（应用数学专业论文）基于窗口fourier变换的再生核空间.pdf

哈尔滨理 t 大学理学硕上学位论文 基于窗口f o u r i e r 变换的再生核空间 摘要 窗口f o u r i e r 变换是信号分析、图像处理的有效工具，在实际应用中已 经得到了广泛应用。但窗口f o u r i e r 变换的像空间并未引起人们的重视，其 像空间的良好性质也没有得到深入研究。因此本文由此问题出发，深入的研 究窗口f o u r i e r 变换的像空间，并得到窗口f o u r i e r 变换的像空间为一个再生 核h i l b e r t 空间。再利用再生核理论，进一步研究窗口f o u r i e r 变换像空间的 性质，具体工作如下： 研究了从r ( r ) 到亭( r 2 ) 的窗口f o u r i e r 变换。利用线性变换思想，将窗 口f o u r i e r 变换与再生核理论紧密结合在一起，并且证明了窗口f o u r i e r 变换 的像空间为一个再生核h i l b e r t 空间。 针对不同的窗口函数，首先选取了g a u s s 小波函数作为窗口函数，进行 窗口f o u r i e r 变换，所得像空l 、日j 是一个再生核h i l b e r t 空间，利用再生核理论 的特殊技巧构造了一个新的再生核函数及其相应的再生核空问r 0 l 2 ( r ) ，并 求得再生核函数解析表达式。然后选取h e r m i t e 函数作为窗口函数，进行窗 口f o u r i e r 变换，可构造更一般的再生核函数及相应的再生核h i l b e r t 空间 r ( r ) ，并求得再生核函数解析表达式，而且建立了两个再生核h i l b e r t 空 间r( ) 与 ( ) 的再生核函数之间的联系。l 2 r r o t 2 r 作为再生核理论的一个应用，本文研究了再生核空间中的算子，通过对 具体算子的研究来揭示抽象算子的内在性质。因此考虑了再生核空间 t )上的局部算子，并求出算子的特征值和特征函数，同时利用再生核lz(r 空间r ( r ) 对一个h i l b e r t 函数空间进行了正交分解。 关键词窗口f o u r i e r 变换；再生核空间；局部算子 哈尔滨理t 大学理学硕上学位论文 r e p r o d u c i n gk e r n e ls p a c e sb a s e d o n w i n d o w e df o u r i e rt r a n s f o r m a b s t r a c t t h ew i n d o w e df o u r i e rt r a n s f o r mi sa ne f f e c t i v et o o lo fs i g n a la n a l y s i si n i m a g ep r o c e s s i n g ，a n di th a sb e e nw i d e l yu s e di np r a c t i c a la p p l i c a t i o n s s i n c ei t s i m a g es p a c e sd on o tb ep a i de n o u g ha t t e n t i o na n di t sp r o p e r t i e sd on o tb es t u d i e d d e e p l y t h i st h e s i si n t e n s i v e l yf o c u s e so nw i n d o w e df o u r i e rt r a n s f o r mi m a g e s p a c e sa n dg e t st h a tt h ei m a g es p a c e sa r er e p r o d u c i n gk e r n e lh i l b e r ts p a c e s p r o c e e d i n gf r o mt h i sp r o b l e m a tt h es a m et i m ew ef u r t h e rs t u d yt h ep r o p e r t i e s o fw i n d o w e df o u r i e rt r a n s f o r mi m a g es p a c e s ，t h em a i nr e s u l t si nt h i sp a p e ra r e a sf o l l o w s ： w i n d o w e df o u r i e rt r a n s f o r mf r o mr ( r ) t ol ( r 2 ) i ss t u d i e di nt h i sp a p e r t h er e s u l t st h a tw i n d o w e df o u