（应用数学专业论文）变步长采样系统的镇定问题.pdf

陈小琴硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名、职称单位 备注 币l 螭尿放按 擘氘师崔太导 主席 漏仁葭翱放髓锸j 2 i 5 散磐 刘泉明歉糙缂瓿删太堂 越治睥绋师霹 ；目币礼牌麒书 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包 含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：煎i l ，塞日期：地5 ：i 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版 和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入 学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用 本规定。 日期：塑蚯、6 ：1日期：王! 垒：鱼：f 学位论文作者签名：髋j 琴导师签名：毒之弋鸟 摘要 采样控制系统在当今生活中j 、泛存在，从只常生活到科学研究揶能看到它的影子为此 剐泉轷控制系统的研究也就越束越热虽然对采样控制系统的研究只有儿l ：的历殳，却已 自小少结果其中大部分是关于采样控制系统的稳定性和镇定性问题在这当中峡于定步k 聚样控制系统和多步艮聚样控制系统的研究居多，i | i 且建立r 比较完需的理论对于变步长 采样控制系统的研究缎少，在仅有的文章t h 还是用线性化原理来得到缩论的 对于采样控制系统的稳定性和镇定性问题的研究，犬体上有下列方法：l y a p u n o v 函数方 法摹lk 一乙函数方法本义就是利蹦l y a p u n o v 晒数方法讨论变步长采样控制系统的镇定性f u i 题文章主要研究这样一类变步长采样控制系统x ( t ) = ，( j ( ，) a ( x ( r 。) ，t ) ) ，r “r ，靠+ ) ， v k n 的镇定问题具体内容如。f ： 酋先给出r 系统x ( r ) = f ( “) ，疋) ( 其中= + l r h ) 对应于指数稳定的l y a p u n o v 定理平u 逆定理的证明，为变步k 采l 羊拄制系统的稳定忭和镇定性研究奠定了基础；然后得到 了谯系统精确离数时闷模墼是指数稳定情彤f 娠系统也保持指数稳定的条件讨论了靠变步 长采样控制系统退化刮定步长情形f ，控制器的设计问题；最后证明了柱系统近似离散时问 模艇足指数稳定情形r ，只要系统满址定条件，原系统足实用指数稳定的 本_ 殳= 避拜了用线性化原理，拓宽了结沦成立的范围， 关键浏：采样控制系统，变步长采样周期，指数稳定，实用指数稳定，单步一致，辅 确离散时间模型近似离散 忖1 1 ：i 模型 a b s t r a c t t h e r ea r em a n ys a m p l e d - d a t as y s t e m si nl i f e y o uc a l lf i n di tf r o md a i l yl i f et os c i e n c er e s e a r c h s ot h es t u d yo fs a m p l e d d a t as y s t e m sb e c o m e sm o r ep o p u l a ri nr e c e n ty e a r s t h o u g hi th a sb e e n s e v e r a ld e c a d e ss i n c ep e o p l es t u d yt h e m ，w eh a v eo b t a i n e dm a n yr e s u l t s m o s to ft h e ma r e c o n c e m g dw i t ht h es t a b i l i t ya n a l y s i sa n ds t a b i l i z a t i o no f s a m p l c d - r d a t as y s t e m sw i t hf i x e d - s a m p l i n g p e r i o d so rm u l t i r a t e - s a m p l i n gp e r i o d sw h i c hh a v es o u n dt h e o r i e s ，w h i l et h er e s e a r c ho f s a m p l e d d a t as y s t e m sw i t ht i m e - v a r y i n gs a m p l i n gp e r i o d si sv