（应用数学专业论文）压电材料功能梯度压电材料反平面位移裂纹的动态问题.pdf

宁夏人学颂十学位论文f 1 文摘要 摘要 由于独特的力电耦合性质，压电材料和功能梯度压电材料已经越来越广泛地应用于制作高精 度传感器、制动器以及高精度位移器等电子元器件。压电材料和功能梯度上l 三电材料本身呈脆性， 关于含缺陷的压电介质和功能梯度压电介质的断裂力学分析成为人们关注的焦点。自2 0 t h = 纪8 0 十 年代以来，含裂纹的压电材料和功能梯度压电材料的断裂力学的研究非常活跃，已经发表了大量 的文献。但是，在众多的问题中还有些问题没有研究过，因此，本文在统一的电边界条件下将对 压电材料和功能梯度压电材料中含反平画位移裂纹的动态冲击问题进行研究分析，全文共分五 章。 第一章概述- r 相关方面的研究现状，压电材料的电弹性控制方程及本论文的主要内容。第二 章讨论了反平面位移裂纹压电带的动态冲击问题。第三章讨论了反平面位移裂纹功能梯度压电 带的动态冲击问题。第四章讨论了反平面位移裂纹功能梯度压电带拼接均匀压电带的动态冲击 问题。第五章埘全文进行了简要的总结并提出今后感兴趣的1 作。中间j 章都首先利用压电材 料，功能梯度压电材料的本构方程得到一组复杂的动态方程，然后采用l a p l a c e ，f o u r i e r 积分变换， 得到对偶积分方程组，然后应用数值求积公式，给出了数值结果，讨论了载荷耦合参数，材料梯度参 数和裂纹位置等因素对动应力强度因子和电位移强度因子的影响。 关键词：压电材料，功能梯度压电材料，对偶积分方程，反平面位移裂纹，应力强度凶子 宁夏大学硕士学位论文英文摘要 a b s t r a c t d u et ot h ei n h e r e n tc o u p l i n gn a t u r e ，p i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l sa n df u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i c m a t e r i a l sh a v ea t t r a c t e dw i d ea p p l i c a t i o n si ne l e c t r i c m e c h a n i c a la n de l e c t r i cd e v i c e s ，s u c ha se l e c t r i c - m e c h a n i c a la c t u a t o r s ，, l l s o ra n ds t r u c t u r e p i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l sa n df u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i c m a t e r i a l si nm e c h a n i c a lb e h a v i o ra r eb r i t t l ea n ds u s c e p t i b l et oc r a c k i n g ，t h e r e f o r e ，i ti si m p o r t a n tt os t u d y 恤e l e c t r o - m e c h a n i c a li n t e r a c t i o na n df r a c t u r eb e h a v i o ro ft h o s em a t e r i a l s s i n c e8 0 si nt h el a s tc e n t u r y , m a n yr e s e a r c h e r sp a i dt h e i ra a e n t i o nt ot h ef r a c t u r em e c h a n i c so np i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l sa n df u n c t i o n - a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l sa n da n n o u n c e dag r e a td e a lo fp a p e r s h o w e v e r t h e r ea 心s t i l lm a n y p r o b l e mc a nn o tb es o l v e d t h e r e f o r e ，t h ep r e s e n tp a p e rw i l ls t u d yt h ed y n a m i cr e s p o n s eo fa l la n t i p l a n e s h e a rc r a c ko