（应用数学专业论文）基于自对偶测度的choquet积分.pdf

摘要 摘要 本文提出了比概率测度更广的自对偶测度的概念，给出了它的一些性质；讨论了自 对偶测度的结构特征，给出了自对偶测度的零可加性、自连续性和一致自连续性的定义， 并讨论了它们之间的关系；引入了基于自对偶测度的可测函数的定义，给出并证明了自 对偶测度空间上可测函数列的收敛定理，并讨论了几种收敛之间的关系，把经典测度论 中可测函数列收敛的重要定理推广到了自对偶测度空间上；提出了基于自对偶测度的 c h o q u e t 积分的定义，讨论了一些主要的性质，得到了自对偶测度空间上c h o q u e t 积分序 列的收敛定理；提出了外正规自对偶测度的定义，讨论了基于外正规自对偶测度的 c h o q u e t 积分的共单调可加性 关键词自对偶测度可测函数c h o q u e t 积分共单调可加性 a b s t r a c t a b s t r a c t t h ed e f i i l i t i o no f l f d u 2 l lm e a s u r em a t i s 、i d e l ye x i s tt h a l lp r o ba _ b i l i 够i sp r o p o s e d ，a i l d s 0 m ep r o p e n i e so fi ta r ed i s c i l s s e d t h es n m c t l l 阳lc h a r a c t e r i s t i c sf o rs e l f d u a jm e a s u r ea r e d i s c u s s e d ，t l l ed e f i n i t i o i l s ，s u c ha sn u l l a d d i t i v i 劬a u t o c o n t i 姗时a n du 1 1 i f o n l la u t o c o n t i n u 蚵 o fs e l o d u a lm e a l s u r e ，a r ep r o v i d e d ，锄dt h er e l a t i o 璐b e t 、e e nt h e ma r es h 0 ，1 1 7 i kd e f i i l i t i o n o fi n e a s 呦b l e 允n c t i o nb 嬲e do ns e l f d u mm e a s u r ei sp r e s e m e d ，觚dc o n v e r g e n c et l l e o r e m so f q u e n c 宅o fm e a s 慨b l em n c t i o n so n l f d u a lm e a s u r es p a c e sa p r o v e 玛w h i c ha r e g e n e r a l i z a t i o r i so fn l e mo nc l 嬲s i c a lm e a s u r es p a c e ，a i l dr e l a t i o l l s 锄o n gc o m ，e 唱e n c e so f q u e n c eo fm e a s a b l ef 抽似i o 硒a r ed i s c u s s e d i i l 目m ，m ed e f i i l i t i o no fc h o q u e ti n t e g r a l b a s e d0 ns e l f d 叫i n e a s u r ei si n t r o d u c e df i r 瓯a n d 屺ni t sp r i m a 巧p 哟p e r t i e sa r ed e t a i l e d f o r m ec h o q u e t 硫e g r a l 谢t hr e s p e c tt 0as e l f - d 砌m e 嬲鹏，c o n v e r g e n c e 恤o r e m so f c h o q u e t i n t e 留a ls e q u e n c ea r eg i v e ni i lm i sp 印e r l a s t ，t l l eo m e rr e g u l a rs e l f d u a lm e a s u r ei sd e f i n e d t h ec o m o n o t o n i ca d d i t i v i t yo