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噪声水平未知时一种图像恢复正则化算法 摘要 图像恢复是图像信息处理中的基本问题之一近年来，其技术广 泛应用于射电天文学、卫星遥感、医学成像、工业视觉等领域恢复 的方法有正则化方法、迭代方法、统计方法等 针对噪声水平未知情况，本文改进了r y o u m a r a n 和a a d l e r 提 出的图像恢复双参数( a ，n ) 正则化框架。具体方面包括：正则参数。 的选取基于l 一曲线准则迭代确定；将需要很大存储量的e u l e r 方程 求解转换成等价的只需很少存储量的极小化问题，用共轭梯度最小二 乘法求解；共轭梯度最小二乘法迭代次数n 由问题精度要求自适应 产生；基于粗糙初值的正则参数迭代初值的快速选取等。 对两种具有代表性的图像降质模型( 均匀模糊和g a u s s 模糊) 进 行大量数值试验的结果表明此方法具有较快的收敛速度和较好的恢复 能力，改进信噪比( i s n r ) 普遍提高0 3 d b 以上同时，本方法程序全 部应用m a t l a b 语言在台式电脑上实现，希望对在台式电脑上进行实 时高效图像恢复工作有促进作用 关键词： 图像恢复，正则化方法，l 一曲线准则，迭代确定正则参 数，双参数框架， 壁曼壅王墨塾壁= 塑璺堡堡墨垂型垡基鎏 a r e g u l a r i z a t i o nm e t h o df o ri m a g er e s t o r a t i o nw i t h o u tk n o w i n gn o i s e l e v e l i l a b s i r a c t i m a g er e s t o r a t i o ni so n eo ft h eb a s i cp r o b l e m si nd i g i t a li m a g e p r o c e s s i n g i nr e c e n ty e a r s ，t h et e c h n o l o g yi sw i d e l ya p p l i e di nm a n g f i e l d s ，s u c ha sr a d i oa s t r o n o m y , s a t e l i t er e m o t es e n s i n g ，m e d i c a li m a g - i n ga n di n d u s t yv i s i o n t h eu s u a lm e t h o d si n c l u d er e g u l a r i z a t i o n m e t h o d ，i t e r a t i v em e t h o d ，s t o c h a s t i cm e t h o da n ds oo n i nt h i st h e s i s a ni m p r o v e dc o m b i n i n gr e g u l a r i z a t i o nf r a m e w o r k o ft w op a r a m e t e r st y p e ，p r o p o s e db yr y o u m a r a na n da a d l e r ，i s p r e s e n t e da n dd i s c u s s e df o rs t a b l ei m a g er e s t o r a t i o nw i t h o u tk n o w i n g n o i s el e v e lo ft h ei n p u td a t a s o m ed e t a i l so ft h ei m p r o v e m e n t si n c l u d et h ea d o p t i o no fw e l l - k n o w nl - c u r v ec r i t e r i o nw i t has p e e d u p t e c h n i q u ef o rar o u g hi n i t i a lv a l u eo fr e g u l a r i z a t i o np a r a m e t e r ，t h e t r a n s l a t i o no fe u l e re q u a t i o nr e q u i r i n gv e r yl a r g ea m o u to fs t o r a g e t oa ne q u a t i o nr e q u i r i n gm u c hl e s sm e m o r y ，t h er e l a t e da n a l y s i sa n d p r o o f ，t h ed e s i g no ft h en e wa l g o r i t h ma n ds oo n t h et h e o r e t i ca n a l y s i sa n