e r yr a r e a n dt h el i n e a rp r i n c i p l ei s u s e di nt h e s aa r t i c l e s f o rt h es t a b i l i t ya n a l y s i sa n ds t a b i l i z a t i o no fs a m p l e d - d a t as y s t e m s , t h e r ea r et w ot o o l s f o l l o w i n g ：l y a p u n o vf u n c t i o na n dk - lf u n c t i o n w eu s et h el y a p u n o vf u n c t i o nt o s h o wt h e s t a b i l i z a t i o no fs a m p l e d - d a t as y s t e m sw i t ht i m e - v a r y i n gs a m p l i n gp e r i o d s i nt h i sp a p e r , w es t u d y t h e 戚曲珊曩噍t o n o f 翟瑚瓣盘钮s y s t e m s w i t h t i m e - v a r y i n g s a m p l i n g p e r i o d s b e l o w ： j o ) = 厂n ( ，) ，盯( j ( 吒) ，瓦) )，【“，“+ ，) vk n s o m er e s u l t sw i l lb cg i v e ni nt h i st h e s i s ： 哪p r o v i n gl y a p u n o v t h e o r i e so fs y s t e mx ( r “i ) = f ( x ( r i ) ，t ) ( 瓦= “+ i 一“) u n d e r t h ec o n d i t i o nt h a tt h es y s t e mi se x p o n e n t i a l l ys t a b l ea n dm a k i n gf o u n d a t i o nf o rt h es t a b i l i t y t t a l y s i so fs a m p l e d - d a t as y s t e m sw i t hl i m e v a r y i n gs a m p l i n gp e r i o d s s e c o n dg i v i n gs u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o re x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fs a m p l e d d a t as y s t e m su n d e rt h ec o n d i t i o nt h a ti t se x a c t d i s c a e l e - t i m em o d e li se x p o n e n t i a l l ys t a b l ea n ds h o w i n gt h ed e s i g no fd i g i t a lc o n t r o l l e rw h e nt h e s a m p l i n gp e r i o d s 瓦= t ，l a s ts h o w i n gt h a tt h es a m p l e d d a t a , s y s t e mi sp r a c t i c a l l ye x p o n e n t i a l l y s t a b l ei fi ts a t i s f i e sc e r t a i nc o n d i t i o na n di t s a p p r o x i m a t ed i s c r e t e - t i m em o d e li se x p o n e n t i a l l y s t a b l e w ea v o i dt h eu s eo f l i n e a rp r i n c i p l ea n de x p a n dt h ev a l i ds c a l eo f r e s u l t s k e y w o r d ：s a m p l e d - d a l a p r a c t i c a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t y d i s c r e t e t