r i e rt r a n s f o r mi s t i g h t l y c o m b i n e dw i t h r e p r o d u c i n gk e r n e la n dw i n d o w e df o u r i e rt r a n s f o r mi m a g es p a c e sw h i c h a r e r e p r o d u c i n gk e r n e ls p a c e sa r ep r o v e d f o rd i f f e r e n tw i n d o w e df u n c t i o n ，t h eg a u s sw a v e l e ti sc h o s e na st h e w i n d o w e df u n c t i o n ，t h e nw i n d o w e df o u r i e rt r a n s f o r mi sd o n ea n dt h ei m a g e s p a c e si sg o tt h a ti s ar e p r o d u c i n gk e r n e lh i l b e r ts p a c e s an e wr e p r o d u c i n g k e r n e lf u n c t i o nw i t ha n a l y t i ce x p r e s s i o na n dc o r r e s p o n d i n gk e r n e ls p a c e st o l 2 ( r ) a r ec o n s t r u c t e dm a k i n gu s eo fr e p r o d u c i n gk e r n e ls p e c i a lt e c h n i q u e ；f u r t h e r , t h e h e r m i t ef u n c t i o n sa r ec h o s e na sw i n d o w e df u n c t i o n ，t h e nt h ew i n d o w e df o u r i e r t r a n s f o r mi sd o n e ，m e a n w h i l e ，t h em o r ec o m m o nr e p r o d u c i n gk e r n e lf u n c t i o n w i t ha n a l y t i ce x p r e s s i o na n dt h ec o r r e s p o n d i n gr e p r o d u c i n gk e r n e lh i l b e r ts p a c e s z r ( r ) a r ec o n s t r u c t e d ，t h e nt h er e l a t i o no ft w or e p r o d u c i n gk e r n e lf u n c t i o n si n r e p r o d u c i n gk e r n e lh i l b e r ts p a c e s 兀r ( r ) a n d 瓦r ( r ) i sg i v e n o p e r a t o r so fr e p r o d u c i n gk e r n e ls p a c e s a r es t u d i e da sa na p p l i c a t i o no f r e p r o d u c i n gk e r n e lt h e o r yi nt h et h e s i s ，t h e nt h ei n t r i n s i cp r o p e r t i e so fa b s t r a c t o p e r a t o r s a r es h o w nb ym e a n so fs t u d y i n gc o n c r e t eo p e r a t o r s t h e r e b yt h e 哈尔滨理t 大学理学硕士学位论文 l o c a l i z a t i o no p e r a t o r si nr e p r o d u c i n gk e r n e ls p a c e s r ( r ) a r ec o n s i d e r e da n d t h ee i g e n v a l u e sa n de i g e n f u n c t i o n sa r ew o r k e do u t ，a tt h es a m et i m eah i l b e r t f u n c t i o ns p a c e si sm a d eo r t h o g o n a l d e