ft l l e c h o q u e ti n t e g r a lb a s e do n l eo u t e rr e g u l 盯s e l f d u a li s s h o 、n 1 ( e y w o r d s ：s e l f - d u a lm e 2 l s u r e ；m e a l s u n b l e 如n c t i o n ；c h o q u e ti n t e g r a l ； c o m o n o t o n i ca d d i t i v 时 h 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了致谢。 作者签名：窒益日期：塑蔓年月l 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密。 ( 请在以上相应方格内打“) 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为( 基 龟对儡涣6 霞内c 脚芘瓣磅) 的学位 溅是我个人在导师菩穗指导并与导师合作下取得的研究成果，研究工作及取得 的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费资助下完成的。本人完全 了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定的各项法律、行政法规以及河北 大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大学的书 面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内容。如果违反 本声明，本人愿意承担相应法律责任。 声明人：奎鑫 日期：塑年旦月j l 日 作者签名： 导师签名： 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 非可加测度与c h o q u e t 积分的产生与发展 经典测度是满足非负、可列可加性的一类集函数，它源于测量客观世界中物质的长 度、面积或体积的度量几何学可列可加性这一特性往往非常有效和方便经典测度论 诸多的优秀成果与其所具有的可列可加性密不可分但是随着测度理论及其应用的发展， 可列可加性并不能刻画现实世界的许多实际问题【l 卅因此，从2 0 世纪5 0 年代初，国内 外越来越多的学者开始从事不满足可列可加性的测度一非可加测度理论的研究，并取得 了一系列理论与应用上的有价值的成果【1 郴】如法国数学家c h o q u d 【2 】在1 9 5 3 年提出了 一种被称之为容度的理论，这是最早的对非可加测度的系统研究日本学者 s u g 咖【3 】1 9 7 4 年在他的博士论文中提出了模糊测度的概念，即一个正规的、单调的、连 续的集函数与概率测度相比，模糊测度放弃了概率测度的可加性，而代之以更广泛的 单调性，因而它以概率测度为特款，且在解决一些实际问题中更符合人类日常的推断活 动利用模糊测度，s u 蹦1 0 还定义了相应的积分，被称为模糊积分模糊测度在理论和 应用上都取得了丰硕的成果【2 羽另外还有其它多种类型的非可加测度，包括1 9 6 7 年 d 唧s 衙等【9 】提出的信任测度和似然测度，1 9 7 8 年z a d e h 【1o 】提出的可能性测度，2 0 0 2 年刘 宝锭、刘彦奎等【l l 1 2 】基于自对偶的概念和可能性测度提出的可信性测度的概念等等这 些非可加测度根据不同的问题各自具有不同的特点与优势 c h o q 碱提出容度的理论后，针对于容度，还提出了与之相应的积分，后被称为 c h o q u 成积分因为模糊测度与容度有相似之处，且c h o q u e t 积分也具有单调性，因而也 可以把关于非可加测度的c h o q u e t 积分看做一种模糊积分，并且易知它是l e b e s g u e 积分 的一种推广基于非可加测度的c h o q u e t 积分已然成为多标准决策和图像识别等领域的 重要工具之一d e l l i l e b e 耐6 1 ，m u r o m s b i 和s u g e n 0 【1 3 】等又对c h o q u e t 积分做了进一步研究 m u r 0 缸l l i 和s u g e i l o 【1 3 】1 9 8 9 年最早把c h o q u c t 积分与模糊测度联系起来，并且进一步深 化和发展【1 4 