i m em o d e l s s y s l e m s ，t i m e - v a r y i n gs a m p l i n gp e r i o d s ， o n e - s t e pc o n s i s t e t a c y e x a c td i s c r e t e t i m e 2 e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y ， m o d c l s 、a p p r o x i m a t e 1 i问题的背景 第一章引言 采样控制系统是山连续i h 问受控系统和数字控制器通过采样器和保持器组台而成的混台 系统，随着计算机在实际生活中的广泛运用，采样控制系统的理论研究成了控制论界关泣的 热点之一采样控制系统按受控系统结 句的不同可分为：线性采样控制系统和非线性采样控 制系统，采样控制系统按其采样方式不同又可分为：定步长采样控制系统，多步k 采样控制 系统和变步长采样控制系统，采样过程中，所有信号都采用等间隔采样r 的采样控制系统称 为定步长采样控制系统；不同的信号以_ i 同的采样问隔，但对同一信号采用等问隔采样的采 样控制系统称为多步长采样控制系统；所有信号在同一时刻采样但采样间隔= 0 + ，一 变化的采样控制系统称为变步长采样控制系统， 对于定步长采样控制系统，无论线性或非线性采样控制系统，均有许多研究成粜1 - 1 0 1 它适合动力学行为较平稳的受控对象在实践中，采样率往往是时变的。吲此研究变步长采 样控制系统具有实际意义娈步长非线性采样控制系统的理论研究几乎空 j i ”j ，文献i l l l 利 川线性化原理研究一类变步长非线性采样控制系统的稳定性u j 题，本文将讨论变步长采样控 制系统的控制器设计和镇定问题 图1 采样控制系绕 如图l 所币的最样托制系统，假设没仃量化误差，它的数学 ；l 型描述如下： 迕续受挖系统： 馏贺8 ( x ( 。0 ，k 警n “； t ， lj ，( ，j =) 数，拧f j l j 器： 采样器 零阶保持器 “( r h ) = g ( m ( 。) v ( f t ) ) ，膏；( 1 2 ) 【p ( r k ) = g ：似( ) ) y ( q ) = ，( 0 ) ， t n( i 3 ) p ( ，) = p ( 1 ) ，f 【“，f t + i ) ，七e n ， ( 1 4 ) 其中x ，y ，y r 4 分别为系统状态，系统输出和控制器输入；p ，p e r 。分别是糸统输八和住 制器输出z ，g 。，g ：足连续可微函数且分别满足 ( o ，o ) = o ，g ，( o ，o ) = o ，9 2 ( o ) = or 采样 埘问点集e = f 。 i 2 q ，七n ，n 表示自然数集， 南于计算机执行机构存储字节的有限性，量化误差不可避免1 1 - 1 为了简单起见，小文忽 略越化误差，则p ( f ) = e c r d = p ( q ) = 9 2 ( ( 0 ) ) ，v ( “) = y ( r d ，整理可得采样拄制系统 为： j 堋2 z ( x ( ，) ，9 2 ( ( r i ) ) ) = 。厂( j ( ，) ，( f ) ) r k ，k ”，( 1 5 ) l u ( q + ) = g , ( u ( r d ，五( x ( 靠) ) ) ：= g ( u ( r a ，x ( h ) ) k n 、。 j t 在零点处的线性化系统可表不为： 髋jc(t)=)a：x(t)u(r c u + ( r 篙, d “x ( t 。)炷黔”， s ) l) = ) +) o | 其卜爿= 芸( 。，o ) ，口= 砌o f ( 。，。) ，c = 詈( 。，。) ，c = 罢( 。，o ) 为适当维数的矩陬它的时 闸离散化模型为： 胁w ) 卅州“_ “k ( f ) + r l - - kr d s b 加”( j 7 ) j ( 1 + 。) = c u ( r 。) + 肌( 0 ) “：甜( 0 ) = ( t ( 0 ) 7 ，u ( r ) 7 ) 7 ，则r o ( r ) = h i r o ( r ) 其- i ： 对。= ( 。 i “d “一1 l r 1 c 8 f 如 ：= ( 。4 d “f ：5 i 出 c is ， lji ( 从4 , 的灰达i ，n r 址m 的变化越由采样i h 隅瓦= + 一“的小i 刊0 l 世的，向小址糸统术 臼的结f ；娈化j l 起的刈j 系统( i5 ) ，义献1 1 1 】, jj j 线忡化娘删，给m 了系统 斤数始，0 的p u 个 * 价条f t ，众所圳幻i ，线t i q 化m i f ! 患l 味精定岬的绀论 - i 撕 刚近的。! j ! 