（应用数学专业论文）双时滞van+der+pol方程离散格式的neimarksacker分支.pdf

摘要 若微分动力系统状态的发展演化不仅依赖于系统当前的状态，同时还依赖于系统 在以前的某些时刻甚至某些时问区段的状态，则称此类动力系统为时滞微分动力系统， 描写此类动力系统的微分方程( 组) 称为时滞微分方程( 组) 由于时滞微分动力系统 在描述客观事物时比常微分动力系统更深刻、更丰富，因而对时滞微分动力系统开展研 究有深刻的理论意义和实际意义 从定性分析的角度考虑，由于时滞微分方程的初值条件是初始函数而非简单的初 值，因而时滞微分动力系统与常微分动力系统相比可能出现更为复杂的动力学行为此 外，由于时滞微分方程的复杂性，对其很难求出解析解，因而对其开展数值分析研究是 十分必要的 对于依赖参数的非线性动力系统，当其参数历经某一临界值时，动力系统的解集的 结构将发生显著的变化，这就是动力系统的分支理论所要研究的问题在众多分支现象 中，一种备受人们关注的分支现象是h o p f 分支h o p f 6 j 支刻画的是系统的解集从某一平 衡态向周期状态的演化从动力系统的数值分析的角度来看，我们是有理由要求求解 动力系统的数值方法保持动力系统的动力学行为特性的比如如果原动力系统在参数 值卢= 矿处产生h o p f j - 支，我们自然希望求解该系统的数值计算方法在参数= 矿附近 产t ：i = ：n e i m a r k - s a c k e r 分支( 即第二类h o p f ：分支) 这一研究领域是近年来备受数值分析的 相关学者关注的 本文考虑了具有双时滞的v a nd e rp o l 方程 亩( 。) 。一7 扣。一n ) ) + ”( 芒一力)( 1 ) i 口( t ) = - x ( t t 1 ) 系统( 1 ) 在平衡点e o = ( o ，o ) 处的线性化系统为 2 0 ) 2 8 。扛一n ) + y ( t - ”2 )( 2 ) l9 ( ) = 一x ( t q ) 其中 n = ，( 0 ) t 1 ，f 2 的变化直接影响时滞微分系统( 1 ) 解集的结构，而且n ， r 2 所处地位相当文嗍中 固定n 选取n 为分支参数，得到如下结论 定理存在n = 呻使得 u 2 = a w s i n t l + c o s ( r l + 它) u a o ) c o s n u s i n ( v l + n ) u = 0 成立，且 r e i 筹 。：咖。 n = 背 系统( 1 ) 在e o = ( o ，o ) 点，当n 穿越呻时有h o p 盼支产生 对方程( 1 ) 采用e u l e r 方法求解，利用线性插值近似z 一n ) 和l ( t 一力) 可以得到系 统( 1 ) 的离散格式为 j 叭1 2z n 一“朋1 m + 1 + ( i - - 6 1 ) 址m - ) + h ( 6 2 y 州十( 1 6 2 ) - m 2 ( 3 ) 【y n + i = y n h ( 6 1 z l + 1 + ( 1 5 1 ) x n m 1 ) 文中通过对时滞系统和离散格式二者特征方程矩阵形式的直接对比分析获得了离 散格式( 3 ) 的特征根结构，这使得我们可以证明如下定理 定理 当步长 充分小时，双时滞、，a nd e r p o l 方程( 1 ) 的向前e u l e r 离散格式( 3 ) 在呻= 世+ o ( ) 处具有i m a r k s a d e r 分支，其中柙为方程( 1 ) 的h 0 p f 分支值 此定理是本文的主要结论，它表明解具有双时滞的v a l ld e rp o l 方程的向前e u l e r 离 散格式在世= 砷+ o ( ) 处产生n e i m a r k s a c k e r 分支，亦即当以1 为参数，向前e u l e r 离散 格式保持双时滞v a nd e rp o l 方程的h o p f ：s 支行为 关键词：时滞微分方程；v a nd e rp 0 1 方程：e u l e r 方法# h o p f 分支；n e r m a r k - s a c k e r 分支 1 1 a b s t r a c t i ft h es o l u t i o no fad i f f e r e n t i a ld y n a m i c a ls y s t e md e p e n d sn o to n l yt h ec u r r e n ts t a t e ，b u t a l s ot h es t a t e ss o m et i m e so rs o m ep e r i o da g o ，t h e nw ec a l li tt ob et h ed e l a yd i f f e r e n t i a l d y n a m i c a ls y s t e m ，w h i c hi sd e s c r i b e db yd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s