是 一函 数 ， 如 下 的 均 衡问 题 1. 13 1: 找 y o 任 e 使 ( e p ) f ( x , y o ) 0 ( v x e e ) . 是许多学科和实际领域所涉及的一类广泛问题，同时它也涵盖了诸多典型的数学 问题， 如最优化、变分不 等式、鞍点和向 量隐补等问 题 为方便计， 本文中 各种空间的零向 量和数字零均用“ 0 ” 表示. 例l i 最优化问 题 当 取f ( x , y ) = (p ( y ) 一 v ( x ) 其中(p : e 一r ， 则均衡问 题( e p ) 即 是 最 优化问 题: 找y o e e 使 w ( y o ) ( ( x ) ( 介e e ) . 这时y 。 是尹 的 最优解，e 可看成 是v 的 可行 解 集. 例1 . 2 鞍点问题 设u与v都是非空子集，g: ux v - -)- r 是一个函数.取 f ( ( u , v ) , ( u , , v , ) ) = g ( u , , v ) 一 g ( u , v , ) ( v ( u , v ) , ( u , , v i) 。 e = u x v ) 这时 均 衡问 题( e p ) 成 为 : 找y 0 = ( u o , v o ) e e使 f ( ( u , v ) , ( u o , v o ) ) = g ( u o , v ) 一 g ( u , v 0 ) 0 ， 即 g ( u o , v ) g ( u , v o ) ( v ( u , v ) e e ) . 在上 式中 分 别 取u = u 0 和 ， = v 。 知v ( u , v ) e e 有 g 帆, v ) s g ( u a v o ) g ( u , v o ) . 西安电 子科技大学博士 学位论文:向 量均衡及其有效性 它 是 一 个 鞍点问 题( 其中( u o , v o ) 是j 一 个 鞍点 ) . 例1 .3变分不等式问题 设e cr , 4 : e - + r ” 是一函数，当取 f ( x , y ) = ( v x , y (= e ) 时， 均衡问 题( e p ) 是 变分不 等式问 题: 找y o e e 使 _ 0 ( 竹 e ) . 若另有h : e x e一r ，并取 ax , y ) = ( v x , y e e ) ， 则均衡问题( e p ) 是广义似变分不等式问题 例1 .4 向量补问题 设0 e ecr ，a : e一r ，令 k= ( v e r : _ 0 , v x e e ， 则k是r ” 的凸锥且o e k.当取 ax , y ) = ( d x , y e ) 并 要 求 均 衡问 题 ( e p ) 中 的 y o e e 且a y , s k 时 ， 则 均 衡问 题( e p ) 成为向 量补问 题: 找y o e e使 a y o e k 且 = 0 . 若f : e x e 一r , 川= ( xx 2 , - , x ) : x , z 0 , f = 1 ,2 , . . . , n ) , 类 似于 均 衡问 题 ( e p ) 有关于多目 标向 量均衡问 题 ( m e p 1 )找y o e e 使 f ( x , y o ) o i n t r ( b x e ) , 或( m e p 2 )找y o e e 使 f ( x , y o ) o r ; 1 0 ) ( v x e e ) . 这时 相 应于 例1 . 1 的y 。 分别 是q, 的 弱有效 解或有效 杯- 第一章 绪论 鉴于有限维空间均衡问题在最优化理论中所显示的日益重要性及最优控制与 决策中出 现大量与无限维空间的向量均衡有关的问题， 近年来无限维空间的向 量 均衡问 题也日 益引 起人们的 浓厚兴 趣1 4 - 2 11， 其 研究涉及 线性与 非线性分析、 拓扑 向 量格、 偏序理论和抽象空间中的几 何理论等领域， 成为优化理论中一个活跃的 研 究方向. 