c o m p o s i t i o nu s i n gr e p r o d u c i n gk e r n e l s p a c e st l 2 ( r ) w h i c hi ss h o w n k e y w o r d sw i n d o w e df o u r i e rt r a n s f o r m ，r e p r o d u c i n gk e r n e ls p a c e s ，l o c a l i z a t i o n o p e r a t o r s i i i 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文基于窗口f o u r i e r 变换的 再生核空间，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间 独立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包 含他人已发表或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体 均已在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名： 屎丝 1日期：1 年尹月召同 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 基于窗口f o u r i e r 变换的再生核空间系本人在哈尔滨理工大学攻读 硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔 滨理工大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全 了解哈尔滨理工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有 关部门提交论文和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工 大学可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或 部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密由 。 ( 请在以上相应方框内打4 ) 作者签名： 导师签名： 集芝 i 邓彩馏 同期：研年尹月易日 同期：2 呷年9 l 月曙同 哈尔滨理t 大学理学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 课题研究的目的和意义 f o u r i e r 变换是一种十分重要的工具，无论是在一般的科学研究还是在工程 技术的应用中，它都发挥着基本工具的作用。f o u r i e r 变换是时域到频域相互转 化的工具，它的实质是把对原函数厂的研究转化为对其f o u r i e r 变换f ( r o ) 的研 究，一直以来f o u r i e r 变换是处理平稳信号效果最好的分析方法。由于f o u r i e r 变换是一种全局变换，它在频域的定位性是完全准确的，而在时域无任何定位 性，不能将信号的时域与频域二者有机地结合起来，因此无法描述信号的时频 局部化特征。为了克服这一缺陷，g a b o r 引入了窗口f o u r i e r 变换，其基本思想 是把信号划分成许多小的时间间隔，用f o u r i e r 变换分析每个时间间隔，以便 确定在该时间间隔内的频谱信息。窗口f o u r i e r 变换的重要技巧是对信号进行 加窗，它可以用于分析信号的局部特征，提取信号的局部信息。目前，窗口 f o u r i e r 变换已经在许多领域得到了广泛的应用，并且窗口f o u r i e r 变换在理论 上的研究也有一定的价值。窗口f o u r i e r 变换是一段信号的冗余表示，并且这 种表示是稳定完备的，因此只要适当的选取窗口函数，就可以通过它分析信号 的局部特征，而且这种冗余性可通过再生核进行描述。 美国数学家i n g r i dd a u b e c h i e s 在她的著作 t e nl e c t u r e so nw a v e l e t s ”中 对窗口f o u r i e r 变换进行了深入研究，指出连续窗口f o u r i e r 变换可看成从 e ( r 1 到再生核h i l b e r t 空间的映射，与之相联系的窗i ：1f o u r i e r 变换是相干态的 表示，并对时频局部算子给出了解释。然而，不同窗口函数的选取所得再生核 空问是不同的，有必要对这些再生核空间进行深入的研究。为此，本文选取窗 口函数，进行窗口f o u r i e r 变换，得到的像空间是一个再生核空间，利用再生 核理论的特殊技巧，可获得一类再生核空间。 