fp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l sa n df u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l so nt h ee l e c t r i c a l l y u n i f i e dc r a c kb o u n d a r yc o n d i t i o n ，t h i sp a p e ri sc o n s t i t u t e do ff i v ec h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e rs u m m a r i z e st h ei n v e s t i g a t i o ns i t u a t i o no fs o m ea s p e c t sr e i a t e dt ot h i st h e s i s ，t h e b a s i ce q u a t i o n so fp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l sa n df u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l sa n dt h em a i n c o n t e n td i s c u s s e di nt h i sp a p e r 硼忙s e c o n dc h a p t e ri sa b o u tt h ed y n a m i cr e s p o n s eo fa na n t i - p l a n es h e a r c r a c ki nap i e z o e l e c t r i cs t r i p t h ed y n a m i cr e s p o n s eo fa l la n t i - p l a n es h e a rc r a c ki naf u n c t i o n a l l yg r a d e d p i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l si ss t u d i e di nt h et t l i r dc h a p t e r t h ed y n a m i co fa l la n t i p l a n es h e a r c r a c ki na f u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cs t r i pb o n d e dt oah o m o g e n e o u sp i e z o e l e c t r i cs t r i pi ss t u d i e di nt h e f o u r t h c h a p t e r i nt h el a s tc h a p t e r , i ts u m st h et h e s i sb r i e f l ya n dp u t sf o r w a r dt ot h ef u r t h e r m o r er e s e a r c hi n t h en e a rf u t u r e f i r s t l y , t h es y s t e mo ft h ec o m p l e xg o v e r n i n ge q u a t i o n sc a nb eo b t a i n e db yu s i n gt h e c o n s t i t u t i v er e l a t i o n so fp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l sa n df u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l s s e c o n d l y , t h el a p l a c ea n df o u r i e ri n t e g r a lt r a n s f o r mt e c h n i q u e sa r eu s e dt or e d u c et h ep r o b l e mt ot h es o l u t i o n o fd u a li n t e g r a le q u a t i o n s t h i r d l y , t h i sd u a li n t e g r a le q u a t i o n sa r es o l v e dn u m e r i c a l l yb ye m p l o y i n g q u a d r a t u r ef o r m u l a sa n do b t a i n e dt h en u