（应用数学专业论文）可控二维平面驻波的边值混合问题.pdf

摘要 本文主要研究二维p o i s s o n 方程 f + = f ( x ，y )o x o - y 1 2 u ( x ，o ) = 仇( 力，u ( x ，2 ) = 仍( 曲o x ( o 1 ) l v ( o ，y ) = o ，)，u ( ，y ) = ，2 ( y ) 0 y s 之 的混合问题的f o u r i e r 级数形式的解，并利用能量积分讨论该问题的可控性这类 问题有着较强的物理意义： ( 1 ) 给定具体的平面区域的横轴区间，存在纵轴所在的区间，使得在此平面区 域处其上各点的能量可以得到控制 ( 2 ) 给定具体的平面区域的纵轴区间，存在横轴所在的区间，使得在此平面区 域处其上各点的能量可以得到控制 该问题是一个非齐次方程、非齐次边界条件的混合问题，它的研究有一定的难 度首先，我们需要将混合问题( o 1 ) 利用线性叠加原理分解成 lz k + “炒= o0 x 0 y 之 “( x ，o ) = 仍( x ) ，甜( x ，t 2 ) = 仍( x ) 0 x ( o 2 ) l “( o ，y ) = l ( _ y ) ，“( ，y ) = ( 力0 y ，2 和 i k + = f ( x , y )o x 0 y - t 2 v ( x ，0 ) = 0，“x ，厶) = 00 x ( o 3 ) l v ( o ，y ) = 0，( ，y ) = 00 y 1 2 再将定解问题( o 2 ) 化成如下两个定解问题求解 i 岣+ = oo x 0 y 乞( 2 2 1 ) ( x ，o ) = 仍( x ) ，u i ( x ，之) = 仍( x ) 0 x ( 2 2 2 ) ( o 2 1 ) 1 ( o ，力= 0 ，m ( ，y ) = 0 0 y a l 2 【2 2 3 ) 与 i 2 。+ 1 1 2 2 00 x o y - 1 2 ( 2 3 1 ) 甜2 ( 工，o ) = 0 ，u 2 ( x ，乞) = 00 x ( 2 3 2 ) ( o 2 2 ) l u 2 ( o ，y ) = l ( y ) ，毪( ，y ) = ( _ y ) o y f 2 ( 2 3 3 ) 另外，定解问题( o 3 ) 可利用非齐次方程的求解方法来求解 其次，我们通过分离变量法，计算混合问题( o 1 ) 的具有f o u r 泖级数形式的 解；然后，需要找寻到边界条件中的函数厂似j ，) ，仍( x ) ，q , z ( x ) ，( f ) 和毕，2 ( f ) 能 够展开成f o u r i e r 正弦级数的条件；最后，要能够通过该问题能量的定义，说明二 维p o i s s o n 方程的混合问题物理意义，探讨混合问题( o 1 ) 的可控性 关键词：p o i s s o n 方程，非齐次，控制 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t i nt h ep a p e r , w es t u d i e dt h ef o l l o w i n gt w od i m e n s i o n a lp o i s s o ne q u a t i o n f u 二+ u 0 = 八马力o x o y 厶 u ( 薯o ) = 仍( 习，u ( x ，之) = 仍( z ) 0 9 x - 4 ( o 1 ) i u ( 0 ，力= 奶)，u “，y ) = ( y ) 0 s ) ，之 w i t hf o u r i e rs e r i e ss o l u t i o n , u s e dt h ee n e r g yo ft h es o l u t i o nt od i s c u s st h er e l a t i o n c o n t r o l l i n gp r o b l e m ，t h e s ep r o b l e m sa r ew i t hs t r o n g l yp h y s i c a l l yb a c k w o o d ( 1 ) g i v e na ni n t e r v a la tx a x i si nt h er e g i o no nx y - p l a n e ，t h e nt h e r ee x i s t sa l li n t e r v a l a ty a x i ss u c ht h a tw ec a nc o n