（应用数学专业论文）初始点任意且不需罚函数的sqp算法.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 f 序列二次规划算法是从l a g r a n g e 牛顿法发展而来的一种数值计算方法。由于 具有全局收敛和局部的超线性收敛性等优点，现己广泛地、成功地应用于解非线 性约束优化问题。在应用中，并能与非单调搜索、信赖域等技巧相结合，得到很 好的数值效果。个好的算法，首先能求出问题的准确解或近似解：其次，在此 基础上，在实际应用中能有较快的速度。在此基本要求上，针对以往类似算法的 不足钵文构造了一个解非线性不等式约束优化问题的序列二次规划算法，它具 有以下几个优点：1 ) 初始点任意而不需罚函数；2 ) 每次迭代仅需解一个二次规划子 问题，计算量少：3 ) 理论上分析和数值试验表明算法最终能产生可行点列；4 ) 具有 超线性收敛性。且不需要严格互补性假设；5 ) 与非单调搜索结合，避免m a r a t o s 效 应。 第二章和第三章是本文的重点。在第二章首先构造了个具有以上优点的序 ， 列二次规划算法。f 虽然初始点任意，但每次迭代只解一个一般的二次规划子问题， 且子问题中并不含函数妒( x ) = 珥积k ，( x ) 。利用投影技术，把各种校正量用显式 o ” 表示出来，以达到减少计算量的目的，使得实际可操作性强。理论上分析该算法 是可行的。 荏第三章讨论了该算法的收敛性问题。理论上分析得出，算法最终能 产生可行点列，这是以往文献中所没有的。这样就并不象一些文献中那样需要p ( x ) ， 满足较强条件，就能得到算法的局部超线性收敛性。在第四章对该算法进行了实 际的应用，数值试验表明，算法是有效的。 关键词：序列二次规划；初始点任意；可行点：罚函数；超线性收敛。 l 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h es e q u e n t i a l q u a d r a t i cp r o g r a m m i n g ( s q p ) m e t h o d i sak i n do fn u m e r i c a l m e t h o d ，w h i c hd e v e l o p e df r o ml a g r a n g e - n e w t o n s m e t h o d b e c a u s eo fi t sg l o b a l c o n v e r g e n c e a n ds u p e f l i n e a rc o n v e r g e n c ee t c ，i ti sw i d e l ya n ds u c c e s s f u l l yu s e d t os o l v e n o n l i n e a rp r o g r a m m i n g i np r a c t i c e , i tc a l lb ec o m b i n e dw i t hn o n m o n o t o n e s e a r c ha n d t r u s tr e g i o nt e c h n i q u et oo b t a i nb e a e rn u m e r i c a le f f e c t a ne x c e l l e n ta l g o r i t h ms h o u l d h a v et h ef o l l o w i n gt w op r o p e r t i e s ：f i r s t ，i tc a np r o d u c et h ea c c u r a t e s o l u t i o no r a p p r o x i m a t es o l u t i o n ；s e c o n d ，t h ei t e r a t i v es e q u e n c e c a l lc o n v e r g ef a s t b a s e do nt h e s e r e q u e s t s a n dc o n s i d e r i n gt h ed e f i c i e n c yo ft h ee x i s t i n gm e t h o d ，t h ep r e s e n tp a p e r c o n s t r u c t sa ns q pa l g o r i t h mf o rn o n l i n e a ri n e q u a l i t yc o n s t r a i n e dp r o g r a m m i n g t h e a l g o r i t h mh a sf o l l o w i n ga d v a n t a g e s ：1 ) i n i t i a lp o i m