（应用数学专业论文）可替代产品订购和定价策略研究.pdf

可替代产品订购和定价策略研究 摘要 该选题来源于国家自然科学基金项目( 项目号：7 0 4 7 1 0 4 5 ) ：基于随机需 求与不对称信息的供应链协调与量折扣研究，和高等学校博士学科点专项科研 基金( 项目号： 2 0 0 6 0 3 5 9 0 0 7 ) 。 产品的可替代性使消费者在面临缺货时可以选择功能相近的产品作为代 替，从而既减少了零售商的缺货损失，同时也提高了顾客的满意度。因此大多 数零售商都同时销售多种可相互替代的产品。这样供应链成员在预测产品的需 求以及决策最优的库存量时，必须要考虑同类产品在满足需求上的替代性。近 年来可替代产品库存方面的研究已经引起了国内外众多专家学者的注意，逐渐 成为供应链库存管理研究方面的二个热点，其大多数文献是基于经典的单周期 问题( 报童问题) 或者其扩展的基础上进行研究的。本文延续这一思路，以单 周期问题为基本框架，在下面几个方面进行了延伸： ( 1 ) 考虑只有零售商的一层供应链，零售商销售两种可双向替代的产品， 替代率以及替代成本固定。推导出面对随机需求情况下零售商的最优订货策略 存在的充分条件。 ( 2 ) 考虑只有零售商的一层供应链中，零售商销售两种单向( 向下) 替 代的产品，将替代价格作为零售商的决策变量，替代率是替代价格的递减函数。 证明了最优替代价格的存在性，并给出了零售商的最优订购量和最优替代价格 需满足的必要条件，证明了零售商实行最优替代价格策略可以提高自己的期望 利润。最后假设产品需求为指数分布，通过数值试验验证了零售商实行最优的 替代价格策略确实可以进一步提高期望利润。 ( 3 ) 将问题延伸到由两个供应商和一个零售商组成的两层供应链中，每 个供应商提供给零售商一种产品，两种产品可相互替代，分别就需求是确定的 和随机的两种情况，证明了供应商们各自和零售商形成斯坦博格博弈以及两个 供应商之间形成静态非合作博弈都存在纯策略n a s h 均衡解。最后通过大量数值 试验显示n a s h 均衡解均存在而且唯一。 关键词：单周期可替代产品博弈论 r e s e a r c ho no r d e r i n ga n dp r i c i n gp o l i c yf o rt w o s u b s t i t u t a b l ep r o d u c t s a b s t r a c t t h es u b j e c to ft h et h e s i s o r i g i n a t e s f r o mp r o j e c t7 0 4 7 1 0 4 5 ：s u p p l y c o o r d i n a t i o na n dq u a n t i t yd i s c o u n tr e s e a r c hb a s e do ns t o c h a s t i cd e m a n da n d a s y m m e t r i ci n f o r m a t i o n ，w h i c hi ss u p p o r t e db yn a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c e f o u n d a t i o no fc h i n a ，a n df r o mp r o j e c t2 0 0 6 0 3 5 9 0 0 7 ：s p e c i a l i z e dr e s e a r c hf u n d f o rt h ed o c t o r a lp r o g r a mo fh i g h e re d u c a t i o n s u p p l ys u b s t i t u t a b i l i t y o f f e r st h ec o n s u m e r sm o r ec h o i c e si nc a s eo f s t o c k o u t s ，t h u sm i n i m i z i n gt h el o s so nt h ep a r to ft h er e t a i l e ra n di m p r o v i n gt h e c o n