dn u m e r i c a le x p e r i m e n t sr e s u l t sh a v e s h o w nt h a to u rn e wa l g o r i t h mh a sf a s tc o n v e r g e n c es p e e da n dg o o d r e s t o r a t i o ne f f e c t ，a n dv a l u e so fi s n ra r ei m p r o v e du p o n0 3d bg e n e r a l l y w ea c h i e v ea l lt h en u m e r i c a le x p e r m e n t so np e r s e n a lc o m p u t e r i nm a t l a bl a n g u a g ea n dw i s ht og i v eah a n do nt h i sw o r k s k e yw o r d s ： i m a g er e s t o r a t i o n ，r e g u l a r i z a t i o nm e t h o d ，l c u r v e c r i t e r i o n ，c h o o s i n gr e g u l a r i z a t i o np a r m e t e r ，f r a m e w o r ko ft w op a r a m e t e r st y p e 塞童壅! 垂垫坠= 塑里堡堡基重型堡篁鎏 1 v h ( x ，a ；y ，卢) 日+ m o n f l 丘 s r r s n r i s n r 符号说明 降质系统算子或系数矩阵 点源扩散函数 空间f 上的距离 正则参数 h 的广义逆 t i k h o n o v 展平泛函 稳定泛函 噪声水平 相对于d 、o t 的正则解 信噪比 正则化图像信噪比 改进信噪比 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写的研究成果，也不包含为获得河北工业大学或其他教育机构的学位或证书所使用过的 材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意 学位论文作者签名：朽胡骜 日期：p 步6 f o 关于学位论文版权使用授权的说明 本学位论文作者完全了解河北工业大学有关保留、使用学位论文的规定特授权河北 工业大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国家有关部门或机构迭变论文的复 印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 导师签名 日期：矶够矗旧 日期：妨6 、i b 河北工业大学硬士学位论文 第一章绪论 5 11 问题的提出：从不适定问题角度诠释图像恢复 2 1 世纪是一个充满信息的时代，图像作为人类感知世界的视觉基础，是人类获取信息、 表达信息和传播信息的重要手段；2 1 世纪又是一个数字的时代，上个世纪9 0 年代初，美 国副总统戈尔提出“数字地球”的概念，其巾图像是构成数字地球的信息基础，不同遥感平 台提供的多源遥感图像为数字地球这一概念提供了坚强的信息支持【i j 困此，数字图像处 理技术已成为当今信息科学、计算机科学、工程科学、地球科学生物学以及医学等诸多方 面学者研究图像的有救工具 作为数字图像处理基本问题之，图像恢复l 可题一直伴随着数字图像技术的不断发展 而发展对图像恢复领域的研究开始于上个世纪五六十年代，当时前苏联和美国的科学家 都在进行各自的太空计划( s p a c ep r o g r a m s ) ，他们获取了大量有关地球和太阳系的网像 ( i m a g e ) 信息但是，这些图像很模糊，在当时的技术条件下根本无法看清，没有任何使用 价值【“幸运的是科学家们坚信这些图像中包含丰富的信息，终于经过不懈的努力恢复出 图像的原始信息，才有今天相对成熟且广瑟应用的图像恢复技术 1 - 1 - 1 图像和数字圉像 虽然图像一词在人们日常交流中使用频率很高，大多数人也知道一幅图像是什么，但对 图像却没有严格的定义为了定义图像恢复，我们必须就图像一词的定义达成一致图像即 是人或事物的一个模仿或表示，例如，一幅林肯的照片就是这位美国总统某次出现在镜头前 得到的一个表示图像会以各种各样的形式出现t 可视的和非可视的；抽象的和实际的；适 于和不适于计算机处理的等等，因此给出图像的分类是十分必要的我们引入集合沦的观 点，根据其形式或产生方法，考虑所有的物体的集合( 见图1 1 ) ，图像形成其中的一个子 集，并且在该子集中的每幅图像都和它所表示的物体存在对应关系在图像集合中，一个非 常重要的子集便是由连续函数和离散函数组成的抽象数学图像，其中离散函数就是能被计算 机直接处理的数字图像 下面给出数字图像的定义既然图像是与之对应的物体的个表示，那么数字图像可以 理解为物体的一个数字表示从物理和数学的角度看，一幅图像记录的是物体辐射能量的空 