i sa r b i t r a r ya n d p e n a l t yf u n c t i o ni s n e e d l e s s ；2 ) a te a c hi t e r a t i o n ，i ts o l v e so n l yaq u a d r a t i cs u b - p r o g r a m m i n g ，t h e nt h e a m o u n to fc o m p u t a t i o ni sg r e a t l ys a v e d ；3 ) t h e o r e t i c a l l ya n a l y z i n ga n dn u m e r i c a l e x p e r i m e n ts h o wi t c a np r o d u c ef e a s i b l es e q u e n c ef i n a l l y ；4 、i tp o s s e s s e ss u p e r l i n e a r c o n v e r g e n c e w i t h o u tt h es t r i c t c o m p l e m e n t a r yc o n d i t i o n ；5 ) i t i sc o m b i n e dw i m n o n m o n o t o n es e a r c ht e c h n i q u e ，a v o i d i n gt h em a r a t o se f f e c t c h a p t e r2a n dc h a p t e r3a l em a i np a r t so ft h ep a p e r i nt h ec h a p t e r2 。a ns q p a 埯撕n l m 、v i t l ls t a t e da d v a n t a g e si s c o n s t r u c t e da tf 奴t h ei n i t i a l p o i n ti sa r b i t r a r y , h o w e v e r , i ts o l v e so n l yo n ec o m m o ns u b - p r o b l e mw h i c h i si n d e p e n d e n to f t h ef u n c t i o n 伊( z ) = 置黑k 小) i n o r d e rt od e c r e a s et h ea m o u n to fc o m p u t a t i o nt h ee x p r 。8 3 i o c o r r e c t i n g d i r e c t i o n sa r ep r e s e n t e db ym a k i n gu s eo f p r o j e c t i o nt e c h n i q u e ，w h i c hr e s u l t s i nc o n v e n i e n c eo f o p e r a t i o n t h ef e a s i b i l i t yo f t h ea l g o r i t h mi sd i s c u s s e dt h e o r e t i c a l l y c h a p t e r3d i s c u s s e st h ea l g o r i t h m sc o n v e r g e n c e t h e o r e t i c a l 如a y s i ss h o w s t h a tt b e a l g o r i t h mm u s tp r o d u c ef e a s i b l es e q u e n c ef i n a l l y w h i c hd o e m te x i s ti nt h ee x i s t i n g p a p e r s a sa r e s u l t ，w ec a ng a i n t h cs u p e r l i n e a rc o n v e r g e n c ew i t h o u tt h ea s s u m p t i o nt h a t n ；华中科技大学硕士学位论文 鳖- 一一 州s a l i s f i e s as t r o n g e rc o n d i t i o ni ns o m ee x 劬g p a p e r s i nt h ec h a p t e r4t l l ea l 鲥也m i 8 p i i tm 删c e n u m e r i c a i r e s u i t s ；h o wt h a tt h ea l g 。r i m m i 5 。髓。i v 。 k e y w 。