b e c a u s eo fd e l a y d i f f e r e n t i a ld y n a m i c a ls y s t e mi sm o r ec o m p l i c a t e dt h a no r d i n a r yd i f f e r e n t i a ld y n a m i c a ls y s t e m ， t h e r ea r et h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a b l em e a n i n g sf o rr e s e a r c h e so nd e l a yd i f f e r e n t i a ld y n a m i c a l f o rt h ea s p e c to fq u a l i t a t i v ea n a l y s i s ，c o m p l i c a t e dd y n a m i c a lb e h a v i o rw i l lo c c u ri nd e l a y d y n a m i c a ls y s t e mb e c a u s eo ft h ei n i t i a lc o n d i t i o ni sn o tai n i t i a lv a l u eb u taf u n c t i o n b e - s i d e s ，t h e r ea r el o t so fd i f f i c u l t i e st oo b t a i nt h ea n a l y t i cs o l u t i o ns i n c et h ec o m p l e x i t yo fd e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s oi ti sn e c e s s a r yt oc a r r yo u tan u m e r i c a lr e s e a r c h i nt h ep a r a m e t e rd e p e n d e n tn o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m ，w h e nt h ep a r a m e t e r sv a r i e d ， c h a n g e s m a y b e o c c u r e d i n t h e q u a l i t a t i v es t r u c t u r e o f t h es o l u t i o n f o rc e r t a i n p a r a m e t e r v a l u e s t h i si st h ep r i m a r yq u e s t i o nf o rb i f u r c a t i o nt h e o r yo nd y n a m i c a ls y s t e m s h o p fb i f u r c a t i o n i sak i n do fb i f u r c a t i o np h e n o m e n o n sb ec a r e ds p e c i a l l y , w h i c hd e s c r i b e so ft h es o l u t i o no f as y s t e mf r o me q u i l i b r i u mt op e r i o d i c f o rt h ea s p e c to fn u m e r i c a la n a l y s i sf o rd y n a m i c a l s y s t e m ，w eh a v es u f f i c i e n tr e a s o n st or e q u i r et h en u m e r i c a lm e t h o dp r e s e r v et h ed y n a m i c a l b e h a v i o r so ft h eo r i g i n a ld y n a m i c a ls y s t e m s f o re x a m p l e ，i ft h e r ew i l lb eah o p fb i f u r c a t i o n o c c u r e da tp a r a m e t e rv a l u ep = “+ f o rad y n a m i c a ls y s t e m ，w en a t u r a l l ye x p e c tt h a tt h e r e w i l lb eah o p fb i f u r c a t i o no c c u rn e a r “= 旷i nt h ec o r r e s p o n d i n gn u m e r i c a lm e t h o d t h i sp a p e rc o n s i d e r st h ev a nd e rp o le q u a t i o nw i t ht w od e l a y s 三：糍绯呻) t h el i n e a r i z e ds y s t e mo f ( 1 ) a t 岛= ( 0 ，0 ) i s 。