（应用数学专业论文）基于取大算术加权平均复合意义下模糊矩阵幂序列的收敛性.pdf

目录 摘要 模糊矩阵的乘法有许多不同的复合方式。本文我们集中讨论取大算术加权 平均复合意义下以及取大几何加权平均复合意义下模糊矩阵的幂序列的收敛问 题。本文主要研究矩阵的右乘幂序列，取得了以下主要成果： 1 、证明了所有模糊矩阵的幂序列都收敛。 2 、证明了极限矩阵的每一列的所有元素都相等。特别地，如果模糊矩阵的 每一列都有元素是l ，那么其极限矩阵的所有元素都是1 。 3 、证明了在取大几何加权平均复合意义下，所有元素都非零的模糊矩阵的 幂序列都收敛。 关键词模糊矩阵的幂序列；取大算术加权平均；取大几何加权平均；收敛 北京工业大学理学硕士学位论文 a bs t r a c t t h ep r o d u c to ff a m 可m a t r i c e sc a l lb ed e f i n e di ns o m ed i f f e r e n tw a y i nt h i sp a p e r , w ef o c u so nt h ec o n v e r g e n c eo ft h ep o w e r so faf u z z ym a t r i xu n d e rt h ec o m p o s i t i o n o fm a x a r i t h m e t i cw e i g h t e da v e r a g ea n dm a x a l g e b r aw e i g h t e da v e r a g e e s p e c i a l l y , t h ep o w e r sm u l t i p l yo nt h er i g h t t h em a i nr e s u l t sa l et h ef o l l o w i n g 1 i ti sp r o v e dt h a tt h ep o w e r so fa n yf u z z ym a t r i xa r ec o n v e r g e n t 2 t h ee n t r i e sl o c a t e di nt h es a m ec o l u m no ft h el i m i tm a t r i xa l ee q u a l f u r t h e r , a l l t h ee n t r i e so ft h el i m i tm a t r i xe q u a lt o1i ft h e r ee x i s ta1i ne a c hc o l u m no ft h e 3 i ti sp r o v e dt h a tt h ep o w e r so faf u z z ym a t r i xu n d e rm a x a l g e b r aw e i g h t e da v e r a g e c o m p o s i t i o na l ec o n v e r g e n ti fe a c he n t r yo f t h em a t r i xi sp o s i t i v e k e y w o r d s ：t h ep o w e r s o ff u z z ym a t r i x ；m a x - a r i t h m e t i c w e i g h t e da v e r a g e ； m a x a l g e b r aw e i g h t e da v e r a g e ；c o n v e r g e n c e l i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文夺解密后应遵守此规定) 一、 签名：塑錾逆墨豳导师签名：三豇莛b 鱼日期： i i i 第1 章绪论 第1 章绪论 本章主要回顾了研究模糊矩阵幂序列收敛性的现实意义、研究现状与已得到 的结论，以及一些应用。本章最后简要说明本课题的来源及要研究的内容。 