（应用数学专业论文）基于telser安全首要模型的投资组合选择理论的研究.pdf

硕士论文 基于t c l s e t 安夸首要模型的投瓷组合选择理论的研究 摘要 投资组合选择理论一直是金融问题研究的主要领域之一。它的基本模型有：均值 一方差模型、对数效用模型和安全一首要( s a 啊f i m ) 模型等。人们基于标准差的度 量对这三种模型作了广泛而深入的研究，但是对于以下偏矩作为风险度量的组合投资 的研究，特别是基于下偏矩的t e l s e r 安全一首要( t s f ) 模型的研究则相对较少。 本文首先通过实证研究给出了单期离散的t s f 模型的有效边界和最优解。 其次，本文采用l p m 方法研究了单期连续的t s f 模型，并给出了投资组合的有效边 界和最优解的存在条件，这个结果改进并优化了以往基于c h e b y c h c v 方法研究t s f 模型 所得的结果。 最后，本文对多期连续的t s f 模型作了较深入的研究，给出了基于亏损约束下的 有效集和最优解的存在条件。这一结果可以视为多期连续均值一方差模型的自然推广。 关键字：投资组合安全一首要亏损约束下偏矩 硕士论文基于t e l s e r 安全首要模型的投资组合选择理论的研究 a b s t r a c t 1 1 碡t h e o r yo f p o r t f o l i os e l e c t i o ni sa l w a y so n eo f m a i nf i e l d so f t h ef i n a n c i a lr e s e a r c h i t sb a s i cm o d e i sa t h em e a n - v a r i a n c em o d e l t h el o g a r i t h m - u t i l i t ym o d e lt h e s a f e t y - f i r s tm o d e la n ds oo n m a n ya u t h o r sm a d eaw i d e s p r e a da n dp r o f o u n dr e s e a r c hf o r t h e s em o d e l sb yv i r t b eo f t h es t a n d a r d - v a r i a n c em e 笛u f 锄衄t h o w e v e r , t h er e s e a r c ho f t h e p o r t f o l i o ，i ns p e c i a l l y , t h a to f t h et e l s e r ss a f e t y - f i r s t ( t s nm o d e lw i t hc o n s t r a i n to f l o s s b a s e d0 1 1t h el o w e rp a t t i a lm o m e n t s ( l p m ) ，i sr e l a t i v e l yl e s s t h ep a p e r , f i r s to f a l ls t u d i e st h ed i s c r e t es i n g l e - p e r i o dt s fm o d e l , a n dt h ee f f i e i e n t f r o n t i e ra n dt h eo p t i m a ls o l u t i o na r eg i v e nb ye v i d e n c e t h e n , t h ep a p e ru s e st h em e t h o do fl p mt os t u d yt h ec o n t i n u o u ss i n g l e - p e r i o dt s f m o d e l a n do b t a l n e st h ee x i s t e n c ec o n d i t i o no ft h ee m c i a n tf r o n t i e ra n dt h eo p t i m a l s o l u t i o n t h e s er e s u l t si m p r o v ea n do p t i m i z et h er e s u l t sw h i c ho b t a i n e df r o mt h er e s e a r c h o f t s fm o d e lb a s e do nt h em e t h