（应用数学专业论文）基于copula函数和affine过程的cdo定价.pdf

人b s t r wt ab s t r a c t t h e p a p e r s u m s u p a n d c o n c l u d s c u rr e n t l y n e w m a n a g i n g t o o l s o f c r e d i t r i s k 一 c r e d i t d e r i v a t i v e s , w h i c h a r e t h e fi n i c a l t o o l w h o a r e u s e d t o m a n a g e a n d t r a n s f e r c r e d i t r i s k .t h e l o s s a f t e r o n e c r e d i t e v e n t i s h ig h f o r t h e e q u i ty t r a n c h e h o l d e r .t h e re f o r e ,i t s n o t o n l y a f o c u s e d p r o b l e m i n n o w a d a y s fi n i c a l r e s e a r c h , a l s o a r e q u e s t w h i c h p r o m o t e h e a l t h y d e v e l o p m e n t o f c d o m a r k e t i n c h in a to a n a l y z e r e a s o n a b l e p r ic in g c d o i n o r d e r t o p r i c e a c d o , w e n e e d t o k n o w t h e r i s k n e u t r a l j o i n t d i s t r i b u t i o n . d u e t o t h e s t a b i li t y o f t h e n o r m a l d i s t r ib u t i o n , g a u s s c o p u l a i s t h e fl e x i b i li ty o f th e c o p u l a f u n c ti o n s ,w h i c h a l l o w u s t o e q u i p r a n d o m v a r i a b l e s w it h a g a u s s i a n c o p u l a th a t a r e n o t n o r m a l l y d i s t r i b u t e d i n t h e i r m a r g i n a l d i s t r i b u t i o n s i t s n o t r i g h t t o p r i c e c d o , w h i c h re s u lt i n i m p l i e d c o rr e l a t i o n s m i l e .t b e p a p e r e x t e n d s r a n d o m i n t e n s i ty t o a f fi n e p r o c e s s b a s e d o n t h e g p l m o d e l .we c a n g a in l o s s d i s t r i b u t e d f u n c t i o n b y s o l v i n g t h e c h a r a c t e r f u n c t i o n o f r a n d o m v a r i a b l e .a c c o r d i n g t o th e b a s i s p ri c i n g i d e a ,p r ic e o f c d o i s g a i n e d . b y c a l i b r a t in g t h e c u m u l a t e d i n t e n s i ti e s u n t i l t h e c a l i b r a t i o n e r r o r i s u n d e r a g i v e n t h r e s h o l d o r u n t i l i n t e n s i ty c a n b e c o n s i d e r e d n e g l i g i b l e k e y w o r d s c r e d i t d e r i v a t i v e s ; c o p u l a f u n c t ii o n ; a f fi n e p r o c e s s -, r a n d o m i n t e n s i t y 往 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的 规定 