间分布，这个分布是空问坐标、时间和波长的函数，即，= ，扛，y ，o ， ，t ) l “本论文讨论 的是二维静l h 黑白图像，所以空间坐标变量z 波长 和时间变量可以从函数中去除， 这样一幅图像就可必用下面的二元函数表示 这样一幅图像就可以用下面的二元函数表示 = ，( z ，y ) 从计算机科学的角度来看，所 i = ，( t ，y ) 从计算机科学的角度来看，所 1 河北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 5 1 1 问题的提出：从不适定问题角度诠释图像恢复 2 1 世纪是一个充满信息的时代，图像作为人类感知世界的视觉基础，是人类获取信息、 表达信息和传播信息的重要手段；2 1 世纪又是一个数字的时代，上个世纪9 0 年代初，美 国副总统戈尔提出“数字地球。的概念，其中图像是构成数字地球的信息基础，不同遥感平 台提供的多源遥感图像为数字地球这一概念提供了坚强的信息支持i z j 因此，数字图像处 理技术已成为当今信息科学、计算机科学、工程科学、地球科学、生物学以及医学等诸多方 面学者研究图像的有效工具 作为数字图像处理基本问题之一，图像恢复问题一直伴随着数字图像技术的不断发展 而发展对图像恢复领域的研究开始于上个世纪五六十年代，当时前苏联和美国的科学家 都在进行各自的太空计划( s p a c ep r o g r a m s ) ，他们获取了大量有关地球和太阳系的图像 ( i m a g e ) 信息但是，这些图像很模糊，在当时的技术条件下根本无法看清，没有任何使用 价值【2 j 幸运的是科学家们坚信这些图像中包含丰富的信息，终于经过不懈的努力恢复出 图像的原始信息，才有今天相对成熟且广泛应用的图像恢复技术 1 1 1 图像和数字圉像 虽然图像一词在人们日常交流中使用频率很高，大多数人也知道一幅图像是什么，但对 图像却没有严格的定义为了定义图像恢复，我们必须就图像一词的定义达成一致图像即 是人或事物的一个模仿或表示，例如，一幅林肯的照片就是这位美国总统某次出现在镜头前 得到的一个表示图像会以各种各样的形式出现t 可视的和非可视的；抽象的和实际的；适 于和不适于计算机处理的等等，因此给出图像的分类是十分必要的我们引入集合论的观 点，根据其形式或产生方法，考虑所有的物体的集合( 见图1 1 ) ，图像形成其中的一个子 集，并且在该子集中的每幅图像都和它所表示的物体存在对应关系在图像集合中，一个非 常重要的子集便是由连续函数和离散函数组成的抽象数学图像，其中离散函数就是能被计算 机直接处理的数字图像 下面给出数字图像的定义，既然图像是与之对应的物体的一个表示，那么数字图像可以 理解为物体的一个数字表示从物理和数学的角度看，一幅图像记录的是物体辐射能量的空 间分布，这个分布是空间坐标、时间和波长的函数，即i = f ( x ，y ，z ，a ，t ) l “本论文讨论 的是二维静止黑白图像，所以空间坐标变量z 、波长a 和时间变量t 可以从函数中去除， 这样一幅图像就可以用下面的二元函数表示i = ，( z ，) 从计算机科学的角度来看，所 1 ! 堕垄垩查塑墼= 塾里堡堡墓至型垡篁鎏 谓数字图像就是二元函数f ( x ，y ) 进行采样( s a m p l i n g ) 和量化( q u a n t i z a t i o n ) ( 即离散 操作) 后得到的图像，因此，通常一幅数字图像表现为一个矩阵 图1 1 ：图像的分类 f i g 1 1i m a g ec l a s s i f i c a t i o n 数字图像的获取方式很多，但无论哪种方式，最终得到的数字图像都是个矩阵，而且 获取过程中必然伴随着图像质量的下降( 退化) 这是因为，在实际成像过程中，由于种种 原因【3 j ，如光学系统的象差、成像过程的相对运动、x 射线的散布特性、各种外界因素干 扰以及图像数字化过程中的误差和噪声等等，使得所得到的数字图像的质量较之原始图像 有不同程度的下降本文所讨论的只是点降质，所谓点降质是降质因素只影响图像中像索灰 度级变化而对于其它的降质因素，如图像彩色的变化、随时间产生的变化等，不在本文讨 论的范围通常情况下，这点降质可用下述降质模型来描述 1 1 2 囝像降质连续模型 如果将图像的降质过程模型化为一个降质系统( 或算子) h ，并假设输入原始图像为 f ( x ，y ) ，经降质系统作用后输出的降质图像为9 ( 茁，y ) ，在降质过程中引进随机噪声为可 加性噪声n ( x ，y ) ( 如果是乘性噪声，可以用对数转换方式转化为相加形式) 那么，降质 过程的模型如图1 2 所示： 2 河北工业大学硕士学位论文 图1 2 ：图像降质过程模型【4 】 f i g 1 2i m a g ed e g r a d e dm o d e l 用公式表示为： g ( x ，y ) = h f ( x ，g ) + n ( x ，y ) ( 1 1 ) 熟知，二元d i r a c 函数6 扛一n ，y p ) 满足下述两个条件： a 扛一q ，可一仂= 吾：i 三；i 菩 o l ，y p ) d o d 卢= 1 ( 1 2 ) 于是一幅连续的图像，( z ，y ) 可以用上述的6 函数表示成二维卷积形式： ，( z ，) = f f i ( 8 ，卢) 6 ( x - - r ay - - j 3 ) d o e d 卢 ( 1 - 3 ) 此时，降质模型( 1 1 ) 成为 g ( x ，y ) = h f ( x ，g ) j + n ( z ，y ) = 日【胪( 郇) 6 ( z - - o l ，y - - 刚删用州训) ( 1 4 ) 如果h 为一线性算子，并假设可加性对积分是有效的，则 出川= 胪i ，( 厕6 ( x - - 0 b y - - 酬妇d 卢蜘( 啪) ( 1 5 ) 又由于，陋，卢) 与z 和y 无关，并由线性齐次性可得 g ( z ，) = f f f ( 。，卢) 日陋( x - - r ay - - p ) d q d 卢+ n ( 。，) 璧薹垄垩壅墅堕= 壁璺堡堡墓垂型些基鎏 令九( 。，d ；y ，卢) = h 6 ( x o l ，y p ) 】，则有 出= 胪脚( 蚋m p ) 如阳+ 咄 ( 1 7 ) 其中，h ( x ，o ；y ，p ) 称为日的冲激响应，它表示系统对坐标为( o t ，卢) 处的冲激函数的响 应，能够完全刻画系统日多数情况下它表现为时不变性，反映到图像中为空不变性，即 h ( x ，o ；y ，p ) = ( z n ，y p )( 1 8 ) 在光学中，冲激为一个光点， h ( z ，q ；y ，f 1 ) 一般也被称为点源扩散函数( p o i n ts p r e a d f u n c t i o n ，记为p s f ) 将( 1 8 ) 式代入( 1 7 ) 式得 ，磐 如m 2 m 厕 ( x - - o z ，y - - 剐n 即栅( 训) = f ( z ，y ) 十h ( x ，y ) + 礼( z ，y )( 1 9 ) 其中十表示卷积运算 这样我们就得到要研究的图像降质线性空不变连续模型( 1 9 ) 可以看出，图像上任一 点的运算结果只取决于该点的输入值，而与坐标位置无关而对于不同的点源扩散函数就形 成不同的降质模型，后面数值试验部分针对的就是两个特殊p s f 形成的具有代表性的图像 降质模型：均匀降质模型和g a u s s 降质模型 如果称得到降质图像9 ( o ，y ) 的过程为成像过程的话，则所谓图像恢复就是成像过程的 反向过程，即：要由得到的降质图像g ( x ，y ) 和降质系统的机理( 降质算子) 日，反求原图 像从数学上来说，就是在已知g ( x ，y ) 及核 ( 。，a ；y ，卢) 的情况下，求解二维p r e d h o l m 方程这是一类典型的反问题，求解的本质困难是：它在数值上很不稳定，或者说，它在 h a d a m a r d 意义下是不适定的 4 , s 1 1 - 1 3 图像恢复问翘的不适定性 2 0 世纪初，h a d a m a r d 为描述数学物理问题与定解条件的合理搭配引入4 适定” ( w e l l p o s e d n e s s ) 的概念m 】 设p f 和p 矿分别是空间f 和u 的度量，a ：f u 是线性或非线性映射，对于 a f = g ，f e9 u( 1 1 0 ) 给出下述的 定义1 ，1 称问题或方程( 1 1 0 ) 为适定的，如果它同时满足下述三个条件 4 河北工业大学硕士学位论文 ( 1 ) vg u ，都存在，f 满足方程( 1 1 0 ) ( 解的存在性) ； ( 2 ) 设9 1 ，9 2 u ，若 和，2 分别是方程( 1 1 0 ) 对应于9 1 仍的解，则 ，2 ( 解的唯一性) ； ( 3 ) 解相对于空间偶( f u ) 而言是稳定的( 解的稳定性) ，即tv e 0 ，j d ( e ) 0 ， 只要 p u ( g l ，9 2 ) d ( e )( g l ，9 2 u ) 反之，若上述三个条件中，至少有一个不能满足，则称其为不适定的 由上述定义1 1 ，图像恢复问题是一类典型的不适定问题，它可以不满足一个或多个 h a d a m a r d 条件，原因在于成像系统本身的特性或观测数据的误差【9 j ( 1 ) 解的存在性可以不成立 观测过程中噪声的存在将导致获得的图像与任一景象不相容( i n c o n s i s t e n t ) 这表明 成像系统本身可能就是不可靠的，自然也就不可能期望从由它获得的图像出发，恢复出真实 景象来 ( 2 ) 解的唯一性可以不成立 当表现系统特征的算子a 是个多对一( m a n y t o - o n e ) 映射时，对任意观测图像，存 在着非平凡的解空间与它相容( c o n s i s t e n t ) ，这表明反问题的解可以是不唯一的例如： 对有限带宽成像系统，所有带宽外的图像数据作为成像算子的零空间是非空的此外，即使 日是非奇异的，对解空间约束信息的- - d 部分损失，也可以造成不唯一的解如：g ，y ) 是一幅包含n n 个像素( p i x e l ) 的图像，由于降质的原因，其提供的对解空间的约束最 多为2 个，如果说约束小于2 ，在没有其它附加信息的情况下，恢复，( z ，掣) ( n ) 显然是不唯一的 ( 3 ) 懈的稳定性可以不成立 通常问题( 1 1 ) 是一类第一类算子方程，第一类算子a 的固有特性决定解i ( x ，y ) 对 观测数据g ( x ，y ) 扰动的敏感性。