o do f c h e b y e h e v a tt h ea n d , t h ep a p e rs t u d i e st h ec o n t i n u o u sm u l t i p e r i o dt s fm o d e lm o r ed e e p l y , a n dt h ee m c i e n tf r o n t i e ra n dt h eo p t i m a ls o l u t i o nu n d e rt h ec o n s t r a i n to fl o s sa r eg i v e m n 圯r e s u l ti sag e n e r a l i z a t i o no f t h ec o n t i n u o u sm u l t i - p e r i o dm e a n - v a r i a n c em o d e l k e yw o r d s ：p o r t f o l i os a f e t y - f i r s t c o n s t r a i n to f l o s sl o w e rp a r t i a lm o m e n t s y 1 0 0 1 3 9 4 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名：圣茸州年参月可日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名： 圣强 撕6 年z 月7 日 颈士论文 基于t e l s e r 安全首要模型的投资组合选择理论的研究 1 引言 1 1 现代证券投资组合理论的产生、发展和局限 现代投资组合理论建立在西方经济学的基础上，以投资人是理性的、市场完善、 投资人最大化效用、投资者具有理性预期等为假设前提。该理论以马可威茨首创， 然后经夏普、林特、托宾、莫辛、罗斯等的拓展研究，使其成为7 0 年代投资理论 的主流。 1 9 5 2 年3 月，美国经济学家哈里马可威茨( h a r r y m m a r k o w i t z ) 在金融杂 志上发表了一篇名为证券组合选择论文嗍，对充满风险的证券市场的最佳投 资问题进行了开创性的研究，并因此获得了1 9 9 0 年诺贝尔经济学奖。这篇著名的 论文被公认为：“标志着现代证券组合理论的开端” m a r k o w i t z 提出和建立的现代证券投资组合理论，其核心思想是要解决长期困 扰证券投资活动的两个根本性问题。第一个问题：虽然证券市场上客观地存在着大 量的证券投资组合，组合投资究竟有何种机制和效应，在传统的投资组合理论里， 谁也无法得出令人信服的回答。现代证券投资组合理论给出了逻辑严密并能经得起 实践检验的答案，即证券的组合投资是为了实现风险一定的情况下收益最大化或收 益一定的情况下风险最小化，有降低证券投资活动风险的机制。第二个问题：证券 市场的投资者除了通过证券组合来降低风险之外，将如何根据有关信息进一步实现 证券市场的资产选择。对于第二个问题，m a r k o w i t z 的现代证券组合理论运用数理 统计的方法全面细致的分析了何谓最优的资产结构吼1 川他利用一个约束条件下的 极值模型求得了最优投资决策问题的机会集有效边界，并且严格论证了以投资 者最终财富的期望效用最大化为决策准则的理性投资者必然在有效边界作出投资 决策。这些结果是现代组合理论的核心 由于理论和实践的需要，现代组合投资理论朝气蓬勃地朝着实用化方向、资本 资产定价模型方向和套利定价方向发展，使理论体系不断得到丰富和完善。 实用化方向发展：m a r k o w i t z 虽然在理论上科学地阐明了组合投资能够分散风 险的机制，但是，在实际运用中证券组合的选择和确定面i f 缶繁重和复杂的计算溉， 因为证券市场价格变动十分频繁，证券价格每变动一次，为了保持投资组合能够获 得一个满意和稳定的收益与风险的关系，整个计算程序有需要重复计算一次，在存 在上千种证券的情况下，其计算哪怕借助高速计算机也无法实现。这不仅是缺少数 学基础和计算技术的投资者深感困难，即便对有良好数学基础和计算技术的投资者 而言，也不胜其烦。基于这一情况，1 9 6 3 年夏普1 发表了 o 时，没有风险。所有风险的度量表示为： 朋 ( t n 赳= r ，- i n p s i 令c = b ) ，其中， 白= c o v 【( 1 n 一l n 鸬) - 一她一1 n 一) j f ，_ ，= 1 ，2 ，总 则对数效用模型为： 1 2 3 安全首要模型理论 n f r ox 7 c x 而l 川岛 薯= 1 , x s 0 m a x 而岫 s 上【备x r 而c x ；。 ，墨v , 。 安全一首要模型中又包含三种基本的模型，这些模型建立于5 0 年代和6 0 年代。 随后被r o y 脚j ，k a t a o k a 嘲和t c l s 盯嘲发展。他们在建立模型时都提出了资本极限c 上 这一概念，q 是最终时刻资本数量c 鲥的一个下界。 安全一首要模型在标准均值一方差模型的基础上加上了一个投资者的亏损极限， 硕士论文基于t e l s e r 安全首要模型的投资组合选择理论的研究 从而对所投资的组合收益加强了约束，即在标准均值一方差模型机会集中加入投资 者的筛选意愿，从而找到最令投资者满意的投资策略。安全一首要模型缩小了标准 均值方差模型的可行集范围，约束性更强，更符合投资者的实际心理。 r o y 提出了第一个安全一首要( s a f e t y - f i r s t ) 模型。r o y 先设定出一个资本极 限q ，他希望将最终时刻的资本量c 0 小于或等于资本极限q 的概率最小化。即： m m i p s q ) 其中，c o 为初始资本量，0 - - ( 0 。，岛，氏) 为资本市场种资产的一个投资组合。 k a t a o k a “”提出了第二个安全一首要( s a f e t y - f i r s t ) 模型。他定义了一个口值， 称为亏损概率。他希望将资本极限q 最大化，使得最终资本量c 耐低于资本极限 巴的概率小于或等于口即： m a xq s j p “c 0 s a 第三个安全一首要模型由t e l s e r 嘲提出( 以下简称t s f 模型) 。他也是先设定一 个亏损概率口，同时取定资本极限为c 工。t e l s e r 希望根据给定的亏损概率和资本极 限来最大化最终资本量c 耐的期望值。即： m a x e ) s j p 蜒刚c j 岱 这三种安全一首要模型中，t s f 模型应用价值最高，被研究的最多。 当我们采用t e l s e r 方法的时候，我们最大化期望收益，使其满足亏损概率低于 口的约束。一般，研究者都把“亏损”定义成投资者失去全部投资金额，亏损概率 即为：当c 。茎0 时的可能性。我们用公式表示为： 肋忸( c j + ) l p ( ( o + r ，o ) 口 如果我们有e ( c o + r ，) = ( 岛) + e 忸，) = c o + z ，我们加上必要的约束：使b 硕士论文 基于t c l s e r 安全- 首要模型的投资组合选择理论的研究 ( i = 1 ，n ) 之和一定与资本的初始值q 相等，并且，= 7 口，那么公式就变成 了： 咐葛细 第一个约束条件 要对梗型求解，我们必须将约束条件简化成一般不等式或者等式，才能用最优 化算法进行求解，因此，对模型求解的关键在于如何将第一个约束条件进行简化。 一种情况：假设投资者在作亏损约束的时候认为市场证券的收益满足正态分 布，我们可以很容易的将亏损约束进行化简a 比如，设p = ，岛90 1 9 如) 为资本市场 种风险资产的一个投资组合，资本的初始值为c o ，r = 瓴，2 ，) 为组合中各 资产收益向量，组合的收益可以表示为矗，= ，口。投资者认为收益是正态分布的， 即髟( 伤，) 则有； 鹳= 去矿西叫协鼽七= 警 有了这些假设，我们可以把约束条件p ( 只。s c o ) 口简化为： 吖刊s 口j 等s 吒 其中吒是标准正态分布的口分位数。 jp p 2 c o k 4 0 p 图像为，过( o 一c o ) 点斜率为一吒的直线的上半个平面。这条直线称为亏损线。 当我们把亏损约束变成参数邱和投资组合标准偏差盯，约束时，必须加上标准偏差 ( 变量) 约束盯，2 = 矿口，z 为风险资产收益的协方差矩阵。从而，问题( 1 2 3 1 ) 可以简化为： 硕士论文 基于t c l s e r 安全首要模型的投资组合选择理论的研究 以匿c o 咆 以p = k = 7 口l 第二个约束条件表明：初始资本全部用于投资时。且安全一首要模型的基础是 均值一方差模型，所以首先要满足讨论的范围在均值一方差模型的有效边界内。而第 一个约束条件又限制了范围在直线的上方。因此，所有的约束条件给出了最终的范 围彳。因此，我们可以通过作图找出区域4 中期望收益的最大值。可以清楚的看到， 有效边界和亏损约束线的交点r 即为所求的解。如图1 2 3 1 所示： 形。 入7 p ，= _ c q k 。o ， 图1 2 3 1 另一种情况：投资者不知道分布或分布不规则。