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本;学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、 缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供目 录检索以 及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务; 学校有权按有关 规定向国家有 关部门 或者机构送交论文的 复印件和电子版; 在不以 赢利为目 的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 鼻 - v o 7 年乡 月 2 千 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名: s on 学位论文作者签名: 葬丹 解密时间:年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: ! 内 部5 年( 最 长 5 年 ， 可 少 于 5 年 ) 秘密1 0 年 ( 最长1 0 年，可少于1 0 年) 机密2 0 年 ( 最长2 0 年， 可少于2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的学位论文， 是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。 除文中已经注明引用的内容外， 本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、 己公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体， 均己 在文中以明 确方式标明。 本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名 ，。 了 年全 月 研日 第一章 引言 第一章引言 经过近三十年的发展，衍生品市场正日益成为现代金融业的主旋律。但直 到2 0 世纪9 0 年代初期， 衍生产品的交易与创新都仅限 于市场风险， 金融业面临的 最大风险一 信用风险，尚 未得到衍生产品的开拓. 如今， 信用风险管理的新工 具- 信用衍生产品( c re d it d e ri v a ti v e ) ， 己经从无到有， 应运而生. 信用产品是新一代用以 管理和转移信用风险的金融工具， 是一系列从基础资 产上剥离、 转移信用风险的 金融工程技术的总称. 交易双方通过签署一项具有法 律约束力的金融契约， 使得信用风险从依附于贷款、 债券上的众多风险中独立出 来， 并从一方转移到另一 方。 信用 衍生产品的基本工 具包括 违约期 权( d e f a u l t p u t ) 和总收益 互换( t o t a l r e t u rn s w a p ) ， 在此基础 上， 金 融 工 程 可以 开发出 许多变 异 形式。 在违约期权中， 信用保护的买方向卖方定期支付或一次性总付权利金， 信 用保护的卖方在接受 权利金的同时， 承担了约定时期内 协 议资产的违约风险。 在 违约期权中， 剥离、 转移的仅仅是信用风险。 在总收益互换中， 一方在协议期间 将协议资产的总收益 转移给另一方， 总收益可以包括本金、 利息、 预付费用以及 因资产价格的 有利 变化带 来的资 本利得， 该总收益的 接受者则承 诺向总收益的支 付者交付协议资产增殖的 特定比 例， 通常是l i b o r +一个差额， 以及因资产价格 不利变化带来的资本亏损。 总收 益互换在不使协议资产变现的情况下， 实现了信 用风险和市场风险的 共同 转移。 对于信用 衍生品 的 定 价， 研究者已 经建立了多 个不同 的 模型， g a u s s i a n c o p - u l a 单因 子 模型已 经 成为 了 标 准的 市场模型， 这 种 模 型 就 是 应 用 c o p u l a 函 数， 更 准 确的描述资产组合中各个资产之间的相关性。 后来的研究者在此基础上进行了延 伸和修正， 使 c o p u l a 模型 在实际 应用中更为有效. a n n e l i s l i 1 s c h e r 在2 0 0 5 年 从 几个方 面对 标准的 c o p u l a型 进行了 延 伸， 随 机变 量 x ” 是 一 般 系统因 素y 和 独 立同分布的标准正 态 分布 变量的 特殊因素 。 的函 数， 通过 假设 x, y 和分别服 从不同的分布对模型 进行了延伸， 并假设违约相关性是随机的， 更进一步的延伸 是用有限 个异质 投资 组 合 代替了 同 质投资组合。 h u l l j 和 w h i t e a l 在2 0 0 4 年介绍 了不用进行蒙特卡洛模拟的c d o 定价。 