m e r i c a lr e s u l t s a tl a s t , t h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o r sh a v eb e e n o b t a i n e db yu s i n gt h en u m e r i c a li n v e r s i o no ft h el a p l a c et r a n s f o r ma n dt h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h e e f f e c t so fl o a d i n gc o m b i n a t i o np a r a m e t e r , m a t e r i a ld i s t r i b u t i o na n dc r a c kc o n f i g u r a t i o no nt h ed y n a m i c s t r e s sa n dd i s p l a c e m e n ti n t e n s i t yf a c t o r k e yw o r d s ：p i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l s ，f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l s ，d u a li n t e g r a le q u a t i o n ，a n t i - p l a n e s h e a rc r a c k , s t r e s si n t e n s i t yf a c t o r 一一 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特 , j j j l l 以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：埘 时间：年月日 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传 播学位论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生签名：垂童望暨 导师签名 时间： 时间： 年月日 年月日 宁夏人学硕+ 学位论文第章引青 1 1 复合材料的研究介绍 第一章引言弟一早 ji 函 1 1 1 压电材料的发展与研究现状 科技的发展使得工程中的结构对材料的要求越来越来高，材料科学正向智能和功能化的方向 迈进。智能材料和器件广泛应用于信息技术、新材料技术和航天等高技术领域，并且日益显示出 其巨大的优越性。由于能够实现机械能和电能之间的相互转换，压电材料被广泛地应用于制作高 精度传感器、制动器、高精度位移器等电子元器件，同时也应用于精密仪器、航空航天、自动控 制、办公自动化、微机械系统、微装配、精密定位等领域。自1 8 8 0 年j a c q u e s 和p i e r r ec u r i e 兄 弟发现压电材料( p m s ) 以来，作为智能结构和器件的核心材料，压电材料及结构的静动力特性研究 受到了普遍的重视【l l 。 压电材料比较脆，由于制造过程中产生的缺陷( 如裂纹、孔洞、夹杂等) ，压电介质将可能发生 破坏，对此类材料，建立压电材料的微裂纹萌生、扩展、寅至材料破坏的损伤演化过程的力学模 型，揭示压电材料及其产生破坏的根本原因，为工程设计人员提供一个完整的可靠性分析的理论依 据，以便工程人员的使用和对元件的优化设计，是研究人员需要解决的工程问题。更多地从机构方 面研究压电介质的破坏行为、甚至动态破坏行为是很有必要的。因此压电介质的损伤与断裂力学 成为现代力学的重要研究课题。自2 0 世纪8 0 年代未以来，随着现代高科技的发展，含缺陷压电介质 的断裂力学研究非常活跃。 目前，在压电材料的断裂力学研究中，最常用的电学边界条件有三种，一种是可导通边界条 件，可导通边界条件则认为，由于裂纹厚度很小，裂纹曲的电边界条件应上下连续。即上下表面 电势和法向电位移分量相等，即 ( $ ，0 + ) = ( z ，o - ) ，d p ( z ，0 + ) = d 0 ( z ，0 一) 式中，为裂纹上下表面的电势，d 掣为y 方向的电位移分量。 利用可导通边界条件，p a r t o n t 2 1 开创了分析压电介质的裂纹问题的先河，从他的工作开始， 压电裂纹问题受到了研究者的广泛关注。 另种是不可导通边界条件，认为裂纹不导通电流，裂纹面电位移法向分量为零，即 口0 ( z ，0 + ) = d 0 ( z ，0 一) = 0 这种观点认为，空气的电导率远远小于压电材料的电导率。压电介质的断裂力学分析最系统的工 作始于d e e g t 3 j 的工作。在他的博士论文中，就是利用不可导通边界条件，系统分析了压电介质中 的位错、裂纹和夹杂问题。