r d s ：s e q u e n t i a l q u a d r a t i cp r o g r a m m i n g ：a r b i t r a r y i n i t i a lp 。i n t ；f c 8 8 i b l 。p 。i m p e n a l t y f u n c t i o m s u p e r l i n e a rc o r e 曙e n c e i i l 华中科技大学硕士学位论文 1 绪论 最优化是一门应用相当广泛的学科，它讨论决策问题的最佳选择之特性，构 造寻求最佳解的计算方法，研究这些计算方法的理论性质及实际计算表现。伴随 着计算机的高速发展和优化计算方法的进步，规模越来越大的优化问题得到解决。 最优化问题广泛鉴于经济计划，工程设计，生产管理，交通运输，国防等重要领 域。因此它很受政府部门，科研机构和产业部门的高度重视。 1 1 最优化模型与求解 所有的最优化问题都可以转化为如下数学模型： r a i n ，( 力 s t g ，( z ) = 0 ，= 1 ，m e ； g j ( x ) 0j = m 。+ 1 ，”； ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 其中目标函数f ( 工) 为r ”_ r 9 的实值函数。如果g = l 则称优化问题( p ) 为单目标优 化，否则为多目标优化。满足( 1 1 2 ) 和( 1 1 3 ) 式的x 的集合x 为优化问题( p ) 的 可行域。如果x = r “，则优化问题( p ) 为无约束优化问题，否则为约束优化问题。 因为等式约束可转化为不等式约束，因此本文只讨论如下形式的不等式约束单目 标优化问题： ( n l p ) m 。旷i n 厂( 工) ； s 2 毋( 力0 j = l ，m ； 其中，( x ) ，g ，( z ) ，j = l ，m ，是r “r 上的实值连续函数。 对于问题( p ) 或o q l p ) 的求解必须回答两个问题首先。必须回答该问题是否有 解以及其解具有何性质；其次，对于一个确知有解的优化问题，怎样具体求出其 ( 准确或近似解) 解。自从1 9 4 7 年d a n t z i g 提出求解般线性规划问题的单纯形 l 华中科技大学硕士学位论文 法以来，许多人先后构造了许多求解优化问题的数值算法。如：牛顿法，拟牛顿 法，0 6 1 8 法和f i b o n a c c i 法。插值法，共轭梯度法，序列二次规划算法，信赖域 算法等。优化问题( n l p ) 的解有以下一般性质： 引理1 1设x 是问题( n l p ) 的一个局部极小点，如果可行域在x 处的所 有线性化可行方向集合与在x 处的所有序列可行方向集合相同，x + 必是问题 ( n l p ) 的k t 点。 引理1 2 设x 是一个k - t 点，彳是相应的l a g r a n g e 乘子，如果： d r v 二三( x ，0 ) d 0 ，v 0 d g ( z ，) 贝, l j x 是局部严格极小点。其中z ( x ，五) 为l a g r a n g e 函数，g ( 工，z ) = d r ”l d 1 v g ( x ) o ，2 d 7 v g j ( z ) = 0 ，( z ) ，( x ) = ，i g ( 工) = o ，- ，= l ，m 。 以上两个引理只是 4 4 3 中相应引理的改动，证明省略。 1 2 序列二次规划( s q p ) 算法 s q p 算法的基本思想是：在给定的近似解x 。处，通过解一个或几个二次规划 子问题，通过这些子问题的解，去寻找更好的近似解工。整个过程是个迭代过程， 产生一无限点列k ，这个点列或其子列收敛于问题( n l p ) 的解或k - t 点x 。s q p 是由l a g r a n g e 牛顿法发展而来的一种数值计算方法，因此，它也具有较好的收敛 性。现已广泛地应用于中小规模( n l p ) i h j 题的求解。用s q p 方法求解问题( n l p ) 的 般计算流程图如下( 图1 ) ： 较早构造的s q p 算法中，每次迭代解如下一个二次规划子问题： m i n v f ( x ) 7 d + 妻d 1 h d ； ( 1 2 1 ) 5 j 1 9 9 ，( x ) 1 d + g ，( x ) 0 f = l ，肼； ( 1 2 2 ) 华中科技大学硕士学位论文 y 幽1 一股计算流程图 得霹。其中h 。尺是正定矩阵，且大多数文献中，日。是l a g r a n g e 函数的海色 矩阵的近似，如 1 2 ，1 8 ，2 3 ，2 5 ，3 5 ，3 8 1 。显然，如果x 。是个可行点并且卵= 0 ， 那么x 。就是问题( n l p ) 的k - t 点。