在此情况下，应用车贝雪夫 ( c h e b y c h e v ) 不等式，我们有 p r r 口c ； = p r 扛一，口以+ c o j p r k _ r f 6 1 纬+ c o ) e 以+ c o ， 因此，要满足约束( 1 2 3 3 ) ，只需满足约束： 砟沁+ c o ，s 口 即： 硕七论文 基于t e l s e r 安全首要模型的投资组合选择理论的研究 以+ 去 两种情形下简化的亏损约束的不同仅在于标准差吒前的系数不同，因此它们是 可以相互替代的 1 3 理论研究现状和存在问题以及本论文的研究内容 i 刍m a r k o w i t z - - = 1 9 5 2 年提出应用均值一方差模型来分析投资组合以来，投资组合选 择理论一直是金融问题研究的主要领域之一其中的基本模型有：均值一方差模型、对 数效用模型和安全一首要( s a f e t y - f i r s t ) 模型等。 r o y 提出第一个安全一首要模型。l o k 棚t 纠r 相继提出了第二和第三种安全一 首要模型。这三种模型是有相同亏损约束但有不同最优化目标的最优化模型，其中 t e l s e r 的安全一首要模型( 以下简称t s f 模型) 以期望收益最大化为目标，应用价值最高， 被研究得最多。 p y l e 和t u r n o v s k y 使用几何方法分析了安全一首要模型和均值一方差模型的联系嘲 e n g e l s 详细比较了m a r k o w i t z 的均值一方差方法与t s f 方法，并分别应用直观解法和分析 解法给出了一般情况下与含无风险资产的t s f 模型的最优解啪可惜的是，可能由于 e n g e l s 着重于实际应用的原因，他只对特殊的生存水平，即将生存水平取为初始财富 c 0 的负数的情况下进行了求解，并没有对一般的生存水平给出最优解，也没有讨论 最优解与可行解的存在性条件。 李仲飞与陈国俊“”讨论t e l s e r 的安全一首要模型，并将其置于m a r k o w i t z 的均值一 方差架构中应用图解法对其解的情况进行了讨论。并针对e n g e l s 的问题，给出了一般 生存水平下的t s f 模型的最优解，讨论最优解与可行解的存在性条件，同时给出含外 生负债的t s f 模型的最优解m 然而，为了简化亏损约束条件，研究者们均对资产收益提出了比较高的要求： 1 ) 要么已知分布，从而缩窄了应用范围； 2 ) 要么使用了缩放程度过大的c h e b y c h e v 不等式，因此高估了投资者的风险厌恶 程度。 周知，应用c h e b y c h e v 不等式简化以后得到的t s f 投资方案不仅夸大了投资者的风险厌 恶程度，还使投资者因过于保守的投资策略丧失了与破产等可能发生的获得高额收益 的机会。 另一方面，可能是考虑到计算量较大的缘故，对于上面提及的三类基本模型特别 是安全一首要模型的研究，经济学研究者们均采用标准差作为风险的度量。而对于更 硕士论文基于t e l s e r 安全- 首要模型的投资组合选择理论的研究 能符合投资者心理要求的以下偏矩作为风险度量的t e l s e r 安全一首要( t s f ) 模型的研究 则相对较少。基于如上这些事实，我们认为弄清并给出这些问题的合理解释是重要的、 有意义的。 因此本论文将围绕这些问题展开讨论。 本文首先通过实证研究给出了以下偏矩作为风险度量的单期离散t s f 模型的有效 边界和最优解。 其次，本文采用l p m 方法研究了单期连续的t s f 模型，并给出了投资组合的有效边 界和最优解的存在条件，这个结果改进并优化了以往基于c h e b y t h e y 方法研究t s f 模型 所得的结果。 我们从凯恩斯的流动性偏好理论中了解到投资者并不认为长期债券是短期证券 的理想替代物。如何根据投资环境的变化来及时调整资产配置是每个投资者需要面对 的实际问题。与单期的静态模型相比较，多期动态理论把时间与不确定性结合起来分 析动态过程的投资情况，允许投资者在每个阶段初根据上一阶段的情况调整投资策略 来对冲和克服收益率的变化和不确定因素带来的波动。因此多期的模型更优于单期情 况。 有鉴于此，所以我们单独劈出一章，对多期连续的t s f 模型作了较为深入的研究， 给出了模型的有效集和最优解的存在条件。这一结果可以视为多期连续均值一方差模 型的一个自然推广。 硕士论文基于y e l s e r 安全首要模型的投资组合选择理论的研究 2 1 基本概念 2 单期投资的安全首要模型研究 用方差度量风险是基于风险未来收益率的不确定性或易变性的认识，而根据 f i s h b u m 等嘲人的研究，易变性或不确定性并不是风险的本质属性，因此，用收益 率的易变性来描述风险是不合适的。