1 1 模糊矩阵幂序列的收敛性的研究现状 1 1 1 基于m a x m i n 复合意义下模糊矩阵幂序列的收敛性的重要结 论 对一个模糊离散动力系统x t “1 ) = a x ( ) 的动态分析主要包含两个重要的方 面：一是系统是否可以在有限时间内从初始状态x ( 0 到达稳定状态：二是对稳定 状态的分析。而模糊离散动力系统的转移矩阵彳是用一个与输入，输出及控制项 有关的模糊关系矩阵来描述的。【l o 】中对上述的模糊离散动力系统已证明 x ( ) = a x ( 0 、，可见上述系统的状态序列问题与模糊矩阵的幂序列问题密切相 关。所以研究模糊离散动力系统的稳定性关键之一，是研究模糊矩阵幂序列的收 敛性的问题。 普通矩阵的乘法是在加法乘法运算下进行，而模糊矩阵的乘法是用其他的复 合运算代替加乘运算得到的。迄今出现了许多不同的复合方式。关于模糊矩阵幂 序列的收敛性问题，最早是由m g t h o m a s o n 在1 9 7 7 年【1 2 】中提出的，他证明 了对所有的刀阶模糊矩阵彳，在m a x m i n 复合意义下都存在正整数k 并i p ，使得 a = a “p ，对所有的整数k ，七k 。若p = 1 就称矩阵彳收敛：若p 1 就称矩 阵a 振荡。把满足a = a “1 的最小的整数k 称为a 的收敛指数。 从那以后，许 多学者开始关注这个问题。 1 9 9 7 ，1 9 9 8 在【7 】【8 】中详细地叙述了基于m a x m i n 复合意义下模糊矩阵的极 限理论。 定义1 设a = ( a 。) 是1 1 n 模糊矩阵，称有向标号赋权图d ( 彳) = ( v ，v xv ，) 为彳的伴随图，其中v = v i9 v 2 ，1 ，。) 为彳的顶点集，vxv = ( v ，1 ，) ia l ， 0 ) 为 a 的边集。边的赋权为w ( ( ，v ， ) = a ，v ( v 。，f ) y v 。 d ( 彳) 中的通路三= ( ，v i i ，、) 是从顶点yf 。到顶点vj 。的长为k ( k 1 ) 的 通路，其容量记为w ( l 子( 1 ，i o ，vf i ， vi t ) ) 或简记为w ( 三) 。 其中：w ( ) = w ( 三= ( 1 ，1 ， ，v ) ) = 口毛 人口 如a aa k 一。i 这是图论的知识，我们将会看到，有了图论工具后，研究模糊矩阵幂序列的基本 北京- e 业大学理学硕士学位论文 单元发生了质的变化：基本单元由单个元素a 。升级为初级回路，基本单元尺度 的增大更有助于把握问题的实质。 定理l 设a = ( 七) 舢为模糊矩阵a 的幂序列。任给正整数k ，任给 ( f ，) ，l f ，j 刀，令w ( i ，j ，七) 为1 ，到长为k 的所有通路构成的集合，则 1 0 ， w ( i ，七) = f 2 j 吩2 1 蟛 w ( 三) 其他 l l e w ( i - 七) 此定理给出了模糊矩阵幂序列元素的一种直观描述，不再把每个元素看作数 值的简单堆积，而是不同的点有机联系在一起构成的通路。利用模糊矩阵幂序列 的图论表示，可以方便地建立它的另一种重要的代数表示。 定理2 设a = ( ) 脚为模糊矩阵a 的幂序列任给正整数k l ，任给 ( f ，j ) ，1 f ，sr ，有 = m a x 叫m a x a 1 , m 他 彻耐他l f i 与加魄，一k 嘞与， l g r a n 耳，”丸p 其中k 0 ) 七l 一，也为非负整数，s + k o + 七l + + 屯= k 。 定理3 ( 分解定理) 设a 和召为 x 刀模糊矩阵，则对任意给定的五( 0 ，1 】， 有 。 ( 1 ) a = m a x a a l ； o - j 工e o ( 2 ) ( a b ) 工= a 五b 五； ( 3 ) ( 彳) 工= ( 彳工) = 彳工， a = 巴鹫朋工 拈0 _ 尽管看起来简单，此定理不失为是讨论模糊矩阵幂序列的一个最基本的定 理，定理的第( 3 ) 部分是其核心部分，有了它，就可以把几乎所有有关布尔矩阵 或非负矩阵幂序列的结果平行移植到模糊矩阵上来。 定理4 设彳为任意 i x n 模糊矩阵， 口l ，一，口。) 和 d i ，”，d 。) 分别为a 的回路 容量指标集和回路指数集，则下列说法等价： ( 1 ) a 收敛： ( 2 ) 对任意的五( o ，1 】，以收敛； ( 3 ) 对任意f ( 1 f ，j 刀) ， 口。