t r o lt h es o l u t i o ne n e r g yo nt h ei n t e r v a la ty - a x i s ( 2 ) g i v e na ni n t e r v a la ty - a x i si nt h er e g i o no nx y - p l a n e , t h e nt h e r ee x i s t sa ni n t e r v a l a tx - a x i ss u c ht h a tw ec a nc o n t r o lt h es o l u t i o ne n e r g yo nt h ei n t e r v a la tx a x i s t h i si sa nn o n h o m o g e n e o u se q u a t i o nw i t hn o n h o m o g e n e o u sb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，i ti s d i f f i c u l tt os t u d yt h e s ep r o b l e m s f i r s tw eu s e dt h ep r o p e r t i e so fl i n e a re q u a t i o n st o d i v i d et h ep r o b l e m ( o 1 ) 晰t ht h ef o l l o w i n gt w op r o b l e m s iz o + 够炒= 0o x 0 y 之 u ( x , 0 ) = 仍( 功，“( x ，t ：) - - 仍( x ) 0 x ( o 2 ) i 甜( o ，j ，) = ( y ) ，“，力= ( 力0 y f 2 a n d 1 + y = 厂( 墨y ) 0 - x 0 ) ，毛 v ( x ，o ) = 0，v ( x ，乏) = 00 x ( o 3 ) i v ( 0 ，y ) = 0， ，( ，力= 00 y 厶 u s e dt h em e t h o do fs e p a r a t i o no fv a r i a b l e sa n dt h ep r o p e r t i e so fp o s s i o ne q u a t i o nt o g e tt h es o l u t i o n so fp r o b l e m s ( 0 2 ) a n d ( o 3 ) ，t h e nw eg e tt h es o l u t i o no f ( o 1 ) , a tl e a s tw e g e to u r r s s u l t s k e yw o r d s ：p o i s s o ne q u a t i o n , n o n h o m o g e n e o u s ，c o n t r 0 1 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体己经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：蝴 日瓤2 晰6 月日 导师签名： 日期：年月 日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回童诠塞堡銮后进后；旦圭生i 旦= 生；旦三生发查! 作者签名：，张面翻 日期：2 晰多月，日 导师签名： 日期：年月日 1 引言 在纵多物理现象的研究中，除了由弦振动、膜振动、电磁波及声波的传播而产 生的波动方程的混合问题之外，还有对于热传导现象的分析和研究而产生的热传导 方程假设函数u ( x ，y ，r ) 为空闻薄片在点( x ，力处f 时刻的温度，当温度不是常量时， 热量由温度高处向温度低处传递，根据f o u r i e r 热传导定律，在假设薄片的侧面绝 热时，便得到二维齐次的热传导方程 u t 一口2 ( z o + 咋，) = o 如果薄片内部有热源，则此时温度函数u ( x ，y ，f ) 应该满足 u t 一口2 ( + ，) = f ( x , y ，f ) 同理可得到两端绝热的细杆内的温度分布 哆一0 2 = f ( x ，f ) 以及空间物体的热传导方程 u t 一口2 ( z k + 甜+ “茸) = 厂( x ，y ，z ，f ) 但是，经过相当长的时间以后，物体内各点的温度随时间的推移而发生的变化 