为了克服方差计量风险的不足，人们提出了下方 风险( d o w ns i d e - - r i s k ) 计量方法下方风险是指，给定一个目标收益率h ，只有小于 h 的收益率才被作为风险衡量的计算因子半方差是下方风险的一种。在考察了各种 风险测度之后，m a r k o w i t z ( 1 9 5 9 ) 认为，半方差是理论上最完美的风险计量方法，它 反映了投资风险的特征，捕捉到了投资者的真实心理感受，佃d a r k o w i t z 没有用半方 差指标计量风险，是因为半方差统计量计算的复杂性超过了概念上的适应性。 我们先引入一些有关定义和证明： 定义2 1 1 下偏矩( l 蹦) 下偏矩p ( 口，f ) 记为： p ( 口，) = f ( t - x ) 。f ( x ) d x 其中，t 是收益的风险参考水平，常数t z 0 。 给出这个定义就是为了解决t e l s e r 安全一首要模型求解过程中使用车贝雪夫不等 式造成的误差。当口= 1 ，t = e 时，我们的一阶下偏矩即为下半离差；当口= 2 ，t = e 时，我们的二阶下偏矩即为均值半方差。 定理2 1 1 耵如定义2 1 1 中的参数假设， p r k 伽p o ( a ，f ) 】s 形a 其中，r 是高于安全首要模型中收益底限( 一般生存水平) b 的参考水平，0 ( 口，r ) 是 下偏矩p ( 口，f ) 的口次根，即：0 ( 口，f ) = - ( 口，) 弘，p 是大于。的常数。 证明n 耐：因为 p ( 口，f ) = d - x 广( 功出 = r “o x ) 4 f c x ) d r + k 力( f x 广( 功出 而i - p o ( a ，) ( t x r ) 凼o ，因此有： p ( 口，) 2r “( f x ) 。f c x ) d x 又因为在区间【- m ，r p o ( o t ，f ) 】上( f 一工r p 4 p 仁，f ) 成立。事实上， 硕士论文 基于t e l s e r 安全- 首要模型的投资组合选择理论的研究 ( f x ) 2 p 口0 ，) ，而口( 口，r ) = d ( 口，) 弘 所以p ( 口，r ) 2r p ( f 一工广，( 力出推出 p ( 口，f ) c 巩吖p 4 以，f ) 厂( j ) 出 = p * p ( a ，r ) r 协力m ) d x = p 4 户g ，f ) p r g f p e ( a ，f ) ) j p r b 妒p 讹f ) 】形a 将该定理中的，换成e 。就可以对安全首要模型中的约束条件进行简化。 2 2 离散型证券组合收益率情况 对于一个离散的证券组合收益率，我们用两种下半风险的度量方法来衡量其投资 风险程度。从而寻找离散情形的t h 鲫安全首要模型的最优解 2 2 1 用下半离差均值( 一阶偏矩) 作为风险的度量 考虑一个t c l s e r 安全一首要模型： 1 3 r e x e = e 慷) s j p ( r p 口 由定理2 1 1 我们可以将约束方程简化成e 关于一阶偏矩户( 1 ，e ) 的一条约束 线，即： 尸( r e - 9 0 4 时，投资组合在安全一首要模型下没有可行解； ( 2 ) 当投资者的生存水平满足b = - 9 0 4 时，亏损约束线和抛物线相切，切点纵坐 硕士论文 基于t e l s e r 安全首要模型的投赘组合选择理论的研究 标为1 9 2 0 8 ，即切点落在投资组合的有效边界上，此时，投资组合在安全一首要模型下 只有一个可行解，就是最优解日= 1 9 2 0 8 ； ( 3 ) 当投资者的生存水平6 。 1 c d c 2 ： 彳为双曲线的右半部分所包含的区域，我们可以轻松的得到其几何直观解。如图 2 3 1 ：亏损约束线( 直线) 以上并被有效边界( 双曲线) 包含的部分即为满足t e l s e r 安全一首要模型的可行集口。从图上我们可以看出，最高期望收益点是亏损约束线 与有效边界的交点f 。 联立方程 可得： 东 e i 。 图2 3 1 e ：三：盯+ 6 ， 4 2 a ( e - b c ) z l 、| c d l c z ( c 一2 瑾d 皿2 + 2 ( 2 砌d 一口归+ 一一2 a b 2 d = o ，e 昂 ( 2 3 1 ) 碗士论文 摹于t e l s e t 安全首要模型的投资组合选择理论的研究 情况一：当口 m i i l c 2 d , 0 5 时，此时亏损约束的斜率l ，乏石大于双曲线渐近线的斜 窭：d , d t 6 ，此时，( 2 3 1 ) 是一个首项系数大于。的二次方程，其判别式 a = 4 a d ( 2 a l a 一4 b b + 2 c b 2 ) 其解的情况由截距b 决定。 