，上 捌收敛，即蜘口j j 存在； 七 ( 4 ) 对任意i ( 1 f ，j ，1 ) ，a 口收敛； ( 5 ) 对任意i ( 1 f ，玎) ，d ，= 1 ； ( 6 ) 彳( 一一1 ) 2 + i = 彳( 一一1 ) 2 + 2 ： 2 第1 章绪论 ( 7 ) l i r aa = a v va2 一1 矗石 此定理不但给出了在m 觚一r a i n 复合意义下，模糊矩阵幂序列收敛的几个充 要条件，而且给出了极限矩阵的具体形式。 1 1 2 关于，模的相关理论知识和重要结论 2 0 世纪6 0 年代，s c h w e i z e r 与s k l a r 在概率空间理论中引入了三角模( 简记 为，模) 的概念。2 0 世纪8 0 年代，模开始广泛应用于模糊逻辑的合取运算与模 糊集合的交运算。由此至今，有关，模的理论研究及其应用成果不断涌现。2 0 0 0 年【3 】又进一步把m a x r a i n 复合方式推广到更一般的m a x 一，模复合方式。 把满足以下4 个条件的二元运算丁称为，模： ( 1 ) 丁是可结合的。即t ( t ( x ，y ) ，z ) = t ( x ，( y ，z ) ) x ，y ，z 【0 ，1 】： ( 2 ) 丁是可交换的，即t ( x ，y ) = r ( y ，石) x , y 【0 ，1 】； ( 3 ) t 处处非减，即r ( x ，y ) r ( x i ，y i ) 如果x x t , y y i ： ( 4 ) 1 是丁的单位元，即任给z 【0 ，1 】，。t ( x ，1 ) = t ( 1 ，x ) = z 4 个基本，模分别是取小死，乘积耳，l u e k a s i e w i e zf 模瓦和最弱f 模乃，定义 分别如下： ( z ，y ) = m i n ( x ，y ) ， 耳( x ，y ) = x y ， 瓦( x ，y ) = m a x ( o ，x + y 1 ) ， 啪，犍儿沁掣= 信茏i 除了这几种之外，下列f 模被多次讨论和应用： 1 有界积：t ( x ，y ) = m a x o ，x + y 一1 。 2 爱因斯坦积：丁( 五y ) 2 再刁f x 习y 石罚。 3 y a g e r 积：r ( x ，y ) = 1 一m i n 1 ，【( 1 一x ) + ( 1 一y ) 】 。 4 h 锄a c h e r 积：地y ) 2 万而而x y 可丽，其中1 57 i 嘞 阱为a 的边集。 边的赋权为w ( ( _ ， ) = a 扩 v ( 1 ，i ，v vxv 。 d ( 爿) 中的通路三= ( 飞，、，、) 是从顶点，f 。到顶点1 ，f 。的长为 七( 七1 ) 的通路，其容量记为w ( l = ( 1 ，f 。，yf l ， vf 。) ) 或简记为 w ( 三) 。其中： w ( 三) = w ( l = ( k ，、， ) ) = p 一1 口j o + p 七一2 q a f 2 + p 七一3 q a l 2 f 3 + + p q a 如一2 一i + q a 一i k 如果v ，。= v ，。且飞，v i i ，、。均不相同，就称通路= ( 飞，、，、) 为圈； 如果w ( 三) = 1 ，即口“= a i d 2 = = 气一。= 1 ，就称通路三= ( 、，v f i ，、) 为从顶点vf 。到顶点y 的临界路： 如果w ( 三) = l 且三= ( v i d ，、) 是圈，就称通路三= ( 气，、，、) 为临界圈。临界圈上的顶点称为临界顶点。 引理2 1 1 a = ( ) 肼开为模糊矩阵a 在取大一算术加权平均复合意义 下的幂序列。对任意正整数后，v ( i ，- ) ，1 f ，疗令是从顶点1 ，到顶点1 ， 的通路三的长度。n a l 丘= m a ：x 七 w ( l ) ) 。 证明：当七= 1 时命题显然成立； 假设命题对k 一1 成立； 。 下面证明命题对k 成立。 一方面：由定义2 1 1 ，2 1 2 知：jl s 刀， 口 ，= m g a 细x p 矿+ g a q - - p a n g ， 因为命题对七一1 成立则3 l , 一l = ( v 缸= f ，、，t 一。