再生核理论和f o u r i e r 分析理论都是数学中比较经典的理论，因此将二者 结合起来研究具有一定的价值，尤其是对改进的f o u r i e r 变换一窗口f o u r i e r 变 换的研究尤为重要，因为对选择不同的窗口函数进行窗口f o u r i e r 变换可得到 不同的再生核空问，而且并不是所有的再生核空间都能够求得再生核函数的解 析表达式，因而本文从此问题出发进行深入的研究。 哈尔滨理工人学理学硕十学位论文 1 2f o u r i e r 变换理论的产生与发展 从历史发展的角度来看，自从法国科学家f o u r i e r 在1 8 0 7 年为了得到热传 导方程简便解法而首次提出著名的f o u r i e r 分析技术以来，f o u r i e r 变换首先在 电气工程领域得到了成功应用，之后，f o u r i e r 变换迅速得到了广泛的应用，并 且是信号处理领域中最完美、应用最广泛、效果最好的一种分析手段。同时 f o u r i e r 变换在理论上也得到了深入的研究，f o u r i e r 在他的著作热的解析理 论中，系统的运用了三角级数和三角积分来处理热传导问题。热的分析 理论是f o u r i e r 在数学和物理学领域的代表作，被认为是数学的经典文献之 一，对数学和理论物理学的发展都产生了巨大的影响。f o u r i e r 从实际背景抽 象出来的数学问题又推动了纯数学的研究，以致影响到2 0 世纪后四分之三个 世纪整个数学的发展，而且他推导出的热传导方程及其求解过程中使用的变量 分离法已成为现代偏微分方程基础理论的重要组成部分。f o u r i e r 积分也是用封 闭形式解偏微分方程的主要方法，后来，他又在1 8 2 2 年的专著中总结了如何 用这个积分求解各种类型的微分方程。f o u r i e r 工作的另一重要影响是促进了 数学中的函数及相关概念的发展。三角级数现在被称为傅立叶级数，作为正交 级数的范例出现在数学分析中，并给微分方程、积分方程和解析函数等数学理 论提供了统一的数学联系| 2 ，f o u r i e r 将它发展成为处理数学物理问题的有力工 具和具有普遍意义的方法，从而开创傅立叶分析这一近代数学的重要分支。傅 立叶级数还对积分、一致收敛、实变函数论产生重要影响。此后，众多数学家 都曾从事于这一领域的研究，不仅弥补了f o u r i e r 工作中的不足，而且极大地 发展了f o u r i e r 命名的级数理论，扩大了f o u r i e r 分析的应用范围，还使得这一 理论成为研究周期现象不可缺少的工具b 1 。f o u r i e r 分析在概念和方法上对其他 数学分支的发展给予了深刻的影响，数学中很多重要的思想和理论都与f o u r i e r 分析的发展密切相关，到了2 0 世纪初，f o u r i e r 分析的研究推动了函数空间理 论的发展以及工程技术的应用h 1 。 但在工程中，f o u r i e r 变换只是一种纯频域的分析方法，所反映的是整个信 号全部时间下的整体频域特征，而不能提供任何局部时间段上的频率信息。对 于一些非平稳信号进行分析时，通常需要提取某一时间段的频域信息或某一频 段所对应的时间信息。由于f o u r i e r 变换的核函数p 脚在时域内是无限的，为了 计算厂( 缈) ，必须在信号的整个持续时问内积分。即为了获得信号中某一特定 频率分量的信息，必须知道信号在整个时间过程中的变化情况。也就是说， 哈尔滨理t 大学理学硕上学位论文 f o u r i e r 变换在时域内是非局部的。从上述分析还可以看到，时间函数7 r ( f ) 描 述了信号的时域特征，其f o u r i e r 变换- ( o , 1 描述了信号的频域特征。也就是 说，f o u r i e r 变换要么在时域，要么在频域描述信号的特征，而不能对信号同时 在时频域内进行联合分析。但在许多实际问题中，我们关心的却是信号在局 部范围内的特征，对地震的记录人们关心的是什么位置出现什么样的反射波； 图像处理中的边缘检测关心的是信号突变部分的位置，即纹理结构。尤其对非 平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频率特性都很重要。如柴油机缸盖 表面的震动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，仅从时域或频域上 来分析都是不够的。针对瞬变的，非平稳信号的分析，曾经出现过许多改进的 办法，其中比较有成效的有w i n g e r - v i l l e 分布和窗口f o u r i e r 变换两种，前者是 一种非线性二次型变换。而g a b o r 提出的窗口f o u r i e r 变换在非平稳信号的分 析中起到了很好的作用忙1 。窗口f o u r i e r 变换也称为短时f o u r i e r 变换，它能够 有效的分析信号的局部特征。 