设x和y 是实h a u s d o rf拓扑向 量空间，e 是x的非空子集， c 是y 的具有 非空内部i n t c的闭凸尖锥. f : e x e - 3 y 是一个二元映射， 无穷维空间的向 量均 衡问 题( v e p ) 是: ( v e p 1 ) 找y o e e 使 f ( x , y o ) e i n t c ( v x e e ) , 或( v e p 2 ) 找y o e e 使 f ( x , y o ) 0 c1 0 ( 介e e ) . 向 量均衡问题( v e p ) 包含向 量最优化和向 量变分不等式问 题， 因此所得结果可 应用于向量最优化和向量变分不等式问题的研究，但它们本身有自己的特殊性， 通过对向量最优化和向童变分不等式问题的讨论有助于把握对向量均衡问题作进 一步深入研究. 1 . 2向 量均衡及其有效性问 题的 研究概况 鉴于向量均衡问题的广泛性，人们对它产生了浓厚兴趣，由 n维欧氏空间至 赋范 线 性空 间 上具 有 某 种 特 性 的 函 数 ( 映 射 ) 向 量 均 衡问 题 得 到 广 泛 研究 9 -2 0 ， 其 研 究主要集中在对满足某种凸性条件的向量均衡问题解的存在性、唯一性和解集的 连通性、 稳定性等方面的研究. 在n 维欧氏 空间上由 于有界集的相对紧性和空间的 完备性，不但可对向量均衡问 题解的存在性及其连通性等拓扑结构和特征进行研 究， 而且还可对解进行迭代等算法研究以求其精确或近似解. 在无穷维空间由于受 紧性有时甚或受空间完备性的 局限和空间结构的复杂性其研究范围就主要集中在 解的存在性、连通性和稳定性等的理论层面上，解的迭代及其算法等较难展开， 求解问题就显得极为困难. 在方法上仅靠分析的工具难以从根本上解决问题 必 须借助分析、 拓扑和代数等的 综合方法研究解的 特征问题. 由于均衡问题所论映射的宽泛性使人们对映射或其所定义的空间加以限制， 例如各种凸 性和各种连续性的要求， 然后利用拓扑、分析或代数的方法讨论 解的 各种特征. 整个发展趋势从单目 标到多目 标再至一般的映射， 从所论的空间看先在 西安电子科技大学博士学位论文:向 量 均衡及其有效性 n 维欧氏空间r ” 上讨论实值函数， 进而讨论r x r 到r 的向量值函数均衡问题直 至目前正受到广泛重视的无穷维空间到无穷维空间一般映射的向量均衡问题的研 究 i9 -2 1 】 另 一 方 面 从 对函 数 ( 或映 射 ) 的 条 件 上 看， 从 要 求 连续 到 次 连 续、 上 ( 下 ) 半 连续;从凸到拟凸、 锥凸、 锥拟凸等各种的 广义凸 性; 从严格单调到伪单调、 拟 单调等. 从映射的类型上看有线性映射、 线性分式映射、 伪线性映射及各种广义凸 映射等. 从整个研究的发展趋势上看人们都在试图不断减轻对映射的条件和所定 义的空间限制，进而扩大均衡问题所研究的映射类. 我国 学 者陈 光亚 和y a n g x .q . 等 人 在上 世纪8 0 年 代中 期开 始首先对向 量优化 及 其应用等许多问题进行了深入而卓有成效的研究， 至上世纪9 0 年代起对向 量优化及 其 变分 不 等 式 进 行了 全 面的 研究 a 1. . b l a n c h i m .和s c h a i b l e .s 19 )对一 类 广 义单 调函 数 的 均 衡问 题 进 行了 研 究 ， 此 外 ， a n s a ri q .h .和y a o j .c . 1 1 1讨 论 广 义向 量 均 衡问 题 及 其解的 存在性. 有些作者如b l u m e . 和o e tt l i w . 12 1 还通过优化和变分不等式来研究 均 衡问 题 . 在 均 衡问 题 理 论 研 究 的 同 时 ， f e r ri s m . c . 和p a n g j . s j 7 l还 将 与 均 衡 和 优 化问 题紧密相关的补问题应用于工程和经济等方面的研究，此举极大地丰富了理论 研 究 的 应 用 背 景 . d a f e r m o s s .和n a g u m e y a . 15 1讨 论了 一 类 市 场 均 衡问 题中 的 供 应 与 需 求的 均 衡 解 算 法.a n s a r i q .h .和k o n n o v i n .等 13 1对一 类向 it 均 衡问 题 解的 特 征 作 了 刻 画 . 