= s ) ， 口t ，k - i = 艘。 w ( 三) ) = w ( k ) = p 七一2 口f 。“+ p k - s q a i l f 2 + p 七- 4 q a f 2 j ，+ + p q a l i 一，j i 一2 + q a k 一2 k 1 令t = ( v l d = f ，v ，y 一。= j ，v “= ) 是从顶点y ，。到顶点1 ，f 。的长为 9 北尿上业灭罕埋罕呗士罕位论又 k 的通路，则 w ( l 七) = p k - l 口j o f i + p k - 2 q a j i f 2 + p k - 3 q a 屯+ + p q a 吐一2 一i + q a 一。t = p ( p 七一2 口岛f i + p k - 3 q a f 2 + + q a “一2 k 1 ) + q a “一i k - i七 = p a 妇+ q a , j2 口l f m l l a ：x 。 w ( 三) ) 另一方面： 任意给定从顶点1 ，i 到顶点v j 的长为k 的通路， 三七 = ( y f 。 = i ，1 ，1 ，f 上- l = s ，1 ，f i =) ， 则l k 1 = ( = f ，v ，、一。= s ) 是从顶点到顶点匕的长为七一l 的通路， w ( l k ) = p 七一a i o + p 七一2 9 气岛+ p 七一3 9 气6 + + p g 一2 t 一。+ q a k 一。 = p ( p 七一2 + p 七_ 3 9 气j 2 + p 七一4 9 f 3 + + g 气一：如一。) + 9 气一。缸 p a 括七一+ q a m l s f a s x 行 p 口j f 七一1 + g 口 ，) = 七 口i m l a l j ：x t w ( 三) ) 综上所述：口 k = m 肾a x 。 w ( 三) 定理2 1 1 a = ( a ) 为玎阶模糊矩阵彳在取大一算术加权平均复合意义 下的幂序列，则 ( 1 ) 彳收敛，l ! 1 。l i m a 。= 天存在。 ( 2 ) 对v l j fs 丹 瓦= 瓦v 1 r , s 疗 证明：( 1 ) 任意给定1 ，j 刀 令 厶= ( 飞= ， ， 1 ，、= s ) 是从顶点1 ，到顶点1 ，的长为k 的通路。 把顶点 y ，从三t 中删去得到厶一l = ( y i d = 厂，v 1 2 ，v i i 。，v = s ) 是从顶点1 ，到顶点 1 ，的长为k 一1 的通路，则： w ( z 七) = p 七一1 口i d + p 七一2 q a 如+ p 七一3 q a 屯f 3 + + p q a 吐一2 吐一l + q a 一i t w ( l 七一1 ) = p 七一2 口f o j 2 + p 七一3 q a 如f 3 + p 七一4 q a 6 f 4 + + p q a t 一2 t l + q a 一l t w ( z 七) = w ( z 七一1 ) 一p 七一2 口鸲+ 广1 口“+ 矿2 q a 他 第2 章基于取大算术加权平均复合意义下模糊矩阵幂序列的收敛性 曼曼! 皇曼量曼曼! ! 曼皇曼! ! 曼! 曼! ! i i i i i 曼曼曼! ! ! 鼍曼! 曼鼍曼曼 w ( l 七一1 ) + 矿1 口i d i l + 广2 q a f 2 w ( l 七一1 ) + p k - 2 ( p a 岛 + q a f 2 ) w ( l 纠) + p h w ( t ) 口疗七一1 + p 一2 口玎口h 一1 + p 一2 另一方面w ( l k 1 ) = w ( l k ) - p 七一1 口讲一p k - 2 q a 2 + p 七一2 口挑 w ( l 七) + 广2 口她 w ( 三七) + p 七一2 w ( l 七一i ) a 膳七+ p 七一2 口坩七一1 a 七+ p 七一2 1 口丹七一口肘k - t p 一2 固定对v m n我们得到： i 口甩册一口舟i = 口舟肘一口甩m - i - i a r s m - i 一口群m - 2 + + 口舟n + i - - a l a n a r s m 一口玎m - i i + i 口。