已不显著，此时可表明温度分布趋于定常，也就是可近似地用坼= o 表示这样齐 次的热传导方程就变成了 + 呦= 0 + + = o 它们被称为l a p l a c e 方程，其中引入 色= 善+ 毒+ + 蓦 其被称为，z 维空间的l a p l a c e 算予也可简记为 = 色与a u = 0 此时，万维非齐次的热传导方程就转变成了 a u = ( 五，x 2 ，秭，t ) 被称为p o i s s o n 方程 却如方程与p 0 船鲫方程都属于椭圆形方程的范畴“ 与波动方程的混合问题一样，在泛定椭圆形方程中加入不同的定解条件，也便 产生了对于不同的物理现象的椭圆形方程的混合问题这些在文献【1 卜【5 】中均有讨 论，譬如在文献【3 】中讨论：有一个半径为r 的圆盘，若上下两面绝热，圆周边界上 的温度已知，则稳恒状态下圆盘内的温度分布就满足二维的l a p l a c e 方程的混合问 题 f ”。+ “= o ，x a + y 2 r 2 【”b 以萨2 厂( ) 当然，在二维泛定方程z k + = o 中加入边界条件 u o = 一磊工+ c ； 及 u i = - - 叁h a p + 气 该混合问题便可描述圆柱导体外的静电场其中矗是匀强电场中的场强，d o 为由磊 产生的电位，吼为单位长度所带的电量在匀强电场内的一无限长圆柱导体，其轴 向与岛垂直，导体的半径为，( p r ) 本文主要讨论二维p o i s s o n 方程 l u 二+ u 0 = ( x ，y )o x s o y 如 u ( 五o ) = 吼( x )，u ( x ，之) = 仍( x ) 0 x ( o 1 ) 【u ( o ，y ) = 奶( y ) ，【，( ，j ，) = ) o y - l z 的混合问题，该问题可看作是：在一长方形薄板上，其四边上的温度已知，求其上 2 硕士擘位论文 m a $ t e r st h e s l s 的温度分布 文章将讨论非齐次方程条件f ( x ，y ) 以及非齐次边界条件仍( 力、仍( x ) 、 i i f i ( x ) 、( 力在给定的相应条件下，混合问题的解具有变量分离的解，且可将这个 解展开成f o u r i e r 级数，这个解u ( x ，f ) 可理解成由一系列的平面驻波叠加而成然 后通过能量积分估计，说明在相对稳定的平衡状态下，长方形薄板上长边与短边的 相互关系，从而达到对平面区域内任意子区域上的能量控制 2 1 基本引理 2 引理与求解过程 如果p 是集合a 上的一个映射，对v x ，y a ，满足尸( “+ a y ) = c p x + a p y ，其中c ，d 为常数，则称p 是爿上的线性算子设工是区域q 上的线性算子， b 是q 的边界r 上的线性算子，则线性方程带有线性定解条件的定解问题用算子可 表示为 i l u = 五 【( 砌) | r = g 这个问题称为线性问题或线性系统 引理2 1 ( 线性叠加原理) 设，m ，分别满足线性问题 蒿鼻。叫篙嘞” 则当艺垮和艺g 都收敛，且级数艺珥可逐项微分所需要的次数时，函数“= 艺m 是 线性问题 l u = 五 l ( 砌) i ，= g j 的解 证明：由于工是区域q 上的线性算子，b 是q 的边界r 上的线性算子，从而得 l u = l u o + l u , = f o 且满足 ( 口“) | f = ( 口) l r + ( 觑，) l r = 岛 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e $ 1 s 即命题得证 引理2 2 ( 线性非齐次方程求解方法) 若函数均 ，力是二维p o i s s o n 方程 a u = ，( 矗y ) ，( x ，y ) q 的一个特解，令函数v = 甜一m ，则定解问题 f a u = ( 墨y ) ，( z ，力q l u i r = g ( x ，y ) ，“力f 可化为二维l a p l a c e 方程阳应的定解问题 l a v = 0 ，k y ) q 1 1 ，| r = g 一强| r ， 证明：由v = u - , - u i 可得 a v = a u 一毡= 厂( 五力- f ( x ，y ) = 0 且 ，l r = ( u - - l f l ) l r = g 一i r 即证 引理2 3 ( f o u r i e r 数收敛定理) 设函数八x ) 在区间【o ，】上有直到小阶的连 续导数，m + l 阶导数分段连续，且当p 为偶数时 p ( o ) = ( ，) = o 若把，( d 展开成e 弦级数 厂 ) 一主a ks i i l 竽x t - | l 则级数 k ”l q l 是收敛的 证明：由假琶知，函数，”1 ( 功可在区间 o ，f 】上展开成而缸廊r 级数当m 为 5 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 兰= ! 