原始数据很小的误差也会导致近似解与真解的严重偏离， 真所谓* 差之毫厘，失之千里”。而实际情况恰恰是我们要处理的都是近似数据，不是精确 数据，这必然决定解的稳定性不成立 正因为如此，图像恢复这类反问题在h a d a m a r d 意义下是不适定的，若不用特殊的方 法来处理，将得不到合理的答案 0 如 = 尼 a g = a ，l e 0 ，显然可以将功能很强的共轭梯度法( c o n j u g a t eg r a d i e n t m e t h o d ) 用于正定对称线性方程组( 1 1 2 ) 、( 1 1 3 ) 的求解这较之直接法当然在计算量上 要大为节省，但仍然要形成和保留日1 日，这在存储方面的开销很大因而r y o u m a r a n 和aa d l e r 于2 0 0 4 年给出一种不直接形成口7 日+ a l t l 的c g t i k 算法，应用于图 像恢复，建立了双参数图像恢复正则化框架，取得了较好的效果即使如此，在其具体 实施过程中，还存在有关参数需要经验地确定等不足，详见第三章第三节因此，如何在噪 声水平未知的情况下将上述算法进一步完善，使得参数的选取更加快速和切实可行就构成 了本文的主要工作 7 壁塞垄兰鲞垫堕= 墼里堡堡基垂型丝差篓 此外，图像恢复方法还包括迭代法( 显示迭代格式和隐式迭代格式【1 1 1 ) ，递归方法，如 离散卡尔曼滤波( d i s c r e t ek a l m a nf i l t e r ) 1 2 , 1 3 】和p c g 1 4 , 1 5 】方法等，它们已经应用到不 同的恢复问题中，并且表现出不错的恢复效果近年来，以这些方法为基础，结合特殊问题的 特殊情况，人们提出了一系列新的恢复技术，特别是神经网络( n e u r a ln e t w o r k s ) 1 6 _ 2 0 j 和 小波( w a v e l e t s ) 2 1 - ”j 技术在图像恢复中的成功应用由于本文方法隶属代数恢复方法， 与上述方法属于不同范畴，这里不在详述 5 1 - 3 本文的主要内容和工作意义 如前所述，将t i k h o n o v 的正则化方法应用于图像恢复问题，可取得比较满意的结果， 而其中又以r y o u m a r a n 和a a d l e r 最近的工作引人注目正如文献1 2 4 l 中所说：数字 图像处理研究有很大一部分是服务于图像恢复的，包括对算法的研究和针对特定问题的图 像处理程序的编制，而且数字图像处理中许多值得注意的成就都是在这两方面进行的虽然 图像恢复的新方法层出不穷，但正则化策略中的具体算法用于图像恢复领域还有较大的空 间因此，本文将在以下几个方面开展工作： ( 1 ) 应用共轭梯度最小二乘法( c g l s ) 求解e u l e r 方程，研究其合适于微机上实施的 经济格式和算法 ( 2 ) 研究噪声水平未知情况下如何完善c g t i k 算法，包括迭代确定正则参数a 、由 问题求解精度要求自适应产生c g l s 法迭代次数及正则参数迭代初值的快速改进等 ( 3 ) 通过大量的数值试验，考察本算法的恢复效果和恢复速度 我们相信，本研究工作的完成，将会为实际工作者提供一个即使在微机上也可以实施的 图像恢复算法，并且该算法适用于降质图像噪声水平已知和未知两种情况，从而具有广泛的 适应性 8 第二章图像降质模型的离散正则化 为了便于计算机处理，必须将连续降质模型离散化如上一章所述，由于图像恢复问题 本身的不适定性以及对算子h 线性空不变性的假设，使得离散化后得到的线性方程组是严 重病态的，我们必须将其进行正则化处理，即用一族与原问题相临近的适定问题的解去逼近 原问题的解 本章分兰节分别介绍t i k h o n o v 正则化的三个主要步骤：离散化，正则化和正则参数 的确定问胚其中离散化一节采用传统的离散形式，而正则化一节则是后继讨论必要的理论 准备，最后正则参数的确定是恢复问题中最困难也是最有魅力的地方，第三章的工作主要就 集中在这里 考虑二维卷积型方程 2 1 连续图像降质模型的离散化 9 ( z ，y ) = ( z ，y ) 十f ( x ，y ) + n ( x ，y )( 2 1 ) 设输入的数字图像，( 。，y ) 和冲激响应 ( z ，y ) 分别具有axb 和e d 个样点， 为避免误差和卷积周期交叠，用添零延伸的方法，将它们扩展成m n 个样点，其中 m a + c 一1 ，n b + d 一1 贝 厶= 2 ，( 。，掣) o 曼z a 一1 且o 墨b 一1( 2 2 ) 几一10 a 冬茁sm 一1 或b 可n 一1 卜曲7 。：2 ( 。，) o z se 一1 且o ，d 一1 ( 2 3 ) l 0 c x 茎m 一1 或d y n 一1 将扩展函数丘( z ，y ) 和h 。