但是， c o p u l a型 不 适 合于导致隐含相关性微 笑的 不同 c d o 债券的价格， 因 第一章 引言 此研究者们提出了 基于不同分布的其它单因 子模型. m o o s b r u c k e r 2 使用了 单因 子、 va r i a n c e g a m m a 模 型， k a l e m a n o v a , e t a l . 3 ,g u e g a n 和 h o u d a i n 4 提出 了 n i g 因 子模型。 b a x t e 5 在 2 0 0 6 年 介绍了 b r o w n i a n - v a r i a n c e - g a m m a 模型， b - v g 过程是 一 个新的 过程， 表示 为 b m w i a n 项与v a r i a n c e - g a m m a 过 程的 和， 是l e v y 过程， 这个模 型是个人的信 用变 化模型， 因为是一个带跳跃的结构 模型， 所以不同于其他包括 连续项的 模型。 a l b r e c h e r h , l a d o u c e t t e s a 和 s c h o u t e n s w 6 把上面的几个因 子 模 型总结了 一下， 提出 了 一 般单因子l e v y 模型， 并 计算 出了 大宗同 质资产组合的 近 似值。 本文就是在建立在这些模型之上，对已有的模型归纳总结，讨论d a m i a n o b , a n d r e a p 和r o b e r to t 7 ( 2 0 0 6 ) 中提出的 一般p o i s s o n 损失 ( g p l ) 动态模型， 以此模型为基础， 把a ffi n e 过程的概念引入到该模型中。 g p l 动态模型中所研究 的过程称为一般p o is s o n 过程，因而可以很容易求出 随机过程的特征函数，再利 用l e v y 反转公 式求出 过 程的 损失密度， 从而 求出 c d o 债 券的价值。 第二章 信用衍生 工 具的回顾 第二章 信用衍生工具的回顾 信用衍生工具是商业银行为管理信用风险而推出的一种金融工具， 从本 质上 讲， 信用 衍生产品 是交易双方签订的 一种金融 合约， 其目的在于给风险空头 提供 违约保护， 降 低其所承担的信用风险， 而风险多头则因为承担从风险 空头转 移过 来的风险 而获得收益补偿. 信用衍生产品 有助于降低信用风险， 提高商业银 行的 信用风险管 理水平。商业银行通过信用衍生产品交易剥离标的资产的信用风险， 从而改变标的资产整体风险特征， 达到转移和规避信用风险的目 的。 2 . 1 基本信用产品 信用衍生工具正成为管理信用风险的重 要工具， 无论是在资本市 场上还 是在 公司融资中. 下面是信用衍生工具最常见的 一些用处 8 ) : .对冲违约风险 .放宽 信用额度以延续同某一顾客的交易 .降低集中性风险( 国家或行业风险) .获 得其 他情况下无法获得的 信用以 使投资组合多样化 .对冲动态信用风险 .对冲资 信度的 变动 下面将讨论当前交易的主要产品. 2 . 1 . 1 信用违约互换 一份信用违约互换 ( c d s ) 是一份双边合约， 其中一方购买某一信用事件的违 约保护或保证。 这份合约的到期日 给定， 但当信用事件发生时将提前结束. 一般 来说， 这个信用事件是某个发行人的违约， 有可能是一个单独的公司、 金融机构、 政府机关或主权国家. 违约保护的购买者将定期付款 ( 以名目金额的每年基本点 表示) ， 一般称做违约互换保险 金. 作为回 报， 违约保护的卖出者承诺一笔或 有支 付， 以 在发 生 违约时补偿购买者。 事实上， 违 约保护的购买者是卖出 信用风险， 而 违约保护的 卖出者买进了信用风险。 不涉及资产的转移， 因而就没有必要筹 集头 寸。 第二章 信用衍生工具的回顾 一 般 来 说， 一份c d s 的 违 约 付 款 是 ( 1 一 司 ， 其中 b 表 示 相 关 证 券 的 回 收 率( 例 如， 一份 违约债券的价值) 一 以 其 票面价值的一定比例表示. 理由 很简单， 它使 一份风险资产转化为无风险资产. 这里有两种可能的结算方式: 实物交割或现金 结算。 实物交割中， 如果没有提及某种特定的证券， 那么违约 保护的 购买者会拥 有一份“ 最 宜交割 期权”( c h e a p e s t - t o- d e l iv e r o p t i o n ) ， 因 为 他 可以 通 过在 市 场上 交割这些最便宜的债券来收回债券面值. .在实物 交割情况下， 违约保护购买者交割违约资产， 以 获 得与资 产名目 价值 相当的 一笔付款。 .在现金结算情况下。 违约保护卖出者向购买者支付一笔款项。 这笔款项刚好 等于名目 金额与违约相关资产价格之差. 交易者通过调查决定回 收率的 值。 在一份数字 ( 二元) 违约互换中， 如果违约事件发生， 或有付款即与名目金 额相等， 无论回收率多大。 2 . 1 . 2 总回报互换 一份总回报互换可以使投资者复制一个信用风险的 风险敞口 ， 而不用购买相 关工具。 然 而， 总回报互 换并不仅仅 与信用事件的发生联系在一起， 就像在c d s 中 一样 ( 交易标的是基本资产的纯信用风险) 。 在总回报互换中， 利率风险也在交 易范围内。 