1 6 1 之后m e s i 0 1 刀又把c h o q u e t 积分定义中的呦e s g u e 积分换成了更为广泛 的拟可加积分，提出了c h o q u c t 1 i k e 积分张德利也做了一定的工作【1 8 之1 1 可以说正是模 河北大学理学硕士学位论文 糊测度论的发展带给了c h o q u e t 积分新的生命力 1 2 自对偶测度及基于自对偶测度的c h o q u e t 积分的提出及意义 由于模糊测度通常不具有可加性，难以建立与经典测度论相对应的理论体系，因此 对于具体的问题一般都是给模糊测度附加一定的条件来讨论为此，国内外许多学者做 了大量的尝试，得到了一些有意义的结果但大多是对模糊测度附加了次可加性或者是 f 可加性等，而这些条件无疑是太强了 集函数的自对偶的概念是很重要的，也是很常见的比如概率测度就满足自对偶性 在概率理论中，一个随机变量以概率1 等于0 ，则此随机变量以概率o 不等于0 ，这就是 因为概率测度的自对偶性基于自对偶这个良好的性质，刘宝锭、刘彦奎等【l l ，1 2 】在可能 性测度的基础上提出了可信性测度，以及不确定测度等新的概念 模糊测度固然很重要，但也不满足自对偶性，由此我们自然想到考虑具有自对偶性 的模糊测度，即本文提出的自对偶测度的概念这也是一种典型的非可加测度而且概 率测度就是自对偶测度的一个特例，在有限的情况下，可信性测度亦为其特例 1 3 本文的主要内容 本文引入自对偶的概念，在模糊测度的基础上，给出了自对偶测度这一非可加测度 的概念主要内容和组织如下： 1 第2 章是预备知识介绍了模糊测度和c h o q u e t 积分的定义和一些基本性质 2 第3 章给出了自对偶测度的定义，给出了一些基本性质讨论了自对偶测度的结 构特征，给出了自对偶测度的零可加性、自连续性和一致自连续性的定义，并讨论了它 们之间的关系：引入了基于自对偶测度的可测函数的定义，证明了自对偶测度空间上可 测函数序列的收敛定理，并讨论了几种收敛之间的关系，把经典测度论中可测函数序列 收敛的重要定理推广到了自对偶测度空间上 3 第4 章提出了基于自对偶测度的c h o q u e t 积分的定义，证明了自对偶测度空间上 c l 醐u e t 积分序列的收敛定理；给出并证明了局部紧h a l l s d o 礴空间上基于自对偶测度的 c h o q u e t 积分的共单调可加性 第2 章预备知识 第2 章预备知识 这一章主要给出了模糊测度，c h o q u e t 积分等概念以及它们的一些基本性质 2 1 模糊测度的定义及性质 本节，我们主要介绍关于模糊测度的一些基本概念和性质，相关内容可以参看文献 【4 】 设z 为一非空集合，e 为z 的子集组成的非空集类，且：c 专【o ，叫为定义在c 上 的一个非负广义实值集函数 定义1 4 1 称集函数：c 啼【o ，叫为( x ，c ) 上的模糊测度，如果满足下列条件 ( 1 ) ( o ) = o ，当a c ( 平凡性) ； ( 2 ) 彳c 曰j ( 彳) ( 口) ，黝，曰c ( 单调性) ； ( 3 ) v 4 ) c c ，4c 4c c 4 c 且u 二4 c j 熙( 4 i ) = ( g4 1 ) ( 下连续性) ； ( 4 ) v 4 ) c c ，43 43 3 4 3 ，( 4 ) o ， 存在艿= 万( 占) o ，使得 第2 章预备知识 ( e ) 一s ( e u f ) ( e ) + 占 或( e ) 一s ( e f ) ( e ) + s 】 为一致自连续的当且仅当它是一致上自连续的也是一致下自连续的 2 2c h o q u e t 积分的定义及性质 定义8 u 卅设( x ，厂) 为可测空间，为模糊测度对( z ，) 上任意的非负可测函数 ，其在集合彳歹上基于的q 州积分定义为 l 弘p = 受”，d r ， 其中吁( ，) = “( z i ( x ) ， ) 下面给出c 救岬e t 积分的一些基本性质【2 2 ，2 3 】 性质1 设厂，g 为( x ，厂) 上的可测函数，么，。