令a 2 0 ，并根据原问题要求至少有一个解e b c = 磊，可知当且仅当 6 s k 吉( 去一爿 时，原方程有解。如图2 3 2 ： 址一姗。 乡孑 圈2 3 3 这在图2 3 2 上面又可以理解为，对于每一个特定的口，一系列平行的等生存水平 线( 等b 线，在每条线上，生存水平即截距相等) 对有效边界的截取由图2 3 2 可知， 对于每一个特定的口 。时，基于两种简化方法得到的亏损约束线与有效边界都不相交，t s f 模型没有可行解。如图2 3 3 ： j 胗 e 仃7 6 图2 3 3 2 ) 当6 = 龟。时，= 0 ，用l p m 方法简化后的亏损约束线与有效边界相切，t s f 模型的可行集退化为一点，这个切点就是t s f 模型的最优解，为： e = 篇 而用c h e b y c h e v 不等式简化的最优化问题没有可行解。如图2 3 4 ： e 族 t j b 图2 3 4 颂士论文 基于t e l s e r 安全首要模型的投资组合选择理论的研究 3 ) 当t 6 色一时，此时用l 附方法简化后的亏损约束线所截得的资产组合机 会集，即为可行集p ，而最优解为( 解二次方程( 2 3 1 ) ，取最大解) ： e ；里= ! 堂皇丝垒生= 丝皇兰! ! 二! ! 尘 c 一2 a d 而用c h e b y c h e v 不等式简化的最优化问题无解。如图2 3 5 ： e 一 | 产旺 眨。 ，| b驴 图2 3 5 4 ) 当6 = 6 二时，如图2 3 6 ，此时用l p m 方法简化后的亏损约束线所截得的资产 组合机会集，即为可行集户，最优解是： 口：皇二兰丝巫匦巫亟囹 。 c 一2 瑾d 而用c h e b y c h e v 不等式简化后的亏损约束线与有效边界相切，其可行集退化为一点，这 个切点就是其最优解，为： 岔：b - a b d c a d 硕士论文 摹于t c l s a r 安全首要模型的投资组合选择理论的研究 冒 自吻 心 仃7 6 图2 3 6 5 ) 当b s 龟呲时，此时两种方法简化后的模型都有最优解，如图2 3 7 ，最优解分 别是： 用l p m 方法简化的最优化问题的解为： e ：丝坐啄焉圃 而用c h c b y c h c v 不等式简化的最优化问题的解为： 驴b-ctbd+一萼ctdia-尹2bb+b2c-lat! 瑚一 i 6 圈2 3 7 硕士论文基于t e l s e r 安全首要模型的投资组合选择理论的研究 情况- - z 当c 2 d o 5 ，口= c 2 d ，b b c ，此时亏损约束线平行于渐近线且在渐近 线的上方( 或与之重合) ，此时亏损约束线与双曲线无交点，原问题没有可行解。如图 2 3 8 ： j廖 占 b b c 。 矿。 图2 3 8 情况三：当c 2 d 0 5 ，窿= c 1 2 d ，b 0 如图2 3 1 2 ，顶点为( o ，岛) ，渐近线斜率为砺，变大了，其中蜀= 将 两条有效边界放入一个图中： 型 k 兰 硕士论文基于t e l s e r 安全首要模型的投资组合选择理论的研究 图2 3 1 2 其中，两条亏损约束线重合，日是( 西e ) 坐标下t s f 模型的最优解，e 是p 。，e ) 坐标下t s f 模型的最优解。我们可以发现改进后得到的最大收益值高于改进前的最 大收益值。 硕士论文 基于t e l s e r 安全首要模型的投资组合选择理论的研究 3 多期投资的安全首要模型研究 如何把标准的单期投资组合模型延拓到多期的情况是金融研究领域的一个重 要课题陆2 力。这一研究的意义在于现代金融决策问题需要反映复杂而又互相影响的 投资环境。 在实际的投资环境中，资产的收益分布往往随阶段不同而变化。因此，如何根 据投资环境的变化来及时调整资产配置是每个投资者需要面对的实际问题“捌 这一实际要求为研究多期投资组合决策分析提供了重要背景。与单期的静态模型相 比较，多期动态理论把时间与不确定性结合起来分析动态过程的投资情况 ”，允 许投资者在每个阶段初根据上一阶段的情况调整投资策略来对冲和克服收益率的 变化和不确定因素带来的波动。自从多期模型提出来之后，一直成为实际投资与学 术研究的一个重要课题汹一。 在本章中，我们将讨论金融市场中多期投资组合问题中加入亏损约束的安全首 要模型。即，在动态模型中加入投资者的意愿，使得多期的投资组合问题更适合实 际投资的需要。 3 1 模型假设和建立 资产中。投资者可以在余下仃一1 ) 的阶段中的每个阶段初根据上一阶段的情况调整 记岛= 仞，曰，厂( f = o ，l ，1 一，丁一1 ) ，为拧+ 1 种风险资产在f 时期的收益向量， 其中彰为第f 种资产在f 时期的随机收益率我们假设每个时期的收益率是相互独立 的。