总回报互换的购买者付出 l i b o r 加上一个利差， 以 从卖出者那里获得基 于基本资产的固定利率支付. 另外， 当资产的市场价格发生变化时， 支付也会变 化。 这表示 任何方式的资产贬值， 包括违约事件中的损失， 在结算时 都被包 括进 去. 合约在每个息票交付日 或到期日 将被重新估值。 在估值之后， 与定价变化相 应的一笔支付将被执行。 如果有信 用事件发生， 互换将提前结 束， 并且按与 违约 互换相似的方式进行结算。 从本质上看， 总回 报互换允许 投资者获得一份基本债券的 所有现金流而 不用 真正去购买债券。 在会计、 税收或其他合法方式中， 投资者偏爱这种工具。 此外， 总回报互换的市场流动性比基本债 券的市场流动性更强。 2 . 1 . 3 资产互换 资产互换是一项基本债券和利率互换的结合。 投资者可以 选择利率互换的固 定利息， 从而按票面价格购买资产互换。 因此， 资产互换和总回报互换相似。 这 两者最大的差别是违约事件带 来的 结果不同。 一份总回 报互换 在违约事件发 生后 第二章 信用衍生工具的回 顾 就告结束， 而在资产互换中， 利率 互换在违约发生后仍然有效。 2 . 1 . 4 信用债券 信用债券 ( c l n ) 或信用违约债券具有以下特点: 其利率和名目支付与基本 信用相对应。 c l n 的购买者通过某种特殊工具一 以 相关证券作抵押， 购买有息债 券， 这与信用违约互换的证券化十分相似。 如果基本信用没有发生违约， 那么所 有的息票和本金都将得到全 额偿付. 然而， 如果违约发生了， 债券仅仅支付基本 信用的回收价值一b 。 作为 承 担嵌入性信用风险的补偿， 债券将支付比l i b o r 更高 的利率， c l n 类似于持有无风险债券并卖空一份违约互换， c l n 也可以被编入一 揽子名称中。 其结算方式类似于违约互换。 违约的基本信用或是实物交割 ( 并且 没有剩余支付) 或是现金结算， 其中支付的金额等于有交易 者决定的违约资产价 格。 2 . 1 . 5 标准衍生工具的对应风险 信用衍生工具合约的一个重要作用是对冲衍生工具的 违约风险。 当对方违约 时，对冲合约的购买者可以获得一份收益，金额等于基本工具的时价乘以1 减去 回 收率的 差 一如 果 回 收 率 的 值 为 正 的 话， 即时 价x ( l 一 叫， 这 将导 致 完全信用保 护。 这些保险合约可以 用于 单个基本信用或者对冲账 簿的总 体信用风险敞口， 以 利用净额交易和成本削减的优势。 2 . 1 . 可撤销合约 在可撤销合约中， 交易 双方交换定期保险金直到 第三方发生 违约。 然后合约 终止， 之后不发生任何交易. 例如， 当且仅当第三方不发生违约时，可撤销互换 期权的拥有者会收进一份标准互换期权支付。 如果可撤销互换期权的卖出者不违 约， 这份可撤销互换期 权相当 于第 三方售出的无回 收 互换 期 权( w it h n o r e c o v e ry) . 然而可撤销互换不同 于风险 互换， 实际上， 可撤销互换的 购 买者在 违约发生时承 受的风险敞口是负的， 与此同时互换的现值也是负的， 而在风险互换中并不是这 样。 风险型固定利率债券的 持有者可以参与相应的 可 撤销互 换， 以 形成一份综合 风险浮动利率债券。 如果他 们参加的是标准互换， 那么 他们 在违约发生时就要承 受互换时价的不确定 性. 第二章 信用衍生工具的回 顾 2 . 1 . 7 货币违约互换 在货币 违约互换中， 无论是保险费支 付， 还是违 约时间的现金流， 都不使用 与基本债券相同的货币. 假设有一个发行美元债券的 跨国公司， 货币违约互换的 保险金可以用欧元支付: 在违约情况下， 付款等同于可以用欧元支付的美元债券 回收 率。 按美 元计 算 ， 付 款 等于s e ( 劝 ， 其中 e ( 动 表示 违 约时 刻二 的欧 刃美 元 兑 换 率， 6 是回收 率. 值得 注意的是， 万一同 一发行 者交易欧 元债券一中 假设回收 率并不 取决于货币， 货币 违 约 互换就转变为基于欧元 债券的 普 通香草型违约互换( v a n i l l a d e f a u l t s w a p ) . 货币 违 约互换为那些拥有 非 流 通外汇 债 券或非交易贷款的 交易 者 提供了保护。 2 . 1 . 8 信用利差期权 信用利差期权是一种基于特定信用利差的期权. 保护购买者付出一定的保险 费( 一般是预付的) 而获得现值一 通过利用基于一些基准的基本信用收益( 例如， 固定利息的 长期国家 债券和浮动利率的 l i b o r ) 与期权执行价格之差。 如果用凡表 示相苯 信 用 收 益与 执 行 期 t 的 基准之间 的 差. 那 么 信 用 利差 看跌和看涨 期 权的 支 付如下: .信用利差看跌期 权: 有权利按照一个预先 确定的 执行价格卖出相关资产， 支 付与 ( s t 一 k ) + 成 一 定比 例。 .信用利差看涨期 权: 有权利按照一个预先 确定的 执行价格买进相关资产， 支 付 与 ( k一 s t ) + 成 一 定比 例。 信用 利差 缩小( s t 下降) ， 看涨期权的 价格 上升; 信用 利差扩大( s t 上 升) ， 看 跌期权的价 格上升. 