为模糊测度，c 为一非负常数， 则 ( 1 ) 若( 彳) = o ，则( c ) = o ； ( 2 ) 如果厂是非负的，则( c ) = o ( x ：厂( 工) o ) n 彳) = o ； ( 3 ) ( c ) 工c d = c ( 彳) ； ( 4 ) 如果厂g ，则( c ) 弦( c ) 鲥； ( 5 ) 如果，则( c ) l ( c ) ； ( 6 ) ( c ) 弦= ( c ) 抄以d ，其中以为么的特征函数； ( 7 ) ( c ) ( + c m = ( c ) 肛+ c ； ( 8 ) ( c ) c = c ( c ) 注3c h o q u e t 积分的一个明显特征就是( c ) ( 厂+ g 矽( c ) + ( c ) ，这 说明了c h o a u 就积分不是线性的 河北大学理学硕+ 学位论文 第3 章自对偶测度 3 1 自对偶测度的定义及性质 基于模糊测度和集函数的自对偶性的概念h1 1 】，下面给出自对偶测度的定义 设x 为一非空集合，厂为x 的子集组成的盯一代数，且：厂_ 【o ，叫为定义在， 上的一个非负广义实值集函数 定义9 称集函数：芦一【o 1 】为自对偶测度，如果满足下列条件 ( 1 ) ( f 2 j ) = o ( 平凡性) ； ( 2 ) 彳c 曰( 彳) ( b ) ，w ，曰厂( 单调性) ； ( 3 ) ( 彳) + ( ) = 1 ，w 厂( 自对偶性) ； ( 4 ) v 4 ) c 只4c 4 c c4 lc 且u ：。以厂j 舰( 4 ) = ( 璺4 ) ( 下连续性) 三元组( x ，厂，) 为自对偶测度空间 本文以下讨论均在此自对偶测度空间上进行 注4 显然概率测度是自对偶测度的特例；当x 有限时，可信性测度也是自对偶测 度的特例 下面给出自对偶测度的一个说明性的例子 例2 设x = 口，6 ，c ) ，4 为x 的幂集，是从4 到【o ，l 】的一个集函数且满足 ( f 2 j ) = o ，( 口) ) = o 1 ，( 6 ) ) = o 2 ，( c ) ) = o 5 ， ( 口，6 ) = o 5 ，( 6 ，c ) ) = o 9 ，( 口，c ) ) = o 8 ， ( x ) = 1 则有( a ) + ( x ) = ( 口) ) + ( 6 ，c ) ) = ( 6 ) ) + ( 口，c ) ) = ( c ) + ( 口，6 ) ) = 1 ， 即口是自对偶测度但 第3 覃目对偶测厦 ( 口) ) + ( 6 ) ) ( 口，6 ) ) ，“6 ) ) + ( c ) ) ( 6 ，c ) ，( 口 ) + ( c ) ( 口，c ) ) ， 即卢不满足可加性，从而不是一个概率测度 下面给出自对偶测度的一些简单性质 性质2 设为一自对偶测度，则( x ) = 1 证明由自对偶性知( o ) + ( 石) = 1 由定义9 的( 1 ) 有( z ) = l 一( f 2 j ) = l o = 1 性质3 设为一自对偶测度，则满足上连续性 证明设 4 c 尸，一= 1 ，2 ，且43 4 3 3 43 ，则知 4 。c4 。c c4 。c 由下连续性和性质2 知 熙( 4 。) = ( 熙4 。) = 嗯4 ，c ) 故 熙( 4 1 ) = l 一擞( 4 。) = t 一( q4 ，。 = - 一( ( 自4 ) 。 ：f n 4 、i 3 2 自对偶测度的结构特征 定义1 0 称自对偶测度：芦专【o ，1 】为零可加的，当且仅当 ( e u f ) = ( e ) 当e 尸，e n f = g 且( ，) = o 例3 设x = 口，6 ) ，厂= 尹( x ) 如果自对偶测度定义如下 f 1 ，e = x 胖 1 篡端 【o ，e = f 2 j 当( f ) = o ，f 芦，则f 必为o 洞北大学理字帧十学位论文 于是( e u f ) = ( e u 囝) = ( e ) ，符合零可加的定义 故自对偶j 零可加 注5 由此可以看出，自对偶测度是一种零可加的模糊测度 定理2 设为可测空间( x ，厂) 上的自对偶测度如果对任意非空集f 厂，都有 ( f ) o ，则为零可加的 证明如果存在某，e 厂，使得( ，) = o ，则f = f 2 j 因此对任意的e 歹，我们有 ( e u f ) = ( e ) 于是得证 定理3 如果自对偶测度是非减的，则下面陈述是等价的： ( 1 ) 为零可加的； ( 2 ) ( e u f ) = ( e ) ，当e ，f 厂且( f ) = o ； ( 3 ) ( e f ) = ( e ) ，当e ，厂，f c e 且( ，) = o ； ( 4 ) ( e f ) = ( e ) ，当e 厂，f 尸且( f ) = o ； ( 5 ) ( e f ) = ( e ) ，当e 尸，f 芦且( f ) = o 证明 ( 1 ) j ( 2 ) 如果( f ) = o ，因为o ( ，一层) ( f ) = o ，( f 层) n e = d ，我们有 ( e u f ) = ( e u ( f e ) ) = ( e ) ； ( 2 ) ( 1 ) 显然； ( 1 ) j ( 3 ) 只需注意到( e ) = ( ( e 一，) u f ) ； ( 3 ) ( 4 ) 因为( e f ) = ( e 一( f n e ) ) 且f n e c e ，注意到 o ( f n e ) ( f ) = o 我们可得到结论； ( 4 ) j ( 1 ) 当e n f = o 时( e ) = ( ( e u ，) 一f ) ，于是结论可得； ( 2 ) 和( 4 ) j ( 5 ) 由( e f ) ( e 心) ( e u f ) 可得； ( 5 ) j ( 1 ) 当e n f ：a 时e 解：e u f ，于是结论可得 第3 章自对偶测度 定义1 1 称自对偶测度：尸一【o ，l 】为上( 或下) 自连续的，当且仅当 1 i ( e u e ) = ( e ) 一 【或1 1 ( e e ) = ( e ) 】 其中e 厂，e ，e n c = f 2 j ( 或ec e ) ，刀= 1 ，2 ，且1 ( c ) = o 为自连续的当且仅当它是上自连续的也是下自连续的 定理4 设为可测空间( x ，芦) 上的自对偶测度如果存在占 o 使得对任意的 e 厂，e a 有( e ) g ，则为自连续的 证明在定理的条件下，如果 c c 尸且使得峄( c ) = o ，则v 毛 o 了，当 刀时有( e ) 岛 若令占= 岛，( c ) 占，所以c = a 于是，峥( e u c ) = 峄( e ) = ( e ) 这说明为上自连续的 同理，1 1 ! i l ( e c ) = 1 1 ( e ) 2 ( e ) 这说明为下自连续的由此得证 定理5 设为可测空间( z ，厂) 上的自对偶测度，则的自连续性、下自连续性和上 自连续性三者是等价的 证明假设上自连续， c ) c 厂，舰( e ) = o ，存在一系列 ) c c 使得毕( e e ) = l i ：n ( e 一) 由是上自连续及( & ) 专o ，存在子列 气 c 气) 使( 耳吒) = o 于是有 ( e ) 1 缈( e c ) 单( e 一只) ( 学( e 一气) ) ( ( e 一噼。) ) = ( e ) 河北大学理学硕士学位论文 故匦( e e ) = ( e ) j 下自连续 另外由于自对偶测度是有限的模糊测度，可证下自连续j 上自连续 由此定理得证 定理6 设为可测空间( x ，厂) 上的自对偶测度，如果：芦专【o ，1 】是上( 或下) 自 连续的，则它是零可加的 证明对任意的e 厂，f 厂，引1 f = f 2 j 勘( f ) = o ，令e = f ，刀= l ，2 ，则有 l 缈( e ) = ( ，) = o 如果是上自连续的，则据定义有( e u f ) = l 争( e u e ) 2 ( e ) ，所以是零可 加的 如果是下自连续的，则据定义有 ( e u ，) = 1 1 ( ( e u f ) 一e ) = l ：i l ( e u ，) 2 ( e ) ， 所以也是零可加的 故得证 注6 显然，如果：厂j 【o ，1 】是非减的，则定义1 1 中的“e n e = f 2 j 和“cc e 一 的约束可省略掉 下面的定理说明了自对偶测度的自连续性和连续性之间的关系 定理7 设为可测空间( x ，尸) 上的自对偶测度，如果：尸一【o ，l 】是上( 或下) 自 连续的，则它是上( 或下) 连续的 证明如果 e ) 是厂中的递减集序列且层= n ：。e ，则e e a 由自对偶测度的定义可知，在。处是上连续的又由于自对偶测度的有限性， 我们知道 峄( e e ) = o 于是，利用的上自连续性，我们有 h ( 巨) = 1 1 ( e u ( e e ) ) = ( e ) ， 即是上连续的 第3 章自对偶测度 类似可证的下连续性 定义1 2 称自对偶测度：芦啼【o ，1 】为一致上( 或下) 自连续的，当且仅当对任意的 占 o ，存在万= 万( 占) o ，使得 ( e ) 一g ( e u f ) ( e ) + g 【或( e ) 一g ( f 一，) ( e ) + 譬】 当e 只，厂，e n f = o ( 目涫ce ) ，且( f ) 万 为一致自连续的当且仅当它是一致上自连续的也是一致下自连续的 定理8 如果是一致上( 或下) 自连续的，则它是上( 或下) 自连续的因此一致 自连续性自连续性 证明如果是一致上自连续的，则v 占 o ，j 艿= 万( 占) o 使得 ( e ) 一占( e u f ) ( e ) + g 其中e ，厂，e n ，= f 2 j ，( f ) 时( c ) o ，j 艿= 万( 占) o 使得当e 只，孙( f ) 万有 ( 占) 一g ( e f ) ( e ) + g 河北大学理学硕十学位论文 证明( 1 ) j ( 2 ) 显然 ( 2 ) j ( 3 ) 由自对偶测度的单调性可知( e n ，) ( f ) 万，利用的一致 上白连续性有 ( e ) 一占( e ) = ( ( e f ) u ( e n f ) ) ( e 一，) + 占 则( e 一，) ( e ) 一占 不等式的另一侧同理可证 ( 3 ) j ( 4 ) 一方面，由( e n f ) ( f ) 艿可知 ( e f ) = ( ( e u f ) 一( e n f ) ) ( e u ，) 一s ( e ) 一占 另一方面，因为( f e ) ( f ) 万我们有 ( e ) ( e f ) = ( ( e f ) 一( f e ) ) ( e f ) 一占 ( 4 ) ( 1 ) 显然 定理1 0 设可测空间( x ，尸) 上的自对偶测度h ：，专【o ，1 】和鸬：厂一【0 l 】均为零可 加( 或自连续，或一致自连续) 的如果我们定义：厂_ 【o ，l 】如下式 ( 么) = h ( 么) + 鸬( 彳) w 尸 则也是零可加( 或自连续，或一致自连续) 的 证明只对零可加的情况加以证明，其他类似可证 设一和鸬为零可加的，对任意的e 厂，f 厂满足e n ，= a 如果( f ) = o ，即 “( ，) + 膨( ，) = o ，则必有h ( ，) = o 和鸬( f ) = o 所以我们有 ( e u ，) = 一( e u ，) + 鸬( e u f ) = h ( e ) + 鸬( e ) = ( e ) 这说明是零可加的 例4 设可测空间( x ，尸) 上以：厂专【o ，l 】和鸬：，专【o ，l 】均为自对偶的，那么由下 式定义的 ：尸j 【o ，】：( 4 ) = “( 4 ) + 鸬( 彳) w 歹 不是自对偶的 第3 章自对偶测度 事实上，设一和鸬为自对偶的，即满足以( 么) + 鸬( 么) = l 及鸬( 么) + 儿( 4 。) = l ， 则有( 么) + ( 么。) = ( “( 彳) + 鸬( 彳) ) + ( 一( 彳。) + 鸬( 么。) ) = 2 1 3 3 基于自对偶测度的可测函数 3 3 1 基于自对偶测度的可测函数及可测函数列的收敛 设自对偶测度空间( 彳，芦，) ，豸为( 棚，) 上的b o r e l 域 定义1 3 称一个实值函数厂：x 专( 唧，o o ) 为可测的，当且仅当对任意的b o r c l 集 b 豸有 厂1 ( b ) = x l 厂( z ) b 厂 所有可测函数的全体记为f ，所有非负可测函数的全体记为f + 下面介绍可测函数列收敛的几个概念 定义1 4 设自对偶测度空间( x ，) 上么厂，厂f 且 z ) c f 称 z ) 在彳上几乎 处处( 或伪几乎处处) 收敛于，即 正) 收敛于厂口e ，如果存在ec 4 使得 ( e ) 嚣o 【或( 彳一e ) = ( 彳) 】 且在彳一层上 z 收敛于厂 几乎处处收敛和伪几乎处处收敛分别记为正与厂和z 码厂 定义1 5 设自对偶测度空间( x ，厂，) 上彳芦，厂f 且 z ) cf 称 z ) 在4 上依自 对偶测度( 或伪依自对偶测度) 收敛于厂，如果对任意给定的s 0 ，有 溉( z ( x ) 一厂( x ) i s n 么) = o 【或煅( z ( x ) 一厂( z ) l o ，有 溉( z ( x ) 一厂( 工) i 占 n 彳) = o 因为是下自连续的， 煅( z ( x ) 一厂( x ) i 占 n 么) = 熙( 彳一六( 工) 一( 石) i g n 彳) = 熙( 彳一五( 石) 一( 石) i g ) v ( 彳)( 下自连续性) 故在彳上z 卫：q 厂 注9 定理1 1 一1 3 的成立不依赖于的连续性 下面给出经典测度空间上的e g o m 行定理在自对偶测度空间上的推广 定理1 4 设自对偶测度空间( x ，厂，) 上，彳厂，厂f ， z cf 如果 z ) 在彳上处 处收敛于厂，则在彳上有些专及五屿 证明不失一般性，假设彳= z ，且我们知是有限的 如果记霹= o 工陋( 石) 一( j ) i o ，利用的上连续性和有限性，了以t 使得( 夏) 三对于氇，j ，使得 ( 夏u 虿) 差专= 一般地，j ，使得( 臼域 喜；= ( 一嘉) 占 占 一般地，j ，使得lu 域l 吉，如果 x n e ，则由x 唆有k ( x ) 一厂( 石) l 万，当f 气因此证明了z 与厂同样 扣i- o 可证z 屿厂 推论l 设自对偶测度空间( x ，厂，) 上，彳尸，且为零可加的如果在彳上 五旦。