皇= 兰竺= ! 晕毒詈竺! 墨毫曼竺! ! = 毫昌= 毫篁皇皇= = = ! = = = = 詈= = = =薯21 葛!暑葛! ! 皇= 暑 奇数时，展开式为 广“”善妒”s 证竽x 其中 “) - 孚f 厂“( x ) s i n - 竽m = 手 严b 坶n 竽d 一手竽f ，q x ，c o s 竽x d 工 = 手竽 厂“c o s t x i 一手( 爿2f ”埘n 竽f d z 斗- ，譬( 洳蛐知x 斗，) 掣( q ； 当肌为偶数时，展开式为 一譬+ 喜) c o s t 肋x 同样可以推出 坼- 声( q o ，1 2 ，拧 根据贝塞尔( f b e s s e l ) 不等式，有 f 善( 2 詈f b ) 】2 d x , m 为奇数 l 三( 毹“”) 2 + 喜( “1 ) 2s 孚f “，】2 d 而册为偶数， l -t - i 一 由此可知，无论坍为奇数还是偶数，都有 砉妙，1 2 。， 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 即 2 k 2 “2 i 嚷f 2 m ， 翮吼i = 私“剀喜州计+ 薹嘉 。， 所以级数k ”k l 收敛证毕m k = l 2 2 基本求解方法 基于上述引理，下面我们来讨论二维p o i s s o n 方程的混合问题 l u 0 + u = 厂( x ，少)o x o ) ，乞 u ( x ，o ) = 张( 功，u ( x , o = 仍( x ) 0 x ( 2 1 ) l u ( o ，j ，) = ( 力，u “，力= o ，) 0 y 之 具有f o u r i e r 级数形式的解 该问题是一个非齐次方程、非齐次边界条件的混合问题，首先，我们需要将混 合问题( 2 1 ) 利用线性叠加原理分解成 1 + 2 = 00 x 0 y ，2 u ( x , o ) = 竹( 石) ，“( x ，t 0 = 仍( 力0 x ( 2 2 ) i “( o ，y ) = ) ，“( ，力= o ，) 0 y s ，2 和 1 + v ) ，= ( x ，y )o 工s v o ) = 0，v ( x , l o = o l v ( o ，y ) = 0，“，力= 0 为了利用分离变量法，要使关于x 和y 的两组边界条件中有一组是齐次的，所 以将问题( 2 2 ) 分成下面两个问题： 7 ) t ， 2( 之毛 一v i y x y 一v i v i o o o 与 f u 2 l + u 2 y y 2 0 i曩 = u 屹似o ) = o ， i 地( o ，y ) = ( 力， o s x s i ( x ，厶) = 仍( x ) 屿( ，j ，) = 0 o y s ，2 ( 2 2 1 ) 0 x ( 2 2 2 ) 0 y 乞( 2 2 3 ) o x o ) ，之( 2 3 1 ) u 2 ( x , 1 2 ) = o0 x ( 2 3 2 ) 心“，y ) = ) o y 厶( 2 3 3 ) 原理) 知，闯题( 2 1 ) 的解是问题( 2 2 ) 和 ( 2 2 b ) ( 2 3 ) 的解之和： u ( 五，) = u ( x ，) ，) + v ( z ，力 而问题( 2 2 ) 的解是问题( 2 2 a ) 和( 2 2 b ) 的解之和： n ( x ，n = “l 缸，n + “l b ，n 先求解问题( 2 2 a ) ，假设函数m ，力具有变量分离形式，令 地g ，y ) = 墨( 功x o ，) 代入方程有 五( x ) 巧( y ) + 五o ) x ( 力= 0( 此处i ( y ) 五( 习o ) 变量分离即得 五。( 巧( y ) - l - - - 一- - 二- - - 一 五( x )x ( ) ，) 因为等式的左端仅与x 有关，右端仅与y 有关，因此存在常数五，使得 互盟：一芏盟：以 五l )u ) 于是得到变量被分离后的两个常微分方程： 墨。