（应用数学专业论文）可控一维波动方程的边值混合问题.pdf

硕士学位论炙 m a s t e r s t h e s i s 摘要 本文主要研究一维波动方程 i 一口2 k = o o x lo t t “( 五o ) = 妇( 曲，u ( x ，r ) = 仍( 工) 0 x ， ( o 1 ) i u ( o ，f ) = ( f ) ，u ( 1 ，r ) = ，2 ( r ) o f r 的混合问题，首先我们证明一定条件下( o 1 ) 阿题解的存在性，然后讨论 ( o 1 ) 解的能量研究相应的控制问题 ( 1 ) 给定具体时间，存在位移区间，使得在此时段处其上各点的 能量可以得到控制 ( 2 ) 给定具体位移区域，存在时间区间，使得在该时刻处其上各 点的能量可以得到控制 该问题的研究有一定的难度首先，需要通过分离变量法，计算混 合问题的具有f o u r e r 级数形式的解；其次，需要找寻到边界条件中的函 数仇( x ) ，c a x ) ，( f ) 和( f ) 能够展开成f d 卯衙正弦级数的条件；最后， 要能够通过该问题能量的定义，说明一维波动方程的混合问题物理意 义 在此文中，引用的方法有：利用叠加原理将混合问题( o 1 ) 的求解分 解成 f 一a 2 麒= o o x ，o ，r ( x ，o ) = 0 ， ( x ，t ) = 0 0 x l ( o 2 ) 1 ( o ，t ) = 9 t ( t ) ，( ，t ) = 驴，2 0 ) 0 r t 硕士学住论丈 m a s t e r st h e s i s 和 0 x l 鸭( x ，r ) = 仍( d 地( ， r ) = o 再运用分离变量法分别求出( o 2 ) 和( o 3 ) 的解，通过叠加得到( o 1 ) 的 解最后，利用能量积分来探讨混合问题( o 1 ) 的可控性 关键词：一维波；混合问题；可控 i i 动 筹斛 一 0 满足初始条件 i u ( x ，o ) = 妒( 力，x 佃 【z ，o ) = f ，( 力，x o 其中血：窆这些内容在文献【1 卜一【6 】等相关偏微分方程教材中均有阐 述 对不同的物理现象，可归结为不同形式的偏微分方程，而同一个典 型的方程又能代表某些物理过程的共同特点但是，仅有方程及方程的 解还不足以确定一个具体的物理过程，人们除了讨论方程本身之外还必 须考虑该物理过程的初始状态以及它所满足的外界条件在讨论波动方 程、热传导方程、l a p l a c e 方程以及p o s s i o n 方程等泛定方程时，我们需要 探讨相应的定解条件，若定解条件中既有初始条件又有边界条件，这时 称定解问题为波动方程的混合问题而这些混合问题的解的计算方法也 有多种，如特征线，分离变量法，g r e e n 积分法等等。 波动方程的混合问题有过相当多的讨论1 1 】十1 如在文献 1 卜一 6 】中考 察两端固定弦的自由横振动，即求解一维波动方程的混合问题 f 一口2 u x x = 0 0 x 0 甜( o ，t ) = 0，u ( t ，f ) = 0 t 0 l 甜( 墨o ) = 认x ) ，坼( x ，0 ) = ( f ) 0 x ， 其具有变量分离形式的f o u r i e r 级数解 俐= 艺( gc o s 竽+ d ksink=l字) s i n 竽 ij 可表示为有限长弦的自由横振动的波是由一系列驻波叠加而成的同时 上式解也可解释为弦乐器的演奏，u ( x ，f ) 表示乐器发出的声音，与最低 硕士学位论之 m a s t e r st h e s i s 频率q 2 孚2 予、后对应的第一个单音似f ) 称为基音，它决定了声音的 音调，其余的q 2 ) 称为泛音，他们决定了声音的音色不同的乐器 有不同的泛音，即不同的乐器有不同的音色，演奏时通过改变弦的长度 ，调整弦的张力r ，使用不同粗细的弦( 不同的p ) 来改变频率，从而 演奏出美妙动听的音乐f 3 1 本文所要讨论的也是一维波动方程的混合问题 i 嘞一口2 够# - - 0 o x ，0 f t 甜( x ，o ) = 仍( x ) ，“( x ，d = 仍( 力0 x z i u ( o ，f ) = ( f ) ， ( ，f ) = 驴，2 0 ) 0 - t r 它是齐次方程下的非齐次边界问题。