城内战，址个 6 部 结果，从m 的表达式可看m ，对相席的1 r 线性系统柬说，其形，为h f “) = 以“矗) ，“) ，瓦) 它依赖十一个州变多数o 五为此本文首先给出系统j ( 0 + ) = f ( x ( 0 ) ，瓦) 的稳定性 分析，得到该系统指数稳定的l y a p u n o v 定理和逆定理然后把得到的定理运用纠采样挖制系 统r 去，利用l y a p u n o v 函数办法米研究牛u 应的镇定性问题， 1 2 预备知识 刘于定步k 的采样控制系统，如】司前面所说，l 三有很多结果此节仪摘最几个与木义彳 关的儿个定理 考虑如下定步长线性聚样控制系统： 妒) 2 a x ( t ) + 口”( d 6 阢( + 1 ) n ( 1 9 ) l ”( ( + 1 ) d = c u ( k t ) + d x ( k t ) k n 、 其时问离散化横刑为： 扣“1 ) ，) = e r a x ( 玎) + j ：一肌 ( 1 1 0 ) 【( ( + i ) r ) ；c u ( k t ) + d x ( k t ) t n 令【七) = o7 ( 意7 _ ) ，7 ( r ) ) 7 ，则桫( 七+ 1 ) = h o ) ( k ) 奠巾： 爿：卜r e “毋b 1 ，。， ld c j 显然。原点是系统的r 甲衡点，以下的结论是众所周知的“4 定理1 1 ： 系统( 1 9 ) 的版点足指数稳定的充分必要条件足( 11 1 ) 所表示的甜阵是 s c h u r 稳定【即h 的所钉特征值全在复平面的峄协圆山) 定理i 2 ：若( 1 ，1 】) 所表示的封! 阵h 至少有一个特征值在复甲面的瞥侥凼外， l | l j 系统( 1 9 ) 的胀点址不稳定的 考虑如i - 定步故 卜线r i ：采样控制系统： j ( 7 ) = 厂( x ( 7 ) ) + 口“( 屉7 _ ) 7 【后r ，( + 1 ) 丁) ( i1 2 ) z 州t + 1 ) ，) = c u ( k t ) + d x ( k t ) n jl ：蟓点处t f , j 线性化系统为： 僦篇篡嚣涎k t to v ( k t ，锹n n ， j ( ( 膏十1 ) ) = ( ，( 七7 1 ) +) 席 其中：月= 錾( o ) 文献【1o 】利用线性化原理给出了卜面们结论 出 定理1 3 ：若线性化采样控制系统( 1 1 3 ) 的原点是指数稳定的，h i j ( i 1 1 ) 所给出的矩阵h 是s c h u r 稳定的，刚非线性采样控制系统( i 1 2 ) 的原点楚一致渐进稳定的 文献 1 l 】利用线性化原理给出了变步妖非线性采样控制系统的一些结论它考虑如下采样 控制系统的稳定性： j j ( ) = ，( 工“) ，x ( “) ，”( ) )【 ，。+ ( 1 1 4 ) i u ( r ) = g ( x ( r 1 ) ，u ( r ) ) t n 其在厦点的处的线性化系统为： f j ( f ) = a x ( t ) + a o 工( “) + 占“( “) + ，o ( f ) ，工( r i ) ，“( r 上) ) t k ，“+ i ) ，( i 1 5 ) i 甜( + 1 ) = c h ( “) + d x ( r , ) + 6 ( x ( q ) ，h ( ) ) 七n 其中：一= 罢( 0 ，o ，o ) ，凡= 爵毛( 0 ，o ，0 ) 四= 岳( 叩聊，c = 鲁( 0 0 ) ，。= 警( o ，o ) 为适当维数的矩阵f ，g 为连续可微函数满足下列条件： l i m! 竖兰丝：0 m ；= = = = = = = = = = = 一= ”卜oo 。o , i f x i i2 + i tv i t2 + i i “1 2 l i n堑鱼! !：0 杠4 ) 4 旧0 | | j i l 2 + i i “1 1 2 同样地，令以 ) = 0 7 ( 1 ) ，矿俅) ) 7 ，可相到其狸原点处的线性化离散时间模型为： ( t + 1 ) = h t 甜( ) c q l ： 以：p + p 协 p 协口】 1 6 ) |d c 定理1 4 ：采样时刻点集e 固定，设! i m “= + l j s u p r 一r t = 五 + c o 其q j 五为 常数：枷粜r 州条件叫t 侄何个条件成守： ( i ，i i l t ts t ；pi i ，l i ： ( i i ) i i m s u p m a x i 丑( ) j ) l 且 以) 的姆一个子列都包含一个收敛到一个 砸阵的 子列，方程日t 。最韪一最5 7 的解足满足! 受5 , ：p i i p , ”一只i i 1 ； ( i i oh t 收敛到_ 。