信用利差期权允许对信用利差的 波动或利率变动进行套期， 在违约互换情况下， 它们或是现金结算或是实物交割. 在后一种情况下， 保护购 买者拥有权利， 而不是义务，向保护卖出 者买进或卖出 基本债券， 合约可以是欧 式、 百慕大式或美式. 2 . 1 . ， 一揽子违约互换 一揽子违约互换是结付方式与c d s 非常 类似的一种违约保险合约， 差别在于 它们是被编入一系列资产之中， 而不是一个单一的相关资产。 这份合约会为一揽 子里的系列资产提供保护， 但一般来说并不是涵盖每一笔资产。 假设有一个一揽 第二章 信用衍生工具的回顾 子资产， 含 有n 份资产。 下面是典 型的 几 种资 产: .第一次 违约， 只为第一次违约 提供保 护. 。 第二 次 违约， 只为第二次违 约提供保 护. . n 份的 前1 份违约， 只为前1 份提供保护. .n 份中的后m 份违约， 只为后m 份提供保护。 2 . 1 . 1 0 债务抵押责任 ( c d o) 结构 债务 抵押责 任( c d o ) 是贷款抵押责任( c l o ) 或债权抵押责任( c b o 的 一 个普通种 类。 c d o 除了贷款和债券之外也可以 包括信用违约互换， 最简单的 情况 下， 一个c d o 可以被视同为一组资 产， 该组资产被打包成一份投资组合并且 被分 割( t r a n c h e d ) 。 分割本质上就是 把 c d o 分 割 成与 不同投资组合损失 相 对应的 小 部 分。 这些分 割资 产通常被鉴定等 级， 它们的 风险 经由固定或浮动利率的 债券 转嫁 给投资 者. 投资 者在本质上得到了 大量多 样信用构成的风险， 因为 他们承担了 资 产组合的 信用违约风险， 作为补偿， 他们将会得到较高的息票。 这些分割资 产其 实就是 与 该资产组合相关的 信用 债券， 依 赖于资产组合的损失， 债券的息 票 或本 金可能 会降低， 而这又涉及到违约资产的 回收值. 这种结构和一揽子违约互 换十 分相似( 尽管基本资产的数量要大得多) ， 盈利是由资产组合的总损失决定的而 不是某个单独的违约事件。 2 . 2 信用定价的基本设想 对无 风险合约进行风险中 性定价的 基 础是， 通过交易一系列的 基本工具( 或 静态或动态) ， 所有的风险可以对冲掉。 结果是， 投资者是风险中性的， 并且 任何 资产的 期望回报率都是无风险利率。 当前某证券( t 时间) 的价值或价格是这样决 定的: v = b ( t , t t+ i ) 护晰; ( 2 . 1 ) 其 中 ， 护表 示 风险中 性概率 测 度的 期 望 值， i t + i 是 证券在 + 1 时 间的 价 值， b ( t , 劝是 无风险 折算因子( d i s c o u n t f a c t o r ) . 换句话 说， 某项资产的折算价格是一个软。 现 在 假设有一项可违约权 利， 由 +1 时 期( 没有违约的 情况下) 价格为 k 十 1 , 如 果 违 约 发 生， 那么价 值只 剩 下 一 部 分， 称 作 s v t 十 ， ( 占 是部分回 收 率) . 另 外， 如 果 资 产 在 t 时期之前没有违约 发生， p t 表示 在t 到 t +1 时期遭遇违约的 风险 中 性概 第二章 信用 衍生工具的回顾 率. 在这种情况下， 云 时期的资产价格如下: v=( 1 一 p t ) b ( t , t t + l ) eqv + i + p t b ( t , t t + 1 ) eqib v + l l v ( 2 . 2 ) 这是经 过无风险利率折算后的两种情况 ( 无违约和有违约) 的加权期望值。明显 的， p t 大于 0 而6 小于1 ， 风险 证券的 价值要小于相应的无风险 证 券。 上面的 分析可 以 进行 扩展， 风险折算率f t 可以 用 无风险利率r t 、 风险中 性违约 概 率和回收率表 示一 般 来 说， 我们可以 写 为 f t 二 r t + p t ( 1 一 司， 可以 看出 风 险 率 大 约 等 于 无风险 利率加上一个信用利差。 为了估计上式的可行性， 我们需要物入诸如信用事件发 生概率、 信用事件发生时的损失以 及各种不同相关资产的信用事件之间联系等变 量一 因此， 我们需要更复杂的工具。 再次强调这些是风险中性概率， 并且它们是 从市场工具中而不是历史数据中 抽取出来的。标定这些参数是一件很复杂的事， 因为信 用衍生市场上不完善。 实际 上， 从相互关系中抽取隐含的 价值几 乎是不可 能的， 因为没有任何可流动交易工具依赖于这些参数。 2 3 c d o的相关知识 2 . 3 . 1 c d o的概念 定 义2 . 3 . 1 c d o 是一种祈兴的 投资组合， 它是以 抵钾债务 信用为 基袖， 基于 各种资 产 证券化技术， 对债券、 赞 款等资产进行结构重组， 重 街分 割投资回 报和 风险， 以满足不同 投资者的需 要的 创街性衍生证券产品. 正如前面所描述的， 一份c d o 结构本质上是一组资产组合的证券化， 它们被 打包成 一份证券组合并且被分割。 