陈 光 亚、 g o lh c j和y a n g x .q .1 19 1研 究了 向 量网 络 均 衡问 题 及 其 非 线 性 的 标 量 化 方 法 . l in l .j .和y u z .j . 2 0 l在 研究 不 动 点 的 同 时 还 从 拓扑 角 度讨 论解的 性 态， 将均衡问 题的 解与映 射的 不 动点 相联 系. 王元 恒和 傅俊义 卿 研究了 具 有某种凸 性条件的均衡问题解的存在性及其解的连通性. 最优化问 题可简单表述为在某种标准( 条件) 下求目 标的最佳状态. 在微积分尚 未出 现之前， 初等 数学工具仅 对有限 几 类函 数 ( 例如二次函 数和三角函 数等 ) 能 解决 其最优化问 题. 此时由 于受数学工具的局限，人们对最优化问题的把握是非常有限 的. 十九世纪随着微积分的产生大大加深了人们对最优化问题的认识，所能处理的 对象得到巨 大的延伸 此时最优化已不仅能处理所谓基本初等函数而且对由它所衍 生的初等函数及更复杂的连续函数都能进行最优化理论的应用. 但是这些都仅是对 目 标函数值为数值的情形，而现实世界中大多数问 题是由众多目 标函数并由多个相 关联的因素确定的 因此就需要人们处理多目 标的优化问 题，即有限维空间到有限 维空间向 量函 数( 映射) 的 优化问 题. 从数学自 身和实际发展的据要， 优化理论的研究有必要在更广和更深的层面上 进行， 于是抽象空间上向量优化问 题就自 然产生， 并且有其实际的物理背景， 众所周 知广义函数就是定义于一非b a n a c h 空间的局部凸拓扑向量空间上的连续线性泛函， 它在量子力学和物理学中有广泛应用. 极值的外延与内 涵被不断拓广与加深，利用锥的工具建立线性空间向量的各种 类型有效点，将极值概念由古典的实值函数意义延伸到抽象空间的向f极值，从而 第一章 绪论 大大适应许多实际领域对 “ 最佳”与 “ 最优”的要求. 有效性理论成为多目 标规划 理 论的一 个核心问 题12 2 .2 8 1 . 在实 值可微函 数条件下通过导数 研究函 数的 极值， 对于 无穷维空间利用各种次微分、切锥和单调性研究映射的最优性条件、解集连通性、 稳定性及解之间关系等. 在向 量 优 化 理 论 方 面， 有 效 性 始 终 是 一 个 研 究的 核 心问 题. h u a n g x . x ，和y a n g x . m .1 17 1 得 到向 量 优 化问 题的 某 些 有 效 性的 存 在 性结 果， j e a n - p i e r r e a u b i n 1 1 8 从非 光 滑 分析角 度讨论 最优与 均衡问 题. k a i s a m i e t t i n e n 和m a r k o m . 等2 0 1 研究多目 标规划 中n 维欧氏空间向量函数在凸性条件下的几种有效点及其在非凸性条件下几类局部 有效点的锥刻画. b o w e i n j . m j 7 3 1 讨论关于锥的极大化的 真有效点， d a u e r j . p .和 s a l e h o .a .2 0 1研究 作为 次 线 性 优化的 真 极小问 题 解的 特性 ， g u e r r a g g io . a .和m o lh o e 2 6 1等 及d a u e r j .p .和g a ll a g h e r r .j .12 7 1分 别 研 究 向 量 优 化 的 真 有 效 性 和 正 真 有 效 性 与 有 关 锥的 性质 ， 此 外， y a n g x .q .p 3 1将向 量 补问 题与 有 效 性的 研究 相 联系 . 作为均衡问题的一个特例， 变分不等式问 题有其自 身特性和广泛的应用背景， 它源于工程技术、力学、数学物理、 控制论、优化理论、经济数学和微分方程等 学 科2 9 1 ， 变分不 等式问 题 研究通常亦在两个方面进行， 其一是对解的收敛性分析 及算 法研究， 其二对解的存在性、 唯一性条件和解( 解集) 的性 状及其逼近问 题研究， 尽管两者目的不同，但却是互为相依的 变分不等式问 题最初出 现在数理方程中，1 9 7 2 年出 现了 数值方法， 1 9 7 6. 