s u m e r ss a t i s f a c t i o n t h e r e f o r e ，i np r e d i c t i n gt h ed e m a n do fp r o d u c t sa n d d e c i d i n g t h e o p t i m a li n v e n t o r yp o l i c y , w em u s t t a k ei n t oa c c o u n tt h e s u b s t i t u t a b i l i t yo fs i m i l a rp r o d u c t s i nr e c e n ty e a r s ，r e s e a r c h e so nt h ei n v e n t o r y m o d e lo ft h es u b s t i t u t a b l ep r o d u c t sh a v ea r o u s e dt h ei n t e r e s t so fal o to f d o m e s t i ca n df o r e i g ns c h o l a r sa n dh a v eg r a d u a l l yb e c o m eah o ts p o ti nt h e r e s p e c to fs u p p l yc h a i ns t o c km a n a g e m e n t t h em a j o r i t yo ft h el i t e r a t u r ei sb a s e d o nt h ec l a s s i c a ln e w s b o ym o d e la n di t se x p a n s i o n t h i st h e s i sf o l l o w st h eb a s i c w a yo ft h i n k i n ga n de x t e n d si ti nt h ef o l l o w i n gr e s p e c t s ： ( 1 ) b a s e do nt h eh y p o t h e s i st h a tt h es u p p l yc h a i nh a so n l yo n er e t a i l e rw h o s e l l st w os u b s t i t u t a b l ep r o d u c t s ，a n dt h a tt h es u b s t i t u t i o nr a t ea n dc o s ta r eb o t h f i x e d ，w eh a v ed e r i v e dt h er e t a i l e r so p t i m a lo r d e r i n gp o l i c yi nt h ef a c eo f s t o c h a s t i cd e m a n d 。 ( 2 ) b a s e do nt h eh y p o t h e s i st h a tt h es u p p l yc h a i nh a so n l yo n er e t a i l e rw h o s e l l st w oo n e w a ys u b s t i t u t a b l ep r o d u c t s ，b u tt h a tt h es u b s t i t u t i o np r i c ei st a k e n a sad e c i s i o nv a r i a b l ea n dt h es u b s t i t u t i o nr a t ea si t sf u n c t i o n ，w eh a v ep r o v e d t h ee x i s t e n c eo fo p t i m a ls u b s t i t u t i o np r i c e ，a n df o r m u l a t e dt h en e c e s s a r y c o n d i t i o n sf o rt h er e t a i l e r