目前，窗1 2 1f o u r i e r 变换也有广泛的应用。1 9 8 7 年，d o u g l a s 介绍了时频 渗漏窗口f o u r i e r 变换在处理非平稳信号中的作用。1 9 9 5 年，w o l a n s k y 研究了 神经网络作为集值动力系统和普遍性的窗口f o u r i e r 变换的联系。1 9 9 7 年，李 云晖根据等距变换的观点，对窗口f o u r i e r 变换的定义进行了调整，从中得到 变换的演化过程，并得到了其逆变换，此外，她还讨论了等距变换的基本条件， 根据这一条件也可以构造新的数学变换 6 1 。1 9 8 0 年，n m a i a s 首先提出并研究了 分数f o u r i e r 变换。1 9 8 7 年，m c b r i d e 用积分形式从数学上严格定义了分数 f o u r i e r 变换。1 9 9 6 年，l o h m a n 利用分数f o u r i e r 变换的思想，将光学希尔伯 特变换分数化，并给出了相应的模拟结果和实现结构。2 0 0 0 年，郑建明、李 言研究了伸缩窗口的f o u r i e r 变换，对窗口函数在时间尺度上引入伸缩变换，从 而获得一个可变的窗口，这为非平稳信号的处理提供了强有力的工具n 。2 0 0 3 年，崔明根、李春利在p a d i c 数域上定义了窗口f o u r i e r 变换的概念和阶梯函 数的概念，并且证明了关于任意的模函数g ，2 ( q 。) 的函数厂，窗e lf o u r i e r 变 换仍然是一个模函数，并给出了具体的计算公式，充分利用了p a d i c 数域的 优良性质，得到了用累加和计算窗口f o u r i e r 变换的计算公式协1 。同年，赵淑 红、张文波针对地震波信号，利用窗口f o u r i e r 变换反映信号在任意局部时间 范围的频率特征，以便达到研究信号在不同时问位置局部性质的要求【9 1 。2 0 0 5 年，姚喜妍引入并研究了h i l b e r t 空间r ( r ”) 上j 下规窗e lf o u r i e r 变换，讨论 了一个l 2 ( r “) 中函数的正规窗口f o u r i e r 变换的有界性和连续性，证明了正规 窗口f o u r i e r 变换的等距性质，而且给出了一个r ( r ”) 中函数在弱收敛意义下 哈尔滨理t 大学理学硕士学位论文 和在强收敛意义下成立的重构公式n 。同年，刘粤钳、姚红玉介绍了分数 f o u r i e r 变换，并指出它是对经典f o u r i e r 变换的改进，并且具有很好的可重构 性，在处理非平稳信号时效果明显1 。2 0 0 6 年，曹怀信、赵书改应用算子论与 积分论方法研究了规范窗口f o u r i e r 变换，并得到反演公式，最后对其值域进 行了刻画n 引。2 0 0 7 年，f e r e n c 研究了逆窗口f o u r i e r 变换的r e m a i n 和，并且 证明了在取定一个窗口函数时，此r e m a i n 和依w i e n e r 共和范数收敛于调和空 间中的函数n 引。而且m i n 深入地研究了b e r g m a n n 变换与局部窗e 1f o u r i e r 变 换间的关系u4 。同年，曲丽荣提出用m a t l a b 软件编程处理非平稳信号，将非平 稳信号加窗截断，分为一个个趋近于平稳的短时信号，分段运用窗口f o u r i e r 变换进行频谱分析，从而可以较精确地观察非平稳信号的频谱变化情况射。 2 0 0 8 年，盛兆玄在计算全息和分数傅罩叶变换的基础上提出了不对称分数傅罩 叶变换，利用这种方法进行图像加密，使加密图像的密钥由原来的两重增加到 四重，从而提高了系统的保密性能n 引。窗口f o u r i e r 变换在实际应用中已经取 得了广泛的应用，而且在理论上的研究也在继续深入，尤其是窗口f o u r i e r 变 换的像空间，已经引起人们的重视，这与再生核空间有着密切的联系，因此有 必要继续深入的研究再生核理论。 1 3 再生核理论的发展概况 再生核理论发展的起源追溯到1 9 0 7 年，z a r e m b a 第一个发现了正定函数 k ( s ，f ) 和h i l b e r t 函数空间满足再生性质。2 0 世纪2 0 年代，三个柏林数学家 s z e 9 6 ，b e r g m a n 和b o c h n e r 等相继将再生核理论应用在边值问题求解等方面， 证明了再生核是求解椭圆型偏微分方程边值问题的强有力工具n7 1 。1 9 5 0 年， a r o n s z j a n 发表的一篇综述性文章“t h e o r yo fr e p r o d u c i n gk e m e l s ”标志再生核理 论的初步形成“引，在这篇文章中，函数族的核函数的再生性质起着中心的作 用。