p a k 4 j 采用不可导通边界条件研究了无限大压电介质中的中心反平面 裂纹问题，以路径无关积分形式表示出了型断裂的能奄释放率他的研究表明，在固定的力学载 荷条件下，电载荷对裂纹扩展起促进作用还是阻滞作用，取决于电载荷的大小、方向和作用方式 宁复人学硕十学位论文第。章引吉 文献1 5 1 ， 6 1 采用复变函数方法，对在反平而剪切和平而电场作用下的攮电介质与压电夹杂界而裂纹 问题进行了分析；文献 7 1 用积分变换技术求解了不同压电介质的反平面裂纹问题 最后。一种足限制导通边界条件，即 d 智( z ，0 + ) = d ”( z ，0 一) ，d 0 ( z ，o + ) ( 让+ 一u 一) = 一e 。眵( z ，0 + 一( ( z ，0 一) 】 其o e ( u + 一t 一) 为裂纹的宽度，e o 为裂纹中介质常数。这里，定义e 。与真空的介质常数o = 8 8 5 1 0 - 1 2 a s v m 成正比例关系 口= s r c o 如果裂纹中的电介质是空气或真空则钾= 1 ，如果裂纹中的电介质为其它材料则钾 1 ，不存在 介质使得g - ， 和( 1 2 ) 代入到方程( 1 3 ) 和( 1 4 ) 巾，则本构方程可简化为： 钆a 西 = 2 c 4 4 瓦4 - e 1 5 瓦 a 铷a 西 2 c 4 4 面+ e 1 5 丽 仇= e 。豢一钆塞，仇= e s 等一m 考 平衡方程和m a x w e l l 静电平衡方程简化为： 等+ 等= p 器，警+ 等= 。 ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) 其中：，勺。为应力分量，眈，巩为电位移分量，：，：是应变分量，妒为电势，c 4 4 为剪切模量， e 1 5 为压电常数，1 1 为介电常数，p 为功能梯度压电材料的密度。 一5 一 宁夏人学f ! 贞十学位论文第章引言 1 5 本文的主要工作 随着新犁材料的广泛需求，压电材料和功能梯度压电材料的这种独特的机电耦合性质，使其广 泛用于先进智能结构设计中；另一方面，因为其具有梯度参数，可以避免由两种不同材料参数产生 突变带来的影响但是，从以上所提到的研究工作可以看出，主要是针对非均匀材料受到静态载荷 作用下的裂纹问题和压电材料或弹性材料，压电材料受动态载荷作用下的裂纹问题。然而在自然界 和工程实践中功能梯度压电材料也不可避免地要受到动态载荷的作用，但总的来说，应用对偶积分 方程技术，对功能梯度压电介质中的裂纹问题的研究，还是不够充分的。 本文在统一电边界条件的假设下，假设功能梯度压电材料的电弹性模量沿其厚度方向按指数 函数变化，分别运用l a p l a c e 和f o u r i e r 变换，把混合边值问题转化为对偶积分方程，然后利用对偶 积分方程的数值方法进一步研究了： l 、含反甲而位移裂纹的压电( p m ) 带的动态冲击问题。 2 、含反平面位移裂纹的功能梯度压电( f g p m ) 带的动态冲击问题。 3 、含反平面位移裂纹的功能梯度压电( f g p m ) 带拼接均匀压电( p m ) 带的动态冲击问题。 一6 一 宁夏人学硕十学位论文第章含反平面位移裂纹的挑电带的动态冲击问题 第二章含反平面位移裂纹的压电带的动态冲击问题 2 1 引言 众所周知，压电材料在变形时产生电场，在受电场作用时产生变形，正是由于这种内在的机电 耦合性质，琏电材料在声，光，电子，医药，生物以及智能结构的形状和振动控制等领域有着r 泛的 应用，尤其是高能声纳发射器，机电执行器及压电电源等高新技术中发挥着重要作用。当压电材 料受到机械和电场载荷作用时，往往会由于缺陷或裂纹的扩展而发生失效因此正确理解压电材 料的断裂问题，可以预报压电元件地工作期限，保证生产安全。由于压电材料在实际工程卜的广泛 应用，对内含裂纹的压电材料电弹性场分析，受到了众多研究者持久的关注。文献 6 5 11 6 6 1 研究了压 电材料的动态断裂问题。而对于压电材料的这种含反平而位移裂纹的动态问题还没有人研究过。 本文，我们采用积分变换，对偶积分方程方法，考虑统一电边界条件，研究压电材料带中的反平面位 移裂纹受反平面冲击和平面电位移作用的三型问题。 2 2 问题的描述和控制方程 考虑如图2 1 所示的问题，一高为2 ，内含一长为孙的裂纹的压电带，r o ，d o 和i - i ( t ) 分别指剪 应力，电载荷和h e a v i s i d e 阶跃函数，极化方向沿g 轴， = 下表面受机械载荷丁b 和电载荷d o 的共同作 用，在裂纹尖端处受到已达饱和状态的带状电极d s 的作用，其中8 b 。为了方便期间，假 设p m 带包含两层，上层厚为h 1 下层厚为h 2 ，分别用下标i = l ，2 代表p m 的卜层和下层。 iololo l 、h l t l l ( ：) i i ( ：) l t 1 i d s 蹦 ? l 噎 b ： - h 2 ( 2 l f f 因i f ff f l 固 网2 1雎电材料带中的反平面位移裂纹的动态冲击的模型 将方程( 1 7 ) ( 1 8 ) 代入方程( 1 9 ) 后得： c 4 4 v 。