厂，则在彳上有z 旦与厂及z 屿 注l o 与模糊测度空间的e 9 0 f r 定理相比，这里去掉了( x ) o 和工b ，存在( z ) 使得当刀( z ) 有 k ( x ) 一厂( 石) i f 记 4 = 纠( x ) 七 n b ， 则 因为 4 u 4 = b z ( x ) 一厂( x ) i s ) n 4 3 以， 我们有 曰3 石8 厶( x ) 一厂( x ) l g n 4 n b 34 n 雪= 4 b 因此 峄( ( x ) 一厂( x ) i s n 彳n b ) = ( b ) 故 ( 么) 2 1 i ：i l ( 删z ( x ) 一厂( x ) l s ) n 么) l 印z ( x ) 一厂( x ) i o ，存在满足( e ) 艿的 e 丁和，使得当x 彳一层和，l 时有 i z ( x ) 一厂( x ) i 占 所以对任意的力有 ( ( x ) 一厂( x ) l s n 彳) ( e n 彳) ( 层) o n 4 ) = o ； ( 3 ) ( c ) c d = c ( 彳) ； ( 4 ) 若厂g ，则( c ) ( c ) ； ( 5 ) ( c ) = ( c ) p 以d ，其中毛为彳的特征函数； ( 6 ) ( c ) c = c ( c ) ； ( 7 ) ( c ) ( 厂+ c 矽= ( c ) p + c ； ( 8 ) ( c ) l 乙d = ( 彳) 注1 4 从上述性质可以看出，基于自对偶测度的c h o q u 既积分具有一些与 l e b e s g u e 积分类似的性质，但一般地，( c ) ( 厂+ g p ( c ) + ( c ) 鲥，即基于 “的c h c h q u e t 积分也是非线性的 4 2c h o q u e t 积分序列的收敛定理 定理1 9 设自对偶测度空间( x ，厂，) 上 以 cf ，厂f ( 1 ) 若五个厂口巴，则( c ) 以d 个( c ) f ； ( 2 ) 若zj ，厂口巴，且对某些满足( c ) p 的g f 有石g 口七，则 ( c ) 儿咖、l ( c ) p 引理l 设 以 ，为( x ，厂) 上的自对偶测度，厂f ( 1 ) 若以个，则( c ) p 以个( c ) p ； ( 2 ) 若以上，且对某些研1 有( c ) j 心 ，则 第4 章基于自对偶测度的c l l o q u e t 积分 ， ( c ) p 以上( c ) 胁 定理2 0 设自对偶测度空间( x ，) 上 z cf ，厂f ， 以 为( x ，厂，) 上的自对 偶测度若正个，以个，则 ( c ) 肛饥个( c ) 肛 定理2 l 设自对偶测度空间( x ，) 上 z cf ，厂f ， 以 为( x ，厂，) 上的自对 偶测度，且对某些刀1 有( c ) 丘地 若正上厂口丘，以上，则 ( c ) 肛j 以上( c ) p 下面给出c 平均收敛的概念 定义1 8 设自对偶测度空间( 工，厂，) 上 五 cf ，f 若 ( c ) j l z 一州础一o ( 万一o o ) 则称z 山，简记为一( c m ) 下面定理说明c 平均收敛与依自对偶测度收敛的关系 定理2 2 设自对偶测度空间( z ，芦，) 上 z cf ，厂f 若z 专( c 一朋) ，则 l 。山 。 定理2 3 设自对偶测度空间( x ，尹，) 上 z cf ，厂f 若存在g f 满足 ( c ) 弦 ，使得对每一个刀l 有i z 一卅g ，则 与厂j z 专厂( c m ) 4 3c h o q u e t 积分的共单调可加性 虽然基于自对偶测度的咖e t 积分是非线性的，却具有一种讯可加性”，即共 单调可加性，但是有一个限制条件，那就是在局部紧的h a 吣d o m 空间上 设x 为局部紧h a u s d o r f r 空间，够为b o r c l 集所组成的类，k 为具有紧支集的连续函 数所组成的类，k + 为具有紧支集的连续非负函数所组成的类，c 为紧集所组成的类，及 0 为开集所组成的类 厶+ ( ) 表示非负c h o q u e t 可积函数所组成的类，即 2 1 河北大学理学硕士学位论文 厶+ ( ) 垒 厂j 厂膨+ ，( c ) p