扛，y ) 作为二维周期函数处理，即在x 和y 方向上周期分 别为m 和；同时考虑噪声项，即加上一个mxn 的扩展离散噪声项n 。( z ，y ) ，可 得完整的二维离散降质模型： m 一1 一1 g e ( z ，) = ，e ( m ，礼) 也扛m ，n 一可) m = 0n = 0 其中玑( 石，y ) 具有与h e ，y ) 相同的周期 ( 2 4 ) 9 墼垒王查塑堕= 丝里堡堡基至型垡蔓鎏 为了将( 2 1 ) 写成矩阵形式，我们引入 定义2 1 设a = ( o 玎) 。，将a 的各行依次横排得到m n 维行向量，称为矩阵a 的 行展开，记为r s ( a 1 ，即 r s ( a ) = ( a l la 1 2 - 0 1 na 2 la 2 2 - 加- a m l o m )( 2 5 ) 将a 的各列依次纵排得到i i l n 维列向量，称为矩阵a 的列展开，记为c s ( a ) ，即 c s ( a ) = ( a l l0 2 l - o m ln 1 20 2 2 - 一a m 2 盘l 。o m 。) t ( 2 6 ) 可见行与列展开的关系为 c s ( a t ) = ( r s ( a ) ) t 令，、g 、n 分别代表m n 的函数矩阵厶( z ，y ) 、g e ( z ，y ) 和n 。( z ，y ) 的各 行堆叠成的m 维列向量，即 f = 丘( 0 ，0 ) ( o ，1 ) 丘( o ，一1 ) ，e ( 1 ，0 ) ( 1 ，1 ) ( 1 ，n 一1 ) 丘( m 一1 ，0 ) 上( m 一1 ，1 ) ( m 一1 ，n 一1 ) 则( 2 1 ) 写成向量矩阵形式 g = 9 。( o ，0 ) f 。( o ，1 ) 9 。( o ，一1 ) 吼( 1 ，0 ) 9 。( 1 ，1 ) 乳( 1 ，一1 ) g e ( m 一1 ，0 ) g e ( m 一1 ，1 ) 乳( m 一1 ，n 一1 ) g = h + n n 。( 0 ，0 ) n 。( 0 ，1 ) n 。( o ，n 一1 ) n 。( 1 ，0 ) n 。( 1 ，1 ) 轧( m 一1 ，0 ) n 。( m 一1 ，1 ) n 。( m 一1 ，n 一1 ) ( 2 7 ) 式中h 为m m n 维矩阵此矩阵十分庞大，它包含m 2 个分块，每一分块的大小 1 0 为nxn h 可用mxm 的分块循环矩阵 8 1 来表示 h = h o h m 一1h m 一2 - h l h、hbh m 。h 2 h m oh m 一2h m 一3 h n 其中每个分块玛是由扩展函数h e ( 石，y ) 的第j 行组成，即 g j = k ( j ，0 ) 。( j ，m 一1 ) h e ( m 一2 ) k ( j ，1 ) h e ( 0 )k ( j ，m 一1 ) h 。( j ，1 ) 。( j ，2 ) 。( j ， 彳一1 ) 。( j ，m 一2 ) 。( j ，m 一3 ) - - - 。( j ，0 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 显然，口，也是一个循环矩阵1 8 j ，因为它的第二个下标和h 中各个分块的下标变化一样， 也是右移循环 以下各章节主要讨论的就是式( 2 ，7 ) 给出的离散降质模型，特别需要指出一点，这一表 达式是在系统假设为线性和空不变性的条件下推导出来的在实际中，噪声顷佗存在很多随 机因素，很难预先估计，并且观察到的图像本身也带有误差，记为9 6 ( x ，y ) ，即l l 卯( z ，y ) 一 g ( x ，y ) l i 冬6 在此条件下，图像恢复的问题在于：从带有误差的右端项舶扛，y ) 以及假 定准确的h ，估计出真实图像的，( o ，y ) 近似解，式( 2 7 ) 转化为代数方程 h s ：9 5 | f ，g u( 2 1 0 ) 的求解问题 表面看来，式( 2 1 0 ) 似乎很简单，但要从该式直接求出，的各个元素，对于实际图像 来说其运算量是相当大的就拿本文研究的问题来看，恢复一张2 5 6x2 5 6 像素的黑白图 像此时，m = n = 2 5 6 ，h 的大小为m nx m = 6 5 5 3 6 x 6 5 5 3 6 ，直接求，需 要解6 5 5 3 6 个联立线性方程组，这是相当繁琐的而且。