其价格接近于一揽子违约互换， 但是是用实际 损失而 不是用违约数来定价的。 分 割本质上就是把c d o 分割成与不同 投资组合损 失相对 应的小部分， 这些分割资产 通常被鉴定级别， 它们的风险经由固定或浮动 利率的 债券转嫁给投资者。 投资者得到了大量多样信用风险构成的风险， 因为他 们承担了资产组合的信用违约风险， 作为补偿他们将会得到较高的息票。 看一下现金c d o s 和复合c d o s 的区别。现金c d o s 有一个由现金资产组成的 参考组 合， 比如， 公司 债券( c o r p o r a t e b o n d s ) 或贷款( l o a n s ) 。 而一 个复 合 -c d o 的 参照投资组合是由一个信用违约互换 ( c d s ) 构成的， 一个c d s 对有确定到期日 的明显的潜在实体的违约提供保护。 c d o 是近些年以来最受市场关注和咒屏谏冷最快的结构性信用产品之一， 九 第二章 信用衍生工 具的 回 顾 十年代初诞生于美国， 增长较快， c d o 年发行 量从 上世纪9 0 年代中期的年发行量 几十亿的规模迅速发展至目 前年发行量超过 2 , 2 0 0 亿。 从地域看，美国市场仍占 优。 2 0 0 5 年 4 月， 中国 人民 银行、 中国银行业监督管理委员会联合发布 信贷资产 证券化试点管理办法 ， 并决定由中国建设银行进行住房抵押贷款证券化产品和 国家开发银行试点信贷资产证券化产品试点. 2 0 0 5 年1 2 月1 5 日， 国家开发银行作 为试点机构成功发行信 贷资产支持证券” 2 0 0 5 年 第一期开 元信贷资产支持证券，o 这是我国大陆地区第一个公开发行的c d o 产品 9 . 我国的信用衍生 产品市 场有三种可资考虑的 操作方 式: 第一种是国内银行与外资银行和国外机构投资者之间 开展信用衍生产品交 易。中国作为一个新兴的市场经济国家， 贷款市场的回 报率较高， 早己为许多国 外机构投资者所青睐， 但却没有合适的参与途径。 信用衍生产品交易可使它们获 得承担信用风险敞口的 机会。 我国的海外分行可以 利用遍布世界的信息渠道， 宣 传我国的信用衍生产品， 介绍国外机构投资者来购买。 当前， 外资银行在我国已 有数十家， 由 于只允许其经营非常有限的人民币 业务， 外资 银行一直无缘进入人 民币贷款市场。 信用衍生 产品交易的开辟为 外资银行跻身人民币业务提供了 一个 舞台， 通过出售信用衍生产品， 它们能够全面参与人民币 贷款市场， 这将使我国 金融业的对外开放掀开新的一页。 第二种是国内 银行同业之间的信用衍生 产品 交易。 信用 衍生产品可使国内 银 行相互调剂各自 的风险 头寸， 从而重组贷款结构， 降 低信贷风险。 与银行债权交 易相比， 信用衍生产品 具有独特的优势， 有更大的 灵活性， 市场潜力巨大. 第三种是国内 银行与国内机构投资者如投资 基金、 保险公司、 养老基金等之 间的信用衍生产品交易. 通过信用衍生产品 参与货款市场己 成为目前国际上机构 投资者新的 投资方式， 我国 也可考虑进行尝 试。 目 前， 我国 的这些机构投资者均 拥有大量的资金， 但却缺乏足够的合适投资方向. 对于保险公司、 养老基金而言， 单纯投资于国债， 回报率太低， 为此， 近日 国家已允许它们以 一定的方式适度进 入股票市场。 对于投资 基金而言， 许多基金的 大量资金都处于闲置状态， 股票市 场目前还不足以使其实现理想的资产组合。 而我国的企业债券市场又很不发达， 绝大部分企业的融资形式是银行贷款。 通过信用衍生产品 进入贷款市场， 既有利 于基金实现更为分散的 组合， 取得更好的 经济效益， 又能为分散、 化解银行的 债 权风险助一臂之力。 第二章 信用衍生工具的回顾 2 . 3 . 2 c d o 定价的一般方法 我们考虑复合c d o s 的定价， 假设在一个复 合c d o 中， 参照投资组合是由 c d s 构 成的， 并且是静态的。 这些c d o s 近年来引起了 广泛的关注， 因为大多数的做市商 创造了 普通的复合c d ( ) 指数，这大大提高了价格透明度和市场流动性. c d o s 是 近年来 证 券 化 市 场 发 展的新趋势， 运用的 也是 传 统资 产支持证券化 a b s ) 技 术。 两 者差别在于: c d o s 的支持资产为多元化而非同 质资产，因此现金流的 波动性更 低， 也利于吸引更多 投资者; 复合c d o s 通过c d s 或c l n 转移风险， 无需同时出 售 基础资产。 上述两点既降低了发行成本， 也提高了发行效率。 与通过c d s 直接投资于道琼斯t r a x x 相比， 投资于一个复合c d o 的 一个权益 债券， 有着很明 显的 杠杆作用， 一个 权益债券的持有者， 在一个信用事件发生 后 的损失比 c d s 指数持有者高出了3 4 倍。 因此， c d o s 的准确定价是非常重要的， 错 误的风险评估和鉴定都很容易导致巨大的损失。 复合c d o s 的损失分布 如果没有违约发生， 那么保护购买者( c d o s 的发行者) 在期限内向保护卖出 者( c d o s 的 投资者) 支付一笔固定的 保险费。 