m 。14 a r s m - 2 i + + i 口坷+ 1 一口腊i p 历一2 + p 历一3 + + p ，一1 ：旦二：! 旦二二 。 1 。p p 一1 1 p 所以数列 口圩) 是柯西数列，因此 口厝) 收敛。 即a 收敛。 ( 2 ) 令哼= ( 1 ，v h ，v t k _ l9y ，) 是从顶点v r 到顶点v 的长为七的通路 令三曰= ( 1 ，y ，y 一。，y ，) 是从顶点1 ，到顶点_ 的长为七的通路 则w ( ) = p 七一1 + p 七q a f l f 2 + p 七一q a 鸪+ + p q a 蝴一。+ q a w w ( ) = p k - t a s + p 七一q a i , 如+ p 七一3 9 气如+ + p q a k 一：吐一。+ g 气一。_ ， 由引理2 i i 可得：w ( l 巧) = w ( l 盯) 一p 七一1 口鲥。+ p 七。1 口，f 。 w ( l 盯) 十p 七一1 口，f l w ( l 盯) + p l l 北尿工业大字理字坝士掌位论文 a 盯七+ p 七一1 口j ：，i 口七十p 七一1 3 ( w ( l ) = w ( 上) + p 七_ 1 口酊i pk - l 口，f l w ( l ) + pk - z a 盹 a ，七+ p 七一1 口夥七口七+ 广1 i 口巧口七i p 一1 因为! i ma = 天存在，所以瓦= a a jv 1 ，j 刀。 上+ o 定理2 1 2 设彳是刀阶模糊矩阵彳在取大算术加权平均意义下的幂序列， 并且l h i l 彳：彳。 t m 则下列说法等价：( 1 ) 彳的第，列所有元素都等于1 。 ( 2 ) d ( 彳) 中存在从一个临界顶点到顶点v 的临界路。 证明：( 1 ) j ( 2 ) 假设没有从临界顶点到顶点的临界路 令三= ( 飞= f ，、，k ，v i i = ，) 是从顶点v 。到顶点v j 的长为七( 七甩) 的通路，则一 定有： 口“一。一+ l 口一。+ l 一+ 2 口“一l 1 ， 否则口“一h + la i k - n + l b + 2 ”p “= 1 ， 所以 c l i h 吐l = a i h + l k + 2 = = a i 吐= 1 而包含0 + 1 ) 个元素的集合( 一一，i k 一川，) c ( 1 , 2 ，3 ，刀) ， 根据抽屉原理，- - y e 栅e k - n ，s k ，使f ，= i ，由定义2 1 3 知顶点vf 是 临界顶点。如果令工= ( v f ，y l ，h ，v i = - ) ， 那么工是从临界顶点，到顶点v 的临界路，矛盾。 因此得到：口吐一。i i i 口。2 口一。 1 令口2 恶甓。 口 f 贝 o a g l ， 了a + 口1 ， 对后一n f k 一1 ，k f 一1 刀一1 + w ( 三) = p 七一1 口j o + p 七一2 q a j 2 + p 七一3 q a f 2 毛+ + p q a 一2 f i l + q a 一l 第2 蕈基于取大- 算术加权平均复合惫义下模糊矩阵幂序列的收敛性 = p 七一1 气 + p k - 2 q a f 2 + + p 疗q a t 。k 刊+ p 七一卜1 q a + l + + p q a j , 一2 1 + g 口t _ l k p 七一1 + p 七一2 9 + + p 一一1 9 + + p 七一q + p 七一卜1 q a + p 七一卜2 9 + + p q + q = p 七一+ p 七一卜1 9 口+ ( 1 一p ) ( p 七一卜2 + + p + 1 ) = p 七一+ p 七一卜1 9 口一p 七一一1 + 1 = 1 - ( 1 - a ) ( p b 卜1 一p 卜) 1 鼻 口岛，= 婴 ! i 巴 1 - ( 1 - a ：) ( p 扣卜1 一p h ) 】 i - ( i a ) p 疗一1 9 1 ， 这与= 1 矛盾。所以从一个临界顶点到顶点_ 存在临界路。 ( 2 ) ( 1 ) 令丘= ( 飞 ， = _ ) ，是从临界顶点v ，。到顶点v j 的长为s 的一条临界路。 