个s c h u r 矩阵h ； 则系统( i 】4 ) 的原点是指数稳定的 定理1 5 ：采样时刻点集e 不幽定，若 ( i ) ；i m 毛= + i 了s u p r k + 1 一r ) = 五 + ，其中a 为一常数； i e ( i i ) 对每一个k n ，i i h 。i i q 0 的常数，则系统( 2 1 ) 的原点是指数稳定的， 定理2 2 ：( 逆定理) 改x = 0 是系统( 2 1 ) 的甲衡点，d = 加fj i l x l i o ，其中：r o ；记岛= 协f i x l l 0 的常数 2 ，第三章考虑变步长非线性采样控制系统，利川第二章的l y a p t m o v 结果，首先考虑基j 精确 高教时州模型上的采样拄制系统的镇定问题 定理3 1 ：若系统( 3 5 ) 满足下列条件： ( 1 ) 存在a ( x ( r i ) ，) 使得x ( r ) = f ( x ( t i ) ，c t ( x ( r k ) ，l ) ，瓦) 的原点是指数稳定； ( 2 ) 存在常数口1 ，口2 使得厂0 p ) ，口( “以) ，瓦) ) s 口ll j j p ) 1 l + 口：j f x ( 靠) v x ( t ) , x ( r 。) r ”， f 【k ， “) ，v n 都成立； 则系统( 3 5 ) 的原点是指数稳定的 3 第四章考虑摹于近似离散时问模型| 的采样控制系统的镇定问题 定理4 i ：苗下列条件成立： ( 1 ) 存在a ( ，( 0 ) 不) i 螭x ( r ) = f 4 “( “) ，c t ( x ( r i ) ，瓦) ，瓦) 的原点是指数稳定： ( 2 ) f 4 满足| | f 4 ( x ，a ( x ，t ) ，瓦) 一f 9 【譬，口( 旱，瓦) 瓦) ，0 x z0 ，v x ，量d ，v 七n ； ( 3 ) ( 口，f 。) 与( 口，f 4 ) 足单步敛的； 则系统( 4 1 ) 的原点是文用指数稳定的 定理4 2 ：若系统( 3 5 ) 满足下列条件： ( 1 ) 存在口( j ( “) ，瓦) 使褥x ( r h ) = f 。( j ( l ) ，a ( j ( 0 ) ，瓦) ，瓦) 的原点是实川指数稳定的； ( 2 ) 存在常数口l ，口2 使得，( x ( f ) ，a ( x ( r d ，瓦) ) 口ii ij ( f ) i i + 口2 | i x ( r k ) v x ( t ) ，x ( r ) r ”， f 【h ，r 1 ) v 七e n 都成市； 则系统( 3 5 ) 的原点是实用指数稳定的 第二章 系统x ( r 。) = f ( x 瓴) t ) 的l y a p u n o v 定理和逆定理 2 il y a p u n o v 定理的证明 考虑系统 牌x ( r o “) ，x 0 缸u 2 n 偿， j = 意 、。 其中，：( 0 ，棚x d 斗r ”上的连续一r 微函数且满足f ( o ，瓦) ；0 v k n d 足包含原点 的仄域显然原点足系统( 2 1 ) 的平衡点固定采样时刻点集e = 白 r l 0 ，c ， 0 的常数，则系统( 2 ，1 ) 的原点是指数稳定的 i 正明：墩耳= 取彤川川 ， 选以= “只”z i i 导r 可g f v x ( 气) b ， x ( 0 ) b ，c dv 七n 任选x ( r o ) b ，由$ - f l ( 2 ) 可知： 矿( l 。i ，f ( x ，t ) ) 矿( 7 ：，t ) 一c j | | j | j 山条付( j ) 川知： i i i i y ( t ，) j 定： 嘲。盹硼( 和) 一是嘲( ) 一彘屺埘 = 矗嘲棚 依次类推u j 得 从而有 矿( 瓦“，o ，瓦) ) s ( 丧) “1 矿( o x ( f 0 ) ) c ，i ，( x ，t , ) i i = c i i x ( 。+ - ) i l s ( 石：) * + l c 2 i 工( 。) ) 因为o 0 的常数， 证明：侄选0 ( o ，1 ) ，定义 y ( t ，j ) = s u p l l 0 ( i ，r ，x ) l le 帆，1 妒 t e 删“椭臁z 掣 x m 取f = 0 ，则y ( t ，x ) | l 声( o ，f i ，x ) i i = 1 1 x 1 1 利用解的性质，可知 y ( 瓦，x ) = s u p 矿( f ，“，x ) i ，e ss u p b i lp 一“。 r e s u p b 忪p “1 8 bj 1j 取c 1 = 1 ，c 2 = b ，则( 1 ) 得证， 矿( 。f ( x ，瓦) ) = s u p i i o ( i ，q 。f ( x ，瓦) ) | 1p ”“1 妒 = s u p i i 欢j + 1 ，0 ，x ) l l w _ e s u p i i 矿( f ，r t ，x ) i ip 9 “_ 一。