o 对每一个占 o ，存在一个连续 函数g k + 使得 河北大学理学硕士学位论文 | ( c ) 胪一( c ) p i o 和厂厶+ “) ， 存在g k + 使得 | ( c ) 伊一( c ) p i o 及厂厶+ ( ) ，则存在m 豸和实数q o = 1 ，2 ，刀) 使得 mc 鸩c 鸠，q 口2 q o 且l ( c ) p 一窆口，( m ) l 占 1七= ii 利用引理2 可知存在g k + 使得 i ( c ) 灿一喜州m ) 卜 因此有旧肛一( c ) 肛l o 和厂厶+ ( ) ， 存在g k + 使得 i ( c ) 肛一( c ) p i g 证明类似定理2 7 注1 5 这个定理说明了可测函数厂关于外正规自对偶测度的c h o q u e t 积分可以用 具有紧支集的连续函数的c h o q u e t 积分来近似 推论3 设为( x ，缈) 上的一个外正规自对偶测度对每一个m 豸，使得 ( m ) o ，存在厂k + 使得 p ( m ) 一( c ) p i 占 证明由定理2 8 可得 第5 章结论与展望 第5 章结论与展望 模糊测度和c l l o q u e t 积分在非可加测度与积分理论的研究和实际中都有广泛的应用 本文基于自对偶和模糊测度的概念提出了自对偶测度的定义以及相应的c h o q u e t 积分， 把经典测度论和非可加理论推广到了比其更广的自对偶测度空间上，主要结论如下： 1 提出了自对偶测度的定义并讨论了它的性质，引入基于自对偶测度的可测函数 的定义，讨论了可测函数列的收敛定理，把经典测度论中可测函数列收敛的重 要定理推广到了自对偶测度空间上； 2 给出了基于自对偶测度的c h o q u 烈积分的定义，以及c l l o q u e t 积分序列的收敛定 理，说明了几种收敛之间的关系； 3 给出并证明了局部紧h a u s d o m 空间上基于自对偶测度的c h o q u e t 积分的共单调 可加性 然而基于自对偶测度的c h o q u d 积分无论是在理论上还是在应用上尚有许多工作需 要进行，如： 1 自对偶测度的扩张问题： 2 自对偶测度与其他测度之间的关系； 3 一般可测函数基于自对偶测度的c h o q u e t 积分性质的深入探讨； 4 基于自对偶测度的c h o q u e t 积分在实际问题中的应用等 河北大学理学硕士学位论文 参考文献 【l 】哈明虎，李颜，李嘉等s i 培o 测度空间上学习理论的关键定理中国科学e 辑，信息科学2 0 0 6 3 6 ( 4 ) ：3 9 8 4 1 0 【2 】g c h o q u e t n e 吖o f c 掣l c i t i 髂a 皿h t i t u tf o u r i 1 9 5 3 - 1 9 5 4 ，5 ：1 3 l - 2 9 5 【3 】 m s u g 曲o n 巧o f 缸固ri n 倒s 锄di t sa p p l i c 撕咄d 0 c t o f a it h e s i s ，i 0 k y oh 6 t i 舵o f t e d 珊湘g y 1 9 7 4 【4 】z y w 孤g ，g j 1 ( 1 证f 吆z ) rm 翩s u 1 1 1 哆n e w 眦：p l 伽p 麟s ，1 9 9 2 【5 】 c x w i l m h h a c 傩l p l e t i o f af i l 2 巧涨粥u 托j 呦m a m ，1 9 9 3 ，( 1 ) ：2 9 5 - 3 0 2 【6 】d d e 衄e b e r g n 一a d d i 咖em e a g i 玳锄dm e g r a l 对u w 盯a c a d e m i cp u 蛳s h 懿，d 伽k 优蝇1 9 9 4 【7 】哈明虎，吴从新模糊测度与模糊积分理论北京：科学出版社，1 9 9 8 【8 】 m r a d k 0 f t u 盈秒m 刚潞蛆di n t e g m l s f u z 巧s e t s 孤ds y s t 锄s ，2 0 0 5 ，1 5 6 ( 3 ) ：3 6 5 - 3 7 0 【9 】a p d e m p s t e r u p p c r 柚dl o w 盯珥蝴i l i t i 髂i n d u c e db ym u l t i v a l u e dm a p p i i l g a m l a l so fm a t l l e - m a t i c a ls t 撕s t i c s ，i9 6 7 ，3 8 ：3