我们要给出一种在普通台式机上可 以有效实现的恢复算法，系数矩阵日的存储单元也是必须考虑的同题，因为一个d o u b l e 型稠密的矩阵需要的存储单元为6 5 5 3 6x6 5 5 3 6x8 3 2 7 6 8 m b ，这比一般机器内存大 的多因此，必须充分利用h 的循环性质，一要减少日的存储单元，二要减少联立方程 组的计算复杂性，具体手段将在下一章详细给出 1 1 2 - 2 离散问题的正则化 在上一章中，已指出图像恢复问题是一类典型的不适定的反问题，所以其对应的离散问 题( 2 1 0 ) 也是个病态的问题为得到( 2 1 0 ) 稳定的数值解，本节引入正则化策略其基 本思想是：用一族与原问题相邻近的适定问题的解去逼近原问题的解自然，如何构造恢复 模型的邻近问题而获得正则算子、如何控制与原问题邻近程度而决定与原始资料的误差水 平相匹配的正则参数以及如何快速实现图像恢复求解过程便成为研究正则化的中心问题， 这也是本文重点考虑的问题首先给出正则算子的定义： 定义2 2 i s 一个由度量空间f 到度量空间u ，且依赖于参数a 0 的算子n ( g ，o ) 称 为方程( 2 1 0 ) 在g = g t 的邻域内的正则算子，假如它满足下述两个条件； ( 1 ) 存在6 l 0 和o l 0 使得n ( g ，a ) 对a ( 0 ，n 1 ) 、0 6 d l 及u 中满 足不等式舳( 9 ，卵) 6 1 的所有9 均有定义； ( 2 ) 存在一个集合。= d u ：p u ( g ，g t ) s6 1 ) 及在其上定义的泛函o = n ( 9 ，6 ) ，使得对任意给定的e 0 ，总可以找到6 ( e ) j l ，只要 p u ( 9 ，g t ) 6 6 ( e ) ，u 便有 p f ( 厶，厅) 茎e 其中， ，0 = 几，d ) = 佗( ，a ( ，6 ) ) ( 2 1 1 ) 显然，如果舶满足阳( 卯，卵) s6 ，则根据上述定义，将正则算子冗及泛函o = n ( 绑，6 ) 所确定的厶= 厶( ，5 ) = 冗( 9 6 ，q ( 卯，6 ) ) 作为原问题的近似解是合理的而且， 每个这样的正则算子冗( 卯，a ( 6 ) ) 连同决定正则参数的不同原则和方法，都定义了构造原 问题的近似解的一个稳定算法于是，寻求原问题的稳定近似解的过程可转化为： ( 1 ) 构造正则算子冗( 9 ，口) ( 2 ) 确定正则参数n = o ( 6 ) ，使之与原始数据的误差水平6 相匹配 构造正则算于的方法多种多样，下面重点研究的是t i k h o n o v 提出的基于变分原理的 正则化方法【2 ，通过引入所谓的展平泛函( s m o o t h i n gf u n c t i o n a l ) 来构造正则算子 设方程( 2 1 0 ) 存在精确解舟( 当古典解不存在时可用广义解序= 日+ g 来代替) ，对于 任何q 0 称下述具有参数d 的泛函 m 。= p 刍( 日，9 ) + n 【， ，g u ，f lcf ( 21 2 ) 12 河北工业大学硕士学位论文 为展平泛函：其中，只是f 中的稠密子集，n f 】是定义在r 上的非负连续泛函( 称为 稳定泛函) ，且满足下述条件： ( 1 ) 待求的f t 乃 ( 2 ) v o r 0 集合 ，i q ，】5d = c o n s t 是乃中的紧子集 可以证明下面的结论 定理2 1 设日是度量空间f 到度量空间u 的连续算子，则v o 0 和均u ， j 厶f 使得泛函( 2 1 2 ) 在f l 上达到极小值，即： m 。魄，引2 魅m “【，引 ( 2 1 3 ) 由上述定理，v 0 和v g u ，在空间f 中有唯一的元素厶与之对应；换言 之，定义了一个由u _ + f 的算子冗。： 厶= 冗。( 9 ，d ) ，g 以厶f( 2 1 4 ) 由于算子冗。对v o l 0 和v 9 u 都有定义，自然冗。对。( 0 ，o l l ) 及满足不等式 p u ( 9 r ，邯) sd 的卯也有定义因而，这样定义的算子满足正则算子定义的第一个条件 下面的定理表明，对于适当选择的正则参数口= 口( 9 d ，6 ) ，冗( 9 ，d ) 也满足正则算子的第 二个条件 定理2 2 设疗是对应于方程( 2 1 0 ) 的准确右端项的准确解： 日厅= t i t 于是， v e 0 ，及满足下列的在【0 ，6 l 】上定义的非负、非减函数p l ( 口) ，仍( o ) ： 志徘m ( 0 ) = 。 均存在6 0 ( e ，卢l ，倪，厅) sd 1 ，只要 p u ( g d ，g t ) 曼5 ，卯阢5 5 0 这样我们就在连续情况下说明了正则算子的存在性，并且给出了一种构造正则算子的 方法下面讨论离散的情况，设“和l “分别为离散解空间与数据空间，定义如下： w “= f “：“= ( f o ， ，厶) t ) 驴= 矿：g “= ( g o ，gh 一，) t ) 1 3 k j卯，【 口 d扫 兄 | | e 0 和醵l “任意给定，则 ( 1 ) 问题( 2 1 5 ) 的极小点髓w “存在且唯一； ( 2 ) 问题( 2 1 5 ) 的极小点茁w “满足下述方程： ( h ，t h + o g ) ，“= 月吾9 ( 2 1 6 ) ( 3 ) 堙是关于a 和站的连续函数 其中的矩阵c 可为单位阵， 我们注意到，求解式( 2 1 6 ) 为获得式( 2 1 5 ) 的极小点提供了一个有效的途径，同时 其在确定正则参数的求解过程中也具有重要的意义 2 3 噪声水平已知情况下确定正则参数的准则 在实施正则化方法的过程中，确定和使用正则参数是核心问题之一，也是一个非常困难 的问题，这是由问题本身的不适定性造成的正则参数n 太小，构造的近似问题的解继承 原问题过多的不适定因素，图像的平滑区域仍然充满着噪声；正则参数。