1 9 6 7 年，y a o 将再生核h i l b e r t 函数理论应用到信号模型中引。因为再生 核使得离散的取值问题有了连续的表示形式，所以在数值分析中可以发挥独特 的作用。1 9 7 0 年，r e o 将再生核理论应用于量子力学中，借助再生核h i l b e r t 函数空间整函数理论，解决了热辐射中模拟检测信号扰动解的存在及其密度算 子的表示瞻训。1 9 7 4 年，c h a w l a 给出了再生核h i l b e r t 函数空间具有多形式精度 的最佳逼近规则1 2 。同年，z u h a i r 在再生核空间中研究了反常病态积分与算子 方程的逼近核正规解，并给出了算子积分方程的计算方法妇纠。1 9 7 8 年， w e i n e r t 等人利用再生核的对称性及正定性建立了微分算子插值与光滑样条的 哈尔滨理丁大学理学硕1 ：学位论文 递推算法幢引。1 9 7 9 年，m e i n g u e t 研究了再生核空间中任意点处的多元插值心引。 2 0 世纪8 0 年代至9 0 年代末，s m t o h 总结并深入研究再生核基本理论， 进一步拓展了再生核的应用领域幢锄2 l2 引。s z a f r a n i e c 研究了再生核空间中插值 问题解的逼近，通过j 下定核进行插值与控制1 2 引。1 9 8 4 年，s o l e v 研究了再生核 逼近，对空间再生核的渐进性态作了讨论啪1 。1 9 8 6 年，崔明根、邓中兴深入地 研究了叫 a ，b 空间中的最佳插值逼近算子阳。1 9 8 8 年，u m b e r t o 引入了齐次 西格尔区域上的再生核及一类连续l i e 群结构，并在全纯函数h i l b e r t 空间上获 得了b e r g m a n 与s z e 9 6 核之间的插值引。j 下是因为再生核函数有着良好的再生 性质，所以国内外许多学者把再生核h i l b e r t 空间作为研究数值分析的一个比 较理想的空间框架，并将再生核理论的特殊技巧应用于数值分析中。1 9 9 0 年， w a h b a 等人建立了光滑样条与随机过程的联系，并指出光滑样条是某个带观测 噪声的随机过程的条件期望，开辟了统计计算的新领域3 。 1 9 9 5 年，邓彩霞、邓中兴研究了再生核空间中样条插值算子与最佳插值逼 近算子的一致性b 引。1 9 9 8 年，邓中兴、钟坦谊对二元再生核与最佳h e r m i t e 捅值 逼近算子进行了研究怕引。2 0 0 0 年，吴勃英、崔明根利用矿2 ( r ) 空问中的若干特 殊性质，给出小波的投影表达式，这种投影逼近避免了函数内积运算中的积分 计算，是离散函数逼近的理想工具，其结果在理论研究和方法上均具有重要意 义1 。2 0 0 3 年，徐宪民对典型的再生核空间f o c k 空间上的复合算子的有界性、 紧性等特征进行研究，并给出等价条件旧7 。同年王晓峰借助再生核理论研究了 多连通域上的解析函数，圆环上的d i r i c h l e t 空间及其算子m 1 。2 0 0 5 年邹斌、董 雪梅研究了再生核希尔伯特空间中的j 下则化学习算法，证明了其推广误差可分 解为逼近误差和估计误差两个部分口引。2 0 0 6 年，m i l u t i n 与z h u 禾l j 用一类积分算 子范数诱导出了建立在c ”上的f o c k 再生核空间，这对利用变换或算子构造再生 核空间具有重要意义叭。同年，赵丹君研究了再生解析h i l b e i r t 空间上的复合算 子，并给出两个复合算子差为紧的必要条件，探讨了一类复合算子空间的拓扑 结构。2 0 0 7 年，邓彩霞、曲玉玲、侯杰在再生核基本理论的基础上，介绍了 再生核在小波变换中的作用，借助再生核理论的特殊技巧，建立了l i t t l e w o o d - - p a l e y 、h a a r d 、波和g a u s s e s 波变换像空间的再生核函数与已知再生核空间的再 生核的关系h 2 4 引。2 0 0 8 年，张新建研究了孵口，b 1 空间中再生核的计算，并得 到特殊微分算子确定的一类再生核的计算，而且给出了这类再生核系数的迭代 算法州。2 0 0 8 年，王玉兰在再生核h i l b e r t 空问中，研究了变系数偏微分方程的级 数形式精确解，给出了一个迭代方法，并证明了迭代方法的收敛性h 引。同年， 王春研究了具有再生核的多元整函数h i l b e r t 空问的基本性质，着重讨论了偏微 哈尔滨理工大学理学硕十学位论文 分算子在该空间上的紧性，并给出了一个用再生核函数刻画的偏微分算子是紧 算子的充分必要条件，从而在具有再生核的多元整函数h i l b e r t 空间上推广了 已有的结果1 。 近些年来，再生核空间的研究不仅在函数空间理论中占有重要地位，而且 它已被广泛应用到机器学习、支持向量机，基于不同核的支持向量机可解决不 同的实际问题，再生核及其相应的再生核h i l b e r t 空间在函数逼近和j 下则化理论 中扮演了重要的角色。