so p t i m a lo r d e r i n gq u a n t i t ya n ds u b s t i t u t i o np r i c e ( 3 ) b a s e do nt h eh y p o t h e s i st h a tt h es u p p l yc h a i nh a st w oc o m p e t i n gs u p p l i e r s a n do n er e t a i l e rt h a ts e l l sb o t hs u p p l i e r s p r o d u c t s ，a n dt h a tt h et w ok i n d so f p r o d u c t ss u p p l i e db yt h e mr e s p e c t i v e l ya r es u b s t i t u t a b l e ，w eh a v ep r o v e dt h a t ， w h e t h e rt h ed e m a n di sf i x e do rs t o c h a s t i c ，t h e r ee x i s t st h en a s he q u i l i b r i u mf o r t h r e en o n - c o o p e r a t i v eg a m e sb e t w e e nt h et w os u p p l i e r sa n dt h er e t a i l e r , i e ，t w o s t a c k l e b e r g a n do n en a s hg a m e s k e yw o r d s ：s i n g l e p e r i o d s u b s t i t u t a b l ep r o d u c tg a m et h e o r y 插图清单 图5 1供应商l 的最优反应曲线3 5 图5 2 供应商2 的最优反应曲线3 5 图5 3供应商l 和供应商的最优反应曲线的交点3 5 图5 - 4 供应商l 的最优反应曲线3 8 图5 5供应商1 的最优反应曲线3 8 图5 6 供应商1 和供应商的最优反应曲线的交点3 8 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 金胆王些盍堂或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所傲的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：r 签字日期：弘岬年月c 7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金胆至些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权金蟹王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者躲( 强：；渤 签字慨淬月c 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：舍节哼7 蜴房0 通讯地址： 导师签名： 签字日期a “7 军 电话： 邮编： 司赢手 6 只1 b 炉q 致谢 值此论文完成之际，衷心地向培育我的导师周永务教授表示崇高的敬意和 深深的谢意。在三年的硕士研究生课程学习和撰写学位论文的过程中，自始至 终得到了我的导师周永务教授的悉心指导，无论从课程学习、论文选题，还是 到论文成稿，都倾注了周永务老师的心血，由衷感谢周永务老师在学业指导及 各方面所给予我的关心以及从言传身教中学到的为人品质和道德情操，老师广 博的学识、严谨的治学作风、诲人不倦的教育情怀和对事业的忠诚，必将使我 终身受益，并激励我勇往直前。 同时，真诚感谢理学院的老师在专业知识方面的教诲，为我三年的研究和 本毕业论文提供了坚实的理论基础，并创造了许多必要条件和学习机会；感谢 理学院的的领导和同仁们，在我课程学习和论文撰写期间，给予我的大力支持。 感谢所有的同学给予的帮助。 