毗+ e l 。v 。嗽：胁挚 e 1 5 v 2 奶一e l l v 2 以= 0 7 一 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 宁夏人学硕十学位论文第_ 章食反平面位移裂纹的球电带的功念冲击问题 这里v 2 = 筹+ 筹是j ：阶l a p l a c e 算子，下标i = 1 ，2 代表上层和下层 令砒= 九一( e l s ) w , ，则方程( 2 1 ) ( 2 2 ) 可变为： v 2 一击等 v 2 如= 0 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 这里c 2 = 是压电材料的剪切波速，p = c 4 4 + ( e 1 5 ) 2 e 1 1 利用叠加原理，此问题可分解为如下两个问题，( a ) 无裂纹压电材料受反平面应力r o h ( t ) 及平 面电位移d o h ( t ) 作用；( b ) 裂纹表面受反平面应力- 仉o h ( t ) 及平面电位移一d o h ( t ) 的作用，在断 裂力学的观点来看，主要考虑裂纹存在引起的应力奇异性。则所求问题与问题( b ) 等价，因此本文 只考虑问题( b ) 。 2 3 边界条件 我们考虑如下的边界条件： 勺：l ( x ，h i ，t ) = 勺。2 ( x ，一7 1 2 ，t ) = 0 d y i ( ：i ，h i ，t ) = d 掣2 ( x ，- h 2 ，t ) = 0 勺。l ( x ，o ，t ) = 勺：2 ( z ，0 ，t ) d ”l ( x ，0 ，t ) = d y 2 ( x ，0 ，t ) 勺：1 ( x ，0 ，t ) = 一丁b 日( t ) ， i z l 8 d y l ( x ，0 ，t ) = 一d o l l ( t ) ( 1 一d r ) + d s h ( x n ) ，i z l b w l ( x ，0 ，t ) = w 2 ( x ，0 ，t ) ，h n q b l ( x ，0 ，t ) = 也( 。，0 ，t ) ， b 这里d r = d ；d o s t i _ 【6 9 l ，其中域是裂纹面上的正常电位移，当d r = 0 时为非渗透型裂纹 条件，当d r = ( 三) r ) p e ，。时为渗透型裂纹条件。 2 4 问题的求解 定义l a p l a c e 积分变换为： ， ，p ) = f ( t ) e p d t j o 巾) = 熹e m 矿疵 这里c 为任意正数则方程( 2 3 x 2 4 ) 分别变为： v 2 咖番屺( 2 ) 8 一 ( 2 6 a ) ( 2 6 b ) ( 2 7 ) 、，、，、j、，、，、，、j、， 妇 铀 兜 所 铀 亿亿q亿 ! 星叁兰丝：兰兰垡堡茎蔓二望童星堂垡壁墼鏊墼堡! 垒堂塑型查登壹塑嬖 v 2 舛= 0 ，( i = 1 ，2 ) ( 2 8 ) 引入f o u r i e r 余弦变换： ，十o o 秽s ，可，p ) = w + ( z ，p ) c o s ( s x ) d z( 2 9 a ) ，0 t 。+ ( z ，! ，p ) = 一2f o + ”面( s ，矽，p ) e o s ( s x ) d s( 2 9 b ) 则方程( 2 7 ) ( 2 8 ) 进。步变为： 叫；( z ，可，p ) = 2 0 。【a i ( s ，p ) e x p ( ，y 耖) + b i ( s ，p ) e x p ( 一，y ! ，) 】c ( ) 8 ( 8 z ) d s ，( t = 1 ，2 ) ( 2 1 0 ) 9 ，o o 惦( 删，p ) 。妻上阪( s ，p ) e x - p ( 盼) + d i ( s ，p ) e x p ( 一s y ) c o s ( s z ) d s ，( = 1 ，2 ( 2 1 1 ) 钟( z ，y ，力= 惦( z ，y ，p ) + e l s w * ( 、x ，y ，p ) ，( i = 1 ，2 ) 0 1 1 这里a i ( s ，p ) ，马( 8 ，力，g ( s ，p ) ，d i ( s ，力g = 1 ，2 ) 是待定的未知函数，并且 ，y 。 把式( 2 1 0 ) - ( 2 1 2 ) 代入到式( 1 7 ) 和( 1 8 ) 得： ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 9 f + o o 略i ( z ，! ，p ) 2p 妻上 o a i ( s ，p ) ”一，y 鼠( s ，p ) e 1 ”】c o s s z 如 + e 2f o 佃【s g ( s ，pe s y 一8 d i ( 8 旷删 c o s ( s z ) d s ( 2 1 4 ) 9 f + o o d 弛卿) 2 咱1 妻z s c i ( s ，p ) e y - s d i ( s p ) e 。