此外，再生核理论的研究还被应用于调和函数的边值问 题、积分方程理论、数值分析以及概率数理统计等领域内h l 峨删，而且与小波 理论相结合删，其应用的广泛性也越来越被人们重视。 1 4 本文主要研究的内容 本文主要研究以下三个问题： 首先，描述窗口f o u r i e r 变换的像空间是一个再生核空间。 其次，取g a u s s 小波函数作为窗口函数，进行窗口f o u r i e r 变换，所得像 空间是一个再生核h i l b e r t 空间，利用再生核理论可构造一个新的再生核函数 及其相应的再生核空问瓦r ( r ) ，并求解再生核函数的表达式；取h e r m i t e 函数 作为窗口函数，进行窗口f o u r i e r 变换，可构造更一般的再生核函数及相应的 再生核h i l b e r t 空问瓦三2 、r ) ，并求解再生核函数的表达式，建立两个再生核 h i l b e r t 空问t( r ) 与 ( r ) 的再生核函数之间的联系。l 2t o l 2 最后，研究再生核h i l b e r t 空间t ()上的局部算子群，证明迹类算子为ol2 r 局部算子群关于的特征值。进而考虑利用再生核空间r ( r ) 对h i l b e r t 函数 空间进行j 下交分解。 哈尔滨理工人学理学硕士学位论文 第2 章预备知识 本文主要研究了窗口f o u r i e r 变换的像空问是再生核h i l b e r t 空间，由此选 取窗口函数构造了一类再生核空间并求得了相应的再生核函数表达式。因此本 章首先介绍了f o u r i e r 变换及窗口f o u r i e r 变换理论，并着重介绍再生核空间理 论的基本性质和重要定理。 2 1f o u r i e r 变换理论 2 1 1f o u r i e r 变换的基本性质及定理 信号是一个或多个独立变量如时间、位置、距离、温度和压强等函数。例 如，语音和音乐信号表示为空l 、日j 某一点的空气压强随时间变化的函数；幅黑 白图像表示为光的强度随两个空间坐标变化的函数。 一维信号厂( f ) 的f o u r i e r 变换定义为 。 夕( 国) = c o ”of ( t ) e - s d d t f o u r i e r 变换度量了信号在所有不同频率的振荡信息。 下形式 夕( 缈) = i 夕( 彩) p 州 ( 2 - 1 ) f o u r i e r 变换可以写成如 ( 2 2 ) 其中，l 夕( 国) i 称为信号厂( f ) 的幅频特性，秒( 缈) 称为信号厂( f ) 的相频特性。 f o u f i e r 变换的逆变换为 巾) 2 去e 夕( 缈) d 缈( 2 - 3 ) 这意味着信号可以展开为不同频率正弦信号的线性叠加。 由f o u r i e r 变换的定义，很容易证明下述p a r s e v a l 定理 c ( z ) 而谤2 去e 夕( 国) 聊国( 2 - 4 ) 哈尔滨理t 大学理学硕上学位论文 令 g ( f ) = 厂( f ) 则有 e 1 2 疵= 荔u - i - o o a 训2d 国(2-5) 有时称公式( 2 5 ) 为p a r s e v a l 定理。公式( 2 - 5 ) 左边可解释为信号的能量，所 以称扩( 彩) 1 2 为信号的功率普，它描述了信号能量在频率域内的分布。 根据f o u r i e r 变换的定义，很容易证明f o u r i e r 变换有如下重要性质。它们 有助于理解f o u r i e r 变换的物理意义，而且在若干定理的证明中经常用到。 而有 表2 1f o u r i e r 变换的一些性质 t a b l e2 - 1s o m ep r o p e r t i e so ff o u r i e rt r a n s f o r m 性质函数f o u r i e r 变换 s ( t )夕( 缈) 逆f ( f ) 2 n - f ( - c o ) 卷积 彳( t ) * f z ( t )彳( 缈) 幺( 缈) 乘积 石( t ) a ( t ) 去j i ( 国) 书五( 珊) 平移 f ( t - r ) ) c ( c o ) e 一， 调制 f ( t ) e j 咐夕( 彩一c o o ) 尺度伸缩 圯) i s f c ( s c o ) 时域求导 厂( h ( f )( 缈) ”夕( 缈) 频域求导 ( - i t ) ”i ( t )( 缈) 复共轭 f ( t )夕+ ( 一缈) 如果信号是实的，即厂( f ) = 厂( f ) ，由复共轭性质可得夕( 缈) = 夕+ ( 一国) 从 陟( 国) i = 旷( 一国) i 哈尔滨理t 大学理学硕十学位论文 秒( 国) = 胡( 一国) ( 2 6 ) 也就是说，实信号的幅频特性是频率的偶函数，相频特性是频率的奇函 数。 