作者： 2 0 0 7 年5 月2 8 日 1 1 问题的提出 第1 章绪论 随着经济全球化、产品开发速度的不断加快使得市场中产品之间的竞争日 趋激烈，目前消费需求市场一个显著的特征就是，存在大量具有功能相同或相 近的不同品牌产品。与此同时，消费者的需求越来越多样化，对单一产品的依 赖性越来越低。大量的调查研究表明，在面临缺货时，只有很少部分的消费者 会放弃当此的购买行为而不去寻找其他替代品，大部分消费者都会转而选择其 他效应类似的产品。在这一需求驱动下，产品的多样化可以显著提高顾客的满 意度，同时产品的多样化和可替代性提供了消费者在面临缺货时更多的选择机 会，既减少了销售商的缺货损失，又提高了对顾客的服务水平。因此销售商提 高销售产品的多样化是非常有必要的，但另一方面产品的品种和数量的急剧增 加，使供应商和零售商的库存负担也越来越重，库存物资占有大量的资金，需 要大量的人力去管理。有资料指出，一家典型的美国公司约有1 3 的流动资产 用于库存投资，其数量相当于该公司流动资金的9 0 。库存量大还会造成有 些物品腐败变质，以及要承受存货价格波动带来的风险。若能通过合理的库存 管理使库存量即使减少很小的百分比，对企业或国家来讲，其经济效益也将是 十分显著的。因此每个企业高层管理人员在预测产品的需求以及决策最优库存 量时，必须考虑同类产品在满足需求上的替代性。加强可替代性产品的库存和 订货策略研究对于提高零售商的利润和顾客的满意度有着重要的理论意义和实 践价值。 1 2 国内外的研究现状 传统的报童问题是指假设产品只能在某一时间周期内销售，产品的需求量 是随机不确定的，而零售商只能在销售周期前根据需求预测决定产品订购的数 量，销售周期结束后，若产品过剩，过剩的产品只能以远低于的成本的价格处 理掉，若产品脱销，销售商将损失掉剩下的利润，甚至因为损失信誉而受到惩 罚。其主要是研究在随机需求下使得期望利润最大的最优订购量决策。报童问 题反映了我们现实生活中许多现实情况。像一些流行产品，易变质的食品等等 随着服务型等第三产业的发展，报童问题更是得到了广泛的应用。像飞机票旅 馆的房间的预定等等。在过去十年里，对单周期问题的兴趣一直不减，在许多 方面的延伸了单周期问题。这些延伸包括处理不同的目标和效益函数、不同的 供应商价格策略不同的报童价格策略和折扣结构、关于需求信息的不同状态、 带有约束的多产品、可以相互替代的多产品模型以及多个地点的模型。下面首 先对这些文献进行简单的分类和总结，并叙述各个延伸方向对单周期问题的贡 献。 1 关于目标函数方面的延伸 传统的报童问题是以期望利润最大为标准，但人们发现这与实际生活中的 情况并不符合，考虑到需求是随机变量，在给定订购量q 后，利润也是一个随 机变量，利润大于某一常数b 的概率是可求的，并且是q 的函数。文献【i 卜 3 】 预先给定一个最低期望利润水平b ，然后推导使获得这一利润水平的概率岛最 大的最优订购量q 也就是通常所说的风险最小。 2 销售商具有两次订购机会 文献 4 】和【5 】考虑当销售周期较长时，零售商在销售周期前和销售周期期 间各有一次订购的机会的单周期问题。结果证明当边际利润较低或者需求不确 定性较高的时，采用- - 次订购的策略可以大幅度提高期望利润。文献 6 】考虑带 有紧急供应的单周期产品问题，假设销售期间发生缺货，将有部分顾客愿意等 待紧急供应。 3 销售产品的成本是变化的 文献 7 】、【8 】假设供应商提供的产品定价是时间t 的递增函数。文献【9 】假 设只有生产商，生产商的产出率r 是一个已知分布的随机变量，这样产品的成 本就依赖于决策变量q 和产出率r 。 4 。需求依赖价格 传统的报童问题中零售商的销售价格是固定的，市场需求期望亦是固定的。 文献 1 0 - 1 1 3 】假设市场需求期望是随着销售价格的函数，价格越低，需求量越 大。零售商需要同时决定最优定价p 和最优订购量q ，以达到最大期望利润。 5 延伸到多个产品 零售商( 制造商) 同时销售多种产品，每种产品都有各自的定购价格c ， 销售价格p 、缺货成本s 、残值v 以及需求分布。文献1 1 4 一【1 8 拷虑零售商同 时销售多产品，每个产品的需求是独立的，在资源约束( 预算约束，生产能力 约束，仓储能力约束等) 的前提下决定每一种产品的最优订购量，从而使总利 润最大。 近年来讨论零售同时销售多个产品时。