c = ( 、= f 0 ，、，、= f 0 ) 是长为h 的临界圈。对于足够大的七，令0 所h - 1 对某个正整数“有：七一s = h u + m 。f f z 选ls ，刀，让厶是从顶点v | 到顶点v f 。 的长为m 的通路。 令= l 2 + g 竺= = g + 厶 则上是从顶点v f 到顶点_ 的长为k 的通 价c 路，且以三) p 七叫一1 9 + + p 2 q + p q + q = g ( 1 + p + p 2 + + p 七一肿1 ) = l p 七一历 则1 口盯七w ( z ) 1 一p 七一历， 所以：i m a , f = 1 由f 的任意性知：彳的第，列所有元素都是l 。 定理2 1 3 设a 是刀阶模糊矩阵彳在取大算术加权平均意义下的幂序 列，且! i e a = 天。则x = u 当且仅当a 的每一列都存在元素为l ，其中u 为 所有元素均是1 的矩阵。 证明： j a = u 由定理2 1 2 得 对每个- ，都有一条从临界顶点到顶点v 的临界路，所以a 的每一列都有元素是 1 北京工业大学理学硕七学位论文 仁a 的每一列都有元素为1 ，对某个，一定存在1 - o 玎，使气= 1 ， 对这个乇一定存在l 力使巳i o = l 。 如此下去，将得到1 i - l ，f _ 2 ，f o ，j n ， 口f 。j f = 1 ，气f f 一。= l 对 v t = 1 , 2 ，玎一1 。 。包含n + 1 个元素的集合 - l 2 ，i o ，j c 7 _ 1 ，2 ，3 ，n ) ， 由抽屉原理：一定存在1 ，n - 1 ， f ，一i ，i o ，j ) ，则顶点，i 是临界r 顶点，el = ( v f ，v “，v i o , v ，) 是一条临界路，所以j 的第- 列所有元素都是 1 。由，的任意性知：j = u 2 2 极限矩阵的算法 定义2 2 1 ( 极限容量) 设d ( a ) 为矩阵彳的伴随图，顶点1 ，。在长为 k ( 1 k 力) 步的初级回路c ，上，令q = l i m w ( ，c ，) ，= m a x q ，则就称为。 i 。 l 致如 。 顶点1 ，。的极限容量。 为方便起见，下面给出对顶点q ，求的方法： v i 在长为k 步的初级回路c 上，v ，= v t o = v 厶，f 是初级回路c 的圈数。 如图1 一l 图l 以o = p h + p 七- 2 卿f 2 + + 朋气t b + g 气川f w ( 2 c ) = p 2 k - i 口，o ，i + p 2 七一2 q a ，i ，2 + + p q a k 一2 k l + q a 一l k = p 七w ( c ) + w ( c ) 一p “1 叱+ p 扣1 9 1 4 第2 苹基十取大- 算术加仪半坷夏合葸义f - 模硼斑阵幂序夕u 阴收双住 曼曼! ! ! ! 蔓曼曼曼皇曼鼍鼍! 皇! 皇! 皇苎鼍曼! i = i = ：ii 曼曼曼曼! 曼苎鼍! 毫! 曼! 曼! 曼! 曼曼! 曼曼苎曼! 曼! 曼曼! 曼曼曼曼曼曼! 曼! 皇曼曼皇 - - ( p 七+ 1 ) 以c i ) 一p 七 一般地 w ( t c ) - ( 1 + p 七+ p 2 七+ + p ( t - 1 ) k ) w ( c ) 一p 七( 1 + p 七+ p 2 七+ + p 一2 七) = 等w ( c ) 一等旭 七= 熘w ( 娴= w ( c ) 字k p 七一1 口o l + p 七q a l , ，2 + + g 气一i k p 七口f 。l ( 1 一p ) ( 1 + p + p 2 + + p 七一1 ) = 星! ：兰垡竺! 二：当垒：二! 丝= ：垒= ；丝= ! 垒 1 + p + p 2 + + p 七一1 特别地，对3 步初级回路c ， 3 = l ，郴i m w ( f c ) = 呈! 警铲， 对2 步初级回路c ，q 2 = l ，郴i m w ( t c ) = ! 专车；堑， 对1 步初级回路c ，即自环 q 1 = l ，一i m w ( t c ) = ， 由定理2 1 1 知，要求 阶模糊矩阵的极限矩阵，只需求一个数即可。