定理2 1 设f l ( r ) ，f 的f o u r i e r 变换为 夕( f ) = r 二l e - 2 f ( x ) e 枷出 ( 2 7 )厂( f ) = i 删出 ( 2 7 ) ，- - 0 0 则有 ( 1 ) , l i m f ( t ) = 0 ； h l ，w ( 2 ) i ? , ) l - l l l l ( 棚，o o ) ， 其中v i i 。= c i ( 工) l 办，映射寸夕可以看做是型( r ) 到r ( r ) 的有界线性算 子：1 1 4 。- 0 ) 为具有有限范数 ，e l i ( z ) 1 2 9 坤j 2 蛐 i o 。 的所有整函数厂( z ) 在该范数意义下构成的h i l b e r t 函数空间。则c x c 上的二元 函数e 胁为该空间的再生核。即对空问中的任意一个元f ( z ) f ( a ) 及z ，u c 有 f ( u ) = ( 厂( z ) ，e 加“) 这个空间称为f o c k 空间或b e r g m a n n f o c k 空间。 2 2 2 再生核的基本性质及基本理论 性质2 3 再生核的基本性质： 1 ) 唯一性：如果h i l b e r t 函数空间有再生核k ( t ，s ) ，则此再生核是唯一 的。 2 ) 存在准则：h i l b e r t 函数空间h 有再生核v s b ，f ( s ) 都是日上的有 界线性界线性泛函。 3 ) 再生核的j 下定性：即对s 1 ，s 2 ，s 及复数a l 口2 ，a 总有 k ( s ，s ，) 动0 ( 2 2 3 ) 4 ) 设k ( t ，s ) 是h i l b e r t 函数空间h 的再生核，则有 k ( t ，f ) 0 ，k ( t ，5 ) = 瓦历，i k ( t ，j ) 1 2 k ( s ，s ) k ( t ，f ) ( 2 - 2 4 ) 5 ) 设k ( t ，s ) 是h i l b e r t 函数空间h 的再生核，则有 m a 9 _ i x 俐f ( = 届丽= ，佻 ( 2 2 5 ) 这里范数是由内积引入的 哈尔滨理t 大学理学硕十学位论文 = ，静 6 ) 设h i l b e r t 函数空间存在再生核，则当以专f ( 弱) 时必有六一厂( 逐 点) ；如果k ( t ，t ) 在ecb 上有界，那么六( f ) 斗f ( t ) ( 在e 上一致) 。 7 ) 设函数k ( t ，j ) 在抽象集合曰上是正定的，那么可以构造一个召上 h i l b e r t 函数空间h ，使k ( t ，s ) 是其再生核。 8 ) 设日是h i l b e r t 函数空间，q 是其子空间，k ( t ，s ) 是子空间凰的再生 核，h h ，则公式 侧= ( | j l ( f ) ，玩d ) ( 2 - 2 6 ) 给出h 中元素h 在子空间日。上的投影。 9 ) 设k ( t ，s ) 是h i l b e r t 函数空间h 的再生核，则h 的所有的闭线性子空间 均以k ( t ，s ) 为其再生核。 l o ) 设k ( t ，s ) 是h i l b e r t 函数空间h 的再生核， 蜀 是日中的正交系， a i ) 是满足条件 a ， c o i = 1 的数列，则有 i i z l a ，l i e ) i k ( f ，f ) j ( 蚶) j ( 2 2 7 ) i = 1f = l 下面介绍再生核的有关定理 定理2 1 l ( 再生核的表示) 设月是可分的h i l b e r t 函数空间， k ( t ，j ) ， 仍 - 是j v 的标准正交基，则 k ( t ，j ) = 缈，( f ) 丽 ，= i 而且 它有再生核 ( 2 2 8 ) ! 受卜一喜啪，丽卜 弘2 9 ， 定理2 1 2 ( 再生核的限制) 设日是集合b 上的h i l b e r t 函数空间，k ( t ，s ) 是 其再生核，k ( t ，s ) 在子集蜀cb 上的限制记为k ，( f ，s ) ，则由全体h 中的函数 哈尔滨理工大学理学硕j ：学位论文 在且上的限制石所构成的函数空间h 。以k 1 0 ，s ) 为再生核。 定理2 1 3 ( 再生核的和) 设日。，日：是同一个集合b 上的两个h i l b e r t 函数空 间，它们的范数分别记为l i 1 i l 和i i i l ：，k 。( f ，s ) 与k ：( f ，s ) 分别是日。，日：的再生 核，那么k 。+ k ：是所有形如f = 石+ 厶( 石q ，六马) 的函数所形成的 h i l b e r t 函数空间胃的再生核，胃的范数由下式定义： 2 = m i n 胍n 碧 ( 2 _ 3 0 ) 其中极小值是对一切分解厂= 石+ 正( z q ，六4 ) 而取的。 设k 与k 都是在b 上j 下定的二元函数，如果k ( t ，j ) 一k 。( f ，s ) 在b 上正 定，则记k