( t ) ：= 一- 。a z 。( t 一- n n ，) + g 。一他) c 。， a = ，( 0 ) i i i t h es o l u t i o ns t r u c t u r eo fd e l a yd i f f e r e n t i a ls y s t e m ( 1 ) w i l lc h a n g e sw h e nr la n dn c h a n g e d t h e r e f o r e ，r la n d 仡a r es a m ei m p o r t a n tf o re q u a t i o n ( 5 ) i nt h ep a p e r 删，i t b yf i x i n gr 2a n dt a k i n gt 1a 8ab i f u r c a t i o np a r a r m e t e r ，o b t a i nt h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n t h e o r e mt h e r ee x i s t s7 12 卵s u c ht h a te q u a t i o n s u 2 = 叫s i n 7 1 w + c 0 s ( 7 1 + 您) u a o j c o s 7 1 u _ ，一s i n ( r 1 + 力) u = 0 r 刮7 1 警却 t h e nl o ts y s t e m 以j ，口h o p f - t y p eb i f u r c a t i o no c c u r 8a te o = ( o ，o ) 0 , 8f 1p a s s e st h r o u g h 柙 t os o l v et h es y s t e m ( 1 ) b yu s i n go fe u l e rm e t h o d ，w h e r ew eu s el i n e a ri n t e r p o l a t i o nt o a p p r o x i m a t ex ( t 一丁1 ) a n dy ( t 一亿) ，w eo b t a i nt h ed i s c r e t i z a t i o no fs y s t e m ( 1 ) i x n + l 2 。n 一“，( 6 1 z n m ，+ 1 + ( 1 6 1 ) z n m t ) + “( 5 2 y n m 。+ 1 + ( 1 - 5 2 ) y n m ：) ( 3 ) i + l = 聃。一h ( 5 1 x n m 1 + 1 + ( 1 5 1 ) x n m 1 ) i nt h i sp a p e r ，b yt h ec o m p a r i s o na n dt h ea n a l y s i so ft h em a t r i xf o r mb e t w e e nd e l a y d i f f e r e n t i a ls y s t e ma n dd i s c r e t i z a t i o nd i r e c t l y ，w ec a no b t a i nt h ec h a r a c t e r i s t i cs t r u c t u r eo f d i s c r e t i z a t i o n ( 6 ) w ep r o v et h a t t h e o r e mt h e r ew i l lb e 。n e i m a r k - s a c k e rb i f u r c a t i o no c c u r sa tp a r a m e t e rv a l u e 呻= 代+ o ( h 、 t h ee u l e rd i s c r e t i z a t i o n1 6 ) o lt h ey a hd e rp o le q u a t i o ni 1 ) w i t ht w od e l a y s t h es t e p s i z ehs u f f i c i e n t l ys m a l l , w h e r e 哦i st h eh 0 p ib i f u r c a t i o np a r a m e t e rv a l u eo fe q u a t i o n 1 1 ) t h i st h e o r e mi st h em a i nc o n c