虽然定解条件与两端固定弦的自由 横振动不同，但其具有f o u r i e r 级数形式的解甜阮，) 也依然可理解成由一 系列驻波叠加而成的讨论该混合问题的目的在利用分离变量法得出具 有f o u r i e r 级数形式的解u ( x ，f ) ，然后通过能量积分的定义，说明位移与 时间的相互关系，从而达到对任意的位移变化区间以及任意的时间段内 的能量的控制这些，将对人们进行工程爆破作业提供借鉴与帮助 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 2 1 基本引理 2 引理与求解过程 如果p 是集合彳上的一个映射，对v x ，y 一，满足p ( c x + d y ) = c p x + 毋，其中c ，d 为常数，则称p 是4 上的线性算子设上是区域q 上的 线性算子，b 是q 的边界r 上的线性算子，则线性方程带有线性定解条 件的定解问题用算子可表示为 f l u = 五 i ( b “) i r = g 这个问题称为线性问题或线性系统 引理2 1 ( 线性叠加原理) 设，分别满足线性问题 蒿鼻。和 蓠吐z ， 则当艺和量& 都收敛，且级数艺u t 可逐项微分所需要的次数时，函数 i = lj l，1 1 = z u a 是线性问题 f l u = 二 j 。 l ( 肌) j ，- - z 晶 l l ；1 的解 证明：由于工是区域q 上的线性算子，b 是q 的边界r 上的线性算 硕士学位论交 m a s t e r st h e s i s 子，从而得 且满足 l u = l u o + l u , = 矗 ( s u ) j ，= ( b u o ) l r + ( b u , ) j r = 岛 s = l 即命题得证1 3 1 引理2 2 ( f o u r i e r 级数收敛定理) 设函数厂o ) 在区间【o ，f 】上有直到所 阶的连续导数，m + l 阶导数分段连续，且当p 为偶数时 厂( o ) = 9 u ) = o 若把厂( 功展开成正弦级数 m ) 妻q 咖竽x i i 则级数 k ”l a , t = l 是收敛的 证明：由假设知，函数，“( 力可在区间 o ，】上展开成f o u r i e r 级数当 m 为奇数时，展开式为 ，一，( x ) 一e 。- + l , s i n 竿工 k = l 其中 硕士擘住论丈 m a s t e r s t h e s l s 蜘= 手f ，“o ) 血丝lm = 手 严b ) s 血竽d 一三l 丝1 f 。- - ( x ) c o s 等工d z = 一三l 竽 ，”1 ) ( x ) c o s 竽x ：一7 2 k t 肋；、2f ，“b ) s m 竽x d x = c 叫字( 竽厂1 手f 八功s i n 竽x d 工 卟，孚( 才吼； 当m 为偶数时，展开式为 同样可以推出 广埘( 小华+ z 。4 c o s 竽x 二 t = l q ( r e + 1 ) 卟- - ，詈( 吼一叫2 ，疗 根据贝塞尔( f b e s s e l ) 不等式，有 由此可知，无论m 为奇数还是偶数，都有 即 艺妙，1 2 。o ， 6 数偶为 m 孰 m 黼 厂 钮豇 o 奎 “ 嗲 ， n 雠 。一，。艺h 了卜 州 椰 。m q 硕士学位论之 m a s t e r st h e s i s 妻p “k f ， k = l 利用c a u c h y 不等式，得 主k = l 矿k i = 囊k m f k 七”1 掣1 艺k = l 七2 m 2 k 1 2 + 妻k = l 古 a o ， jn 所以级数矿k i 收敛证毕 2 2 求解过程 基于上述引理，下面我们来讨论一维波动方程的混合问题 l 一口2 = 0 0 x ，0 t t 甜( x ，o ) = 仍( 力，甜( 墨丁) = 仍( 工) 0 x ， ( 2 1 ) i 甜( o ，t ) = i f i ( t ) ，u ( 1 ，t ) = i p 2 ( t ) 0 - t 丁 的具有f o u r i e r 级数形式的解 为了利用分离变量法，要使关于工和t 的两组边界条件中有一组是齐 次的，所以将问题( 2 1 ) 分成下面两个问题： 1 吨一日2 m 麒= 00 x s ，0 t t ( 2 2 1 ) 嵋( x ，o ) = 仍( x ) ，u t ( x ，r ) = 仍( x ) 0 x ，( 2 2 2 ) ( 2 2 ) i 嵋( o ，f ) = 0 ， u ，t ) = o o f t ( 2 2 - 3 ) 与 i 岣城一口2 u 2 曩= 0 0 x 0 时，方程( 2 1 3 ) 的通解为1 7 】1 3 】 1 0 1 1 1 1 l t d t ) = c o s q t - 甭t + c 2 2s i n 厮 由( 2 1 3 ) 的边界条件( 2 1 2 ) 知，只有当a 取值为 硕士擘位论丈 m a s t e r st h e s i s 。 