( x ) + 五砭( x ) = 0 ( 2 4 ) fo ，) 一a k ) = 0 ( 2 5 ) 从而我们可以通过解这两个常微分方程来定出函数五( 力和巧( y ) ，由边界条件 8 o l i 研o 玎= l | 嵩蚴毡m m ( o ，力= i ( 力墨( o ) = 0 ( f i ，t ) - - r 。( y ) 五( ) = o 由于所求q ( x ，y ) 为非零解，故k ( y ) o ，于是推出墨o ) 应满足附加条件 五( o ) = 0 ，五( ，i ) = 0 ( 2 6 ) 为此，需求解如下含参数旯的二阶线性常微分方程边值闯题 j 五。( 功+ 五蜀o ) = 0( 2 7 ) 【墨( o ) = 蜀( 1 1 ) = 0 分三种情形进行讨论： ( 1 ) 当五 0 时，方程( 2 7 ) 的通解为 墨( x ) = q c o s 盈+ c 2 s i n x 2 x 9 硕士擘住论文 m a s t e r st h e s i $ 由边界条件( 2 6 ) 知 c l - - 0 ，qc o s _ f l + qs i n , f 互l i = o 从而 乞s i n 掘= o 因为c 2 = 0 时t l ( t ) s 0 ，所以为了获得非平凡解就必须要求 c 2 o ，且咖_ 7 l - - 0 ， 即 压寄，( k e z + ， 其中k 为一个任意的正整数从而，只有当五取值为 五= ( 钳 t = 1 ，2 ，以 行，让值j 司趣【2 7 ) 才硐非半儿解，运些禺敢的五就是( 2 7 ) 阴特，仕僵，与运些特 征值对应的函数 瓦( x ) 2 q s m 。丁k x x ，| i = l ，2 ，附。 就是特征值五对应的特征函数 对于五= ( 等 2 ，方程晓s ，的通解可写成 ( ) ，) = qc h 竽) ，+ 喀s h 竽y 七= l ，2 ，” i l 其中，和气都是任意常数于是对任意的4 。嘞q 和毋= 瓯q ，函数 毗y m 鼬肭，= ( 4 出等鹏血等y s m 竿 满足方程f 2 2 n 和边界条件f 2 2 3 1 1 0 由于方程( 2 2 1 ) 是线性齐次的，根据叠加原理，对任何有限个特解的线性组 合也是它的解对于 吣咖薹卜出等y + 最幽t k y j s m t k a t 眨s ， l t i q i l 由级数理论知，只要级数( 2 8 ) 及它对工和f 逐项求导两次后所得的级数都一致收 敛时，其和函数( f ，工) 将仍是方程( 2 2 1 ) 满足边界条件( 2 2 3 ) 的解 下面来确定常数4 和最利用关于) ，的边界条件( 2 2 2 ) ，在( 2 8 ) 中令j ，= 0 ， y = z ，得 仍( x ) ：妻4s i l l 竽x t ；l 1 咖，= 芝k s l 卜曲孕l i + 耻孕1 s 血等 l 1 由引理2 3 ( f o u r i e r 级数收敛定理) 可知，若鲲( 工) 和仍( 工) 在区间 o ，】上有直到2 阶连续导数，3 阶导数分段连续，则仍( 力和经( 力在区间【0 ，】上都能展开成而“一盯 正弦级数，且它们的系数4 和最就由 4 = 百2 胁) s i n 等d x 忍碡胁删争零 确定，将( 2 9 ) 式代入到( 2 8 ) 式中，即得问题( 2 2 a ) 的解 类似地，可设问题( 2 2 b ) 的解“：力具有变量分离形式，令 2 ( x ，y ) = 五( x ) 艺 代入方程，分离变量即得 盥：一星盟 五( 工)k0 ，) 因此存在常数五，得到变量被分离后的两个常微分方程： 五( x ) + 五五( x ) - - 0 ( 2 1 0 ) e 。( 力一旯k ( 力= o ( 2 1 1 ) 我们依然可以通过解这两个常微分方程来定出函数五( 功和五( f ) ，由边界条件 ( 2 3 r 2 ) 得 屹( x ，0 ) = 置( x ) e ( o ) = o “：( x ，毛) = 五( 力五( f 2 ) = 0 于是推出eo ，) 应满足附加条件 e ( o ) = e ( f 2 ) = 0 ， ( 2 1 2 ) 同样，需求解如下含参数名的二阶线性常微分方程边值问题 j 艺。一码( ) ，) = o( 2 1 3 ) 幢( o ) = e ( 7 2 ) = 0 与( 2 7 ) 的讨论相似，当五 e o ，h x o ，f 2 】，8 e ( x ，儿札：。表示在区域【o ，x 】【o ，】上 的子区域【o ，】【o ，1 上因振动所产生的能量，0 e ( 而，_ y ) n 。表示在区域 【0 ，】【0 ，y 】上的子区域【o ，】( o ，】上因振动所产生的能量，显然 i e i i ，。- - f x o ，y )