l u s i o no ft h i sp a p e r ，w h i c hs h o wt h a t ，f o rt h ee u l e rd i s c r e t i z a t i o no fv a i ld e rp o le q u a t i o nw i t ht w od e l a y s lt h e r ew i l lb ean e i m a r k - s a c k e rb i f u r c a t i o n o c c u r sa tt h ep a r a m e t e rv a l u e 寸= 砷+ o ( ) ，p r o v i d e dt h a tt h ev a nd e rp o le q u a t i o nl l n - d e r g o e sah o p fb i f u r c a t i o na tp a r a m e t e rp a r a m e t e rv a l u e7 13 钾，w h i c hm e a 2 1t h a tt h ee u l e r d i s c r e t i z a t i o np r e s e r v et h eh o p fb i f u r c a t i o no ft h ev a nd e rp o le q u a t i o nw i t ht w od e l a y sw h e n k e yw o r d s ；d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ：v a nd e rp o le q u a t i o me u l e rm e t h o d ；h o p f b i f u r c a t i o n ；n e r m a r k - s a c k e rb i f u r c a t i o n i v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范 大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名五型坦指导教师签名：盘至壅骛 日 期：k , g z 砬2 ： ：! e t期：殳! 。竺j 学位论文作者毕业后去向； 工作单位： 通讯地址： 电话 邮编 1 1课题背景与文献综述 第一章绪论 系统的演化趋势不仅依赖于系统当前的状态，也依赖于系统过去某段时间或若干 时刻的状态，称之为时滞动力系统描写此类动力系统的微分方程( 组) 称为时滞微分 方程( 组) 由于时滞微分动力系统在描述客观事物时比常微动力系统更深刻、更丰富， 因而对时滞微分动力系统开展研究有深刻的理论意义和实际意义 二十世纪以来，在人类自然科学与社会科学的许多学科中提出了大量的时滞问题 在自然科学方面，如电路信号系统l l ，习、核物理、光学【3 ，4 】、电动力学【5 】、神经网络 6 ，7 ，8 j 、 生态系统1 9 ，l o 】、人口动力学1 1 1 l 目、遗传问题、传染病学1 9 ，l q 、动物与植物的循环系统【10 】等 学科领域；在工程领域尤其是自动控制系统【l 、机床切具【1 4 , 1 谚等方面有着广泛的应用 在社会科学方面，时滞微分方程主要用于描述经济现象，如商业销售问题【1 q 、资本主义 经济周期性危机1 1 7 l 、运输调度1 1 8 l 等问题但是，对时滞微分系统动力学行为的研究工作 是在二十世纪五十年代才开始的【1 9 l ，并逐渐得到广大学者的普遍关注 在微分动力系统的理论研究中，关于常微分动力系统的研究已经积累了十分丰富 的理论成果m ，2 l ，娩2 3 时滞微分动力系统与之相比，因为它有初值函数而不是简单的 初值，系统的动力学行为变得尤为复杂，在很多方面与常微分动力系统有很大不同如 自治的一阶时滞微分方程可以有周期或混沌解阻硼，而这些现象只能发生在高阶的常微 分方程中嗍另外，大部分时滞微分方程都很难求出其解析解，因而，设计有效的时滞 微分方程数值解法就显得尤为重要，受到越来越多学者的广泛关注 分支理论主要研究微分动力系统的奇异性质和由此引起的动力行为的突变现象对 于依赖于参数的动力系统当参数变动或经过某些临界值时，系统解集的结构发生了突 变分支现象广泛存在于自然界中。