8 p 1 一“9 因此： - v ( l x ) e 一4 8 7 矿( 瓦。f ( x ，t ) ) 一v ( 7 7 o ，则( 2 ) 得证 给定h f o ) o ，记l i j ( r o l l = 焉，取m = i n f k ：且6 s 当e t ( t - o ) k ，利用 矿( 正，j ) 的性质( 1 ) 可知： 再利用 可得 鲁 焉v ( ；r o ，j ( f o ) ) = s u p i i 庐( f ，f o ，j ( f 0 ) ) i ip ”一“8 e | | ( g o ，( r 0 ) ) 1 1 - m - 时。有詈 c 3 0 ，4 - 0 0 l z 0 的常数 撕 p l 册叫 s 己 册m = k 敬 第三章基于精确离散时间模型上的采样控制系统的镇定问题 3 1 定理3 1 的证观 文献【1 2 2 8 】给出了定步长和多步长采样控制系统镇定性问题的些结论打这 部分将 把前血的定理应j ； 到变步长采样控制系统1 ：来，研究采样控制系统基j ：其耩确离散时闯模粼 上的镇定门题+ 考虑下蹦所示系统： 连续受挣系统： 采样器 数字控制器 保持 | ： 围2 采样控制系统 童( f ) = j r ( x ( f ) ，“( f ) ) ( 3 i ) x ( t ) = x ( r ) ，k ，0 + i ) ， k n ；( 3 2 ) p ( q ) = 口( v ( ) 瓦) 托巾口( o ，五) = o ，膏； ( 3 3 ) u ( t ) = u ( r i ) ，1 0 ，“+ i ) ， k n ， ( 3 4 ) c 中五y er ”分刖为系统状态，控制输入4 p r 。分j ；i j 为系统输入，撺制输h ：，f 足i 生续 u 徽嫡数f 满足，( o ，o ) = 0 妇没囱绩化误芹情形f ，宵v ( r 。) = 工( o ) ，l ，( 气) = p ( 0 ) = 口( v ( r 膏) ，t ) 燎系统u j 表尔为： j ( f ) = ，( t ( f ) ，a ( x ( r 1 ) 7 j ) ) ，t e 【r “。1 ) ，k n ( 3 5 ) 幼1 5 三觚j _ 魁系统n 勺p 衡点设( r 1 ) = f ( x ( r 。) ，口( j ( 以) ，t ) ，瓦l 址系统( 3 5 ) 的柑确高敞州 叫援他f 恐连续j 微甬敬 【满址f ( 0 ，0 7 ：) = 0 可是n ，l 、i f i i 找“沦系统3 5 ) 的镇定 m 题 定理3 1 ：若系统( 3 5 ) 满足f 列条仆： ( 1 ) 存在口( 靠) ，t ) 使得x ( r ) = f ( x ( r i ) 口( “r d ，五) ，瓦) 的原点是指数稳定的； 【2 ) 存往常数口，吒使得八x ( ，) a ( x ( r d ，t i ) ) 口i l i x ( 圳i + 口z f i x ( r k ) 忆v x ( t ) ，x ( r ) e r 。 ， 1 k ，z - k + 1 ) ，v 七n 部成屯： 则系统( 3 ，5 ) 的原点是指数稳定的 证明： 先t l 系统( 3 5 ) 满足条件( 2 ) ，则存存常数，使得 j j j ( ，) 茎吩l j ( 吒) m ，【以，0 + i ) ，v k e n ， 山系统( 2 ) 的第个方程可知： j ( ，) = x ( f ) + j ：，( x ( f ) ，口( x ( r ) 五) ) 曲， r i r k + ) ， m 有： x ( ，) 1 1 - f i i js u pj rj j ( q - o o t 如若小然，则存和只的个了列以使得。! 骢| 1 只，1 t = 十c 0 山b 和爿 的列j 衄关系 可知，当露。_ + 时，以，专，只斗，艾中尸是矗j ：仝h 7 p 日一尸= 一，韵解返与 一姆峨j j = + 0 。柚矛佰曲2s u p ，l l 圳，晰： 驯兰女。 记坂m ( r ) ) = 7 ( o ) 只一i c o ( q ) ，当斥靠+ 1 时，c j i ic o ( r 女) 2 矿 甜【r 。) ) 脚i ic o ( r 。j ! 旷河j 看系统旧7 ) n 勺肼n 0 丝分为： v ( o j ( r + 1 ) ) 一矿( 甜( 0 ) ) = ( ( 1 ) ) 7 只 甜( ) 一7 ( f ) r l 甜( “) = 甜7 ( 0 ) ( 编7 最。一只) 甜( 1 ) + 7 ( 0 ) ( 最一只一) r 。) 一( 1 一亨) | | ( ) 0 2 蔓一上二里矿( ( r ) ) 记g = l 一堕，于是：矿( ( “+ ) ) 蔓g 矿( ( ) ) 依次类推白j 得： u m ( r ) 1 1 2 矿( 甜( ) ) 蔓所q 一hi i 甜( r i 。) 