y c o s ( s z ) 幽( 2 1 5 ) 则南式( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 和边界条件( 2 5 c ) ( 2 5 d ) 得到： 【a l ( s ，p ) 一b l ( s ，p ) 】= 【b 2s ，p ) 一a 2 ( s ，p ) 】= m ( s ，p ) 慨( s ，p ) 一d 1 ( s ，p ) 】= d 2 ( s ，p ) 一c 2 ( s ，p ) 】= n ( s ，p ) 则巾式( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 和边界条件( 2 5 a ) ( 2 5 b ) 得到： ( 2 1 6 ) s ae ) ( p ( 觚1 ) 一s 仍e x p ( - s h l ) = o ，8 d le x p ( - s h 2 ) - a d ze x p ( s h 2 ) = ” ( 2 1 7 ) ，y a le x p ( y h l ) 一 r a 2e x p ( - f f h l ) = 0 ，y b le x p ( - y h 2 ) 一7 岛e x p ( t h 2 ) = 0 9 一 宁夏人学硕十学位论文第章含反平面位移裂纹的 i i 电带的动态冲击问题 解得八个未知数为： 讹力= 羔帅 p ) ， p 2 叮( l + ，1 2 ) 4 - p 2 ，1 2 b i ( s ，p ) 2 j 孤赫m ( s ，p ) ， a 2 ( s ，p ) ：黼脚 p ) ，s ，p ) 2 壬面舞丽m ( s ，p ) ， 郧 p ) = 羔脚， ，p ) = 若嘉( 3 p ) ， p 2 s ( h x + h 2 ) 4 - p 2 a h 2 d 1 ( 8 ，p ) = 二f 二_ 舀浠( s ，p ) ， p 2 s h l4 - p 2 s h 2 伤( 帅) 2 壬否高面( s ，p ) ， 把式( 2 1 4 x 2 1 5 ) ( 2 1 8 ) - ( 2 2 5 ) 代入到边界条件( 2 5 e ) - ( 2 5 h ) 中，可得对偶积分方程： 其中 f f ( s ，力： 【e ( 3 ，p ) = ( 1 一e 2 仆，) ( 1 + e 2 y b ) 1 一e 2 v ( h l + h 2 ) ( 1 一e 2 s h l ) ( 1 + e 2 s h 2 ) 1 一e 2 s ( h l + ，1 2 ) 一l o 一 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 0 z 口) ( 2 2 6 ) ( 0 z b ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 堕印 = 凼 妨0 瞄 力， k 慨 如 文 酞 占 o + = 脚幽 和功 m p _ 姜 咖 力 0 岛 咿心 伊f ，-、【 叫矾 仇历嘞 一 b 1 6 一 ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 a ) ( 3 8 b ) ( 3 8 c ) ( 3 8 d ) ( 3 8 e ) ( 3 8 d ( 3 8 9 ) ( 3 8 h ) 这里d r = d ；d o 3 4 问题的求解 同样地，引入形如( 2 6 a ) ( 2 6 b ) 式的l a p l a c e 变换，则方程( 3 6 ) ( 3 7 ) 分别变为： v 2 w i + 2 卢筹= 蒜舛( 2 ) ( 3 9 ) v 2 惦铷筹= 。( ，2 ) ( 3 1 。) 同样地，再引入形如( 2 9 a ) ( 2 9 6 ) 式的f o u r i e r 余弦变换，则方程( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 进一步变为： ) ，十 叫；( z ，掣，p ) = 三7 1 上 【a ( s ，p ) e m l 掣+ b ( s ，p ) e m ”】s ( 跗) d s ，( = l ，2 ) ( 3 ) 蝣( z ，y ，p ) = 2 0 + ”( ( 五( s ，p ) e m y + d i ( s ，p ) e n 。p l c ( ) s ( s z ) d s ，“= 1 ，2 ) ( 3 1 2 ) ：( z ，功：妒：l ( z ，! ，p ) + ；娶 ；( z ，扩，p ) ， g ：1 ，2 ) 0 1 1 这里a i ( s ，p ) ，鼠( s ，p ) ，g ( s ，p ) ，d i ( s ，p ) “= l ，2 ) 是待定的未知函数，并且 m l = 一口+丽，m ：一卢一1 ( 硼 把式( 3 i i ) 一( 3 1 3 ) 代入到式( 1 7 ) 和( 1 8 ) 得： ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 a ) ( 3 1 4 b ) 。