如果违约发生了， 那么保 护的 卖出 者就被要求在发生违约时支付一笔费用. 一 个c d o 债券的 违约支付总是可以 承担发生在两个提前设定的阀 值之间 的 参照投资 组合的损失， 这些阀 值记为 心 ， k d ， 称为 c d o债券的着点( a t ta c h m e n t p o in t ) 和 分 点( d e t a c h m e n t p o i n t ) . 在 t 时 刻 ， 记 m ( t ) 是 给定 债权 的 累 积 损 失 ， l ( t ) 是 一 个参 照投资 组 合 的 累 积 损 失。 l ( t ) k a 一k a , k a _ k d ( 2 .3 ) 0，卯与 了.，、. 一一 m 为了 计算出 保护 卖出者和买者之间的 现金 流， 进而对c d o 债券定价， 引 起 参 照 投资 组 合的 损失 l ( t ) 的决定因 素 是 一 个 非 常 重 要 的 部分。 定 义2 3 .2 ( 投资组合损失) 假设违约时 间， 无 风险利率和回收率三者相 互 独立 ，担保组合包 含 门 个参考债务人， 每一 债务 人的 名义债务数圣为 d，回 收 率 为 凡的 n 个 参 照 债 务 人， 。 =1 , 2 , . . . n , 假 设 玩=( 1 一凡) 几表示第 n 个 债 务 人 第二章 信用 衍生工具的回顾 给 定 违 约 下 的 损失 ， 以 、 记 第 n 个 债 务 人 的 违 约 时 间 ， 则 n . (t ) = 入 、 。 是 一 计 数 过 程， 它 在第 。 个债务人违约时 取值 从 0 ja 到1 ， 那么 在t 时刻 投资 组合的 损失 l ( t ) 为: l (t ) 一 艺 l n . (t ) m( t ) 的 每 一 次跳跃 ( 2 . 4 ) 记l ( t ) , m。 ) 是纯跳跃过程 买入者支付。 违约费都由保护卖出 者向 保护 在 下 文中， 假设对所有的 债务 人来说， 名义债务d n 与回 收率r n 都是 相同的。 在一个离散时刻， 我们可以把一个给定债券的累积损失百分比的期望值写作: e l ( k a ,k o ) ( t i )= e (m( t i ) ) k d一k a 天 1不 1vk d - k a (m in (l n(ti) ( 2 .5 ) k d ) 一 k a ) + p n ( 2 .6 ) 给 定 一 个连续的 投资 组合 损 失 分 布 函 数 f ( x ) ， 那么 在时 刻 t ， 一 个 给 定 债 券的 累积损失百分比的期望值可写作: el 心 ，肠 ) 布 1 不 ( r 1e l (k a,k n ) = k d - k a (,/k a (一 。 )df (x ) 一 irij k d 。 一 、 )df (x ) (2 .7) 复合 , 1 1: 17 的公平保险费 c d a 债券的公平价格与c d s 的计算方法类似， 也就是由 下面的思想计算出公 平保险 费 w， 即是令保险费部分的 现值与违约部分的现值相等。 设 、.尹、1了 89 .详 22 了、子、 0三甸 t n - i 为保险 费 支付日 期。 债券的保险费部分的值尸 石 是所有差额支付期望值的现值: p l 一 艺o tjw b (t o , t i- 1 ) 1 翻 吕 二 1 这 里 =t 一 t i - 1 , b ( 0 , t i ) 是 折 现 因 子 ， 出， 损失百分比的期望值降低了 名目 本 金， 险费. 一 e l ( k a ,k . ) ( t i - 1 ) ) w为保险费. 那么从上式我们可以看 在合约初期， 应该支付全部名目 的保 第二章 信用衍生工具的回 顾 同 样， 违约部分的 价值d l 也可由 折现的违约部分的 期望值来计算 1 0 : dl= b ( t o , s ) d e l ( k . , k d ) ( s )( 2 . 1 0 ) ( t o , t i ) ( e l ( k w ,k , ) ( t i ) 一 e l (k ,i ,k d ) ( t i - l ) ) ( 2 . 1 1 ) 户。夕 那么， c d o 债券的公平价格w. 就这样被定义: 尸 l ( w* ) 一d l ( w ) =0( 2 . 1 2 ) 因而由式 ( 2 . 9 ) , ( 2 . 1 1 ) 得到 w 各 b (t o , ti) (e l (k , ,k n ) (t i) 一 e l (k . ,k n )(ti- 1 ) e o t j b ( t o , t i - 1 ) ( 1 一e l (k ., ,k d ) ( t i - i ) ) ( 2 . 1 3 ) 上 式表明， 只 要 计 算出 债 券的 期 望损失e l ( t ) , 那 么 保 险 费 就 能 直接计算出 来. 不 幸的是， 用 于 计 算 债 券 损失 e l ( t ) 的在参 照 投 资 组 合 上的 损失 l 的分布函 数f ( x ) ， 它的导数并 不 是 微不 足 道的， 这主要是由 于 我们必 须 考 虑 债务人之间的 相依结构。 