础有一个很好的性质，那就是它是很多罚函数 的下降方向，因此，为了得到算法的全局收敛，自然而然地选择这些罚函数做为 价值函数，如 8 ，1 8 ，2 6 ，3 1 等以如下厶精确罚函数作为价值函数： p o ( x ) = ( 砷+ 球普黑( o 舅( 砷圳； ( 1 2 3 ) 也有以增广l a g r a n g e 函数作为价值函数的，如 1 ，2 ，3 ，4 ，1 3 ，2 8 。 在s q p 算法的开始阶段，由于用罚函数作为价值函数，因此不要求初始点一 定为可行点，导致最后得到的近似解也不一定是可行的。这在很多实际生活中是 不容许的，有时目标函数在可行域外甚至没有意义，此时s q p 算法就行不通了。 在这种情况下，p a r t i e r 、t i t s 等先后构造了“可行”s q p 算法( f s q p ) ，要求包括初 华中科技大学硕士学位论文 始点在内的所有迭代点都是可行点。f s q p 算法有个好处，就是目标函数f ( x ) 可直 接用来做为价值函数。这样避免了因罚因子过大而引起数值计算的麻烦。 对于f s q p 算法，同样存在局部超线性收敛性，但单纯以二次规划子问题 ( 1 2 1 ) 、( 1 2 2 ) 的解钟作为搜索方向还不行，为了获得个连续可行方向，往 往还要在此方向上做一个“扰动”。为了作到这一点，象文 6 ，4 3 一样，还得解 如下个子问题： m 删i n l 2 , , , i d l l 2 + 四黑备，( 以) + 豫，( h ) 7 d ) ； ( 1 2 4 ) 得硪。然后把钟和d ：作线性组合得： d i = ( 1 一p i ) d ? + p k d ： ( 1 2 5 ) 其中凤使得： w ( x ) 7 d i o v f ( x i ) 7 钟： ( 1 2 6 ) 这里口( 0 ，1 ) 是给定的常数。显然，只要日。是正定的，d 。便是目标函数的一个下 降方向。文献 2 3 中给出了另外种求以的方法，那就是解如下一个二次规划子 问题： m i n0 5 d 7 h i d + v f ( x i ) d ； ( 1 2 7 ) s d g j ( t ) + ，( 以) 1 d s 珈刃l ”j = l ，忉； ( 1 2 8 ) 这里y 2 。 1 9 7 8 年m a r a t o s 发现，对于约束优化问题，当孔斗x 时，l - j 苤d k 直接做为超 线性收敛步有时不可接受。也就是说，七充分大时，不一定有，o + 以) f ( x 。) ， 这就是m a r a t o s 效应。克服m a r a t o s 效应的主要方法有： 1 w a t c h d o g 技术 1 9 8 2 年左右c h a m b e r l a i n 等人提出w a t c h d o g 技术，要求在一些迭代处进行标 华中科技大学硕士学位论文 准线搜索，即要求： 己( h + ) 只( ) ； ( 1 2 9 ) 而在另一些迭代中进行“松弛搜索”。松弛搜索可要求l a g r a n g e 函数值下降或可简 单的取步长为1 。如果在一次迭代求得的新点与原先迭代过程中最好的点相比， 只( x ) 有了“足够”的下降，就让下一次迭代中的线搜索为“松弛搜索”。详细的 算法可见 9 ，4 4 。 2 使用光滑价值函数 m a r a t o s 效应之所以出现，是由于用来判断迭代点好坏的价值函数是非光滑的， 或者在最优点处出现了“峡谷”。因此使用光滑的价值函数有时可克服m a r a t o s 效 应。如y y u a n 和p o w e l l 在 2 8 用f l e t c h e r 光滑精确罚函数作为价值函数来克服 m a r a t o s 。 3 二阶校正步 此方法就是在矾上加一个二阶校正步玩。瓦满足： i i 孑, 1 1 = o o ) ：妒( z ) 2 m a , x g j ( x ) ： 叫- 鼎g 管撼啦，= 拈2 弛加：州一o j o 。 l 妒( j ) 一，( x ) ，r ( z ) ； 叭x j u ； 在此算法中我们需要两个基本的假设： a 1 ：厂( r ) ，g ，( 功j ，是连续可微的。 a 2 ：阮，( x ) ，j ，( x ) 对任意x 是线性独立的。 其中假设2 保证了每次迭代时二次规划子问题有解，并为局部极小点是k t 点提供了条件。 另外，在迭代点以处定义： ，。= 0 ，：d s ( x 。) 0 ，0 ( o ，1 ) ，口( o ，0 5 ) ，正整数m 0 令埘( o ) = 0 。置七：= 0 。 步1 1 ：计算e = l - ( x i ) ；e = r ( h ) ；吼= p ( 以) ：，( 屯) ：毛= s c x t ) - 1 2 ：计算l = 0 1 ：d s ( x i ) 0 ，从而使得算法在没有求得解时不会中止。 由算法结构可知有以下三个引理： 引理2 1 如果毛= 0 ，则j 。m ，且以= 0 ：g ，( 以) = 妒( k ) j j 。 