对它的研究有着重要的理论意义和实际意义关于 连续和离散的向量场的分支问题已经有了比较完善的理论成果 2 7 ，2 8 戤她3 1 1 在分支问 题的研究中，h o p f 哆j 支是一种常见而且重要的分支现象，所谓一个系统产生h o p f 分支， 即当系统的奇点的稳定性发生翻转，从而在奇点附近产生闭轨现象关于时滞微分方程 的分支理论直到二十世纪七十年代才倍受数学家们的关注恤，3 3 1 ，而且分析时滞微分方 程h o p f 分支问题的思想来源于常微分方程的分支理论删其主要的困难在于分析其在 奇点处线性化方程的特征根分布在通常情况下，时滞微分方程的特征方程是超越方 程，其根的分布问题较早的受到关注并有一些初等结果阔，为时滞微分方程h o p f 分支问 题的研究奠定了理论基础魏俊杰等人i 砌利用r o u c h e 定理给出了指数多项式零点分布 理论，促进了时滞微分方程h o p f 哆j 支理论的研究f a r i a 等人即，3 8 】将规范型理论推广到 时滞微分方程，并将之应用于时滞微分方程h o p f 分支上，并给出其规范型的计算方法 几十年来，中外学者对一些具有实际背景的时滞微分方程的分支问题做了大量的 工作比如文1 3 9 ，4 0 t4 l ，捌讨论了具时滞神经网络模型的h o p f j r ) 支，文，删讨论了具时滞 l 的捕食一被捕食模型的1 1 0 p f 分支问题等 时滞微分方程的数值处理是近二十年来众多学者十分关注的课题，其基本沿用了 常微分方程的数值方法h 5 t 伸l ，对时滞项利用插值等方法处理，研究内容大多集中在数 值方法的稳定性上f 4 7 ，a 尚碱5 0 ，5 1 ，5 j 近几年，国内外学者们开始重视研究数值离散化对 原时滞系统动力学行为的保持性( 继承性) 问题，i n th o u r 和l n b i e h 5 3 1 最早研究 了r u n g s - k u t t a 方法对周期解的逼近问题，证明了当步长充分小时，数值解也有不变曲线，并且 该曲线以方法阶p 逼近于原方程的周期解而对于具有h o p f 爱) 支的时滞微分方程，数值 方法所对应的离散动力系统是否有n e i m a r k - s a c k e r 分支的问题也得到了学者们的广泛关 注已知一阶时滞微分方程 口( t ) = 一a y ( t 1 ) f 1 一y 2 ( t ) l ，y r 当参数a = 时，系统的零点经历h 0 p 盼支k o t o 刈利用中心流形约化和规范型理论证 明e l l l ”离散格式在参数a m = 2 咖( 砸景丽) 的n e i m a r k _ s a d 耐分支最近，英国的曼彻斯 特计算数学研究中心的f o r d 和w u 护s ，5 螗瑚给出了研究该问题的一种薪方法，b 口将求解 时滞微分方程的数值方法表为映射，利用映射的分支理论讨论数值h o p f 分支以及分支的 进一步信息文吲利用0 方法研究了一阶时滞微分方程 v ( t ) = - , x v ( t 1 ) f l + f ( t ) j ，f r 的数值h o p l 支存在性问题文吲利用e u l e r 方法研究了一阶时滞微分方程 口( t ) = f ( v ，v ( t 一1 ) ，入) ，y r 的数值h o p f , 子支以及分支方向问题张春蕊在文删中对f o r d 和w 1 1 l f 等人的工作做出了推 广，并且讨论了一些具体的时滞微分方程模型的数值h o p f 分支问题，其中也含有二维的 例子，但其所用技巧与一维时相同，无法将其结果推广至高维情形徐英祥等人鳓研究 t e u l e r 方法对时滞微分方程组h 0 p f 分支的保持性问题，推广了已有文献中的结果 实际应用中很多现象是由含有多个时滞的微分方程所描述，当时滞动力系统含有多 个时滞的时候，系统的动力学行为就会变得更为复杂，其理论分析的难度也随之增加 由于工程应用等实际需要，对多时滞微分动力系统的研究是非常必要的，具有广泛的理 论意义和现实意义近几年来多时滞微分动力系统得到了国内外学者们的高度重视，很 多学者讨论了具有双时滞的微分方程模型的h o p f j o 支问题”j ，而对于双时滞微分动 力系统离散化之后对原系统h o p f 分支行为保持性的问题，仅见于文吲中利用e u l e r 方法 讨论了双时滞神经网络模型 ， i 士( t ) = 一p l z ( t ) + a f ( v ( t 一7 ) ) iv ( t ) = - v a v ( t ) + 6 g 国0 一n ) ) 2 在假设m = = 1 时，取f = n + 7 2 为分支参数的数值h o p 盼支问题，文中方法同样不能 用于一般的时滞微分方程组数值h o p f 分支问题的讨论本文推广了文p 9 ，6 9 】中的方法用 以讨论了双时滞v 蛆d e rp o l 力 程 ， i 童( t ) = 一，( z 0 一n ) ) + 暑，( t 一 2 ) i 口( t ) ；- - z ( t n ) e u l e r 离散格式的n e i m a r k - s a c k e r 分支存在性，该方法可以推广到多时滞和高维情形 1 2本文结构与主要工作 本文共分四章 第一章：绪论主要阐述了课题研究背景和发展情况 第二章：预备知识 第1 节：介绍了时滞微分方程的基本理论； 第2 节：介绍了时滞微分方程的h o p 翰 支理论； 第3 节：介绍了离散动力系统的n e i m a r k - s a c k e r 分支理论； 第4 节：介绍了时滞微分方程的数值处理方法 第三章：本文的主要工作 第1 节：简要介绍v a nd e rp o l 方程的研究情况以及连续情况下双时滞v md e rp o l 方程 韵h