年出 现k o r p e le v ic h 利 用 外 插 技 术 给 出 的 外 梯 度 法 至1 9 8 0 年 13 0 1形 成 欧氏 空 间 上 变 分 不 等式的基本理论框架和基本算法. 有限维欧氏空间和 h i l b e r i 空间变分不等式问题 解的解法及收敛性主要包括线性化方法 ( 如按范数收敛、向 量收缩和单调迭代等方 法) 和非线性方法( 如非线性 j a c o b i 方法) 这些都可以 看成是基于变分不等式问题自 身的一些方法. 在理论方面对经典的变分不等式问题解的存在性和灵敏度分析亦 有广泛和深入研究， 随着古典变分不等式理论和应用的不断深化，一些学者( 如陈光亚和c h e n g g m j 3 1】等 人) 较 早 地把 注 意 力 转到 无穷 维空 间 上向 量 变 分 不 等 式问 题的 研究， 并 将其 应用于向量最优化问题中. 从此许多学者在不同条件下研究无穷维向量变分不等 式 3 2 -3 7 1 ， y a n g x . q .3 5 讨 论 向 量 变 分 不 等 式 及 其 对 偶 问 题 . 陈 光 亚 3 7 】 给 出 变 分 不 等 式 的h a r tm a n n - s t a m p a c c h i a 定 理 的 存 在 性 ， l in k . l ., y a n g d . p . 和y a o j .c . p 8 1 及 其k r ej c i p和l a u r e n c o t p .13 分 别 研 究 广 义 向 盆 变 分 不 等 式 及 其 广 义 变 分 不 等 式 ， 并 建 立 解的 存 在 性定 理. y a o j . c . 和g u o j .s .0 0 1讨 论具 不 连 续 映 射的 变 分不 等 式 和 广 义 变分 不 等式 . a n s a r i q . h ,4 还 研究 了 广 义 似向 量 变 分 不 等 式. m e i y u和 汪寿 阳 等人 10 4 1 研究h a u s d o r ff拓扑向 量空间 一 类弱向 量变分 不等式 给出了 解的 存 在性 和连通性. 近年来， 变分不等式何题中 关于解的存在牲 研究的 ，个旅要角度是从k yf a n 西安电 子科技大学博士学位论文:向 蚤均衡及其有效性 不 动点定理出发给出 一类含不连续映 射( 广义) 变分不等式问 题解的 存在性及特征 等性质3 9 1 ，在一定程度上是对连续而不可微问 题的推广. 还有学者 ( 如c u b i t h p . ) 从 更基本的拓扑和泛函的角度出 发 研究 无穷维 赋范空间 广义拟变分不等式4 2 1 . 另 一方面在有限维欧氏空间上通过对变分不等式问题的深入研究人们发现解的存在 性与映射是否存在某种特殊的序列有紧密的关系，可以通过这种序列来判断解的 存 在与 否 ， 为 此， s m it h t . e .和i s a c ( x 等分 别 引 入“ 例 外 序列 6 1 ” 和“ 例 外 簇 4 3 n 的 概念， 为 变分不 等式问 题的 研究开 辟了 新的 道 路. z h a o y b ., 韩继业和q i h .d . 等 4 4 4 6 推 广s m i th t . e .6 1和i s a c g , b u la v a s k i v . 和k a l a s h n ik o v v 4 3 1所得 结果 并 对 一类变分不等式提出例外簇的概念，给出解存在的一个充分条件且对伪单调变分 不 等 式而言它也是 解存在的 必要条 件. 应用 例外簇的 概念z h a o y b . 和 韩继业4 5 给 出一类非线性互补问题解存在的一个充分条件. 在均衡优化等问题的有关理论越来越广泛地被应用于其他许多领域的同时， 自 身也在不断地发展，其内涵和外延在不断深入和拓广中，所涉及的数学分支愈 来愈多，逐渐成为优化理论的重要组成部分 目前关于向量均衡问题的研究多数限于有限维欧氏空间到有限维欧氏空间的 向量函数在某种单调或连续条件下对具有某种凸性的函数所作的研究，主要是基于 有限 维欧氏空间具有良 好的 特性( 即