下面 给出利用图论的知识求极限矩阵的一般步骤： 第一步：画出模糊矩阵a 的伴随图d ( a ) ； 第二步：利用上述结论对顶点v ，求出口。七，进而求出v ；的极限容量口；， 删州口曩 第三步：依次计算矩阵，口a ；l 。a a ；l 4 ：丝：4 则矩阵彳的极限矩阵五= l g ：墨：4 下面举几个求极限矩阵的例子。 f ，0 1 o 4 1 例2 2 1 矩阵c 2 l 0 ：2 。0 1 0 1j 求其极限矩阵。 i j 北京工业大学理学硕士学位论文 解法一：矩阵c 的伴随图如图2 ： v 1 图2 图中有一个临界圈，v 。， ，：是临界顶点，而且从顶点v 。，v ：n v ，都有临界路，由定 对v o o ，v 1 f ，力。则矩阵彳 在取大几何加权平均复合意义下收敛。 证明： 。a l 0 ，v 1 f ，- ，刀 令c = m i n a l ) ，v 1 f ，j 力 a ，【c ，1 】 a ( 1 n a ) j 。一 由i nx 的单调性知：l n c l n a 0 ，v 1 f ，n 由引理3 1 1 得彳( i na ，) 一。一在取大- 算术加权平均复合意义下收敛。 下面用数学归纳法证明( i n a i ) 七= l n ( 口 ，i ) ( h l 口 ) 2 = m l s t a s x 。( p i n 口f l + q l n 口) = = m 。s ，a ；x 。 1 n ( a n p 口矿鼋) 】 = l n m a x ( a 打p a 驴q ) 】 = l n ( 2 ) 设( 1 n a ) h = l n ( a o * - 1 ) 成立 2 6 第3 章基于取大几何加权平均复合意义下模糊矩阵幂序列的收敛性 i _ i 曼苎曼曼曼曼! 曼! ! ! ! ! ! ! 曼! ! ! ! ! 曼! 皇曼皇! 皇! 曼! ! 曼曼 贝0 ( 1 1 1 口 ! ) = = m l s ，a ；x 。 p ( 1 n 口i f ) 一1 + q l n a u = m a x p l n ( a i , k - t ) + q i n a = m a x l n ( a u k - 1 ) ，a j 】) l s i s ， = i n m a x ( a , t - ) ，g 】 - s t s n 一 = l n ( a o k ) a = ( i n a ) 收敛，上l i m1 n ( 口 七) 存在 由于l n 石的单调性， ! i m 存在。 鼻- - e 0 。 即：a = ( ) m 在取大- 几何加权平均复合意义下收敛。 例3 1 1求矩阵a = 0 8 9 3 6 0 0 5 7 9 0 3 5 2 9 解：由定理3 1 1 知矩阵彳收敛， 取p = o 4 5 ，其极限矩阵为彳= 例3 1 2求矩阵曰 o 1 9 8 8 o 0 1 5 3 0 7 4 6 8 0 4 4 5 1 解：由定理3 1 1 知矩阵b 收敛， 取p = o 7 2 ，极限矩阵否= 取p = o 3 9 ，极限矩阵否= o 9 1 2 2 o 9 1 2 2 0 9 1 2 2 o 9 3 1 8 0 4 6 6 0 0 4 1 8 6 0 8 4 6 2 0 8 1 3 0 o 8 1 3 0 0 8 1 3 0 o 8 1 3 0 0 7 8 2 9 0 7 8 2 9 0 7 8 2 9 0 7 8 2 9 2 7 的极限矩阵。 0 8 6 6 0 8 6 6 0 8 6 6 0 5 2 5 2 0 2 0 2 6 0 6 7 2 1 0 8 3 8 1 0 8 4 0 4 0 8 4 0 4 0 8 4 0 4 0 8 4 0 4 0 8 4 3 0 0 8 4 3 0 0 8 4 3 0 0 8 4 3 0 的极限矩阵。 0 8 3 8 l 0 8 3 8 1 0 8 3 8 l 0 8 3 8 l 0 8 3 8 1 0 8 3 8 l 0 8 3 8 l 0 8 3 8 l 、 2 9 9 3 9 o o 1 n u 3 8 o 1 0 0 o 5 9 3 5 6 0 f ) l l 9 9 4 0 0 o ，。一 i ，j c j c j 5 c j ，、 3 f _ j 3 9 9 9 0 0 o ，一 8 7 8 2 2 8 3 2 o 9 o 7 2 1 6 2 0 0 o 0 fj-。