o p f 分支； 第2 节：给出了求解双时滞v r nd e rp o l 方程的e u l e r 方法并得到其特征方程； 第3 节：将双时滞v d e rp o l ，f 程改写成矩阵形式，得到其特征方程，对e u l e r 离散格 式的特征方程做变换，通过直接对比二者特征方程矩阵形式获得了离散格式的特征根 结构，证明了双时滞v d e rp o l 方程e u l e r 离散格式的n e i m a r k - s a c k e r 分支的存在性 第四章：本文结论求锵具有双时滞的v a nd e rp o l 方程的向前卧，l e r 离散格式在砷= 柙+ 0 ( ，1 ) 处产生n e i m a r k - s a c 妇分支，亦即当以n 为参数，向前e u l e r 离散格式保持双时 滞md e rp o l 方程的h o p f 分 支行为 3 第二章预备知识 2 1时滞微分方程的基本理论 2 1 1 具有有界时滞的微分方程 许多现实问题中出现的微分方程往往带有常时滞量，如果不是常数也至少是有界 的为此，考虑如下时滞微分系统 e ( t ) = f ( t ，x c 9 1 _ c t ) ) ，z ( 卯( t ) ) ，z ( 鼽( t ) ) )( 2 1 ) 其中7 7 表示关于t 的右导数，z 和，是n 维向量值函数，g j ( t t ，t o t ，j = 1 ，2 ，m 9 1 ( t ) = t 有时我们用t 一，】- j c t ) 代替g j c t ) ，则( 2 1 ) 可以表示为 ( t ) = f ( t ，x ( o ，0 一n ) ，z ( t 一力) ，x ( t 一仇) ) 丁1 ( t ) ，0 粥为时滞量如果r i ，与t 无关，称( 2 1 ) 为常时滞微分方程：当m = l 时 称( 2 1 ) 为单时滞微分方程，当m l 时称( 2 1 ) 为多时滞微分方程如果右端函数不显含 时间t 。则称( 2 1 ) 为自治的 方程( 2 1 ) 的初始条件取为 z ( t ) = o c t ) ，t o t t t o( 2 2 ) 假定函数，定义于，y , n 一时，其中开集d ，开集j 代表半开半闭e f 司 t o ，p ) 或开区 间( d ，p ) ，口 2 0 卢存在常数下t o ，r = m a x j 勺使得下g j ( t ) t ，t o t t o( 2 1 3 ) iz ( t ) = 毋( t ) ，t o f t s t o 、 e u l e r 方法 用e l l l e r 方法求解方程( 2 1 3 ) ，不妨设n r 2 0 ，记j i 一鬲暑蕊，0 盈 1 ，帆z + ， ；1 ，2 ，m ，”1 m 2 。，利用插值近似$ ( t n ) ( t r 2 ) ，$ ( t 一) 可以得到系统( 2 1 3 ) 的向前e u k 离散格式为 撕1 = + _ i l ，( k ，毋1 一m l ，君2 一，1 2 ，j 一)( 2 1 4 ) 其中j f ，l 代表$ 一以) ，i = 1 ，2 ，m 的插值近似由于向前e l l i e r 法具有一阶精度， 故插值程序一可以取作线性插值，即曙一m = 最t ，l t + 1 + ( 1 一面) f ，i = 7 1 ，2 ，m 此时方法( 2 1 4 ) 可以改写为 件l = z n + h ，( k ，筇n ，6 1 x n 一，1 1 + l - i - ( 1 一以) z n m l ，6 m 舀l m m + l + ( 1 一占m ) z 。一m m ) ( 2 1 5 ) r u n g e - k u t t a 方法 一个求解常微分方程士= f ( t ，。) 的s 级r u n g e - k u t t a 方法可以表示为 l 磁= + h o k j f ( t n + c j h ，粥) 9 1 j l + l = + h b d ( t + q ，群) 、= 1 将上述r u n g e - k u t t a 方法用于时滞微分方程( 2 1 3 ) 段丁1 忍 0 ， 记_ i l = 示，0 盈 l ，盹z + ，t = 1 ，2 ，m i m l r n 2 o 使系统( 3 1 ) 的其它特征 值a ( n ) i 自i 足r e a ( n ) o ； ( c 3 ) 彳( 冲) 0 3 2求解双时滞v a nd e rp o l 方程的e u l e r 方法 用e u l e r 方法求解方程( 3 1 ) 不妨设n 0 ，记 = 南：，0 最 o 使得对所有的( 砖，h ) ( 霄，o ) 有 fa = 叩( n ，h ) 4 - 讪( n ，h ) + i 2 k r n l l t d e t d ( x ，n ，h ) = o 号 0 1 【r e x = w 0 o ，满足m ( 炉h ， ) ， r l ， ) = o ，由以( 冲，0 ) = a ( 冲) 0 并利用隐函数定理可知当 步长 充分小时，存在一个关于h 的连续可微函数砷满足奇( o ) = 霄，寸= 世+ d ( ) ，使 得”( 寸，助= 0 ，u ( 砰，h ) 0 ，矗( 寸，功0 令 。