且我们假设p i 的期望值e b ) = k l e l ，e 0 ) 和协方差c o v 如) 是已知的， 啡臣五o t , o n 蚓2 0 ：五j 硕士论文基于t e l s e r 安全首要模型的投资组合选择理论的研究 的财富值，那么投资到第0 种资产的财富值为而一彬投资者希望对每一个阶段 r ( t = 0 , 1 ，丁一1 ) 都找到一种最好的投资策略，使得最终财富值满足期望e 坼) 时， 方差v a r k ) 最小。同时，投资者还要过滤掉低收益的出现，使投资收益一直保持在 瑚x e ( x z p r ( x z sm ) 口 s 上0 上芒魏坼 ( p 1 ) 其中，第二个约束条件就是多期的投资组合问题的均值一方差有效边界问题： 或者： ( p 2 ) i n a x e 坼) s j v a r ( x z ) o v f = 0 ，l 1 ，r 一1 且 y ) 一e p 华归一- 伍掣净凹只) 0 v ，：0 , 1 ，r 一1 一个多期的投资策略是一个投资序列； o 硕士论文 基于t c l s e r 安全首要模型的投资组合选择理论的研究 “机盼“雌雌卜黜 m “) 1 lk)i- i ； w “) j 一个多期的投资策略石称为是有效的，如果不存在其他的多期投资策略万，使 得e ( 而) k e 坼) j ，且v a r ( 薪) i ，sv 缸x t ) l ，通过变换多期投资组合均值方差模型 ( p 1 ) 中的o - 值或者变换( p 2 ) 中的占值，多期投资组合有效策略的集合就产生了。 等价于均值方差模型( p 1 ) 或( p 2 ) 的一个用于产生多期投资组合有效策略的问 题为： ( ) m a x e 坼) 一w v a r ( x t ) j 上 薯“= 口+ c r u t f = 0 , i ，r l 其中w e 【o ，) 。 我们定义n ，( w ) 为问题( p 霄) 在给定w 值下的最优解集合，即： 1 1 ，( w ) = 伽l 刀使得问题o 、) 的目标函数取得最大值 定义： 疗仁僻l e k ) ) = e 坼) 一w v a r 坼) = 一w e ( x 2 ) + 陋2 坼) + e 坼) j ( 3 2 1 ) 显然，疗是e 坼) 和e 岛) 的凸函数。因此可以建立问题( ) 的辅助问题： 0 以，w ) ) ： m a x e - 嵋+ 如) s t + 1 = 秽五+ e r 坼 r = 0 , 1 ，丁一1 问题0 以，w ) ) 的突出特点在于，0 以，w ) ) 在动态规划意义中具有分离结构，且当动 硕士论文 基于t c l s c r 安全首要模型的投资组合选择理论的研究 态系统具有线性形式的时候，目标函数具有二次方程形式定义l - i 。，w ) 为问题 0 以，w ) ) 在给定的五和w 值下最优解的集合，即： r l 阮w ) = 伽l 旅得问题0 以，- 囊肋目标函数取得最大值 记： 如= 掣l = l + 2 w e m ( 3 2 2 ) 定理3 2 1 伽1 对任意的万，( ，石e 。0 白，w l w ) 证明嘲：用反证法，假设石i i - i 。p p ，以w ) 那么，存在一个万使得： 叫翱 叫魏 z 注揪咖) = 掣龇 和 因为疗是e 坼) 和e k ) 的凸函数，下式成立； 嘶却酬”w ) 袭过一嘲， 联立( 3 2 3 ) 和( 3 2 5 ) ，可得： 谁僻j 如) ) 驴疗l 如肌 与假设石i i ，( w ) 矛盾，所以命题成立。 ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 定理3 2 1 隐含问题( ) 的解集是问题0 以，w ) ) 解集的子集。我们可以用一个 二次效用函数把最初不易处理的问题( p 霄) 插入易处理的辅助问题0 以，w ) ) 中。下面 这个定理将提供0 0 ，w ) ) 的解同时是( p 霄) 的一个最优多期投资策略的一个必要条 件。 硕士论文基于t e l s e r 安仓首要模型的投资组合选择理论的研究 定理3 2 2 嘲 假设石+ 。，w ) 那么万，的一个必要条件是 z = 1 + 2 w e ( x 7 ) l 证明洲：对于一个给定的w ，0 似，埘的解集可以用参数a 表示。换句话说， u 。n 。仉w ) 中的每一个点都可以根据五表达成 e g ；q ，w 吐e g ，q ，w ) ) 因为 h ，( d c _ u 。f i 。 ，所以问题( ) 就被缩减成如下的等价形式： 竺 嚣撩伉w e 二肌m w 坶 c s z 。 = m 弘f - 们僻0 ，w ) ) +2 僻以，) ) + k 以，w 坶 ” 要满足z 值为最优值的先决条件为： 一w 掣+ 8 协酬。】掣一o ( 3 2 7 ) 另一方面，当，n 。p ，计时，我们有： 一w 掣+ z 唑脚- o z s ， 因此，向量卜职( 1 + 2 们坼) i ，) j 与【_ 毗z 】是相等的。我们必然可以得到： z = l + 2 w e 坼) i ， 辅助问题0 0 ，w ) ) 的最优解可以通过动态规划解析得到( l i ，c h a na n d n g ( 1 9 9 8 ) ) 。辅助问题0 0 ，w ) ) 的最优投资组合策略在任一时刻，的形式如下： 其中， 并且具有边界条件： 矿k ；，) = 一k 而+ h ) t = 0 ，1 ，t 一1 ( 3 2 9 ) 五 ，2 一 墨= e “ c 归 只) 删= 考饵。刳亿肇) t - - - o , 1 , - - , t - 2 硕士论文基于t e l s c r 安全首要模型的投资组合选择理论的研究 d ) = l 2 e 。1 髓净) 其中4 和4 2 的定义如下： 4 = e 臼) 一e 位7 归。1 q 眵净只) t = 0 1 “，r 一1 4 2 ：e 昭y ) 一e 留归一- 仁p 归 只) ，：o ，l ，r 一1 投资组合策略矿k ；，) 代入( 3 2 9 ) 式可得财富动态收益等式为： 而+ 。) = 留一只7 墨k o ) + 甲哆 ( 3 2 1 0 ) 两边同时取期望值，注意到，只) 和耳是不相关的，可以得到在投资组合策略 酊“；y ) 下连续时间段之间的期望财富的递推表达式： 其中e 的定义为： ( 3 2 1 0 ) 两边平方可得： e k = 4 e “+ 考( 基簧卜( 3 2 i i ， e - - - e ( p , 7 净一1 亿彳净亿) t - - 0 , 1 ，r l 缈) = 眙) 2 、一2 印7 墨+ 砰只f 墨埒d )r ：o l 。，r 1 + 2 一只k k k 7 v ，) + v t p 厂。只7 b d ) 一 ( 3 2 1 2 ) 等式两边取期望值，并且简化其表达式就可以得到在组合投资策略西“；，) 连 续时间段之间的财富值平方期望的递推表达式： e k 。= 4 2 e 僻+ 等( 嚣。舞 2 忍 c s z s ， 解( 3 2 1 1 ) 和( 3 2 1 3 ) 这两个递推的等式，可以清楚的得到投资组合策略西代；，) 硕士论文 基于t e l s e r 安全首要模型的投资组合选择理论的研究 下终期财富的期望值和终期财富平方的期望值： e b ) ) = 瞒+ v y e 僻= 研+ 三厂2 其中，v 和f 的定义分别为： = n 9 4 y ：厶t - 1 p 。fi + 。4 磅 研= 旦黩f - i i 卜l 砰= e ( 联 2 删 卜 目= e 亿7 归。1 亿归 ) ，= 0 1 ，r 一1 因此，投资组合策略酊b ；，) 下终期财富的方差就可以表示出来了： ( 3 2 1 4 ) ( 3 2 1 5 ) v 盯坼) ) = e d ”一e 2 k d ) ) = 口一) 2 + 簖 ( 3 2 1 6 ) 其中口，6 ，c 分别定义为： 口= 三一y 2 b ：坐 口 c = f 一2 一曲2 可以看到，终期财富的期望值e ( 0 d ) ) 是关于，的线性递增函数而终期财富的 方差吨d ) ) 是关于，的二次函数。利用( 3 2 1 4 ) ( 3 2 1 6 ) ，我们可以将 疗仁l e ( 膏) ) 写成，的函数： 硕士论文 基于t e l s e r 安全- 首要模型的投资组合选择理论的研究 疗仁僻l e 坼”= 硒+ v 7 一w 一) 2 + 簖j ( 3 2 1 7 ) 显然，疗是关于，的凹函数。( 3 2 1 7 ) 对，微分为； 万d u = v 一2 们p 一) ( 3 2 1 8 ) 最优的，值必须满足条件应7 d r = 0 ，因此： ，= + 赤 ( 3 2 1 9 ) 将最优值，满足的表达式代入( 3 2 9 ) 中就可以写出问题( p w ) 的最优多期投资策略 表达式： 酊= 一q 矿皿 只k + 三( + 互磊1 1y 八嚣t - i 。叁 f 1 q 归 ) v f = 0 , i ，2 ，- - , t - 2 ( 3 2 2 0 ) u ；_ t = - e - t ( p r 一，硬。归 一。b 一。k 一。+ 三( + 击) 慷。覃，碡僻一) ( 3 2 2 1 ) 将最优值，满足的表