1r 勋、2 以2 了l 了j 特征值问题( 2 1 3 ) 才有非平凡解，这些离散的五就是( 2 1 3 ) 的特征 值，与这些特征值对应的函数 r ( f ) ：c 2 ts i nk ，x _ _ _ ! t 就是特征值五对应的特征函数 对于五= 吉( 等 2 ，方程( 2 1 0 ) 的通解可写成 剐加。s 等+ 吆s i n 等 ，2 ，加， 其中，a 2 k 和k 都是任意常数于是对任意的g = a 2 。c 2 。和q = 吆c 2 。，函 数 嘣圳= 如朋- 【g c 。s 等+ 跗n 等) s i n 坦t “ 满足方程( 2 3 1 ) 和边界条件( 2 3 2 ) 即所求问题( 2 3 ) 的解为 姒，= 喜一c o s 等+ qs m 等) s 协等 c 2 m ， 利用边界条件( 2 3 3 1 ，在( 2 1 4 ) 中令x = 0 ，x = 1 ，得 ( f ) ：妻qs i l l 竽 t 。l 1 眦，= 喜bc o s 石k m + 4s i n 等) s i n 等 由引理2 2 ( f o u r i e r 级数收敛定理) 可知，若( f ) 和妒：( f ) 在区间【o ，r 】上 有直到2 阶连续导数，3 阶导数分段连续，则( f ) 和( f ) 在区间【o ，明上 硕士擘位论之 m a $ t e r st h e s i s 都能展开成f o u r i e r j ! 弦级数，且它们的系数q 和砬就由 g = 季r 删s m 等d r 皿鸯胁睁一譬 q - 5 将( 2 1 5 ) 式代入到( 2 1 4 ) 式中，即得问题( 2 3 ) 的解 因此，所求原混合问题( 2 1 ) 的解为 硕士学位论定 m a s t e r st h e s i s 3 主要结果及其应用 定理3 1若纯( x ) ，妒2 ( x ) ec 2 【0 ，m ( f ) ，妒2 ( t ) ec 2 【o ，刃，则由( 2 1 5 ) 式所表示的函数“仁力是一维波动方程的混合问题( 2 1 ) 的解其中强瓴，) 是混合问题( 2 2 ) 的解，屹，) 是混合问题( 2 3 ) 的解 在基本求解方法中，通过对问题( 2 2 ) 的具有分离变量形式的解的 讨论可知，其非零解若要展开成f o u r i e r 级数，则其f o u r i e r 系数4 和毋就 必须由仍( x ) 和仍o ) 在位移区间 o ，订上展开成的而“r 把r 正弦级数表示此 时，由引理2 2 ( f o u r i e r 级数收敛定理) 可知，仍( x ) 和仍( x ) 在位移区间【o ，】 上应具有直到2 阶连续导数，3 阶导数分段连续，因此可得 仍( 功，仍( 力c 2 0 ，f 】 同理可知，在时域区间【o ，刀上，必有 ( ，) ，( f ) c 2 【o ，刀 设u ( x ，f ) 表示位移和时域所构成的二维空间( r 2 上的矩形区域 【o ， x o ，刀) 上的点随着时间变化下的位移的变化量且u ( x ，r ) 亭( 且) 那么 材( 力可反映在位移区间【o ，】的任意子区间上，处于同一时间处( 即二维 空问【o ，x l x o ，订，其中t 为某一固定时间点) 偏离平衡位置的大小，记 慨) l l = ( f 矿( 。d 带，【o ，玎 ( 3 1 ) 其可表示为某时刻内位移的变化区间上偏离平衡位置的大小的平方模， 亦可理解为随时间的变化在麓维空间【o ，x 】【o ，嵋上所产生的能量 阉理，甜8 ) 霹反映在时域区澜【o ，巧的任意子区湖上，处于阀位置 处( & p - - 维空闯f o ，胡【o ，啊，箕中x 为某固定位移点) 偏离平衡位置的 大小，记 i i e x ) d = ( r 确) d 刁) i ，f o 【o ，即 ( 3 彩 其表示某位移处财域鳆变化送阅鹣趣上镳嵩平衡经爨靛大小的平方模， 亦可理解为随位移的变化而产生的能量。 