， r l 。，h 。 盐 j d e t d ( x ，7 1 ，h ) = o 的零点构成的序列，满足h 。， 。) ( 柙，o ) ， r e k l 一仉0 i m a 。m 1 7 r ，k i 一0 ( ”l o o ) 下证k l 有界 将d e t d ( m 。，n 。，九m t ) = o 展开有 ( ) 2 + 只( e 抛，e - ) + 局( e 以叶砌，e 一一慨) = 。 ( 3 1 8 ) 其中p 1 ，局分别是关于e h + 1 楠，e 一1 q + m 如的一次和二次多项式由r e k 。 一m h = 杀瓦 0 以，如 1 ，n + 您 口可知 i e 咖+ i e 概 ，e - - a r + l 叶 即当k 。 1 时 i h i 丽毒丽 。 由a 。的假设，有0 h 姒。，k 。口，而9 ( z ) 的所有根均具有$ 一2 女丽，膏= 4 - 1 ，士2 ，的 形式，由于g ( 引在区域r e z 一m0 i m z 霄的边界上无零点，则存在 o 使i g ( 2 ) i 毛因此l k 。i 譬，即a 。，有界可见序列 k ，n 。，k 。) 为有界序列，故存在收敛的子序 列h d 一天，i 1 。，j 一矗，h 。a 一0 ，并且i = 讥b ，而= 霄从而有当j 充分大时a 。玎= 町m 仉l ，i ，t i l j ) + 妇( n m l j ，l m l ，) 引理3 3 5 a ；是d e t d ( a ， r l ，您，h ) ；o 的根的充分必要条件是一是方程( 3 1 2 ) 的根 证明 注意到 = 鼎i ，0 盂 o 使系统( 4 ，1 ) 的其它特征 值a h ) 满足i t 以( n ) o ； ( c 3 ) 彳( ) 0 用e u l e r 方法求解方程( 41 ) 旧删，不妨设n 0 ，记 = 舞蠹，0 盂 1 ，佻z + ，i = 1 ，2 ， 7 5 l ( 4 6 ) i 鼽+ l = 铷一 ( 占l 一m 1 + l + ( 1 一占1 ) l m 1 ) 易得( 4 6 ) 的线性化系统的特征方程为 d e t ( 0 1 ) j h 吼( # 一1 ) + 1 l a 名一m 1 一 i 如旺一1 ) + 1 1 口彳一脚) = 0 ( 4 7 ) 引入辅助函数 d ( a ，7 1 ，吃，1 ) = g ( 危) 一慨a 的( m ) + 1 l 血一概+ 1 慨一【南a h g ( a h ) + 1 b e 一概+ 1 编( 4 8 ) 其中a = i n z 本文通过直接对比d ( ，n ，它， ) 与d ( a ，q ，r 2 ) 的矩阵形式获取了d e t d ( a ，n ，功， ) 的根 结构，进而获得了离散格式( 4 6 ) 的特征根结构，这使德我们可以证明如下定理 2 0 定理4 2 当步长h 充分小时，双时滞v 龃d e r p o l 方程( 4 1 ) 的向前e u l e r 离散格式( 4 6 ) 在 砷= 砰+ o ( ) 处产生n e i m a r k - s a c k e r 分支其中碍为方程( 4 1 ) 的h ( p f 分支值 定理4 2 是本文的主要结论，它表明解具有双时滞的v 姐d e rp o l 方程的向前e u l e r 离 散格式在砷= 冲+ d ( ) 处产生n e i m a r k - s a c k e r 分支，亦即当以下1 为参数，向前e u l e r 方法 离散格式保持双时f f r v a nd e rp 0 l 方程的h o p f 圩支行为 本文的主要创新点有两个： 一本文的证明方法可以方便的应用于高维数的时滞微分方程( 组) ； 二本文的证明方法可以处理多时滞微分方程数值离散格式的n e i m a r k - s a c k e r 分支 问题， 参考文献 1 1l uhta n dh ezy c h a o t i cb e h a v i o ri nf i r s t - o r d e ra u t o n o m o u sc o n t i n u o u st i m es y s t e m sw i t h d e l a y j 1 i e e et r a n s a c t i o no i lc i r c u i t s s y s t e m s - i ，1 9 9 6 ，4 3 ( 8 ) ：7 0 0 - 7 0 2 【2 】m o i o l ajla n dc h e ng h o p sb i f u r c a t i o na n a l y s i s ：af r e q u e n c yd o m a i na p p r o a c hf j l w o r l d s c i e n t i f i c ，s i n g a p o r e ，1 9 9 7 【3 】