假设需求可相互替代情况下的库存 问题引起了国内外众多专家学者的注意，逐渐成为供应链库存管理研究方面的 一个热点。下面对近年来关于这方面的国内外文献进行详细的总结和分类。 5 i 一个零售商同时销售多种可替代产品 5 1 1 单向替代 单向替代通常是指产品在质量和性能上分成几个等级，高档的产品可以 用来代替低档的产品，性能强的产品可以用来代替性能较弱的产品等等，但 反之则不行。文献 1 8 1 9 3 等假设零售商同时销售产品l 和产品2 ，产品l 比 产品2 高档，当产品2 缺货，而产品l 有存货时，零售商将产品l 以较低的 2 产品2 的价格出售，以满足产品2 的需求。产品l 和产品2 的需求均是随机 的，考虑剩余残值、缺货惩罚，给出了零售的期望利润函数，并证明期望受 益的凹性和子模型，给出最优订货量应该满足的条件，并对参数进行分析得 出最优订货量的些性质，最后证明替代策略是可以提高零售商的期望收益 和服务水平的。文献 2 0 】等考虑单周期环境下，零售商同时销售具有完全向下 替代性的n 种等级产品，推出了最优的替代原则，并证明了在这种最优替代 原则下，零售商的期望受益函数的凹性和子模型。文献 2 1 】、【2 2 1 等人同样提 出单周期、向下替代的多产品库存模型，以求得单周期利润最大的最优订货 策略，而且考虑替代成本，但是没有给出最优订货量的求解过程和具体方法。 5 1 2 双向替代 零售商同时销售两种或者多种产品，当其中一种产品缺货而另一种产品 有存货时，面临缺货的顾客部分会自愿转而购买有存货的产品作为代替以满 足需求。文献 2 3 1 考虑所有产品成本相同且每种产品被其他产品代替的概率固 定的情况，他们用模拟和启发式算法对最优订货量进行估计。文献 2 4 】研究 了同样的问题证明总期望受益函数是凹的。文献【2 5 等人考虑残值和缺货惩 罚，建立了两产品可以相互替代的单周期模型，但是不能证明零售商的期望 受益函数的凹性。他们研究了最优订货量的上限和下限，并用蒙特卡罗模拟 法进行了验证。文献 2 6 】利用报童模型从销售商的角度研究了可替代产品的库 存模型，但是产品之间并不是一种直接替代关系，而是一种间接替代关系，即两 种产品共同组成一种产品组合，在产品组合中各产品在数量可以替代。文献 2 7 】 考虑单周期零售商同时销售两种产品，当某种产品缺货时，可用另一种产品 替代，也可以重新进货以满足顾客的需求。从销售商的角度，讨论这两个因 素对库存策略的影响。文章建立了利润最大化模型，证明了问题的解的存在 性，给出了目标函数是凹函数和子模函数的充分条件，讨论了求解的方法和 各参数对库存的影响。通过对几种特殊情况的讨论和比较，证明了替代和再 订货可以提高利润并且可减少库存总量。 5 2 由多个零售商分别销售相互可替代的产品 文献f 2 8 从两个销售商的竞争角度研究了具有可替代性质的易腐产品的 库存控制问题，运用马氏决策过程( m d p ) 来求解可替代产品的最优订货策略。 文献【2 9 】在1 9 8 8 年首次运用博弈理论对两种可替代产品单阶段库存控制问题 进行了比较完整的分析。假设市场是具有两个销售商的双寡头市场，两个销 售商作为竞争双方的局中人，均以订货数量作为决策变量来做决策，以各自 期望利润最大化进行决策。双方的产品替代率，需求密度函数和产品相关参 数为己知信息。由于需求的随机性和产品替代发生的可能，销售商的目标函 数将依赖于对方的决策变量。作者首先根据一般性的成本分析给出各自的目 标函数，包括订货费、缺货损失费、折旧价值和收入，然后根据几种现实中 的决策者行为方式，分析不同情况下的局中人的最优策略：如果两个销售商都 采取理性行为，即各自追求自己的利润最大化而不是以损害对方为目的。在 这种情况下，这个问题存在一个唯一n a s h 均衡解，如果一个销售商采用非理 性的行为，比如，以最大可能损害对方为目的。这时其中一个销售商的最优 防御策略是m a x i m i ns o l u t i o n 发现这个m a x i m i ns o l u t i o n 和报童问题的结果相 同。文献f 3 0 】于1 9 9 4 年将文献【2 9 】模型推广到了三种产品的情况。三个销售商 各自面对相互独立的随机需求。如果一个销售商缺货，这部分需求将以固定 转移率转移到其他库存过剩的销售商。