1 1 2k 七o ， 当o s 七s k 时，取72 m ；a h x i i e ，有： i i ( ) l j s 0 h 。i | 。一：| | | | 风| i ( r 。) i i _ r “i i 出( f 。) | | 综i ：所述： o ( n ) 1 1 西b 产瑚| l 叫r 。) 1 1 i 0 址6 ：_ ，“g 2 ，加g j = 一口，则，i s 于! , t ：i i ( r d t l - b p 一”i ic o ( r 。) i t 从方程纽( 3 ，6 ) 的第 一个方樱可绀： j ( f ) = j ( o ) + j 。a x ( s ) d s + b u ( r t ) ( 卜0 ) 从而：当r 【r 量，1 + 1 ) 时，肯： | | x o ) i | - 1 1 x ( r d i i + f i l l a i i ，i i ( s ) | | c 8 十1 1 b i i ，i i “( r d l l x 扛砑i 丽懒“) 1 1 + ：i i a i i m s ) 出 利用g b 不等式。w 得到： i i x ( 圳i s l + 矛i i b n 川l i i 印( o ) 所以： i i x ( o i v - 】+ 1 1 b 怖“b ei ic a ( r 。) n 门利片j f r o r + l r o ( 丘+ i ) 仃j 社 ： i i 一( 圳i s 、万i i 万再w ”抛v c 卜”i i m ( r 。) i i i l 此i ，j 见系统( 3 6 ) 的娅， 足| 彳效融庄的i f p ” fp “西b1 删排m 州油n 则肚l k e 。7 k e j ，d s bp m 制系统蚁 ” l 。“ 邀就转化k 使得h “r 黼取一( 二孑= ( 主黟 一( 二啦0 e a t ，：矧( 主：) = e a t + r ；“d ，曰五r 8 ：曲占 ， 另一部分由一7 + a d s b ko 淀，所以要使) js c h u r 矩阵也就是要设计k 使得 e a i + f 一7 如胀的特征值全布复平晰单位圊内利用线性系统的知识圳可知只要( 爿，口) 完仝能控，选取通当的r ，则( e a i fp 舢如功也是完全能控的，这就保证了k 的存件性 丑i ，丑2 ，五丑。，丑五， v i ，” 煎中， 。可为实数或共轭复数对，誓特征值或重特征值 结论2 ：若( a ，毋完全能控，儿刘满足r e a ，一五，】= 0 ，v i ，j = 1 , 2 ，的。切特扯 钯只爱t ，百i 2 而n l ，= l ，2 ，则( r ，r e 5 西功也足完个能拧的r 证明： 凶为( i ，口) 究仝能控，山能控性判据，u j 知： r u n k b ，a b ，爿二b ，a ”b j = 月， n j t 的墩值，i 叮知ce 小d s 足难奇异f i , i 4 1 jj i je , a i 和 p 小 0 ，总存在一个t o ，使得对任崽的 瓦= r 一“( o , t ) ，系统( 21 ) 的解满足： i x ( k ) i | b l l x ( r o ) l l e l “一“+ d v l i x ( r o ) 万v k n ， 则称系统( 2 i ) 的原点是实f j 指数稳定的 4 2 定理4 i ，4 2 的证明 定理4 i ：若下列条什成市： ( i ) 存在口( j ( r ) ，瓦) 使衔x ( r ) = f “【x ( r 。) ，a ( x ( r ) l ) ，瓦) 的厨i 点是 数稳定的： ( 2 ) f “满足 l f 4 ( j ，a ( x ，瓦) ，瓦) 一f “( i ，口( 膏，7 ：) ，l ) i ix 一譬i i ，v x ，ie d ，v k n ( 3 ) ( a ，f 。) 与( 口，f “) 是| t i 步一致的： 则系统( 4 i ) 的原点足贸f j 指数稳定的 证明：由条f 1 【i ) i i j 董l l ：存在常数h ，f i 刮或d 。，使甜f 列父系j 匕成 x ( 0 ) 临b e 训”“l x f r 。) l f v y ( r ，) d cdv 女n 再利用条件( 2 ) 南定理( 2 2 ) 可褥y ( 瓦，* ) ：( o ，a l x n xd 。_ r 满足下列条件 ( 1 )o l i i 工| i s v ( y i ，x ，【，2 i l x i i ( 2 )d 矿( 正，z ) = 矿( 瓦。f 。( x ，搿( x ，瓦) ，瓦) ) 一y ( 瓦，x ) s c ，i i x ” ( 3 )l y ( t ，工) 矿( t ，；) l s ：l i 工一z 【i 其q i c 2 c i 0 ，g ，三2 0 的常数取矿( 瓦