太大，近似问题 的解精度不够，图像的边缘和纹理比较模糊 z a l 同时，确定正则参数也是一个十分有魅力 的地方，近年来许多数字图像恢复有意义的成果都在这方面取得【8 j 确定正则参数的准则大致分为两类，需要预知噪声能量或原图像能量信息的准则和不 需要噪声能量或原图像能量信息的准则前一类准则以原图能量、噪声能量或两者同时作为 约束条件确定正则化参数，如t i k h o n o v 的先验估计、m o r o z o v 的偏差原理和广义偏差 原理、a r c a n g e l i 准则等【8 】、以及迭代法f 26 j 确定正则参数等除此之外还有比较新的方 法，如自适应正则化参数方法，该方法对图像的边缘和纹理区域使用较小的正则化参数，平 滑的区域使用较大的正则化参数【2 7 ，2 14 塑韭三些地圭耋堡垒塞 1 m o r o z o v 偏差獗理 定义偏差方程 q o ( a ) = 庙( 风厶，g ) ( 2 1 7 ) 定理2 a ( m o r o z o v 偏差原理) 【2 9 】如果妒融) 是单值函数，则当船( 珥矗，g ) d 时。存 在这样的= q ( d ) ，使得 p u ( 马。丘( 毋，g ) = 5 式中，0 1 1 q 【， = ，i n f l fq ( ，y 】) 2 广义偏差原理 定义广望偏差方程 砌( o ) = l i h 。一卯i 2 一( d + l l 臂0 ) 2 要求最优正则参数满足砌( 矿) = 0 文献f 3 0 提出一种修改的广义偏差原理，对于 ，y 【0 ，o 。) ，我们定义 岛( 8 ) = i 峨嚣一船1 1 2 一( 6 + 划嚣咿一n ，i l 嚣jj 2 为新的偏差方程数值试验表明新原理的收敛性和稳定性均很好 3 a r c a n g e l i 准则【3 1 a r c a n g e l i 于1 9 6 6 年几乎与m o r o z o v 同时但独立地提出确定正则参数的一个偏差 方法，他主张由下式： l i a r ；一酬一击= o ( 2 1 8 ) 来确定正则参数注意到：对于每个固定的6 0 ，函数 p ( ) = 、厂| f 玩疗卯f f 对是n 连续、单调递增的，且有 。l i 。m o p ( 乜) _ o ，熙p ( 乜) 2 o 。 故存在唯一的一个a = a ( 6 ) 满足方程( 2 1 8 ) 当噪声能量或原图像能量信息已知时，上述准则都是相当有效的，其中龙以m o r o z a v 偏差原理使用的最为普遍显然，当噪声能量或原图像能量信息未知，即噪声水平未知时， 它们就无能为力了这一缺点大大限制了它们的应用范围对于第二类准则的具体细节以及 如何数值地加以快速实施，我们将在下章讨论 15 第三章噪声水平未知时双参数的图像恢复正则化算法 3 - 1 问题困难重述 绪论中已经指出，图像恢复是典型的不适定问麒，不适定性是求解它的最大难题，在上 一章我们已采用离散正则化策略攻克了这个难题但是在实际构造新算法时还会遇到下面 两个困难：问题规模较大和正则参数选代初值的选取。 1 问题规模较大带来的困难 这里所指的由问题规模较大带来的困难有两个：存储困难和计算困难衡量算法的好坏 有两方面：空间复杂度和时间复杂度，存储困难是空间上的困难，计算困难是时间上困难 拿本文要处理的问题来看，恢复一张分辨率为2 5 6 2 5 6 的黑白图像模糊图像9 按 行展开得到一包含6 5 5 3 6 个元素的列向量，它要占用0 5 m b 内存空间，这还不是一个很大 的存储量，巨大的存储量是系数矩阵h 已知h 的维数是6 5 5 3 6 6 5 5 3 6 它所占内存空 间就变成约3 2 g ，如果还要存储日t 日的话，则需要约6 5 g 的存储空间，而最高档微机支 持的内存最大不超过2 g 这个困难看似无法克服，但幸运的是系数矩阵h 是一个分块的 t o e p l i t i z 矩阵，而且图像退化本身决定了h 中只拥有较少的非零元素如图3 1 所示： 1 6 图3 1 ：系数矩阵的稀疏特征 f i g 3 1s p a r s i t yo ft h ec o e f f i c i e n tm a t r i x 河北工业大学硕士学位论文 一个6 6 均匀模糊退化模型的系数矩阵中，黑色部分代表非零元，它的个数( y i z ) 约只占 到元素总数( s u m ) 的o 1 8 ，所占内存空间只有8 9 m b 。而且从图3 1 看出，h 具有准 对角形式因此，根据退化模型性质和稀疏矩阵的存储技术，我们可以解决系数矩阵h 的 存储问题进而，若能设计无需存储日1 日的算法，则存储问题可迎刃而解 应用经典正则化方法求解( 2 1 0 ) 式。需要求解e u l e r 方程处理小规模问题的做法是根 据新的系数矩阵日t 日+ 口，对称正定性特点，对其应用c h o l e s k y 分解或其它矩阵分解， 转而求解两个三角方程组但是，对于我们的问题不能这样处理一方面打日+ ，可能 无法存储，另一方面即使日t 日+ n j 存储问题解决了，它一定是以稀疏矩阵形式存储的， 而稀疏矩