k 嘻i ( ，秒，p ) 2 枷e 霄z - ，一。 - 【m 1 a ( 8 ，p ) e ”l ”+ m 2 鼠( s ，p ) e “2 可】c o s s 础 o ，+ o o + e 0 5 e 2 肋妻上 n l c ( s ，p ) 少掣+ 他鼠( s ，p ) e 耽1 c o s s z 凼( 3 a 5 ) 。玉( z ，玑p ) = 一e 2 l e 2 b y ；2 0 0 扎1 g ( s ，p ) e ，l t y + n 2 d i ( s ，p ) e ”。挈】c o s s z d s ( 3 1 6 ) 把( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 代入边界条件( 3 8 c ) ( 3 8 d ) 得： m l a d s ，p ) 一a 2 ( 8 ，p ) 】= - m 2 b l ( s ，p ) 一b j ( s ，p ) 】= m ( 8 ，p ) m c 1 ( s ，p ) 一q ( s ，p ) 】= - n 2 d l ( s ，p ) 一见( 8 ，p ) 】= l v ( s ，p ) 其中m ( s ，p ) ，n ( s ，p ) 是被定义的两个待定未知函数。 一1 7 一 ( 3 1 7 ) 宁夏人学硕十学位论文第二三章含反平面位移裂纹的功能梯度球电带的动念冲击问题 把式( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 代入边界条什( 3 8 a ) ( 3 8 b ) - u l 以得到 佗1 c ae x p ( n l h l ) + n 2 d ae x p ( n 2 h a ) = 0 n 1 c 2e x p ( - n l h 2 ) + n 2 d 2e x p ( - n 2 h 2 ) = 0 r a t a le x p ( m l h l ) + m 2 n le x p ( r a 2 h 1 ) = 0 m l a 2e x p ( - m x h 2 ) + m 2 3 2e x p ( - r a 2 h 2 ) = 0 由式( 3 0 ) 和( 3 1 ) 解得八个未知数为： a 1 ( s ，p ) = 一署唧( m 2 一m 1 ) 九b 1 ( s ，p ) a 2 ( 8 ，p ) = a i ( s ，p ) b i ( s ，p ) = 一面1 岛( s ，p ) 一m m _ 2 2 1 c 1 ( 训= 一等 m ( s ，p ) 毒1 e 兰x p ( m 磐2 堕m 1 ) 筹( h l h 2 脚 一一 +1 、” e x p ( m 2 一m 1 ) h 2 a 2 ( 8 ，力 e x p ( n 2 一n 1 ) h l d l ( s ，们 q ( s ，p ) = c 1 ( s ，力 d ，( s ，p ) = 一面1 忱( 3 ，p ) = 一翌n 2 n ( s ，p ) n 1 毒1 e 竺x p ( - 唑2n淼1)(hl h 2 ( 8 一一+) ”7 e x p ( n 2 一n 1 ) 乜q ( s ，p ) 由边界条件可得对偶积分方程： 其中 由c o p s o n 方法得： f ( s = 芸郇+ a o ) f 0 1 厕水，p ) 孙) 武 1 8 一 ( 0sz 口) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 0 。 o 。) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 堡印 l l 如 力p 扣， 计 p z ：2 一 咖 吲 枷 疹冲帆吣咖力阢她 铲f 旬 扛 争删 卜 茁 珥 蜓 姐o 嘉肛 一 船 扣 嘶叫训州 力 + 力 毋 洲叭 耶学 铲铲 羞。 塑磺| 喜 基一 ( s ，p ) ：譬掣i 伽。( f ，p ) j o ( 蚓然 0 1 1 j 0 a o = a ( 1 一d ，) 、e 1 5 仇 a = 一一 i ir o 其中而( s 蜓) 为第类零阶的b e s s e i 函数，函数q ( f ，p ) 由如下的第二类f r e d h o l m 积分方程控制 r l q 1 ( ，p ) + q 1 ( 7 ，p ) k l ( 芒，7 ，p ) 咖= 诓 ，1 - ，u q 2 ( ，p ) + q 2 ( 7 ，p ) 尬( ，仍p ) d r l = 锥尬( f ) ，u 其中核k ( f ，r ，p ) 满足下列式子 f ( 象 e ( 石8 ， 1 l 而( ) 而( 叼) 幽 1 1 j o ( 8 0 9 0 ( 8 , 7 ) 幽 j ( ) = l ( 专 石a ) t 燃) 1 1 一兰，r 堡d 0 1 1 - 堕d r ( a o 这里d ，= 瑶d o 4 4 问题的求解 同样地，引入形如( 2 6 n ) ( 2 6 6 ) 式的l a p l a , ：e 变换，则方程( 4 8 卜( 4 1 1 ) 分别变为： v 2 研埘筹= 研p 2 叫；( i - - - - - 1 , 2 ) v 2 蝣+ 帮筹= 呲= 1 2 ) v 2 磁= 蒜嵋 v 2 锯= 0 “1 2 b ) ( 4 1 2 c ) ( 4 1 2 d ) ( 4 1 2 e ) ( 4 1 2 f ) ( 4 1 2 曲 ( 4 1 2 h ) “1 3 ) “1 4 ) “1 5 ) ( 4 1 6 ) 同样地，再引入形如( 2 9 a ) ( 2 9 6 ) 式的f o u r i e r 积分变换，则方程( 4 1 3 ) - - - ( 4 1 6 ) 分别为： t 正，；( z ，剪，p ) = 晏z m t ( s ，p ) e 叭v + 段( s ，p ) e m 2 掣 c o s ( s z ) 如 ( i = 1 ，2 ) ( 4 1 7 ) 锘( z ，暑，p ) = 昙z 【q ( s ，彩e t i v + d i ( s ，p ) e 啦掣】c o s ( s z ) d 8 ( t = 1 ，2 ) ( 4 1 8 ) 嵋( z ，耖，p ) = ：2 o 如( 8 ，p ) e 1 分+ 岛( s ，p ) e 一一r 1c o s ( s 。) d s 怯( z ，p ) = - 2 o 。 i ( s ，p ) e s p + 。b ( s ，p ) e 一8 y 】c 。6 ( s z ) 幽 妒；( 。，可，p ) ：妒：l ( z ，p ) + = e 乎ot 嵋( z ，! ，p ) 0 ：l ，2 ，3 ) 0 1 1 ( 4 1 9 ) ( 4 2 0 ) “2 1 ) 这里a ( s ，p ) ，b i ( s ，p ) ，a ( s ，p ) ，d i ( s ，p ) ，( i = 1 ，2 ) ，侠( 3 ，p ) ，d k ( s ，p ) ，( k = 3 ，4 ) 是待定的未知函数， 一2 6 第1 i j 章含反平面位移裂纹的功能梯度鲰l 乜带拼接 宁夏人学硕士学位论文均匀j l j i 也带的动态冲卉f i u 】题 并且 m l = 一口+v ( 习，m 。：一p v 两( 4 2 2 a ) 一y 。 把式( 4 1 7 卜群2 1 ) 代入到( 1 7 ) 和( 1 8 ) 得： 嘻i ( x ，| ，p ) = + e i ( z ，y ，力= 嘻3 ( z ，y ，p ) = + d ”3 ( x ，y ，p ) = 代入边界条件得： 舻肋昙z 。【m l 撕，p ) e r e l y + m 2 b i ( s p ) e m 协( 训d s e 0 。e 2 b y 磊2z ”【n ，g ( s ，p ) e n l y - n 2 。t ( s ，p ) e n 2 ”】c o s ( s z ) 幽 一智，e 2 卢掣昙z 。融t ( 鼍( 3 ，p ) e n l yo c - n 2 。t ( s ，p ) e 1 2 掣 c o s ( s z ) d s 旷2 肌昙z ”，y 帅彬虬踯舻叫c 嬲( 船汹 e n l 5 捌k 7 2 1 j ，o 。8 盼( 岛p ) e 虬d i ( s ，咖叫 e o s ( s z ) d s 一2 。e 一2 卢，1 2 罢z 。s 【( 五( s ，p ) e 8 掣一d i ( s ，p ) e s v c o s ( s x ) d s m l a l ( s ，p ) 一a 2 ( s ，p ) 】= - m 2 b l ( s ，功一玩( s ，p ) 】= m ( 8 ，p ) n l c i ( 8 ，p ) 一伤( s ，p ) 】= - n 2 d l ( s ，p ) 一0 5 ( 8 ，p ) 】= n ( 8 ，p ) 一2 7 一 ( 4 2 2 e ) ( 4 2 3 ) ( 4 2 4 ) ( 4 2 5 ) ( 4 2 6 ) ( 4 2 7 ) 宁夏人学硕+ 学位论文 第l ，q 章含反平面位移裂纹的功能梯度压电带拼接 均匀ni 乜带的动态冲，h i u 】题 其中肘( s ，p ) ，n ( s ，p ) 是被定义的随个待定未知函数何由边界条件( 4 9 ) 及式( 4 1 4 ) 得 a ，( 8 ，p ) = 一署e x p ( m 2 一m 1 ) t b l ( s ，力 讹p ) 呐p ) - 掣 b 1 ( s ，p ) = - q ( s ，p ) m ( s ，p ) 岛( s ，p ) = 一h 1 ( s ，p ) e x p ( m 2 r n l ) h 2 a 2 ( 8 ，p ) c 1 ( 哪) = 一署e x p ( n 2 - - n 1 ) | l t d