一 6 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 0 o o o ，-。一 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 6 6 6 6 o 0 o 0 ，。一 北京工业大学理学硕士学位论文 3 2 本章小结 基于取大几何加权平均复合意义下的模糊矩阵的幂序列的收敛性，本章只 讨论了矩阵的所有元素都非零的情形，证明了满足这个条件的模糊矩阵的幂序列 都收敛。由于对一般的模糊矩阵讨论比较复杂，有待进一步研究。 结论与展望 模糊矩阵的乘法有很多复合方式，大部分是取大与一种f 模的复合。t 2 l q b ， 模糊矩阵的乘法是在取大算术平均复合意义下进行的，是一种新的复合方式。 本文中模糊矩阵的乘法是基于取大算术加权平均复合意义以及取大几何加权 平均复合意义，是对【2 】的一个推广和完善。 本文研究内容之一：基于取大算术加权平均复合意义下的模糊矩阵的幂序 列的收敛性。文中从两种不同的角度，即：模糊矩阵左乘和右乘两种情形进行了 逐步深入的探讨，证明了：( 一) 所有模糊矩阵的幂序列都收敛，并且极限矩阵 的每一列的所有元素都相等；( - - ) 如果模糊矩阵的每一列都有元素是1 ，那么 其极限矩阵的所有元素都是1 。并且给出了求极限矩阵的方法。 研究内容之- - 基于取大几何加权平均复合意义下模糊矩阵幂序列的收敛 性。证明了元素均非零的模糊矩阵的幂序列都收敛。 本文的主要创新之处在于：有关模糊矩阵收敛性的研究，大部分都是在取大 t 模复合意义下进行的，而本文研究取大与两种特殊的算术运算复合意义下模糊 矩阵的收敛问题。这两种算术运算都不是t 模，是更广泛的模糊逻辑运算；在方 法上，由于没有结合律这样的基本代数性质，本文更多采用分析手段。 下面几个问题有待今后进一步研究。 第一，本文只讨论了取大算术加权平均，取大几何加权平均两种意义下的 收敛性，这满足不了模糊矩阵应用的广泛性，因此考虑广泛意义下的模糊矩阵的 收敛性是有意义的。 第二，本文讨论的基于取大算术加权平均复合意义下模糊矩阵幂序列的收 敛性，内容比较详尽，而基于取大几何加权平均复合意义下的收敛性较为复杂， 本文只针对元素均非零的模糊矩阵，对此意义下的一般的模糊矩阵的收敛性还有 待进一步研究。 第三，文中只简单讨论了基于取大算术加权平均复合意义下求解极限矩阵 的计算问题，有关研究需要进一步的完善。 2 9 北京工业大学理学硕士学位论文 参考文献 1 范周田模糊矩阵理论与应用，科学出版社2 0 0 6 2 y u n g y i hl u r , y a n - k u e nw u ，a n ds y m i n gg u u c o n v e r g e n c eo fp o w e r so fa m a x a r i t h m e t i cm e a nf u z z ym a t r i x f u z z ys e t sa n ds y s t e m s v o l u m e158 ，i s s u e 2 2 ，16n o v e m b e r2 0 0 7 ，p a g e2 516 - , 2 5 2 2 3 f a nzt o nt h ec o n v e r g e n c eo faf u z z ym a t r i xi nt h es e n s eo ft f i a n g u l a rn o r m s ， f u z z ys e t sa n ds y s t e m s ，2 0 0 0 ，10 9 ：4 0 9 - - 4 17 4 f a nzt an o t eo nt h ep o w e rs e q u e n c eo faf u z z ym a t r i x f u z z ys e t sa n d s y s t e m s ，1 9 9 9 ，1 0 2 ：2 81 - 2 8 6 5 f a nzt o nt h ep o w e rs e q u e n c eo faf u z z ym a t r i x ( i n ) ad e t