引理2 ，2 l ( x k ) l k ：+ e = ，；上：+ ig 上+ ；+ f 。 引理z3k 充分大时，上：；l - ；es r 。 引理2 4 如果二次规划子问题( 2 1 1 ) 的解刃= 0 ，那么以就是优化问题 ( n l p ) 的k - t 点。 证明： 如果钟= 0 ，那么显然有： g ( 以) s 0 j ，女： ( 2 2 1 ) 由引理2 2 有： l ( x t ) 量i k ； ( 2 2 2 ) 由，0 ) 及d ，( 工) 的定义不难发现，是可行的。从而由二次规划子问题( 2 1 1 ) 的 最优性条件： v f ( x ) + 以钟+ 4 = 0 ； ( 2 2 3 ) 砖( g ，( x ) + v g ，( x 女) 钟) = o 歹，i ； ( 2 2 4 ) 砖0 j j ； ( 2 2 5 ) 不难判断扎就是优化问题( n l p ) 的k - t 点。 引理2 5 坼为可行点，如果, o k = 0 ，那么以为优化问题( n l p ) 的k - t 点。 证明 华中科技大学硕士学位论文 既然p k = 0 ，那么： 夥( 以) 7 钟= 0 ： ( 2 2 6 ) 既然以为可行点，那么0 为二次规划子问题( 2 1 1 ) 的可行解，因此： v f ( x , ) t d ? + 昙 o ： ( 2 2 7 ) 从而由h 。的正定性可知： 钟= 0 ； 由引理2 4 知为优化问题( n l p ) 的k - t 点。 引理2 6 i 女口果占t = l 习b 么： 1 盯( x i ) d i 6 盯( x t ) 7 钟s - 0 5 0 ； ( 2 2 8 ) i i ：如果毛= 0 那么： 伊。( 扎，以) = 盼阮廖t ) 1 d t s 嘞一7s 一； 这里妒。( 以，以) 是伊( x ) 在孔处沿以的方向导数。 证明： i ：由于q = 1 ，因此： 1 盯( x t ) 7 d os 一0 5 0 ； ( 2 2 9 ) 由d 。及钟，n 的定义可知： v ( 以) 7 d 。= 夥( 以) 7 ( 刃一见懈讲p ) = v f ( x , ) 7 钟- , l l d ：1 1 7 耵( h ) 纠t e 8 q f ( x t ) 1 或0 ； ( 2 2 1 0 ) 1 4 华中科技大学硕士学位论文 结合( 2 2 9 ) ，( 2 2 1 0 ) 可知结论i 成立。 结论i i 由 4 2 中引理1 及( 2 1 2 ) 可得。 在假设a 2 下，显然有以下引理： 引理2 7 循环步1 2 ，步1 3 ，有限次后必将终止。 定理2 8 算法2 1 是适定的。 证明： 不妨设钟0 ，p k 0 。分两种情况： ( 1 ) 如果气= 1 。下面我们说明存在 0 能同时满足( 2 1 7 ) ，( 2 1 9 ) 。 由泰勒展式可知： 厂( 屯+ 以+ f 2 巩) - - 哟m 删a x 厂( 以一埘一甜v f ( x t ) 7 d k 厂( 坼+ 埘i + r2 孑i ) 一厂( z i ) 一m v f ( x t ) t d i = ( 1 - u ) t v f ( x 女) 7 d k + o ( ，2 ) - 0 5 t o ( 1 - a ) + d 0 2 ) 因此由h 的正定性，t 充分小时，( 2 1 7 ) 是成立的。 对任意，芒l k ，显然存在f 使得( 2 1 9 ) 满足。如果，i ，则有： g j ( h + t d k + r 2 d i ) = g j ( 以) + t v g ，( _ ) 7 d t + d ( ，2 ) = 毋( x k ) + f v g ，( 以) 1 ( 钟一n j 陂讲e ) + o ( r 2 ) = t ( g j ( x , ) + v g j ( x t ) 1 簖) + ( 1 一r ) g ( 吨) 一协怫卜d ( r 2 ) 由于g j ( 以) + v g ，( 而) 7 哦o 0 ，g j ( 孔) s o 且n 0 ，因此f 充分小时，( 2 1 9 ) 能得以满足。因此兄= l 时，算法是适定。另一种情况是： 1 5 华中科技大学硕士学位论文 ( 2 ) 如果“= o ，下面我们说明存在f 女 0 能满足( 2 1 8 ) ，( 2 1 9 ) 。 对任意，茌，。，显然存在f 使得( 2 1 8 ) ，( 2 1 9 ) 满足a 如果j en ，。，由引理2 6 的i i 可知： 毋( 扎+ 耐。+ ，2 孑t ) 一吼+ 谢0 刃 = 邑( 坼) + ，取，( x k ) 7 d 一仇+ 掰蚓f + o f f 2 ) ，仇0 ： 情况b ：对任意k = 1 , 2 ，吼 0 且吼“ 0 证明： 假设结论不成立，则由循环步1 2 ，步1 3 知，存在无限子集k ，使得对任意 女k 有： 瓯 0 使得： i 。n 。f 。 d 。 i - 8 ；i 。n 。