由于考虑了多于二人的竞争，分析将 会变得更加复杂。作者将三个销售商作为三个局中人根据不同局中人的行为 情况进行研究，并给出了不同情况下的最优策略：如果三个销售商都采取理性 行为，即各自追求自己的利润最大化或者成本最小化，而不是以损害对方为 目的，则问题存在一个唯一n a s h 均衡解，如果有一个销售商采用非理性行为， 以最大可能的损害对方为目的，其它销售商的最优防御策略是排除非理性销 售商的存在，做出最优决策。文献【3 1 】研究了具有固定订货成本时两个销售商 博弈的可替代产品库存控制模型。文中采用k 凸函数的定义和性质证明了固 定订货成本大于零的可替代产品库存控制系统中，两个销售商的最优订货策 略是( ( s ，s ) 策略 本文在已有文献的基础上作了如下的几个方面的延伸： ( 1 ) 在已有文献基础上将单周期环境下零售商同时销售两种可双替代产 品时的最有订货策略存在的充分条件进一步弱化。 ( 2 ) 将替代价格作为零售商的决策变量引入到单层供应链可替代产品的 库存研究中。证明零售商实行最优替代策略可进一步提高期望利润。 ( 3 ) 上面的文献大多数都是考虑一层供应链，本文将其延伸到由两个供 应商和一个零售商组成的两层供应链中，利用博弈论知识对供应商和零售商 之间、供应商和供应商之间的博弈进行分析，证明了n a s h 均衡解的存在性。 1 3 研究内容和方法 通过上文关于可替代产品库存问题的国内研究现状的综述，我们可以看出 大多数的文献都是在单周期问题( 报童问题) 的基础上进行扩展和延伸的。本 文也将延续这一思路，以单周期问题为基本框架，沿着从简单到复杂的方法向 不同的方向延伸。 论文的具体章节安排如下： 第一章为绪论部分，首先简要介绍了可替代产品库存管理研究的理论与现 实意义，接着对国内外关于相关的报童问题的研究现状进行了简要的综述，重 点介绍了与可替代产品的库存相关的研究文献。 第二章开始进入论文的正文阶段，考虑只有零售商的一层供应链，零售商 4 销售两种可双向替代的产品，替代率以及替代成本固定推导出一定条件下面 对随机需求，零售商的最优订货策略。 第三章考虑只有零售商的一层供应链中，零售商销售两种单向( 向下) 替 代的产品，但产品的替代价格是零售商的决策变量，替代率是替代价格的函数。 证明了最优替代价格的存在并且可进一步提高零售商的期望利润，并给出了零 售商的最优订购量和最优替代价格需满足的必要条件。 第四章将问题延伸到由两个供应商和一个零售商组成的两层供应链中，每 个供应商提供给零售商一种产品，两种产品可相互替代。需求都是确定的。供 应商们各自和零售商形成斯坦博格博弈，两个供应商之间形成静态非合作博弈。 文章证明了三个博弈都存在唯一的纯策略n a s h 均衡解。并给出了均衡解的解析 表达式。 第五章将问题延伸到由两个供应商和一个零售商组成的两层供应链中，每 个供应商提供给零售商一种产品，两种产品可单向( 单向) 替代，但需求均是 随机的。文章证明了两个供应商分别和零售商形成的两个斯坦博格博弈均存在 唯一的n a s h 均衡解，两个供应商之间形成的静态非合作博弈一定存在h a s h 均 衡解并给出两个特例，其均衡解都存在而且唯一。 第六章作为总结，对进一步的研究提出了展望。 2 1 引言 第2 章随机需求下可替代产品最优订货策略 库存理论是供应链理论的基础，对于各种各样的库存问题。国内外学者 进行了大量的研究。但大多数的库存管理文献在考虑两个或者多个产品的库 存问题时，都假设产品之间需求是相互独立的，只是在一定的资源约束( 例 如仓库容量约束、资金约束等) 下分析零售商的最优订货策略，很少考虑产 品之间可以相互替代时，即当一种产品缺货面另一种产品有存货时，部分面 临缺货的顾客会选择另一种产品作为代替满足需求。而目前消费市场的一个 显著的特征就是，存在着很多产品其使用价值相近或者类似，彼此间可以相 互代替满足顾客需求。大量的调查研究表明，在面临缺货时，只有很少部分 的消费者会放弃当此的购买行为而不去寻找其他替代品，大部分消费者都会 转而选择其他效应类似的产品。 本文在报童问题框架下，假设零售商同时销售两种产品，产品1 和产品2 可以相互替代满足需求。在定的条件下证明了零售商的期望利润函数的凹 性和子模型。并与传统的报童问题进行了比较，证明传统的报童问题是本文 的特例。 