根据债务人之间的相依 性， 投资组合的 损失分布 看起 来就完全不同了. 在参照投资组合中不同 债务人的不均衡违约的发生， 将会导致一个厚尾损失分布， 因此， 债务人间的违约相依模型在计算损失分布时是至关重要的. 对于c d os 来 说， 不仅要考虑联合 违约， 也要考 虑违约时间， 因为 保险费 的支付依赖于未清偿 名目 本金， 而如果债务人违约， 名目 本金在合约的 整个有效期内 就 会减少。 下面的章节我们就来介绍c d ( 定价方面损失分布的相关理论。 第三章 c d o 定价的 c o p ul a 方 法 第三章 c d o定价的 c o p u l a 方法 3 . 1 c o p u l a 函数 c o p u l 坷 以 解 释为 ” 相 依函 数” 或” 连 接函 数 ” ， 是 把 多 维 随 机变量的 联合 分 布 用其一维边际分布连接起来的函数。 随机变量间的相互独立只是一种理想状态， 刻画随 机变量之间的相依机制 对金融 领域是 非 常 重 要 的 ， c o p u l a 函数的 概 念 及 其理 论 对 随 机变量间的 相依 机 制f i l l 的 研 究 提出了 新 的 方向 ， 正是c o p u l a 函 数的 一 些 特 性， 使得它越来 越 广 泛 的应用于金融领域中， 诸如信用风险管理， 多种资产的 期权定价以及信用衍生品 的定价等等。 3 . 1 . 1 定义 以 二元函 数为 例， 给出 c o p u l a 函数的 定 义 1 2 1 . 定 义3 . 1 . 1一 个二 维的 。 )p u l a a数c 满 足下 列 性质 : i . c: 0 , 1 1 2 *0 , 1 1 2 . 对v u , v e 0 , 1 ， 有 c ( v , 0 ) =c ( 0 , v ) 二 0 3 . c a 2 一 递 增 的 ， 即 时 d u i , v 2 , v i , v 2 e 0 , 1 1 , 助: v 2 , v i 0 4 . c 的 边 缘 分 布 满 )l v u , v 0 , 1 ) ， 有c ( u , 1 ) = u , c ( 1 , v ) = 。 c o p u l a 函 数被限 制 在 一 个二元分布函 数的 单 位 平方 i z 上， 而这个二元分 布函 数的边际分布是i 上的均匀分布。因为c 是2 一 递增的， 所以 有: 1 . c 是每个变量的非减函 数 2 . c 满 足 下 面的 l i p s c h i tz 条件， 对v u i , v 2 , v i , v 2 i ， 有 i c ( v 2 , v 2 ) 一 c ( u l , v i ) k _ v 2 一二 i 1 +w 2 一 v l l 应该指出， c o p u l a ffi 数是 一致连续函数。 3 . 1 . 2 s k l a r 定理 这个定 理部 分的 解 释了 c o p u l a 函数对于 统 计 模型的 重 要 性， 因 此它是c o p u l a 理 第三章 c d ( 定 价的 c o p u l a 方法 论的核心。 随机 变且x 的一元分布函数记为 f ， 对于所有的r ， 都有 f ( x ) =p x x ( 3 . 1 ) 两个随 机 变:r x , y 的 联合分布函 数记为 h， 对 所 有的二 ， y e r ， 有 h( 二 ， v ) =利%x , y幼( 3 .2 ) 定理3 . 1 . 1 ( s k l a r 定理 ) 设万是一个边际分布函数为f 和g 的二维联合分布 函 数， 那么 存 在 一个c o p u l a 函 数口 ， 使得 h ( 二 ， ， ) =c ( f ( x ) , g ( y ) ) ( 3 .3 ) 反 之， 对 任 意 的 边际 分布函 数f , g 和 。 g p u l a 函 数 g ， 上面定义的 函 数万 就 是 一 个 边 际分布函 数为 f 和g 的二维联合分 布函 数. 并 且， 如果f 和g 是连续的， 则c 唯 一。 反之依然. 设 h 是一 个 有连续边际分布函 数f 和g 的 联合分布函数， 则我们可以 构造相 关的 c o p u l a : c ( u , v ) = h ( f - 1 ( u ) , g - 1 ( v ) ) ( 3 .4 ) 边际分布函数f 和g由下式给出: f ( x ) 二h ( x , o o ) “p x x , yy ( 3 . 1 0 ) 一 元分布函数与联合生存函数之间有如下关系: r i ( 二 ， ， )= 1 一 f ( 二 ) 一 c ( y ) + h ( 二 ， ， ) = 1 一 f ( 二 ) + 1 一g ( y ) 一1 +c ( f ( x ) , g ( y ) ) =p ( x ) + g ( y ) 一 1 + 0 ( 1 一p ( x ) , 1 一 g ( y ) ) ( 3 . 1 1 ) 我 们 可以 定义生 存 c o p u l a 函 数， 口 : 产一i ， 且 c ( u , 41 ) = u + v + 1 + c