嬲此，可以褥到二维空阀( r 2 上的矩形区域【0 距【o ，刀) 上的任意 一予送域处因振渤所产生的鬣量为 l 肛( 墨f 理= ”2 ( 蠡节) d 手d ，7 2 ，( 美蟹) 【o ，妇，羽 ( 3 3 ) 定理3 2若仍o ) ，仍( x ) ，( r ) 及( ，) 是属于锻 ) ，仍( 力c 2 o ，】， 识纯( f ) c 2 【o ，明上的已知函数，u ( x ，f ) 怒维波动方程的混合闽题( 2 1 ) 的解，贝| j 1 对给定的正常数，根据( 3 1 ) 与( 3 2 ) 的定义，必定存在惟 一鲸正常数f ，使徭薄任意一点瓴，岛) 溉趱【o ，霜，成立 i i e ，t o ) l = i 防，o i l 咄 英中，l 联五奄) k 表示在区域殴嗣x 羚，f e 】土豹子区域眩强】【馥奄】主滏振动 所产生的能量，i i e ( x o ，f ) l l f 吨表示在区域【o ，粕】【o ，q 上的子区域【o ，】【o ，t o 上霞振动壤产生瞧毙量。虽u ( x , o 壹一系剿驻波叠拥嚣裁时所产生的缝 硕士学位论吏 m a s t e r st h e s i $ 量总和讹f o ) k 可由( 3 1 ) 计算而得，i i e ( 写o ，r ) k 可由( 3 2 ) 计算而得 2 对给定的正常数r ，根据( 3 1 ) 与( 3 2 ) 的定义，必定存在惟 一的藏常数，使得对任意一点( x o ，乇) 【o ，f 】【o ，研，成立 肛瓴f o ) k = u e ( x o ，f ) 她 l e ( x , t o ) l , 与l 弛，d k 斡意义与1 中耜瓣显弱祥霹潦( 3 。1 ) 与( 3 。2 ) 计 算而得 3 + 若己知爆破掰露要翳总能量l 联薯，l = 磊，翻霹戮通过( 3 3 ) 酶 定义先取定位移，的值为f ；，而后通过 磊= l 联固忙( ff 豁2 皤彩d 警d 亭尸，g 濞) 豫x o 弘瑶 计算出时间丁的值r = 磊来确定爆破所需的时间丁= 嚣；也可以先确定爆 玻鼹霰的对闻t = 嚣，藤螽通过 磊= i i e ( x ：o ) b = ( rf 甜2 9 ，每) d r d 掌) i ，( 芋，7 ) e 【o 力【o ，r o 计算漤位移艚值为l = x o 来确定爆破所需的位移l = x o 根据一维波动方程的混合问题具有f o u r i e r 级数形式的解u ( x ，f ) 的能 量积分定义，遥过定理3 2 我们可良知邋，由一维波动方程的溺合闻题 所产生的能量相对于位移区间及时域悬可以互相控制的，亦即 ( 1 ) 给定具体位移，存农相应酶隧域，使得在瑟露段憝英上各焦戆 能量可以得到控制 ( 2 ) 绘定具体时阕，存农耀应的斑移，傻缛在该黠刻处其上各点的 硕士擘住论之 m a s t e r st h e $ 1 s 能量可以得到控制 本文利用线性叠加原理，运用分离变量法求出了一维波动方程的混 合问题( 2 1 ) 具有f o ”，衙级数形式的解，并通过定理l 说明了解( 2 1 5 ) 存在的条件要求然后通过对解( 2 1 5 ) 中u ( x ，r ) 的能量定义，利用( 3 1 ) ， ( 3 2 ) 及( 3 3 ) 式，讨论了能量与位移、时间之间的相应关系，解释 了三者之间的依赖关系，从而说明了所求混合问题的可控性借鉴该种 思想，我们也可以讨论可控一维波动非齐次方程的相关混合问题以及可 控高维波动方程( 齐次或非齐次) 的相关混合问题，在定解条件已知的 情形下，求出其具有f o u r i e r 级数形式的解并且给出相应的能量积分定 义，讨论能量与时间、平面薄片( 或空间立体) 三者之间的相应关系。 这对于我们解决生活、生产实践中的工程爆破问题是有相当帮助的 硕士学位论文 m a s t e r st 1 1 e s i s 参考文献 【1 】朱长江、邓引斌编著偏微分方程教程 m 】北京：科学出版社，2 0 0 5 【2 】陈祖墀编著偏微分方程 m i 合肥：中国科学技术大学出版社，2 0 0 2 【3 】管平、计国君、黄骏编著数学物理方法口阅北京：高等教育出版社，2 0 0 1 【4 】陈恕行、秦铁虎、周亿编著数学物理方程 m 】上海：复旦大学出版社，2 0 0 3 【5 】季孝达、薛兴恒、陆英编著数学物理方程 明北京：科学出版社，2 0 0 5 【6 】吴方同编著数学物理方程 m 】武汉：武汉大学出版社，2 0 0