2 2 。闯题的描述、符号和假设( f = 1 ，2 ) 本文以报童问题为基本框架，假设零售商同时销售两种可相互替代的产品 1 和产品2 ，当一种产品缺货而另一种产品过剩时，面临缺货的顾客中部分会购 买有存货的另一产品作为代替。产品1 和产品2 的随机需求量分别记为石和y ， 概率密度函数和分布函数分别为a ( x ) 、正( x ) 和五( y ) 、五( y ) ，已知产品f 的订 购成本是，销售价格是b ，销售周期末没有销售的产品以残值k 处理掉，单 位产品缺货损失为墨，不妨设置如。当产品f 缺货而产品，有存货时，产品f 的 未被满足需求的顾客愿意购买产品，作为替代的概率记为屈，( o q ，各产品的初始库存均为0 。零售商在顾客需求到达之前根据供应 商报出的各产品的单位批发价格，以总期望收益e ( 万) 值最大为目标，确定各种产 品的最优订货量q ，下面我们针对这样的可替代产品库存管理问题，建立相应 6 的模型并进行分析，给出最优订货量应该满足的条件。 2 3 模型的建立 假设零售商的订货量分别为q 1 和q 2 ，根据的实际需求情况零售商的利润 为： ( 1 ) o ，力d l = 红9 ，y sq 2 万= p l x + 岛) ，一w l g w 2 9 2 + m ( q l 一工) + v 2 ( q 2 一j ，) ( 2 ) ( x ，y ) d 2 = 扛q 1 ，q 2s y ，一q ) sq i 一善) 万= p l x + p 2 q 2 + 玩( y q 2 ) ( a q ) + m 【( q i 一功一屈10 ，一q 2 ) 】 嘎( 1 一屈。) 0 ，一易) 一m q 一q 2 ( 3 ) ( x ，力ed 3 = 缸q l ，q 2 y , f l ( y - q ) q l - - x ) 石= p l x + 见伤+ ( q l 一茗) ( a q ) 一s 2 ( x + y q l q 2 ) 一m 蜴一心q 2 ( 4 ) 力d 4 = 缸q l ，y q 2 ， 一q ) q 2 一刃 石= p lq l + 仍y + 届：0 一q 1 ) ( 仍一啦) + 屹【( q 2 一力一届2 一q i ) 】 吗( 1 一届：) o 一易) 一g 一q 2 ( 5 ) ( x , y ) e b = 缸2q i ，y q 2 ，卢 一q i ) 奶一y 石= p lq 1 + p 2 y + ( q 2 一y ) ( p 2 一a d 一西 + y q l q ) 一w iq l 一q 2 ( 6 ) ( x , y ) d 6 = z 蜴，y q 2 ) 万= p lq l + p 2 q 2 一西o q 1 ) 一屯( y q 2 ) 一q 1 一幺 则零售商的期望利润函数为： e ( 霈) = j n a x + 易y m q l w 2 易+ v i ( g 一力+ v 2 ( q 2 一) ，) 】，( x ，y ) 出咖 q + f i p l x + p 2 q 2 + a ，( ) ，一q ) ( a q ) + b ( q 一工) 一屈。( ) ，一q o 一屯( 1 一压。) ( ) ，一q 2 ) b 一嵋蜴一w 2 q i f ( x , y ) d x d y + m p l x + p 2 q 2 + ( q l x ) ( a a 1 ) 一8 2 ( x + y q l q 2 ) 一m q l w , q a t ( x ，y ) d x d y 岛 + j n a 9 + p ：y + 届： 一q 1 ) ( p 2 一口2 ) + 心 ( q j ，) 一届： 一g ) 】一岛( 1 一属z ) 一蜴) 皿 一嵋9 一m q 2 】( z ，y ) d x d y + h e m , + p 2 y + ( 奶一y x p 2 一口2 ) + y q l q 2 ) 一m q l w 2 q 2 1 厂瓴力凼砂 岛 + 盯 p i q i + p 2 q 2 一s 。( x - q 3 一是。