f 1 1 d t l l - 8 ； 不失一般性，可假设k k 斗0 0 时： 坼_ x ：lz n h 。专h ；，d 。，j 。 一+ 印，d ，孑。 ： 分两种情况讨论： ( 1 ) 情况a 发生 显然刃是如下二次规划子问题的唯一解： m i n v f ( x ) 7d + 0 5 d 7 h 。d ； s j g ( 工) + v g ，( x ) 7 d 0 ，； 不失一般性，可假设： 见_ p ( 女k 寸) 且氍n 万； 由式( 3 1 5 ) 及引理2 4 可知： w ( x ) 7 以一0 5 0 a 8 2 0 ； 如果g o + ) 0 使得v f ( o ，d l 】： g j ( x + 耐+ ，2 孑) o ) ； j e l a 6 ：肛一v 2 ( x ，z ) ) 训= d q l d ；1 1 ) ； 为了算法能产生可行解，我们还特别需要一个假设； a 7 ：可行的内点集非空。 2 2 华中科技大学硕士学位论文 首先介绍 4 1 中的一个引理： 引理3 6 情形a 发生，算法产生无穷点列k ”k = 0 ，若下述条件成立 ( 1 ) k ：= o 有界； ( 2 ) v k n o = 0 ，l ，2 ) ，若r v f ( x 女) 7 破j 0 ，则，力一0 ； ( 3 ) v k n 。= o ，l ，2 ) ，若， d 一0 ，则，i 五一0 ： 则： 舰f ( x t ) 2 f ( x ) ； 引理3 7 在上述假设下，对任意充分大的j | ： i j i m = ； t ，一 i i 1 ( x ) l ；7 ( x ) j 女g l ( x ) 这里l = ，i k ：九 o ) 设一f 、= c t ：，c x 功，则z = ( 。， 。在假设a z 下，z 。，。，是以下方程得 设一f 、2 ( t ：，7 ( x ) ) 则z2 【t ( ，) j 。在假设a 2 下，z ( ，+ ) 是以下方程得 唯一解： w ( x ) + 旯，v g ，( x ) = o ； 所以在假设a 3 下，z 唯一的，结论i 成立。 如果_ ，es ( x ) ，则：g j ( x ) = 0 。由于g ，( x ) 的连续性，在假设a 3 下，可知女 充分大时，g ，( 以) 0 ： x q j 尤| ； 九 0 ： j jk l 7 ( x ) l k ： 下面用反正法说明，7 。i ( x ) 。 设，仨l ( x ) ，由于x 是优化问题( n l p ) 的k - t 点，因此 g ，( x ) k ，： g j ( x ) 一万 k ，充分大有 ( 3 2 1 ) g j ( + 噍+ 玩) = g j ( 札) + o ( 1 l d t l l ) 一万+ + o l l k 2 充分 大： g j ( h + 矾+ j t ) = g ，( 以+ 巩) + v g ，( 扎+ 巩) 7 玩+ d 4 p t 咖 g ，( x k ) + v g 小) 1 哦。一1 1 d ：1 1 7 + o 1 1 d ：1 1 3 ) j = 一8 d ? 0 + 0 4 p ：1 1 3 ) j 7 t ；( 3 2 3 ) l 一1 1 c ：1 t 7 + 0 4 1 , , ：1 1 3 ) ，e ，。、7 t ； 既然f 3 ，钟一0 ，从( 3 2 2 ) 和( 3 2 3 ) ，可知存在f 使得勺= 0 ，但对w ： g ，( x f + 砟+ d i ) 0 从而根据算法结构可知： 露“= 1 华中科技大学硕士学位论文 引理3 ：1 0 在上述假设下k 充分大时= 1 。 q 5 l ； d 。= 钟- p , f l d o l l 7 讲e ： ( 3 2 4 ) 现在说明，k 充分大时f = 1 能满足式( 2 1 7 ) 和( 2 1 9 ) 。 如果j 芒l ( x ) ，显然k 充分大时t = 1 能满足式( 2 1 9 ) 。 如果j 毛l ( x ) ，从引理3 7 和引理3 8 可知，k 充分大时，。且： g j ( 札+ d k + - j ) 廖。+ 以) + v g ，( x k + 吼) 7 巩+ 0 ( 2 ) = g j ( x k ) + v g 小。) 7 哦0 一1 1 d ：1 1 7 一p k 7 + o 1 1 d ：1 1 3 ) j 5 ( 一l n ) 1 t d ：1 1 1 + 。! j 钟! _ ，7 一s 。( 七_ 。) ( 3 2 5 ) 【( 一1 一驯+ 。( 7 ) _ ， l 。 这意味着，如果j l ( x ) ，那么女充分大时，= 1 总能满足( 2 1 9 ) 式。 从( 3 2 5 ) 知，如果，t ，那么： 。 1 1 钟1 1 2 ) = g 小。+ d k + 巩) = g j ( 以) + 豫，( 毛) 7 d k + o 5 v 2 9 i ( x d d k + v g ，( t ) 7 巩 = 0 5 + v g ，