一奶) 一q w 2 q 2 抓毛y ) 凼方 岛 = ( p l v 1 ) r 秭o ) 凼+ ( a m ) q l z ) d x 一 e o q i ) 石( 功出+ ( h w 1 ) 蜴 ( p z 一呜) f 历( y ) 匆+ ( p 2 一屹) 绞石( 力矽一屯e ( y g m 蝴+ 也一啦) 幺 + ( a q v l + 屯) 尾r ( y q 2 m ( 功五( 力出方 + ( p l q q + 屯) ff 踢一彬阮咖叻 + ( p 2 一口2 一屹+ 而) 屈：r ( x q i ) f ( z ，y ) d x d y 如一呸一吩+ 置) f r 鹞一彬以力妫 其中彳= 百- q - 笨- n - y + q l 占= 譬+ q 2 定理1 - 零售商的期望利润e 加) 是关于( g ，伤) 的连续可微函数，若满足下面 粲件： ( 1 ) s 丑屯+ 呸， ( 2 3 1 ) ( 2 ) a v 1 + 毛2 ( 见一口2 一毪+ 丑) 磊l岛一匕+ 屯国一口l h + 龟) 磊2 则零售丽的期望利润占【石) 是关于( q l ，q 2 ) 的凹函数和子模函数。 证明：显然零售商的期望利润e ( 万) 关于( q ，伤) 是连续而且可微，下面分别对 q 1 ，q 2 求一阶偏导数和二阶偏导数得： 曼是 = ( a + 毛) z ( 工) 出+ v l r z ( x ) 出一( p 2 - - a 2 - 1 2 + s ，) 展：fe z ( x ) 五( y ) 出砂 + ( p 。- 口1 一v l 坞) rr z ) f 2 ( y ) d x d y m 磐= ( 见+ s ：) 五( y ) 砂+ v 2 r 五o ) 砂一( p t - a ，- v i + $ 2 ) 屈。r 石( x m o ，) 出砂 + ( p ：一吒一v 2 + 毛) re 石( x ) 五( j ，) 螂一 等= 。飞+ q 一屯) f l c q 。) - 【( a 一口l - v l + 班( p 2 一口2 一v 2 剐f 肥胤抛 一去( a q v l + 屯) r 石o ) a c b ) d 珑一( p 2 一口2 一v 2 + ) 屈2 z ( a ) a ( y ) d y = 一( 焉+ q 一屯) ，( 易，y ) d y 一【( p i v l + 而) 一( 见一吒一v 2 + ) 属：】r 正( q 1 ) 五抄) 咖 一去( p l q v 1 + 屯) r z ( 工) 五( 曰) d x 一( p 2 一口2 一v 2 + 屯) 届：r 彳( 4 ) ( y 协 a 2 ；e 矿( , t ) = 电+ 色一毛) 石( 幺) 一 ( p 2 - a z - v , + s , ) 一( 易一q 一毪+ 恐) 屈，】r z o ) 五( q 2 进 一去( p 2 一口2 - - v 2 + 岛) r z ( 彳) a o , ) d y 一( 昆一q h + 屯) 屈。r 石 ) 石( 占冰 = - - ( s 2 + 口2 一曲) ( 毛q ：) d x 一【( 仍+ 屯一v 2 ) 一( a q v l + 岛) 压l 】r z ) a c q ：) d x 一瓦1 ( 见一嘞一v 2 + ) f z 似) a ( y ) d y 一( a q h + 屯) 压。r z ) 五( 占造 塑a q , a q ：= 鬻叫v l + 屯) r 肫胤b 州尻唧们) r 删删y 协 令6 = 电一q v l + 屯) p 石( 力五( 占) 出d = 胁一吒一吃+ 屯) r 石( 正( y ) 咖 p = 讯n 一啦一心+ ) 一( a q h + 如) 压，】f 正o ) 五( 蜴皿 g = ( a q v l + 屯) 一( p 2 一啦一v 2 + 岛) 属：】r z ( g ) 正( j ，协 = ( + q 一岛) 石( g )如= ( 屯+ 啦一 ) 五( q 2 ) 由假设和条件得b w ， v so = 1 ，2 ) 一 假设易 w ，说明销售商销售产品是有利可图的，因此保证其愿意订购产 品出售给顾客：而假设w f m 说明如果产品没有销售出去，销售商会受到损失， 因此保证其不会大量订购以进行囤积 假设2 p 2 m 一岛， 假设p 2 h 一屯说明当产品1 有存货，而产品2 缺货时，零售商用产品l 作为替代销售给产品2 的顾客获得的收益比不迸行替代获得的收益大，从而保 证零售商愿意实行替代策略 假设3高档的产品l 的单位销售